Puasson taqsimoti. Nodir hodisalar qonuni. Diskret tasodifiy miqdorning Puasson taqsimoti Puasson taqsimotining ehtimoli

Turli xil ehtimollik taqsimotlarining eng keng tarqalgan holati binomial taqsimotdir. Keling, uning ko'p qirraliligidan amalda eng ko'p uchraydigan taqsimot turlarini aniqlash uchun foydalanamiz.

Binomiy taqsimot

A hodisasi bo'lsin. A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng p, A hodisaning ro'y bermaslik ehtimoli 1 ga teng p, ba'zan shunday belgilanadi q. Mayli n testlar soni, m bularda A hodisaning yuzaga kelish chastotasi n testlar.

Ma'lumki, barcha mumkin bo'lgan natijalar kombinatsiyasining umumiy ehtimoli bittaga teng, ya'ni:

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

p n ichida bo'lish ehtimoli nn bir marta; n · p n 1 (1 p) ichida bo'lish ehtimoli nn 1) bir marta va 1 marta bo'lmaydi; C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 ichida bo'lish ehtimoli n testlar, A hodisasi sodir bo'ladi ( n 2) marta va 2 marta bo'lmaydi; P m = C n m · p m· (1 p) n – m ichida bo'lish ehtimoli n testlar, A hodisasi sodir bo'ladi m hech qachon bo'lmaydi ( n – m) bir marta; (1 p) n ichida bo'lish ehtimoli n sinovlarda A hodisasi bir marta ham sodir bo'lmaydi; kombinatsiyalar soni n tomonidan m .

Kutilgan qiymat M binomial taqsimot quyidagilarga teng:

M = n · p ,

Qayerda n testlar soni, p A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli.

Standart og'ish σ :

σ = sqrt( n · p· (1 p)) .

1-misol. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,5, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 1 marta. Bizda ... bor: C 10 1 = 10 va undan keyingi: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Ko'rib turganimizdek, bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli juda past. Bu, birinchidan, voqea sodir bo'ladimi yoki yo'qmi mutlaqo aniq emasligi bilan izohlanadi, chunki ehtimollik 0,5 va bu erda imkoniyat "50 dan 50 gacha"; ikkinchidan, hodisaning o'ntadan bir marta (ko'p emas va kam emas) sodir bo'lishini hisoblash talab qilinadi.

2-misol. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,5, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 2 marta. Bizda ... bor: C 10 2 = 45 va undan keyingi: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Ushbu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli oshdi!

3-misol. Keling, hodisaning o'zi sodir bo'lish ehtimolini oshiraylik. Keling, buni ehtimolini oshiraylik. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,8, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 1 marta. Bizda ... bor: C 10 1 = 10 va undan keyingi: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Ehtimollik birinchi misolga qaraganda kamroq bo'ldi! Javob, bir qarashda, g'alati ko'rinadi, ammo hodisaning ehtimoli juda yuqori bo'lganligi sababli, bu faqat bir marta sodir bo'lishi dargumon. Bu bir necha marta sodir bo'lishi ehtimoli ko'proq. Haqiqatan ham, hisoblash P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (hodisa sodir bo'lish ehtimoli n= 10 ta sinov 0, 1, 2, 3, , 10 marta sodir bo'ladi), biz ko'ramiz:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(eng yuqori ehtimollik!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Oddiy taqsimot

Agar biz miqdorlarni tasvirlasak P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, biz 3-misolda hisoblangan grafikda ularning taqsimlanishi normal taqsimot qonuniga yaqin shaklga ega ekanligi ma'lum bo'ladi (27.1-rasmga qarang) (25-ma'ruzaga qarang. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni modellashtirish).

Guruch. 27.1. Binomiy taqsimot turi
p = 0,8, n = 10 da turli m uchun ehtimolliklar

A hodisaning yuzaga kelish va sodir bo'lmaslik ehtimoli taxminan bir xil bo'lsa, binomial qonun normal bo'ladi, ya'ni shartli ravishda yozishimiz mumkin: p≈ (1 p) . Masalan, olaylik n= 10 va p= 0,5 (ya'ni p= 1 p = 0.5 ).

Agar, masalan, bir kunda tug'ruqxonada tug'ilgan 10 nafar boladan nechta o'g'il va qancha qiz tug'ilishini nazariy jihatdan hisoblab chiqmoqchi bo'lsak, bunday muammoga mazmunli kelamiz. Aniqrog‘i, o‘g‘il va qiz bolalarni emas, balki faqat o‘g‘il bolalar tug‘ilishi, 1 o‘g‘il va 9 qiz tug‘ilishi, 2 o‘g‘il va 8 qiz tug‘ilishi va hokazolarni hisoblaymiz. Oddiylik uchun o'g'il va qiz tug'ilish ehtimoli bir xil va 0,5 ga teng deb faraz qilaylik (lekin, rostini aytsam, bunday emas, "Sun'iy intellekt tizimlarini modellashtirish" kursiga qarang).

Tarqatish nosimmetrik bo'lishi aniq, chunki 3 o'g'il va 7 qiz bo'lish ehtimoli 7 o'g'il va 3 qiz bo'lish ehtimoliga teng. Tug'ilishning eng katta ehtimoli 5 o'g'il va 5 qiz bo'ladi. Bu ehtimollik 0,25 ga teng, aytmoqchi, u mutlaq qiymatda unchalik katta emas. Bundan tashqari, bir vaqtning o'zida 10 yoki 9 o'g'il tug'ilish ehtimoli 10 boladan 5 ± 1 o'g'il tug'ilish ehtimolidan ancha past. Binom taqsimoti bu hisobni amalga oshirishga yordam beradi. Shunday qilib.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Grafikdagi miqdorlarni ko'rsatamiz P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (27.2-rasmga qarang).

Guruch. 27.2. Parametrli binomial taqsimot grafigi
p = 0,5 va n = 10, uni normal qonunga yaqinlashtiradi

Shunday qilib, shartlar ostida m ≈ n/2 va p≈ 1 p yoki p≈ 0,5 binomial taqsimot o'rniga siz oddiydan foydalanishingiz mumkin. Katta qiymatlar uchun n grafik o'ngga siljiydi va tobora tekis bo'lib boradi, chunki matematik kutish va dispersiya ortib borishi bilan ortadi. n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

Aytgancha, binomial qonun normaga va ortib borishga intiladi n, bu markaziy chegara teoremasiga ko'ra juda tabiiy (34-ma'ruzaga qarang. Statistik natijalarni qayd etish va qayta ishlash).

Endi binomial qonunning qachon o'zgarishini ko'rib chiqing p ≠ q, ya'ni p> 0. Bu holda normal taqsimot gipotezasini qo'llash mumkin emas va binomial taqsimot Puasson taqsimotiga aylanadi.

Puasson taqsimoti

Puasson taqsimoti binomial taqsimotning alohida holatidir (bilan n>> 0 va da p>0 (kamdan-kam uchraydigan hodisalar)).

Matematikadan binomial taqsimotning istalgan a'zosining qiymatini taxminan hisoblash imkonini beruvchi formula ma'lum:

Qayerda a = n · p Puasson parametri (matematik kutish) va dispersiya matematik kutishga teng. Keling, ushbu o'tishni tushuntiruvchi matematik hisoblarni taqdim qilaylik. Binomiy taqsimot qonuni

P m = C n m · p m· (1 p) n – m

qo'ysangiz yozishingiz mumkin p = a/n , sifatida

Chunki p juda kichik, keyin faqat raqamlarni hisobga olish kerak m, nisbatan kichik n. Ish

birlikka juda yaqin. Xuddi shu narsa o'lchamga ham tegishli

Kattalik

juda yaqin e – a. Bu erdan biz formulani olamiz:

Misol. Quti o'z ichiga oladi n= 100 ta qism, ham yuqori sifatli, ham nuqsonli. Buzuq mahsulotni olish ehtimoli p= 0,01. Aytaylik, mahsulotni olib chiqib, nuqsonli yoki nuqsonli ekanligini aniqlab, qaytarib qo‘yamiz. Shunday qilib, biz o‘tkazgan 100 ta mahsulotdan ikkitasi nuqsonli bo‘lib chiqdi. Buning ehtimoli qanday?

Binom taqsimotidan biz quyidagilarni olamiz:

Poisson taqsimotidan biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, qiymatlar yaqin bo'lib chiqdi, shuning uchun kamdan-kam hollarda Puasson qonunini qo'llash juda maqbuldir, ayniqsa u kamroq hisoblash kuchini talab qiladi.

Puasson qonunining shaklini grafik tarzda ko'rsatamiz. Misol sifatida parametrlarni olaylik p = 0.05 , n= 10. Keyin:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Guruch. 27.3. P = 0,05 va n = 10 da Puasson taqsimoti grafigi

Da n> ∞ Puasson taqsimoti markaziy chegara teoremasiga ko'ra normal qonunga aylanadi (qarang.

Kirish

Ehtimollar nazariyasi - tasodifiy hodisalardagi naqshlarni o'rganadigan matematik fan. Bugungi kunda u katta amaliy ahamiyatga ega bo'lgan to'liq fan hisoblanadi.

Ehtimollar nazariyasi tarixi 17-asrda, ommaviy tasodifiy hodisalar bilan bog'liq muammolarni tizimli o'rganishga birinchi urinishlar qilingan va tegishli matematik apparatlar paydo bo'lgan paytdan boshlanadi. O'shandan beri ko'plab asoslar ishlab chiqildi va hozirgi tushunchalarga chuqurlashtirildi, boshqa muhim qonunlar va qonuniyatlar kashf qilindi. Ko'pgina olimlar ehtimollar nazariyasi muammolari ustida ishlagan va ishlamoqda.

Ular orasida Simeon Denis Puasson ((1781–1840) - fransuz matematigi)ning Jeykob Bernulliga qaraganda katta sonlar qonunining umumiy shaklini isbotlagan hamda birinchi marta qo'llagan asarlariga e'tibor qaratish mumkin emas. masalalarni otish ehtimoli nazariyasi. Puasson nomi ehtimollar nazariyasi va uning qo'llanilishida muhim rol o'ynaydigan taqsimot qonunlaridan biri bilan bog'liq.

Vaqt birligida ma'lum bir tasodifiy hodisaning sodir bo'lish soni, bu hodisaning ma'lum bir tajribada sodir bo'lishi fakti uning o'tmishda necha marta va vaqtning qaysi nuqtalarida sodir bo'lganiga bog'liq bo'lmasa va ta'sir qilmaydi. Kelajak. Va sinovlar statsionar sharoitlarda amalga oshiriladi, keyin odatda bunday tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini tavsiflash uchun Puasson qonuni qo'llaniladi (bu taqsimot birinchi marta 1837 yilda ushbu olim tomonidan taklif qilingan va nashr etilgan).

Bu qonunni binomial taqsimotning cheklovchi holati sifatida ham ta'riflash mumkin, bunda bizni qiziqtirgan hodisaning bitta tajribada ro'y berish ehtimoli p juda kichik, lekin vaqt birligida bajarilgan tajribalar soni m ancha katta bo'ladi. , ya'ni, jarayonda p

0 va m, mahsulot mp ba'zi ijobiy doimiy qiymatga (ya'ni mp) intiladi.

Shuning uchun Puasson qonuni ko'pincha noyob hodisalar qonuni deb ataladi.

Ehtimollar nazariyasida Puasson taqsimoti

Funktsiya va tarqatish seriyalari

Puasson taqsimoti binomial taqsimotning alohida holatidir (bilan n>> 0 va da p–> 0 (kamdan-kam uchraydigan hodisalar)).

Matematikadan binomial taqsimotning istalgan a'zosining qiymatini taxminan hisoblash imkonini beruvchi formula ma'lum:

Qayerda a = n · p Puasson parametri (matematik kutish), dispersiya esa matematik kutishga teng. Keling, ushbu o'tishni tushuntiruvchi matematik hisoblarni taqdim qilaylik. Binomiy taqsimot qonuni

Pm = C n m · p m· (1 - p)n – m

qo'ysangiz yozishingiz mumkin p = a/n, sifatida

Chunki p juda kichik, keyin faqat raqamlarni hisobga olish kerak m, nisbatan kichik n. Ish

birlikka juda yaqin. Xuddi shu narsa o'lchamga ham tegishli

juda yaqin e –a. Bu erdan biz formulani olamiz:

Eyler raqami (2,71...). ,

Yaratish funktsiyasi uchun

bizda miqdorlar bor:

Kumulyativ ehtimollik taqsimoti funksiyasi ga teng

Puasson bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining klassik misoli - ma'lum vaqt oralig'ida yo'lning ma'lum bir qismidan o'tadigan avtomobillar soni. Shuningdek, siz osmonning ma'lum o'lchamdagi qismidagi yulduzlar soni, ma'lum uzunlikdagi matndagi xatolar soni, qo'ng'iroqlar markazidagi telefon qo'ng'iroqlari soni yoki qo'ng'iroqlar soni kabi misollarni qayd etishingiz mumkin. ma'lum vaqt oralig'ida veb-server.

Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori quyidagicha ko'rinadi:

x m	0	1	2	…	m	…
Pm	e-a			…		…

Shaklda. 1 tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining ko'pburchaklarini ko'rsatadi X Puasson qonuniga ko'ra, parametrning turli qiymatlariga mos keladi A.

Birinchidan, ehtimolliklar ketma-ketligi taqsimot seriyasi bo'lishi mumkinligiga ishonch hosil qilaylik, ya'ni. ya'ni barcha ehtimollar yig'indisi Rm birga teng.

Funktsiyani kengaytirishdan foydalanamiz e x Maklaurin seriyasida:

Ma'lumki, bu qator har qanday qiymat uchun yaqinlashadi X, shuning uchun, olish x=a, olamiz

shuning uchun

Puasson taqsimot pozitsiyasining raqamli xarakteristikalari

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.

Ta'rifga ko'ra, diskret tasodifiy o'zgaruvchi hisoblash mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini olganda:

Yig'indining birinchi muddati (mos keladi m=0 ) nolga teng, shuning uchun yig'indidan boshlanishi mumkin m=1 :

Shunday qilib, parametr A tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishidan boshqa narsa emas X.

Matematik kutishdan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasi uning rejimi va medianasi bilan tavsiflanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi.

Uzluksiz miqdor uchun rejim ehtimollik zichligi funktsiyasining mahalliy maksimal nuqtasi deb ataladi. Agar ko'pburchak yoki taqsimot egri chizig'i bitta maksimalga ega bo'lsa (2-rasm a), u holda taqsimot unimodal deb ataladi, agar bir nechta maksimal bo'lsa, u multimodaldir (xususan, ikki rejimli taqsimot bimodal deb ataladi). Minimalga ega bo'lgan taqsimot antimodal deb ataladi (2-b-rasm).

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Tasodifiy o'zgaruvchining eng ehtimoliy qiymati diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun global maksimal ehtimollikni yoki uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimlanish zichligini ta'minlovchi rejimdir.

Median - ehtimollik zichligi grafigi ostidagi maydonni yarmiga bo'luvchi x l qiymati, ya'ni. Median tenglamaning istalgan ildizidir. Matematik kutish mavjud bo'lmasligi mumkin, ammo median har doim mavjud va noaniq tarzda aniqlanishi mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchining medianasi

uning qiymati = x med shunday deyiladiki, P (< x med) = Р ( >x med) = .

Tarqalishning raqamli xarakteristikalari

X tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi.

Bu erda l bir xil mustaqil sinovlarda hodisalarning o'rtacha sodir bo'lish soniga teng, ya'ni. l = n × p, bu erda p - bitta sinovdagi hodisaning ehtimoli, e = 2,71828.

Puasson qonunining taqsimot seriyasi quyidagi shaklga ega:

Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator Puasson taqsimotini qurish va seriyaning barcha xususiyatlarini hisoblash uchun ishlatiladi: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish. Qaror bilan hisobot Word formatida tuziladi.

Agar n katta va l = p n > 10 bo'lsa, Puasson formulasi juda qo'pol yaqinlik beradi va P n (m) ni hisoblash uchun Moivre-Laplasning mahalliy va integral teoremalaridan foydalaniladi.

X tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari

Puasson taqsimotini kutish
M[X] = l

Puasson taqsimotining o'zgarishi
D[X] = l

Misol № 1. Urug'larda 0,1% begona o'tlar mavjud. 2000 ta urug‘ni tasodifiy tanlasangiz, 5 ta begona o‘t urug‘ini topish ehtimoli qanday?
Yechim.
p ehtimolligi kichik, lekin n soni katta. np = 2 P(5) = l 5 e -5 /5! = 0,03609
Kutilgan qiymat: M[X] = l = 2
Dispersiya: D[X] = l = 2

Misol № 2. Javdar urug'lari orasida 0,4% begona o'tlar urug'lari mavjud. 5000 ta urug'ni tasodifiy tanlash bilan begona o'tlar sonining tarqalish qonunini tuzing. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Matematik kutilma: M[X] = l = 0,004*5000 = 20. Dispersiya: D[X] = l = 20
Tarqatish qonuni:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m dan -20 / m gacha!	…

Misol № 3. Telefon stantsiyasida 1/200 ehtimollik bilan noto'g'ri ulanish sodir bo'ladi. 200 ta ulanish orasida quyidagilar sodir bo'lish ehtimolini toping:
a) aynan bitta noto'g'ri ulanish;
b) uchtadan kam noto'g'ri ulanishlar;
c) ikkitadan ortiq noto'g'ri ulanishlar.
Yechim. Masalaning shartlariga ko'ra, hodisaning ehtimolligi past, shuning uchun biz Puasson formulasidan foydalanamiz (15).
a) Berilgan: n = 200, p = 1/200, k = 1. P 200 (1) ni topamiz.
Biz olamiz: . Keyin P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Berilgan: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Bizda: a = 1.

v) Berilgan: n = 200, p = 1/200, k > 2. P 200 (k > 2) ni toping.
Bu muammoni oddiyroq hal qilish mumkin: qarama-qarshi hodisaning ehtimolini toping, chunki bu holda siz kamroq shartlarni hisoblashingiz kerak. Oldingi holatni hisobga olsak, bizda bor

n etarlicha katta va p yetarlicha kichik bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik; np = a qo'yaylik, bu erda a qandaydir son. Bunday holda, kerakli ehtimollik Puasson formulasi bilan aniqlanadi:

t vaqt davomiyligida k hodisaning yuzaga kelish ehtimolini Puasson formulasi yordamida ham topish mumkin:
bu yerda l - hodisalar oqimining intensivligi, ya'ni vaqt birligida paydo bo'ladigan hodisalarning o'rtacha soni.

Misol № 4. Qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,005 ga teng. 400 ta qism tekshiriladi. 3 dan ortiq qismlarning nuqsonli bo'lish ehtimolini hisoblash uchun formulani keltiring.

Misol № 5. Ommaviy ishlab chiqarish jarayonida nuqsonli qismlarning paydo bo'lish ehtimoli p. N qismli partiyaning a) aniq uchta qismdan iborat bo'lish ehtimolini aniqlang; b) uchta nuqsonli qismdan ko'p bo'lmagan.
p=0,001; N = 4500
Yechim.
p ehtimolligi kichik, lekin n soni katta. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
X tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlar oralig'iga ega (0,1,2,...,m). Ushbu qiymatlarning ehtimolliklarini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

X ning taqsimot qatorini topamiz.
Bu erda l = np = 4500*0,001 = 4,5
P (0) = e - l = e -4,5 = 0,01111
P(1) = le -l = 4,5e -4,5 = 0,04999

U holda N qismli partiyaning to'liq uchta qismdan iborat bo'lish ehtimoli teng:

Keyin N qismli partiyada uchtadan ko'p nuqsonli qismlar bo'lishi ehtimoli:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Misol № 6. Avtomat telefon stantsiyasi soatiga o'rtacha N qo'ng'iroqni qabul qiladi. Ma'lum bir daqiqada uning qabul qilish ehtimolini aniqlang: a) aniq ikkita qo'ng'iroq; b) ikkitadan ortiq qo'ng'iroqlar.
N=18
Yechim.
Bir daqiqada ATS o'rtacha l = 18/60 daqiqani oladi. = 0,3
Bir daqiqada ATSga tasodifiy X qo'ng'iroqlar soni kelib tushdi deb faraz qilsak,
Puasson qonuniga bo'ysunadi, formuladan foydalanib biz kerakli ehtimolni topamiz

X ning taqsimot qatorini topamiz.
Bu erda l = 0,3
P (0) = e - l = e -0,3 = 0,7408
P(1) = le -l = 0,3e -0,3 = 0,2222

Bir daqiqada u ikkita qo'ng'iroqni qabul qilish ehtimoli:
P (2) = 0,03334
Bir daqiqada u ikkitadan ortiq qo'ng'iroqlarni qabul qilish ehtimoli:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Misol № 7. Bir-biridan mustaqil ishlaydigan ikkita element ko'rib chiqiladi. Nosozliksiz ishlash muddati birinchi element uchun l1 = 0,02 va ikkinchi element uchun l2 = 0,05 parametri bilan eksponensial taqsimotga ega. 10 soat ichida: a) ikkala element ham nosozliksiz ishlash ehtimolini toping; b) faqat №1 elementning 10 soat ichida ishlamay qolish ehtimoli:
Qaror.
P 1 (0) = e -l1*t = e -0,02*10 = 0,8187

2-sonli elementning 10 soat ichida ishlamay qolishi ehtimoli:
P 2 (0) = e -l2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) ikkala element ham benuqson ishlaydi;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) faqat bitta element muvaffaqiyatsiz bo'ladi.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Misol № 7. Ishlab chiqarish 1% nuqsonlarni keltirib chiqaradi. Tadqiqot uchun olingan 1100 ta mahsulotdan 17 tasi rad etilmasligi ehtimoli qanday?
Eslatma: bu yerda n*p =1100*0.01=11 > 10 boʻlgani uchun foydalanish kerak.

Katta miqdordagi mustaqil sinovlarda ma'lum (cheklangan) marta sodir bo'ladigan past ehtimolli hodisalarni ko'rib chiqishda, bu hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli Puasson qonuniga yoki noyob hodisalar qonuniga bo'ysunadi, bu erda l o'rtacha soniga tengdir. bir xil mustaqil sinovlarda hodisalarning sodir bo'lishi, ya'ni. l = n × p, bu erda p - bitta sinov paytidagi hodisaning ehtimoli, e = 2,71828, m - bu hodisaning chastotasi, M[X] matematik taxmini l ga teng.

Puasson qonunining taqsimot seriyasi quyidagi shaklga ega:

X tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari

Puasson taqsimotini kutish
M[X] = l

Puasson taqsimotining o'zgarishi
D[X] = l

Puasson qonuni hajmi etarlicha katta bo'lgan (n > 100) va bu xususiyatga ega bo'lgan birliklarning etarlicha kichik ulushiga ega bo'lgan populyatsiyalar uchun ishlatilishi mumkin (p).< 0,1).
Bunday holda, Puasson taqsimoti nafaqat n ning qiymati - mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni - ma'lum bo'lmaganda, balki n ifodalashi mumkin bo'lgan yakuniy son ma'lum bo'lmaganda ham qo'llanilishi mumkin. Voqea sodir bo'lishining o'rtacha soni mavjud bo'lganda, hodisaning yuzaga kelish ehtimoli kengayish shartlari bilan tavsiflanadi:
.
Shuning uchun mos keladigan ehtimolliklar:

Shuning uchun, agar zilzilalarning o'rtacha soni oyiga bitta bo'lsa, u holda m = 1 va oyda sodir bo'lish ehtimoli e - m = 0,3679 ning taxminiy qiymatidan hisoblangan quyidagicha bo'ladi:

Misol. 1000 ta bir xil mahsulot partiyasini tekshirish natijasida partiyadagi nuqsonli mahsulotlar sonining quyidagi taqsimoti olindi:

Bir partiyadagi nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha sonini aniqlaymiz:
.
Biz Puasson qonunining nazariy chastotalarini topamiz:


Empirik va nazariy jihatdan aniqlangan Puasson taqsimoti:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Taqqoslash shuni ko'rsatadiki, empirik taqsimot Puasson taqsimotiga mos keladi.

Misol № 2. Texnik nazorat bo'limi o'xshash mahsulotlarning n partiyasini tekshirdi va bitta partiyadagi nostandart mahsulotlarning X soni jadvalda ko'rsatilgan empirik taqsimotga ega ekanligini aniqladi, uning bir qatori bitta partiyadagi nostandart mahsulotlarning x i sonini ko'rsatadi, boshqa qator esa x i nostandart mahsulotlarni o'z ichiga olgan n i partiyalar sonini ko'rsatadi. X tasodifiy o'zgaruvchisi (bitta partiyadagi nostandart mahsulotlar soni) a=0,05 ahamiyatlilik darajasida gipotezani sinab ko'rish kerak. Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Keling, X ning taqsimlanganligi haqidagi gipotezani tekshiramiz Puasson qonuni Xizmatdan foydalanish, statistik farazlarni tekshirish.


bu erda p i - faraziy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining i-chi intervalga tushish ehtimoli; l = x o'rtacha.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

i	Kuzatilgan chastota n i	p i	Kutilayotgan chastota np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Kritik mintaqaning chegarasini aniqlaymiz. Pearson statistikasi empirik va nazariy taqsimotlar orasidagi farqni o'lchaganligi sababli, uning kuzatilgan qiymati K obs qanchalik katta bo'lsa, asosiy gipotezaga qarshi dalil shunchalik kuchli bo'ladi.
Shuning uchun, ushbu statistika uchun muhim mintaqa har doim o'ng qo'ldir :)