Үлгэрүүд

Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцсон бол нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. Геометрт тойргийн хөвч гэж юу вэ, түүний тодорхойлолт, шинж чанарууд Тойргийн тухай бүх теоремууд

Chord гэдэг нь грекээр "мөр" гэсэн утгатай. Энэхүү ойлголтыг шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт - математик, биологи болон бусад салбарт өргөн ашигладаг.

Геометрийн хувьд нэр томъёоны тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь нэг тойрог дээрх дурын хоёр цэгийг холбосон шулуун шугамын сегмент юм. Хэрэв ийм сегмент нь төвийг огтолж байвалмуруй, үүнийг хүрээлэгдсэн тойргийн диаметр гэж нэрлэдэг.

-тай холбоотой

Геометрийн хөвчийг хэрхэн яаж барих вэ

Энэ сегментийг бүтээхийн тулд эхлээд тойрог зурах хэрэгтэй. Таслах шугам татагдах дурын хоёр цэгийг тэмдэглэ. Тойрогтой огтлолцох цэгүүдийн хооронд байрлах шулуун шугамын сегментийг хөвч гэж нэрлэдэг.

Хэрэв та ийм тэнхлэгийг хагасаар хувааж, энэ цэгээс перпендикуляр шугам татах юм бол энэ нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх болно. Та эсрэг үйлдлийг хийж болно - тойргийн төвөөс хөвч рүү перпендикуляр радиус зур. Энэ тохиолдолд радиус нь үүнийг хоёр ижил хагас болгон хуваана.

Хэрэв бид хоёр зэрэгцээ тэнцүү сегментээр хязгаарлагдсан муруйн хэсгүүдийг авч үзвэл, тэгвэл эдгээр муруйнууд мөн бие биетэйгээ тэнцүү байх болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Хэд хэдэн загвар байдаг, хөвч ба тойргийн төвийг холбох:

Радиус ба диаметрийн хамаарал

Дээрх математикийн ойлголтууд нь дараахь хуулиудаар харилцан уялдаатай байдаг.

Хөвч ба радиус

Эдгээр ойлголтуудын хооронд дараахь холболтууд байдаг.

Бичсэн өнцгүүдтэй харилцах харилцаа

Тойрог дотор бичсэн өнцөг нь дараах дүрмийг баримтална.

Нуман харилцан үйлчлэл

Хэрэв хоёр сегмент нь тэнцүү хэмжээтэй муруйн хэсгүүдэд орвол ийм тэнхлэгүүд хоорондоо тэнцүү байна. Энэ дүрмийн дагуу дараах загварууд гарч ирнэ.

Яг хагас тойрогт багтсан хөвч нь түүний диаметр юм. Хэрэв нэг тойрог дээрх хоёр шугам бие биентэйгээ параллель байвал эдгээр сегментүүдийн хооронд бэхлэгдсэн нумууд нь тэнцүү байх болно. Гэсэн хэдий ч битүү нумыг ижил шугамаар байрлуулсан нумуудтай андуурч болохгүй.

3-р хэсэг. Тойрог

I. Лавлах материал.

I. Шүргэгч, хөвч ба секантын шинж чанарууд. Бичсэн ба төв өнцөг.

Тойрог ба тойрог

1. Хэрэв бид тойргийн гадна байрлах нэг цэгээс түүнд хоёр шүргэгч татвал

a) өгөгдсөн цэгээс контактын цэг хүртэлх сегментүүдийн урт нь тэнцүү;

б) тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шүргэгч ба секант бүрийн хоорондох өнцөг тэнцүү байна.

2. Хэрэв тойргийн гадна байрлах нэг цэгээс түүн рүү шүргэгч ба секанс зурвал шүргэгчийн квадрат нь зүсэгч ба түүний гадна хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

3. Хэрэв хоёр хөвч нэг цэгт огтлолцсон бол нэг хөвчний хэрчмүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчийн хэрчмүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

4. Тойрог C=2πR;

5. Нумын урт L =πRn/180˚

6. Тойргийн талбай S=πR 2

7. Салбарын нутаг дэвсгэр С в=πR 2 n/360

Бичигдсэн өнцгийн хэмжүүр нь түүний тулгуурласан нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү байна.

Теорем 1.Тойрог дээрх нийтлэг цэгтэй шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцгийн хэмжигдэхүүн нь түүний талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү байна.

Теорем 2(тангенс ба секантын тухай). Хэрэв M цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секантыг зурсан бол М цэгээс шүргэлтийн цэг хүртэлх шүргэгч сегментийн квадрат нь М цэгээс түүний цэгүүд хүртэлх зүсэлтийн сегментүүдийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна. тойрогтой огтлолцох.

Теорем 3. Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцвол нэг хөвчний хэрчмүүдийн уртын үржвэр нь нөгөө хөвчний хэрчмүүдийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл AB ба CD хөвчүүд М цэг дээр огтлолцдог бол, дараа нь AB MV = CM MD.

Тойргийн хөвчний шинж чанарууд:

Хөвчний перпендикуляр диаметр нь түүнийг хагасаар хуваана. Үүний эсрэгээр: хөвчний дундуур дамжин өнгөрөх диаметр нь түүнд перпендикуляр байна.

Тойргийн тэгш хөвчүүд нь тойргийн төвөөс ижил зайд байрладаг. Үүний эсрэгээр: тэнцүү хөвчүүд нь тойргийн төвөөс ижил зайд байрладаг.

Зэрэгцээ хөвчүүдийн хооронд хүрээлэгдсэн тойргийн нумууд тэнцүү байна.

Энэ цэгт нийтлэг цэг ба нийтлэг шүргэгчтэй тойрогуудыг шүргэгч гэж нэрлэдэг. гаднах шүргэгч.

II. Нэмэлт материал

Зарим өнцгийн шинж чанарууд.

Теорем.

1) Орой нь тойрог дотор байрлах өнцөг (ABC) нь хоёр нумын (AC ба DE) хагас нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн нэг нь түүний хажуугийн хооронд, нөгөө нь талуудын өргөтгөлүүдийн хооронд байна.

2) орой нь тойргийн гадна байрлах ба талууд нь тойрогтой огтлолцдог өнцөг (ABC) нь түүний талуудын хооронд хүрээлэгдсэн хоёр нумын (AC ба ED) хагасын зөрүү юм.

Баталгаа .

AD хөвчийг зурах (хоёр зураг дээр), бид авдаг ∆АВD,

харгалзан үзэж буй өнцөгтэй харьцангуй ABCОрой нь тойрог дотор байх үед гадаад, орой нь тойргийн гадна байрлах үед дотоод үүрэг гүйцэтгэдэг. Тиймээс эхний тохиолдолд: ; хоёр дахь тохиолдолд:

Гэхдээ ADC ба DAE өнцгийг бичээстэй адил хагас нумаар хэмждэг

AC ба DE; Тиймээс ABC өнцгийг хэмждэг: эхний тохиолдолд: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, энэ нь тэнцүү байна. 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE),ба хоёр дахь тохиолдолд ялгаа нь 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE бөгөөд энэ нь 1/2 (ﬞ AC- ﬞ DE)-тэй тэнцүү байна.

Теорем. Шүргэгч ба хөвчөөс үүссэн өнцгийг (ACD) түүний дотор байгаа нумын хагасаар хэмждэг.

Эхлээд CD хөвч нь О төвөөр дамжин өнгөрдөг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. хөвч бол диаметр юм. Дараа нь өнцөг АСД- шулуун тул 90°-тай тэнцүү байна. Харин CmD нумын тал нь мөн 90°-тай тэнцүү байна, учир нь хагас тойргийг бүрдүүлдэг CmD нум бүхэлдээ 180°-ыг агуулна. Энэ нь тухайн тохиолдолд теорем үнэн гэсэн үг юм.

Одоо CD хөвч нь төвөөр дамжихгүй байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь CE диаметрийг зурахад бид дараахь зүйлийг авна.

У шүргэгч ба диаметрээс бүрдэх ACE зорилтыг CDE нумын хагасаар хэмждэг; DCE өнцгийг бичээстэй хэлбэрээр CnED нумын хагасаар хэмждэг: нотлох баримтын цорын ганц ялгаа нь энэ өнцгийг ялгаа гэж үзэхгүй, харин ALL зөв өнцөг ба ECD хурц өнцгийн нийлбэр гэж үзэх ёстой.

Тойрог дахь пропорциональ шугамууд

Теорем.Хэрэв тойрог дотор авсан (M) цэгээр зарим хөвч (AB) ба диаметрийг (CD) татвал хөвчний сегментүүдийн үржвэр (AM MB) нь диаметрийн сегментүүдийн үржвэртэй (MB MC) тэнцүү байна.

Баталгаа.

П
AC ба BD хоёр туслах хөвчийг зурснаар бид AMC ба MBD хоёр гурвалжныг (зурган дээр зураасаар бүрсэн) авах болно, учир нь тэдгээрийн A ба D өнцөг нь бичээстэй адил тэнцүү, ижил BC нуман дээр тулгуурласан өнцгүүд юм. С ба В нь ижил AD нуман дээр үндэслэсэн бичээстэй тэнцүү байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж байна.

AM: MD=MS: MV, эндээс AM MV=MD MS.

Үр дагавар.Хэрэв тойрог дотор авсан (M) цэгээр хэдэн хөвчийг (AB, EF, KL,...) татвал хөвч бүрийн сегментийн үржвэр нь бүх хөвчний хувьд тогтмол тоо байна, учир нь утас бүрийн хувьд энэ нь тогтмол байна. Бүтээгдэхүүн нь авсан M цэгийг дайран өнгөрөх CD диаметртэй сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Теорем.Хэрэв тойргийн гаднаас авсан (M) цэгээс түүн рүү зарим секант (MA) ба шүргэгч (MS) татагдсан бол секантын үржвэр ба түүний гаднах хэсгийн үржвэр нь шүргэгчийн квадраттай тэнцүү байна (энэ гэж үзнэ. секант нь огтлолцлын хоёр дахь цэгээр хязгаарлагддаг ба шүргэгч - холбоо барих цэг).

Баталгаа.

AC ба BC туслах хөвчийг зурцгаая; Дараа нь бид MAC ба MVS хоёр гурвалжинг авна (зурган дээр зураасаар бүрхэгдсэн) тэдгээр нь ижил M өнцөгтэй, MCW ба CAB өнцөг нь тэнцүү, учир нь тэдгээр нь тус бүрийг BC нумын хагасаар хэмждэг. ∆MAS-д MA болон MC талыг авч үзье; ∆MVS дахь ижил төстэй талууд нь MC ба MV байх болно; тиймээс MA: MS = MS: MV, эндээс MA MV = MS 2.

Үр дагавар.Хэрэв тойргийн гаднаас авсан (M) цэгээс түүн рүү дурын тооны секант (MA, MD, ME,...) татагдсан бол секант тус бүрийн үржвэр ба түүний гадаад хэсгийн үржвэр нь бүх секантын хувьд тогтмол тоо болно. учир нь энэ зүсэлт бүрийн хувьд үржвэр нь M цэгээс татсан шүргэлтийн квадраттай (MC 2) тэнцүү байна.

III. Танилцуулах даалгавар.

Даалгавар 1.

IN 60° цочмог өнцөгтэй ижил өнцөгт трапецын хажуу тал нь , бага суурь нь . Энэ трапецаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

Шийдэл

1) Трапецын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь орой нь трапецын дурын гурван орой байх гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай ижил байна. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн R радиусыг ол АНУ.

2) A B C Dнь ижил өнцөгт трапец байна, тиймээс А.К. = М.Д., К.М. =.

∆ дотор ABK А.К. = AB cos A = · cos 60° =. гэсэн үг,
МЭ = .

Б.К. = ABнүгэл А = · = .

3) ∆ дахь косинусын теоремоор АНУ Б.Д 2 = AB 2 + МЭ 2 – 2AB · МЭ cos А.

Б.Д 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
Б.Д = .

4) S(∆ АНУ) = МЭ · Б.К.; S(∆ АНУ) = · · 3 = .

Даалгавар 2.

Тэгш талт гурвалжинд ABCтойрог бичиж, сегментийг зурсан Н.М.,

М А.С., Н МЭӨ, энэ нь түүнд хүрч, хажуу талдаа параллель байна AB.

Трапецын периметрийг тодорхойл АМНБ, хэрвээ сегментийн урт М.Н 6-тай тэнцүү.

Шийдэл.

1) ∆ABC- тэгш талт, цэг О– медиануудын огтлолцох цэг (биссектрис, өндөр) гэсэн үг CO : О.Д. = 2 : 1.

2) М.Н- тойрогтой шүргэгч, П– холбоо барих цэг, энэ нь гэсэн үг О.Д. =
= OP, Дараа нь CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ ТАКСИ, энэ нь ∆ гэсэн үг CMN- тэгш талт С.М. = CN = М.Н = = 6; П.

Тэгээд

3) Б.Н = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( АМНБ) = А.М. + М.Н + Б.Н + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Хоёр талт трапецийг тойргийн эргэн тойронд дүрсэлсэн бөгөөд түүний дунд шугам нь 5, суурь дээрх хурц өнцгийн синус нь 0.8-тай тэнцүү байна. Трапецын талбайг ол.

Шийдэл.Нэгэнт тойрог нь дөрвөлжин хэлбэрээр бичигдсэн байдаг МЭӨ + МЭ = AB + CD. Энэ дөрвөн өнцөгт нь тэгш өнцөгт трапец бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм МЭӨ + МЭ = 2AB.

FP– трапецын дунд шугам гэсэн үг МЭӨ + МЭ = 2FP.

Дараа нь AB = CD = FP = 5.

∆ABK- тэгш өнцөгт, Б.К. = ABнүгэл А; Б.К.= 5 · 0.8 = 4.

S ( A B C D) = FP · Б.К.= 5 · 4 = 20.

Хариулах: 20.

ABC гурвалжны тойрог нь К цэг дээр ВС талтай, тойрог нь L цэг дээр ВС талд хүрнэ. CK=BL=(a+b+c)/2 гэдгийг батал.

Баталгаа: M ба N нь АВ ба ВС талуудтай бичээстэй тойргийн шүргэгч цэгүүд байг. Тэгвэл BK+AN=BM+AM=AB, тэгэхээр CK+CN= a+b-c.

AB ба ВС талуудын суналт бүхий тойргийн шүргэлтийн цэгүүдийг P ба Q гэж үзье. Дараа нь AP=AB+BP=AB+BL ба AQ=AC+CQ=AC+CL. Тиймээс AP+AQ=a+b+c. Иймд BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) ABC гурвалжны В өнцгийн биссектрисын үргэлжлэл нь хүрээлэгдсэн тойргийг M цэг дээр огтолж байна. O нь бичээстэй тойргийн төв юм. O B нь AC тал руу шүргэгч тойргийн төв юм. A, C, O, O B цэгүүд нь M төвтэй тойрог дээр байрладаг болохыг батал.

Д
нотлох баримт: Учир нь

б) ABC гурвалжны дотор байрлах О цэг нь BCO, ACO, ABO гурвалжнуудын хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр AO, BO, CO шулуун шугамууд өнгөрөх шинж чанартай. O нь ABC гурвалжны бичээстэй тойргийн төв гэдгийг батал

Баталгаа: ACO гурвалжны тойргийн төвийг P гэж үзье. Дараа нь

IV. Нэмэлт даалгавар

№1. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба түүний хөлийн өргөтгөлтэй шүргэгч тойрог нь R радиустай. Гурвалжны периметрийг ол.

Р шийдэл: HOGB - R талтай дөрвөлжин

1) ∆OAH =∆OAF хөл ба гипотенузын дагуу =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№2. C ба D цэгүүд нь AB диаметртэй тойрог дээр байрладаг. AC ∩ BD = P, ба AD ∩ BC = Q. AB ба PQ шулуунууд перпендикуляр гэдгийг батал.

Нотолгоо: А D – диаметр => бичээстэй өнцөг АХБ=90 o (диаметр дээр үндэслэн)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP нь 2 талдаа ∆QNA-тай төстэй ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг => QN нь AB-тай перпендикуляр байна.

№3. ABCD параллелограммын диагональ АС нь BD диагональаас их байна; M нь АС диагональ дээрх цэг, BDCM нь мөчлөгийн дөрвөн өнцөгт BD шулуун нь ABM ба ADM гурвалжны тойргуудын нийтлэг шүргэгч гэдгийг батал

П
ам O нь AC ба ВD диагональуудын огтлолцох цэг юм. Дараа нь МО · OC=BO · ОД. Харин OS = OA ба VO = ВD, дараа нь MO · OA=VO 2 ба MO · OA=DO 2. Эдгээр тэгшитгэл нь OB нь ADM гурвалжны тойрогтой шүргэнэ гэсэн үг юм

№4. Н ABC тэгш өнцөгт гурвалжны AB суурь дээр Е цэгийг авч, M ба N цэгүүдийн CE сегментийг шүргэж байгаа тойргийг ACE ба ABE гурвалжинд бичжээ. AE ба BE уртууд мэдэгдэж байвал MN хэрчмийн уртыг ол.

Танилцуулгын бодлогын дагуу 4 CM=(AC+CE-AE)/2 ба CN=(BC+CE-BE)/2. AC=BC гэж үзвэл MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 болно.

№5. ABC гурвалжны талуудын урт нь арифметик прогресс үүсгэдэг ба a

M нь АС талын дунд цэг, N нь ВС талтай бичээстэй тойргийн шүргэлтийн цэг байна. Дараа нь BN=р–b (танилцуулах бодлого 4), тиймээс BN=AM, учир нь нөхцөлөөр p=3b/2. Түүнээс гадна,

В .Бие даан шийдвэрлэх даалгавар

№1. ABCD дөрвөлжин нь ВС ба CD талуудын өргөтгөлтэй шүргэгч BAD өнцгөөр бичээстэй тойрог байх шинж чанартай. AB+BC=AD+DC гэдгийг батал.

№2. R ба r радиустай тойргийн нийтлэг дотоод шүргэгч нь тэдгээрийн нийтлэг гадаад шүргэгчийг А ба В цэгүүдээр огтолж, С цэг дээрх тойргийн аль нэгэнд хүрнэ. AC∙CB=Rr гэдгийг батал.

№3. ABC гурвалжинд C өнцөг нь зөв өнцөг юм. r =(a+b-c)/2 ба r c =(a+b+c)/2 гэдгийг батал.

№4. Хоёр тойрог нь А ба В цэгүүдэд огтлолцдог; MN нь тэдний нийтлэг шүргэгч юм. AB шугам нь MN хэрчмийг хагасаар хуваадаг болохыг батал.

№5. ABC гурвалжны өнцгүүдийн биссектрисын үргэлжлэлүүд нь хүрээлэгдсэн тойргийг A 1, B 1, C 1 цэгүүдээр огтолж байна. M – биссектрисийн огтлолцлын цэг. Үүнийг батлах:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№6. Тойргийн нэг цэгээс татсан хоёр шүргэгчээс үүссэн өнцөг нь 23°15`-тай тэнцүү байна. Шүргэдэг цэгүүдийн хооронд бэхлэгдсэн нумуудыг тооцоол

№7. Хэрвээ хөвч нь тойргийг 3:7 харьцаатай хоёр хэсэгт хуваасан бол шүргэгч ба хөвчөөс үүсэх өнцгийг тооцоол.

VI. Хяналтын даалгавар.

Сонголт 1.

М цэг нь О төвтэй тойргийн гадна байрладаг. М цэгээс гурван зүсэлт зурсан: эхнийх нь тойргийг B ба А цэгүүдээр огтолж (М-В-А), хоёр дахь нь D ба С (М-Д-С) цэгүүдээр, гурав дахь нь тойрогтой огтлолцдог. F ба E (M-F-E) цэгүүд ба тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Хэрэв AB = CD бол AME ба CME өнцөг тэнцүү болохыг батал.

Тойргийн радиусыг ол.

М цэгээс тойрог хүртэл татсан шүргэгчийн уртыг ол.

AEB өнцгийг ол.

Сонголт 2.

AB нь О төвтэй тойргийн диаметр. EF хөвч нь K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5 цэгийн диаметрийг огтолж байна.

Тойргийн радиусыг ол.

Тойргийн төвөөс BF хөвч хүртэлх зайг ол.

AB диаметр ба хөвч EF хоорондох хурц өнцгийг ол.

EM нь AB-тай параллель байвал FM хөвч хэдтэй тэнцүү вэ?

Сонголт 3. ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд (

Сонголт 4.

AB нь О төвтэй тойргийн диаметр. Энэ тойргийн радиус нь 4, O 1 нь ОА-ийн дунд хэсэг юм. Төв нь О 1 цэг дээр, том тойрогтой A цэг дээр шүргэгч тойрог зурсан. Том тойргийн CD хөвч нь AB-тай перпендикуляр бөгөөд AB-г K цэгээр огтолж байна. E ба F нь CD-ийн огтлолцлын цэгүүд юм. жижиг тойрог (C-E-K-F-D), AK=3.

AE болон AC хөвчийг ол.

AF нумын хэмжүүр ба түүний уртыг ол.

EF хөвчөөр таслагдсан жижиг тойргийн хэсгийн талбайг ол.

ACE гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

Эхлээд тойрог ба тойрог хоёрын ялгааг ойлгоцгооё. Энэ ялгааг харахын тулд хоёр тоо юу болохыг анхаарч үзэхэд хангалттай. Эдгээр нь нэг төв цэгээс ижил зайд байрладаг хавтгай дээрх хязгааргүй тооны цэгүүд юм. Гэхдээ хэрэв тойрог нь дотоод орон зайгаас бүрддэг бол энэ нь тойрогт хамаарахгүй. Эндээс харахад тойрог нь түүнийг хязгаарлаж буй тойрог (тойрог(r)), тойрог дотор байгаа тоо томшгүй олон тооны цэгүүд юм.

Тойрог дээр байрлах дурын L цэгийн хувьд OL=R тэгш байдал үйлчилнэ. (OL сегментийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь түүнийх юм хөвч.

Тойргийн төвөөр шууд дамждаг хөвч нь диаметрэнэ тойрог (D). Диаметрийг D=2R томъёогоор тооцоолж болно

Тойрогтомъёогоор тооцоолно: C=2\pi R

Тойргийн талбай: S=\pi R^(2)

Тойргийн нумтүүний хоёр цэгийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. Эдгээр хоёр цэг нь тойргийн хоёр нумыг тодорхойлдог. CD хөвч нь CMD ба CLD гэсэн хоёр нумыг агуулдаг. Ижил хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг агуулна.

Төв өнцөгХоёр радиусын хооронд байрлах өнцгийг гэнэ.

Нуман урттомъёог ашиглан олж болно:

Зэрэглэлийн хэмжүүр ашиглах: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглан: CD = \alpha R

Хөвчний перпендикуляр голч нь хөвч болон түүгээр татагдсан нумуудыг хагасаар хуваадаг.

Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд N цэг дээр огтлолцдог бол N цэгээр тусгаарлагдсан хөвчний сегментүүдийн үржвэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Тойрогтой шүргэгч

Тойрогтой шүргэгчТойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэх нь заншилтай байдаг.

Хэрэв шугам нь хоёр нийтлэг цэгтэй бол түүнийг дуудна секант.

Хэрэв та радиусыг шүргэгч цэг рүү зурвал энэ нь тойрогтой шүргэгчтэй перпендикуляр байх болно.

Энэ цэгээс тойрог руугаа хоёр шүргэгч зуръя. Шүргэгч хэрчмүүд нь хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист дээр байрлана.

AC = CB

Одоо цэгээсээ тойрог руу шүргэгч ба секант зуръя. Шүргэдэг сегментийн уртын квадрат нь бүхэл сегмент ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байх болно.

AC^(2) = CD \cdot BC

Бид дүгнэж болно: эхний секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүн нь хоёр дахь секантын бүхэл хэсэг ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Тойрог дахь өнцөг

Төвийн өнцөг ба түүний тулгуурласан нумын градусын хэмжүүрүүд тэнцүү байна.

\angle COD = \аяга CD = \alpha ^(\circ)

Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байрлах ба талууд нь хөвч агуулсан өнцөг юм.

Энэ нумын хагастай тэнцэх тул та нумын хэмжээг мэдэж байж тооцоолж болно.

\angle AOB = 2 \angle АХБ

Диаметр, бичээстэй өнцөг, зөв өнцгийг үндэслэнэ.

\ өнцөг CBD = \ өнцөг CED = \ өнцөг CAD = 90 ^ (\ тойргоор)

Нэг нумыг хамарсан бичээстэй өнцөг нь ижил байна.

Нэг хөвч дээр тулгуурласан бичээстэй өнцгүүд нь ижил буюу нийлбэр нь 180^ (\circ)-тэй тэнцүү байна.

\өнцөг АХБ + \өнцөг AKB = 180^ (\ тойрог)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Нэг тойрог дээр ижил өнцөгтэй, өгөгдсөн суурьтай гурвалжны оройнууд байрладаг.

Тойрог доторх оройтой, хоёр хөвчний хооронд байрлах өнцөг нь өгөгдсөн болон босоо өнцгийн доторх тойргийн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай ижил байна.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC + \аяга AlB \баруун)

Тойргийн гадна оройтой, хоёр секантын хооронд байрлах өнцөг нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын зөрүүний талтай тэнцүү байна.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC - \аяга AlB \баруун)

Бичсэн тойрог

Бичсэн тойрогнь олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойрог юм.

Олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг дээр түүний төв байрлана.

Олон өнцөгт бүрт тойрог бичээгүй байж болно.

Бичсэн тойрог бүхий олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор олно.

S = pr,

p нь олон өнцөгтийн хагас периметр,

r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Үүнээс үзэхэд бичээстэй тойргийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.

r = \frac(S)(p)

Хэрэв тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байвал эсрэг талын уртын нийлбэр ижил байх болно. Мөн эсрэгээр: эсрэг талын уртын нийлбэр нь ижил байвал тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй тохирно.

AB + DC = AD + BC

Аль ч гурвалжинд тойрог бичих боломжтой. Ганцхан л. Зургийн дотоод булангийн биссектрисс огтлолцох цэг дээр энэ бичээстэй тойргийн төв нь хэвтэнэ.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно.

r = \frac(S)(p) ,

Энд p = \frac(a + b + c)(2)

Тойрог

Хэрэв тойрог нь олон өнцөгтийн орой бүрийг дайран өнгөрвөл ийм тойргийг ихэвчлэн нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан.

Энэ зургийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр хүрээлэгдсэн тойргийн төв байх болно.

Радиусыг олон өнцөгтийн дурын 3 оройгоор тодорхойлсон гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцож олно.

Дараах нөхцөл бий: зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180^( \circ) -тэй тэнцүү байвал дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно.

\ өнцөг A + \ өнцөг C = \ өнцөг B + \ өнцөг D = 180 ^ (\ тойрог)

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Ийм тойргийн төв нь гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг дээр байрлана.

Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,

S нь гурвалжны талбай юм.

Птолемейгийн теорем

Эцэст нь Птолемейгийн теоремыг авч үзье.

Птолемейгийн теорем нь диагональуудын үржвэр нь мөчлөгт дөрвөлжингийн эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэртэй ижил байна гэж заасан.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Математикийн багшийн даалгаврыг гүйцэтгэхэд зориулсан геометрийн онолын лавлах материал. Оюутнуудад асуудлыг шийдвэрлэхэд нь туслах.

1) Тойрог доторх бичээстэй өнцгийн тухай сэдэв.

Теорем: тойрог дотор бичигдсэн өнцөг нь түүний тулгуурласан нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү (эсвэл энэ нуманд харгалзах төв өнцгийн хагас), өөрөөр хэлбэл .

2) Тойрог доторх бичээстэй өнцгийн тухай теоремын үр дүн.

2.1) Нэг нумаар тулгуурласан өнцгийн шинж чанар.

Теорем: хэрэв бичээстэй өнцгийг нэг нумаар дэмжсэн бол тэдгээр нь тэнцүү байна (хэрэв нэмэлт нумаар бэхлэгдсэн бол тэдгээрийн нийлбэр нь тэнцүү байна)

2.2) Диаметрт хамаарах өнцгийн шинж чанар.

Теорем: Тойрог доторх бичээстэй өнцгийг зөвхөн зөв байвал диаметрээр нь хасна.

АС диаметр

3) Шүргэдэг сегментийн шинж чанар. Өнцөгт бичээстэй тойрог.

Теорем 1:Хэрэв тойрог дээр хэвтээгүй нэг цэгээс хоёр шүргэгч татвал тэдгээрийн хэрчмүүд тэнцүү байна. PB=PC.

Теорем 2:Хэрэв тойрог нь өнцгөөр бичигдсэн бол түүний төв нь энэ өнцгийн биссектрист байрладаг, өөрөөр хэлбэл PO биссектрис.

4) Секантын дотоод огтлолцол дахь хөвчний сегментүүдийн шинж чанар.
Теорем 1:нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь өөр хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Теорем 2: хөвчүүдийн хоорондох өнцөг нь эдгээр хөвчүүдийн тойрог дээр үүссэн нумын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Урьдчилан үзэх:

Сэдвийн хичээл:

“Осоллолцох хөвчүүдийн сегментийн үржвэрийн тухай теорем»

Сэдэв: геометр

Анги: 8

багш б: Герат Людмила Васильевна

Сургууль : MOBU "Дружбинская дунд сургууль" Оренбург мужийн Сол-Илецк дүүрэг

Хичээлийн төрөл: Шинэ мэдлэгийг "нээх" хичээл.

Ажлын хэлбэрүүд: хувь хүн, урд тал, бүлэг.

Сургалтын аргууд:аман, харааны, практик, асуудалтай.

Тоног төхөөрөмж: компьютерийн анги, мультимедиа проектор,

Тараах материал (карт), танилцуулга.

Хичээлийн зорилго:

боловсролын- огтлолцох хөвчүүдийн үржвэрийн тухай теоремыг судалж, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэхийг харуул.

Бичсэн өнцгийн теорем ба түүний үр дагаврыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг сайжруулах.

хөгжиж байна - ангийн сурагчдын бүтээлч, сэтгэцийн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх; сургуулийн сурагчдын бие даасан байдал, уян хатан байдал, үнэлгээний үйл ажиллагаа, ерөнхий дүгнэлт зэрэг оюуны шинж чанарыг хөгжүүлэх; багаар ажиллах, бие даан ажиллах ур чадварыг бий болгоход дэмжлэг үзүүлэх; бодол санаагаа тодорхой, тодорхой илэрхийлэх чадварыг хөгжүүлэх.
боловсролын Мэдээллийн технологи (компьютер ашиглах) ашиглан оюутнуудад энэ сэдвээр сонирхлыг бий болгох; математик тэмдэглэгээг үнэн зөв, чадварлаг гүйцэтгэх чадварыг хөгжүүлэх, асуудлын зургийг зурах.

Боловсролын үйл ажиллагаа нь оюутнуудыг албан тушаалаас нь шилжүүлэх замаар багшийн ажлын үр нөлөө, бүтээмжийг нэмэгдүүлэхэд чиглэгддэгобьект албан тушаалд байгаа багшийн үйл ажиллагаасургалтын сэдэв , хүүхэд бүрийн чадавхийг хөгжүүлэх, түүнд агуулагдах боломжуудыг нээхэд хувь нэмэр оруулдаг.

Субъектив байдлын боловсрол (хөгжил) нь зөвхөн үйл ажиллагаанд л боломжтой байдагаль нь субьект оролцож байгаа, аль нь тэрөөрөө: а) зорилго тавьдаг; б) зорилгодоо хүрэхийн тулд сайн дурын хүчин чармайлтыг төвлөрүүлдэг; в) ажлынхаа ахиц дэвшил, үр дүнгийн талаар тусгасан. Тусгал нь хувь хүний өөрийгөө хөгжүүлэх хүчирхэг хэрэгсэл юм(хувийн өөрийгөө бүтээх).

Оюутны субъектив байдлыг хөгжүүлэх асуудалнэг удаагийн арга хэмжээгээр ямар ч хэмжээгээр шийдвэрлэх боломжгүй. Энэ чанар нь хөгждөгСуралцагчийг боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагаанд хамруулж байгаатай холбоотойүйл ажиллагаа (хамгийн тохиромжтой - хичээл бүрт), түүний гүйцэтгэдэгөөрөө, хэрэглэх нь түүний өөрийн хүчин чармайлт, гүйцэтгэхтэдний дангаараа, гадны хамгийн бага тусламжтай бүх үйлдлийг логик дарааллаар нь хийдэг. Хичээл нь оюутнуудын ажлын бүх 4 үе шат болон үр дүнгийн талаар эргэцүүлэн бодож, шаардлагыг бүрэн хангасан болноүйл ажиллагааны хандлагаболовсролд.

Санал болгож буй хичээлийн загвар, компьютерийн технологийг ашиглах замаар дараах хөгжлийн зорилтуудыг хэрэгжүүлнэ.

Оюуны соёл;
Мэдээллийн соёл;
Өөрийгөө зохион байгуулах соёл;
Судалгааны соёл;

Оюутны үйл ажиллагааг оюутнуудад дотоод зорилго, сэдэл өгөх байдлаар зохион байгуулах; эрэл хайгуулын хэрэгцээ нь сургалт, боловсролын хамгийн чухал ажил бөгөөд үүний тулд амжилтанд хүрэх нөхцөл байдал, эерэг сэтгэл хөдлөлийг өдөөх нөхцөл байдлыг бий болгох шаардлагатай.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Бичсэн өнцгийн теоремын баталгаа (3 тохиолдол); карттай ажиллах

Бэлэн зураг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

2. Хосоор ажиллах.

3. Осолдох хөвчүүдийн сегментийн үржвэрийн тухай теоремыг судлах.

4. Теоремыг нэгтгэх бодлого бодох.

Хичээлийн үеэр.

Суралцаж буй сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх.

Гурван сурагчийг теоремуудыг батлахын тулд самбарт дуудаж, хоёр сурагч даалгаврын карт авч, үлдсэн сурагчид бэлэн зураг дээр бодлого шийдвэрлэдэг. Оюутнууд бэлэн зураг дээрх бодлогоо шийдвэрлэсний дараа теоремын баталгааг бүх ангийнхан сонсдог.

Картын дугаар 1..

1. “Өнцөгний орой нь …………….., өнцгийн талууд……………………………….. дээр оршдог бол өнцгийг бичээстэй өнцөг гэнэ” гэсэн дутуу үгийг оруул.

2. Зурагт үзүүлсэн бичээстэй өнцгийг олж бич.

3. Нумын хэмжүүр ABC = 270 бол зурагт үзүүлсэн ABC өнцгийн хэмжүүрийг ол..

Картын дугаар 2.

1. Алга болсон үгийг нөхөж бичнэ үү: “Бичээстэй өнцгийг …………. хэмждэг”.