Portalda reklama

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi. Geometriyada aylana akkordi nima, uning ta'rifi va xossalari Doira haqidagi barcha teoremalar

Akkord yunoncha "tor" degan ma'noni anglatadi. Bu tushuncha fanning turli sohalarida - matematika, biologiya va boshqalarda keng qo'llaniladi.

Geometriyada atamaning ta'rifi quyidagicha bo'ladi: bu bir xil doiradagi ikkita ixtiyoriy nuqtani bog'laydigan to'g'ri chiziq segmenti. Agar bunday segment markazni kesib o'tsa egri chiziq, u aylananing diametri deb ataladi.

Bilan aloqada

Geometrik akkordni qanday qurish kerak

Ushbu segmentni qurish uchun avval aylana chizishingiz kerak. Sekant chiziq o'tkaziladigan ikkita ixtiyoriy nuqtani belgilang. Doira bilan kesishgan nuqtalar orasida joylashgan to'g'ri chiziq segmentiga akkord deyiladi.

Agar siz bunday o'qni yarmiga bo'lsangiz va bu nuqtadan perpendikulyar chiziq chizsangiz, u aylananing markazidan o'tadi. Siz qarama-qarshi harakatni bajarishingiz mumkin - aylananing markazidan akkordga perpendikulyar radiusni torting. Bunday holda, radius uni ikkita bir xil yarmiga bo'ladi.

Agar egri chiziqning ikkita parallel teng segment bilan chegaralangan qismlarini ko'rib chiqsak, u holda bu egri chiziqlar ham bir-biriga teng bo'ladi.

Xususiyatlari

Bir qator naqshlar mavjud, akkordlar va aylananing markazini bog'lash:

Radius va diametr bilan bog'liqlik

Yuqoridagi matematik tushunchalar quyidagi qonuniyatlar bilan o‘zaro bog‘langan:

Akkord va radius

Ushbu tushunchalar o'rtasida quyidagi aloqalar mavjud:

Yozilgan burchaklar bilan aloqalar

Doira ichiga chizilgan burchaklar quyidagi qoidalarga bo'ysunadi:

Ark shovqinlari

Agar ikkita segment egri chiziqning o'lchami bo'yicha teng bo'lgan qismlarini ajratsa, unda bunday o'qlar bir-biriga teng bo'ladi. Ushbu qoidadan quyidagi naqshlar kelib chiqadi:

Aylananing yarmiga to'g'ri keladigan akkord uning diametridir. Agar bir xil doiradagi ikkita chiziq bir-biriga parallel bo'lsa, u holda bu segmentlar orasiga o'ralgan yoylar ham teng bo'ladi. Biroq, yopiq yoylarni bir xil chiziqlar bilan bog'langanlar bilan aralashtirib yubormaslik kerak.

3-qism. Doiralar

I. Malumot materiallari.

I. Tangenslar, akkordlar va sekantlarning xossalari. Yozilgan va markaziy burchaklar.

Doira va aylana

1. Agar aylanadan tashqarida yotgan bir nuqtadan unga ikkita tangens chizsak, u holda

a) berilgan nuqtadan tutashish nuqtalarigacha bo'lgan segmentlarning uzunliklari teng;

b) aylana markazidan o'tuvchi har bir tangens va sekant orasidagi burchaklar teng.

2. Agar aylanadan tashqarida yotgan bir nuqtadan unga teg va sekant chizilgan bo'lsa, u holda tegning kvadrati sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

3. Agar ikkita akkord bir nuqtada kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchisining segmentlari ko'paytmasiga teng bo'ladi.

4. Aylana C=2pR;

5. Yoy uzunligi L =pRn/180˚

6. Doira maydoni S=pR 2

7. Sektor hududi S c=pR 2 n/360

Chizilgan burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Teorema 1. Aylanada umumiy nuqtaga ega bo'lgan tangens va akkord orasidagi burchakning o'lchami uning tomonlari orasiga o'ralgan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Teorema 2(tangens va sekant haqida). Agar M nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa, u holda M nuqtadan teginish nuqtasigacha bo'lgan teginish segmentining kvadrati M nuqtadan uning nuqtalarigacha bo'lgan sekant segmentlarining uzunliklarining ko'paytmasiga teng bo'ladi. aylana bilan kesishish.

Teorema 3. Agar aylananing ikkita akkordasi kesishsa, u holda bir akkord segmentlari uzunliklarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlari uzunliklarining ko'paytmasiga teng bo'ladi, ya'ni AB va CD akkordalari M nuqtada kesishsa, u holda bir akkord segmentlari uzunliklarining ko'paytmasi teng bo'ladi. keyin AB MV = CM MD.

Doira akkordlarining xususiyatlari:

Akkordga perpendikulyar diametr uni ikkiga bo'ladi. Aksincha: akkordning o'rtasidan o'tadigan diametr unga perpendikulyar.

Aylananing teng akkordlari aylana markazidan teng masofada joylashgan. Aksincha: teng akkordlar aylana markazidan teng masofada joylashgan.

Parallel akkordlar orasiga o'ralgan aylana yoylari teng.

Bu nuqtada umumiy nuqta va umumiy tangensga ega bo'lgan aylanalar tangens deyiladi.Agar aylanalar umumiy tangensning bir tomonida joylashgan bo'lsa, ular ichki tangens deb ataladi, agar tegning qarama-qarshi tomonlarida bo'lsa, ular deyiladi. tashqi tangens.

II. Qo'shimcha materiallar

Ayrim burchaklarning xossalari.

Teorema.

1) Cho'qqisi aylana ichida joylashgan burchak (ABC) ikkita yoyning (AC va DE) yarmi yig'indisi bo'lib, ulardan biri uning tomonlari orasida, ikkinchisi esa tomonlarning kengaytmalari orasida joylashgan.

2) uchi aylanadan tashqarida joylashgan va tomonlari aylana bilan kesishadigan burchak (ABC), uning tomonlari orasiga oʻralgan ikkita yoyning (AC va ED) yarim farqiga teng.

Isbot .

AD akkordini chizish (ikkala chizmada), biz olamiz ∆AVD,

ko'rib chiqilayotgan burchakka nisbatan ABC cho'qqisi aylana ichida yotganda tashqi, cho'qqisi aylanadan tashqarida bo'lsa ichki bo'lib xizmat qiladi. Shunday qilib, birinchi holatda: ; ikkinchi holatda:

Ammo ADC va DAE burchaklari, xuddi chizilganlar kabi, yarim yoylar bilan o'lchanadi

AC va DE; shuning uchun ABC burchagi o'lchanadi: birinchi holatda yig'indisi: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, bu teng 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE), ikkinchi holatda esa farq 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE, bu 1/2 ga teng (ﬞ AC-ﬞ DE).

Teorema. Tangens va akkord tomonidan hosil qilingan burchak (ACD) uning ichidagi yoyning yarmi bilan o'lchanadi.

Avval CD akkord O markazidan o'tadi deb faraz qilaylik, ya'ni. akkord diametrdir. Keyin burchak ACD- tekis va shuning uchun 90 ° ga teng. Ammo CmD yoyining yarmi ham 90 ° ga teng, chunki yarim doira tashkil etuvchi butun CmD yoyi 180 ° ni o'z ichiga oladi. Bu teorema ushbu alohida holatda to'g'ri ekanligini anglatadi.

Endi akkord CD markazdan o'tmagan umumiy holatni olaylik. CE diametrini chizib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

U tangens va diametrdan tashkil topgan maqsad ACE, isbotlanganidek, CDE yoyining yarmi bilan o'lchanadi; DCE burchagi, chizilgan holda, CnED yoyining yarmi bilan o'lchanadi: dalilning yagona farqi shundaki, bu burchakni farq sifatida emas, balki to'g'ri ALL burchagi va ECD o'tkir burchagi yig'indisi sifatida ko'rib chiqish kerak.

Doiradagi proportsional chiziqlar

Teorema. Agar aylana ichiga olingan nuqta (M) orqali qandaydir akkord (AB) va diametr (CD) o‘tkazilsa, u holda akkord segmentlarining ko‘paytmasi (AM MB) diametrli segmentlar ko‘paytmasiga (MB MC) teng bo‘ladi.

Isbot.

P
Ikki yordamchi akkord AC va BD chizib, biz ikkita AMC va MBD uchburchaklarini olamiz (rasmda tire bilan qoplangan), chunki ularning A va D burchaklari bir xil BC yoyiga asoslangan, chizilgan burchaklar kabi tengdir. C va B bir xil AD yoyi asosida yozilganidek tengdir. Uchburchaklarning o'xshashligidan biz xulosa qilamiz:

AM: MD=MS: MV, bu yerdan AM MV=MD MS.

Natija. Agar aylana ichiga olingan nuqta (M) orqali har qanday miqdordagi akkordlar (AB, EF, KL,...) o'tkazilsa, har bir akkord segmentlarining ko'paytmasi barcha akkordlar uchun doimiy son bo'ladi, chunki har bir ip uchun bu mahsulot olingan M nuqtadan o'tuvchi CD diametrli segmentlarning ko'paytmasiga teng.

Teorema. Agar aylanadan tashqarida olingan (M) nuqtadan unga qandaydir sekant (MA) va tangens (MS) tortilsa, u holda sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasi tangens kvadratiga teng bo'ladi (taxmin qilinadi). sekant kesishishning ikkinchi nuqtasi bilan chegaralanadi va tangens - aloqa nuqtasi).

Isbot.

AC va BC yordamchi akkordlarini chizamiz; keyin MAC va MVS (rasmda tire bilan qoplangan) ikkita uchburchakni olamiz, ular o'xshashdir, chunki ular M umumiy burchakka ega va MCW va CAB burchaklari tengdir, chunki ularning har biri miloddan avvalgi yoyning yarmi bilan o'lchanadi. ∆MASda MA va MC tomonlarini olaylik; ∆MVSdagi o'xshash tomonlar MC va MV bo'ladi; shuning uchun MA: MS = MS: MV, qaerdan MA MV = MS 2.

Natija. Agar aylanadan tashqarida olingan (M) nuqtadan unga ixtiyoriy miqdordagi sekantlar (MA, MD, ME,...) tortilsa, har bir sekant va uning tashqi qismining ko‘paytmasi barcha sekantlar uchun doimiy son bo‘ladi, chunki har bir sekant uchun bu ko'paytma M nuqtadan olingan tangens kvadratiga (MC 2) teng.

III. Kirish vazifalari.

Vazifa 1.

IN oʻtkir burchagi 60° boʻlgan teng yonli trapesiyaning yon tomoni ga, kichik asosi esa ga teng. Ushbu trapetsiya bilan chegaralangan aylananing radiusini toping.

Yechim

1) Trapetsiya atrofidan aylana radiusi uchlari trapetsiyaning istalgan uchta uchi bo‘lgan uchburchak atrofida aylana radiusi bilan bir xil. Uchburchak atrofida aylananing R radiusini toping ABD.

2) A B C D demak, teng yonli trapesiyadir A.K. = M.D., K.M. =.

∆ ichida ABK A.K. = AB cos A = · cos 60° =. Ma'nosi,
AD = .

B.K. = AB gunoh A = · = .

3) ∆ da kosinus teoremasi bo'yicha ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 =.


Vazifa 2.

Teng tomonli uchburchakda ABC aylana chizilgan va segment chizilgan N.M.,

M A.C., N Miloddan avvalgi, unga tegib turgan va yon tomonga parallel AB.

Trapetsiyaning perimetrini aniqlang AMNB, agar segment uzunligi bo'lsa MN 6 ga teng.

Yechim.

1) ∆ABC- teng tomonli, nuqta O– medianalarning kesishish nuqtasi (bissektrisalar, balandliklar), bu degani CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN- aylanaga teginish, P– aloqa nuqtasi, ya’ni O.D. =
= OP, Keyin CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ KABINA, bu ∆ degan ma'noni anglatadi CMN- teng tomonli SM. = CN = MN = = 6; P.

Shuningdek

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = A.M. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Aylana atrofida teng yonli trapetsiya tasvirlangan, uning o'rta chizig'i 5 ga, asosdagi o'tkir burchakning sinusi esa 0,8 ga teng. Trapetsiya maydonini toping.

Yechim.Doira to'rtburchakda yozilganligi sababli Miloddan avvalgi + AD = AB + CD. Bu to'rtburchak teng yonli trapezoiddir, ya'ni Miloddan avvalgi + AD = 2AB.

FP– trapezoidning o‘rta chizig‘i, ya’ni Miloddan avvalgi + AD = 2FP.

Keyin AB = CD = FP = 5.

∆ABK- to'rtburchaklar, B.K. = AB gunoh A; B.K.= 5 · 0,8 = 4.

S ( A B C D) = FP · B.K.= 5 · 4 = 20.

Javob: 20.

ABC uchburchakning aylanasi K nuqtada BC tomoniga, aylana esa L nuqtada BC tomoniga tegadi. CK=BL=(a+b+c)/2 ekanligini isbotlang.

Isbot: M va N tomonlari AB va BC bilan chizilgan aylananing teginish nuqtalari bo'lsin. U holda BK+AN=BM+AM=AB, demak CK+CN= a+b-c.

AB va BC tomonlarining kengaytmalari bilan aylananing teginish nuqtalari P va Q boʻlsin. Keyin AP=AB+BP=AB+BL va AQ=AC+CQ=AC+CL. Shuning uchun AP+AQ=a+b+c. Demak, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) ABC uchburchakning B burchagi bissektrisasining davomi aylana bilan M nuqtada kesishadi. O chizilgan aylananing markazi. O B - AC tomoniga teguvchi aylana markazi. A, C, O va O B nuqtalar markazi M bo‘lgan aylana ustida yotishini isbotlang.

D
dalil: Chunki

b) ABC uchburchak ichida yotgan O nuqta shunday xususiyatga egaki, AO, BO, CO to'g'ri chiziqlar BCO, ACO, ABO uchburchaklarning aylanasi markazlaridan o'tadi. O ning ABC uchburchakning chizilgan doirasining markazi ekanligini isbotlang

Isbot: ACO uchburchakning aylana markazi P bo‘lsin. Keyin

IV. Qo'shimcha vazifalar

№ 1. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga va uning oyoqlarining kengaytmalariga tegilgan aylananing radiusi R. Uchburchakning perimetrini toping.

R yechim: HOGB - R tomoni bilan kvadrat

1) ∆OAH =∆OAF oyoq va gipotenuza bo'ylab =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№ 2. C va D nuqtalar diametri AB bo'lgan aylana ustida yotadi. AC ∩ BD = P, va AD ∩ BC = Q. AB va PQ toʻgʻri chiziqlar perpendikulyar ekanligini isbotlang.

Isbot: A D – diametri => chizilgan burchak ADB=90 o (diametrga qarab)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP 2 tomondan ∆QNA ga o'xshaydi va ular orasidagi burchak => QN AB ga perpendikulyar.

№ 3. ABCD parallelogrammasida AC diagonali BD diagonalidan katta; M - AC diagonalidagi nuqta, BDCM - tsiklik to'rtburchaklar.BD chizig'i ABM va ADM uchburchaklarining aylanalariga umumiy tegish ekanligini isbotlang

P
og'iz O - AC va VD diagonallarining kesishish nuqtasi. Keyin MO · OC=BO · OD. Holbuki OS = OA va VO = VD, keyin esa MO · OA=VO 2 va MO · OA=DO 2. Bu tengliklar OB ning ADM uchburchak doirasiga tegishini bildiradi

№ 4. N ABC teng yonli uchburchakning AB asosiga E nuqta olinadi va M va N nuqtalarda CE segmentiga tegib turgan aylanalar ACE va ABE uchburchaklariga chiziladi. AE va BE uzunliklari ma'lum bo'lsa, MN segmentining uzunligini toping.

Kirish muammosiga ko'ra 4 CM=(AC+CE-AE)/2 va CN=(BC+CE-BE)/2. AC=BC ekanligini hisobga olsak, MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 ni olamiz.

№ 5. ABC uchburchak tomonlarining uzunliklari arifmetik progressiya hosil qiladi va a

M - AC tomonining o'rta nuqtasi, N - BC tomoni bilan chizilgan doiraning teginish nuqtasi. U holda BN=r–b (kirish masala 4), demak BN=AM, chunki Shart bo'yicha p=3b/2. Bundan tashqari,

V .Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

№ 1. ABCD to'rtburchagi BAD burchagiga chizilgan va BC va CD tomonlarining kengaytmalariga tegib turgan aylana borligi xususiyatiga ega. AB+BC=AD+DC ekanligini isbotlang.

№ 2. Radiuslari R va r boʻlgan aylanalarning umumiy ichki tangensi ularning umumiy tashqi tangenslarini A va B nuqtalarda kesib oʻtadi va C nuqtadagi aylanalardan biriga tegadi. AC∙CB=Rr ekanligini isbotlang.

№ 3. ABC uchburchagida C burchagi to'g'ri burchakdir. r =(a+b-c)/2 va r c =(a+b+c)/2 ekanligini isbotlang.

№ 4. Ikki doira A va B nuqtalarda kesishadi; MN ular uchun umumiy tangensdir. AB chizig'i MN segmentini yarmiga bo'lishini isbotlang.

    № 5. ABC uchburchak burchaklarining bissektrisalarining davomlari aylana bilan A 1, B 1, C 1 nuqtalarda kesishadi. M – bissektrisalarning kesishish nuqtasi. Buni isbotlang:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№ 6. Aylananing bir nuqtasidan chizilgan ikkita tangens hosil qilgan burchak 23°15` ga teng. Tangens nuqtalari orasidagi yoylarni hisoblang

№ 7. Agar akkord aylanani 3:7 nisbatda ikki qismga ajratsa, tangens va akkord hosil qiladigan burchakni hisoblang.

VI. Nazorat vazifalari.

Variant 1.

M nuqta aylanadan tashqarida joylashgan markazi O. M nuqtadan uchta sekant chizilgan: birinchisi aylanani B va A nuqtalarida (M-B-A), ikkinchisi D va C (M-D-C) nuqtalarida, uchinchisi esa aylana bilan kesishadi. F va E (M-F-E) nuqtalarida va aylananing markazidan o'tadi, AB = 4, BM =5, FM = 3.

      Agar AB = CD bo'lsa, AME va CME burchaklari teng ekanligini isbotlang.

      Doira radiusini toping.

      M nuqtadan aylanaga chizilgan tangens uzunligini toping.

      AEB burchagini toping.

Variant 2.

AB - markazi O bo'lgan aylananing diametri. EF akkorda diametri K nuqtada (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5 da kesishadi.

    Doira radiusini toping.

    Doira markazidan BF akkordasigacha bo'lgan masofani toping.

    AB diametri va akkorda EF orasidagi o'tkir burchakni toping.

    EM AB ga parallel bo'lsa, FM akkord nimaga teng?

Variant 3. ABC to‘g‘ri burchakli uchburchakda (


Variant 4.

AB - markazi O bo'lgan doira diametri. Bu doiraning radiusi 4, O 1 OA ning o'rtasi. Markazi O 1 nuqtada, kattaroq aylanaga A nuqtada tegib aylana chizilgan. Kattaroq aylananing CD akkordi AB ga perpendikulyar va AB ni K nuqtada kesishadi. E va F CD ning kesishish nuqtalaridir. kichikroq doira (C-E-K-F-D), AK=3.

    AE va AC akkordlarini toping.

    AF yoyining daraja o'lchovini va uning uzunligini toping.

    EF akkordi bilan kesilgan kichikroq doira qismining maydonini toping.

    ACE uchburchagi bilan chegaralangan aylananing radiusini toping.

Birinchidan, aylana va aylana o'rtasidagi farqni tushunamiz. Bu farqni ko'rish uchun ikkala raqam nima ekanligini ko'rib chiqish kifoya. Bu bitta markaziy nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi cheksiz sonli nuqtalardir. Ammo, agar doira ham ichki bo'shliqdan iborat bo'lsa, u aylanaga tegishli emas. Ma’lum bo‘lishicha, aylana ham uni cheklovchi aylana (doira(r)), ham aylana ichida joylashgan son-sanoqsiz nuqtalardir.

Doira ustida yotgan har qanday L nuqta uchun OL=R tengligi amal qiladi. (OL segmentining uzunligi aylana radiusiga teng).

Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment uning akkord.

Aylana markazidan to'g'ridan-to'g'ri o'tadigan akkord diametri bu doira (D). Diametrni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: D=2R

Atrof formula bilan hisoblanadi: C=2\pi R

Doira maydoni: S=\pi R^(2)

Doira yoyi uning ikki nuqtasi orasida joylashgan qismi deyiladi. Bu ikki nuqta aylananing ikkita yoyini belgilaydi. CD akkord ikkita yoyni ajratadi: CMD va CLD. Bir xil akkordlar teng yoylarga ega.

Markaziy burchak Ikki radius orasida joylashgan burchak deyiladi.

Ark uzunligi formuladan foydalanib topish mumkin:

  1. Darajani o'lchashdan foydalanish: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
  2. Radian o'lchovidan foydalanish: CD = \alpha R

Akkordga perpendikulyar bo'lgan diametr akkord va u bilan qisqargan yoylarni yarmiga bo'ladi.

Agar aylananing AB va CD akkordalari N nuqtada kesishsa, N nuqta bilan ajratilgan akkordlar segmentlarining hosilalari bir-biriga teng bo'ladi.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Aylanaga teginish

Aylanaga teginish Aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqni chaqirish odatiy holdir.

Agar chiziqning ikkita umumiy nuqtasi bo'lsa, u deyiladi sekant.

Agar siz radiusni teginish nuqtasiga qaratsangiz, u aylananing tangensiga perpendikulyar bo'ladi.

Keling, bu nuqtadan doiramizga ikkita teginish chizamiz. Ma’lum bo‘lishicha, tangens segmentlar bir-biriga teng bo‘ladi va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida joylashadi.

AC = CB

Endi nuqtamizdan aylanaga tangens va sekant chizamiz. Biz tangens segment uzunligining kvadrati butun sekant segmenti va uning tashqi qismining mahsulotiga teng bo'lishini olamiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Xulosa qilishimiz mumkin: birinchi sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining mahsuloti ikkinchi sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Aylanadagi burchaklar

Markaziy burchak va u tayangan yoyning daraja o'lchovlari tengdir.

\angle COD = \chashka CD = \alfa ^(\circ)

Yozilgan burchak uchi aylanada joylashgan va tomonlarida akkordlar mavjud burchak.

Yoyning o'lchamini bilib, uni hisoblashingiz mumkin, chunki u bu yoyning yarmiga teng.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Diametrga, yozilgan burchakka, to'g'ri burchakka asoslangan.

\ burchak CBD = \ burchak CED = \ burchak SAPR = 90 ^ (\ doira)

Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar bir xil.

Bir akkordga tayangan chizilgan burchaklar bir xil yoki ularning yig'indisi 180^ (\circ) ga teng.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Xuddi shu doirada bir xil burchakli va berilgan asosli uchburchaklarning uchlari joylashgan.

Doira ichidagi tepasi bo'lgan va ikkita akkord o'rtasida joylashgan burchak, berilgan va vertikal burchaklar ichida joylashgan aylananing yoylarining burchak qiymatlari yig'indisining yarmiga tengdir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \chap (\chashka DmC + \chashka AlB \o'ng)

Aylanadan tashqarida cho'qqisi bo'lgan va ikki sekant o'rtasida joylashgan burchak burchak ichidagi aylananing yoylarining burchak qiymatlari farqining yarmiga tengdir.

\ burchak M = \ burchak CBD - \ burchak ACB = \ frac (1) (2) \ chap (\ kubok DmC - \ kubok AlB \ o'ng)

Chizilgan doira

Chizilgan doira ko'pburchakning yon tomonlariga tegib turgan doiradir.

Ko'pburchak burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada uning markazi joylashgan.

Har bir ko'pburchakda aylana yozilmasligi mumkin.

Chizilgan doira bilan ko'pburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

S = pr,

p - ko'pburchakning yarim perimetri,

r - chizilgan aylana radiusi.

Bundan kelib chiqadiki, chizilgan doira radiusi quyidagilarga teng:

r = \frac(S)(p)

Agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi bir xil bo'ladi. Va aksincha: qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi bir xil bo'lsa, aylana qavariq to'rtburchakka mos keladi.

AB + DC = AD + BC

Har qanday uchburchakda aylana chizish mumkin. Faqat bitta. Shaklning ichki burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada bu chizilgan aylananing markazi yotadi.

Chizilgan doira radiusi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

r = \frac(S)(p) ,

Bu erda p = \ frac (a + b + c) (2)

Doira

Agar ko'pburchakning har bir tepasidan aylana o'tsa, unda bunday doira odatda deyiladi poligon haqida tasvirlangan.

Ushbu rasmning tomonlari perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida aylana markazi bo'ladi.

Radiusni ko'pburchakning istalgan 3 ta cho'qqisi bilan aniqlangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblash orqali topish mumkin.

Quyidagi shart mavjud: to'rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180^( \circ) ga teng bo'lsa.

\ burchak A + \ burchak C = \ burchak B + \ burchak D = 180^ (\doira)

Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta. Bunday aylana markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalari kesishgan nuqtada joylashgan bo'ladi.

Cheklangan doira radiusini quyidagi formulalar yordamida hisoblash mumkin:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,

S - uchburchakning maydoni.

Ptolemey teoremasi

Nihoyat, Ptolemey teoremasini ko'rib chiqing.

Ptolemey teoremasi diagonallarning ko'paytmasi siklik to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng ekanligini ta'kidlaydi.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Matematika o'qituvchisining topshiriqlarini bajarish uchun geometriya bo'yicha nazariy ma'lumotnomalar. Talabalarga muammolarni hal qilishda yordam berish.

1) Aylanaga chizilgan burchak haqida mavzu.

Teorema: aylanaga chizilgan burchak u joylashgan yoyning gradus o'lchovining yarmiga teng (yoki bu yoyga mos keladigan markaziy burchakning yarmi), ya'ni .

2) Aylanaga chizilgan burchak haqidagi teoremadan xulosalar.

2.1) Bir yoy tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan burchaklarning xossasi.

Teorema: agar chizilgan burchaklar bitta yoy bilan qo'llab-quvvatlansa, ular tengdir (agar ular qo'shimcha yoylar bilan qo'llab-quvvatlansa, ularning yig'indisi teng bo'ladi.

2.2) Diametrga to'g'ri keladigan burchakning xossasi.

Teorema: Aylanaga chizilgan burchak, agar u to'g'ri bo'lsa, diametrga bo'linadi.

AC diametri

3) Tangens segmentlarning xossasi. Burchakka chizilgan doira.

1-teorema: agar unga aylanada yotmagan bir nuqtadan ikkita tangens tortilsa, ularning segmentlari teng bo'ladi, ya'ni PB=Kompyuter.

2-teorema: Agar aylana burchakka chizilgan bo'lsa, u holda uning markazi shu burchakning bissektrisasida yotadi, ya'ni PO bissektrisa.

4) Sekantlarning ichki kesishmasidagi akkordlar segmentlarining xossasi.
1-teorema: bir akkord segmentlarining ko'paytmasi boshqa akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng, ya'ni

2-teorema: akkordlar orasidagi burchak bu akkordlar aylanada hosil qilgan yoylar yig‘indisining yarmiga teng, ya’ni

Ko‘rib chiqish:

Mavzu bo'yicha dars:

“Kesishuvchi akkordlar segmentlari mahsuloti haqidagi teorema»

Mavzu: geometriya

Sinf: 8

o'qituvchi b: Hirot Lyudmila Vasilevna

Maktab : MOBU "Drujbinskaya o'rta maktabi" Sol-Iletsk tumani, Orenburg viloyati

Dars turi: Yangi bilimlarni "kashf qilish" darsi.

Ish shakllari: individual, frontal, guruh.

O'qitish usullari:og'zaki, vizual, amaliy, muammoli.

Uskunalar: kompyuter sinfi, multimedia proyektori,

Tarqatma materiallar (kartalar), taqdimot.

Dars maqsadlari:

  • tarbiyaviy- kesishuvchi akkordlar ko‘paytmasi haqidagi teoremani o‘rganish va uning masalalar yechishda qo‘llanilishini ko‘rsatish.

Yozilgan burchak teoremasi va uning oqibatlaridan foydalangan holda masalalarni yechish ko'nikmalarini takomillashtirish.

  • rivojlanmoqda - sinfda o'quvchilarning ijodiy va aqliy faolligini rivojlantirish; maktab o'quvchilarining shaxsiyatining mustaqillik, moslashuvchanlik, baholash harakatlari va umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish; jamoada ishlash va mustaqil ishlash ko'nikmalarini shakllantirishga ko'maklashish; fikringizni aniq va aniq ifodalash qobiliyatini rivojlantirish.
  • tarbiyaviy – axborot texnologiyalaridan foydalanish (kompyuterdan foydalanish) orqali o‘quvchilarda fanga qiziqish uyg‘otish; matematik yozuvlarni to‘g‘ri va malakali bajarish va masalaning rasmini chizish qobiliyatini rivojlantirish.

Ta'lim faoliyati talabalarni lavozimdan o'tkazish orqali o'qituvchilik ishining samaradorligi va mahsuldorligini oshirishga qaratilgan ob'ekt o'qituvchining lavozimdagi faoliyati o'qitish mavzusi , har bir bolaning salohiyatini rivojlantirishga, unga xos bo'lgan imkoniyatlarni ochib berishga yordam beradi.

Subyektivlikni tarbiyalash (rivojlantirish) faqat faoliyatda mumkinunda sub'ekt ishtirok etadi, qaysi u o'zi: a) maqsadlarni qo'yadi; b) maqsadga erishish uchun ixtiyoriy sa'y-harakatlarni jamlaydi; v) o'z ishining borishi va natijalari haqida fikr yuritadi. Mulohaza shaxsiy rivojlanish uchun kuchli vositadir(shaxsiy o'zini o'zi qurish).

Talabalarning subyektivligini rivojlantirish muammosiBu muammoni bir martalik chora-tadbirlar bilan hech qanday darajada hal qilib bo'lmaydi. Bu sifat rivojlanaditalabaning ta'lim va kognitiv faoliyatiga qo'shilishi tufayli izchil faoliyat (ideal holda - har bir darsda), u bajaradi o'zi, o'zining o'z harakatlari, bajarish ularning o'z-o'zidan, minimal tashqi yordam bilan, barcha harakatlar mantiqiy ketma-ketlikda. Dars talablarga to'liq javob beradigan ishning barcha 4 bosqichi va natijalari bo'yicha fikr yuritishni ta'minlaydifaoliyat yondashuvi ta'limda.

Taklif etilayotgan dars dizayni va kompyuter texnologiyalaridan foydalanish orqali quyidagi rivojlanish maqsadlariga erishiladi:

  • Intellektual madaniyat;
  • Axborot madaniyati;
  • O'z-o'zini tashkil etish madaniyati;
  • Tadqiqot madaniyati;

Talabalar faoliyatini shunday tashkil etish kerakki, ular o‘quvchilarning ichki maqsad va motivlarini ta’minlasin; Izlanish zarurati - ta'lim va tarbiyaning eng muhim vazifasi, buning uchun ijobiy his-tuyg'ularni uyg'otadigan muvaffaqiyat holatlarini, qidiruv vaziyatlarini yaratish kerak.

Dars rejasi

1. Chizilgan burchak teoremasini isbotlash (3 holat); kartalar bilan ishlash

Tayyor chizmalar yordamida masalalar yechish.

2. Juftlikda ishlash.

3. Kesishuvchi akkordlar segmentlari ko‘paytmasi haqidagi teoremani o‘rganish.

4. Teoremani mustahkamlashga doir masalalar yechish.

Darslar davomida.

  1. O'rganilayotgan mavzu bo'yicha talabalarning bilimlarini yangilash.

Teoremalarni isbotlash uchun doskaga uch nafar talaba chaqiriladi, ikkita o‘quvchi topshiriq kartalarini oladi, qolgan o‘quvchilar tayyor chizmalar bo‘yicha masalalar yechadilar. Teoremalarning isbotini o‘quvchilar tayyor chizmalar bo‘yicha masalalar yechgandan so‘ng butun sinf eshitadi.

Karta raqami 1..

1. Tushilgan so‘zlarni qo‘ying “Agar burchakning cho‘qqisi …………….., burchakning tomonlari esa……………………………….. da bo‘lsa, unga chizilgan burchak deyiladi”.

2. Rasmda ko'rsatilgan chizilgan burchaklarni toping va yozing:

3. Rasmda ko'rsatilgan ABC burchakning daraja o'lchovini toping, agar yoyning gradus o'lchovi ABC = 270 bo'lsa..

Karta № 2.

1. Tushilgan so‘zlarni to‘ldiring: “Yozilgan burchak …………. bilan o‘lchanadi”.

  1. Berilgan: OA=AB. AB yoyining daraja o'lchovini toping.

Tayyor chizmalar yordamida masalalar yechish.

1-rasm. 2-rasmni toping. 3-rasm. 4-rasm. 5-rasm.

AOD, ACD ABC top BCD top BAC top BCD top

II. Juft bo'lib ishlamoq.

Kesishuvchi akkordlar segmentlari haqidagi teoremani isbotlash masala shaklida amalga oshiriladi:

Agar aylananing ikkita AB va CD akkordlari E nuqtada kesishsa, shuni isbotlang

AE * BE =CE * DE

Ulardan muammoni juft-juft bo‘lib mustaqil yechish, so‘ngra uning yechimini muhokama qilish taklif etiladi. Teorema isbotining konturini daftarlaringizga va doskaga yozing.

Kontur

a) ACE IKKI (A = D BC yoyi asosida chizilgan burchaklar sifatida;

AES = DEB vertikal sifatida).

Muhokama uchun masalalar:

CAB va CDB burchaklari haqida nima deya olasiz? AEC va DEB burchaklari haqida?

ACE va DBE uchburchaklari nima? Tangens akkordlarning segmentlari bo'lgan ularning tomonlari qanday nisbatda bo'ladi?

Proporsiyalarning asosiy xossasidan foydalanib, ikki nisbatning tengligidan qanday tenglikni yozish mumkin?

IV. O'rganilgan materialni mustahkamlash.

Masalani yeching: PT va KM aylana akkordlari E nuqtada kesishadi. Agar ME ni toping.

KE = 4 sm, TE = 6 sm, PE = 2 sm.

Yechish: AE * BE =CE * DE

AE * 4 = 2 * 6

AE = 3 sm.

№ 666 b. x*x =16*9

X* x =144

X = 12

V. Reflektsiya. (uch rangdagi stikerlar yordamida)

VI. Uy vazifasi.

71-bet, № 666 a, c; 667.