kartice

Moment sile okoli osi. Moment sile Kaj je moment sile na točko

Opredelitev

Vektorski produkt polmera - vektorja (), ki je narisan od točke O (slika 1) do točke, na katero deluje sila na sam vektor, se imenuje moment sile () glede na točko O:

Na sliki 1 so točka O ter vektor sile () in radij vektor v ravnini slike. V tem primeru je vektor momenta sile () pravokoten na ravnino risbe in ima smer stran od nas. Vektor momenta sile je osni. Smer vektorja momenta sile je izbrana tako, da vrtenje okoli točke O v smeri sile in vektorja tvorita desnosučni sistem. Smer momenta sil in kotni pospešek sovpadata.

Velikost vektorja je:

kjer je kot med smerema polmera in vektorja sile, je krak sile glede na točko O.

Moment sile okoli osi

Moment sile glede na os je fizikalna količina, ki je enaka projekciji vektorja momenta sile glede na točko izbrane osi na to os. V tem primeru izbira točke ni pomembna.

Glavni trenutek moči

Glavni moment niza sil glede na točko O imenujemo vektor (moment sile), ki je enak vsoti momentov vseh sil, ki delujejo v sistemu glede na isto točko:

V tem primeru se točka O imenuje središče redukcije sistema sil.

Če obstajata dva glavna momenta ( in ) za en sistem sil za različna dva središča prinašanja sil (O in O’), potem sta povezana z izrazom:

kjer je polmerni vektor, ki je narisan od točke O do točke O', je glavni vektor sistema sil.

Na splošno je rezultat dejanja na trdna poljubnega sistema sil je enako delovanju na telo glavnega momenta sistema sil in glavnega vektorja sistema sil, ki deluje v središču redukcije (točka O).

Osnovni zakon dinamike rotacijskega gibanja

kjer je vrtilna količina telesa pri vrtenju.

Za trdno telo lahko ta zakon predstavimo kot:

kjer je I vztrajnostni moment telesa in je kotni pospešek.

Enote navora

Osnovna merska enota momenta sile v sistemu SI je: [M]=N m

V GHS: [M]=din cm

Primeri reševanja problemov

Primer

telovadba. Slika 1 prikazuje telo, ki ima vrtilno os OO". Bo moment sile, ki deluje na telo glede na dano os, enak nič? Os in vektor sile se nahajata v ravnini slike.

rešitev. Kot osnovo za rešitev problema bomo vzeli formulo, ki določa moment sile:

V vektorskem produktu (razvidno iz slike). Tudi kot med vektorjem sile in radijskim vektorjem bo drugačen od nič (oz.), zato vektorski produkt (1.1) ni enak nič. To pomeni, da je moment sile različen od nič.

Odgovori.

Primer

telovadba. Kotna hitrost vrtečega se togega telesa spreminja v skladu z grafom na sliki 2. V kateri od navedenih točk na grafu je moment sil, ki delujejo na telo, enak nič?

Preučevanje lastnosti para sil, ki je eden glavnih elementov statike, zahteva uvedbo pomembnega koncepta momenta sile glede na točko.

Naj na telo v točki A deluje sila (slika 89). Izberimo poljubno točko v prostoru O (ponavadi je kot to točko izbrano izhodišče koordinat) in iz nje narišimo radij vektor, ki gre v točko delovanja te sile.

Vektorski moment sile glede na točko O je prosti vektor, ki ga določa vektorski produkt

Označujemo ga z imamo

Absolutna vrednost vektorja je enaka dvakratni površini trikotnika, zgrajenega na vektorjih, in Vektor je usmerjen pravokotno na ravnino, ki jo določajo vektorji, tako da če pogledate to ravnino z njenega konca, bo sila težila za rotacijo telesa okoli točke O v nasprotni smeri urinega kazalca. Običajno velja, da je vektor uporabljen v točki. Če je sila drugačna od nič, je moment vektorja enak nič le, če točka O leži na liniji delovanja sile. V sistemu enot SI je dimenzija momenta sile glede na točko enaka

Iz definicije vektorskega navora sledi, da se ta ne spremeni, če se sila premakne vzdolž črte njenega delovanja. Dejansko se v tem primeru ravnina, definirana z vektorji, ne spremeni

lokacija v prostoru in območje trikotnika, zgrajenega na teh vektorjih, se ne spremeni (slika 89).

Iz te lastnosti sledi, da je pojem momenta vektorja glede na točko tesno povezan s pojmom drsnega vektorja.

Algebraični moment sile

Če upoštevamo raven sistem sil ali sil, ki se nahajajo v eni ravnini, je priporočljivo uvesti koncept algebraičnega momenta sile.

Modul vektorskega momenta, kot je navedeno, je enak dvakratni površini trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če je kot med vektorji enak a

Ampak delo

predstavlja dolžino navpičnice, spuščene iz točke O na premico delovanja sile. Količino imenujemo krak sile glede na točko O. Postavimo jo v ravnino, ki jo določajo vektorji in koordinatne osi, medtem ko bo os z nameščena pravokotno na to ravnino (slika 90). Algebraični moment sile je produkt kraka sile in modula sile

Predznak algebraičnega momenta bo pozitiven, če se za opazovalca, ki se nahaja vzdolž pozitivne smeri osi z, sila vrti okoli točke O v nasprotni smeri urnega kazalca. V nasprotnem primeru bo predznak algebraičnega trenutka negativen.

Moment sile okoli osi

Pojem momenta sile glede na točko je tesno povezan s konceptom momenta sile glede na os.

Moment sile okoli osi je projekcija momenta sile okoli poljubne točke na osi na os.

Da bi bila ta definicija smiselna, je treba dokazati, da sta projekciji na os momentov sile glede na dve poljubni točki osi enaki.

Da bi to dokazali, narišimo ravnino, pravokotno na os (slika 91) in projiciramo vektor na to ravnino.

Označimo z a kot, ki ga tvori vektor z osjo. Potem je moment vektorja glede na os določen s formulo:

Torej, ker vrednost ni odvisna od položaja točke O na osi (slika 92), potem

Formula, ki določa osni moment, vam omogoča, da določite geometrijsko pravilo za izračun. To pravilo je naslednje: narišite ravnino, pravokotno na os, nanjo projicirate vektor

Dvojna površina trikotnika, ki jo tvori ta projekcija, in točka presečišča osi z ravnino določata velikost osnega momenta.

Predznak trenutka bo pozitiven, če se za opazovalca, ki se nahaja vzdolž pozitivne smeri osi, projekcija vektorja nagiba k vrtenju okoli presečišča osi z ravnino v nasprotni smeri urinega kazalca; če se projekcija vrti v smeri urinega kazalca, bo predznak trenutka negativen.

Formule za določanje trenutkov s projekcijami

Izhodišče koordinat je običajno izbrano kot točka O, glede na katero se izračuna moment vektorja drsenja. Potem bo moment sile uporabljen v izhodišču koordinat in njegove projekcije na os bodo ustrezni osni momenti. Iz definicije in geometrijskega pravila za izračun osnega momenta sledi, da bo ta enak nič, če je vektor vzporeden z osjo ali pa njegova smernica seka os. Če je sila podana s svojimi projekcijami in so znane projekcije radijskega vektorja, ki določa točko uporabe sile (ali preprosto koordinate te točke), potem je moment vektorja glede na točko O in momenti

glede na koordinatne osi, kot izhaja iz prejšnjega, določa formula:

Moment sile okoli osi je moment projekcije sile na ravnino, pravokotno na os, glede na presečišče osi s to ravnino

Trenutek okoli osi je pozitiven, če si sila prizadeva zasukati ravnino pravokotno na os v nasprotni smeri urnega kazalca, ko gledamo proti osi.

Moment sile okoli osi je 0 v dveh primerih:

Če je sila vzporedna z osjo

Če sila prečka os

Če premica in os ležita v isti ravnini, je moment sile okoli osi enak 0.

27. Povezava med momentom sile okoli osi in vektorskim momentom sile glede na točko.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile glede na os je enak projekciji vektorja momenta sile glede na točko osi na to os.

28. Glavni izrek statike o pripeljevanju sistema sil v dano središče (Poinsotov izrek). Glavni vektor in glavni moment sistema sil.

V splošnem primeru lahko vsak prostorski sistem sil nadomestimo z enakovrednim sistemom, ki ga sestavlja ena sila, ki deluje na neki točki telesa (središče redukcije) in je enaka glavnemu vektorju tega sistema sil, in en par sil , katerega moment je enak glavnemu momentu vseh sil glede na izbrano središče adukcije.

Glavni vektor sistema sil imenujemo vektor R, enaka vektorski vsoti teh sil:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F jaz.

Za ravninski sistem sil njegov glavni vektor leži v ravnini delovanja teh sil.

Glavna točka sistema sil glede na središče O imenujemo vektor L O, enaka vsoti vektorskih momentov teh sil glede na točko O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F jaz).

Vektor R ni odvisen od izbire središča O in vektorja L Ko se položaj središča spremeni, se O na splošno lahko spremeni.

Poinsotov izrek: poljuben prostorski sistem sil lahko nadomestimo z eno silo z glavnim vektorjem sistema sil in parom sil z glavnim momentom, ne da bi pri tem motili stanje trdnega telesa. Glavni vektor predstavlja geometrijska vsota vse sile, ki delujejo na trdno telo in se nahaja v ravnini delovanja sil. Glavni vektor je obravnavan skozi njegove projekcije na koordinatne osi.

Za prenos sil v dano središče, ki deluje na neki točki trdnega telesa, je potrebno: 1) prenesti silo, vzporedno s seboj, v dano središče, ne da bi spremenili modul sile; 2) na dano središče uporabite par sil, katerega vektorski moment je enak vektorskemu momentu prenesene sile glede na novo središče; ta par se imenuje pritrjeni par.

Odvisnost glavnega trenutka od izbire središča redukcije. Glavni moment okoli novega središča redukcije je enak geometrijski vsoti glavnega momenta okrog starega središča redukcije in vektorskega produkta radijskega vektorja, ki povezuje novo središče redukcije s starim z glavnim vektorjem.

29 Posebni primeri redukcije prostorskega sistema sil

	Vrednosti glavnega vektorja in glavnega momenta	Rezultat litja
		Sistem sil se reducira na par sil, katerega moment je enak glavnemu momentu (glavni moment sistema sil ni odvisen od izbire središča redukcije O).
		Sistem sil se reducira na rezultanto, ki je enaka prehodu skozi središče O.
		Sistem sil se zmanjša na rezultanto, ki je enaka glavnemu vektorju in je vzporedna z njim ter se nahaja na razdalji od njega. Položaj premice delovanja rezultante mora biti tak, da smer njenega momenta glede na središče redukcije O sovpada s smerjo glede na središče O.
	, vektorja pa nista pravokotna	Sistem sil se reducira na dina (pogonski vijak) - kombinacijo sile in para sil, ki ležijo v ravnini, pravokotni na to silo.
		Sistem sil, ki deluje na trdno telo, je uravnotežen.

30. Zmanjšanje na dinamičnost. V mehaniki se dinamika imenuje tak niz sil in parov sil (), ki delujejo na trdno telo, v katerem je sila pravokotna na ravnino delovanja para sil. Z uporabo vektorskega momenta para sil lahko dinamičnost definiramo tudi kot kombinacijo sile in para, katerega sila je vzporedna z vektorskim momentom para sil.

Enačba centralne spiralne osi Predpostavimo, da se v središču redukcije, vzetega kot izhodišče koordinat, dobi glavni vektor s projekcijami na koordinatne osi in glavni moment s projekcijami, ko sistem sil prenesemo v središče redukcije O 1 (sl 30), dobimo dina z glavnim vektorjem in glavnim momentom, Vektorji in tvorijo linamo. so vzporedni in se zato lahko razlikujejo le v skalarnem faktorju k 0. Ker glavni momenti in izpolnjujejo razmerje, imamo

Trenutek nekaj sil

Moment sile glede na katero koli točko (središče) je vektor, ki je številčno enak zmnožku modula sile in kraka, tj. na najkrajšo razdaljo od določene točke do črte delovanja sile in usmerjeno pravokotno na ravnino, ki poteka skozi izbrano točko in linijo delovanja sile v smeri, iz katere poteka "rotacija", ki jo izvaja sila okoli zdi se, da se točka pojavi v nasprotni smeri urinega kazalca. Moment sile označuje njegovo rotacijsko delovanje.

če O– točka, glede na katero se nahaja moment sile F, potem je moment sile označen s simbolom M o (Ž). Pokažimo, da če točka uporabe sile F določen z radij vektorjem r, potem je razmerje veljavno

M o (F)=r×F. (3.6)

Glede na to razmerje moment sile je enak vektorskemu produktu vektorja r z vektorjem F.

Dejansko je modul vektorskega produkta enak

M o ( F)=rF greh= Fh, (3.7)

Kje h- rama moči. Upoštevajte tudi, da vektor M o (Ž) usmerjena pravokotno na ravnino, ki poteka skozi vektorja r in F, v smeri, iz katere poteka najkrajši obrat vektorja r v smeri vektorja F se pojavi v nasprotni smeri urinega kazalca. Tako formula (3.6) popolnoma določa modul in smer momenta sile F.

Včasih je koristno formulo (3.7) zapisati v obrazec

M o ( F)=2S, (3.8)

Kje S- območje trikotnika OAV.

Pustiti x, l, z so koordinate točke delovanja sile in F x, Fy, Fz– projekcije sile na koordinatne osi. Potem, če točka O se nahaja v izvoru, je moment sile izražen na naslednji način:

Iz tega sledi, da so projekcije momenta sile na koordinatne osi določene s formulami:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oj(F)=zF x -xF z ,

M Oj(F)=xF y -yF x. (3.10)

Uvedimo zdaj koncept projekcije sile na ravnino.

Naj bo dana moč F in nekaj letala. Na to ravnino spustimo navpičnici z začetka in konca vektorja sile.

Projekcija sile na ravnino klical vektor , katerega začetek in konec sovpadata s projekcijo začetka in projekcijo konca sile na to ravnino.

Če vzamemo letalo kot obravnavano letalo xOy, nato projekcija sile F na tej ravnini bo vektor Fxy.

Trenutek moči Fxy glede na točko O(točke presečišča osi z z letalom xOy) lahko izračunamo s formulo (3.9), če jo vzamemo z=0, Fz=0. Dobimo

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Tako je moment usmerjen vzdolž osi z, in njegovo projekcijo na os z natančno sovpada s projekcijo momenta sile na isto os F glede na točko O. Z drugimi besedami,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Očitno lahko enak rezultat dobimo, če projiciramo silo F na katero koli drugo vzporedno ravnino xOy. V tem primeru presečišče osi z z ravnino bo drugačna (novo presečišče označimo z O 1). Vendar vsi vključeni v desna stran enakost (3.11) količine X, pri, F x, F y bo ostal nespremenjen, zato ga je mogoče zapisati

M Oz(F)=M O 1 z ( Fxy).

Z drugimi besedami, projekcija momenta sile glede na točko na os, ki poteka skozi to točko, ni odvisna od izbire točke na osi . Zato v nadaljevanju namesto simbola M Oz(F) bomo uporabili simbol Mz(F). Ta trenutna projekcija se imenuje moment sile okoli osi z. Pogosto je primerneje izračunati moment sile okoli osi s projekcijo sile F na ravnino, pravokotno na os, in izračuna vrednost Mz(Fxy).

V skladu s formulo (3.7) in ob upoštevanju znaka projekcije dobimo:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Tukaj h*– rama moči Fxy glede na točko O. Če opazovalec iz pozitivne smeri osi z vidi, da sila Fxy teži k vrtenju telesa okoli osi z v nasprotni smeri urinega kazalca, potem se uporabi znak "+", sicer pa znak "–".

Formula (3.12) omogoča oblikovanje naslednjega pravila za izračun momenta sile okoli osi. Za to potrebujete:

· izberemo poljubno točko na osi in konstruiramo ravnino, pravokotno na os;

· projicirati silo na to ravnino;

· določimo krak projekcije sile h*.

Moment sile glede na os je enak zmnožku modula projekcije sile na njegovo ramo, vzetega z ustreznim predznakom (glej zgoraj navedeno pravilo).

Iz formule (3.12) sledi, da moment sile okoli osi je enak nič v dveh primerih:

· ko je projekcija sile na ravnino, pravokotno na os, enaka nič, tj. ko sta sila in os vzporedni ;

ko ramenska projekcija h* enaka nič, tj. ko akcijska linija seka os .

Oba primera je mogoče združiti v enega: moment sile okoli osi je enak nič, če in samo če sta linija delovanja sile in os v isti ravnini .

Naloga 3.1. Izračunaj glede na točko O trenutek moči F, uporabljeno za točko A in diagonalno usmerjena ploskev kocke s stranico A.

Pri reševanju takih problemov je priporočljivo najprej izračunati momente sile F glede na koordinatne osi x, l, z. Koordinate točk A uporaba sile F volja

Projekcije sile F na koordinatnih oseh:

Če nadomestimo te vrednosti v enakosti (3.10), najdemo

, , .

Enaki izrazi za momente sile F glede na koordinatne osi lahko dobimo s formulo (3.12). Da bi to naredili, oblikujemo silo F na ravnini, pravokotni na os X in pri. To je očitno . Z uporabo zgoraj navedenega pravila dobimo, kot bi pričakovali, enake izraze:

, , .

Modul momenta je določen z enakostjo

Predstavimo zdaj koncept trenutka para. Najprej ugotovimo, čemu je enaka vsota momentov sil, ki sestavljata par, glede na poljubno točko. Pustiti O je poljubna točka v prostoru in F in F" – sile, ki sestavljajo par.

Potem M o (F)= OA × F, M o (F")= OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

ampak odkar F= -F", To

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Ob upoštevanju enakosti OA-OB=BA , končno najdemo:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

torej vsota momentov sil, ki sestavljajo par, ni odvisna od položaja točke glede na katero so momenti vzeti .

Vektorska umetnina VA × F in se imenuje nekaj trenutkov . Trenutek para je označen s simbolom M(Ž, Ž"), in

M(Ž, Ž")=VA × F= AB × F",

ali na kratko,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Ob upoštevanju desne strani te enakosti opazimo, da trenutek para je vektor, pravokotno na ravnino para, ki je po modulu enak zmnožku modula ene sile para z krakom para (tj. najkrajša razdalja med linijama delovanja sil, ki sestavljata par) in usmerjen v smer, iz katere "rotacija" para se pojavi v nasprotni smeri urinega kazalca . če h– rama para, torej M(Ž, Ž")=h×F.

Iz same definicije je razvidno, da je moment para sil prosti vektor, katerega smer delovanja ni definirana (dodatna utemeljitev te opombe izhaja iz izrekov 2 in 3 tega poglavja).

Da bi par sil sestavljal uravnotežen sistem (sistem sil enak nič), je nujno in zadostno, da je moment para enak nič. Dejansko, če je trenutek para nič, M=h×F, potem bodisi F=0, tj. brez moči ali ramena para h enako nič. Toda v tem primeru bodo sile para delovale v eni ravni liniji; ker sta enaki po velikosti in usmerjeni v nasprotni smeri, bosta na podlagi aksioma 1 tvorila uravnotežen sistem. Nasprotno, če dve sili F 1 in F 2, ki sestavljajo par, so uravnoteženi, nato pa na podlagi istega aksioma 1 delujejo v eni ravni črti. Toda v tem primeru vzvod para h enako nič in zato M=h×F=0.

Parni izreki

Dokažimo tri izreke, s pomočjo katerih postanejo možne ekvivalentne transformacije parov. Pri vseh premislekih si je treba zapomniti, da se nanašajo na pare, ki delujejo na katero koli trdno telo.

1. izrek. Dva para, ki ležita v isti ravnini, lahko zamenjamo z enim parom, ki ležita v isti ravnini, pri čemer je moment enak vsoti momentov teh dveh parov.

Da bi dokazali ta izrek, upoštevajte dva para ( F 1,F" 1) In ( F 2,F" 2) in premaknite točke uporabe vseh sil vzdolž linij njihovega delovanja v točke A in IN oz. Če seštejemo sile v skladu z aksiomom 3, dobimo

R=F 1+F 2 in R"=F" 1+F" 2,

Ampak F 1=-F" 1 in F 2=-F" 2.

torej R=- R", tj. moč R in R" tvorijo par. Poiščimo trenutek tega para z uporabo formule (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Ko se sile, ki sestavljajo par, prenašajo vzdolž linij njihovega delovanja, se niti rama niti smer vrtenja para ne spremenita, zato se tudi moment para ne spremeni. pomeni,

BA×F 1 =M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,F" 2)=M 2

in formula (3.14) bo imela obliko

M=M 1 +M 2, (3.15)

kar dokazuje veljavnost zgoraj formuliranega izreka.

Naredimo dve pripombi k temu izreku.

1. Linije delovanja sil, ki sestavljajo pare, se lahko izkažejo za vzporedne. Izrek v tem primeru ostane veljaven, vendar za dokazovanje uporabite pravilo dodajanja vzporedne sile.

2. Po seštevanju se lahko izkaže, da M(R, R")=0; Na podlagi prejšnje opombe sledi, da je zbirka dveh parov ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

2. izrek. Dva para, ki imata geometrijsko enaka momenta, sta enakovredna.

Naj na telo v letalu jaz par ( F 1,F" 1) s trenutkom M 1. Pokažimo, da lahko ta par nadomestimo z drugim s parom ( F 2,F" 2), ki se nahaja v ravnini II, če le njen trenutek M 2 enako M 1(glede na definicijo (glej 1.1) bo to pomenilo, da so pari ( F 1,F" 1) In ( F 2,F" 2) enakovredni). Najprej ugotavljamo, da letala jaz in II morata biti vzporedna, zlasti lahko sovpadata. Dejansko iz vzporednosti trenutkov M 1 in M 2(v našem primeru M 1=M 2) sledi, da sta tudi ravnini delovanja parov, pravokotnih na momente, vzporedni.

Predstavimo nov par ( F 3,F" 3) in ga pritrdite skupaj s parom ( F 2,F" 2) na telo, tako da oba para postavimo v ravnino II. Če želite to narediti, morate v skladu z aksiomom 2 izbrati par ( F 3,F" 3) s trenutkom M 3 tako da uporabljeni sistem sil ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) je bil uravnotežen. To je mogoče storiti na primer na naslednji način: postavite F 3=-F" 1 in F" 3 =-F 1 in združite točke uporabe teh sil s projekcijami A 1 in IN 1 točka A in IN do letala II. V skladu s konstrukcijo bomo imeli: M 3 = -M 1 ali glede na to M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Ob upoštevanju druge pripombe k prejšnjemu izreku dobimo ( F 2,F" 2, F 3,F" 3)=0. Tako so pari ( F 2,F" 2) In ( F 3,F" 3) so medsebojno uravnoteženi in njihova pritrjenost na telo ne krši njegovega stanja (aksiom 2), tako da

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Po drugi strani pa sile F 1 in F 3, in F" 1 in F" 3 lahko seštejemo po pravilu seštevanja vzporednih sil, usmerjenih v eno smer. Po modulu so vse te sile med seboj enake, torej njihove rezultante R in R" je treba uporabiti na presečišču diagonal pravokotnika ABB 1 A 1 ; poleg tega sta enaki po velikosti in usmerjeni v nasprotni smeri. To pomeni, da sestavljajo ničelni sistem. Torej,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Zdaj lahko pišemo

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Če primerjamo razmerja (3.16) in (3.17), dobimo ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), kar je bilo treba dokazati.

Iz tega izreka sledi, da se par sil lahko premakne v ravnini svojega delovanja, prenese na vzporedno ravnino; končno, v paru lahko hkrati spremenite sile in vzvode, pri čemer ohranite samo smer vrtenja para in modul njegovega momenta ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

V nadaljevanju bomo obsežno uporabljali takšne ekvivalentne transformacije parov.

Izrek 3. Dva para, ki ležita v sekajočih se ravninah, sta enakovredna enemu paru, katerega moment je enak vsoti momentov obeh danih parov.

Naj pari ( F 1,F" 1) In ( F 2,F" 2) se nahajajo v presečnih ravninah jaz in II oz. S pomočjo posledice izreka 2 reduciramo oba para na ramo AB, ki se nahaja na liniji presečišča ravnin jaz in II. Transformirane pare označimo z ( V1,Q" 1) In ( 2. vprašanje,Q" 2). V tem primeru morajo biti enakosti izpolnjene

M 1 = M(V1,Q" 1)=M(F 1,F" 1) In M 2 = M(2. vprašanje,Q" 2)=M(F 2,F" 2).

Dodajmo, glede na aksiom, 3 sile, ki delujejo na točke A in IN oz. Potem dobimo R=Q 1 +Q 2 in R"=Q" 1 +Q" 2. Glede na to Q" 1 = -Q 1 in Q" 2 = -Q 2, dobimo R=-R". Tako smo dokazali, da je sistem dveh parov enakovreden enemu paru ( R,R").

Poiščimo trenutek M ta par. Na podlagi formule (3.13) imamo

M(R,R")=VA× (Q 1 + Q 2)=VA× Q 1 + VA× 2. vprašanje=

=M(V1,Q" 1)+M(2. vprašanje,Q" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M 1 +M 2,

tiste. izrek je dokazan.

Upoštevajte, da dobljeni rezultat velja tudi za pare, ki ležijo v vzporednih ravninah. Z izrekom 2 lahko takšne pare reduciramo na eno ravnino, s teoremom 1 pa jih lahko nadomestimo z enim parom, katerega moment je enak vsoti momentov sestavnih parov.

Zgoraj dokazani parni izreki nam omogočajo pomemben zaključek: moment para je prosti vektor in popolnoma določa delovanje para na absolutno togo telo . Pravzaprav smo že dokazali, da če imata dva para enake momente (torej ležita v isti ravnini ali v vzporednih ravninah), potem sta enaka drugemu (izrek 2). Po drugi strani pa dva para, ki ležita v sekajočih se ravninah, ne moreta biti enakovredna, ker bi to pomenilo, da sta eden od njiju in par nasproti drugemu enaka nič, kar je nemogoče, saj je vsota momentov takih parov različna od nič.

Tako je vpeljan koncept trenutka para izjemno uporaben, saj v celoti odraža mehansko delovanje para na telo. V tem smislu lahko rečemo, da moment izčrpno predstavlja delovanje para na togo telo.

Za deformabilna telesa zgoraj opisana teorija parov ne velja. Dva nasprotna para, ki delujeta na primer na koncih palice, sta z vidika statike trdnega telesa enaka nič. Medtem pa njihovo delovanje na deformabilno palico povzroči njeno torzijo, in večja je, večji so momentni moduli.

Preidimo k reševanju prvega in drugega problema statike, ko na telo delujejo le pari sil.

Moment sile okoli osi je moment projekcije sile na ravnino, pravokotno na os, glede na presečišče osi s to ravnino

Trenutek okoli osi je pozitiven, če si sila prizadeva zasukati ravnino pravokotno na os v nasprotni smeri urnega kazalca, ko gledamo proti osi.

Moment sile okoli osi je 0 v dveh primerih:

Če je sila vzporedna z osjo

Če sila prečka os

Če premica in os ležita v isti ravnini, je moment sile okoli osi enak 0.

27. Povezava med momentom sile okoli osi in vektorskim momentom sile glede na točko.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile glede na os je enak projekciji vektorja momenta sile glede na točko osi na to os.

28. Glavni izrek statike o pripeljevanju sistema sil v dano središče (Poinsotov izrek). Glavni vektor in glavni moment sistema sil.

Glavni vektor sistema sil imenujemo vektor R, enaka vektorski vsoti teh sil:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F jaz.

Za ravninski sistem sil njegov glavni vektor leži v ravnini delovanja teh sil.

Glavna točka sistema sil glede na središče O imenujemo vektor L O, enaka vsoti vektorskih momentov teh sil glede na točko O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F jaz).

Vektor R ni odvisen od izbire središča O in vektorja L Ko se položaj središča spremeni, se O na splošno lahko spremeni.

Poinsotov izrek: poljuben prostorski sistem sil lahko nadomestimo z eno silo z glavnim vektorjem sistema sil in parom sil z glavnim momentom, ne da bi pri tem motili stanje trdnega telesa. Glavni vektor je geometrijska vsota vseh sil, ki delujejo na trdno telo in se nahaja v ravnini delovanja sil. Glavni vektor je obravnavan skozi njegove projekcije na koordinatne osi.

29 Posebni primeri redukcije prostorskega sistema sil

	Vrednosti glavnega vektorja in glavnega momenta	Rezultat litja
		Sistem sil se reducira na par sil, katerega moment je enak glavnemu momentu (glavni moment sistema sil ni odvisen od izbire središča redukcije O).
		Sistem sil se reducira na rezultanto, ki je enaka prehodu skozi središče O.
		Sistem sil se zmanjša na rezultanto, ki je enaka glavnemu vektorju in je vzporedna z njim ter se nahaja na razdalji od njega. Položaj premice delovanja rezultante mora biti tak, da smer njenega momenta glede na središče redukcije O sovpada s smerjo glede na središče O.
	, vektorja pa nista pravokotna	Sistem sil se reducira na dina (pogonski vijak) - kombinacijo sile in para sil, ki ležijo v ravnini, pravokotni na to silo.
		Sistem sil, ki deluje na trdno telo, je uravnotežen.

Zamenjamo, dobimo

Koordinate točke O 1, na kateri dobimo dinamiko, označimo kot x, y, z. Tedaj so projekcije vektorja na koordinatne osi enake koordinatam x, y, z. Glede na to lahko (*) izrazimo v obliki

kjer sem j ,k sta enotska vektorja koordinatnih osi, vektorski produkt * pa predstavlja determinanta. Vektorska enačba(**) je enakovreden trem skalarjem, ki jih po zavrženju lahko predstavimo kot

Nastale linearne enačbe za koordinate x, y, z so enačbe premice - centralne vijačne osi. Posledično obstaja ravna črta, na točkah katere je sistem sil reduciran na dinamičnost.