Пуассоны тархалт. Ховор үйл явдлын хууль. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний Пуассоны тархалт Пуассоны тархалтын магадлал

Янз бүрийн төрлийн магадлалын тархалтын хамгийн түгээмэл тохиолдол бол бином тархалт юм. Практикт тохиолддог хамгийн түгээмэл тодорхой төрлийн тархалтыг тодорхойлохын тулд түүний олон талт байдлыг ашиглацгаая.

Бином тархалт

А үйл явдал байг. А үйл явдал тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна х, А үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал 1 байна х, заримдаа гэж тодорхойлсон байдаг q. Болъё nтуршилтын тоо, мэдгээрт А үйл явдал тохиолдох давтамж nтуршилтууд.

Бүх боломжит үр дүнгийн хослолын нийт магадлал нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл:

1 = х n + n · х n 1 (1 х) + C n n 2 · х n 2 (1 х) 2 + + C n м · х м· (1 х) n – м+ + (1 х) n .

х nбайх магадлал nnнэг удаа; n · х n 1 (1 х) байх магадлал nn 1) нэг удаа, нэг удаа тохиолдохгүй; C n n 2 · х n 2 (1 х) 2 байх магадлал nтуршилтууд, А үйл явдал тохиолдох болно ( n 2) удаа, 2 удаа болохгүй; П м = C n м · х м· (1 х) n – м байх магадлал nтуршилт, А үйл явдал тохиолдох болно мхэзээ ч болохгүй ( n – м) нэг удаа; (1 х) nбайх магадлал nтуршилтын үед А үйл явдал нэг ч удаа тохиолдохгүй; хослолын тоо n By м .

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ Мбином тархалт тэнцүү байна:

М = n · х ,

Хаана nтуршилтын тоо, хА үйл явдал тохиолдох магадлал.

Стандарт хэлбэлзэл σ :

σ = sqrt( n · х· (1 х)) .

Жишээ 1. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.5, инч n= 10 туршилт явагдана м= 1 удаа. Бидэнд байгаа: C 10 1 = 10, цаашлаад: П 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. Бидний харж байгаагаар энэ үйл явдал болох магадлал маш бага байна. Үүнийг нэгдүгээрт, магадлал нь 0.5, боломж нь "50-50" байх тул үйл явдал болох эсэх нь тодорхойгүй байгаатай холбон тайлбарлаж байна; хоёрдугаарт, тухайн үйл явдал арваас яг нэг удаа (илүү, багагүй) тохиолдохыг тооцоолох шаардлагатай.

Жишээ 2. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.5, инч n= 10 туршилт явагдана м= 2 удаа. Бидэнд байгаа: C 10 2 = 45, цаашлаад: П 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. Энэ үйл явдал болох магадлал нэмэгдсэн!

Жишээ 3. Үйл явдал өөрөө тохиолдох магадлалыг нэмэгдүүлцгээе. Үүнийг илүү магадлалтай болгоё. Магадлалтай үйл явдлын магадлалыг тооцоол х= 0.8, инч n= 10 туршилт явагдана м= 1 удаа. Бидэнд байгаа: C 10 1 = 10, цаашлаад: П 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. Магадлал эхний жишээнээс бага болсон! Хариулт нь эхлээд харахад хачирхалтай мэт боловч үйл явдал нэлээд өндөр магадлалтай тул ганц удаа тохиолдох магадлал багатай юм. Энэ нь нэгээс олон удаа тохиолдох магадлал өндөр байдаг. Үнэхээр тоолж байна П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (үйл явдал болох магадлал n= 10 туршилт 0, 1, 2, 3, , 10 удаа явагдана), бид дараахыг харах болно:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
П 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
П 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
П 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
П 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
П 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
П 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
П 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
П 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(хамгийн өндөр магадлалтай!);
П 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
П 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Хэвийн тархалт

Хэрэв бид тоо хэмжээг дүрсэлсэн бол П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , ПГрафик дээр бид 3-р жишээн дээр тооцоолсон 10-аас харахад тэдгээрийн тархалт нь хэвийн тархалтын хуультай ойролцоо хэлбэртэй байна (Зураг 27.1-ийг үзнэ үү) (25-р лекцийг үзнэ үү. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн загварчлал).

Цагаан будаа. 27.1. Бином тархалтын төрөл
p = 0.8, n = 10 үед өөр өөр m-ийн магадлал

Хэрэв А үйл явдлын тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлал ойролцоогоор ижил байвал бином хууль хэвийн болно, өөрөөр хэлбэл бид нөхцөлтэйгээр бичиж болно. х≈ (1 х) . Жишээлбэл, авч үзье n= 10 ба х= 0.5 (өөрөөр хэлбэл х= 1 х = 0.5 ).

Нэг өдөр төрөх эмнэлэгт 10 хүүхэд төрөхөөс хэчнээн хүү, хэдэн охин төрөхийг онолын хувьд тооцъё гэвэл бид ийм асуудалд утга учиртай ирнэ. Бүр нарийн яривал охид хөвгүүд биш, зөвхөн хөвгүүд төрөх магадлал, 1 хүү, 9 охин төрөх, 2 хүү, 8 охин төрөх гэх мэтээр тоолно. Хүү, охинтой болох магадлал ижил бөгөөд 0.5-тай тэнцүү байна гэж энгийнээр төсөөлье (гэхдээ үнэнийг хэлэхэд тийм биш юм, "Хиймэл оюун ухааны системийг загварчлах" хичээлийг үзнэ үү).

3 хүү, 7 охинтой байх магадлал нь 7 хүү, 3 охинтой байх магадлалтай тэнцүү тул тархалт тэгш хэмтэй байх нь тодорхой байна. Төрөх магадлал хамгийн өндөр нь 5 хүү, 5 охин байх болно. Энэ магадлал нь 0.25-тай тэнцүү, дашрамд хэлэхэд энэ нь үнэмлэхүй утгаараа тийм ч том биш юм. Цаашилбал, нэг дор 10 эсвэл 9 хүү төрөх магадлал нь 10 хүүхдээс 5 ± 1 хүү төрөх магадлалаас хамаагүй бага юм. Дуран тархалт нь энэ тооцоог хийхэд тусална. Тэгэхээр.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
П 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
П 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
П 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
П 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
П 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
П 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
П 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
П 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
П 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
П 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

График дээрх хэмжигдэхүүнүүдийг харуулъя П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (27.2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 27.2. Параметр бүхий бином тархалтын график
p = 0.5 ба n = 10, үүнийг ердийн хууль руу ойртуулна

Тиймээс, нөхцлөөр м ≈ n/2 ба х≈ 1 хэсвэл хХоёр тоот тархалтын оронд ≈ 0.5 бол ердийн тархалтыг ашиглаж болно. Том утгын хувьд nМатематикийн хүлээлт ба дисперс нэмэгдэх тусам график баруун тийш шилжиж, улам хавтгай болж байна. n : М = n · х , Д = n · х· (1 х) .

Дашрамд дурдахад, бином хууль нь хэвийн болон өсөх хандлагатай байдаг n, энэ нь төвлөрсөн хязгаарын теоремын дагуу (34-р лекцийг үзнэ үү. Статистикийн үр дүнг бүртгэх, боловсруулах).

Одоо үед хоёр гишүүний хууль хэрхэн өөрчлөгдөхийг авч үзье х ≠ q, тэр бол х> 0 . Энэ тохиолдолд хэвийн тархалтын таамаглалыг хэрэгжүүлэх боломжгүй бөгөөд бином тархалт нь Пуассон тархалт болно.

Пуассоны тархалт

Пуассоны тархалт нь бином тархалтын онцгой тохиолдол юм n>> 0 ба цагт х>0 (ховор тохиолдол)).

Дуран тархалтын аль нэг гишүүний утгыг ойролцоогоор тооцоолох боломжийг математикийн томъёогоор мэддэг.

Хаана а = n · х Пуассон параметр (математикийн хүлээлт), дисперс нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Энэхүү шилжилтийг тайлбарласан математик тооцооллыг танилцуулъя. Бином тархалтын хууль

П м = C n м · х м· (1 х) n – м

тавьсан бол бичиж болно х = а/n , зэрэг

Учир нь хмаш бага бол зөвхөн тоонуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй м, харьцуулахад бага байна n. Ажил

эв нэгдэлтэй тун ойр. Хэмжээнд мөн адил хамаарна

Хэмжээ

маш ойрхон д – а. Эндээс бид томъёог авна.

Жишээ. Хайрцаг нь агуулж байна n= Өндөр чанартай, гэмтэлтэй 100 хэсэг. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн хүлээн авах магадлал нь х= 0.01. Бүтээгдэхүүнээ гаргаад, доголдолтой эсэхийг нь тогтоогоод буцаагаад тавьчихлаа гэж бодъё. Ингэж явсаар бидний дамжсан 100 гаруй бүтээгдэхүүнээс хоёр нь гэмтэлтэй болох нь тогтоогдсон. Үүний магадлал ямар байна вэ?

Бином тархалтаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

Пуассоны хуваарилалтаас бид дараахь зүйлийг авна.

Таны харж байгаагаар утгууд нь ойролцоо байсан тул ховор тохиолдлын хувьд Пуассоны хуулийг хэрэглэх нь бүрэн боломжтой, ялангуяа тооцоолоход бага хүчин чармайлт шаарддаг тул.

Пуассоны хуулийн хэлбэрийг графикаар харуулъя. Параметрүүдийг жишээ болгон авч үзье х = 0.05 , n= 10. Дараа нь:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
П 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
П 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
П 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
П 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
П 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
П 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
П 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
П 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
П 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
П 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

Мэдээжийн хэрэг П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Цагаан будаа. 27.3. Пуассоны тархалтын график p = 0.05 ба n = 10

At n> ∞ Пуассоны тархалт нь төв хязгаарын теоремын дагуу хэвийн хууль болж хувирдаг (харна уу.

Оршил

Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдлүүдийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан юм. Өнөөдөр энэ нь практик ач холбогдолтой бүрэн хэмжээний шинжлэх ухаан юм.

Магадлалын онолын түүх нь 17-р зуунаас эхэлж, массын санамсаргүй үзэгдлүүдтэй холбоотой асуудлыг системтэйгээр судлах анхны оролдлого хийж, түүнд тохирсон математикийн аппарат гарч ирэв. Тэр цагаас хойш олон үндэс суурийг боловсруулж, өнөөгийн үзэл баримтлалд гүнзгийрүүлж, бусад чухал хууль, зүй тогтлыг олж илрүүлсэн. Магадлалын онолын асуудал дээр олон эрдэмтэд ажиллаж, ажиллаж байна.

Тэдгээрийн дотроос Жейкоб Бернуллигаас илүү их тооны хуулийн ерөнхий хэлбэрийг нотолсон Симеон Денис Пуассон ((1781–1840) - Францын математикч) -ийн бүтээлийг анхаарч үзэхгүй байхын аргагүй юм. Асуудлыг буудах магадлалын онол. Пуассоны нэр нь магадлалын онол болон түүний хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тархалтын хуулиудын нэгтэй холбоотой юм.

Тухайн туршилтанд энэ үйл явдал тохиолдсон нь өнгөрсөн хугацаанд хэдэн удаа, ямар үед тохиолдсоноос хамаарахгүй бөгөөд тодорхой хугацааны туршид нөлөөлөхгүй байх үед тодорхой санамсаргүй үйл явдлын нэгж цаг хугацаанд тохиолдох тоо. ирээдүй. Туршилтыг хөдөлгөөнгүй нөхцөлд явуулдаг бөгөөд ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тодорхойлоход Пуассоны хуулийг ихэвчлэн ашигладаг (энэ хуваарилалтыг анх 1837 онд энэ эрдэмтэн санал болгож, нийтэлсэн).

Энэ хуулийг мөн нэг туршилтаар бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдох магадлал p маш бага боловч нэгж хугацаанд хийсэн туршилтын тоо m нэлээд их байх үед хоёр нэрийн тархалтын хязгаарлагдмал тохиолдол гэж тодорхойлж болно. , тухайлбал, ийм үйл явцад х

0 ба m, бүтээгдэхүүн mp нь зарим эерэг тогтмол утга руу чиглэдэг (өөрөөр хэлбэл mp).

Тиймээс Пуассоны хуулийг ховор тохиолдлын хууль гэж нэрлэдэг.

Магадлалын онол дахь Пуассоны тархалт

Функц ба түгээлтийн цуврал

Пуассоны тархалт нь бином тархалтын онцгой тохиолдол юм n>> 0 ба цагт х–> 0 (ховор тохиолдол)).

Дуран тархалтын аль нэг гишүүний утгыг ойролцоогоор тооцоолох боломжийг математикийн томъёогоор мэддэг.

Хаана а = n · хнь Пуассоны параметр (математикийн хүлээлт) бөгөөд дисперс нь математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Энэхүү шилжилтийг тайлбарласан математик тооцооллыг танилцуулъя. Бином тархалтын хууль

П м = C n м · p m· (1 - х)n – м

тавьсан бол бичиж болно х = а/n, зэрэг

Учир нь хмаш бага бол зөвхөн тоонуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй м, харьцуулахад бага байна n. Ажил

эв нэгдэлтэй тун ойр. Хэмжээнд мөн адил хамаарна

маш ойрхон д –а. Эндээс бид томъёог авна.

Эйлерийн дугаар (2.71...). ,

Үүсгэх функцийн хувьд

Бидэнд тоо хэмжээ байна:

Хуримтлагдсан магадлалын тархалтын функц нь тэнцүү байна

Пуассоны дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний сонгодог жишээ бол тодорхой хугацаанд замын тодорхой хэсгийг дайран өнгөрч буй машины тоо юм. Та мөн өгөгдсөн хэмжээтэй тэнгэрийн хэсэг дэх оддын тоо, өгөгдсөн урттай текст дэх алдааны тоо, дуудлагын төв дэх утасны дуудлагын тоо, дуудлагын тоо зэрэг жишээг тэмдэглэж болно. тодорхой хугацааны туршид вэб сервер.

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын цуваа дараах байдалтай байна.

х м	0	1	2	…	м	…
П м	э-а			…		…

Зураг дээр. 1-д санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын олон өнцөгтүүдийг харуулав XПуассоны хуулийн дагуу параметрийн өөр өөр утгатай тохирч байна А.

Нэгдүгээрт, магадлалын дараалал нь түгээлтийн цуврал байж болох эсэхийг шалгацгаая, жишээлбэл. бүх магадлалын нийлбэр Рмнэгтэй тэнцүү.

Бид функцийн өргөтгөлийг ашигладаг e xМаклаурин цувралд:

Энэ цуврал нь ямар ч утгын хувьд нийлдэг нь мэдэгдэж байна X, тиймээс, авч байна x=a, бид авдаг

тиймээс

Пуассоны тархалтын байрлалын тоон шинж чанар

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Тодорхойлолтоор, салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тоолж болох багц утгыг авах үед:

Нийлбэрийн эхний нөхцөл (харгалзах м=0 ) нь тэгтэй тэнцүү тул нийлбэрийг эхэлж болно м=1 :

Тиймээс параметр АЭнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс өөр зүйл биш юм X.

Математикийн хүлээлтээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлал нь түүний горим ба медианаар тодорхойлогддог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм.

Тасралтгүй хэмжигдэхүүний хувьд горимыг магадлалын нягтын функцийн орон нутгийн максимум цэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв олон өнцөгт буюу тархалтын муруй нь нэг максимумтай бол (Зураг 2 а) тархалтыг unimodal, нэгээс олон максимумтай бол мультимодаль гэж нэрлэдэг (ялангуяа хоёр горимтой тархалтыг хоёр модаль гэж нэрлэдэг). Минимумтай тархалтыг антимодаль гэж нэрлэдэг (Зураг 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утга нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дэлхийн хамгийн их магадлал эсвэл тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг өгдөг горим юм.

Медиан нь магадлалын нягтын графикийн доорх талбайг хагасаар хуваадаг x l-ийн утга, өөрөөр хэлбэл. Медиан нь тэгшитгэлийн аль ч үндэс юм. Математикийн хүлээлт байхгүй байж болох ч медиан үргэлж байдаг бөгөөд үүнийг хоёрдмол байдлаар тодорхойлж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан

түүний утга = x med нь P (< x med) = Р ( >x мед) = .

Тархалтын тоон шинж чанар

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтыг тооцох математик хүлээлт юм.

λ нь ижил бие даасан туршилтууд дахь үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. λ = n × p, энд p нь нэг туршилт дахь үйл явдлын магадлал, e = 2.71828.

Пуассоны хуулийн тархалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь Пуассоны тархалтыг бий болгож, цувралын бүх шинж чанарыг тооцоолоход хэрэглэгддэг: математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт. Шийдвэр бүхий тайланг Word форматаар боловсруулсан болно.

n нь том ба λ = p n > 10 тохиолдолд Пуассоны томьёо нь маш бүдүүлэг ойролцоо утгыг өгдөг ба P n (m) -ийг тооцоолоход Мойвр-Лапласын локал ба интеграл теоремуудыг ашигладаг.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

Пуассоны тархалтын хүлээлт
M[X] = λ

Пуассоны тархалтын хэлбэлзэл
D[X] = λ

Жишээ №1. Үр нь 0.1% хогийн ургамал агуулдаг. 2000 үрийг санамсаргүй байдлаар сонговол 5 хогийн ургамлын үр олох магадлал хэд вэ?
Шийдэл.
p магадлал бага боловч n тоо их байна. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ: M[X] = λ = 2
Тархалт: D[X] = λ = 2

Жишээ №2. Хөх тарианы үрийн дотор 0.4% хогийн ургамлын үр байдаг. 5000 үрийн санамсаргүй сонголтоор хогийн ургамлын тоог хуваарилах хуулийг гарга. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлт: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Тархалт: D[X] = λ = 20
Хуваарилалтын хууль:

X	0	1	2	…	м	…
П	д -20	20e -20	200e -20	…	20 м -20 /м!	…

Жишээ №3. Утасны станц дээр 1/200 магадлалтай буруу холболт үүсдэг. 200 холболтын дунд дараахь зүйл тохиолдох магадлалыг ол.
a) яг нэг буруу холболт;
б) гурваас бага буруу холболт;
в) хоёроос дээш буруу холболт.
Шийдэл.Бодлогын нөхцлийн дагуу үйл явдлын магадлал бага тул Пуассоны томъёог (15) ашиглана.
a) Өгөгдсөн: n = 200, p = 1/200, k = 1. P 200 (1) -ийг олъё.
Бид авах: . Дараа нь P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0.3679.
b) Өгөгдсөн: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Бидэнд: a = 1 байна.

в) Өгөгдсөн: n = 200, p = 1/200, k > 2. P 200 (k > 2) -ийг ол.
Энэ асуудлыг илүү энгийнээр шийдэж болно: эсрэг үйл явдлын магадлалыг олоорой, учир нь энэ тохиолдолд та цөөн тооны нэр томъёог тооцоолох хэрэгтэй. Өмнөх тохиолдлыг харгалзан үзвэл бид байна

n нь хангалттай том, p нь хангалттай бага байх тохиолдлыг авч үзье; np = a гэж үзье, энд a нь зарим тоо юм. Энэ тохиолдолд хүссэн магадлалыг Пуассоны томъёогоор тодорхойлно.

t хугацааны туршид k үйл явдал тохиолдох магадлалыг Пуассоны томъёог ашиглан олж болно.
Энд λ нь үйл явдлын урсгалын эрч хүч, өөрөөр хэлбэл нэгж хугацаанд гарч буй үйл явдлын дундаж тоо юм.

Жишээ № 4. Тухайн хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлал 0.005 байна. 400 хэсгийг шалгаж байна. 3-аас дээш хэсэг гэмтэлтэй байх магадлалыг тооцоолох томьёог гарга.

Жишээ №5. Бөөнөөр үйлдвэрлэх явцад гэмтэлтэй хэсгүүд гарч ирэх магадлал нь p. N хэсэг бүхий багцад а) яг гурван хэсэг байх магадлалыг тодорхойлох; б) гурваас илүүгүй гэмтэлтэй хэсэг.
p=0.001; N = 4500
Шийдэл.
p магадлал бага боловч n тоо их байна. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгын мужтай (0,1,2,...,m). Эдгээр утгуудын магадлалыг дараах томъёогоор олж болно.

X-ийн тархалтын цувааг олъё.
Энд λ = np = 4500*0.001 = 4.5 байна
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Дараа нь N хэсгүүдийн багцад яг гурван хэсэг байх магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

Дараа нь N хэсгүүдийн багцад гурваас илүүгүй гэмтэлтэй байх магадлал:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Жишээ № 6. Автомат телефон станц нь цагт дунджаар N дуудлага хүлээн авдаг. Тухайн минутын дотор тэр хүлээн авах магадлалыг тодорхойл: а) яг хоёр дуудлага; б) хоёроос дээш дуудлага.
N=18
Шийдэл.
Нэг минутын дотор автомат утасны станц дунджаар λ = 18/60 минут хүлээн авдаг. = 0.3
Нэг минутын дотор PBX-д санамсаргүй тооны X дуудлага ирсэн гэж үзвэл,
Пуассоны хуулийг дагаж мөрдвөл томъёог ашиглан бид хүссэн магадлалыг олох болно

X-ийн тархалтын цувааг олъё.
Энд λ = 0.3 байна
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Тухайн минутын дотор тэр яг хоёр дуудлага хүлээн авах магадлал нь:
P(2) = 0.03334
Тэр нэг минутанд хоёроос илүү дуудлага хүлээн авах магадлал нь:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Жишээ № 7. Бие биенээсээ үл хамааран ажилладаг хоёр элементийг авч үздэг. Гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь эхний элементийн хувьд λ1 = 0.02, хоёр дахь элементийн хувьд λ2 = 0.05 параметртэй экспоненциал тархалттай байна. 10 цагийн дотор дараах магадлалыг ол: a) хоёр элемент хоёулаа гэмтэлгүй ажиллах; b) зөвхөн №1 элемент 10 цагийн дотор бүтэлгүйтэх магадлал:
Шийдвэр.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0.8187

2-р элемент 10 цагийн дотор бүтэлгүйтэх магадлал:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0.6065

a) хоёр элемент хоёулаа өөгүй ажиллах болно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
б) зөвхөн нэг элемент амжилтгүй болно.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

Жишээ № 7. Үйлдвэрлэл нь 1% гажиг үүсгэдэг. Судалгаанд хамрагдахаар авсан 1100 бүтээгдэхүүнээс 17-оос илүүгүй нь татгалзах магадлал хэд вэ?
Анхаарна уу: энд n*p =1100*0.01=11 > 10 тул хэрэглэх шаардлагатай

Олон тооны бие даасан туршилтуудад тодорхой (хязгаарлагдмал) удаа тохиолдох магадлал багатай үйл явдлуудыг авч үзэхэд эдгээр үзэгдлийн магадлал нь Пуассоны хууль эсвэл ховор үзэгдлийн хуульд захирагддаг бөгөөд λ нь дундаж тоотой тэнцүү байна. ижил бие даасан туршилтууд дахь үйл явдлын тохиолдлууд, жишээлбэл. λ = n × p, энд p нь нэг туршилтын үеийн үйл явдлын магадлал, e = 2.71828, m нь энэ үйл явдлын давтамж, математикийн хүлээлт M[X] нь λ-тэй тэнцүү байна.

Пуассоны хуулийн тархалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

Пуассоны тархалтын хүлээлт
M[X] = λ

Пуассоны тархалтын хэлбэлзэл
D[X] = λ

Пуассоны хуульЭнэ нь хангалттай том хэмжээний (n > 100) популяцид ашиглаж болох ба энэ шинж чанарыг агуулсан нэгжийн хангалттай бага хувьтай (p)< 0,1).
Энэ тохиолдолд Пуассоны тархалтыг зөвхөн n-ийн утга буюу боломжит үр дүнгийн нийт тоо тодорхойгүй үед төдийгүй n-ийн илэрхийлж чадах эцсийн тоо тодорхойгүй үед хэрэглэж болно. Үйл явдал тохиолдох дундаж тоо байгаа тохиолдолд үйл явдал болох магадлалыг өргөтгөлийн нөхцлөөр тодорхойлно.
.
Тиймээс холбогдох магадлал нь:

Тиймээс, хэрэв газар хөдлөлтийн дундаж тоо сард нэг бол m = 1, сард тохиолдох магадлал нь e - m = 0.3679-ийн ойролцоо утгыг ашиглан дараах байдалтай байна.

Жишээ. Ижил бүтээгдэхүүний 1000 багцыг шалгасны үр дүнд багц дахь согогтой бүтээгдэхүүний дараахь хуваарилалтыг олж авав.

Багц дахь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний дундаж тоог тодорхойлъё.
.
Бид Пуассоны хуулийн онолын давтамжийг олдог.


Пуассоны тархалтыг эмпирик болон онолын хувьд олж мэдсэн:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Харьцуулснаар эмпирик тархалт Пуассоны тархалттай тохирч байгааг харуулж байна.

Жишээ №2. Техникийн хяналтын хэлтэс ижил төрлийн бүтээгдэхүүний n багцыг шалгаж үзээд нэг багц дахь стандартын бус бүтээгдэхүүний X тоо нь хүснэгтэд үзүүлсэн эмпирик тархалттай, нэг мөрөнд нэг багц дахь стандарт бус бүтээгдэхүүний x i тоог, нөгөө мөрөнд x i стандартын бус бүтээгдэхүүн агуулсан n i багцын тоог заана. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (нэг багц дахь стандарт бус бүтээгдэхүүний тоо) гэсэн таамаглалыг α=0.05 ач холбогдлын түвшинд шалгах шаардлагатай. Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Х тархсан гэсэн таамаглалыг шалгая Пуассоны хуульҮйлчилгээг ашиглах, статистик таамаглалыг шалгах.


энд p i нь таамаглалын хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн i-р интервалд орох магадлал; λ = x дундаж.
i = 0: p 0 = 0.3679, np 0 = 367.88
i = 1: p 1 = 0.3679, np 1 = 367.88
i = 2: p 2 = 0.1839, np 2 = 183.94
i = 3: p 3 = 0.0613, np 3 = 61.31
i = 4: p 4 = 0.0153, np 4 = 15.33
i = 5: p 5 = 0.0031, np 5 = 3.07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18.39=15.33 + 3.07

би	Ажиглагдсан давтамж n i	p i	Хүлээгдэж буй давтамж np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Чухал бүсийн хилийг тодорхойлъё. Пирсоны статистик нь эмпирик ба онолын тархалтын ялгааг хэмждэг тул түүний ажиглагдсан K obs утга их байх тусам үндсэн таамаглалын эсрэг аргумент хүчтэй болно.
Тиймээс эдгээр статистикийн чухал бүс нь үргэлж баруун гарт байдаг :)