Publicitate pe portal

Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară Mișcare de rotație accelerată în jurul unei axe fixe

Și Savelyeva.

În timpul mișcării înainte a unui corp (§ 60 din manualul de E. M. Nikitin), toate punctele sale se mișcă pe traiectorii identice și în fiecare moment dat au viteze egale și accelerații egale.

Prin urmare, mișcarea de translație a unui corp este determinată de mișcarea oricărui punct, de obicei mișcarea centrului de greutate.

Când luăm în considerare mișcarea unui vagon (problema 147) sau a unei locomotive diesel (problema 141) în orice problemă, luăm în considerare de fapt mișcarea centrelor lor de greutate.

Mișcarea de rotație a unui corp (E.M. Nikitin, § 61) nu poate fi identificată cu mișcarea niciunuia dintre punctele sale. Axa oricărui corp rotativ (volan diesel, rotorul motorului electric, axul mașinii, palele ventilatorului etc.) în timpul mișcării ocupă același loc în spațiu față de corpurile staționare din jur.

Mișcarea unui punct material sau mișcare înainte corpurile sunt caracterizate în funcţie de timp mărimi liniare s (cale, distanță), v (viteză) și a (accelerație) cu componentele sale a t și a n.

Mișcare de rotație corpurile în funcţie de timpul t caracterizează valori unghiulare: φ (unghiul de rotație în radiani), ω (viteza unghiulară în rad/sec) și ε (accelerația unghiulară în rad/sec 2).

Legea mișcării de rotație a unui corp este exprimată prin ecuație
φ = f(t).

Viteză unghiulară- o mărime care caracterizează viteza de rotație a unui corp este definită în cazul general ca derivată a unghiului de rotație în raport cu timpul
ω = dφ/dt = f" (t).

Accelerația unghiulară- o mărime care caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare este definită ca derivată a vitezei unghiulare
ε = dω/dt = f"" (t).

Când începeți să rezolvați probleme privind mișcarea de rotație a unui corp, este necesar să aveți în vedere că în calculele și problemele tehnice, de regulă, deplasarea unghiulară este exprimată nu în radiani φ, ci în rotații φ aproximativ.

Prin urmare, este necesar să se poată trece de la numărul de rotații la măsurarea radianilor a deplasării unghiulare și invers.

Deoarece o revoluție completă corespunde cu 2π rad, atunci
φ = 2πφ aproximativ și φ aproximativ = φ/(2π).

Viteza unghiulară în calculele tehnice este foarte des măsurată în rotații produse pe minut (rpm), deci este necesar să înțelegem clar că ω rad/sec și n rpm exprimă același concept - viteza de rotație a unui corp (viteza unghiulară) , dar în unități diferite - în rad/sec sau în rpm.

Trecerea de la o unitate de viteză unghiulară la alta se face după formule
ω = πn/30 și n = 30ω/π.

În timpul mișcării de rotație a unui corp, toate punctele sale se mișcă în cercuri, ai căror centre sunt situate pe o linie dreaptă fixă ​​(axa corpului care se rotește). La rezolvarea problemelor prezentate în acest capitol, este foarte important să înțelegem clar relația dintre mărimile unghiulare φ, ω și ε, care caracterizează mișcarea de rotație a corpului, și mărimile liniare s, v, a t și an, care caracterizează mişcarea diferitelor puncte ale acestui corp (Fig. 205).

Dacă R este distanța de la axa geometrică a unui corp în rotație până la orice punct A (în Fig. 205 R = OA), atunci relația dintre φ - unghiul de rotație al corpului și s - distanța parcursă de un punct de corpul în același timp este exprimat astfel:
s = φR.

Relația dintre viteza unghiulară a unui corp și viteza unui punct în fiecare moment dat este exprimată prin egalitate
v = ωR.

Accelerația tangențială a unui punct depinde de accelerația unghiulară și este determinată de formula
a t = εR.

Accelerația normală a unui punct depinde de viteza unghiulară a corpului și este determinată de relație
a n = ω 2 R.

Când rezolvați problema prezentată în acest capitol, este necesar să înțelegeți clar că rotația este mișcarea solid, nu puncte. Un singur punct material nu se rotește, ci se mișcă într-un cerc - face o mișcare curbilinie.

§ 33. Mișcare uniformă de rotație

Dacă viteza unghiulară este ω=const, atunci mișcarea de rotație se numește uniformă.

Ecuația de rotație uniformă are forma
φ = φ 0 + ωt.

În cazul particular când unghiul inițial de rotație φ 0 =0,
φ = ωt.

Viteza unghiulară a unui corp care se rotește uniform
ω = φ/t
poate fi exprimat astfel:
ω = 2π/T,
unde T este perioada de rotație a corpului; φ=2π - unghiul de rotație pentru o perioadă.

§ 34. Mișcare de rotație uniformă alternativă

Mișcarea de rotație cu viteză unghiulară variabilă se numește neuniformă (vezi mai jos § 35). Dacă accelerația unghiulară ε=const, atunci se numește mișcarea de rotație la fel de variabilă. Astfel, rotația uniformă a corpului este caz special mișcare de rotație neuniformă.

Ecuația de rotație uniformă
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
și ecuația care exprimă viteza unghiulară a unui corp în orice moment,
(2) ω = ω 0 + εt
reprezintă un set de formule de bază pentru mișcarea uniformă de rotație a unui corp.

Aceste formule includ doar șase mărimi: trei constante pentru o problemă dată φ 0, ω 0 și ε și trei variabile φ, ω și t. În consecință, condiția fiecărei probleme pentru rotația uniformă trebuie să conțină cel puțin patru cantități specificate.

Pentru comoditatea rezolvării unor probleme, din ecuațiile (1) și (2) se pot obține încă două formule auxiliare.

Să excludem accelerația unghiulară ε din (1) și (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Să excludem timpul t din (1) și (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

În cazul particular al rotației uniform accelerate pornind de la o stare de repaus, φ 0 =0 și ω 0 =0. Prin urmare, formulele de bază și auxiliare de mai sus iau următoarea formă:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Mișcare de rotație neuniformă

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme în care este specificată mișcarea de rotație neuniformă a unui corp.

corp absolut rigid - corp aranjament reciproc din care părți nu se modifică în timpul mișcării.

Mișcarea de translație a unui corp rigid - aceasta este mișcarea sa în care orice linie dreaptă legată rigid de corp se mișcă în timp ce rămâne paralelă cu direcția sa inițială.

În timpul mișcării de translație a unui corp rigid, toate punctele sale se mișcă în mod egal într-un timp scurt dt, vectorul rază al acestor puncte se modifică în aceeași măsură. În consecință, în fiecare moment de timp vitezele tuturor punctelor sale sunt aceleași și egale. Prin urmare, cinematica celui considerat Mișcare înainte a unui corp rigid se rezumă la studierea mișcării oricăruia dintre punctele sale. De obicei, luăm în considerare mișcarea centrului de inerție al unui corp rigid care se mișcă liber în spațiu.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid - aceasta este o mișcare în care toate punctele sale se mișcă în cercuri, ale căror centre sunt situate în afara corpului . Linia dreaptă se numește axa de rotație a corpului.

Viteză unghiulară– mărime vectorială care caracterizează viteza de rotație a corpului; raportul dintre unghiul de rotație și timpul în care a avut loc această rotație; un vector determinat de prima derivată a unghiului de rotație al unui corp în raport cu timpul. Vectorul viteză unghiulară este direcționat de-a lungul axei de rotație conform regulii șurubului drept. ω=φ/t=2π/T=2πn, unde T este perioada de rotație, n este frecvența de rotație. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Accelerația unghiulară– vector determinat de prima derivată a vitezei unghiulare în raport cu timpul. Când un corp se rotește în jurul unei axe fixe, vectorul accelerație unghiulară este direcționat de-a lungul axei de rotație către vectorul incrementului elementar al vitezei unghiulare. Derivată a doua a unghiului de rotație în raport cu timpul. Când un corp se rotește în jurul unei axe fixe, vectorul accelerație unghiulară este direcționat de-a lungul axei de rotație către vectorul incrementului elementar al vitezei unghiulare. Când mișcarea este accelerată, vectorul ε este codirecțional cu vectorul φ, iar când este lentă, este opus acestuia. ε=dω/dt.

Dacă dω/dt> 0, atunci εω

Dacă dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Principiul inerției (prima lege a lui Newton). Sisteme de referință inerțiale. Principiul relativității.

Prima lege a lui Newton (legea inerției): fiecare punct material (corp) menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă până când influența altor corpuri îl forțează să schimbe această stare

Se numește dorința unui corp de a menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă inerţie. Prin urmare, prima lege a lui Newton se numește legea inerției.



Prima lege a lui Newton afirmă existența cadrelor de referință inerțiale.

Cadrul de referință inerțial– acesta este un sistem de referință față de care un punct material liber, neafectat de alte corpuri, se deplasează uniform în linie dreaptă; Acesta este un sistem care este fie în repaus, fie se mișcă uniform și rectiliniu în raport cu un alt sistem inerțial.

Principiul relativității- fundamentale legea fizică, conform căruia orice proces se desfășoară identic într-un sistem material izolat în repaus, și în același sistem într-o stare de mișcare rectilinie uniformă. Stările de mișcare sau de repaus sunt definite în raport cu un cadru de referință inerțial ales în mod arbitrar. Principiul relativității stă la baza teoriei speciale a relativității a lui Einstein.

5. Transformări galileene.

Principiul relativității (Galilea): niciun experiment (mecanic, electric, optic) efectuat în interiorul unui sistem de referință inerțial dat nu face posibilă detectarea dacă acest sistem este în repaus sau se mișcă uniform și rectiliniu; toate legile naturii sunt invariante în ceea ce privește trecerea de la un cadru inerțial de referință la altul.

Să considerăm două sisteme de referință: cadrul inerțial K (cu coordonatele x,y,z), pe care îl vom considera în mod convențional staționar și sistemul K’ (cu coordonatele x’,y’,z’), deplasându-se relativ la K uniform și rectiliniu cu viteza U (U = const). Să găsim legătura dintre coordonatele unui punct arbitrar A în ambele sisteme. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)



Ecuația (1.) poate fi scrisă în proiecții pe axele de coordonate:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; Ecuațiile (1.) și (2.) se numesc transformări de coordonate galileene.

Relația dintre energia potențială și forță

Fiecare punct al câmpului potențial corespunde, pe de o parte, unei anumite valori a vectorului forță care acționează asupra corpului, iar, pe de altă parte, unei anumite valori a energiei potențiale. Prin urmare, trebuie să existe o anumită relație între forță și energia potențială.

Pentru a stabili această legătură, să calculăm munca elementară efectuată de forțele câmpului în timpul unei mici deplasări a corpului care are loc de-a lungul unei direcții alese în mod arbitrar în spațiu, pe care o notăm cu litera . Această lucrare este egală cu

unde este proiecția forței pe direcție.

Deoarece în acest caz lucrarea se face datorită rezervei de energie potențială, aceasta este egală cu pierderea de energie potențială pe segmentul de axă:

Din ultimele două expresii obținem

Această formulă determină proiecția vectorului forță pe axele de coordonate. Dacă aceste proiecții sunt cunoscute, vectorul forță în sine se dovedește a fi determinat:

în vectorul de matematică ,

unde a este o funcție scalară a lui x, y, z, numită gradientul acestui scalar și notat cu simbolul . Prin urmare, forța este egală cu gradientul de energie potențială luat cu semnul opus

Rotațional ei numesc o astfel de mișcare în care două puncte asociate corpului, prin urmare, linia dreaptă care trece prin aceste puncte, rămân nemișcate în timpul mișcării (Fig. 2.16). Linie dreaptă fixă A B numit axa de rotatie.

Orez. 2,1 V. Spre definirea mișcării de rotație a unui corp

Poziția corpului în timpul mișcării de rotație determină unghiul de rotație φ, rad (vezi Fig. 2.16). La mișcare, unghiul de rotație se modifică în timp, adică. legea mișcării de rotație a unui corp este definită ca legea schimbării în timp a valorii unghiului diedric Ф = Ф(/) între un semiplan fix LA () , trecând prin axa de rotație și mobilă n 1 un semiplan legat de corp și care trece tot prin axa de rotație.

Traiectoriile tuturor punctelor corpului în timpul mișcării de rotație sunt cercuri concentrice situate în planuri paralele cu centre pe axa de rotație.

Caracteristicile cinematice ale mișcării de rotație a corpului. În același mod în care au fost introduse caracteristicile cinematice pentru un punct, se introduce un concept cinematic care caracterizează viteza de schimbare a funcției φ(c), care determină poziția corpului în timpul mișcării de rotație, adică. viteza unghiulara co = f = s/f/s//, dimensiunea vitezei unghiulare [co] = rad /Cu.

În calculele tehnice, se folosește adesea expresia vitezei unghiulare cu o dimensiune diferită - în ceea ce privește numărul de rotații pe minut: [i] = rpm și relația dintre P iar co poate fi reprezentat ca: co = 27w/60 = 7w/30.

În general, viteza unghiulară variază în timp. Măsura vitezei de modificare a vitezei unghiulare este accelerația unghiulară e = c/co/c//= co = f, dimensiunea accelerației unghiulare [e] = rad/s 2 .

Caracteristicile cinematice unghiulare introduse sunt complet determinate prin specificarea unei funcții - unghiul de rotație în funcție de timp.

Caracteristicile cinematice ale punctelor corpului în timpul mișcării de rotație. Luați în considerare ideea M corp situat la distanta p de axa de rotatie. Acest punct se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza p (Fig. 2.17).


Orez. 2.17.

puncte ale corpului în timpul rotației sale

Lungimea arcului M Q M cerc cu raza p este definit ca s= ptp, unde f este unghiul de rotație, rad. Dacă legea mișcării unui corp este dată ca φ = φ(g), atunci legea mișcării unui punct M de-a lungul traiectoriei este determinată de formula S= рф(7).

Folosind expresiile caracteristicilor cinematice cu metoda naturală de precizare a mișcării unui punct, obținem caracteristici cinematice pentru punctele unui corp în rotație: viteza după formula (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2,22)

accelerație tangențială conform expresiei (2.12)

i t = K = sor = er; (2,23)

accelerație normală conform formulei (2.13)

a„ =Și 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)

accelerația totală folosind expresia (2.15)

A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)

Caracteristica direcției de accelerație totală este considerată p - unghiul de abatere al vectorului de accelerație totală față de raza cercului descris de punctul (Fig. 2.18).

Din fig. 2.18 obținem

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Orez. 2.18.

Rețineți că toate caracteristicile cinematice ale punctelor unui corp în rotație sunt proporționale cu distanța față de axa de rotație. Ve-

Identitățile lor sunt determinate prin derivatele aceleiași funcție - unghiul de rotație.

Expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice unghiulare și liniare. Pentru o descriere analitică a caracteristicilor cinematice unghiulare ale unui corp în rotație, împreună cu axa de rotație, conceptul vector unghi de rotație(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, unde La- mânca

vectorul axei de rotație

1; La=sop51 .

Vectorul f este îndreptat de-a lungul acestei axe, astfel încât să poată fi văzut de la „sfârșit”

rotație care are loc în sens invers acelor de ceasornic.

Orez. 2.19.

caracteristici în formă vectorială

Dacă vectorul φ(/) este cunoscut, atunci toate celelalte caracteristici unghiulare ale mișcării de rotație pot fi reprezentate sub formă vectorială:

  • vector viteză unghiulară co = f = f La. Direcția vectorului viteză unghiulară determină semnul derivatei unghiului de rotație;
  • vector de accelerație unghiulară є = сo = Ф La. Direcția acestui vector determină semnul derivatei vitezei unghiulare.

Vectorii introduși с și є ne permit să obținem expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice ale punctelor (vezi Fig. 2.19).

Rețineți că modulul vectorului viteză al punctului coincide cu modulul produsului vectorial dintre vectorul viteză unghiulară și vectorul rază: |cox G= sogvіpa = gunoi. Ținând cont de direcțiile vectorilor с și r și de regula pentru direcția produsului vectorial, putem scrie o expresie pentru vectorul viteză:

V= co xg.

În mod similar, este ușor să arăți asta

  • ? X
  • - exBіpa= єр = un tȘi

Sosor = co p = i.

(În plus, vectorii acestor caracteristici cinematice coincid în direcție cu produsele vectoriale corespunzătoare.

Prin urmare, vectorii de accelerație tangențial și normal pot fi reprezentați ca produse vectoriale:

  • (2.28)
  • (2.29)

a x = g X G

A= co x V.

Unghiul de rotație, viteza unghiulară și accelerația unghiulară

Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe Se numește o astfel de mișcare în care două puncte ale corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării. În acest caz, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele sale fixe rămân, de asemenea, nemișcate. Această linie se numește axa de rotație a corpului.

Dacă AȘi ÎN- puncte fixe ale corpului (Fig. 15 ), atunci axa de rotație este axa Oz, care poate avea orice direcție în spațiu, nu neapărat verticală. O direcție a axei Oz este considerat pozitiv.

Desenăm un plan fix prin axa de rotație Deși mobil P, atașat unui corp rotativ. Fie ca la momentul inițial de timp ambele planuri coincid. Apoi la un moment dat t poziția planului în mișcare și a corpului rotativ însuși poate fi determinată de unghiul diedric dintre plane și unghiul liniar corespunzător φ între drepte situate în aceste plane şi perpendiculare pe axa de rotaţie. Colţ φ numit unghiul de rotație al corpului.

Poziția corpului față de sistemul de referință ales este complet determinată în oricare

moment în timp, dacă este dată ecuația φ =f(t) (5)

Unde f(t)- orice funcție de timp diferențiabilă de două ori. Această ecuație se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Un corp care se rotește în jurul unei axe fixe are un grad de libertate, deoarece poziția sa este determinată prin specificarea unui singur parametru - unghiul φ .

Colţ φ este considerat pozitiv dacă este trasat în sens invers acelor de ceasornic și negativ în direcția opusă când este privit din direcția pozitivă a axei Oz. Traiectoriile punctelor unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe fixe sunt cercuri situate în planuri perpendiculare pe axa de rotație.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, introducem conceptele de viteză unghiulară și accelerație unghiulară. Viteza unghiulară algebrică a corpuluiîn orice moment în timp se numește prima derivată în raport cu timpul a unghiului de rotație în acest moment, i.e. dφ/dt = φ. Este o mărime pozitivă când corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație crește cu timpul, și negativă când corpul se rotește în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație scade.

Modulul vitezei unghiulare este notat cu ω. Apoi ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensiunea vitezei unghiulare este stabilită în conformitate cu (6)

[ω] = unghi/timp = rad/s = s -1.

În inginerie, viteza unghiulară este viteza de rotație exprimată în rotații pe minut. În 1 minut corpul se va roti printr-un unghi 2πп, Dacă P- numărul de rotații pe minut. Împărțind acest unghi la numărul de secunde dintr-un minut, obținem: (7)

Accelerația unghiulară algebrică a corpului se numește derivată întâi în raport cu timpul a vitezei algebrice, adică. derivata a doua a unghiului de rotație d 2 φ/dt 2 = ω. Să notăm modulul de accelerație unghiulară ε , Apoi ε=|φ| (8)

Dimensiunea accelerației unghiulare se obține din (8):

[ε ] = viteza unghiulara/timp = rad/s 2 = s -2

Dacă φ’’>0 la φ’>0 , atunci viteza unghiulară algebrică crește odată cu timpul și, prin urmare, corpul se rotește accelerat în momentul de față în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). La φ’’<0 Și φ’<0 corpul se rotește rapid într-o direcție negativă. Dacă φ’’<0 la φ’>0 , atunci avem o rotație lentă într-o direcție pozitivă. La φ’’>0 Și φ’<0 , adică rotația lentă are loc în sens negativ. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară în figuri sunt reprezentate de săgeți arc în jurul axei de rotație. Săgeata arc pentru viteza unghiulară indică direcția de rotație a corpurilor;

Pentru rotația accelerată, săgețile arcului pentru viteza unghiulară și accelerația unghiulară au aceleași direcții pentru rotația lentă, direcțiile lor sunt opuse.

Cazuri speciale de rotație a unui corp rigid

Se spune că rotația este uniformă dacă ω=const, φ= φ’t

Rotaţia va fi uniformă dacă ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t și

În general, dacă φ’’ nu intotdeauna,

Vitezele și accelerațiile punctelor corpului

Ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este cunoscută φ= f(t)(Fig. 16). Distanţă s puncte Mîntr-un plan în mișcare P de-a lungul unui arc de cerc (traiectoria punctului), măsurată din punct M o, situat într-un plan fix, exprimat prin unghi φ dependenta s=hφ, Unde h-raza cercului de-a lungul caruia se misca punctul. Este cea mai scurtă distanță de la un punct M faţă de axa de rotaţie. Aceasta se numește uneori raza de rotație a unui punct. În fiecare punct al corpului, raza de rotație rămâne neschimbată atunci când corpul se rotește în jurul unei axe fixe.

Viteza algebrică a unui punct M determinat de formula v τ =s’=hφ Modul de viteză punctual: v=hω(9)

Vitezele punctelor corpului atunci când se rotesc în jurul unei axe fixe sunt proporționale cu distanța lor cea mai scurtă față de această axă. Coeficientul de proporționalitate este viteza unghiulară. Vitezele punctelor sunt direcționate de-a lungul tangentelor la traiectorii și, prin urmare, sunt perpendiculare pe razele de rotație. Vitezele punctelor corpului situate pe un segment de linie dreaptă OM,în conformitate cu (9) sunt distribuite după o lege liniară. Ele sunt reciproc paralele, iar capetele lor sunt situate pe aceeași linie dreaptă care trece prin axa de rotație. Descompunem accelerația unui punct în componente tangențiale și normale, i.e. a=a τ +a nτ Accelerațiile tangențiale și normale sunt calculate folosind formulele (10)

întrucât pentru un cerc raza de curbură este p=h(Fig. 17 ). Prin urmare,

Accelerațiile tangente, normale și totale ale punctelor, precum și vitezele, sunt, de asemenea, distribuite conform unei legi liniare. Ele depind liniar de distanțele punctelor față de axa de rotație. Accelerația normală este îndreptată de-a lungul razei cercului spre axa de rotație. Direcția accelerației tangențiale depinde de semnul accelerației unghiulare algebrice. La φ’>0 Și φ’’>0 sau φ’<0 Și φ’<0 avem rotația accelerată a corpului și direcțiile vectorilor a τȘi v se potrivesc. Dacă φ’ Și φ’" au semne diferite (rotație lentă), atunci a τȘi vîndreptate unul opus celuilalt.

După ce a desemnat α unghiul dintre accelerația totală a unui punct și raza lui de rotație, avem

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

deoarece accelerarea normală a p intotdeauna pozitiv. Colţ A la fel pentru toate punctele corpului. Ar trebui amânat de la accelerație la raza de rotație în direcția săgeții arcului de accelerație unghiulară, indiferent de direcția de rotație a corpului rigid.

Vectori ai vitezei unghiulare și ai accelerației unghiulare

Să introducem conceptele de vectori de viteză unghiulară și accelerație unghiulară a unui corp. Dacă LA este vectorul unitar al axei de rotație îndreptată în direcția sa pozitivă, apoi vectorii viteză unghiulară ώ și accelerația unghiulară ε determinat de expresii (12)

Deoarece k este o constantă vectorială ca mărime și direcție, apoi din (12) rezultă că

ε=dώ/dt(13)

La φ’>0 Și φ’’>0 direcții vectoriale ώ Și ε se potrivesc. Ambele sunt îndreptate spre partea pozitivă a axei de rotație Oz(Fig. 18.a)Dacă φ’>0 Și φ’’<0 , apoi sunt îndreptate în direcții opuse (Fig. 18.b ). Vectorul accelerație unghiulară coincide în direcție cu vectorul viteză unghiulară în timpul rotației accelerate și este opus acestuia în timpul rotației lente. Vectori ώ Și ε poate fi reprezentat în orice punct al axei de rotație. Sunt vectori în mișcare. Această proprietate rezultă din formulele vectoriale pentru vitezele și accelerațiile punctelor corpului.

Mișcare complexă a punctului

Noțiuni de bază

Pentru a studia unele tipuri mai complexe de mișcare a unui corp rigid, este recomandabil să se ia în considerare cea mai simplă mișcare complexă a unui punct. În multe probleme, mișcarea unui punct trebuie considerată în raport cu două (sau mai multe) sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt. Astfel, mișcarea unei nave spațiale care se deplasează spre Lună trebuie luată în considerare simultan atât față de Pământ, cât și față de Lună, care se mișcă în raport cu Pământul. Orice mișcare a unui punct poate fi considerată complexă, constând din mai multe mișcări. De exemplu, mișcarea unei nave de-a lungul unui râu în raport cu Pământul poate fi considerată complexă, constând în mișcarea de-a lungul apei și împreună cu apa care curge.

În cel mai simplu caz, mișcarea complexă a unui punct constă în mișcări relative și de translație. Să definim aceste mișcări. Să avem două sisteme de referință care se deplasează unul față de celălalt. Dacă unul dintre aceste sisteme O l x 1 y 1 z 1(Fig. 19 ) luat ca principal sau staționar (nu se ia în considerare mișcarea acestuia față de alte sisteme de referință), apoi al doilea sistem de referință Oxyz se va deplasa în raport cu primul. Mișcarea unui punct în raport cu un cadru de referință în mișcare Oxyz numit relativ. Caracteristicile acestei mișcări, cum ar fi traiectoria, viteza și accelerația, sunt numite relativ. Ele sunt desemnate prin indicele r; pentru viteza si acceleratie v r , a r . Mișcarea unui punct în raport cu cadrul de referință principal sau fix al sistemului O 1 x 1 y 1 z 1 numit absolut(sau complex ). Se mai numește uneori compozit circulaţie. Traiectoria, viteza și accelerația acestei mișcări se numesc absolute. Viteza și accelerația mișcării absolute sunt indicate prin litere v, a fara indici.


Mișcarea portabilă a unui punct este mișcarea pe care acesta o realizează împreună cu un cadru de referință în mișcare, ca punct atașat rigid acestui sistem în momentul de timp luat în considerare. Datorită mișcării relative, un punct în mișcare în momente diferite coincide cu diferite puncte ale corpului S, la care este atașat sistemul de referință în mișcare. Viteza portabilă și accelerația portabilă sunt viteza și accelerația acelui punct al corpului S, cu care punctul de mișcare coincide în prezent. Viteza portabilă și accelerația denotă v e , a e.

Dacă traiectoriile tuturor punctelor corpului S, atașat la sistemul de referință în mișcare, prezentat în figură (Fig. 20), apoi obținem o familie de linii - o familie de traiectorii ale mișcării portabile a unui punct M. Datorită mișcării relative a punctului Mîn fiecare moment de timp se află pe una dintre traiectorii mişcării portabile. Punct M poate coincide cu un singur punct pe fiecare dintre traiectorii acestei familii de traiectorii de transfer. În acest sens, se crede uneori că nu există traiectorii de mișcare portabilă, deoarece este necesar să se considere liniile ca traiectorii de mișcare portabilă, pentru care doar un punct este de fapt un punct al traiectoriei.

În cinematica unui punct s-a studiat mișcarea unui punct față de orice sistem de referință, indiferent dacă acest sistem de referință se mișcă față de alte sisteme sau nu. Să completăm acest studiu luând în considerare mișcarea complexă, în cel mai simplu caz constând din mișcare relativă și figurată. Una și aceeași mișcare absolută, alegând diferite cadre de referință în mișcare, poate fi considerată a fi formată din diferite mișcări portabile și, în consecință, relative.

Adăugarea vitezei

Să determinăm viteza mișcării absolute a unui punct dacă se cunosc vitezele mișcărilor relative și portabile ale acestui punct. Fie punctul să facă o singură mișcare relativă față de cadrul de referință în mișcare Oxyz și în momentul de timp t ocupă poziția M pe traiectoria mișcării relative (Fig. 20). La momentul t+ t, din cauza mișcării relative, punctul se va afla în poziția M 1, deplasându-se MM 1 pe traiectoria mișcării relative. Să presupunem că este vorba despre subiect Oxyz iar cu o traiectorie relativă se va deplasa de-a lungul vreunei curbe pe MM 2. Dacă un punct participă simultan atât la mișcări relative cât și la mișcări portabile, atunci în timpul A; ea se va muta la MM" de-a lungul traiectoriei mișcării absolute și în momentul de timp t+At va ocupa postul M". Dacă timpul La putin si apoi mergi la limita la La, tinzând spre zero, atunci micile deplasări de-a lungul curbelor pot fi înlocuite cu segmente de coarde și luate ca vectori de deplasare. Adăugând deplasările vectoriale, obținem

În acest sens, cantități mici de ordin superior sunt aruncate, tinzând spre zero la La, tinde spre zero. Trecând la limită, avem (14)

Prin urmare, (14) va lua forma (15)

Așa-numita teoremă de adiție a vitezei se obține: viteza mișcării absolute a unui punct este egală cu suma vectorială a vitezelor mișcărilor portabile și relative ale acestui punct. Deoarece în cazul general vitezele mișcărilor portabile și relative nu sunt perpendiculare, atunci (15’)


Informații conexe.


Orez. 6.4

O astfel de mișcare a unui corp în care oricare dintre punctele sale (AȘi ÎNîn fig. 6.4) rămân nemișcați, numită rotație în jurul unei axe fixe.

Se poate arăta că în acest caz orice punct al corpului situat pe linia dreaptă care leagă punctele rămâne nemișcat. Aw V.

Axa care trece prin aceste puncte se numește axa de rotatie corpuri; direcția sa pozitivă este aleasă în mod arbitrar (Fig. 6.4).

Orice punct M un corp care nu se află pe axa de rotație descrie un cerc, al cărui centru este situat pe axa de rotație (Fig. 6.4).

Poziția corpului cu o axă fixă ​​de rotație z(Fig. 6.5) poate fi descris folosind doar un parametru scalar - unghi de rotație (r. Acesta este unghiul dintre două plane trasate prin axa de rotație: un plan fix Nși mobil - R, legat rigid de corp (Fig. 6.5). Luăm direcția de referință a unghiului drept pozitivă opus mișcării în sensul acelor de ceasornic atunci când este privit de la capătul axei z.(indicat printr-o săgeată arc în Fig. 6.5). Unitatea de măsură SI pentru unghi este 1 radian « 57,3°. Dependența funcțională a unghiului de rotație de timp

determină complet mișcarea de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe. Prin urmare, egalitatea (6.3) se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Viteza de rotație a unui corp este caracterizată de viteza unghiulară cu corp, care este definit ca derivata unghiului de rotație în raport cu timpul

și are dimensiunea rad/s (sau s"").

A doua caracteristică cinematică a mișcării de rotație este accelerația unghiulară - derivata vitezei unghiulare a corpului:

Dimensiunea accelerației unghiulare este rad/s 2 (sau Cu~ 2).

Cometariu. Simboluri cu si? V ale acestei prelegeri sunt desemnate algebric valori ale vitezei unghiulare și ale accelerației unghiulare. Semnele lor indică direcția de rotație și natura acesteia (accelerată sau încetinită). De exemplu, dacă cu = f> 0, apoi unghiul (R crește în timp și, prin urmare, corpul se rotește în direcția de referință (R.

Viteza și accelerația fiecărui punct al unui corp în rotație pot fi ușor legate de viteza unghiulară și accelerația unghiulară a acestuia. Luați în considerare mișcarea unui punct arbitrar M corpuri (Fig. 6.6).

Deoarece traiectoria sa este un cerc, atunci coordonata arcului.9 a punctului M după întoarcerea corpului printr-un unghi voi

Unde h- distanta fata de punct M faţă de axa de rotaţie (Fig. 6.6).

Diferențiând ambele părți ale acestei egalități în funcție de timp, obținem, ținând cont de (5.14) și (6.4):

unde g g este proiecția vitezei punctului pe tangenta g, îndreptată spre punctul de referință al arcului.v și unghiul

Mărimea accelerației normale a unui punct M conform (5.20) și (6.6) va fi

și proiecția accelerației sale tangențiale pe tangenta r ​​conform (5.19) și (6.5)

Modul de accelerare punct complet M

Direcțiile vectorilor v, a, a„, a, pentru cazul când f> 0 și f > 0 sunt prezentate în fig. 6.7.

Exemplu 1. Mecanismul de transmisie este format din roți / și 2, care sunt conectate într-un punct LA astfel încât atunci când se rotesc, nu există alunecare reciprocă. Ecuația de rotație a roții 1:

direcția de referință pozitivă a unghiului (R indicată printr-o săgeată arc în fig. 6.8.

Dimensiunile mecanismului sunt cunoscute: G= 4 cm, R2= 6 cm, g 2 = 2 cm.

Aflați viteza și accelerația unui punct M roți 2 pentru moment în timp /| = 2 s.

Soluţie. Când mecanismul roții se mișcă 1 și 2 se rotesc în jurul axelor fixe care trec prin puncte 0 Și 0 2 perpendicular pe planul din fig. 6.8. Aflarea vitezei unghiulare și a accelerației unghiulare a roții eu la timpul / = 2 s, folosind definițiile de mai sus (6.4) și (6.5) ale acestor mărimi:

Semnele lor negative indică faptul că în momentul de față t- Roata de 2 s / se rotește în sensul acelor de ceasornic (opus direcției citirii unghiului (R) și această rotație este accelerată. Datorită absenței alunecării reciproce a roților euși 2 vectori viteză ai punctelor lor din punctul de contact LA trebuie să fie egal. Să exprimăm mărimea acestei viteze în termeni de viteze unghiulare ale roților folosind (6.6):

Din ultima egalitate exprimăm modulul vitezei unghiulare a roții 2 și găsim valoarea acestuia pentru momentul specificat de timp 6 = 2 s:

Direcția vitezei La(Fig. 6.9) indică faptul că roata 2 se rotește în sens invers acelor de ceasornic și, prin urmare, Oh> 0. Din (6.10) și din ultima inegalitate este clar că vitezele unghiulare ale roților diferă printr-un factor negativ constant (- g1g 2): cu 2 = g (/g 2). Dar apoi derivatele acestor viteze - accelerațiile unghiulare ale roților - trebuie să difere prin același factor: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2 .

Aflarea vitezei și accelerației unui punct M roata în trepte 2 folosind formulele (6.6) - (6.9):

Direcțiile vectorilor v și, a și d/ sunt prezentate în Fig. 6.9.