Cine a introdus derivatul? Ce este o derivată Definiția și semnificația unei funcții derivate. Semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în competențele chiar și ale celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a evita greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangent la acest grafic într-un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este un punct cheie în soluție și orice greșeală aici va duce la un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi compusă corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime din graficul derivat, urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Din nou verificăm zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt crescătoare și descrescătoare:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. Se spune că o funcție f(x) este descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Acestea. O valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creștere și scădere:

1. Pentru a funcție continuă f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, adică. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerouri ale derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel încât f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Fie ca funcția să fie definită într-un punct și o parte din vecinătatea acestuia. Să dăm argumentului un increment astfel încât punctul să se încadreze în domeniul de definire al funcției. Funcția va fi apoi incrementată.

DEFINIȚIE. Derivată a unei funcții într-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului, la (dacă această limită există și este finită), adică.

Notați: ,,,.

Derivată a unei funcții într-un punct din dreapta (stânga) numit

(dacă această limită există și este finită).

Desemnată prin: , – derivată în punctul din dreapta,

, este derivata în punctul din stânga.

Evident, următoarea teoremă este adevărată.

TEOREMA. O funcție are o derivată într-un punct dacă și numai dacă în acest punct derivatele funcției din dreapta și din stânga există și sunt egale între ele. în plus

Următoarea teoremă stabilește o legătură între existența unei derivate a unei funcții într-un punct și continuitatea funcției în acel punct.

TEOREMA (conditie necesara pentru existenta unei derivate a unei functii intr-un punct). Dacă o funcție are o derivată într-un punct, atunci funcția în acel punct este continuă.

DOVADA

Lasă-l să existe. Apoi

,

unde este infinitezimal la.

cometariu

derivata unei functii si denota

diferențierea funcției .

SENS GEOMETRIC ȘI FIZIC

1) Sensul fizic al derivatului. Dacă o funcție și argumentele ei sunt mărimi fizice, atunci derivata este rata de schimbare a unei variabile în raport cu variabila într-un punct. De exemplu, dacă este distanța acoperită de un punct în timp, atunci derivata sa este viteza în momentul de timp. Dacă este cantitatea de electricitate care curge prin secțiunea transversală a conductorului într-un moment de timp, atunci este rata de modificare a cantității de electricitate într-un moment de timp, adică puterea curentă la un moment dat.

2) Sensul geometric al derivatului.

Să fie o curbă, să fie un punct pe curbă.

Se numește orice dreaptă care intersectează cel puțin două puncte secantă .

Tangent la o curbă într-un punct numită poziție limită a unei secante dacă punctul tinde să se deplaseze de-a lungul unei curbe.

Din definiție este evident că dacă o tangentă la o curbă există într-un punct, atunci este singura

Luați în considerare o curbă (adică un grafic al unei funcții). Să aibă o tangentă non-verticală într-un punct. Ecuația sa: (ecuația unei drepte care trece printr-un punct și având un coeficient unghiular).

Prin definiția pantei

unde este unghiul de înclinare al dreptei față de axă.

Fie unghiul de înclinare al secantei față de axă, unde. De când este o tangentă, atunci când

Prin urmare,

Astfel, am prins asta – coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcţiei în punct(sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct). Prin urmare, ecuația tangentei la curbă într-un punct poate fi scrisă sub formă

cometariu . Se numește o dreaptă care trece printr-un punct perpendicular pe tangenta trasată la curbă în punctul respectiv normală cu curba în punct . Deoarece coeficienții unghiulari ai dreptelor perpendiculare sunt legați prin relație, ecuația normalei la curba într-un punct va avea forma

, Dacă .

Dacă , atunci tangenta la curba în punct va avea forma

si normal.

ECUATII TANGENTE SI NORMALE

Ecuația tangentei

Fie ca funcția să fie dată de ecuație y=f(X), trebuie să scrieți ecuația tangentă la punct X 0. Din definiția derivatului:

y/(X)=limΔ X→0Δ yΔ X

Δ y=f(X+Δ X)−f(X).

Ecuația tangentă la graficul funcției: y=kx+b (k,b=const). Din sensul geometric al derivatului: f/(X 0)=tgα= k Deoarece X 0 și f(X 0)∈ dreaptă, apoi ecuația tangentă se scrie ca: y−f(X 0)=f/(X 0)(X−X 0) sau

y=f/(X 0)· X+f(X 0)−f/(X 0)· X 0.

Ecuație normală

Normal- este perpendicular pe tangentă(Vezi poza). Bazat pe acest lucru:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(X 0)

Deoarece unghiul de înclinare al normalei este unghiul β1, atunci avem:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(X).

Punct ( X 0,f(X 0))∈ normal, ecuația ia forma:

y−f(X 0)=−1f/(X 0)(X−X 0).

DOVADA

Lasă-l să existe. Apoi

,

unde este infinitezimal la.

Dar aceasta înseamnă că este continuă într-un punct (vezi definiția geometrică a continuității). ∎

cometariu . Continuitatea unei funcții într-un punct nu este o condiție suficientă pentru existența unei derivate a acestei funcții într-un punct. De exemplu, o funcție este continuă, dar nu are derivată într-un punct. Într-adevăr,

și deci nu există.

Este evident că corespondența este o funcție definită pe un anumit set. Ei o sună derivata unei functii si denota

Operația de a găsi pentru o funcție funcția sa derivată se numește diferențierea funcției .

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) și g(x) ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescrisă ca sumă f + (−1) g, și atunci rămâne o singură formulă - derivata sumei.

Conținutul articolului

DERIVAT– derivata functiei y = f(X), dat pe un anumit interval ( A, b) la un moment dat X al acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0 și într-un moment următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 - la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a deplasat foarte repede și, la sfârșit, foarte lent, atunci viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile indicate ale mișcării punctului și să dea o idee despre adevărata viteză a mișcării sale în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza curentă:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția liniilor tangente este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată legată de calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată O nouă metodă a maximelor și minimelor, precum și a tangentelor, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale nu reprezintă un obstacol și un tip special de calcul pentru aceasta.

Fie curba graficul funcției y =f(X) într-un sistem de coordonate dreptunghiular ( cm. orez.).

La o oarecare valoare X funcția contează y =f(X). Aceste valori XȘi y punctul de pe curbă corespunde M 0(X, y). Dacă argumentul X da increment D X, apoi noua valoare a argumentului X+D X corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(X + D X). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(X+D X,y+D y). Daca desenezi o secanta M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, din figură reiese imediat că .

Daca acum D X tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D X. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( X) = tga

acestea. valoare derivată f´( X) pentru o valoare de argument dată X este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(X) în punctul corespunzător M 0(X,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiție. Dacă funcţia y = f(X) are o derivată la punct X = X 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |X| continuă pentru toată lumea X(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcțiilor diferențiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segment [A,b], este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și la capete X = AȘi X = b merge la zero ( f(A) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ A,b] există cel puțin un punct X= Cu, A c b, în ​​care derivata fў( X) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există cel puțin un punct Cu, A c b că

f(b) – f(A) = fў( c)(b– A).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(X) Și g(X) – două funcții continue pe segment [A, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( X) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există un astfel de punct X = Cu, A c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(X) este diferențiabilă pe un anumit interval [ A, b]. Valori derivate f ў( X), în general, depind de X, adică derivat f ў( X) este, de asemenea, o funcție a X. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(X), care este notat f ўў ( X).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(X) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(X), Unde X– variabilă independentă, da dy = f ў( X)dx, unele functii de la X, dar din X numai primul factor poate depinde f ў( X), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente Xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la X, atunci putem determina diferenţialul acestei funcţii. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(X)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul 1 cu privire la x i este definit ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

(\large\bf Derivată a unei funcții)

Luați în considerare funcția y=f(x), specificat pe interval (a, b). Lăsa X- orice punct fix al intervalului (a, b), A Δx- un număr arbitrar astfel încât valoarea x+Δx aparține și intervalului (a, b). Acest număr Δx numită increment de argument.

Definiție. Creșterea funcției y=f(x) la punct X, corespunzătoare incrementului de argument Δx, hai să sunăm la numărul

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Noi credem că Δx ≠ 0. Luați în considerare la un punct fix dat X raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argument corespunzător Δx

Vom numi această relație relația de diferență. Din moment ce valoarea X considerăm fix, raportul de diferență este o funcție a argumentului Δx. Această funcție este definită pentru toate valorile argumentului Δx, aparținând unui cartier suficient de mic al punctului Δx=0, cu excepția punctului în sine Δx=0. Astfel, avem dreptul să luăm în considerare problema existenței unei limite a funcției specificate la Δx → 0.

Definiție. Derivata unei functii y=f(x) la un punct fix dat X numită limită la Δx → 0 raportul de diferență, adică

Cu condiția ca această limită să existe.

Desemnare. y′(x) sau f′(x).

Sensul geometric al derivatului: Derivată a unei funcții f(x)în acest moment X egală cu tangentei unghiului dintre axe Bouși o tangentă la graficul acestei funcții în punctul corespunzător:

f′(x 0) = \tgα.

Sensul mecanic al derivatului: Derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie a punctului:

Ecuația unei tangente la o dreaptă y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) ia forma

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normala la o curbă la un punct este perpendiculară pe tangenta din același punct. Dacă f′(x 0)≠ 0, apoi ecuația normalei la dreapta y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) este scris asa:

Conceptul de diferentiabilitate a unei functii

Lasă funcția y=f(x) definite pe un anumit interval (a, b), X- o valoare fixă ​​a argumentului din acest interval, Δx- orice creștere a argumentului astfel încât valoarea argumentului x+Δx ∈ (a, b).

Definiție. Funcţie y=f(x) numită diferențiabilă într-un punct dat X, dacă se incrementează Δy această funcție la punctul X, corespunzătoare incrementului de argument Δx, poate fi reprezentat sub forma

Δy = A Δx +αΔx,

Unde A- un număr independent de Δx, A α - funcția argument Δx, care este infinitezimal la Δx→ 0.

Deoarece produsul a două funcții infinitezimale αΔx este mai mult infinitezimal ordin înalt, Cum Δx(proprietatea a 3 funcții infinitezimale), atunci putem scrie:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Pentru functia y=f(x) era diferențiabilă la un punct dat X, este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct. în care A=f′(x), acesta este

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operația de găsire a derivatei se numește de obicei diferențiere.

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) X, atunci este continuă în acest moment.

cometariu. Din continuitatea funcţiei y=f(x)în acest moment X, în general, diferențiabilitatea funcției nu urmează f(x)în acest moment. De exemplu, funcția y=|x|- continuu la un punct x=0, dar nu are derivat.

Conceptul funcției diferențiale

Definiție. Diferenţial de funcţie y=f(x) se numeste produsul derivatei acestei functii si incrementul variabilei independente X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Pentru funcție y=x primim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, acesta este dx=Δx- diferenţa unei variabile independente este egală cu incrementul acestei variabile.

Astfel, putem scrie

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenţial dyși crește Δy funcții y=f(x)în acest moment X, ambele corespunzând aceluiași increment de argument Δx, în general, nu sunt egale între ele.

Sensul geometric al diferenţialului: Diferenţiala unei funcţii este egală cu incrementul ordonatei tangentei la graficul acestei funcţii atunci când argumentul este incrementat Δx.

Reguli de diferențiere

Teorema. Dacă fiecare dintre funcţii u(x)Și v(x) diferentiabila la un punct dat X, apoi suma, diferența, produsul și câtul acestor funcții (cotul cu condiția ca v(x)≠ 0) sunt de asemenea diferențiabile în acest moment, iar formulele sunt valabile:

Luați în considerare funcția complexă y=f(φ(x))≡ F(x), Unde y=f(u), u=φ(x). În acest caz u numit argument intermediar, X - variabila independenta.

Teorema. Dacă y=f(u)Și u=φ(x) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, apoi derivata unei funcții complexe y=f(φ(x)) există și este egal cu produsul acestei funcții față de argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar față de variabila independentă, i.e.

cometariu. Pentru o funcție complexă care este o suprapunere a trei funcții y=F(f(φ(x))), regula de diferențiere are forma

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

unde sunt functiile v=φ(x), u=f(v)Și y=F(u)- funcţiile diferenţiabile ale argumentelor lor.

Teorema. Lasă funcția y=f(x) crește (sau scade) și este continuă într-o anumită vecinătate a punctului x 0. Fie, în plus, această funcție să fie diferențiabilă în punctul indicat x 0și derivatul său în acest moment f′(x 0) ≠ 0. Apoi în vreo vecinătate a punctului corespunzător y 0 =f(x 0) inversul este definit pentru y=f(x) funcţie x=f -1 (y), iar funcția inversă indicată este diferențiabilă în punctul corespunzător y 0 =f(x 0) iar pentru derivatul său în acest moment y formula este valabila

Tabelul derivatelor

Invarianța formei primului diferențial

Să luăm în considerare diferența unei funcții complexe. Dacă y=f(x), x=φ(t)- funcțiile argumentelor lor sunt diferențiabile, apoi derivata funcției y=f(φ(t)) exprimat prin formula

y′ t = y′ x x′ t.

A-prioriu dy=y′ t dt, apoi primim

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Deci, am dovedit

Proprietatea de invarianță a formei primei diferențiale a unei funcții: ca în cazul când argumentul X este o variabilă independentă, iar în cazul în care argumentul Xîn sine este o funcție diferențiabilă a noii variabile, diferenţialul dy funcții y=f(x) este egală cu derivata acestei funcții înmulțită cu diferența argumentului dx.

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Am arătat că diferenţialul dy funcții y=f(x), în general, nu este egal cu incrementul Δy această funcție. Totuși, cu o precizie până la infinit funcție mică de ordin mai mare de micime decât Δx, egalitatea aproximativă este valabilă

Δy ≈ dy.

Raportul se numește eroarea relativă a egalității acestei egalități. Deoarece Δy-dy=o(Δx), atunci eroarea relativă a acestei egalități devine la fel de mică pe cât se dorește odată cu descreșterea |Δх|.

Având în vedere că Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, primim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx sau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Această egalitate aproximativă permite cu eroare o(Δx) funcția de înlocuire f(x)într-un cartier mic al punctului X(adică pentru valori mici Δx) funcție liniară argument Δx, stând pe partea dreaptă.

Derivate de ordin superior

Definiție. Derivată a doua (sau derivată de ordinul doi) a unei funcții y=f(x) se numește derivata primei sale derivate.

Notație pentru derivata a doua a unei funcții y=f(x):

Sensul mecanic al derivatei a doua. Dacă funcţia y=f(x) descrie legea mișcării unui punct material într-o linie dreaptă, apoi derivata a doua f″(x) egală cu accelerația unui punct în mișcare în momentul de timp X.

Derivatele a treia și a patra sunt determinate în mod similar.

Definiție. n a-a derivată (sau derivată n-al-lea) funcţii y=f(x) se numeste derivata acesteia n-1 derivata-a:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Denumiri: y″′, y IV, y V etc.

Sensul geometric al derivatului

DEFINIȚIA TANGENTEI LA O CURBA Tangent la o curbă y=ƒ(x) la punct M se numește poziție limită a unei secante trase printr-un punct Mși punctul adiacent acestuia M 1 curba, cu condiția ca punctul M 1 se apropie la infinit de-a lungul curbei până la punct M. SEMNIFICAȚIA GEOMETRICĂ A DERIVATULUI Derivata unei functii y=ƒ(x) la punct X 0 este numeric egal cu tangentei unghiului de înclinare la axă Oh tangentă la curbă y=ƒ(x) la punct M (x 0; ƒ(x 0)).

VARIAȚIE DOTICĂ LA CURBA Punctată la curbă y=ƒ(x) exact M se numeste pozitia la limita a dreptei trasate prin punct M iar următorul punct cu ea M 1 strâmb, pentru minte, ce rost M 1 curba se apropie inevitabil de punct M. GEOMETRIC ZMIST POKHIDNOI Funcții similare y=ƒ(x) exact x 0 egal numeric cu tangentei pantei la axă Oh dotic, efectuat la curbă y=ƒ(x) exact M (x 0; ƒ(x 0)).

Sensul practic al derivatului

Să luăm în considerare ce înseamnă practic cantitatea pe care am găsit-o ca derivată a unei anumite funcții.

În primul rând, derivat- acesta este conceptul de bază al calculului diferenţial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcţii la un punct dat.

Ce este „rata de schimbare”? Să ne imaginăm funcția f(x) = 5. Indiferent de valoarea argumentului (x), valoarea acestuia nu se modifică în niciun fel. Adică, rata modificării sale este zero.

Acum luați în considerare funcția f(x) = x. Derivata lui x este egala cu unu. Într-adevăr, este ușor de observat că pentru fiecare modificare a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției crește și cu unu.

Din punctul de vedere al informațiilor primite, acum să ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor simple. Pe baza acestui lucru, devine imediat clar sens fizic aflarea derivatei unei functii. Această înțelegere ar trebui să faciliteze rezolvarea problemelor practice.

În consecință, dacă derivata arată rata de schimbare a unei funcții, atunci derivata dublă arată accelerație.

2080.1947