Kuri formulė yra Huko dėsnio matematinė išraiška. Apibendrintas Huko dėsnis. Medžiagų mechaninių charakteristikų nustatymas. Tempimo bandymas. Suspaudimo testas
Huko dėsnis paprastai vadinami tiesiniais ryšiais tarp deformacijos komponentų ir įtempių komponentų.
Paimkime elementarų stačiakampį gretasienį, kurio paviršiai lygiagrečiai koordinačių ašims, apkrautą normaliu įtempimu σ x, tolygiai paskirstytas dviejuose priešinguose paviršiuose (1 pav.). Kuriame σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Iki proporcingumo ribos santykinis pailgėjimas nurodomas formule
Kur E— tamprumo tempimo modulis. Dėl plieno E = 2*10 5 MPa, todėl deformacijos yra labai mažos ir matuojamos procentais arba 1 * 10 5 (deformacijas matuojančiuose deformacijų matuoklio prietaisuose).
Elemento išplėtimas ašies kryptimi X kartu su jo susiaurėjimu skersine kryptimi, kurį lemia deformacijos komponentai
Kur μ - konstanta, vadinama šoniniu suspaudimo laipsniu arba Puasono koeficientu. Dėl plieno μ paprastai imamas lygus 0,25-0,3.
Jei aptariamas elementas apkraunamas kartu su normaliais įtempiais σx, σy, σ z, tolygiai paskirstytas išilgai jo paviršių, tada pridedamos deformacijos
Sudėjus deformacijos komponentus, kuriuos sukelia kiekvienas iš trijų įtempių, gauname ryšius
Šiuos ryšius patvirtina daugybė eksperimentų. Taikoma perdangos metodas arba superpozicijos kelių jėgų sukeltų suminių deformacijų ir įtempių nustatymas yra teisėtas tol, kol deformacijos ir įtempimai yra maži ir tiesiškai priklauso nuo taikomų jėgų. Tokiais atvejais neatsižvelgiame į nedidelius deformuoto kūno matmenų pokyčius ir nedidelius išorinių jėgų taikymo taškų judesius ir skaičiuodami remiamės pradiniais kūno matmenimis ir pradine forma.
Reikia pažymėti, kad poslinkių mažumas nebūtinai reiškia, kad jėgų ir deformacijų santykiai yra tiesiniai. Taigi, pavyzdžiui, suspaustoje jėgoje K strypas apkrautas papildomai šlyties jėga R, net ir esant nedideliam įlinkiui δ atsiranda papildomas taškas M = Qδ, todėl problema yra netiesinė. Tokiais atvejais visiškos deformacijos nėra tiesinės funkcijos pastangomis ir negali būti gaunama naudojant paprastą superpoziciją.
Eksperimentiškai nustatyta, kad jei šlyties įtempiai veikia išilgai visų elemento paviršių, tai atitinkamo kampo iškraipymas priklauso tik nuo atitinkamų šlyties įtempių komponentų.
Pastovus G vadinamas šlyties tamprumo moduliu arba šlyties moduliu.
Bendras elemento deformacijos atvejis dėl trijų normalių ir trijų tangentinių įtempių komponentų poveikio gali būti gautas naudojant superpoziciją: trys šlyties deformacijos, nustatytos ryšiais (5.2b), dedamos ant trijų tiesinių deformacijų, nustatytų išraiškomis ( 5.2a). Lygtys (5.2a) ir (5.2b) nustato ryšį tarp deformacijų ir įtempių komponentų ir yra vadinamos apibendrintas Huko dėsnis. Dabar parodykime, kad šlyties modulis G išreikštas tamprumo tempimo moduliu E ir Puasono koeficientas μ . Norėdami tai padaryti, apsvarstykite ypatinga byla, Kada σ x = σ , σy = -σ Ir σ z = 0.
Iškirpkime elementą abcd plokštumos lygiagrečios ašiai z ir pasviręs 45° kampu ašių atžvilgiu X Ir adresu(3 pav.). Kaip matyti iš 0 elemento pusiausvyros sąlygų bс, normalus stresas σ v visuose elemento paviršiuose abcd yra lygūs nuliui, o šlyties įtempiai yra vienodi
Tokia įtampos būsena vadinama grynas kirpimas. Iš (5.2a) lygčių išplaukia, kad
tai yra, horizontalaus elemento išplėtimas yra 0 c lygus vertikalaus elemento sutrumpėjimui 0 b: εy = -εx.
Kampas tarp veidų ab Ir bc pokyčius ir atitinkamą šlyties deformacijos vertę γ galima rasti iš trikampio 0 bс:
Tai seka
Proporcingumo tarp spyruoklės pailgėjimo ir taikomos jėgos dėsnį atrado anglų fizikas Robertas Hukas (1635-1703).
Huko moksliniai interesai buvo tokie platūs, kad jis dažnai neturėdavo laiko užbaigti tyrimų. Tai sukėlė karštus ginčus dėl pirmenybės atrandant tam tikrus dėsnius su didžiausiais mokslininkais (Huygensu, Newtonu ir kt.). Tačiau Huko dėsnis buvo taip įtikinamai pagrįstas daugybe eksperimentų, kad Huko prioritetas niekada nebuvo ginčijamas.
Roberto Huko pavasario teorija:
Tai Huko dėsnis!
PROBLEMŲ SPRENDIMAS
Nustatykite spyruoklės, kuri, veikiant 10 N jėgai, pailgėja 5 cm, standumą.
Duota:
g = 10 N/kg
F=10H
X = 5 cm = 0,05 m
Rasti:
k = ?
Krovinys yra subalansuotas.
Atsakymas: spyruoklės standumas k = 200N/m.
UŽDUOTIS "5"
(įduokite ant popieriaus lapo).
Paaiškinkite, kodėl akrobatui saugu šokinėti ant batuto tinklo iš didelio aukščio? (Mes kreipiamės pagalbos į Robertą Huką)
Nekantriai laukiu jūsų atsakymo!
MAŽAI PATIRTIS
Padėkite guminį vamzdelį, ant kurio tvirtai uždėtas metalinis žiedas, vertikaliai ir ištempkite vamzdelį. Kas atsitiks su žiedu?
Dinamika – šauni fizika
Huko dėsnis suformuluotas taip: tamprumo jėga, atsirandanti kūnui deformuojant dėl išorinių jėgų poveikio, yra proporcinga jo pailgėjimui. Deformacija, savo ruožtu, yra medžiagos tarpatominio arba tarpmolekulinio atstumo pasikeitimas veikiant išorinėms jėgoms. Tamprioji jėga yra jėga, kuri linkusi grąžinti šiuos atomus ar molekules į pusiausvyros būseną.
Formulė 1 – Huko dėsnis.
F – tamprumo jėga.
k – kūno standumas (Proporcingumo koeficientas, kuris priklauso nuo kėbulo medžiagos ir jo formos).
x – Kūno deformacija (kūno pailgėjimas arba suspaudimas).
Šį dėsnį 1660 m. atrado Robertas Hukas. Jis atliko eksperimentą, kurį sudarė šie dalykai. Viename gale buvo pritvirtinta plona plieninė styga, o kitame gale buvo pritaikyta įvairi jėga. Paprasčiau tariant, ant lubų buvo pakabinta virvelė ir jai taikoma įvairios masės apkrova.
1 paveikslas – stygos tempimas veikiamas gravitacijos.
Eksperimento metu Hukas išsiaiškino, kad mažuose praėjimuose kūno tempimo priklausomybė nuo tamprumo jėgos yra tiesinė. Tai yra, kai taikomas jėgos vienetas, kūnas pailgėja vienu ilgio vienetu.
2 paveikslas – tamprumo jėgos priklausomybės nuo kūno pailgėjimo grafikas.
Nulis grafike yra pradinis kūno ilgis. Viskas dešinėje yra kūno ilgio padidėjimas. Šiuo atveju tamprumo jėga turi neigiamą reikšmę. Tai yra, ji stengiasi grąžinti kūną į pradinę būseną. Atitinkamai, jis nukreiptas prieš deformuojančią jėgą. Viskas kairėje yra kūno suspaudimas. Tamprumo jėga yra teigiama.
Stygos tempimas priklauso ne tik nuo išorinės jėgos, bet ir nuo stygos skerspjūvio. Plona virvelė kažkaip ištemps dėl savo lengvo svorio. Bet jei paimsite tokio pat ilgio, bet, tarkime, 1 m skersmens virvelę, sunku įsivaizduoti, kiek svorio reikės norint ją ištempti.
Norint įvertinti, kaip jėga veikia tam tikro skerspjūvio kūną, įvedama normalaus mechaninio įtempio sąvoka.
Formulė 2 – normalus mechaninis įtempis.
S skerspjūvio plotas.
Šis stresas galiausiai yra proporcingas kūno pailgėjimui. Santykinis pailgėjimas yra kūno ilgio prieaugio ir viso jo ilgio santykis. O proporcingumo koeficientas vadinamas Youngo moduliu. Modulis, nes kūno pailgėjimo reikšmė imama modulo, neatsižvelgiant į ženklą. Neatsižvelgiama į tai, ar kūnas sutrumpintas, ar pailgintas. Svarbu pakeisti jo ilgį.
Formulė 3 – Youngo modulis.
|e|. - Santykinis kūno pailgėjimas.
s yra normali kūno įtampa.
Koeficientas E šioje formulėje vadinamas Youngo modulis. Youngo modulis priklauso tik nuo medžiagos savybių ir nepriklauso nuo korpuso dydžio ir formos. Skirtingoms medžiagoms Youngo modulis labai skiriasi. Plieno, pavyzdžiui, E ≈ 2·10 11 N/m 2 , o gumos E ≈ 2·10 6 N/m 2 , tai yra penkiomis eilėmis mažiau.
Huko dėsnį galima apibendrinti sudėtingesnių deformacijų atveju. Pavyzdžiui, kada lenkimo deformacija tamprumo jėga proporcinga strypo, kurio galai guli ant dviejų atramų, įlinkiui (1.12.2 pav.).
 |
1.12.2 pav. Lenkimo deformacija.  |
Tamprioji jėga, veikianti kūną iš atramos (arba pakabos) pusės, vadinama antžeminės reakcijos jėga. Kai kūnai liečiasi, nukreipiama atramos reakcijos jėga statmenai kontaktiniai paviršiai. Štai kodėl tai dažnai vadinama jėga normalus slėgis. Jei kūnas guli ant horizontalaus nejudančio stalo, atramos reakcijos jėga nukreipta vertikaliai aukštyn ir subalansuoja gravitacijos jėgą: Jėga, kuria kūnas veikia stalą, vadinama kūno svoris.
Technologijoje spiralės formos spyruoklės(1.12.3 pav.). Ištempus arba suspaudžiant spyruokles, atsiranda tamprumo jėgos, kurios taip pat paklūsta Huko dėsniui. Koeficientas k vadinamas spyruoklės standumas. Huko dėsnio taikymo ribose spyruoklės gali labai pakeisti savo ilgį. Todėl jie dažnai naudojami jėgoms matuoti. Vadinama spyruoklė, kurios įtempimas matuojamas jėgos vienetais dinamometras. Reikėtų nepamiršti, kad spyruoklę ištempus ar suspaudžiant, jos ritėse susidaro sudėtingos sukimo ir lenkimo deformacijos.
 |
| 1.12.3 pav. Spyruoklės pratęsimo deformacija. |
Skirtingai nuo spyruoklių ir kai kurių elastingų medžiagų (pavyzdžiui, gumos), tamprių strypų (arba vielų) tempimo arba gniuždymo deformacija labai siaurose ribose paklūsta Huko tiesiniam įstatymui. Metalams santykinė deformacija ε = x / l neturi viršyti 1%. Esant didelėms deformacijoms, atsiranda negrįžtami reiškiniai (skydumas) ir medžiagos sunaikinimas.
§ 10. Tamprumo jėga. Huko dėsnis
Deformacijų rūšys
Deformacija vadinamas kūno formos, dydžio ar tūrio pasikeitimu. Deformaciją gali sukelti išorinės jėgos, veikiančios kūną.
Vadinamos deformacijos, kurios visiškai išnyksta nustojus veikti išorinėms jėgoms kūną elastinga ir deformacijos, kurios išlieka net po to, kai išorinės jėgos nustoja veikti kūną, plastmasinis.
Išskirti tempimo deformacija arba suspaudimas(vienpusis arba išsamus), lenkimas, sukimas Ir pamaina.
Elastinės jėgos
Dėl deformacijų kietas jo dalelės (atomai, molekulės, jonai), esančios kristalinės gardelės mazguose, pasislenka iš savo pusiausvyros padėčių. Šį poslinkį neutralizuoja sąveikos jėgos tarp kieto kūno dalelių, kurios laiko šias daleles tam tikru atstumu viena nuo kitos. Todėl, esant bet kokiai elastinei deformacijai, kūne atsiranda vidinės jėgos, kurios neleidžia deformuotis.
Jėgos, atsirandančios kūne tamprios deformacijos metu ir nukreiptos prieš deformacijos sukeltą kūno dalelių poslinkio kryptį, vadinamos tamprumo jėgomis. Tamprumo jėgos veikia bet kurioje deformuoto kūno dalyje, taip pat jo sąlyčio su kūnu taške sukelia deformaciją. Vienpusio įtempimo ar suspaudimo atveju tamprumo jėga nukreipiama išilgai tiesės, išilgai kurios veikia išorinė jėga, sukeldama kūno deformaciją, priešingą šios jėgos krypčiai ir statmenai kūno paviršiui. Tamprių jėgų prigimtis yra elektrinė.
Nagrinėsime tamprumo jėgų atsiradimo atvejį, kai kieto kūno vienpusis tempimas ir suspaudimas.
Huko dėsnis
Ryšį tarp tamprios jėgos ir kūno tamprios deformacijos (esant mažoms deformacijoms) eksperimentiškai nustatė Niutono amžininkas, anglų fizikas Hukas. Matematinė išraiška Huko dėsnis vienašalei tempimo (suspaudimo) deformacijai turi formą
čia f yra tamprumo jėga; x - kūno pailgėjimas (deformacija); k yra proporcingumo koeficientas, priklausantis nuo kūno dydžio ir medžiagos, vadinamas standumu. SI standumo vienetas yra niutonas vienam metrui (N/m).
Huko dėsnis vienpusis įtempimas (suspaudimas) formuluojamas taip: Tamprumo jėga, atsirandanti deformuojant kūną, yra proporcinga šio kūno pailgėjimui.
Panagrinėkime eksperimentą, iliustruojantį Huko dėsnį. Tegul cilindrinės spyruoklės simetrijos ašis sutampa su tiesia linija Ax (20 pav., a). Vienas spyruoklės galas yra pritvirtintas atrama taške A, o antrasis yra laisvas ir prie jo pritvirtintas kūnas M Kai spyruoklė nėra deformuota, jos laisvas galas yra taške C. Šis taškas bus laikomas koordinatės x, kuri lemia spyruoklės laisvojo galo padėtį, pradžios.
Ištempkime spyruoklę taip, kad jos laisvasis galas būtų taške D, kurio koordinatė x>0: Šioje vietoje spyruoklė kūną M veikia elastine jėga
Dabar suspauskite spyruoklę taip, kad jos laisvasis galas būtų taške B, kurio koordinatė yra x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
Iš paveikslo matyti, kad spyruoklės tamprumo jėgos projekcija į Ax ašį visada turi ženklą, priešingą x koordinatės ženklui, nes tamprumo jėga visada nukreipta į pusiausvyros padėtį C. Pav. 20, b parodytas Huko dėsnio grafikas. Spyruoklės pailgėjimo x reikšmės vaizduojamos ant abscisių ašies, o tamprumo jėgos vertės – ant ordinačių ašies. Fх priklausomybė nuo x yra tiesinė, todėl grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių pradžią.
Apsvarstykime kitą eksperimentą.
Tegul vienas plonos plieninės vielos galas yra pritvirtintas prie laikiklio, o nuo kito galo pakabinama apkrova, kurios svoris yra išorinė tempimo jėga F, veikianti vielą statmenai jos skerspjūviui (21 pav.).
Šios jėgos poveikis vielai priklauso ne tik nuo jėgos modulio F, bet ir nuo laido S skerspjūvio ploto.
Veikiamas išorinės jėgos, viela deformuojasi ir ištempiama. Jei tempimas nėra per didelis, ši deformacija yra elastinga. Tampriai deformuotoje vieloje atsiranda tamprumo jėgos f vienetas.
Pagal trečiąjį Niutono dėsnį tamprumo jėga yra vienoda dydžiu ir priešinga kryptimi išorinei jėgai, veikiančiai kūną, t.y.
f aukštyn = -F (2,10)
Tampriai deformuoto kūno būsena apibūdinama reikšme s, vadinama normalus mechaninis įtempis(arba, trumpai, tiesiog normali įtampa). Normalus įtempis s yra lygus tamprumo jėgos modulio ir kūno skerspjūvio ploto santykiui:
s = f aukštyn / S (2,11)
Tegul pradinis neištemptos vielos ilgis yra L 0 . Pritaikius jėgą F, viela išsitempė ir jos ilgis tapo lygus L. Reikšmė DL=L-L 0 vadinama absoliutus vielos pailgėjimas. Dydis
paskambino santykinis kūno pailgėjimas. Tempimo deformacijai e>0, gniuždymo deformacijai e<0.
Stebėjimai rodo, kad esant mažoms deformacijoms normalus įtempis s yra proporcingas santykiniam pailgėjimui e:
Formulė (2.13) yra viena iš Huko dėsnio vienašalei įtampai (suspaudimui) rašymo tipų. Šioje formulėje santykinis pailgėjimas imamas modulo, nes jis gali būti ir teigiamas, ir neigiamas. Proporcingumo koeficientas E Huko dėsnyje vadinamas išilginiu tamprumo moduliu (Youngo moduliu).
Nustatykime fizinę Youngo modulio reikšmę. Kaip matyti iš (2.12) formulės, e=1 ir L=2L 0, kai DL=L 0 . Iš formulės (2.13) išplaukia, kad šiuo atveju s=E. Vadinasi, Youngo modulis skaitine prasme yra lygus normaliam įtempiui, kuris turėtų atsirasti kūne, jei jo ilgis padvigubinamas. (jei Huko dėsnis būtų teisingas tokiai didelei deformacijai). Iš (2.13) formulės taip pat aišku, kad SI Youngo modulis išreiškiamas paskaliais (1 Pa = 1 N/m2).
Įtempimo diagrama
Naudojant (2.13) formulę, iš eksperimentinių santykinio pailgėjimo e verčių galima apskaičiuoti atitinkamas normaliojo įtempio s reikšmes, atsirandančias deformuotame kūne, ir sudaryti s priklausomybės nuo e grafiką. Šis grafikas vadinamas tempimo diagrama. Panašus metalo pavyzdžio grafikas parodytas Fig. 22. 0-1 sekcijoje grafikas atrodo kaip tiesi linija, einanti per pradžią. Tai reiškia, kad iki tam tikros įtempių vertės deformacija yra elastinga ir yra įvykdytas Huko dėsnis, ty normalus įtempis yra proporcingas santykiniam pailgėjimui. Vadinama maksimali normaliojo įtempio s p reikšmė, kuriai esant Huko dėsnis vis dar tenkinamas proporcingumo riba.
Toliau didėjant apkrovai, įtempių priklausomybė nuo santykinio pailgėjimo tampa netiesinė (1-2 skyrius), nors kūno elastinės savybės vis dar išsaugomos. Vadinamos maksimalios normaliojo įtempio reikšmės s, kuriai esant liekamoji deformacija dar nevyksta elastingumo riba. (Elastingumo riba proporcingumo ribą viršija tik šimtosiomis procento dalimis.) Padidinus apkrovą virš tamprumo ribos (2-3 skyrius), deformacija tampa liekamoji.
Tada bandinys pradeda ilgėti esant beveik pastoviam įtempimui (3-4 diagramos skyreliai). Šis reiškinys vadinamas medžiagos sklandumu. Vadinamas normalusis įtempis s t, kuriam esant liekamoji deformacija pasiekia tam tikrą reikšmę takumo stiprumas.
Esant įtempimams, viršijantiems takumo ribą, iki tam tikros ribos atsistato kėbulo elastinės savybės ir jis vėl pradeda priešintis deformacijai (grafiko 4-5 p.). Vadinama didžiausia normaliojo įtempio spr reikšmė, kurią viršijus bandinys plyšta atsparumas tempimui.
Tampriai deformuoto kūno energija
Pakeitę s ir e reikšmes iš (2.11) ir (2.12) formulių į formulę (2.13), gauname
f up /S=E|DL|/L 0 .
Iš to išplaukia, kad kūno deformacijos metu atsirandanti tamprumo jėga fуn nustatoma pagal formulę
f up =ES|DL|/L 0 . (2.14)
Nustatykime kūno deformacijos metu atliktą darbą A def ir tampriai deformuoto kūno potencinę energiją W. Pagal energijos tvermės dėsnį,
W = A def. (2.15)
Kaip matyti iš (2.14) formulės, tamprumo jėgos modulis gali keistis. Jis didėja proporcingai kūno deformacijai. Todėl norint apskaičiuoti deformacijos darbą, reikia paimti vidutinę tamprumo jėgos vertę
Tada nustatoma pagal formulę A def =
A def = ES|DL| 2 / 2L 0 .
Pakeitę šią išraišką į (2.15) formulę, randame tampriai deformuoto kūno potencinės energijos reikšmę:
W=ES|DL| 2 / 2L 0 . (2.17)
Tampriai deformuotai spyruoklei ES/L 0 =k yra spyruoklės standumas; x yra spyruoklės tęsinys. Todėl formulę (2.17) galima parašyti formoje
W=kx 2/2. (2.18)
Formulė (2.18) nustato tampriai deformuotos spyruoklės potencinę energiją.
Klausimai savikontrolei:
Kas yra deformacija?
Kokia deformacija vadinama elastine? plastmasinis?
Įvardykite deformacijų tipus.
Kas yra tamprumo jėga? Kaip tai nukreipta? Kokia šios jėgos prigimtis?
Kaip suformuluotas ir parašytas Huko dėsnis vienašalei įtampai (suspaudimui)?
Kas yra standumas? Kas yra kietumo SI vienetas?
Nubraižykite diagramą ir paaiškinkite eksperimentą, iliustruojantį Huko dėsnį. Nubraižykite šio dėsnio grafiką.
Padarę aiškinamąjį brėžinį, apibūdinkite metalinės vielos tempimo procesą esant apkrovai.
Kas yra normalus mechaninis įtempis? Kokia formulė išreiškia šios sąvokos prasmę?
Kas vadinama absoliučiu pailgėjimu? santykinis pailgėjimas? Kokios formulės išreiškia šių sąvokų prasmę?
Kokia yra Huko dėsnio forma įraše, kuriame yra normalus mechaninis įtempis?
Kas vadinamas Youngo moduliu? Kokia jo fizinė reikšmė? Kas yra Youngo modulio SI vienetas?
Nubraižykite ir paaiškinkite metalinio bandinio įtempių ir deformacijų diagramą.
Kas vadinama proporcingumo riba? elastingumas? apyvarta? jėga?
Gauti formules, nustatančias tampriai deformuoto kūno deformacijos darbą ir potencinę energiją.
