Тоглоомууд

Синусын онцгой тохиолдол 0. Тригонометрийн тэгшитгэл. Туслах өнцгийн танилцуулга

Та асуудлаа шийдэх нарийн шийдлийг захиалах боломжтой!!!

Тэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгш байдал тригонометрийн функц(`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) нь тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд, шийдлүүд дунд бодит тообайхгүй байна.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын дурын утгуудын хувьд хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` ( нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгдүгээр зэрэг) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Үүнийг бичээд үзье баруун тал`1=sin^2 x+cos^2 x` гэх мэт:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулах. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас булан руу яв

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээрхийг хэрэглэж байна алгебрийн арга, бид авах:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициентүүд, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч болон хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайн тэгшитгэл юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулах. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томъёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл бол тэгшитгэл юм

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Тэгшитгэл cos(x) = a

Тайлбар ба үндэслэл

cosx = a тэгшитгэлийн үндэс. Хэзээ | a | > 1 тэгшитгэл нь үндэсгүй тул | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 эсвэл a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

зөвшөөрөх | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos x. Интервал дээр y = cos x функц 1-ээс -1 хүртэл буурна. Харин буурч буй функц нь түүний утга тус бүрийг зөвхөн тодорхойлолтын мужынхаа нэг цэг дээр авдаг тул cos x = a тэгшитгэл нь энэ интервал дээр зөвхөн нэг үндэстэй байдаг бөгөөд энэ нь арккосинын тодорхойлолтоор: x 1 = байна. arccos a (мөн энэ үндэсийн хувьд cos x = A).

Косинус нь тэгш функц тул [-n интервал дээр; 0] тэгшитгэл cos x = мөн зөвхөн нэг язгууртай - x 1-ийн эсрэг тоо, өөрөөр хэлбэл

x 2 = -arccos a.

Тиймээс [-n интервал дээр; p] (урт 2p) тэгшитгэл cos x = a -тэй | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x функц нь 2n хугацаатай үе үе байдаг тул бусад бүх үндэс нь 2n (n € Z) -ээр олдсоноос ялгаатай. cos x = a үед тэгшитгэлийн язгуурын хувьд бид дараах томьёог олж авна

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

cosx = a тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онцгой тохиолдлууд.

cos x = a үед тэгшитгэлийн язгуурт зориулсан тусгай тэмдэглэгээг санах нь ашигтай

a = 0, a = -1, a = 1 бөгөөд үүнийг нэгж тойргийг лавлагаа болгон хялбархан олж авах боломжтой.

Косинус нь нэгж тойргийн харгалзах цэгийн абсциссатай тэнцүү тул нэгж тойргийн харгалзах цэг нь А цэг эсвэл В цэг байвал бид cos x = 0-ийг олж авна.

Үүний нэгэн адил нэгж тойргийн харгалзах цэг нь С цэг байвал cos x = 1 байна.

x = 2πп, k € Z.

Мөн хэрэв нэгж тойргийн харгалзах цэг нь D цэг байвал cos x = -1, тэгэхээр x = n + 2n,

Тэгшитгэл sin(x) = a

Тайлбар ба үндэслэл

тэгшитгэлийн үндэс sinx = a. Хэзээ | a | > 1 тэгшитгэл нь үндэсгүй тул | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 эсвэл a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь: тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах (тригонометрийн томьёо ашиглах), шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх, факторинг хийх. Тэдгээрийн хэрэглээг жишээн дээр авч үзье. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулаарай.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэх зайлшгүй нөхцөл бол тригонометрийн томъёоны мэдлэг юм (6-р ажлын 13-р сэдэв).

Жишээ.

1. Хамгийн энгийн болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд.

1) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Хариулт:

2) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, сегментэд хамаарах.

Шийдэл:

Хариулт:

2. Квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: sin 2 x = 1 – cos 2 x томъёог ашиглан бид олж авна

Хариулт:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 томъёог ашиглан бид олж авна

Хариулт:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Хариулт:

3. Нэг төрлийн тэгшитгэл

1) 2sinx – 3cosx = 0 тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: cosx = 0, дараа нь 2sinx = 0 ба sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 гэсэн зөрчилтэй. Энэ нь cosx ≠ 0 гэсэн үг бөгөөд бид тэгшитгэлийг cosx-д хувааж болно. Бид авдаг

Хариулт:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Бид 1 = sin 2 x + cos 2 x, sin 2x = 2 sinxcosx томъёог ашиглан бид олж авна.

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0 байг, дараа нь sin 2 x = 0, sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 гэсэн зөрчилтэй.
Энэ нь cosx ≠ 0 гэсэн үг бөгөөд бид тэгшитгэлийг cos 2 x-т хувааж болно . Бид авдаг

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y гэж тэмдэглэе
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .

Хариулт: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к,к

4. Маягтын тэгшитгэл а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Хариулт:

5. Үржүүлгийн аргаар шийддэг тэгшитгэл.

1) sin2x – sinx = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн үндэс е (X) = φ ( X) зөвхөн 0 тоогоор үйлчилнэ. Үүнийг шалгая:

cos 0 = 0 + 1 - тэгш байдал үнэн.

0 тоо нь энэ тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм.

Хариулт: 0.

"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематик. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын хурдан шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, хөгжүүлэлт орон зайн төсөөлөл. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Визуал тайлбар нарийн төвөгтэй ойлголтууд. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.