វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់។ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយដំណោះស្រាយ។ រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
តោះពិចារណាស៊េរីជាក់លាក់។
7 28 112 448 1792...
វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃធាតុណាមួយរបស់វាពិតជាធំជាងចំនួនមុន 4 ដង។ នេះមានន័យថាស៊េរីនេះគឺជាការវិវត្ត។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។ លក្ខណៈសំខាន់នោះគឺថាលេខបន្ទាប់ត្រូវបានទទួលពីលេខមុនដោយគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយចំនួន។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។
a z +1 =a z ·q ដែល z ជាចំនួននៃធាតុដែលបានជ្រើសរើស។
ដូច្នោះហើយ z ∈ N ។
រយៈពេលដែលការវិវត្តធរណីមាត្រត្រូវបានសិក្សានៅសាលាគឺថ្នាក់ទី 9 ។ ឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីគំនិត៖
0.25 0.125 0.0625...
ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖
ទាំង q ឬ b z មិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ផងដែរ ធាតុនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។
ដូច្នោះហើយ ដើម្បីស្វែងរកលេខបន្ទាប់ក្នុងស៊េរីមួយ អ្នកត្រូវគុណលេខចុងក្រោយដោយ q ។
ដើម្បីកំណត់ដំណើរការនេះ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់ធាតុទីមួយ និងភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនេះ គេអាចស្វែងរកពាក្យបន្តបន្ទាប់ណាមួយ និងផលបូករបស់វា។
ពូជ
អាស្រ័យលើ q និង a 1 ការវិវត្តនេះត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទជាច្រើន៖
- ប្រសិនបើទាំង 1 និង q ធំជាងមួយ នោះលំដាប់បែបនេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលកើនឡើងជាមួយនឹងធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 =3, q=2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺធំជាងមួយ។
បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
3 6 12 24 48 ...
- ប្រសិនបើ |q| គឺតិចជាងមួយ ពោលគឺការគុណដោយវាស្មើនឹងការបែងចែក បន្ទាប់មកការវិវឌ្ឍន៍ដែលមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺជាការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 ធំជាងមួយ, q គឺតិចជាង។
បន្ទាប់មកលំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
6 2 2/3 ... - ធាតុណាមួយធំជាងធាតុបន្ទាប់ 3 ដង។
- សញ្ញាជំនួស។ ប្រសិនបើ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = -3, q = -2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។
បន្ទាប់មកលំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
3, 6, -12, 24,...
រូបមន្ត
មានរូបមន្តជាច្រើនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ងាយស្រួលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
- រូបមន្ត Z-term ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាធាតុនៅក្រោមលេខជាក់លាក់មួយដោយមិនចាំបាច់គណនាលេខពីមុន។
ឧទាហរណ៍៖q = 3, ក 1 = 4. តំរូវអោយរាប់ធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ក 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- ផលបូកនៃធាតុទីមួយដែលលេខស្មើនឹង z. អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលបូកនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់រហូតដល់a zបញ្ចូលគ្នា។
ចាប់តាំងពី (1-q) គឺនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មក (1 - q)≠ 0 ដូច្នេះ q មិនស្មើនឹង 1 ។
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ q=1 នោះការវិវត្តនឹងជាស៊េរីនៃលេខដដែលៗគ្មានកំណត់។
ផលបូក វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ, ឧទាហរណ៍:ក 1 = 2, q= -២. គណនា S5 ។
ដំណោះស្រាយ៖ស 5 = 22 - ការគណនាដោយប្រើរូបមន្ត។
- ចំនួនទឹកប្រាក់ប្រសិនបើ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2 , q= 0.5 ។ ស្វែងរកបរិមាណ។
ដំណោះស្រាយ៖ស = 2 · = 4
ស = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖
- លក្ខណៈសម្បត្ដិ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម ធ្វើការសម្រាប់ណាមួយ។zបន្ទាប់មក ស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖
a z 2 = a z -1 · កz+1
- ផងដែរ ការេនៃចំនួនណាមួយនៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមការេនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នាពីធាតុនេះ។
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , កន្លែងណាt- ចម្ងាយរវាងលេខទាំងនេះ។
- ធាតុខុសគ្នានៅក្នុង qម្តង។
- លោការីតនៃធាតុនៃវឌ្ឍនភាពក៏បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពដែរ ប៉ុន្តែនព្វន្ធមួយ ពោលគឺពួកវានីមួយៗធំជាងធាតុមុនដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបុរាណមួយចំនួន
ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 អាចជួយបាន។
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 1 = 3, ក 3 = 48. រកq.
ដំណោះស្រាយ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងធាតុមុននៅក្នុងq ម្តង។វាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញពីធាតុមួយចំនួននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគបែង។
អាស្រ័យហេតុនេះក 3 = q 2 · ក 1
នៅពេលជំនួសq= 4
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 2 = 6, ក 3 = 12. គណនា S ៦.
ដំណោះស្រាយ៖ដើម្បីធ្វើដូចនេះគ្រាន់តែស្វែងរក q ដែលជាធាតុទីមួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត។
ក 3 = q· ក 2 ដូច្នេះ,q= 2
a 2 = q · a 1 ,នោះហើយជាមូលហេតុដែល a 1 = 3
ស ៦ = 189
- · ក 1 = 10, q= -២. ស្វែងរកធាតុទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីធ្វើបែបនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញធាតុទីបួនតាមរយៈធាតុទីមួយ និងតាមភាគបែង។
a 4 = q 3· a 1 = -80
ឧទាហរណ៍កម្មវិធី៖
- អតិថិជនរបស់ធនាគារបានដាក់ប្រាក់បញ្ញើក្នុងចំនួន 10,000 rubles ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលជារៀងរាល់ឆ្នាំ អតិថិជននឹងមាន 6% នៃប្រាក់បញ្ញើបន្ថែមទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដើម។ តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំ?
ដំណោះស្រាយ: ចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងគឺ 10 ពាន់រូប្លិ៍។ នេះមានន័យថាមួយឆ្នាំបន្ទាប់ពីការវិនិយោគ គណនីនឹងមានចំនួនទឹកប្រាក់ស្មើនឹង 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
ដូច្នោះហើយ ចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
នោះគឺជារៀងរាល់ឆ្នាំបរិមាណកើនឡើង 1.06 ដង។ នេះមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកបរិមាណមូលនិធិនៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទីមួយស្មើនឹង 10 ពាន់ហើយភាគបែងស្មើនឹង 1.06 ។
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាទាក់ទងនឹងការគណនាផលបូក៖
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:
ក 1 = 4, q= 2, គណនាស ៥.
ដំណោះស្រាយ៖ ទិន្នន័យទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាត្រូវបានដឹង អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។
ស 5 = 124
- ក 2 = 6, ក 3 = 18. គណនាផលបូកនៃធាតុទាំងប្រាំមួយដំបូង។
ដំណោះស្រាយ៖
នៅក្នុងភូមិសាស្ត្រ។ វឌ្ឍនភាព ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺ q ដងធំជាងធាតុមុន ពោលគឺដើម្បីគណនាផលបូក អ្នកត្រូវដឹងពីធាតុក 1 និងភាគបែងq.
ក 2 · q = ក 3
q = 3
ដូចគ្នានេះដែរអ្នកត្រូវស្វែងរកក 1 , ដឹងក 2 និងq.
ក 1 · q = ក 2
a 1 =2
ស 6 = 728.
>> គណិតវិទ្យា៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ដើម្បីភាពងាយស្រួលរបស់អ្នកអាន កថាខណ្ឌនេះត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងពិតប្រាកដស្របតាមផែនការដូចគ្នាដែលយើងបានអនុវត្តតាមក្នុងកថាខណ្ឌមុន។
1. គំនិតជាមូលដ្ឋាន។
និយមន័យ។លំដាប់លេខដែលសមាជិកទាំងអស់ខុសពី 0 ហើយសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺទទួលបានពីសមាជិកមុនដោយគុណវាដោយលេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ក្នុងករណីនេះលេខ 5 ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ដូច្នេះ ការវិវត្តធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ (b n) ដែលកំណត់ឡើងវិញដោយទំនាក់ទំនង
តើវាអាចមើលតាមលំដាប់លេខ ហើយកំណត់ថាតើវាជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែរឬទេ? អាច។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានគេជឿជាក់ថាសមាមាត្រនៃសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ទៅនឹងសមាជិកមុនគឺថេរ នោះអ្នកមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ ១.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3 ។
ឧទាហរណ៍ ២.
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន
ឧទាហរណ៍ ៣.
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន
ឧទាហរណ៍ 4 ។
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល b 1 - 8, q = 1 ។
ចំណាំថាលំដាប់នេះក៏ជាដំណើរការនព្វន្ធ (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 3 ពី§ 15)។
ឧទាហរណ៍ 5 ។
2,-2,2,-2,2,-2.....
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល b 1 = 2, q = −1 ។
ជាក់ស្តែង ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់កើនឡើងប្រសិនបើ b 1 > 0, q > 1 (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1) និងលំដាប់ថយចុះប្រសិនបើ b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
ដើម្បីបង្ហាញថាលំដាប់ (b n) គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ពេលខ្លះការសម្គាល់ខាងក្រោមគឺងាយស្រួល៖
រូបតំណាងជំនួសឃ្លា "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់មួយដែលចង់ដឹងចង់ឃើញហើយក្នុងពេលតែមួយទ្រព្យសម្បត្តិជាក់ស្តែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ:
ប្រសិនបើលំដាប់ 
គឺជាការរីកចម្រើនធរណីមាត្រ បន្ទាប់មកលំដាប់នៃការេ, i.e. 
គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
នៅក្នុងការវិវត្តធរណីមាត្រទីពីរ ពាក្យទីមួយគឺស្មើ និងស្មើ q 2 ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យើងបោះបង់លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលធ្វើតាម b n យើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់ 
នៅក្នុងកថាខណ្ឌបន្ថែមទៀតនៃផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់បំផុតនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
2. រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ពិចារណាពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ 
ភាគបែង q យើងមាន:
វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាសម្រាប់លេខណាមួយ n សមភាពគឺពិត
នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
មតិយោបល់។
ប្រសិនបើអ្នកបានអានការកត់សម្គាល់សំខាន់ៗពីកថាខណ្ឌមុន ហើយបានយល់រួចហើយ សូមព្យាយាមបង្ហាញរូបមន្ត (1) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដូចដែលបានធ្វើសម្រាប់រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ហើយណែនាំសញ្ញាណ៖ យើងទទួលបាន y = mq 2 ឬ លម្អិតបន្ថែម 
អាគុយម៉ង់ x មាននៅក្នុងនិទស្សន្ត ដូច្នេះមុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ នេះមានន័យថាការវិវត្តធរណីមាត្រអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងរូបភព។ 96a បង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ រូប។ 966 - ក្រាហ្វមុខងារ 
ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ យើងមានចំណុចដាច់ពីគ្នា (ជាមួយ abscissas x = 1, x = 2, x = 3 ។ ខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ អានបន្ថែមអំពី អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលហើយក្រាហ្វិករបស់វានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 11 ។
ចូរយើងត្រឡប់ទៅឧទាហរណ៍ 1-5 ពីកថាខណ្ឌមុន។
១) ១, ៣, ៩, ២៧, ៨១, ... ។ នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែល b 1 = 1, q = 3 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
2) 
នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ដែលតោះបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន 
ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
៤) ៨, ៨, ៨, ..., ៨, ... ។ នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែល b 1 = 8, q = 1 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
5) 2, −2, 2, −2, 2, −2,.... នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលក្នុងនោះ b 1 = 2, q = −1 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
ឧទាហរណ៍ ៦.
បានផ្តល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ ដំណោះស្រាយគឺផ្អែកលើរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ក) ការដាក់ n = 6 ក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន
ខ) យើងមាន
ចាប់តាំងពី 512 = 2 9 យើងទទួលបាន n − 1 = 9, n = 10 ។
ឃ) យើងមាន
ឧទាហរណ៍ ៧.
ភាពខុសគ្នារវាងពាក្យទីប្រាំពីរនិងទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 48 ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទី 5 និងទី 6 នៃវឌ្ឍនភាពក៏មាន 48 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ពីរនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
ដំណាក់កាលដំបូង។គូរគំរូគណិតវិទ្យា។
លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាអាចត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោម:
ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃបញ្ហា (b 7 - b 5 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា
លក្ខខណ្ឌទីបីនៃបញ្ហា (b 5 + b 6 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ b 1 និង q៖
ដែលរួមផ្សំជាមួយលក្ខខណ្ឌ 1) ដែលសរសេរខាងលើតំណាងឱ្យគំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា។
ដំណាក់កាលទីពីរ។
ធ្វើការជាមួយគំរូដែលបានចងក្រង។ សមីការផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖
(យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកន្សោមមិនសូន្យ b 1 q 4)។
ពីសមីការ q 2 − q − 2 = 0 យើងរកឃើញ q 1 = 2, q 2 = −1 ។ ការជំនួសតម្លៃ q = 2 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន 
ការជំនួសតម្លៃ q = -1 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន b 1 1 0 = 48; សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ដូច្នេះ b 1 = 1, q = 2 - គូនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលបានចងក្រង។
ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរការវិវត្តនៃធរណីមាត្រដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងបញ្ហា៖ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ។
ដំណាក់កាលទីបី។
ចម្លើយចំពោះសំណួរបញ្ហា។ អ្នកត្រូវគណនា b 12 ។ យើងមាន
ចម្លើយ៖ ខ ១២ = ២០៤៨។
3. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់។
អនុញ្ញាតឱ្យមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញដោយ S n ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា i.e.
ចូរយើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកចំនួននេះ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីសាមញ្ញបំផុតនៅពេលដែល q = 1. បន្ទាប់មកការវិវត្តធរណីមាត្រ b 1 , b 2 , b 3 , ... , bn មានលេខ n ស្មើនឹង b 1 , i.e. ការវិវត្តមើលទៅដូច b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ។ ផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ nb 1 ។
ឥឡូវនេះ q = 1 ដើម្បីស្វែងរក S n យើងអនុវត្តបច្ចេកទេសសិប្បនិម្មិតមួយ៖ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួននៃកន្សោម S n q ។ យើងមាន:
នៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងជាដំបូង យើងប្រើនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យោងទៅតាម (សូមមើលបន្ទាត់ទីបីនៃហេតុផល); ទីពីរ ពួកគេបានបន្ថែម និងដក ដែលជាមូលហេតុដែលអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ ពិតណាស់មិនផ្លាស់ប្តូរ (សូមមើលបន្ទាត់ទីបួននៃហេតុផល); ទីបី យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
ពីរូបមន្ត (១) យើងរកឃើញ៖
នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ (សម្រាប់ករណីនៅពេល q = 1) ។
ឧទាហរណ៍ ៨.
បានផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់
ក) ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាព; ខ) ផលបូកនៃការ៉េនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។
ខ) ខាងលើ (សូមមើលទំព័រ 132) យើងបានកត់សម្គាល់រួចហើយថា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានការ៉េ នោះយើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ b 2 និងភាគបែង q 2។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយនៃការវិវត្តថ្មីនឹងត្រូវបានគណនាដោយ
ឧទាហរណ៍ ៩.
ស្វែងរកពាក្យទី 8 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល
តាមពិតយើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
លំដាប់លេខគឺជាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រ ប្រសិនបើការេនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទ្រឹស្តីបទទីមួយ (និងចុងក្រោយនៅក្នុងករណីនៃលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យមុន និងបន្តបន្ទាប់ (a លក្ខណៈនៃដំណើរការធរណីមាត្រ) ។
ពី Masterweb
22.09.2018 22:00វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ រួមជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ គឺជាស៊េរីលេខដ៏សំខាន់មួយដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលានៅថ្នាក់ទី 9 ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងរបៀបដែលតម្លៃរបស់វាប៉ះពាល់ដល់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ជាដំបូង ចូរយើងផ្តល់និយមន័យនៃស៊េរីលេខនេះ។ ស៊េរីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ លេខសមហេតុផលដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការគុណធាតុទីមួយរបស់វាជាបន្តបន្ទាប់ដោយចំនួនថេរដែលហៅថាភាគបែង។
ឧទាហរណ៍ លេខនៅក្នុងស៊េរី 3, 6, 12, 24, ... គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ពីព្រោះប្រសិនបើអ្នកគុណ 3 (ធាតុទីមួយ) ដោយ 2 អ្នកនឹងទទួលបាន 6។ ប្រសិនបើអ្នកគុណ 6 គុណនឹង 2 អ្នកនឹងទទួលបាន 12 ហើយដូច្នេះនៅលើ។
សមាជិកនៃលំដាប់ដែលកំពុងពិចារណាជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ai ដែលខ្ញុំជាចំនួនគត់ដែលបង្ហាញពីចំនួនធាតុនៅក្នុងស៊េរី។
និយមន័យខាងលើនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោម: an = bn-1 * a1 ដែល b គឺជាភាគបែង។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលរូបមន្តនេះ៖ ប្រសិនបើ n = 1 បន្ទាប់មក b1-1 = 1 ហើយយើងទទួលបាន a1 = a1 ។ ប្រសិនបើ n = 2 បន្ទាប់មក a = b * a1 ហើយម្តងទៀតយើងមកនិយមន័យនៃស៊េរីលេខនៅក្នុងសំណួរ។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានបន្តសម្រាប់តម្លៃធំនៃ n ។
ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
លេខ b កំណត់ទាំងស្រុងនូវតួអក្សរដែលស៊េរីលេខទាំងមូលនឹងមាន។ ភាគបែង b អាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬធំជាង ឬតិចជាងមួយ។ ជម្រើសខាងលើទាំងអស់នាំទៅរកលំដាប់ផ្សេងៗគ្នា៖
- b> 1. មានការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃចំនួនសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ 1, 2, 4, 8, ... ប្រសិនបើធាតុ a1 គឺអវិជ្ជមាន នោះលំដាប់ទាំងមូលនឹងកើនឡើងតែក្នុងតម្លៃដាច់ខាតប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែថយចុះអាស្រ័យលើសញ្ញានៃលេខ។
- b=1. ជាញឹកញយ ករណីនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពទេ ព្រោះមានស៊េរីធម្មតានៃលេខសនិទានភាពដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ -4, -4, -4 ។
រូបមន្តសម្រាប់បរិមាណ
មុននឹងបន្តទៅការពិចារណាលើបញ្ហាជាក់លាក់ដោយប្រើភាគបែងនៃប្រភេទនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា រូបមន្តសំខាន់សម្រាប់ផលបូកនៃធាតុ n ដំបូងរបស់វាគួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រូបមន្តមើលទៅ៖ Sn = (bn − 1) * a1 / (b − 1) ។
អ្នកអាចទទួលបានកន្សោមនេះដោយខ្លួនឯង ប្រសិនបើអ្នកពិចារណាលំដាប់លំដោយនៃលក្ខខណ្ឌនៃការវិវត្ត។ ចំណាំផងដែរថានៅក្នុងរូបមន្តខាងលើវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែធាតុទីមួយនិងភាគបែងដើម្បីរកផលបូកនៃចំនួនតាមអំពើចិត្ត។
ថយចុះជាលំដាប់
ការពន្យល់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើអំពីអ្វីដែលវាគឺជា។ ឥឡូវនេះដោយដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ Sn ចូរយើងអនុវត្តវាទៅស៊េរីលេខនេះ។ ចាប់តាំងពីលេខណាមួយដែលម៉ូឌុលមិនលើសពី 1 មានទំនោរទៅសូន្យនៅពេលឡើងដល់ថាមពលធំ នោះគឺជា b∞ => 0 ប្រសិនបើ -1
ដោយសារភាពខុសគ្នា (1 - b) នឹងតែងតែមានភាពវិជ្ជមាន ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃភាគបែង សញ្ញានៃផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S∞ ដែលថយចុះជាលំដាប់គឺត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកដោយសញ្ញានៃធាតុទីមួយរបស់វា a1 ។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលបញ្ហាមួយចំនួនដែលយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបអនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបានលើលេខជាក់លាក់។
បញ្ហាលេខ 1. ការគណនានៃធាតុដែលមិនស្គាល់នៃវឌ្ឍនភាព និងផលបូក
ដោយគិតពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ 2 ហើយធាតុទីមួយរបស់វាគឺ 3 ។ តើពាក្យទី 7 និងទី 10 របស់វានឹងស្មើនឹងអ្វី ហើយអ្វីជាផលបូកនៃធាតុដំបូងទាំងប្រាំពីររបស់វា?
លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ដោយផ្ទាល់នៃរូបមន្តខាងលើ។ ដូច្នេះដើម្បីគណនាធាតុលេខ n យើងប្រើកន្សោម a = bn-1 * a1 ។ សម្រាប់ធាតុទី 7 យើងមាន: a7 = b6 * a1 ជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់យើងទទួលបាន: a7 = 26 * 3 = 192. យើងធ្វើដូចគ្នាសម្រាប់ពាក្យទី 10: a10 = 29 * 3 = 1536 ។
ចូរប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ផលបូក ហើយកំណត់តម្លៃនេះសម្រាប់ធាតុ 7 ដំបូងនៃស៊េរី។ យើងមាន: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 ។
បញ្ហាទី 2. ការកំណត់ផលបូកនៃធាតុបំពាននៃដំណើរការមួយ។
សូមឱ្យ -2 ស្មើនឹងភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ bn-1 * 4 ដែល n ជាចំនួនគត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ផលបូកពីធាតុទី 5 ដល់ធាតុទី 10 នៃស៊េរីនេះដោយរួមបញ្ចូល។
បញ្ហាដែលចោទឡើងមិនអាចដោះស្រាយដោយផ្ទាល់ដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់នោះទេ។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើ 2 វិធីផ្សេងគ្នា។ ដើម្បីភាពពេញលេញនៃការបង្ហាញប្រធានបទ យើងធ្វើបទបង្ហាញទាំងពីរ។
វិធីសាស្រ្ត 1. គំនិតគឺសាមញ្ញ៖ អ្នកត្រូវគណនាផលបូកដែលត្រូវគ្នាទាំងពីរនៃពាក្យទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកដកមួយទៀតចេញពីមួយ។ យើងគណនាចំនួនតូចជាង: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ។ ឥឡូវនេះយើងគណនាផលបូកធំ: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 ។ ចំណាំថានៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយមានតែ 4 ពាក្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានបូកសរុបចាប់តាំងពីថ្ងៃទី 5 ត្រូវបានបញ្ចូលរួចហើយនៅក្នុងចំនួនដែលត្រូវការគណនាតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ទីបំផុតយើងយកភាពខុសគ្នា៖ S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344 ។
វិធីទី 2. មុននឹងជំនួសលេខ និងរាប់ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូករវាងលក្ខខណ្ឌ m និង n នៃស៊េរីក្នុងសំណួរ។ យើងបន្តតាមរបៀបដូចគ្នាដូចក្នុងវិធីទី 1 ដែរ មានតែយើងធ្វើការដំបូងជាមួយតំណាងនិមិត្តសញ្ញានៃចំនួនទឹកប្រាក់។ យើងមាន៖ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . អ្នកអាចជំនួសលេខដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល ហើយគណនាលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344 ។
បញ្ហាទី 3. តើភាគបែងជាអ្វី?
អនុញ្ញាតឱ្យ a1 = 2 ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ផ្តល់ថាផលបូកគ្មានកំណត់របស់វាគឺ 3 ហើយវាត្រូវបានគេដឹងថានេះជាស៊េរីលេខដែលថយចុះ។
ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថារូបមន្តមួយណាគួរប្រើដើម្បីដោះស្រាយនោះទេ។ ជាការពិតណាស់សម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការថយចុះជាលំដាប់។ យើងមានៈ S∞ = a1 / (1 − ខ) ។ ពីកន្លែងដែលយើងបង្ហាញភាគបែង៖ b = 1 − a1 / S∞ ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ និងទទួលបានលេខដែលត្រូវការ៖ b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ឬ -0.333(3) ។ យើងអាចពិនិត្យលទ្ធផលនេះតាមលក្ខណៈគុណភាព ប្រសិនបើយើងចងចាំថាសម្រាប់ប្រភេទនៃលំដាប់នេះ ម៉ូឌុល b មិនគួរទៅហួសពី 1 ។ ដូចដែលអាចមើលឃើញ |-1/3|
កិច្ចការទី 4. ការស្ដារឡើងវិញនូវស៊េរីនៃលេខ
អនុញ្ញាតឱ្យធាតុ 2 នៃស៊េរីលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទី 5 ស្មើនឹង 30 និងទី 10 ស្មើនឹង 60 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតស៊េរីទាំងមូលឡើងវិញពីទិន្នន័យទាំងនេះ ដោយដឹងថាវាបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដំបូងអ្នកត្រូវតែសរសេរកន្សោមដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ពាក្យដែលគេស្គាល់នីមួយៗ។ យើងមាន: a5 = b4 * a1 និង a10 = b9 * a1 ។ ឥឡូវចែកកន្សោមទីពីរដោយទីមួយយើងទទួលបាន: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 ។ ពីទីនេះយើងកំណត់ភាគបែងដោយយកឫសទីប្រាំនៃសមាមាត្រនៃពាក្យដែលគេស្គាល់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា b = 1.148698 ។ យើងជំនួសលេខលទ្ធផលទៅជាកន្សោមមួយសម្រាប់ធាតុដែលគេស្គាល់ យើងទទួលបាន៖ a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 ។
ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយមិនមែនជាសូន្យ ហើយពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗស្មើនឹងពាក្យមុន គុណនឹងចំនួនមិនសូន្យដូចគ្នា។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ b1,b2,b3, …, bn, … ។
សមាមាត្រនៃពាក្យណាមួយនៃកំហុសធរណីមាត្រទៅនឹងពាក្យមុនរបស់វា គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា នោះគឺ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ជាធម្មតាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានតាងដោយអក្សរ q ។
លំដាប់ឯកតានិងថេរ
វិធីមួយដើម្បីបញ្ជាក់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺត្រូវបញ្ជាក់ពាក្យដំបូងរបស់វា b1 និងភាគបែងនៃកំហុសធរណីមាត្រ q ។ ឧទាហរណ៍ b1=4, q=-2។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ 4, -8, 16, -32,….
ប្រសិនបើ q>0 (q មិនស្មើនឹង 1) នោះការវិវត្តគឺ លំដាប់ឯកតា។ឧទាហរណ៍ លំដាប់, 2, 4,8,16,32, ... គឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា (b1=2, q=2)។
ប្រសិនបើភាគបែងនៅក្នុងកំហុសធរណីមាត្រគឺ q=1 នោះលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីបែបនេះពួកគេនិយាយថាវឌ្ឍនភាព លំដាប់ថេរ។
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ដើម្បីឱ្យលំដាប់លេខ (bn) ទៅជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ វាចាំបាច់ដែលសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ ក្លាយជាមធ្យមធរណីមាត្ររបស់សមាជិកជិតខាង។ នោះគឺវាចាំបាច់ដើម្បីបំពេញសមីការខាងក្រោម
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) សម្រាប់ n> 0 ដែល n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ លេខធម្មជាតិន.
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ៖
bn=b1*q^(n-1),
ដែល n ជារបស់សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N ។
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមានទម្រង់៖
Sn = (bn*q − b1)/(q-1) ដែល q មិនស្មើនឹង 1 ។
តោះមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖
នៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ b1=6, q=3, n=8 ស្វែងរក Sn ។
ដើម្បីស្វែងរក S8 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃ n លក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ
ព័ត៌មានទ្រឹស្តី
ព័ត៌មានទ្រឹស្តី
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ |
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ |
|
និយមន័យ |
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ មួយ nគឺជាលំដាប់ដែលសមាជិកនីមួយៗចាប់ផ្ដើមពីលេខពីរ គឺស្មើនឹងសមាជិកមុនដែលបានបន្ថែមទៅលេខដូចគ្នា។ ឃ (ឃ- ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ) |
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ b nគឺជាលំដាប់នៃលេខមិនសូន្យ ដែលពាក្យនីមួយៗដែលចាប់ផ្ដើមពីលេខពីរ គឺស្មើនឹងពាក្យមុនគុណនឹងលេខដូចគ្នា q (q- ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព) |
រូបមន្តកើតឡើងវិញ។ |
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន |
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន |
រូបមន្តទី 3 |
a n = a 1 + ឃ (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n − 1 , b n ≠ 0 |
| លក្ខណៈសម្បត្ដិ |  |
|
| ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ |  |
 |
ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចជាមួយមតិយោបល់
លំហាត់ 1
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( មួយ n) ក ១ = -6, a 2
យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:
មួយ 22 = ក ១+ ឃ (២២ − ១) = ក ១+ ២១ ឃ
តាមលក្ខខណ្ឌ៖
ក ១= -6 បន្ទាប់មក មួយ 22= -6 + 21 ឃ។
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
មួយ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
ចម្លើយ៖ មួយ 22 = -48.
កិច្ចការទី 2
ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រ: -3; ៦;....
វិធីសាស្រ្តទី 1 (ដោយប្រើរូបមន្ត n-term)
យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
b 5 = b 1 ∙ q 5 − 1 = b 1 ∙ q ៤.
ដោយសារតែ b ១ = -3,
វិធីសាស្រ្តទី 2 (ដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ)
ដោយសារភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ -2 (q = -2) បន្ទាប់មក៖
b ៣ = 6 ∙ (-2) = -12;
b ៤ = -12 ∙ (-2) = 24;
b ៥ = 24 ∙ (-2) = -48.
ចម្លើយ៖ b ៥ = -48.
កិច្ចការទី 3
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a ៧៤ = 34; មួយ 76= 156. រកពាក្យចិតសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមានទម្រង់ 
.
ដូច្នេះ៖
.
ចូរជំនួសទិន្នន័យទៅក្នុងរូបមន្ត៖
ចម្លើយ៖ ៩៥។
កិច្ចការទី 4
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a n= 3n − 4. រកផលបូកនៃដប់ប្រាំពីរដំបូង។
ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្តពីរត្រូវបានប្រើ៖
.
តើពួកវាមួយណាងាយស្រួលប្រើជាងក្នុងករណីនេះ?
តាមលក្ខខណ្ឌ រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពដើមត្រូវបានគេស្គាល់ ( មួយ n) មួយ n= 3n − 4. អ្នកអាចរកបានភ្លាមៗ ក ១, និង មួយ ១៦ដោយមិនបានរកឃើញ ឃ. ដូច្នេះយើងនឹងប្រើរូបមន្តដំបូង។
ចម្លើយ៖ ៣៦៨ ។
កិច្ចការទី 5
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( មួយ n) ក ១ = -6; a 2= -8 ។ ស្វែងរករយៈពេលម្ភៃវិនាទីនៃវឌ្ឍនភាព។
យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:
a 22 = a 1 + ឃ (22 – 1) = ក ១+ ២១ ឃ។
តាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើ ក ១= -6 បន្ទាប់មក មួយ 22= -6 + 21 ឃ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
មួយ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
ចម្លើយ៖ មួយ 22 = -48.
កិច្ចការទី 6
ពាក្យជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានសរសេរ៖
ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពដែលបង្ហាញដោយ x ។
ពេលដោះស្រាយ យើងនឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី៩ b n = b 1 ∙ q n − 1សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ រយៈពេលដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ដើម្បីស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព q អ្នកត្រូវយកលក្ខខណ្ឌណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវឌ្ឍនភាព ហើយបែងចែកដោយលេខមុន។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង យើងអាចយក និងបែងចែកដោយ។ យើងទទួលបាន q = 3 ។ ជំនួសឱ្យ n យើងជំនួសលេខ 3 ក្នុងរូបមន្ត ព្រោះវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យទីបីនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖
.
ចម្លើយ៖ ។
កិច្ចការទី 7
ពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី n សូមជ្រើសរើសមួយដែលលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត មួយ ២៧ > 9:
ដោយសារលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែពេញចិត្តសម្រាប់អាណត្តិទី 27 នៃវឌ្ឍនភាពនោះ យើងជំនួសលេខ 27 ជំនួសឱ្យ n ក្នុងដំណាក់កាលនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពទាំងបួន។ នៅដំណាក់កាលទី ៤ យើងទទួលបាន៖
.
ចម្លើយ៖ ៤.
កិច្ចការ ៨
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ក ១= 3, ឃ = -1.5 ។ បញ្ជាក់ តម្លៃខ្ពស់បំផុត n ដែលវិសមភាពមាន មួយ n > -6.
