10 spôsobov, ako vyriešiť štvorec. Metódy riešenia kvadratických rovníc. História vývoja kvadratických rovníc

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergievskaya Secondary School"

Doplnil: Sizikov Stanislav

učiteľ:

s. Sergievka, 2007

1. Úvod. Kvadratické rovnice v starovekom Babylone……………….3

2. Kvadratické rovnice v diaphante……………………………………………………….4

3. Kvadratické rovnice v Indii …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4. Kvadratické rovnice v al-Khorezmi …………………………………..6

5. Kvadratické rovnice v Európe XIII - XYII…………………………...7

6. O Vietovej vete …………………………………………………………..9

7. Desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc………………………………..10

8. Záver ………………………………………………………………………… 20

9. Referencie …………………………………………………………...21

Úvod

Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických a iracionálnych rovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice, od 8. ročníka. Ako však vznikla a ako sa vyvíjala história riešenia kvadratických rovníc?

Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace so zisťovaním výmer pôdy; zemné práce vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice boli schopné vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania. Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara píše pod rúškom

x2- 64X = - 768

a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice k štvorcu pridá 322 na obe strany, čím dostane: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

Al-Khwarizmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 = in.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ah2= s.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ah2+ c = in.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ah2+ v = s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. v+ c \u003d ax2. Pre al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním, nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, úplne nezhoduje s naším. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu al-Khwarizmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulu. riešenie, pravdepodobne preto, že pri konkrétnych praktických úlohách na tom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc stanovuje al-Khwarizmi pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom ich geometrických dôkazov.

Vezmime si príklad.

Úloha 14. „Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň "(čo znamená koreň rovnice x2+ 21 = 10X).

Autorovo riešenie znie asi takto: vydeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5, od súčinu odčítajte 21, zostáva 4. Vezmite odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5, získajte 3, bude to požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čím získate 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Khwarizmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a v ktorej je systematicky prezentovaná klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

Kvadratické rovnice v EurópeXIII- XVIIstoročia

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v Knihe Abacus (vydaná v Ríme v polovici minulého storočia, Fibonacciho Kniha počítadla obsahuje 459 strán), napísaná v r. 1202 talianskym matematikom Leonardom Fibonaccim. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu a starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a prvý v Európa pristúpila k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z Knihy Abacus prešli takmer do všetkých európskych učebníc 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jeden kanonický tvar x2+ v = s, pre všetky možné kombinácie znamienok koeficientov v, s V Európe vznikol až v roku 1544. M. Stiefel.

Vieta má všeobecnú deriváciu vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardaco, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. brať do úvahy okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. vďaka prácam Girarda, Descarta, Newtona a ďalších vedcov získava metóda riešenia kvadratických rovníc moderný vzhľad.

O Vietovej vete

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, nesúcu meno Vieta, sformuloval prvýkrát v roku 1591 takto: „Ak AT+ D, vynásobeny ALE mínus A2, rovná sa BD, potom ALE rovná sa AT a rovní D».

Aby sme porozumeli Viete, musíme si to pamätať ALE, ako každý
samohláska, ktorá pre neho znamená neznáma (náš X), samohlásky
AT,D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená Vietova formulácia znamená: ak

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) X + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Viety má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď sú všetky odmocniny kladné.

Desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc

V školskom kurze matematiky sa študujú vzorce koreňov kvadratických rovníc, pomocou ktorých môžete vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Existujú však aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré umožňujú riešiť mnohé rovnice veľmi rýchlo a racionálne. Existuje desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Uvažujme o každom z nich.

1. Faktorizácia ľavej strany rovnice

Poďme vyriešiť rovnicu x2+ 10X- 24 = 0. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

( X + 12) (x - 2) = 0.

Keďže súčin je nula, aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto ľavá strana rovnice zmizne, keď x = 2, ako aj X= - 12. To znamená, že čísla 2 a - 12 sú koreňmi rovnice x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metóda výberu plného štvorca

Vysvetlime si túto metódu na príklade.

Vyriešme rovnicu x2 + 6x - 7 = 0. Vyberte celý štvorec na ľavej strane. Za týmto účelom napíšeme výraz x2 + 6x v nasledujúcom tvare:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 32, pretože

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Teraz transformujeme ľavú stranu rovnice

x2 + 6x - 7 = 0,

pripočítaním a odčítaním 32. Máme:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x+ = 0, t.j. (x + 3)2 = 16.

v dôsledku toho X+ 3 \u003d 4 x 1 \u003d 1 alebo x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca

Vynásobte obe strany rovnice

ah2+ v+ c = 0, a ≠ 0, zapnuté 4a a postupne máme:

4a2 x 2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

V prípade pozitívneho diskriminátora, t.j v2 - 4ac > 0, rovnica ah2+ v + s= 0 má dva rôzne korene.

Ak je diskriminant nulový, t.j. v2 - 4ac = 0, potom rovnica ah2+ v+ s= 0 má jeden koreň, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Jeho korene spĺňajú Vietovu vetu, ktorá, kedy a= 1 má tvar

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (podľa koeficientov R a q koreňové znaky možno predvídať).

a) Ak je voľný člen q redukovaná rovnica (1)
pozitívne (q> 0), potom má rovnica dve rovnaké
znamienkom koreňa a závisí od druhého koeficientu R
Ak R> 0, potom sú oba korene záporné, ak R< 0, potom oboje
korene sú pozitívne.

Napríklad,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 a x2 = 1, pretože q = 2 > 0 u p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 a x2 \u003d - 1, odkedy q= 7 > 0 a R = 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q redukovaná rovnica (1)
negatívne (q < 0), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň v absolútnej hodnote bude kladný, ak R< 0, alebo záporné, ak p > 0.

Napríklad,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 a x2 \u003d 1, odkedy q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 a x2= - 1 pretože q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Riešenie rovníc metódou "prenosu"

Zvážte kvadratickú rovnicu ax2 + in+ c = 0, kde a ≠ 0. Vynásobením oboch jeho častí a, dostaneme rovnicu a2x2+abx+ ac= 0.

Nechaj ah = y kde X=; potom sa dostaneme k rovnici

y2+ podľa+ ac = 0,

ekvivalentný tomuto. jeho korene y1 a y2 nájsť pomocou Vietovej vety. Konečne sa dostávame x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Pri tejto metóde koeficient a sa vynásobí voľným pojmom, akoby mu „hodili“, preto sa nazýva spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

1. Vyriešte rovnicu 2x2 - 11x + 15 = 0.

Riešenie. Koeficient 2 "prenesme" na voľný člen, výsledkom je rovnica

y2 - 11 pri+ 30 = 0.

Podľa Vietovej vety y1 = 5, y2 = 6, teda x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

odpoveď: 2,5; 3.

6. Vlastnosti koeficientov štvorcarovnice

A. Nech je daná kvadratická rovnica

ax2 + in + c= 0, kde a ≠ 0.

1. Ak je + v + s= 0 (t.j. súčet koeficientov rovnice sa rovná nule), potom x1 = 1, x2 = .

2. Ak a - b + c= 0, alebob = a + c, potom x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

odpoveď: 1; 184">

Možné sú tieto prípady:

Priamka a parabola sa môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Priamka a parabola sa môžu dotýkať (iba jeden spoločný bod), to znamená, že rovnica má jedno riešenie;

Priamka a parabola nemajú spoločné body, to znamená, že kvadratická rovnica nemá korene.

Príklady.

1. Vyriešme graficky rovnicu x2 - 3x - 4 = 0 (obr. 2).

Riešenie. Rovnicu zapíšeme do tvaru x2 = 3x + 4.

Zostavme parabolu y = x2 a priamy y= 3x + 4. Priama pri= 3x + 4 možno zostrojiť z dvoch bodov M(0; 4) a N(3; 13). Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch A až B s úsečkou x1= -1 a x2 = 4.

Odpoveď: x1= - 1, x, = 4.

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka

Grafický spôsob riešenia kvadratických rovníc pomocou paraboly je nepohodlný. Ak vytvoríte parabolu bod po bode, potom to trvá veľa času a stupeň presnosti získaných výsledkov je nízky.

Navrhujeme nasledujúcu metódu na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice

ah2+ v+ s= 0

pomocou kružidla a pravítka (obr.).

Predpokladajme, že požadovaný kruh pretína os x v bodoch B(x1; 0) a D(X2 ; 0), kde x1 a x2- korene rovnice ax2 + in+s=0,
a prechádza bodmi A(0; 1) a C(0; ) na osi y..gif" width="197" height="123">

Takže: 1) zostavte body https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> kruh pretína os OX v bode B(x1;0) ) a D(x1 ; 0), kde x1 a x2 - korene kvadratickej rovnice ax2+bx+c = 0.

2) Polomer kruhu sa rovná ordinate stredu , kružnica sa dotýka osi x v bode B(x1; 0), kde xx je koreňom kvadratickej rovnice.

3) Polomer kruhu je menší ako ordináta stredu vľavo>

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Odkiaľ po striedaniach a

zjednodušení nasleduje rovnica z2+pz+q=0 a písmeno z znamená označenie ľubovoľného bodu krivočiarej stupnice.

10. Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc

V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice neriešili algebraicky, ale geometricky. Uveďme príklad, ktorý sa preslávil z Algebry od al-Khwarizmiho.

A štyri pripojené štvorce, t.j. S=x2+10x+25. Nahradením x2+10x číslom 39 dostaneme S = 39 + 25 = 64, čo znamená, že strana štvorca A B C D, t.j. segment AB= 8. Pre požadovanú stranu X pôvodný štvorec, ktorý dostaneme

Záver

Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice, od školy až po maturitu. Ale v školskom kurze matematiky sa študujú vzorce koreňov kvadratických rovníc, pomocou ktorých je možné vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Po hlbšom preštudovaní tejto problematiky som sa však presvedčil, že existujú aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré umožňujú riešiť mnohé rovnice veľmi rýchlo a racionálne.

Možno je matematika niekde tam v iných dimenziách, nie je viditeľná pre oči - všetko je zapísané a my len získavame všetky nové fakty z diery so svetmi? ... Boh vie; ale ukazuje sa, že ak fyzici, chemici, ekonómovia alebo archeológovia potrebujú nový model štruktúry sveta, tento model možno vždy vziať z police, kam ho pred tristo rokmi položili matematici, alebo ho poskladať z častí ležiacich na tom istom. polica. Možno budú musieť byť tieto časti skrútené, navzájom prispôsobené, leštené, rýchlo opracované pár nových teorémových puzdier; ale teória výsledku bude nielen popisovať skutočnú situáciu, ktorá nastala, ale aj predpovedať dôsledky! ...

Zvláštna vec je táto hra mysle, ktorá má vždy pravdu...

Literatúra

1. Alimov SHA., Ilyin VA. a kol., Algebra, 6-8. Skúšobná učebnica pre 6-8 ročníkov SŠ. - M., Vzdelávanie, 1981.

2.Bradis matematické tabuľky pre strednú školu. Ed. 57. - M., Vzdelávanie, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - úlohy vo vyučovaní matematiky. Kniha pre učiteľa. - M., Vzdelávanie, 1992.

4.M., Matematika (príloha novín „Prvý september“), číslo 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Okunevove funkcie, rovnice a nerovnice. Sprievodca pre učiteľa. - M., Vzdelávanie, 1972.

6. Solomnik B. C., Sladké otázky a úlohy z matematiky. Ed. 4., pridať. - M., Vyššia škola, 1973.

7.M., Matematika (príloha novín „Prvý september“), č.40,2000.

Preskúmanie

za prácu študenta 11. ročníka MOU „Sergievskaja stredoškolák

všeobecná škola"

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

s.Kopyevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1 .1 Štvorcové rovnicespory v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa v staroveku bola spôsobená potrebou riešenia problémov súvisiacich s hľadaním plôch zemských a zemných prác vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie, resp. samotnú matematiku. Kvadratické rovnice boli schopné vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Ak použijeme modernú algebraickú notáciu, môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematický výklad algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Úloha 11."Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96"

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienky problému vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by boli rovnaké, ich súčin by nebol 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovica ich suma, t.j. 10+x, druhý je menší, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x.

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-te roky 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedným z požadovaných čísel je 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

pri 2 - 20 rokov + 96 = 0. (2)

Je jasné, že Diophantus zjednodušuje riešenie výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Úlohy pre kvadratické rovnice sa už nachádzajú v astronomickom trakte „Aryabhattam“, ktorý v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem a, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vzdelaný človek zažiari slávu druhého na verejných stretnutiach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika XII. Bhaskara.

Úloha 13.

„Šikovný kŕdeľ opíc a dvanásť viniča...

Keď som jedol silu, bavil som sa. Začali skákať, visieť ...

Ôsma časť z nich vo štvorci Koľko tam bolo opíc,

Zábava na lúke. Povieš mi, v tomto stáde?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel o dvojhodnotovosti koreňov kvadratických rovníc (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara píše pod zámienkou:

X 2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec pridá k obom stranám 32 2 , potom získate:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Štvorcové rovniceal-Chorezmi

Al-Khorezmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. Oh 2 + s =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. Oh 2 = s.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. Oh 2 + s =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. Oh 2 + bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx+ c = ax 2 .

Pre al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním, nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor načrtáva metódy riešenia týchto rovníc pomocou metód al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Khorezmi, podobne ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc stanovuje al-Khorezmi pravidlá riešenia a potom geometrické dôkazy pomocou konkrétnych numerických príkladov.

Úloha 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (za predpokladu, že koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Treatise al - Khorezmi je prvá kniha, ktorá sa k nám dostala, v ktorej je systematicky uvedená klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII - XVIIstoročia

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu al - Khorezmi v Európe boli prvýkrát uvedené v „Knihe počítadla“, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky v krajinách islamu a starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z „Knihy počítadla“ prešli takmer do všetkých európskych učebníc 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

X 2 + bx= s,

pre všetky možné kombinácie znamienok koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Vieta má všeobecnú deriváciu vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Zohľadnite okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov získava spôsob riešenia kvadratických rovníc moderný vzhľad.

1.6 O Vietovej vete

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, nesúcu meno Vieta, sformuloval prvýkrát v roku 1591 takto: „Ak B + D vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, potom A rovná sa AT a rovní D».

Aby sme porozumeli Viete, musíme si to pamätať ALE, ako každá samohláska, pre neho znamenalo neznáme (náš X), samohlásky AT,D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená Vietova formulácia znamená: ak

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Viety má zároveň k modernému vzhľadu ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc zvažoval iba prípady, keď sú všetky odmocniny kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sú široko používané pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

V školskom kurze matematiky sa študujú vzorce koreňov kvadratických rovníc, pomocou ktorých môžete vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Zároveň existujú aj iné spôsoby riešenia kvadratických rovníc, ktoré umožňujú riešiť mnohé rovnice veľmi rýchlo a racionálne. Existuje desať spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Vo svojej práci som každý z nich podrobne rozobral.

1. METÓDA : Faktorizácia ľavej strany rovnice.

Poďme vyriešiť rovnicu

X 2 + 10x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, potom aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto ľavá strana rovnice zmizne pri x = 2, ako aj na x = - 12. To znamená, že číslo 2 a - 12 sú korene rovnice X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METÓDA : Metóda výberu plného štvorca.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 + 6x - 7 = 0.

Vyberieme celý štvorec na ľavej strane.

Za týmto účelom napíšeme výraz x 2 + 6x v nasledujúcom tvare:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Vo výslednom výraze je prvý člen druhou mocninou čísla x a druhý je dvojitým súčinom x x 3. Preto, aby ste dostali úplný štvorec, musíte pridať 3 2, pretože

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Teraz transformujeme ľavú stranu rovnice

X 2 + 6x - 7 = 0,

pripočítaním a odčítaním 3 2 . Máme:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Túto rovnicu teda možno zapísať takto:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

v dôsledku toho x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 alebo x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METÓDA :Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.

Vynásobte obe strany rovnice

Oh 2 + bx + c = 0, však? 0

na 4a a postupne máme:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2h) 2 + 2ax*b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Príklady.

a) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva rôzne korene;

Teda v prípade pozitívneho diskriminanta, t.j. pri

b 2 - 4 ac >0 , rovnica Oh 2 + bx + c = 0 má dva rôzne korene.

b) Poďme vyriešiť rovnicu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jeden koreň;

Ak je teda diskriminant nulový, t.j. b 2 - 4 ac = 0 , potom rovnica

Oh 2 + bx + c = 0 má jeden koreň

v) Poďme vyriešiť rovnicu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Táto rovnica nemá korene.

Takže ak je diskriminant negatívny, t.j. b 2 - 4 ac < 0 ,

rovnica Oh 2 + bx + c = 0 nemá korene.

Vzorec (1) koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 umožňuje nájsť korene akýkoľvek kvadratická rovnica (ak existuje), vrátane redukovanej a neúplnej. Vzorec (1) je verbálne vyjadrený takto: korene kvadratickej rovnice sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom plus mínus druhá odmocnina z tohto koeficientu bez štvornásobku súčinu prvého koeficientu voľným členom, a menovateľom je dvojnásobok prvého koeficientu.

4. SPÔSOB: Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Ako je známe, daná kvadratická rovnica má tvar

X 2 + px + c = 0. (1)

Jeho korene vyhovujú Vietovej vete, ktorá, keď a = 1 má formu

X 1 X 2 = q,

X 1 + X 2 = - p

Z toho môžeme vyvodiť nasledujúce závery (znamienka koreňov možno predpovedať z koeficientov p a q).

a) Ak súhrnný termín q redukovanej rovnice (1) je kladná ( q > 0 ), potom rovnica má dva korene rovnakého znamienka a to je závisť druhého koeficientu p. Ak R< 0 , potom sú oba korene záporné, ak R< 0 , potom sú oba korene kladné.

Napríklad,

X 2 - 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 a X 2 = 1, pretože q = 2 > 0 a p = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 a X 2 = - 1, pretože q = 7 > 0 a p= 8 > 0.

b) Ak je voľný člen q redukovanej rovnice (1) je záporná ( q < 0 ), potom má rovnica dva korene s rôznym znamienkom a väčší koreň v absolútnej hodnote bude kladný, ak p < 0 , alebo negatívne, ak p > 0 .

Napríklad,

X 2 + 4 X - 5 = 0; X 1 = - 5 a X 2 = 1, pretože q= - 5 < 0 a p = 4 > 0;

X 2 - 8 X - 9 = 0; X 1 = 9 a X 2 = - 1, pretože q = - 9 < 0 a p = - 8 < 0.

5. SPÔSOB: Riešenie rovníc metódou „prenosu“.

Zvážte kvadratickú rovnicu

Oh 2 + bx + c = 0, kde a? 0.

Vynásobením oboch jej častí a získame rovnicu

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Nechaj ah = y, kde x = y/a; potom sa dostaneme k rovnici

pri 2 + podľa+ ac = 0,

ekvivalentný tomuto. jeho korene pri 1 a pri 2 možno nájsť pomocou Vietovej vety.

Konečne sa dostávame

X 1 = y 1 /a a X 1 = y 2 /a.

Pri tejto metóde koeficient a sa vynásobí voľným pojmom, akoby sa mu „hodilo“, tak sa nazýva spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Riešenie. Koeficient 2 "prenesme" na voľný člen, výsledkom je rovnica

pri 2 - 11r + 30 = 0.

Podľa Vietovej vety

pri 1 = 5 X 1 = 5/2 X 1 = 2,5

pri 2 = 6 X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Odpoveď: 2,5; 3.

6. METÓDA: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

ALE. Nechajme kvadratickú rovnicu

Oh 2 + bx + c = 0, kde a? 0.

1) Ak, a+b+ c = 0 (t.j. súčet koeficientov je nula), potom x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dôkaz. Vydeľte obe strany rovnice a? 0, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu

X 2 + b/ a * X + c/ a = 0.

Podľa Vietovej vety

X 1 + X 2 = - b/ a,

X 1 X 2 = 1* c/ a.

Podľa podmienok a -b + c = 0, kde b= a + c. Touto cestou,

X 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

X 1 X 2 = - 1* (-c/a),

tie. X 1 = -1 a X 2 = c/ a, čo sme potrebovali dokázať.

Príklady.

1) Vyriešte rovnicu 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Riešenie. Pretože +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), potom

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Odpoveď: 1; -208/345.

2) Vyriešte rovnicu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Riešenie. Pretože +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), potom

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Odpoveď: 1; 115/132.

B. Ak druhý koeficient b = 2 k je párne číslo, potom vzorec koreňov

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Riešenie. Máme: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dva rôzne korene;

Odpoveď: 2; 8/3

AT. Redukovaná rovnica

X 2 +px+q= 0

sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b= p a c =q. Preto pre redukovanú kvadratickú rovnicu vzorec pre korene

má podobu:

Vzorec (3) je obzvlášť vhodný na použitie, keď R-- párne číslo.

Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 14x - 15 = 0.

Riešenie. Máme: X 1,2 =7±

Odpoveď: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METÓDA: Grafické riešenie kvadratickej rovnice.

Ak v rovnici

X 2 + px + q = 0

posuňte druhý a tretí výraz na pravú stranu, dostaneme

X 2 = - px - q.

Poďme vytvoriť grafy závislosti y \u003d x 2 a y \u003d - px - q.

Grafom prvej závislosti je parabola prechádzajúca počiatkom. Graf druhej závislosti -

priamka (obr. 1). Možné sú tieto prípady:

Priamka a parabola sa môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Priamka a parabola sa môžu dotýkať (iba jeden spoločný bod), t.j. rovnica má jedno riešenie;

Priamka a parabola nemajú spoločné body, t.j. kvadratická rovnica nemá korene.

Príklady.

1) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 3x - 4 = 0(obr. 2).

Riešenie. Rovnicu zapíšeme do tvaru X 2 = 3x + 4.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 3x + 4. priamy

y = 3x + 4 možno postaviť z dvoch bodov M (0; 4) a

N (3; 13) . Priamka a parabola sa pretínajú v dvoch bodoch

ALE a AT s úsečkou X 1 = - 1 a X 2 = 4 . Odpoveď: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Riešime rovnicu graficky (obr. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Riešenie. Rovnicu zapíšeme do tvaru X 2 = 2x - 1.

Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 1.

priamy y = 2x - 1 stavať na dvoch bodoch M (0; - 1)

a N(1/2; 0) . Čiara a parabola sa pretínajú v bode ALE s

úsečka x = 1. odpoveď:x = 1.

3) Vyriešme rovnicu graficky X 2 - 2x + 5 = 0(obr. 4).

Riešenie. Rovnicu zapíšeme do tvaru X 2 = 5x - 5. Zostavme parabolu y = x 2 a priamy y = 2x - 5. priamy y = 2x - 5 zostrojiť dvomi bodmi M(0; - 5) a N(2,5; 0). Priamka a parabola nemajú priesečníky, t.j. Táto rovnica nemá korene.

Odpoveď. Rovnica X 2 - 2x + 5 = 0 nemá korene.

8. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a vládcov.

Grafický spôsob riešenia kvadratických rovníc pomocou paraboly je nepohodlný. Ak postavíte parabolu bod po bode, potom to trvá veľa času a pri tom všetkom je miera presnosti získaných výsledkov nízka.

Navrhujem nasledujúcu metódu na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0 pomocou kružidla a pravítka (obr. 5).

Predpokladajme, že požadovaný kruh pretína os

úsečka v bodoch B(x 1 ; 0) a D(X 2 ; 0), kde X 1 a X 2 - korene rovnice Oh 2 + bx + c = 0, a prechádza cez body

A(0; 1) a C(0;c/ a) na osi y. Potom, podľa sekantovej vety, máme OB * OD = OA * OC, kde OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Stred kružnice je v priesečníku kolmic SF a SK, obnovené v stredných bodoch akordov AC a BD, preto

1) zostrojte body (stred kruhu) a A(0; 1) ;

2) nakreslite kruh s polomerom SA;

3) úsečky priesečníkov tohto kruhu s osou Oh sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

V tomto prípade sú možné tri prípady.

1) Polomer kruhu je väčší ako ordináta stredu (AS > SK, alebo R > a + c/2 a) , kružnica pretína os x v dvoch bodoch (obr. 6,a) B(x 1 ; 0) a D(X 2 ; 0) , kde X 1 a X 2 - korene kvadratickej rovnice Oh 2 + bx + c = 0.

2) Polomer kruhu sa rovná ordinate stredu (AS = SB, aleboR = a + c/2 a) , kružnica sa v bode dotýka osi Ox (obr. 6,b). B(x 1 ; 0) , kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice.

3) Polomer kružnice je menší ako ordináta stredu, kružnica nemá spoločné body s osou x (obr. 6, c), v tomto prípade rovnica nemá riešenie.

Príklad.

Poďme vyriešiť rovnicu X 2 - 2x - 3 = 0 (obr. 7).

Riešenie. Určte súradnice bodu stredu kruhu podľa vzorcov:

Narysujme kružnicu s polomerom SA, kde A (0; 1).

odpoveď: X 1 = -1; X 2 = 3.

9. METÓDA: Riešenie kvadratických rovníc s nomogramy.

Toto je stará a nezaslúžene zabudnutá metóda riešenia kvadratických rovníc, umiestnená na s. 83 (pozri Bradis V.M. Štvorhodnotové matematické tabuľky. - M., Osvietenie, 1990).

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovníc z 2 + pz + q = 0 . Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice jej koeficientmi.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 11):

Za predpokladu OS = p,ED = q, OE = a(všetky v cm), z podobnosti trojuholníkov SAN a CDF dostaneme pomer

odkiaľ po zámenách a zjednodušeniach nasleduje rovnica

z 2 + pz + q = 0,

a list z znamená označenie akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Príklady.

1) Pre rovnicu z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram dáva korene

z 1 = 8,0 a z 2 = 1,0 (obr. 12).

2) Rovnicu riešime pomocou nomogramu

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Koeficienty tejto rovnice vydelíme 2, dostaneme rovnicu

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 a z 2 = 0,5.

3) Pre rovnicu

z 2 - 25 z + 66 = 0

koeficienty p a q sú mimo mierky, vykonáme substitúciu z = 5 t, dostaneme rovnicu

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

ktorý vyriešime pomocou nomogramu a dostaneme t 1 = 0,6 a t 2 = 4,4, kde z 1 = 5 t 1 = 3,0 a z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METÓDA: Geometrický spôsob riešenia štvorca rovnice.

V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice neriešili algebraicky, ale geometricky. Uvediem príklad, ktorý sa preslávil z „algebry“ al-Khwarizmiho.

Príklady.

1) Vyriešte rovnicu X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný takto: „Druhá mocnina a desať odmocnín sa rovná 39“ (obr. 15).

Riešenie. Zoberme si štvorec so stranou x, na jeho stranách sú postavené obdĺžniky tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, teda plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec sa potom doplní do nového štvorca ABCD, pričom v rohoch sa doplnia štyri rovnaké štvorce, pričom strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25.

Námestie S námestie A B C D môže byť reprezentovaný ako súčet plôch: pôvodný štvorec X 2 , štyri obdĺžniky (4* 2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25* 4 = 25) , t.j. S = X 2 + 10x + 25. Výmena

X 2 + 10xčíslo 39 , chápeme to S = 39 + 25 = 64 , z čoho vyplýva, že strana štvorca A B C D, t.j. úsečka AB = 8. Pre požadovanú stranu X pôvodný štvorec, ktorý dostaneme

2) Ale napríklad ako starí Gréci riešili rovnicu pri 2 + 6 rokov - 16 = 0.

Riešenie znázornené na obr. 16, kde

pri 2 + 6r = 16, príp pri 2 + 6 rokov + 9 = 16 + 9.

Riešenie. Výrazy pri 2 + 6 rokov + 9 a 16 + 9 geometricky predstavujú rovnaký štvorec a pôvodnú rovnicu pri 2 + 6r - 16 + 9 - 9 = 0 je rovnaká rovnica. Odkiaľ to máme y + 3 = ± 5, alebo pri 1 = 2, r 2 = - 8 (obr. 16).

3) Vyriešte geometrickú rovnicu pri 2 - 6r - 16 = 0.

Transformáciou rovnice dostaneme

pri 2 - 6 rokov = 16.

Na obr. 17 nájdite „obrazy“ výrazu pri 2 - 6r, tie. od plochy štvorca so stranou y odčítajte dvojnásobok plochy štvorca so stranou rovnou 3 . Ak teda výraz pri 2 - 6r pridať 9 , potom dostaneme plochu štvorca so stranou pri - 3 . Nahradenie výrazu pri 2 - 6r má rovnaké číslo 16,

dostaneme: (y - 3) 2 = 16 + 9, tie. y - 3 = ± v25 alebo y - 3 = ± 5, kde pri 1 = 8 a pri 2 = - 2.

Záver

Kvadratické rovnice sú široko používané pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc.

Hodnota kvadratických rovníc pritom nespočíva len v elegancii a stručnosti riešenia problémov, aj keď to je veľmi významné. Nemenej dôležitá je skutočnosť, že v dôsledku používania kvadratických rovníc pri riešení úloh sa často objavujú nové detaily, dajú sa robiť zaujímavé zovšeobecnenia a spresnenia, ktoré sú vyvolané analýzou získaných vzorcov a vzťahov.

Chcel by som tiež poznamenať, že téma prezentovaná v tejto práci je stále málo preštudovaná, len sa ňou nezaoberá, preto je plná mnohých skrytých a neznámych, čo poskytuje vynikajúcu príležitosť na ďalšiu prácu na nej .

Tu som sa rozhodol pre otázku riešenia kvadratických rovníc a čo,

ak existujú iné spôsoby, ako ich vyriešiť?! Opäť nájsť krásne vzory, nejaké fakty, objasnenia, zovšeobecňovať, objavovať všetko nové a nové. Ale to sú otázky pre budúce práce.

Ak to zhrnieme, môžeme konštatovať: kvadratické rovnice zohrávajú obrovskú úlohu vo vývoji matematiky. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu. Toto poznanie nám môže byť užitočné po celý život.

Keďže sa tieto metódy na riešenie kvadratických rovníc ľahko používajú, určite by mali byť zaujímavé pre študentov, ktorí majú radi matematiku. Moja práca umožňuje iný pohľad na problémy, ktoré nám matematika kladie.

Literatúra:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. a kol., Algebra, 6-8. Skúšobná učebnica pre 6-8 ročník strednej školy. - M., Vzdelávanie, 1981.

2. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky pre strednú školu.Vyd. 57. - M., Vzdelávanie, 1990. S. 83.

3. Kružepov A.K., Rubanov A.T. Kniha problémov o algebre a elementárnych funkciách. Učebnica pre stredné odborné vzdelávacie inštitúcie. - M., vysoká škola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratické funkcie, rovnice a nerovnice. Sprievodca pre učiteľa. - M., Vzdelávanie, 1972.

5. Presman A.A. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou kružidla a pravítka. - M., Kvant, č.4/72. S. 34.

6. Solomník V.S., Milov P.I. Zbierka otázok a úloh z matematiky. Ed. - 4., pridať. - M., Vyššia škola, 1973.

7. Khudobin A.I. Zbierka úloh z algebry a elementárnych funkcií. Sprievodca pre učiteľa. Ed. 2. - M., Školstvo, 1970.

Shapovalová L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH č. 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 trieda. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. č. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. č. 8622 / 0790 - 260 s.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 trieda. Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. č. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. č. 8622 / 0790 - 270 s.

3. Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole č. 8622 / 0790 / G.I. Glaser. č. 8622 / 0790 - M .: Školstvo, 1982. č. 8622 / 0790 - 340 s.

4. Gusev V.A. Matematika. Referenčné materiály / V.A. Gusev, A.G. Mordkovič. č. 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. č. 8622 / 0790 - 372 s.

5. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky pre SŠ / V.M. Bradis. č. 8622 / 0790 - M .: Školstvo, 1990. č. 8622 / 0790 - 83 s.

6. Vietova veta. č. 8622 / 0790 - Režim prístupu: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Vietin teorém (zdroje vzdialeného prístupu (internet) ). 20.01.2016.

7. Kvadratické rovnice. č. 8622 / 0790 - Režim prístupu: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (zdroje vzdialeného prístupu (internet)). 20.01.2016.

Teória rovníc zaujíma popredné miesto v algebre a matematike všeobecne. Jeho význam nespočíva len v teoretickom význame pre poznanie prírodných zákonitostí, ale slúži aj praktickým účelom. Väčšina životných problémov spočíva v riešení rôznych typov rovníc a častejšie sú to rovnice kvadratického tvaru.

Školský vzdelávací program zvažuje len 3 spôsoby ich riešenia. V rámci prípravy na blížiace sa skúšky som sa začal zaujímať o iné spôsoby týchto rovníc. Preto som si vybral tému „10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc“.

Aktuálnosť tejto témy spočíva v tom, že na hodinách algebry, geometrie, fyziky sa veľmi často stretávame s riešením kvadratických rovníc. Preto by mal byť každý študent schopný správne a racionálne riešiť kvadratické rovnice, čo je užitočné aj pri riešení zložitejších problémov, a to aj pri skladaní skúšok.

Účel práce: študovať rôzne spôsoby riešenia kvadratických rovníc, naučiť sa riešiť kvadratické rovnice.

Zvážte štandardné a neštandardné metódy riešenia kvadratických rovníc;

Identifikujte najpohodlnejšie spôsoby riešenia kvadratických rovníc;

Naučte sa riešiť kvadratické rovnice rôznymi spôsobmi.

Predmet štúdia: kvadratické rovnice.

Predmet štúdia: spôsoby riešenia kvadratických rovníc.

Výskumné metódy:

Teoretické: štúdium literatúry k výskumnej téme, štúdium tematických internetových zdrojov;

Analýza prijatých informácií;

Porovnanie metód riešenia kvadratických rovníc pre pohodlie a racionalitu.

Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c \u003d 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla, zatiaľ čo a? 0. Koreňom takejto rovnice je hodnota premennej, ktorá zmení štvorcovú trojčlenku na nulu, teda hodnota, ktorá zmení kvadratickú rovnicu na identitu. Koeficienty kvadratickej rovnice majú svoje názvy: koeficient a sa nazýva prvý alebo starší, koeficient b sa nazýva druhý alebo koeficient v x, c sa nazýva voľný člen tejto rovnice.

Úplná kvadratická rovnica je taká, ktorej koeficienty sú všetky nenulové (a, b, c - 0).

Nazýva sa redukovaná kvadratická rovnica, v ktorej sa vodiaci koeficient rovná jednej. Takúto rovnicu možno získať vydelením celého výrazu vodiacim koeficientom a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Neúplné kvadratické rovnice sú troch typov:

1) ax2 + c = 0, kde c je 0;

2) ax 2 + bx = 0, kde b - 0;

V rámci tejto práce sa budeme zaoberať metódami riešenia iba úplných kvadratických rovníc.

Riešenie kvadratických rovníc podľa všeobecného vzorca

Na riešenie kvadratických rovníc sa používa metóda hľadania koreňov cez diskriminant. Na nájdenie diskriminantu sa používa nasledujúci vzorec: D = b 2 - 4ac. Po nájdení D použijeme vzorec na nájdenie koreňov rovnice

Stojí za zmienku, že ak:

D > 0 - rovnica má dva korene;

D \u003d 0 - rovnica má jeden koreň;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1.1).

Ryža. 1. Praktická časť

Faktorizácia ľavej strany

Na demonštráciu metódy riešime rovnicu x 2 + 10x - 24 = 0.

Rozložme ľavú stranu na faktor:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Preto je možné rovnicu prepísať takto:

(x + 12) (x - 2) = 0

Keďže súčin je nula, potom aspoň jeden z jeho faktorov je nula. Preto ľavá strana rovnice zmizne pri x = 2 a tiež pri x = -12.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,2).

Výber úplného štvorca je taká transformácia identity, v ktorej je daná trojčlenka reprezentovaná ako (a ± b) 2 súčet alebo rozdiel druhej mocniny dvojčlenu a nejakého číselného alebo doslovného výrazu.

Vyriešme rovnicu x 2 + 14x + 40 = 0.

Rozložme polynóm na faktory pomocou úplnej štvorcovej metódy.

Ak chcete použiť prvý vzorec, musíte získať výraz

x2 + 14x + 49 = 0.

Preto sčítame a odčítame číslo 9 od polynómu x 2 + 14x + 40, aby sme vybrali celý štvorec

x 2 + 14 x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Použime vzorec "rozdiel štvorcov" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0 x + 10 = 0

x1 = - 4 x 2 = - 10

Odpoveď: -4; - desať.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,3).

Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety

Ak chcete vyriešiť úplnú kvadratickú rovnicu podľa Vietovej vety, musíte celú rovnicu vydeliť koeficientom a. Pre rovnicu x 2 + px + q = 0, ak x1 a x2 sú jej korene, platia vzorce:

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,4).

Riešenie rovníc pomocou vlastností koeficientov

Ak je splnená nasledujúca podmienka: a + c = b, potom x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1 x 2 = - 1/4

Ak je splnená nasledujúca podmienka:

a + b + c = 0, potom x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Príklad nemožnosti riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,5).

Riešenie rovníc metódou „prenosu“.

Metóda takzvaného „prenosu“ umožňuje redukovať riešenie neredukovaných a netransformovateľných rovníc do tvaru redukovaných s celočíselnými koeficientmi ich delením vodiacim koeficientom rovníc na riešenie rovníc redukovaných celým číslom. koeficienty. Je to nasledovné: vynásobte rovnicu ax 2 + bx + c = 0 a.

Dostaneme: a 2 x2 + abx + aс = 0. Zavedme novú premennú y = ax. Dostaneme y 2 +by+ac = 0. Korene tejto rovnice sú y1 a y2. Preto x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,6).

Vyriešme rovnicu x 2 - 4x - 12 = 0.

Predstavme si to ako x 2 - 4x = 12.

Na obr. 2 "zobrazuje" výraz x - 4x, t.j. plocha štvorca so stranou x sa dvakrát odpočíta od plochy štvorca so stranou 2. Takže x 2 - 4x + 4 je plocha štvorca so stranou x - 2.

Po nahradení x 2 - 4x = 12 dostaneme

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4 x - 2 = - 4

Odpoveď: x1 = 6, x1 = - 2.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,7).

V rovnici x 2 + px + q = 0 presunieme druhý a tretí člen na pravú stranu rovnice. Získame: x 2 \u003d - px - q. Zostavme si grafy funkcií

y = x 2 (parabola);

y = - qx - p (priama čiara).

Treba poznamenať, že:

Ak sa priamka a parabola môžu pretínať v dvoch bodoch, úsečky priesečníkov sú koreňmi kvadratickej rovnice;

Ak sa priamka dotýka paraboly (iba jeden spoločný bod), potom má rovnica jeden koreň;

Ak priamka a parabola nemajú spoločné body, t.j. kvadratická rovnica nemá korene.

Riešenie rovnice pomocou kružidla a pravítka

Vyriešme rovnicu ax 2 + bx + c = 0:

1) zostrojte body na rovine súradníc:

A(- b/2a; (a + c)/2a) je stred kruhu a B(0; 1)

2) Narysuj kružnicu r = AB

3) Abcisy priesečníkov s osou Ox sú koreňmi pôvodnej rovnice

Treba poznamenať, že:

Ak je polomer kruhu väčší ako ordináta stredu (AB > AC, alebo R > (a + c) / 2a), kruh.

Pretína os x v dvoch bodoch K(x1; 0) a N(x2; 0), kde x1 a x2 sú korene kvadratickej rovnice x2 + bx + c = 0.

Ak sa polomer kruhu rovná osi stredu (AB \u003d AC alebo R \u003d (a + c) / 2a), kruh sa dotkne osi x v bode C (x; 0), kde x1 je koreň kvadratickej rovnice.

Ak je polomer kruhu menší ako ordináta stredu (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Príklad riešenia rovnice týmto spôsobom je na obr. 1 (1,9).

Toto je starý a dnes už zabudnutý spôsob riešenia kvadratických rovníc.

Nomogram udáva hodnoty kladných koreňov rovnice z 2 + pz + q \u003d 0. Ak má rovnica korene rôznych znamienok, potom po nájdení kladného koreňa z nomogramu je záporný zistené odčítaním kladu od - p.

Ryža. 6. Typ monogramu na riešenie rovnice z 2 + pz + q = 0

V prípade, že sú oba korene záporné, zoberú z = - t a nájdu dva kladné korene t1 z nomogramu; t 2 rovnice t 2 + - pt + z = 0 a potom z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Ak sú koeficienty p a q mimo mierky, vykonajte substitúciu z = kt a rovnicu vyriešte pomocou nomogramu

kde k sa berie tak, že nerovnosti

Tvar monogramu na riešenie rovnice z 2 + pz + q = 0 nájdete na obr. 6.

„Pre“ a „proti“ rôznych riešení

Názov metódy riešenia kvadratických rovníc
Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca	Dá sa použiť na všetky kvadratické rovnice.	Musíte sa naučiť vzorce.
Faktorizácia ľavej strany rovnice	Umožňuje okamžite vidieť korene rovnice.	Je potrebné správne vypočítať podmienky na zoskupovanie.
Metóda výberu plného štvorca	Pre minimálny počet akcií môžete nájsť korene rovníc	Na výber celého štvorca je potrebné správne nájsť všetky výrazy.
Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety	Pomerne jednoduchý spôsob umožňuje okamžite vidieť korene rovnice.	ľahko sa dajú nájsť len celé korene.
Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice	Nevyžaduje veľa úsilia	Hodí sa len na niektoré rovnice
Riešenie rovníc prenosovou metódou	Pre minimálny počet akcií môžete nájsť korene rovnice, používa sa v spojení s metódou Vietovej vety.	je ľahké nájsť iba celé korene.
Geometrický spôsob riešenia kvadratických rovníc	Vizuálny spôsob.	podobne ako pri výbere celého štvorca
Grafické riešenie kvadratickej rovnice	vizuálnym spôsobom	V plánovaní môžu byť nepresnosti
Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka	vizuálnym spôsobom	Nemusí byť presné
Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu	Intuitívne, jednoduché použitie.	Nie vždy je po ruke nomogram.

Záver

V rámci tejto výskumnej práce sa mi podarilo zovšeobecniť a systematizovať preberaný materiál na zvolenú tému, naštudovať si rôzne spôsoby riešenia kvadratických rovníc, naučiť sa riešiť kvadratické rovnice 10 spôsobmi. Treba poznamenať, že nie všetky sú vhodné na riešenie, ale každý z nich je zaujímavý svojím vlastným spôsobom. Z môjho pohľadu budú najracionálnejšie na použitie metódy študované v škole: 1.1. (podľa vzorca); 1.4. (podľa Vietovej vety); ako aj metóda 1.5. (pomocou vlastností koeficientov).

Ak to zhrnieme, môžeme konštatovať: kvadratické rovnice hrajú v matematike obrovskú úlohu. Tieto poznatky sa nám môžu hodiť nielen v škole a na univerzite, ale aj počas celého života.

Bibliografický odkaz

Ulevsky S.A. DESAŤ SPÔSOBOV RIEŠENIA KVADRATICKÝCH ROVNIC // Začnite vo vede. - 2016. - č. 1. - S. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (dátum prístupu: 30.12.2019).

snímka 1

snímka 2

Cieľ predmetu: Oboznámenie sa s novými metódami riešenia kvadratických rovníc Prehĺbenie vedomostí na tému "Kvadrické rovnice" Rozvoj matematických, intelektových schopností, bádateľských zručností Vytváranie podmienok pre sebarealizáciu jednotlivca

snímka 3

Cieľ predmetu: Oboznámiť študentov s novými spôsobmi riešenia kvadratických rovníc Upevniť schopnosť riešiť rovnice známymi metódami Zaviesť vety, ktoré umožňujú riešiť rovnice neštandardnými spôsobmi Pokračovať vo formovaní všeobecných vzdelávacích zručností, matematickej kultúry Podporovať tvorbu záujmu o vedeckovýskumnú činnosť Vytvárať u žiakov podmienky na realizáciu a rozvíjanie záujmu o predmet matematika Pripraviť žiakov na správnu voľbu profilového smeru

snímka 4

Obsah programu Téma 1. Úvod. 1 hodina. Definícia kvadratickej rovnice. Plné a neúplné m2. rovnice. Spôsoby ich riešenia. Spochybňovanie. Téma 2. Riešenie sq. rovnice. Metóda faktoringu Metóda výberu plného štvorca Riešenie sq. rovnice podľa vzorcov Riešenie štvorec. rovnice prenosovou metódou Riešenie sq. rovnice s použitím t. Vieta Riešenie sq. rovnice pomocou koeficientu Riešenie sq. rovnice grafickým spôsobom Riešenie sq. rovnice pomocou kružidla a pravítka Riešenie sq. rovnice geometrickým spôsobom Riešenie kv. rovnice pomocou "nomogramov"

snímka 5

Trochu histórie... Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna stavba algebry. Kvadratické rovnice sú široko používané pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Kvadratické rovnice v starovekom Babylone. Kvadratické rovnice v Indii. Kvadratické rovnice v al-Khorezmi. Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia.

snímka 6

Snímka 7

Snímka 8

Snímka 9

snímka 10

Slávny francúzsky vedec Francois Viet (1540-1603) bol povolaním právnik. Vo voľnom čase sa venoval astronómii. Hodiny astronómie vyžadovali znalosti z trigonometrie a algebry. Viet sa chopil týchto vied a čoskoro dospel k záveru, že je potrebné ich zlepšiť, na čom pracoval niekoľko rokov. Vďaka jeho práci sa algebra stáva všeobecnou vedou o algebraických rovniciach založených na doslovnom počte. Preto bolo možné vyjadriť vlastnosti rovníc a ich korene všeobecnými vzorcami.

snímka 11

Pri práci som si všimol nasledovné: Metódy, ktoré budem používať: Vietov teorém Vlastnosti koeficientov Metóda "prenosu" Faktorizácia ľavej strany na faktory Grafická metóda Metódy sú zaujímavé, ale zaberajú veľa času a nie sú vždy pohodlné. Grafická metóda Pomocou nomogramu Pravítka a kružidlá Výber celého štvorca Skláňam sa pred vedcami, ktorí tieto metódy objavili a dali vede podnet na rozvoj v téme „Riešenie kvadratických rovníc“

snímka 12

Faktorizácia ľavej strany rovnice Riešime rovnicu x2 + 10x - 24=0. Faktorizácia ľavej strany: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 alebo x - 2=0 x= -12 x= 2 Odpoveď: x1= -12, x2 = 2. Riešte rovnice: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

snímka 13

Metóda výberu plného štvorca Vyriešte rovnicu x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 alebo x-3=-4 x=1 x=-7 Odpoveď: x1=1, x2=-7. Riešte rovnice: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

snímka 14

Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca Základné vzorce: Ak je b nepárne, potom D= b2-4ac a x 1,2=, (ak D> 0) Ak je b párne, potom D1= a x1,2=, (ak D >0) Riešte rovnice: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

snímka 15

Riešenie rovníc prenosovou metódou Riešime rovnicu ax2 +bx+c=0. Vynásobíme obe strany rovnice a, dostaneme a2 x2 +abx+ac=0. Nech ax = y, odkiaľ x = y/a. Potom U2 +buy+ac=0. Jeho korene sú y1 a y2. Nakoniec x1 = y1/a, x1 = y2/a. Riešime rovnicu 2x2 -11x + 15=0. Prenesme koeficient 2 do voľného termínu: Y2 -11y+30=0. Podľa Vietovej vety y1 = 5 a y2 = 6. x1 = 5/2 a x2 = 6/2 x1 = 2,5 a x2 = 3 Odpoveď: x1 = 2,5, x2 = 3 Vyriešte rovnicu: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

snímka 16

Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety Riešime rovnicu x2 +10x-24=0. Pretože x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, potom 24 \u003d 2 * 12, ale -10 \u003d -12 + 2, potom x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Odpoveď: x1 \u003d , x2 \u003d -12. Riešte rovnice: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

snímka 17

Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice Ak a+b+c=0, potom x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Riešime rovnicu 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, teda x1 =1, x2 = -7/1 = -7. 2 - 3+1=0, teda x1= - 1, x2 = -1/2 Odpoveď: x1=1, x2 = -7. Odpoveď: x1=-1, x2=-1/2. Riešte rovnice: 5x2 - 7x +2 =0 Riešte rovnice: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

s.Kopyevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Ak použijeme modernú algebraickú notáciu, môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematický výklad algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Úloha 11."Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96"

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedným z požadovaných čísel je 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

r 2 - 20 r + 96 = 0. (2)

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

ach 2+bx = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem a, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika XII. Bhaskara.

Úloha 13.

„Šikovný kŕdeľ opíc a dvanásť viniča...

Keď som jedol silu, bavil som sa. Začali skákať, visieť ...

Ôsma časť z nich vo štvorci Koľko tam bolo opíc,

Zábava na lúke. Povieš mi, v tomto stáde?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel o dvojhodnotovosti koreňov kvadratických rovníc (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara píše pod zámienkou:

x 2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec pridá k obom stranám 32 2 , potom získate:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khorezmi

Al-Khorezmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c =bX.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ax 2 = s.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c =bX.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ach 2+bx= s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j.bx+ c \u003d sekera 2.

Úloha 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (za predpokladu koreňa rovnice x 2 + 21 = 10x).

Treatise al - Khorezmi je prvá kniha, ktorá sa k nám dostala, v ktorej je systematicky uvedená klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v EurópeXIII - XVIIstoročia

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2+bx= s,

pre všetky možné kombinácie znamienok koeficientov b, s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

1.6 O Vietovej vete

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Viety má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc zvažoval iba prípady, keď sú všetky odmocniny kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc