Chiziqli vektor fazo va uning aksioma xossalari. Chiziqli vektor fazo: ta'rifi, xossalari. Vektorlarning chiziqli birikmasi nima?

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy- vektorlar deb ataladigan elementlar to'plami bo'lgan matematik struktura, ular uchun bir-biriga qo'shish va songa ko'paytirish amallari aniqlangan - skaler. Bu operatsiyalar sakkizta aksiomaga bo'ysunadi. Skalyarlar haqiqiy, murakkab yoki boshqa har qanday raqamlar maydonining elementlari bo'lishi mumkin. Bunday makonning alohida holati odatiy uch o'lchovli Evklid fazosidir, uning vektorlari, masalan, jismoniy kuchlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, vektor fazoning elementi sifatida yo'naltirilgan segment shaklida ko'rsatilishi shart emas. "Vektor" tushunchasini har qanday tabiatdagi vektor fazosining elementiga umumlashtirish nafaqat atamalarni chalkashtirib yubormaydi, balki ixtiyoriy tabiatli bo'shliqlar uchun amal qiladigan bir qator natijalarni tushunish yoki hatto taxmin qilish imkonini beradi.

Vektor fazolar chiziqli algebraning predmeti hisoblanadi. Vektor fazoning asosiy xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir. O'lchov fazoning chiziqli mustaqil elementlarining maksimal sonini ifodalaydi, ya'ni qo'pol geometrik tavsifga murojaat qiladi, faqat skaler bilan qo'shish va ko'paytirish amallari orqali bir-biri orqali ifodalab bo'lmaydigan yo'nalishlar sonini ifodalaydi. Vektor maydoni qo'shimcha tuzilmalar bilan ta'minlanishi mumkin, masalan, norma yoki ichki mahsulot. Bunday bo'shliqlar tabiiy ravishda matematik tahlilda, birinchi navbatda cheksiz o'lchovli funktsiya bo'shliqlari shaklida paydo bo'ladi ( Ingliz), bu erda funktsiyalar. Ko'pgina tahlil muammolari vektorlar ketma-ketligi berilgan vektorga yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashni talab qiladi. Bunday savollarni ko'rib chiqish qo'shimcha tuzilishga ega vektor fazolarida, ko'p hollarda mos keladigan topologiyada mumkin, bu bizga yaqinlik va uzluksizlik tushunchalarini aniqlash imkonini beradi. Bunday topologik vektor fazolar, xususan Banax va Gilbert fazolari chuqurroq o‘rganish imkonini beradi.

Chiziqli algebra vektorlardan tashqari yuqori darajali tenzorlarni ham oʻrganadi (skalar 0-darajali tensor, vektor 1-darajali tensor hisoblanadi).

Vektor fazosi kontseptsiyasining kiritilishini kutgan birinchi ishlar 17-asrga to'g'ri keladi. Analitik geometriya, matritsalar haqidagi ta’limot, chiziqli tenglamalar tizimi va Evklid vektorlari o‘sha paytda rivojlana boshladi.

Ta'rif

Chiziqli, yoki vektor maydoni $V\backslash chap(F\backslash o\text{'}ng)$ maydon ustida $F$- bu buyurtma qilingan to'rtlik $(V,F,+,\backslash cdot)$, Qayerda

• $V$- ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning bo'sh bo'lmagan to'plami, deyiladi vektorlar;
• $F$- elementlari chaqiriladigan (algebraik) maydon skalyarlar;
• Operatsiya aniqlandi qo'shimcha vektorlar $V\; \backslash \; marta\; V\; \backslash \; dan\; V\; gacha$, bu har bir juft elementni bog'laydi $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ to'plamlar $V$ $V$ ularni chaqirdi miqdori va tayinlangan $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operatsiya aniqlandi vektorlarni skalerlarga ko'paytirish $F\; \backslash \; marta\; V\; \backslash \; dan\; V\; gacha$, har bir elementga mos keladi $\backslash lambda$ dalalar $F$ va har bir element $\backslash mathbf(x)$ to'plamlar $V$ to'plamning yagona elementi $V$, belgilangan $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ yoki $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Bir xil elementlar to'plamida, lekin turli maydonlarda aniqlangan vektor bo'shliqlari turli vektor bo'shliqlari bo'ladi (masalan, haqiqiy sonlar juftligi to'plami). $\backslash mathbb(R)^2$ haqiqiy sonlar maydoni yoki bir o'lchovli - kompleks sonlar maydoni ustidagi ikki o'lchovli vektor fazosi bo'lishi mumkin).

Eng oddiy xususiyatlar

1. Vektor fazosi qo'shilgan Abel guruhidir.
2. Neytral element $\backslash mathbf(0)\; \backslash V\; ichida$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
4. Har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$ qarama-qarshi element $-\backslash mathbf(x)\backslash da\; V$ guruh xususiyatlaridan kelib chiqadigan yagona narsa.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ har qanday uchun $F.da\; \backslash alfa\; \backslash$ Va $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ har kim uchun $F.da\; \backslash alfa\; \backslash$.

Tegishli ta'riflar va xususiyatlar

Subfazo

Algebraik ta'rif: Chiziqli pastki fazo yoki vektor pastki fazosi- bo'sh bo'lmagan kichik to'plam $K$ chiziqli fazo $V$ shu kabi $K$ da belgilanganlarga nisbatan o‘zi chiziqli fazodir $V$ skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari. Barcha kichik bo'shliqlar to'plami odatda sifatida belgilanadi $\backslash mathrm(lat)(V)$. Kichik to'plam pastki bo'shliq bo'lishi uchun bu zarur va etarli

1. har qanday vektor uchun $\backslash mathbf(x)\backslash K\; ichida$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ ham tegishli edi $K$, har qanday uchun $F.da\; \backslash alfa$;
2. barcha vektorlar uchun $K.da\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ ham tegishli edi $K$.

Oxirgi ikkita bayonot quyidagilarga teng:

Barcha vektorlar uchun $K.da\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ ham tegishli edi $K$ har qanday uchun $F.da\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash$.

Xususan, faqat bitta nol vektordan iborat vektor fazo har qanday fazoning pastki fazosi hisoblanadi; har bir bo'shliq o'zining pastki fazosidir. Bu ikkalasiga to'g'ri kelmaydigan pastki fazolar deyiladi Shaxsiy yoki ahamiyatsiz.

Pastki fazolarning xossalari

• Har qanday pastki fazolar oilasining kesishishi yana pastki fazodir;
• Pastki bo'shliqlar yig'indisi $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ elementlarning barcha mumkin bo'lgan yig'indisini o'z ichiga olgan to'plam sifatida aniqlanadi $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Cheklangan pastki fazolar oilasining yig'indisi yana pastki fazodir.

Chiziqli birikmalar

Shaklning yakuniy yig'indisi

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Chiziqli birikma deyiladi:

Asos. Hajmi

Vektorlar $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar ularning nolga teng bo'lmagan chiziqli birikmasi bo'lsa:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash to\text{'}rt\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Aks holda bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Ushbu ta'rif quyidagi umumlashtirishga imkon beradi: cheksiz vektorlar to'plami $V$ chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ba'zilari chiziqli bog'liq bo'lsa final uning kichik to'plami va chiziqli mustaqil, agar mavjud bo'lsa final kichik to'plam chiziqli mustaqildir.

Bazaning xususiyatlari:

• Har qanday $n$ chiziqli mustaqil elementlar $n$- o'lchovli fazo shakli asos bu bo'shliq.
• Har qanday vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$ Bazis elementlarining cheklangan chiziqli birikmasi sifatida (noyob) ifodalanishi mumkin:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Chiziqli qobiq

Chiziqli qobiq $\backslash mathcal\; V(X)$ kichik to'plamlar $X$ chiziqli fazo $V$- barcha kichik fazolarning kesishishi $V$ o'z ichiga olgan $X$.

Chiziqli oraliq pastki fazodir $V$.

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo $X$. Shuningdek, chiziqli qobiq deyiladi $\backslash mathcal\; V(X)$- bo'sh joy, ustiga cho'zilgan bir guruh $X$.

Chiziqli qobiq $\backslash mathcal\; V(X)$ dan elementlarning turli chekli quyi tizimlarining barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalaridan iborat $X$. Xususan, agar $X$ u cheklangan to'plamdir $\backslash mathcal\; V(X)$ elementlarning barcha chiziqli birikmalaridan iborat $X$. Shunday qilib, nol vektor har doim chiziqli korpusga tegishli.

Agar $X$ chiziqli mustaqil toʻplam boʻlsa, u asos boʻladi $\backslash mathcal\; V(X)$ va shu bilan uning hajmini belgilaydi.

Misollar

• Yagona elementi nolga teng bo'lgan nol bo'shliq.
• Barcha funktsiyalar maydoni $X\backslash to\; F$ cheklangan tayanch bilan kardinallikka teng o'lchamdagi vektor fazosini hosil qiladi $X$.
• Haqiqiy sonlar maydonini ratsional sonlar maydoni ustidagi kontinuum o'lchovli vektor fazosi sifatida ko'rish mumkin.
• Har qanday maydon o'zidan yuqorida joylashgan bir o'lchovli bo'shliqdir.

Qo'shimcha tuzilmalar

Shuningdek qarang

"Vektor maydoni" maqolasi haqida sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Gelfand I. M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. 5-nashr. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Chiziqli algebra va geometriya. 2-nashr. - M.: Nauka, 1986. - 304 b.
• Kostrikin A.I. Algebraga kirish. 2-qism: Chiziqli algebra. - 3-chi. - M.: Nauka., 2004. - 368 b. - (Universitet darsligi).
• Maltsev A.I. Chiziqli algebra asoslari. - 3-chi. - M.: Nauka, 1970. - 400 b.

• Postnikov M.M. Chiziqli algebra (Geometriyadan ma’ruzalar. II semestr). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 b.
• Strang G. Chiziqli algebra va uning qo‘llanilishi. - M.: Mir, 1980. - 454 b.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Chiziqli algebra. 6-nashr. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 b. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Chekli o'lchovli vektor fazolar. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 b.
• Faddeev D.K. Algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - Sankt-Peterburg. : Lan, 2007. - 416 b.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Chiziqli algebra va geometriya. - 1-chi. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 b.
• Shreyer O., Sperner G. Geometrik taqdimotda chiziqli algebraga kirish = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (nemis tilidan tarjimasi). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 b.

Vektorlar va matritsalar Vektorlar Asosiy tushunchalar Vektorlarning turlari Vektorlar ustida amallar Bo'shliqlar turlari Matritsalar Asosiy tushunchalar Boshqa

Vektor fazosini tavsiflovchi parcha

Kutuzov saflar bo'ylab yurib, vaqti-vaqti bilan to'xtab, turk urushidan tanish bo'lgan ofitserlarga, ba'zan esa askarlarga bir necha yaxshi so'zlar aytdi. Oyoq kiyimlariga qarab, u afsus bilan bir necha marta bosh chayqadi va avstriyalik generalga shunday ifoda bilan ishora qildiki, u bunda hech kimni ayblamaganga o'xshaydi, lekin u qanchalik yomon ekanini ko'rmay qololmadi. Har safar polk komandiri bosh qo'mondonning polk haqidagi so'zini o'tkazib yuborishdan qo'rqib, oldinga yugurdi. Kutuzovning orqasida, har qanday zaif so'z eshitiladigan masofada, o'z mulozimlaridagi 20 ga yaqin odam yurishdi. Murojaatchilar o'zaro gaplashib, ba'zan kulishdi. Chiroyli ad'yutant bosh qo'mondonga eng yaqin yurdi. Bu knyaz Bolkonskiy edi. Uning yonida baland bo'yli, nihoyatda semiz, mehribon va jilmayib turgan kelishgan chehrali, nam ko'zli o'rtog'i Nesvitskiy yurardi; Nesvitskiy uning yonida ketayotgan qora tanli gusar ofitseridan hayajonlanib kulishdan o‘zini zo‘rg‘a tiya oldi. Gussar ofitser jilmay, qadalgan ko‘zlari ifodasini o‘zgartirmay, polk komandirining orqa tomoniga jiddiy chehra bilan qaradi va uning har bir harakatiga taqlid qildi. Har safar polk komandiri irkitib, oldinga egilganida, xuddi shunday, xuddi shunday, hussar ofitser irkitib, oldinga egilib turardi. Nesvitskiy kulib, boshqalarni kulgili odamga qarashga undadi.
Kutuzov sekin va sekin o'tib, xo'jayiniga qarab, rozetkadan chiqqan minglab ko'zlarning yonidan o'tdi. 3-rotaga yetib borib, to'satdan to'xtadi. Murojaatchilar bu to'xtashni kutmay, beixtiyor unga qarab harakatlanishdi.
- Oh, Timoxin! – dedi bosh qo‘mondon ko‘k shinel uchun qiynalgan qizil burunli kapitanni tanidi.
Polk komandiri unga tanbeh berganida, Timoxin cho'zilganidan ko'ra ko'proq cho'zish mumkin emasdek tuyuldi. Ammo shu payt bosh qo‘mondon unga murojaat qildi, kapitan o‘rnidan turdi, shunday tuyuldiki, agar bosh qo‘mondon unga bir oz ko‘proq qarasa, kapitan bunga dosh berolmasdi; va shuning uchun Kutuzov, shekilli, o'z pozitsiyasini tushunib, aksincha, kapitanga eng yaxshisini tilab, shoshilib yuz o'girdi. Kutuzovning to'la, yarasi buzilgan yuzida deyarli sezilmaydigan tabassum paydo bo'ldi.
"Yana bir Izmailovo o'rtoq", dedi u. - Jasur ofitser! Siz bundan mamnunmisiz? – so‘radi Kutuzov polk komandiridan.
Va polk komandiri xuddi oynadagidek, o'ziga ko'rinmas, hussar ofitserida titrab, oldinga chiqdi va javob berdi:
- Men juda mamnunman, Janobi Oliylari.
"Biz hammamiz zaif emasmiz", dedi Kutuzov jilmayib, undan uzoqlashdi. “U Bakxga sadoqatli edi.
Polk komandiri bunga o'zini aybdor deb qo'rqib, hech narsaga javob bermadi. O'sha paytda ofitser kapitanning qizil burni va qorni qisilgan yuzini payqadi va uning yuziga va pozasiga shunchalik taqlid qildiki, Nesvitskiy kulishni to'xtata olmadi.
Kutuzov orqasiga o'girildi. Ofitser yuzini xohlagancha boshqarishi aniq edi: Kutuzov o'girilib o'girilishi bilan ofitser jilmayishga muvaffaq bo'ldi va shundan so'ng eng jiddiy, hurmatli va begunoh ifodani oldi.
Uchinchi kompaniya oxirgi edi va Kutuzov bu haqda o'yladi, shekilli, nimanidir esladi. Knyaz Andrey o'z mulozimlaridan chiqib, jimgina frantsuz tilida dedi:
- Siz ushbu polkda lavozimi tushirilgan Doloxov haqida eslatma berishni buyurdingiz.
- Doloxov qayerda? — soʻradi Kutuzov.
Askarning kulrang paltosini kiygan Doloxov chaqirilishini kutmadi. Oldindan tiniq ko'k ko'zlari sarg'ish askarning nozik qiyofasi chiqdi. Bosh qo‘mondonning oldiga kelib, uni qorovulga qo‘ydi.
- Talab? – so‘radi Kutuzov qovog‘ini biroz chimirib.
"Bu Doloxov", dedi knyaz Andrey.
- A! - dedi Kutuzov. "Umid qilamanki, bu dars sizni tuzatadi, yaxshi xizmat qiladi." Rabbiy rahmdildir. Va agar bunga loyiq bo'lsangiz, men sizni unutmayman.
Moviy, tiniq ko‘zlar bosh qo‘mondonga xuddi polk komandiriga bo‘ysunmay qaradi, go‘yo ular o‘z ifodalari bilan bosh qo‘mondonni askardan ajratib turgan qurultoy pardasini yirtib tashlayotgandek edi.
- Men bir narsani so'rayman, Janobi Oliylari, - dedi u o'zining jarangdor, qat'iyatli va shoshilmaydigan ovozida. "Iltimos, menga aybimni o'zgartirish va imperator va Rossiyaga sodiqligimni isbotlash uchun imkoniyat bering."
Kutuzov yuz o'girdi. Uning ko'zlarida xuddi kapitan Timoxindan yuz o'girgandagidek tabassum paydo bo'ldi. U yuz o'girdi va go'yo Doloxov unga aytgan hamma narsani va unga aytadigan hamma narsani uzoq vaqtdan beri bilganini, bularning barchasi uni zeriktirib qo'yganini va bularning hammasi emasligini bildirmoqchi bo'lgandek, qichqirdi. umuman unga kerak bo'lgan narsa. U ortiga o‘girilib, aravacha tomon yo‘l oldi.
Polk kompaniyalar bo'lib tarqalib ketdi va Braunaudan unchalik uzoq bo'lmagan tayinlangan kvartallarga yo'l oldi, u erda ular poyabzal kiyish, kiyinish va qiyin yurishlardan keyin dam olishga umid qilishdi.
- Menga da'vo qilmaysizmi, Proxor Ignatich? - dedi polk komandiri 3-rotani aylanib, o'sha joyga qarab harakatlanib, uning oldida ketayotgan kapitan Timoxinga yaqinlashdi. Polk komandirining yuzida xursandchilik bilan yakunlangan tekshiruvdan so'ng cheksiz quvonch paydo bo'ldi. - Qirollik xizmati... mumkin emas... boshqa safar frontda tugatasiz... Avval uzr so'rayman, meni bilasiz... Men sizga katta rahmat aytdim! - Va u qo'lini rota komandiriga uzatdi.
- Rahm-shafqat uchun, general, jur'at etamanmi! — deb javob qildi kapitan, burni bilan qizarib, jilmayib, Ismoilning dumbasi ostidagi ikkita old tishlari yo'qligini tabassum bilan ochib berdi.
- Ha, janob Doloxovga ayting, men uni unutmayman, xotirjam bo'lsin. Ha, iltimos, ayting-chi, men uning ahvolini, o'zini qanday tutayotganini so'rashni xohlardim. Va tamom…
"U o'z xizmatida juda xizmat qiladi, Janobi Oliylari ... lekin ijarachi ..." dedi Timoxin.
- Nima, qanday xarakter? – so‘radi polk komandiri.
— Janobi Oliylari bir necha kundan beri, — dedi kapitan, — u aqlli, bilimdon va mehribon ekan. Bu hayvon. Polshada bir yahudiyni o‘ldirdi, iltimos...
- Xo'sh, ha, - dedi polk komandiri, - biz hali ham baxtsizlikka uchragan yigitga achinishimiz kerak. Axir, ajoyib aloqalar... Demak, siz...
"Men tinglayapman, Janobi Oliylari", dedi Timoxin jilmayib, xo'jayinning istaklarini tushungandek tuyuldi.
- Ha Ha.
Polk komandiri Doloxovni safda topdi va otini jilovladi.
"Birinchi vazifadan oldin, epauletlar", dedi u.
Doloxov atrofga qaradi, hech narsa demadi va istehzoli jilmaygan og'zining ifodasini o'zgartirmadi.
- Yaxshi, - davom etdi polk komandiri. "Odamlarning har biri mendan bir stakan aroq olishdi", dedi u askarlar eshitishi uchun. - Hammaga rahmat! Xudoga shukur! - Va u kompaniyani quvib o'tib, boshqasiga o'tdi.
“Xo'sh, u haqiqatan ham yaxshi odam; "Siz u bilan birga xizmat qilishingiz mumkin", dedi qo'l ostidagi Timoxin uning yonida ketayotgan ofitserga.
“Bir so‘z, yuraklar shohi!... (polk komandiri qalblar podshosi laqabini olgan edi), – dedi podpolkovnik kulib.
Ko‘rikdan so‘ng hokimiyatning shodlik kayfiyati askarlarga tarqaldi. Kompaniya quvnoq yurdi. Har tomondan askarlar ovozi eshitilardi.
- Ular nima deyishdi, egri Kutuzov, bir ko'z haqida?
- Aks holda, yo'q! Mutlaqo qiyshiq.
-Yo'q... uka, ko'zlari sizdan kattaroq. Etik va tuklar - men hamma narsani ko'rib chiqdim ...
-Qanday u, ukam, oyoqlarimga qarasin... mayli! O'ylab ko'ring…
- Va boshqa avstriyalik u bilan xuddi bo'r bilan bulg'angandek edi. Un kabi, oq. Men choy, ular o'q-dorilarni qanday tozalashadi!
- Nima, Fedeshou!... jang boshlanganda yaqinroq turding, dedimi? Ularning hammasi Bunapartening o'zi Brunovoda turishini aytishdi.
- Bungaparte arziydi! u yolg'on gapiryapti, ahmoq! U nimani bilmaydi! Endi Prussiya isyon ko'tarmoqda. Shuning uchun avstriyalik uni tinchlantiradi. U tinchlik o'rnatishi bilanoq, Bunaparte bilan urush boshlanadi. Aks holda, deydi u, Bunaparte Brunovoda turibdi! Bu uning ahmoq ekanligini ko'rsatadi. Ko'proq tinglang.
- Qarang, la'nat oluvchilarga! Beshinchi kompaniya, qarang, allaqachon qishloqqa aylanmoqda, ular bo'tqa pishiradi va biz hali ham bu erga etib bormaymiz.
- Menga kraker bering, jin ursin.
- Kecha menga tamaki berdingmi? Bo‘ldi, uka. Xo'sh, boramiz, Xudo siz bilan bo'lsin.
"Hech bo'lmaganda ular to'xtashdi, aks holda biz yana besh milya ovqat yemaymiz."
- Nemislar bizga aravacha sovg'a qilgani yaxshi edi. Borganingizda, biling: bu muhim!
- Mana, uka, odamlar butunlay quturgan. U erda hamma narsa qutbga o'xshardi, hamma narsa rus tojidan edi; va endi, birodar, u butunlay nemis bo'lib ketdi.
- Qo'shiq mualliflari oldinga! – kapitanning faryodi eshitildi.
Yigirma kishi esa kompaniya oldidan turli qatorlardan yugurib chiqishdi. Nog‘orachi qo‘shiq kuylay boshladi va qo‘shiq mualliflariga yuzlandi va qo‘lini silkitib, cho‘zilgan askar qo‘shig‘ini boshladi: “Tong otmadimi, quyosh otdi...” degan so‘zlar bilan tugaydi: “Keyin, birodarlar, biz va Kamenskiyning otasi uchun shon-sharaf bo'ladi...” Bu qo'shiq Turkiyada yaratilgan va hozir Avstriyada kuylangan, faqat “Kamenskiyning otasi” o'rniga quyidagi so'zlar kiritilgan: “Kutuzovning ota."
Bu so‘nggi so‘zlarni askarday uzib, qo‘llarini silkitib, go‘yo yerga nimadir uloqtirayotgandek, qirq yoshlardagi quruq va kelishgan askar nog‘orachi askar qo‘shiq mualliflariga qattiq tikilib, ko‘zlarini yumdi. Keyin hammaning ko‘zlari unga qadalganiga ishonch hosil qilib, u ikki qo‘li bilan qandaydir ko‘rinmas, qimmatli narsani boshi tepasiga ko‘tarib, bir necha soniya ushlab turganday bo‘ldi va birdan uni uloqtirdi:
Oh, sen, mening soyabonim, mening soyabonim!
“Mening yangi kanopim...” degan yigirmata ovoz yangradi, qoshiq ushlagich esa o‘q-dorisining og‘irligiga qaramay, tezda oldinga sakrab, kompaniya oldida orqaga o‘tib, yelkasini qimirlatib, qoshiqlari bilan kimnidir qo‘rqitdi. Qo‘shiq ta’sirida qo‘llarini silkitgan askarlar beixtiyor oyoqlarini urib, uzoq qadamlar bilan yurishdi. Kompaniya ortidan g'ildiraklarning shovqini, buloqlarning xirillagani va otlarning oyoq osti qilingani eshitildi.
Kutuzov va uning mulozimlari shaharga qaytayotgan edi. Bosh qo‘mondon xalqning bemalol yurishini davom ettirishga ishora berdi, qo‘shiq sadolaridan, raqsga tushayotgan askar va askarlarning ko‘z o‘ngida uning yuzida va barcha mulozimlarining yuzlarida mamnuniyat namoyon bo‘ldi. kompaniya quvnoq va chaqqon yuradi. Ikkinchi qatorda, vagon kompaniyalarni bosib o'tgan o'ng qanotdan biri beixtiyor ko'k ko'zli askar Doloxovning ko'ziga tushdi, u ayniqsa tez va nafislik bilan qo'shiq ritmida yurib, yuzlariga qaradi. shunday ifoda bilan o'tayotganlar, go'yo u kompaniya bilan bu vaqtda bormagan har bir kishi uchun achinayotgandek. Kutuzovning mulozimlaridan bo'lgan gusar kornet polk komandiriga taqlid qilib, vagonning orqasiga tushib, Doloxovga yaqinlashdi.
Bir vaqtlar Sankt-Peterburgdagi Gussar korneti Jerkov Doloxov boshchiligidagi zo'ravonlik jamiyatiga tegishli edi. Chet elda Jerkov Doloxov bilan askar sifatida uchrashdi, lekin uni tan olishni zarur deb hisoblamadi. Endi, Kutuzovning lavozimi tushirilgan odam bilan suhbatidan so'ng, u eski do'stining quvonchi bilan unga murojaat qildi:
- Aziz do'stim, yaxshimisiz? – dedi u qo‘shiq sadosida otining qadamini shirkat qadamiga moslab.
- Men shundayman? - Ko'rib turganingizdek, sovuq javob berdi Doloxov.
Jonli qo'shiq Jerkov gapirgan xushchaqchaqlik ohangiga va Doloxovning ataylab sovuqqonligiga alohida ahamiyat berdi.
- Xo'sh, xo'jayiningiz bilan qanday munosabatdasiz? – so‘radi Jerkov.
- Hech narsa, yaxshi odamlar. Bosh qarorgohga qanday kirgansiz?
- Ishga yuborilgan, navbatchi.
Ular jim turishdi.
“O‘ng yengidan lochinni qo‘yib yubordi”, dedi qo‘shiq beixtiyor quvnoq, quvnoq tuyg‘uni uyg‘otib. Ularning suhbati, ehtimol, qo‘shiq sadosida gapirmaganida, boshqacha bo‘lardi.
- Avstriyaliklarning kaltaklangani rostmi? — soʻradi Doloxov.
“Iblis ularni biladi”, deyishadi.
"Men xursandman", deb javob berdi Doloxov, qo'shiq talab qilganidek, qisqa va aniq.
"Xo'sh, kechqurun bizga keling, fir'avnni garovga qo'yasiz", dedi Jerkov.
- Yoki pulingiz ko'pmi?
-Keling.
- Bu taqiqlangan. Men qasam ichdim. Ular buni qilmaguncha men ichmayman yoki qimor o'ynamayman.
- Xo'sh, birinchi narsaga ...
- U yerda ko'ramiz.
Ular yana jim bo'lishdi.
"Biror narsa kerak bo'lsa kiring, shtab-kvartirada hamma yordam beradi ..." dedi Jerkov.
Doloxov jilmayib qo'ydi.
- Xavotir olmang yaxshisi. Men kerakli narsani so'ramayman, o'zim olaman.
- Xo'sh, men juda ...
- Xo'sh, men ham.
- Xayr. Salomat bo'ling.
- Salomat bo'l…
... va baland va uzoq,
Uy tomonda...
Jerkov hayajonlanib, uch marta tepib, qaysi biri bilan boshlashni bilmay, yugurib ketdi va otga shtanglarini tekkizdi, u ham qo‘shiq sadosi ostida kompaniyadan o‘zib ketdi va aravaga yetib oldi.

Ko'rib chiqishdan qaytib, Kutuzov avstriyalik general hamrohligida o'z kabinetiga kirdi va ad'yutantni chaqirib, kelgan qo'shinlarning holati bilan bog'liq ba'zi hujjatlarni va ilg'or armiyaga qo'mondonlik qilgan archduke Ferdinanddan xatlarni berishni buyurdi. . Knyaz Andrey Bolkonskiy zarur hujjatlar bilan bosh qo‘mondonning kabinetiga kirdi. Kutuzov va avstriyalik Gofkriegsrat a'zosi stol ustidagi reja oldida o'tirishdi.
- Oh... - dedi Kutuzov Bolkonskiyga qarab, xuddi shu so'z bilan ad'yutantni kutishga taklif qilgandek va frantsuz tilida boshlagan suhbatini davom ettirdi.
"Men faqat bir narsani aytyapman, general", dedi Kutuzov yoqimli ifoda va intonatsiya bilan, bu sizni har bir bemalol aytilgan so'zni diqqat bilan tinglashga majbur qildi. Kutuzovning o'zi o'zini tinglashdan zavqlangani aniq edi. "Men faqat bir narsani aytaman, general, agar ish mening shaxsiy xohishimga bog'liq bo'lsa, u holda imperator Frantsning irodasi allaqachon amalga oshirilgan bo'lar edi." Men archdukega allaqachon qo'shilgan bo'lardim. Mening sharafimga ishoning, armiyaning oliy qo‘mondonligini o‘zimdan ko‘ra bilimdon va malakali, Avstriyada ko‘p bo‘lgan generalga topshirish va bu og‘ir mas’uliyatdan voz kechish shaxsan men uchun baxt bo‘lardi. Ammo sharoit bizdan kuchliroq, general.
Kutuzov shunday degandek jilmayib qo'ydi: "Siz menga ishonmaslikka haqingiz bor, hatto menga ishonasizmi yoki yo'qmi, menga umuman ahamiyat bermayman, lekin buni menga aytishga hech qanday sabab yo'q. Va bu butun nuqta."
Avstriyalik general norozi ko'rindi, ammo Kutuzovga xuddi shu ohangda javob qaytara olmadi.
– Aksincha, – dedi u g‘azabli va g‘azabli ohangda, o‘zi aytgan so‘zlarning xushomadgo‘y ma’nosiga teskari, – aksincha, Janobi Oliylarining umumiy ishdagi ishtiroki oliy hazratlari tomonidan yuksak qadrlanadi; Ammo bizning fikrimizcha, hozirgi sekinlashuv shonli rus qo'shinlari va ularning bosh qo'mondonlarini janglarda yig'ishga odatlangan marralardan mahrum qiladi, - dedi u o'zining aftidan tayyorlangan iborasini tugatdi.
Kutuzov tabassumini o'zgartirmasdan ta'zim qildi.
“Va men shunchalik aminmanki, oliy hazratlari archgertsog Ferdinand meni sharaflagan oxirgi maktubga asoslanib, general Mak kabi mohir yordamchining qo‘mondonligi ostidagi Avstriya qo‘shinlari hozirda hal qiluvchi g‘alabaga erishdilar, deb o‘ylayman. Bizning yordamimiz kerak, - dedi Kutuzov.
General qoshlarini chimirdi. Avstriyaliklarning mag'lubiyati haqida hech qanday ijobiy xabar bo'lmasa-da, umumiy noqulay mish-mishlarni tasdiqlovchi juda ko'p holatlar mavjud edi; va shuning uchun Kutuzovning avstriyaliklarning g'alabasi haqidagi taxmini masxara bilan juda o'xshash edi. Ammo Kutuzov muloyimlik bilan jilmayib qo'ydi, lekin u buni o'z zimmasiga olishga haqli ekanligini aytdi. Darhaqiqat, Mac armiyasidan olgan so'nggi maktubi unga g'alaba va armiyaning eng foydali strategik pozitsiyasi haqida xabar berdi.
"Mana bu xatni menga bering", dedi Kutuzov knyaz Andreyga o'girilib. - Agar ko'rsangiz. - Kutuzov esa lablarining uchida istehzoli tabassum bilan avstriyalik generalga archgertsog Ferdinandning maktubidan quyidagi parchani nemis tilida o‘qib berdi: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Mithin auch jeden Augenblick, Wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit wor ganzer alabachtlite wenn. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, va sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, shuning uchun.” [Bizda juda jamlangan kuchlar bor, 70 000 ga yaqin odam, agar u Lexdan o'tib ketsa, dushmanga hujum qilishimiz va uni mag'lub etishimiz mumkin. Biz allaqachon Ulmga egalik qilganimiz sababli, biz Dunayning ikkala qirg'og'ini qo'mondonlik huquqini saqlab qolishimiz mumkin, shuning uchun har daqiqada, agar dushman Lexni kesib o'tmasa, Dunayni kesib o'tib, aloqa liniyasiga shoshilib, pastda esa Dunayni orqaga kesib o'ting. dushmanga, agar u butun kuchini sodiq ittifoqchilarimizga qaratishga qaror qilsa, uning niyati amalga oshishiga yo'l qo'ymang. Shunday qilib, biz imperator rus armiyasi to'liq tayyor bo'lgan vaqtni xursandchilik bilan kutamiz va keyin birgalikda dushmanga munosib taqdirni tayyorlash imkoniyatini osongina topamiz.

VEKTOR SPACE, K maydoni ustidagi chiziqli fazo, qo'shimcha ravishda yozilgan Abeliy E guruhi bo'lib, unda elementlarning skalerlar bilan ko'payishi aniqlanadi, ya'ni xaritalash.

K × E → E: (l, x) → lx,

quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi (x, y ∈ E, l, m, 1 ∈ K):

1) l(x + y) = lx + ly,

2) (l + m)x = lx + mx,

3) (lm)x = l(mx),

4) 1 ⋅ x = x.

Vektor fazoning quyidagi muhim xossalari (0 ∈ E) 1)-4 aksiomalardan kelib chiqadi:

5) l ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

V. p.ning elementlari deb ataladi. VP nuqtalari yoki vektorlar va K maydonining elementlari skalardir.

Matematika va ilovalardagi eng katta qo'llash kompleks sonlar maydoni ℂ yoki haqiqiy sonlarning ℝ maydonida amalga oshiriladi; ular deyiladi mos ravishda murakkab v. p. yoki real v. p.

v. p. aksiomalari ma'lum algebraik narsalarni ochib beradi. ko'p funktsiyalar sinflarining xususiyatlari tahlilda tez-tez uchraydi. Vertikal fazolar misollaridan eng asosiysi va eng qadimgisi n o'lchovli Evklid bo'shliqlaridir. Deyarli bir xil darajada muhim misollar ko'p funktsiyali bo'shliqlardir: uzluksiz funktsiyalar fazosi, o'lchanadigan funktsiyalar fazosi, yig'iladigan funktsiyalar fazosi, analitik funktsiyalar fazosi. funksiyalar, cheklangan o'zgaruvchan funksiyalar fazosi.

V. fazo tushunchasi halqa ustidagi modul tushunchasining alohida holidir, yaʼni v. fazo maydon ustidagi unitar moduldir. Kommutativ bo'lmagan egilish maydoni ustidagi unitar modul ham deyiladi. tana ustidagi vektor maydoni; bunday to'lqin shakllari nazariyasi ko'p jihatdan maydon ustidagi to'lqin shakllari nazariyasiga qaraganda murakkabroq.

Vektor fazolar bilan bog’liq bo’lgan muhim muammolardan biri vektor fazolar geometriyasini o’rganish, ya’ni vektor fazolardagi chiziqlar, vektor fazolardagi tekis va qavariq to’plamlar, vektor fazolarning pastki fazolari, vektor fazolardagi asoslarni o’rganishdir.V. p.

Vektor pastki fazo yoki oddiygina pastki fazo V. p. E maydoni ustidagi K deyiladi. a kichik to'plami F ⊂ E skaler bilan qo'shish va ko'paytirish amallari ostida yopiq. O'z ichiga olgan bo'shliqdan alohida ko'rib chiqiladigan pastki fazo bir xil maydon ustidagi bo'shliqdir.

Ikkita x va y B nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa deyiladi. z = lx + (1 - l)y, l ∈ K ko'rinishdagi z ∈ E elementlar to'plami. G ∈ E to'plam deyiladi. tekis to'plam, agar u har qanday ikkita nuqta bilan birga ushbu nuqtalardan o'tuvchi chiziqni o'z ichiga oladi. Har bir tekis to'plam ma'lum bir pastki fazodan siljish (parallel tarjima) yordamida olinadi: G = x + F; bu shuni anglatadiki, har bir z ∈ G elementi z = x + y, y ∈ F ko'rinishlarida yagona tarzda ifodalanishi mumkin va bu tenglik F va G o'rtasida birma-bir moslikni ta'minlaydi.

Berilgan F kichik fazoning barcha siljishlari F x = x + F to'plami K ustidagi V. fazoni hosil qiladi, deyiladi. E/F faktor maydoni, agar operatsiyalarni quyidagicha aniqlasak:

F x F y = F x+y ; lF x = F lx, l ∈ K.

M = (x a) a∈A E dan ixtiyoriy vektorlar to‘plami bo‘lsin; x a ∈ E vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi. formula bilan aniqlangan x vektori

x = ∑ a l a x a , l a ∈ K,

unda faqat cheklangan sonli koeffitsientlar nolga teng emas. Berilgan M to'plam vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plami M o'z ichiga olgan eng kichik pastki fazo bo'lib, deyiladi. to'plamning chiziqli oralig'i M. Chiziqli birikma deyiladi. agar barcha koeffitsientlar l a nolga teng bo'lsa, ahamiyatsiz. M to'plami deyiladi. chiziqli mustaqil to'plam, agar M dan vektorlarning barcha notrivial chiziqli birikmalari nolga teng bo'lmasa.

Har qanday chiziqli mustaqil to'plam ma'lum bir maksimal chiziqli mustaqil M0 to'plamida, ya'ni E dan biron bir element qo'shilgandan so'ng chiziqli mustaqil bo'lishni to'xtatadigan to'plamda joylashgan.

Har bir x ∈ E elementi maksimal chiziqli mustaqil to'plam elementlarining chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin:

x = ∑ a l a x a, x a ∈ M 0.

Shu munosabat bilan maksimal chiziqli mustaqil to'plam deyiladi. V. p.ning asosi (algebraik asos). Berilgan VP ning barcha asoslari bir xil kardinallikka ega, deb ataladi. o'lchov V. p. Agar bu kuch cheklangan bo'lsa, fazo deyiladi. chekli oʻlchovli V. p.; aks holda deyiladi cheksiz o'lchovli V. p.

K maydonini K maydoni ustidagi bir o'lchovli vertikal fazo deb hisoblash mumkin; bu V. bandining asosi bir elementdan iborat; u noldan boshqa har qanday element bo'lishi mumkin. Bazisi n ta elementdan iborat bo'lgan chekli o'lchovli vektor deyiladi. n o'lchovli fazo.

Haqiqiy va murakkab qavariq to‘plamlar nazariyasida qavariq to‘plamlar nazariyasi muhim o‘rin tutadi. Haqiqiy V.p.dagi M toʻplam deyiladi. qavariq to‘plam bo‘ladi, agar uning x, y nuqtalarining istalgan ikkitasi bilan birga tx + (1 - t)y, t ∈ segmenti ham M ga tegishli bo‘lsa.

Vertikal fazolar nazariyasida katta o'rinni vertikal fazolardagi chiziqli funksionallar nazariyasi va ular bilan bog'liq ikkilik nazariyasi egallaydi. E ning K maydoni ustidagi CV bo'lsin. E dagi chiziqli funksional deyiladi. qo'shimchali va bir jinsli xaritalash f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(lx) = lf(x).

E dagi barcha chiziqli funksiyalarning E* to‘plami amallarga nisbatan K maydonida bo‘sh joy hosil qiladi.

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (lf)(x) = lf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Bu V.p. deb ataladi. konjugat (yoki ikkilamchi) bo'shliq (E ga). Bir qator geometrik nazariyalar konjugat fazo tushunchasi bilan bog'liq. shartlari. D ⊂ E (mos ravishda G ⊂ E*) bo‘lsin; D to'plamning annigilyatori yoki D to'plamning ortogonal to'ldiruvchisi (mos ravishda G to'plam) deyiladi. bir guruh

D ⊥ = (f ∈ E*: barcha x ∈ D uchun f(x) = 0)

(mos ravishda G ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 barcha f ∈ G) uchun); bu yerda D ⊥ va G ⊥ mos ravishda E* va E boʻshliqlarining pastki fazolari.Agar f E* ning nolga teng boʻlmagan elementi boʻlsa, (f) E ning maksimal toʻgʻri chiziqli pastki fazosi deb ataladi. ba'zan gipersubbosmos; bunday pastki fazoning siljishi deyiladi. E da giperplane; Har bir giperplanning shakli bor

(x: f(x) = l), bu erda f ≠ 0, f ∈ E*, l ∈ K.

Agar F B. p. E ning pastki fazosi bo'lsa, F* va F o'rtasida tabiiy izomorfizmlar mavjud.

E*/F ⊥ va (E/F)* va F ⊥ orasida.

G ⊂ E* kichik to‘plami chaqiriladi Agar uning annihilatori faqat nol elementni o'z ichiga olsa, E ga nisbatan umumiy kichik to'plam: G ⊥ = (0).

Har bir chiziqli mustaqil to'plam (x a ) a∈A ⊂ E konjugat to'plam (f a ) a∈A ⊂ E* bilan bog'lanishi mumkin, ya'ni. shunday to'plamki, f a (x b) = d ab (Kronecker belgisi) barcha a, b ∈ A uchun. Juftlar to'plami (x a, f a) deyiladi. bioortogonal tizim bilan. Agar (x a) to‘plam E da bazis bo‘lsa, (f a) to‘liq E dan yuqori bo‘ladi.

Chiziqli o'zgarishlar nazariyasida muhim o'rinni chiziqli o'zgarishlarni chiziqli o'zgartirish nazariyasi egallaydi.E 1 va E 2 bir xil K maydonida ikkita chiziqli o'zgarishlar bo'lsin. Chiziqli xaritalash yoki chiziqli operator T, chiziqli o'zgarishlar transformatsiya.E 1 in V. p. E 2 (yoki E 1 dan E 2 gacha chiziqli operator), chaqirilgan. E 1 dan E 2 gacha bo'lgan fazoni qo'shimcha va bir hil xaritalash:

T(x + y) = Tx + Ty; T(lx) = lT(x); x, y ∈ E 1.

Ushbu kontseptsiyaning alohida holati chiziqli funktsional yoki E 1 dan K gacha chiziqli operatordir. Chiziqli xaritalash, masalan, B. p. E ning E/F bo'linma fazosiga tabiiy xaritasi bo'lib, u bilan bog'lanadi. har bir element x ∈ E a tekis to'plam F x ∈ E/ F. Barcha chiziqli operatorlarning T: E 1 → E 2 to‘plami ℒ(E 1, E 2) amallarga nisbatan V. p.ni hosil qiladi.

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (lT)x = lTx; x ∈ E 1; l ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ (E 1, E 2).

Ikki V. element E 1 va E 2 chaqirdi. v. bandlari uchun izomorf bo‘ladi, agar ularning elementlari o‘rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni amalga oshiradigan chiziqli operator (“izomorfizm”) bo‘lsa. E 1 va E 2 izomorf bo'ladi, agar ularning asoslari bir xil kardinallikka ega bo'lsa.

E 1 dan E 2 ga teng chiziqli operator T bo'lsin. Konjugat chiziqli operator yoki T ga nisbatan qo'sh chiziqli operator deyiladi. chiziqli operator T* E* 2 dan E* 1 gacha, tenglik bilan aniqlanadi

(T*ph)x = ph(Tx) barcha x ∈ E 1, ph ∈ E* 2 uchun.

T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ munosabatlari amal qiladi, bu T* izomorfizm ekanligini bildiradi, agar T izomorfizm bo'lsa.

Vertikal fazolarni ikki chiziqli xaritalash va ko‘p chiziqli xaritalash nazariyasi vertikal fazolarni chiziqli tasvirlash nazariyasi bilan chambarchas bog‘liq.

Chiziqli xaritalash nazariyasi muammolarining muhim guruhini chiziqli chizmalarni davom ettirish masalalari tashkil etadi. F V ning pastki fazosi bo'lsin. p. E 1, E 2 E 1 bilan bir xil maydon ustidagi chiziqli fazo va T 0 F ning E 2 ga chiziqli xaritasi bo'lsin; butun E 1 bo'ylab aniqlangan va E 1 dan E 2 gacha bo'lgan chiziqli xarita bo'lgan T 0 xaritasining T kengaytmasini topish talab qilinadi. Bunday davom etish har doim mavjud, ammo funktsiyalarga qo'shimcha cheklovlar (VPdagi qo'shimcha tuzilmalar, masalan, topologiya yoki tartib munosabatlari bilan bog'liq) muammoni hal qilib bo'lmaydigan qilib qo'yishi mumkin. Davom masalasini yechishga misol qilib Han-Banax teoremasi va konusli fazolarda musbat funksionallarning davom etishi haqidagi teoremalarni keltirish mumkin.

Virtual amallar nazariyasining muhim bo'limi vektorlar ustida amallar nazariyasi, ya'ni ma'lum bo'lganlardan foydalangan holda yangi vektorlarni qurish usullaridir. Bunday operatsiyalarga misol qilib quyi bo'shliqni olish va pastki fazodan bo'sh joy hosil qilish bo'yicha mashhur operatsiyalarni keltirish mumkin. Boshqa muhim operatsiyalar - VP ning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi, to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti va tensor mahsuloti qurilishi.

(E a ) a∈I K maydoni ustidagi oʻzgaruvchan boʻshliqlar turkumi boʻlsin. E toʻplam - E a toʻplamlar koʻpaytmasi amallarni kiritish orqali K maydoni ustidagi vertikal boʻshliqlar oilasiga aylantirilishi mumkin.

(x a) + (y a) = (x a + y a); l(x a) = (lx a); l ∈ K; x a , y a ∈ E a , a ∈ I;

oldi V. p. E chaqirdi. V. p. E a ning bevosita mahsuloti va P a∈I E a bilan belgilanadi. V. p. E ning har biri uchun (a: x a ≠ 0) toʻplam chekli boʻlgan barcha toʻplamlardan (x a) tashkil topgan pastki fazosi deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi V. p. E a va S a E a yoki S a + E a bilan belgilanadi; Cheklangan miqdordagi atamalar uchun bu ta'riflar mos keladi; bu holda quyidagi belgi qo'llaniladi:

E 1, E 2 K maydoni ustidagi ikkita V. pozitsiyasi bo'lsin; E" 1, E" 2 - V ning umumiy pastki bo'shliqlari. p. E* 1, E* 2 va E 1 □ E 2 -B. n., uning asosi E 1 × E 2 makonining barcha elementlarining yig'indisiga ega. Har bir x □ y ∈ E 1 □ E 2 elementi b(f, g) = f(x)g(y) formulasiga ko‘ra E" 1 × E 2 bo‘yicha ikki chiziqli b = T(x, y) funksiya bilan bog‘langan. ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. X □ y ∈ E 1 □ E 2 bazis vektorlarining bunday xaritasi T B. p. E 1 □ E 2 ni B. p.ga chiziqli xaritalashgacha kengaytirilishi mumkin. E" 1 × E" 2 dagi barcha ikki chiziqli funksiyalarning. E 0 = T -1 (0) bo'lsin. V. E 1 va E 2 fazoning tenzor ko'paytmasi E 1 ○ E 2 = (E) omil fazosi deyiladi. 1 □ E 2)/E 0;x □ y elementining tasviri x ○ y bilan belgilanadi E 1 ○ E 2 vektor fazosi E 1 × E 2 dagi ikki chiziqli funksiyalarning vektor fazosiga izomorf (qarang Tensor koʻpaytmasi). vektor bo'shliqlari).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebraik tuzilmalar. Chiziqli va ko'p chiziqli algebra, trans. frantsuz tilidan, M., 1962; Raikov D. A., Vektor fazolari, M., 1962; Kun M. M., Normallashtirilgan chiziqli bo'shliqlar, trans. ingliz tilidan, M., 1961; , Edvard R., Funktsional tahlil, trans. ingliz tilidan, M., 1969; Halmos P., Cheklangan o'lchovli vektor fazolar, trans. ingliz tilidan, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Muammolarda chekli o'lchovli chiziqli tahlil, M., 1969.

M.I. Kadets.

Manbalar:

1. Matematik entsiklopediya. T. 1 (A - D). Ed. kengash: I. M. Vinogradov (bosh muharrir) [va boshqalar] - M., "Sovet entsiklopediyasi", 1977, 1152 stb. illusdan.

P maydon bo'lsin. a, b, ... O elementlari R qo'ng'iroq qilamiz skalyarlar.

Ta'rif 1. Sinf V ixtiyoriy xarakterdagi ob'ektlar (elementlar) , , , ... deyiladi maydon ustidagi vektor fazosi P, va V sinf elementlari deyiladi vektorlar, agar V “+” operatsiyasi va P dan skalerlarga ko‘paytirish amali ostida yopilgan bo‘lsa (ya’ni har qanday , OV +O uchun) V;"aO R aOV) va quyidagi shartlar bajariladi:

A 1: algebra - Abel guruhi;

A 2: har qanday a, bOR uchun, har qanday OV uchun a(b)=(ab) umumlashgan assotsiativ qonun;

A 3: har qanday a, bOR uchun, har qanday OV uchun, (a+b)= a+ b;

A 4: har qanday a uchun P dan, har qanday , V dan, a(+)=a+a (umumlashtirilgan taqsimot qonunlari);

A 5: har qanday V uchun 1 = bajariladi, bu erda 1 P maydonning birligi - birlik xususiyati.

P maydonining elementlarini skalyarlar, to‘plamning elementlarini esa V vektorlar deb ataymiz.

Izoh. Vektorni skalerga ko'paytirish V to'plamda ikkilik amal emas, chunki u P´V®V xaritalashdir.

Keling, vektor fazolarga misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol. Null (nol o'lchovli) vektor fazosi - fazo V 0 =() - bitta null vektordan iborat.

Va har qanday aOR a= uchun. Vektor fazo aksiomalarining qoniqarliligini tekshiramiz.

E'tibor bering, nol vektor fazosi asosan P maydoniga bog'liq. Shunday qilib, ratsional sonlar maydoni va haqiqiy sonlar maydoni ustidagi nol o'lchovli bo'shliqlar, garchi ular bitta nol vektordan iborat bo'lsa ham, har xil hisoblanadi.

2-misol. P maydonining o'zi P maydoni ustidagi vektor fazosidir. V=P bo'lsin. Vektor fazo aksiomalarining qoniqarliligini tekshiramiz. P maydon bo'lganligi sababli, P qo'shimchali Abel guruhi bo'lib, A 1 to'g'ri keladi. Pda ko'paytirishning qoniqarliligi tufayli A2 qondiriladi. A 3 va A 4 aksiomalari qo'shishga nisbatan ko'paytirishning taqsimlanishining P da amalga oshirilishi tufayli qanoatlantiriladi. P maydonida birlik elementi 1 bo'lgani uchun A 5 birlik xossasi qanoatlantiriladi. Shunday qilib, P maydoni P maydoni ustidagi vektor fazosidir.

3-misol. Arifmetik n o'lchovli vektor fazosi.

P maydon bo'lsin. V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i O P, i=1,…, n) toʻplamni koʻrib chiqaylik. V to'plamga vektorlarni qo'shish va vektorni skalerga ko'paytirish amallarini quyidagi qoidalarga muvofiq kiritamiz:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) O V, "aO P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

V to'plamning elementlari chaqiriladi n o'lchovli vektorlar. Ikki n o'lchovli vektorlar, agar ularning mos komponentlari (koordinatalari) teng bo'lsa, teng deyiladi. V ning P maydoni ustidagi vektor fazosi ekanligini ko rsatamiz. Vektorlarni qo shish va vektorni skalerga ko paytirish amallarining ta rifidan shu amallar ostida V yopilganligi kelib chiqadi. V ning elementlari qo'shilishi P maydon elementlarining qo'shilishiga kamayadi va P qo'shimchali abel guruhi bo'lganligi sababli, V qo'shimchali abel guruhidir. Bundan tashqari, =, bu erda 0 P maydonining noli, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Shunday qilib, A 1 qanoatlantiriladi. V dan elementni P dan elementga ko'paytirish P maydonining elementlarini ko'paytirishga kamayganligi sababli, u holda:

P ga ko'paytirishning assotsiativligi tufayli A 2 qondiriladi;

A 3 va A 4 ko'paytirishning P ga qo'shilishga nisbatan taqsimlanishi tufayli qondiriladi;

A 5 bajariladi, chunki 1 Î P P ga ko'paytirishga nisbatan neytral elementdir.

Ta'rif 2.(1) va (2) formulalar bilan aniqlangan amallar bilan V= P n to'plam P maydoni ustidagi arifmetik n o'lchovli vektor fazo deb ataladi.

Ma’ruza 6. Vektor fazosi.

Asosiy savollar.

1. Vektorli chiziqli fazo.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

3. Kosmosni yo'naltirish.

4. Vektorning bazis bo'yicha parchalanishi.

5. Vektor koordinatalari.

1. Vektorli chiziqli fazo.

Chiziqli amallar aniqlangan har qanday tabiatdagi elementlardan tashkil topgan to'plam: ikkita elementni qo'shish va elementni songa ko'paytirish deyiladi. bo'shliqlar, va ularning elementlari vektorlar bu fazo va geometriyadagi vektor kattaliklar bilan bir xil tarzda belgilanadi: . Vektorlar Bunday mavhum bo'shliqlar, qoida tariqasida, oddiy geometrik vektorlar bilan hech qanday umumiylikka ega emas. Mavhum bo'shliqlar elementlari funksiyalar, sonlar tizimi, matritsalar va boshqalar va muayyan holatda oddiy vektorlar bo'lishi mumkin. Shuning uchun bunday joylar odatda chaqiriladi vektor bo'shliqlari .

Vektor bo'shliqlari, Masalan, kollinear vektorlar to'plami, belgilangan V1 , koplanar vektorlar to'plami V2 , oddiy (haqiqiy fazo) vektorlari to'plami V3 .

Ushbu alohida holat uchun vektor fazoning quyidagi ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif 1. Vektorlar to'plami deyiladi vektor maydoni, agar to'plamning har qanday vektorlarining chiziqli birikmasi ham ushbu to'plamning vektori bo'lsa. Vektorlarning o'zi deyiladi elementlar vektor maydoni.

Nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham muhimroq narsa vektor fazosining umumiy (mavhum) tushunchasidir.

Ta'rif 2. Bir guruh R har qanday ikkita element va har qanday element uchun yig'indisi aniqlanadigan elementlar https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> deb ataladi. vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy, va uning elementlari vektorlar, agar vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa ( aksiomalar) :

1) qo'shimcha almashinish, ya'ni.gif" width="184" height="25">;

3) shunday element (nol vektor) mavjudki, har qanday https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif uchun width="45" height="20">.gif" width= " 99" balandlik "27">;

5) har qanday vektor va har qanday l soni uchun tenglik bajariladi;

6) har qanday vektorlar va har qanday raqamlar uchun λ Va µ tenglik to'g'ri: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> va har qanday raqamlar λ Va µ adolatli ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Vektor fazosini belgilaydigan eng oddiy aksiomalar quyidagilardan iborat: oqibatlari :

1. Vektor fazoda faqat bitta nol - element - nol vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har bir vektor bitta qarama-qarshi vektorga ega.

3. Har bir element uchun tenglik bajariladi.

4. Har qanday haqiqiy son uchun λ va nol vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" eni="145" balandligi="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> - tenglikni qanoatlantiruvchi vektor https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Shunday qilib, haqiqatan ham barcha geometrik vektorlar to'plami chiziqli (vektor) bo'shliqdir, chunki bu to'plamning elementlari uchun formulalangan aksiomalarni qanoatlantiradigan songa qo'shish va ko'paytirish amallari aniqlanadi.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

Vektor fazosining muhim tushunchalari asos va o'lchov tushunchalaridir.

Ta'rif. Fazoning istalgan vektorini chiziqli ifodalash mumkin bo'lgan, ma'lum tartibda olingan chiziqli mustaqil vektorlar to'plami deyiladi. asos bu bo'shliq. Vektorlar. Kosmos asosining tarkibiy qismlari deyiladi Asosiy .

Ixtiyoriy chiziqda joylashgan vektorlar to'plamining asosini ushbu chiziqqa bitta kollinear vektor deb hisoblash mumkin.

Samolyotda asos ma'lum bir tartibda olingan ushbu tekislikdagi ikkita kollinear bo'lmagan vektorni chaqiramiz https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Agar bazis vektorlari juft perpendikulyar (ortogonal) bo'lsa, bazis deyiladi ortogonal, va agar bu vektorlarning uzunligi birga teng bo'lsa, u holda bazis deyiladi ortonormal .

Kosmosdagi chiziqli mustaqil vektorlarning eng ko'p soni deyiladi o'lcham bu fazoning, ya'ni fazoning o'lchami bu fazoning bazis vektorlari soniga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, ushbu ta'riflarga ko'ra:

1. Bir o‘lchovli fazo V1 toʻgʻri chiziq boʻlib, asos dan iborat bitta kollinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.

3. Oddiy fazo uch o'lchamli fazodir V3 , uning asosini tashkil etadi uchta mos kelmaydigan vektorlar

Bu erdan ko'ramizki, chiziqdagi, tekislikdagi, real fazodagi bazis vektorlar soni geometriyada odatda chiziq, tekislik, fazoning o'lchamlari (o'lchamlari) soni deb ataladigan narsaga to'g'ri keladi. Shuning uchun umumiyroq ta'rifni kiritish tabiiydir.

Ta'rif. Vektor maydoni R chaqirdi n– dan ortiq bo'lmasa o'lchovli n chiziqli mustaqil vektorlar va belgilanadi R n. Raqam n chaqirdi o'lcham bo'sh joy.

Kosmosning o'lchamiga ko'ra bo'linadi chekli o'lchovli Va cheksiz o'lchovli. Nol bo'shliqning o'lchami ta'rif bo'yicha nolga teng deb hisoblanadi.

Eslatma 1. Har bir bo'shliqda siz xohlagancha ko'p bazani belgilashingiz mumkin, lekin berilgan fazoning barcha asoslari bir xil miqdordagi vektorlardan iborat.

Eslatma 2. IN n– o‘lchovli vektor fazoda har qanday tartiblangan to‘plam asos hisoblanadi n chiziqli mustaqil vektorlar.

3. Fazoni yo‘naltirish.

Fazoda bazis vektorlari bo'lsin V3 bor umumiy boshlanish Va buyurdi, ya'ni qaysi vektor birinchi, qaysi biri ikkinchi va qaysi biri uchinchi deb hisoblanishi ko'rsatilgan. Masalan, bazada vektorlar indeksatsiya bo'yicha tartiblangan.

Buning uchun makonni yo'naltirish uchun qandaydir asosni belgilash va uni ijobiy deb e'lon qilish kerak .

Fazoning barcha asoslari to'plami ikki sinfga, ya'ni ikkita ajralgan kichik to'plamga tushishini ko'rsatish mumkin.

a) bitta kichik to'plamga (sinfga) tegishli barcha asoslar mavjud xuddi shu orientatsiya (xuddi shu nomdagi asoslar);

b) tegishli bo'lgan har qanday ikkita asos har xil kichik to'plamlar (sinflar), ega qarama-qarshi orientatsiya, ( turli nomlar asoslar).

Agar fazo asoslarining ikkita sinfidan biri musbat, ikkinchisi manfiy deb e'lon qilinsa, bu fazo deyiladi. yo'naltirilgan .

Ko'pincha, makonni yo'naltirishda ba'zi bazalar chaqiriladi to'g'ri, va boshqalar - chap .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> deyiladi. to'g'ri, agar uchinchi vektorning oxiridan kuzatilganda, birinchi vektorning eng qisqa aylanishi https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > amalga oshiriladi soat miliga teskari(1.8-rasm, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Guruch. 1.8. O'ng asos (a) va chap asos (b)

Odatda makonning to'g'ri asosi ijobiy asos deb e'lon qilinadi

Bo'shliqning o'ng (chap) asosini "o'ng" ("chap") vint yoki gimlet qoidasi yordamida ham aniqlash mumkin.

Shunga o'xshab, o'ng va chap tushunchasi kiritiladi uchlik buyurtma qilinishi kerak bo'lgan koplanar bo'lmagan vektorlar (1.8-rasm).

Shunday qilib, umumiy holatda, koplanar bo'lmagan vektorlarning ikkita tartiblangan uchligi fazoda bir xil yo'nalishga (bir xil nomga) ega. V3 agar ular ikkalasi ham o'ngda yoki ikkalasi ham chapda bo'lsa va - qarama-qarshi yo'nalish (qarama-qarshilik), agar ulardan biri o'ng, ikkinchisi chap bo'lsa.

Xuddi shu narsa kosmosda ham amalga oshiriladi V2 (samolyot).

4. Vektorning bazis bo'yicha parchalanishi.

Fikrlashning soddaligi uchun keling, bu savolni uch o'lchovli vektor fazosi misolida ko'rib chiqaylik R3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu fazoning ixtiyoriy vektori bo'lsin.

n o'lchovli vektorlar haqidagi maqolada biz n o'lchovli vektorlar to'plami tomonidan hosil qilingan chiziqli fazo tushunchasiga keldik. Endi biz bir xil darajada muhim tushunchalarni, masalan, vektor fazosining o'lchami va asosini ko'rib chiqishimiz kerak. Ular vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi kontseptsiyasi bilan bevosita bog'liq, shuning uchun qo'shimcha ravishda ushbu mavzuning asoslarini eslatib turish tavsiya etiladi.

Keling, ba'zi ta'riflar bilan tanishaylik.

Ta'rif 1

Vektor fazosining o'lchami– bu fazodagi chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soniga mos keladigan raqam.

Ta'rif 2

Vektor fazo asosi– tartiblangan va soni bo‘yicha fazo o‘lchamiga teng chiziqli mustaqil vektorlar to‘plami.

n -vektorlarning ma'lum bir fazosini ko'rib chiqamiz. Uning o'lchami mos ravishda n ga teng. n-birlikli vektorlar sistemasini olaylik:

e (1) = (1, 0, ... 0) e (2) = (0, 1, .., 0) e (n) = (0, 0, .. , 1)

Biz bu vektorlardan A matritsasining komponentlari sifatida foydalanamiz: u n dan n o'lchamli birlik matritsa bo'ladi. Ushbu matritsaning darajasi n. Demak, vektor sistemasi e (1) , e (2) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil. Bunday holda, tizimga uning chiziqli mustaqilligini buzmasdan bitta vektor qo'shish mumkin emas.

Tizimdagi vektorlar soni n bo'lgani uchun n o'lchovli vektorlar fazosining o'lchami n, birlik vektorlari esa e (1), e (2), . . . , e (n) ko'rsatilgan bo'shliqning asosidir.

Olingan ta'rifdan xulosa qilishimiz mumkin: vektorlari soni n dan kichik bo'lgan har qanday n o'lchovli vektorlar tizimi fazoning asosi emas.

Agar birinchi va ikkinchi vektorlarni almashtirsak, e (2) , e (1) , vektorlar sistemasini olamiz. . . , e (n) . Shuningdek, u n o'lchovli vektor fazoning asosi bo'ladi. Olingan sistemaning vektorlarini uning qatorlari sifatida qabul qilib, matritsa tuzamiz. Matritsani identifikatsiya matritsasidan dastlabki ikki qatorni almashtirish orqali olish mumkin, uning darajasi n bo'ladi. Tizim e (2) , e (1) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil va n o‘lchamli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Dastlabki tizimdagi boshqa vektorlarni qayta tartibga solish orqali biz boshqa asosga ega bo'lamiz.

Biz birlik bo'lmagan vektorlarning chiziqli mustaqil tizimini olishimiz mumkin va u n o'lchovli vektor fazosining asosini ham ifodalaydi.

Ta'rif 3

n o'lchamli vektor fazoda n sonining n o'lchovli vektorlarining chiziqli mustaqil tizimlari mavjud bo'lganidek ko'p asoslar mavjud.

Samolyot ikki o'lchovli fazodir - uning asosini har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor tashkil qiladi. Uch o'lchovli fazoning asosi har qanday uchta tekis bo'lmagan vektor bo'ladi.

Keling, ushbu nazariyaning qo'llanilishini aniq misollar yordamida ko'rib chiqaylik.

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Belgilangan vektorlar uch o'lchovli vektor fazosining asosi ekanligini aniqlash kerak.

Yechim

Muammoni hal qilish uchun chiziqli bog'liqlik uchun berilgan vektorlar tizimini o'rganamiz. Keling, matritsa yarataylik, bu erda qatorlar vektorlarning koordinatalari. Matritsaning darajasini aniqlaymiz.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Binobarin, masalaning sharti bilan belgilangan vektorlar chiziqli mustaqil bo’lib, ularning soni vektor fazoning o’lchamiga teng – ular vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: ko'rsatilgan vektorlar vektor fazosining asosi hisoblanadi.

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Belgilangan vektorlar tizimi uch o'lchovli fazoning asosi bo'lishi mumkinligini aniqlash kerak.

Yechim

Masala bayonida ko'rsatilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq, chunki chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni 3. Shunday qilib, ko'rsatilgan vektorlar tizimi uch o'lchovli vektor fazosi uchun asos bo'lib xizmat qila olmaydi. Lekin shuni ta'kidlash joizki, dastlabki tizimning quyi tizimi a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) asosdir.

Javob: ko'rsatilgan vektorlar tizimi asos emas.

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Ular to'rt o'lchovli makonning asosi bo'la oladimi?

Yechim

Berilgan vektorlarning koordinatalarini qator sifatida ishlatib, matritsa tuzamiz

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gauss usulidan foydalanib, biz matritsaning darajasini aniqlaymiz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Binobarin, berilgan vektorlar tizimi chiziqli mustaqil va ularning soni vektor fazoning o'lchamiga teng - ular to'rt o'lchovli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: berilgan vektorlar to'rt o'lchovli fazoning asosidir.

4-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Ular 4 o'lchamli bo'shliqning asosini tashkil qiladimi?

Yechim

Vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli mustaqildir, lekin undagi vektorlar soni to'rt o'lchovli fazoning asosi bo'lish uchun etarli emas.

Javob: yo'q, ular yo'q.

Vektorning bazisga parchalanishi

Faraz qilaylik, ixtiyoriy vektorlar e (1) , e (2) , . . . , e (n) n o‘lchamli vektor fazoning asosi hisoblanadi. Ularga ma'lum bir n o'lchovli vektor x → qo'shamiz: natijada vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi. Chiziqli bog'liqlikning xossalari shuni ko'rsatadiki, bunday tizimning vektorlaridan kamida bittasi boshqalar orqali chiziqli tarzda ifodalanishi mumkin. Ushbu bayonotni qayta shakllantirgan holda, chiziqli bog'liq tizimning vektorlaridan kamida bittasini qolgan vektorlarga kengaytirish mumkinligini aytishimiz mumkin.

Shunday qilib, biz eng muhim teoremani shakllantirishga keldik:

Ta'rif 4

n-o'lchovli vektor fazoning har qanday vektori yagona bazisga ajralishi mumkin.

Dalil 1

Bu teoremani isbotlaylik:

n o'lchovli vektor fazoning asosini o'rnatamiz - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Unga n o'lchovli x → vektorini qo'shish orqali tizimni chiziqli bog'liq qilaylik. Bu vektorni dastlabki vektorlar bilan chiziqli ravishda ifodalash mumkin e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , bu erda x 1 , x 2 , . . . , x n - ba'zi raqamlar.

Endi biz bunday parchalanishning yagona ekanligini isbotlaymiz. Aytaylik, bunday emas va shunga o'xshash yana bir parchalanish mavjud:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , bu erda x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ba'zi raqamlar.

Bu tenglikning chap va o'ng tomonlaridan mos ravishda tenglikning chap va o'ng tomonlarini ayirib chiqamiz x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Biz olamiz:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Bazis vektorlar tizimi e (1) , e (2) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil; vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi ta'rifiga ko'ra, yuqoridagi tenglik faqat barcha koeffitsientlar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , bo'lganda mumkin bo'ladi. . . , (x ~ n - x n) nolga teng bo'ladi. Undan adolatli bo'ladi: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n. Va bu vektorni asosga ajratishning yagona variantini isbotlaydi.

Bunday holda, koeffitsientlar x 1, x 2, . . . , x n e (1) , e (2) , asosdagi x → vektorining koordinatalari deyiladi. . . , e (n) .

Tasdiqlangan nazariya "n-o'lchovli vektor x = (x 1, x 2, .., x n) berilgan" ifodasini aniq ko'rsatib beradi: vektor x → n o'lchovli vektor fazosi ko'rib chiqiladi va uning koordinatalari a da ko'rsatilgan. muayyan asos. Bundan tashqari, n o'lchovli fazoning boshqa asosidagi bir xil vektor turli koordinatalarga ega bo'lishi aniq.

Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik: n o'lchovli vektor fazoning qaysidir asosida n ta chiziqli mustaqil vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin.

hamda x = (x 1, x 2, .., x n) vektori ham berilgan.

Vektorlar e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu holda ham ushbu vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Faraz qilaylik, e 1 (1) , e 2 (2) , asosda x → vektorining koordinatalarini aniqlash zarur. . . , e n (n) , x ~ 1, x ~ 2, sifatida belgilanadi. . . , x ~ n.

Vektor x → quyidagicha ifodalanadi:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Bu ifodani koordinata shaklida yozamiz:

(x 1, x 2, .., x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, .., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . ., e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + .. + x ~ n e 2 (n) , . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Olingan tenglik n ta noma’lum chiziqli o‘zgaruvchisi x ~ 1, x ~ 2, bo‘lgan n ta chiziqli algebraik ifodalar tizimiga ekvivalentdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +. . . + x ~ n e n n

Ushbu tizimning matritsasi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Bu A matritsa bo'lsin va uning ustunlari e 1 (1), e 2 (2), vektorlarning chiziqli mustaqil sistemasi vektorlari bo'lsin. . . , e n (n) . Matritsaning darajasi n, determinanti esa nolga teng emas. Bu tenglamalar sistemasi har qanday qulay usul bilan aniqlangan yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatadi: masalan, Kramer usuli yoki matritsa usuli. Shu tarzda x ~ 1, x ~ 2, koordinatalarini aniqlashimiz mumkin. . . , x ~ n vektor x → asosda e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Keling, ko'rib chiqilgan nazariyani aniq bir misolga tatbiq qilaylik.

6-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar uch o'lchovli fazoda ko'rsatilgan

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemasi ham berilgan fazoning asosi bo’lib xizmat qilishini tasdiqlash, shuningdek, berilgan asosda x vektor koordinatalarini aniqlash zarur.

Yechim

e (1), e (2), e (3) vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uch o'lchovli fazoning asosi bo'ladi. Satrlari berilgan e (1), e (2), e (3) vektorlari bo'lgan A matritsaning rankini aniqlab, bu imkoniyatni aniqlaymiz.

Biz Gauss usulidan foydalanamiz:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Demak, e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil va bazis hisoblanadi.

X → vektor bazisda x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatalariga ega bo'lsin. Ushbu koordinatalar orasidagi bog'liqlik tenglama bilan aniqlanadi:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Muammoning shartlariga ko'ra qiymatlarni qo'llaymiz:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Shunday qilib, e (1), e (2), e (3) bazisdagi x → vektori x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinatalariga ega.

Javob: x = (1 , 1 , 1)

Bazalar orasidagi munosabat

Faraz qilaylik, n o'lchovli vektor fazoning qaysidir asosida ikkita chiziqli mustaqil vektorlar tizimi berilgan:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Bu tizimlar ham berilgan makonning asoslari hisoblanadi.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , bo'lsin. . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , asosdagi c (1) vektorining koordinatalari. . . , e (3) bo'lsa, u holda koordinata munosabatlari chiziqli tenglamalar tizimi bilan beriladi:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Tizimni matritsa sifatida quyidagicha ifodalash mumkin:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Analogiya bo'yicha c (2) vektoriga xuddi shunday yozuvni kiritamiz:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matritsa tengliklarini bitta ifodaga birlashtiramiz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

U ikki xil asos vektorlari orasidagi bog'lanishni aniqlaydi.

Xuddi shu tamoyildan foydalanib, barcha bazis vektorlarni e(1), e(2), ni ifodalash mumkin. . . , e (3) asosi orqali c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Keling, quyidagi ta'riflarni beraylik:

Ta'rif 5

Matritsa c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) - e (1) , e (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . , e (3)

asosiga c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Ta'rif 6

Matritsa e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) - c (1) , c (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . , c(n)

asosiga e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Bu tengliklardan ko'rinib turibdiki

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

bular. o'tish matritsalari o'zaro.

Keling, aniq misol yordamida nazariyani ko'rib chiqaylik.

7-misol

Dastlabki ma'lumotlar: bazisdan o'tish matritsasini topish kerak

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Shuningdek, berilgan asoslarda ixtiyoriy x → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni ko'rsatish kerak.

Yechim

1. T o‘tish matritsasi bo‘lsin, u holda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Tenglikning ikkala tomonini ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va biz olamiz:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. O‘tish matritsasini aniqlang:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. X → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni aniqlaymiz:

Faraz qilaylik, asosda c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → koordinatalari x 1 , x 2 , x 3 ga ega, keyin:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

va asosda e (1) , e (2) , . . . , e (3) x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatalariga ega, keyin:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Chunki Agar bu tengliklarning chap tomonlari teng bo'lsa, o'ng tomonlarini ham tenglashtirishimiz mumkin:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

O'ngdagi ikkala tomonni ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va biz olamiz:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Boshqa tomondan

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Oxirgi tengliklar ikkala bazisdagi x → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni ko'rsatadi.

Javob: o'tish matritsasi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Berilgan asoslardagi x → vektorining koordinatalari quyidagi munosabat bilan bog‘lanadi:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing