រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ទំនាក់ទំនងរវាងដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ
យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗធំជាង (ឬតិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។
ប្រធានបទនេះច្រើនតែពិបាក និងមិនអាចយល់បាន។ សន្ទស្សន៍អក្សរ, ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាព, ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព - ទាំងអស់នេះគឺជាការយល់ច្រឡំ, បាទ ... ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការភ្លាមៗ)។
គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាគំនិតសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ សង្ស័យ? ដោយឥតប្រយោជន៍។) សូមមើលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។
ខ្ញុំនឹងសរសេរស៊េរីលេខដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖
1, 2, 3, 4, 5, ...
តើអ្នកអាចពង្រីកខ្សែនេះបានទេ? តើលេខអ្វីនឹងបន្តបន្ទាប់ពីប្រាំ? អ្នកទាំងអស់គ្នា... uh... និយាយឱ្យខ្លី គ្រប់គ្នានឹងយល់ថា លេខ 6, 7, 8, 9 ជាដើម។
ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ខ្ញុំផ្តល់លេខស៊េរីដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖
2, 5, 8, 11, 14, ...
អ្នកអាចចាប់លំនាំ ពង្រីកស៊េរី និងឈ្មោះ ទីប្រាំពីរលេខជួរ?
ប្រសិនបើអ្នកគិតថាលេខនេះគឺ 20 - ខ្ញុំសូមអបអរសាទរអ្នក! អ្នកមិនត្រឹមតែមានអារម្មណ៍ទេ។ ចំណុចសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ,ប៉ុន្តែក៏បានប្រើវាដោយជោគជ័យក្នុងអាជីវកម្ម! បើមិនយល់ សូមអានបន្ត។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកប្រែចំណុចសំខាន់ៗពីអារម្មណ៍ទៅជាគណិតវិទ្យា។)
ចំណុចសំខាន់ដំបូង។
ដំណើរការនព្វន្ធទាក់ទងនឹងស៊េរីលេខ។នេះជាការយល់ច្រឡំពីដំបូង។ យើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ការកសាងក្រាហ្វ និងអ្វីៗទាំងអស់ ... ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកស៊េរី ស្វែងរកចំនួនស៊េរី ...
គ្មានអ្វីខុសទេ។ វាគ្រាន់តែថាវឌ្ឍនភាពគឺជាអ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយនឹងសាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថា "ស៊េរី" ហើយធ្វើការជាមួយស៊េរីនៃលេខនិងកន្សោម។ ស៊ាំនឹងវា។ )
ចំណុចសំខាន់ទីពីរ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ លេខណាមួយខុសពីលេខមុន។ ដោយបរិមាណដូចគ្នា។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយភាពខុសគ្នានេះគឺមួយ។ លេខណាដែលអ្នកយក វាគឺច្រើនជាងលេខមុន។ នៅក្នុងទីពីរ - បី។ លេខណាមួយគឺធំជាងលេខមុនបីដង។ តាមពិតទៅ វាគឺជាពេលនេះដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីចាប់គំរូ និងគណនាលេខជាបន្តបន្ទាប់។
ចំណុចសំខាន់ទីបី។
ពេលនេះមិនមានភាពទាក់ទាញទេ បាទ... ប៉ុន្តែសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ វានៅទីនេះ: លេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗស្ថិតនៅកន្លែងរបស់វា។មានលេខទីមួយ មានលេខប្រាំពីរ មានលេខសែសិបប្រាំ ជាដើម។ ប្រសិនបើអ្នកច្រឡំពួកវាដោយចៃដន្យ លំនាំនឹងរលាយបាត់។ ដំណើរការនព្វន្ធក៏នឹងរលាយបាត់ដែរ។ វាគ្រាន់តែជាលេខស៊េរីប៉ុណ្ណោះ។
នោះហើយជាចំណុចទាំងមូល។
ជាការពិតណាស់ ពាក្យថ្មី និងសញ្ញាណបង្ហាញនៅក្នុងប្រធានបទថ្មី។ ពួកគេត្រូវដឹង។ បើមិនដូច្នោះទេអ្នកនឹងមិនយល់ពីភារកិច្ចទេ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវសម្រេចចិត្តអ្វីមួយដូចជា៖
សរសេរពាក្យប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។
តើវាបំផុសគំនិតទេ?) អក្សរ លិបិក្រមមួយចំនួន... ហើយកិច្ចការនោះ មិនអាចងាយស្រួលជាងនេះទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ និងសញ្ញាណ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើជាម្ចាស់លើបញ្ហានេះហើយត្រឡប់ទៅភារកិច្ចវិញ។
លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗខុសពីលេខមុន។ ដោយបរិមាណដូចគ្នា។
តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា . ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងគំនិតនេះឱ្យកាន់តែលម្អិត។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាចំនួនដែលលេខដំណើរការណាមួយ។ ច្រើនទៀតមួយមុន។
ចំណុចសំខាន់មួយ។ សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះពាក្យ "ច្រើនទៀត" ។តាមគណិតវិទ្យា នេះមានន័យថាលេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗត្រូវបានទទួល ការបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅលេខមុន។
ដើម្បីគណនាសូមនិយាយ ទីពីរលេខនៃជួរ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បី ដំបូងចំនួន បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។ សម្រាប់ការគណនា ទីប្រាំ- ភាពខុសគ្នាគឺចាំបាច់ បន្ថែមទៅ ទីបួនផងដែរ ។ល។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រហែល វិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៃស៊េរីនឹងប្រែទៅជាពិតប្រាកដ ច្រើនជាងលើកមុន។វឌ្ឍនភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង។ឧទាហរណ៍:
8; 13; 18; 23; 28; .....
នៅទីនេះលេខនីមួយៗ ការបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន +5 ទៅលេខមុន។
ភាពខុសគ្នាអាចជា អវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីនឹងមាន តិចជាងមុន។ការវិវត្តនេះត្រូវបានគេហៅថា (អ្នកនឹងមិនជឿវាទេ!) ថយចុះ។
ឧទាហរណ៍:
8; 3; -2; -7; -12; .....
នៅទីនេះលេខនីមួយៗក៏ត្រូវបានទទួលផងដែរ។ ការបន្ថែមទៅលេខមុន ប៉ុន្តែលេខអវិជ្ជមានរួចហើយ -5 ។
ដោយវិធីនេះនៅពេលធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពវាមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការកំណត់លក្ខណៈរបស់វាភ្លាមៗ - ថាតើវាកំពុងកើនឡើងឬថយចុះ។ វាជួយបានច្រើនក្នុងការស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នកក្នុងការសម្រេចចិត្ត ស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នក និងកែតម្រូវវាមុនពេលវាយឺតពេល។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ ឃ.
របៀបស្វែងរក ឃ? សាមញ្ញណាស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកលេខណាមួយនៃស៊េរី មុនចំនួន។ ដក។ ដោយវិធីនេះលទ្ធផលនៃការដកត្រូវបានគេហៅថា "ភាពខុសគ្នា") ។
ចូរយើងកំណត់ឧទាហរណ៍ ឃសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធកើនឡើង៖
2, 5, 8, 11, 14, ...
យើងយកលេខណាមួយនៃជួរដេកដែលយើងចង់បាន ឧទាហរណ៍ 11. ដកពីវា។ លេខមុន។ទាំងនោះ។ ប្រាំបី៖
នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធនេះ ភាពខុសគ្នាគឺបី។
អ្នកគ្រាន់តែអាចយក ចំនួននៃដំណើរការណាមួយ,ដោយសារតែ សម្រាប់ដំណើរការជាក់លាក់មួយ។ ឃ-តែងតែដូចគ្នា។យ៉ាងហោចណាស់នៅកន្លែងណាមួយនៅដើមជួរដេក យ៉ាងហោចណាស់នៅកណ្តាល យ៉ាងហោចណាស់កន្លែងណាមួយ។ អ្នកមិនអាចយកតែលេខដំបូងបានទេ។ ដោយសារតែលេខដំបូងបំផុត។ គ្មានពីមុន។)
និយាយអីញ្ចឹងទើបដឹង d=3ការស្វែងរកលេខទីប្រាំពីរនៃដំណើរការនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងបន្ថែមលេខ 3 ទៅលេខទីប្រាំ - យើងទទួលបានលេខប្រាំមួយវានឹងមាន 17 ។ យើងបន្ថែមលេខបីទៅលេខទីប្រាំមួយយើងទទួលបានលេខទីប្រាំពីរ - ម្ភៃ។
ចូរយើងកំណត់ ឃសម្រាប់ការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖
8; 3; -2; -7; -12; .....
ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា ដោយមិនគិតពីសញ្ញា ដើម្បីកំណត់ ឃត្រូវការពីលេខណាមួយ។ យកពីមុន។យើងជ្រើសរើសចំនួននៃវឌ្ឍនភាពណាមួយឧទាហរណ៍ -7 ។ លេខមុនរបស់គាត់គឺ -2 ។ បន្ទាប់មក៖
d = −7 − (−2) = −7 + 2 = −5
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាលេខណាមួយ៖ ចំនួនគត់ ប្រភាគ មិនសមហេតុផល ណាមួយ។
លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់ផ្សេងទៀត។
លេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីត្រូវបានហៅ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាព មានលេខរបស់គាត់។លេខត្រូវតាមលំដាប់លំដោយដោយគ្មានល្បិច។ ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន ។ល។ ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងវឌ្ឍនភាព ២, ៥, ៨, ១១, ១៤, ... ពីរគឺសមាជិកទីមួយ ប្រាំគឺទីពីរ ដប់មួយគឺទីបួន អញ្ចឹងអ្នកយល់...) សូមយល់ច្បាស់ - លេខខ្លួនឯងអាចជាដាច់ខាតណាមួយ ទាំងមូល ប្រភាគ អវិជ្ជមាន អ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែ លេខរៀង- តឹងរឹងតាមលំដាប់!
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរវឌ្ឍនភាពក្នុងទម្រង់ទូទៅ? គ្មានបញ្ហា! លេខនីមួយៗក្នុងស៊េរីត្រូវបានសរសេរជាអក្សរ។ ដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ ជាក្បួន អក្សរត្រូវបានប្រើ ក. លេខសមាជិកត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមនៅខាងស្តាំខាងក្រោម។ សមាជិកត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស (ឬសញ្ញាក្បៀស) ដូចនេះ៖
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
ក ១គឺជាលេខដំបូង ក ៣- ទីបី។ល។ គ្មានអ្វីពិបាកទេ។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីនេះដោយសង្ខេបដូចនេះ៖ (a n).
មានការវិវឌ្ឍន៍ កំណត់ និងគ្មានកំណត់។
ចុងក្រោយវឌ្ឍនភាពមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ ប្រាំ សាមសិបប្រាំបី អ្វីក៏ដោយ ។ ប៉ុន្តែវាជាចំនួនកំណត់។
គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាព - មានចំនួនសមាជិកមិនកំណត់ ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន។)
អ្នកអាចសរសេរការវិវត្តចុងក្រោយតាមរយៈស៊េរីដូចនេះ សមាជិកទាំងអស់ និងចំណុចនៅចុងបញ្ចប់៖
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ។
ឬដូចនេះប្រសិនបើមានសមាជិកច្រើន៖
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 ។
នៅក្នុងការបញ្ចូលខ្លីមួយ អ្នកនឹងត្រូវបញ្ជាក់បន្ថែមអំពីចំនួនសមាជិក។ ឧទាហរណ៍ (សម្រាប់សមាជិកម្ភៃនាក់) ដូចនេះ៖
(a n), n = ២០
ការវិវឌ្ឍន៍ដែលគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានទទួលស្គាល់ដោយពងក្រពើនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។
ឥឡូវនេះអ្នកអាចដោះស្រាយភារកិច្ចរួចហើយ។ ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញសុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវកិច្ចការខាងលើ៖
1. សរសេរសមាជិកប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។
យើងបកប្រែកិច្ចការទៅជាភាសាដែលអាចយល់បាន។ បានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធគ្មានកំណត់។ ចំនួនទីពីរនៃដំណើរការនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថា: a 2 = 5 ។ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការដែលគេស្គាល់៖ d = −2.5 ។យើងត្រូវស្វែងរកសមាជិកទីមួយ ទីបី ទីបួន ទីប្រាំ និងទីប្រាំមួយ នៃដំណើរការនេះ។
ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរជាស៊េរីទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ សមាជិកប្រាំមួយនាក់ដំបូង ដែលសមាជិកទីពីរមានប្រាំនាក់៖
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
ក ៣ = a 2 + ឃ
យើងជំនួសនៅក្នុងកន្សោម a 2 = 5និង d=-2.5. កុំភ្លេចដក!
ក ៣=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
ពាក្យទីបីគឺតិចជាងទីពីរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺឡូជីខល។ ប្រសិនបើលេខធំជាងលេខមុន។ អវិជ្ជមានតម្លៃ ដូច្នេះលេខខ្លួនឯងនឹងតិចជាងលេខមុន។ វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ។ មិនអីទេ ចូរយើងពិចារណា។) យើងពិចារណាសមាជិកទីបួននៃស៊េរីរបស់យើង៖
ក ៤ = ក ៣ + ឃ
ក ៤=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ក ៥ = ក ៤ + ឃ
ក ៥=0+(-2,5)= - 2,5
ក ៦ = ក ៥ + ឃ
ក ៦=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌពីទីបីដល់ទីប្រាំមួយត្រូវបានគណនា។ នេះបណ្តាលឱ្យមានស៊េរី៖
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង ក ១នេះបើយោងតាមទីពីរល្បី។ នេះគឺជាជំហានមួយក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀតទៅខាងឆ្វេង ឃមិនគួរត្រូវបានបន្ថែមទៅ a 2, ក យកទៅឆ្ងាយ:
ក ១ = a 2 - ឃ
ក ១=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ការឆ្លើយតបភារកិច្ច៖
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
នៅក្នុងការឆ្លងកាត់ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាយើងបានដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ កើតឡើងវិញ។វិធី។ ពាក្យដ៏អាក្រក់នេះមានន័យថា មានតែការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពប៉ុណ្ណោះ។ ដោយលេខមុន (នៅជាប់គ្នា) ។វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។
ការសន្និដ្ឋានដ៏សំខាន់មួយអាចត្រូវបានដកចេញពីកិច្ចការដ៏សាមញ្ញនេះ។
ចងចាំ៖
ប្រសិនបើយើងស្គាល់យ៉ាងហោចណាស់សមាជិកម្នាក់ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ នោះយើងអាចរកឃើញសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
ចាំទេ? ការសន្និដ្ឋានសាមញ្ញនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើននៃវគ្គសិក្សារបស់សាលាលើប្រធានបទនេះ។ កិច្ចការទាំងអស់វិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់បី៖ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពមួយ ចំនួននៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ។អ្វីគ្រប់យ៉ាង។
ជាការពិតណាស់ពិជគណិតពីមុនទាំងអស់មិនត្រូវបានលុបចោលទេ។) វិសមភាព សមីការ និងរបស់ផ្សេងទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងការវិវត្ត។ ប៉ុន្តែ នេះបើយោងតាមការវិវត្ត- អ្វីគ្រប់យ៉ាងវិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្របី។
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការពេញនិយមមួយចំនួនលើប្រធានបទនេះ។
2. សរសេរការវិវត្តនព្វន្ធចុងក្រោយជាស៊េរី ប្រសិនបើ n=5, d=0.4, និង a 1=3.6។
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ។ អ្នកត្រូវចាំពីរបៀបដែលសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនា រាប់ និងសរសេរចុះ។ គួរតែកុំរំលងពាក្យក្នុងលក្ខខណ្ឌការងារ៖ "ចុងក្រោយ" និង " n=5"។ ដើម្បីកុំឱ្យរាប់រហូតដល់អ្នកមុខពណ៌ខៀវទាំងស្រុង។ ) មានសមាជិកតែ 5 (ប្រាំ) ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនេះ:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
ក ៤ = ក ៣ + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
ក ៥ = ក ៤ + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយ៖
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
កិច្ចការមួយទៀត៖
3. កំណត់ថាតើលេខ 7 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2 ។
ហ៊ឺ... អ្នកណាដឹង? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់អ្វីមួយ?
How-how... បាទ សរសេរដំណើរការជាស៊េរីមើលថានឹងមានប្រាំពីរឬអត់! យើងជឿ៖
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
ក ៤ = ក ៣ + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ឥឡូវនេះគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាយើងមានអាយុតែ៧ឆ្នាំប៉ុណ្ណោះ។ បានរអិលឆ្លងកាត់ចន្លោះ 6.5 និង 7.7! លេខប្រាំពីរមិនបានចូលទៅក្នុងស៊េរីនៃលេខរបស់យើងទេ ដូច្នេះហើយ ទាំងប្រាំពីរនឹងមិនជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។
ចម្លើយ៖ ទេ។
ហើយនេះគឺជាភារកិច្ចផ្អែកលើកំណែពិតនៃ GIA៖
4. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖
... ; ដប់ប្រាំ; X; ប្រាំបួន; ៦; ...
នេះគឺជាស៊េរីដែលគ្មានទីបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើម។ គ្មានលេខសមាជិក មិនខុសគ្នាទេ។ ឃ. គ្មានអ្វីខុសទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ តោះមើលនិងមើលអ្វីដែលយើងអាច ដើម្បីដឹងពីបន្ទាត់នេះ? តើប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗទាំងបីមានអ្វីខ្លះ?
លេខសមាជិក? មិនមានលេខតែមួយនៅទីនេះទេ។
ប៉ុន្តែមានបីលេខហើយ - យកចិត្តទុកដាក់! - ពាក្យ "ជាប់គ្នា"នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ នេះមានន័យថាលេខត្រូវតាមលំដាប់លំដោយដោយគ្មានចន្លោះ។ តើមានពីរនៅក្នុងជួរនេះទេ? អ្នកជិតខាងលេខដែលស្គាល់? បាទមាន! ទាំងនេះគឺ 9 និង 6។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ! យើងដកពីប្រាំមួយ។ មុនលេខ, i.e. ប្រាំបួន៖
មានកន្លែងទំនេរដែលនៅសល់។ តើលេខមួយណានឹងជាលេខមុនសម្រាប់ x? ដប់ប្រាំ។ ដូច្នេះ x អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបន្ថែមសាមញ្ញ។ ដល់ ១៥ បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ៖
អស់ហើយ។ ចម្លើយ៖ x=12
យើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង។ ចំណាំ៖ ល្បែងផ្គុំរូបទាំងនេះមិនមែនសម្រាប់រូបមន្តទេ។ សុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។) យើងគ្រាន់តែសរសេរជាស៊េរីនៃលេខ-អក្សរ មើល និងគិត។
5. ស្វែងរកពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ a 5 = -3; d = 1.1 ។
6. គេដឹងថាលេខ 5.5 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ដែល a 1 = 1.6; d = 1.3 ។ កំណត់ចំនួន n នៃពាក្យនេះ។
7. វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1 ។ ស្វែងរក 3 ។
8. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖
... ; ១៥.៦; X; ៣.៤; ...
ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព តំណាងដោយអក្សរ x ។
9. រថភ្លើងចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីស្ថានីយ៍ ដោយបង្កើនល្បឿនបន្តិចម្តងៗ 30 ម៉ែត្រក្នុងមួយនាទី។ តើរថភ្លើងនឹងមានល្បឿនប៉ុន្មានក្នុងរយៈពេលប្រាំនាទី? ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។
10. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 5; a 6 = −5 ។ រក 1.
ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7.7; ៧.៥; ៩.៥; ប្រាំបួន; 0.3; ៤.
អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានដំណើរការ? អស្ចារ្យមែន! អ្នកអាចរៀនការវិវត្តនព្វន្ធនៅកម្រិតខ្ពស់ក្នុងមេរៀនខាងក្រោម។
អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? គ្មានបញ្ហា។ នៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ល្បែងផ្គុំរូបទាំងអស់នេះត្រូវបានបំបែកដោយដុំៗ។) ហើយជាការពិតណាស់ បច្ចេកទេសអនុវត្តដ៏សាមញ្ញមួយត្រូវបានពិពណ៌នា ដែលរំលេចនូវដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការទាំងនោះភ្លាមៗ យ៉ាងច្បាស់លាស់ ដូចជានៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក!
ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអំពីរថភ្លើងមានបញ្ហាពីរដែលមនុស្សជារឿយៗជំពប់ដួល។ មួយ - សុទ្ធសាធដោយវឌ្ឍនភាព និងទីពីរ - ជារឿងធម្មតាសម្រាប់កិច្ចការណាមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាផងដែរ។ នេះគឺជាការបកប្រែនៃវិមាត្រពីមួយទៅមួយទៀត។ វាបង្ហាញពីរបៀបដែលបញ្ហាទាំងនេះគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយ។
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំបងរបស់វា។ នេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើប្រធានបទនេះ។ បន្ថែម ឃទៅលេខ សរសេរស៊េរី អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានសម្រេចចិត្ត។
ដំណោះស្រាយម្រាមដៃដំណើរការល្អសម្រាប់បំណែកខ្លីៗនៃស៊េរី ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។ ប្រសិនបើស៊េរីវែងជាង ការគណនាកាន់តែពិបាក។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាទី 9 ក្នុងសំណួរ សូមជំនួស "រយៈពេលប្រាំនាទី"នៅលើ "សាមសិបប្រាំនាទី"បញ្ហានឹងកាន់តែអាក្រក់ទៅៗ។ )
ហើយមានកិច្ចការដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញផងដែរ ប៉ុន្តែមិនទំនងទាល់តែសោះក្នុងន័យនៃការគណនា ឧទាហរណ៍៖
ដែលបានឲ្យដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ។ រក 121 ប្រសិនបើ 1 = 3 និង d = 1/6 ។
ហើយអ្វីដែលយើងនឹងបន្ថែម 1/6 ច្រើនដង?! តើអាចសម្លាប់ខ្លួនឯងបាន!
អ្នកអាចធ្វើបាន) ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងរូបមន្តសាមញ្ញមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយកិច្ចការបែបនេះបានក្នុងរយៈពេលមួយនាទី។ រូបមន្តនេះនឹងមាននៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ ហើយបញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅទីនោះ។ ក្នុងមួយនាទី។)
ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )
អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ ការរៀន - ដោយចំណាប់អារម្មណ៍!
អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។
បញ្ហាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមានតាំងពីបុរាណកាលមក។ ពួកគេបានបង្ហាញខ្លួន និងទាមទារដំណោះស្រាយមួយ ពីព្រោះពួកគេមានតម្រូវការជាក់ស្តែង។
ដូច្នេះនៅក្នុងក្រដាសមួយនៃ papyri នៃប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណដែលមានមាតិកាគណិតវិទ្យា - ក្រដាស Rhind (សតវត្សទី XIX មុនគ។ ទីប្រាំបីនៃរង្វាស់មួយ។
ហើយនៅក្នុងស្នាដៃគណិតវិទ្យារបស់ក្រិកបុរាណមានទ្រឹស្ដីឆើតឆាយទាក់ទងនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ Hypsicles of Alexandria (សតវត្សទី 2 ដែលបានចងក្រងបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនហើយបានបន្ថែមសៀវភៅទីដប់បួនទៅ "ធាតុ" របស់ Euclid បានបង្កើតគំនិតនេះថា: "នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងចំនួនគូនៃសមាជិក ផលបូកនៃសមាជិកនៃពាក់កណ្តាលទីពីរ។ គឺធំជាងផលបូកនៃសមាជិកនៃទី 1 ដោយសមាជិកការ៉េ 1/2 ។
លំដាប់ a ត្រូវបានតំណាង។ លេខនៃលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិករបស់វា ហើយជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរដែលមានសន្ទស្សន៍ដែលបង្ហាញពីលេខសៀរៀលនៃសមាជិកនេះ (a1, a2, a3 ... អាន៖ “a 1st” “a 2nd” “a 3rd” និងផ្សេងៗទៀត)។
លំដាប់អាចគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។
តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី? វាត្រូវបានយល់ដូចដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមពាក្យមុន (n) ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា d ដែលជាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។
ប្រសិនបើ ឃ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 បន្ទាប់មកការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាកំពុងកើនឡើង។
ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថាមានកំណត់ ប្រសិនបើមានតែពាក្យដំបូងមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ជាមួយនឹងចំនួនសមាជិកដ៏ច្រើន នេះគឺជាការវិវឌ្ឍន៍គ្មានកំណត់រួចទៅហើយ។
ការវិវត្តនព្វន្ធណាមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖
a =kn+b ខណៈពេលដែល b និង k គឺជាលេខមួយចំនួន។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលផ្ទុយពីនេះ គឺពិតជាពិត៖ ប្រសិនបើលំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តស្រដៀងគ្នា នោះពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ៖
- សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។
- ផ្ទុយ៖ ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ពាក្យនីមួយៗគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ នោះលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។ សមភាពនេះគឺក្នុងពេលតែមួយជាសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាព ដូច្នេះជាធម្មតាវាត្រូវបានគេហៅថាជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាព។
តាមរបៀបដូចគ្នា ទ្រឹស្តីបទដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺពិត៖ លំដាប់មួយគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ លុះត្រាតែសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់សមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ។
លក្ខណៈលក្ខណៈសម្រាប់លេខទាំងបួននៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត a + am = ak + al ប្រសិនបើ n + m = k + l (m, n, k គឺជាលេខនៃវឌ្ឍនភាព) ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យណាមួយដែលចាំបាច់ (Nth) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយអនុវត្តរូបមន្តខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍៖ ពាក្យទីមួយ (a1) ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងស្មើបី ហើយភាពខុសគ្នា (d) ស្មើនឹងបួន។ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យទីសែសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ a45=1+4(45-1)=177
រូបមន្ត a = ak + d (n - k) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់សមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធតាមរយៈសមាជិក k-th ណាមួយរបស់វា ផ្តល់ថាវាត្រូវបានគេស្គាល់។
ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ (សន្មត់ថាសមាជិកទី 1 n នៃវឌ្ឍនភាពចុងក្រោយ) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
Sn = (a1+an) n/2 ។
ប្រសិនបើពាក្យទី 1 ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនោះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានពាក្យ n ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
ជម្រើសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច និងទិន្នន័យដំបូង។
ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខណាមួយដូចជា 1,2,3,...,n,... គឺជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
បន្ថែមពីលើការវិវត្តនព្វន្ធ ក៏មានធរណីមាត្រមួយផងដែរ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈរបស់វា។
IV Yakovlev | សម្ភារៈសិក្សាគណិតវិទ្យា | MathUs.ru
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាប្រភេទពិសេសនៃលំដាប់។ ដូច្នេះ មុននឹងកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ (ហើយបន្ទាប់មកធរណីមាត្រ) យើងត្រូវពិភាក្សាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃលំដាប់លេខមួយ។
បន្តបន្ទាប់
ស្រមៃមើលឧបករណ៍នៅលើអេក្រង់ដែលលេខមួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរនិយាយថា 2; ៧; ១៣; មួយ; ៦; 0; ៣; : : : សំណុំលេខបែបនេះគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ប៉ុណ្ណោះ។
និយមន័យ។ លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយគត់ (នោះគឺដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយលេខធម្មជាតិតែមួយ) ១. លេខដែលមានលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទី n នៃលំដាប់។
ដូច្នេះ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ លេខដំបូងមានលេខ 2 ដែលជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយ a1 ; លេខប្រាំមានលេខ 6 ដែលជាសមាជិកទី 5 នៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងថា a5 ។ ជាទូទៅ សមាជិកទី 9 នៃលំដាប់មួយត្រូវបានតំណាងដោយ (ឬ bn , cn , ល។ ) ។
ស្ថានភាពងាយស្រួលបំផុតគឺនៅពេលដែលសមាជិកទី n នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត an = 2n 3 បញ្ជាក់លំដាប់៖ 1; មួយ; ៣; ប្រាំ; ៧; : : : រូបមន្ត a = (1)n កំណត់លំដាប់: 1; មួយ; មួយ; មួយ; : ::
មិនមែនគ្រប់លេខទាំងអស់សុទ្ធតែជាលំដាប់ទេ។ ដូច្នេះផ្នែកមួយមិនមែនជាលំដាប់ទេ។ វាមានលេខ ¾ ច្រើនពេកដែលត្រូវប្តូរលេខ។ សំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់ក៏មិនមែនជាលំដាប់ដែរ។ ការពិតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន
ឥឡូវនេះ យើងត្រៀមខ្លួនជាស្រេចក្នុងការកំណត់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ (ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យមុន និងចំនួនថេរមួយចំនួន (ហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ)។
ឧទាហរណ៍ លំដាប់ទី 2; ប្រាំ; ប្រាំបី; ដប់មួយ; : : : គឺជាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធដែលមានពាក្យទីមួយ 2 និងភាពខុសគ្នា 3. លំដាប់ទី 7; ២; ៣; ប្រាំបី; : : : គឺជាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធដែលមានពាក្យទីមួយ 7 និងភាពខុសគ្នា 5. លំដាប់ទី 3; ៣; ៣; : : : គឺជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នាសូន្យ។
និយមន័យសមមូល៖ លំដាប់ a ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា +1 an ជាតម្លៃថេរ (មិនអាស្រ័យលើ n)។
ការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថានឹងកើនឡើង ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺវិជ្ជមាន ហើយថយចុះប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។
1 ហើយនេះគឺជានិយមន័យសង្ខេបជាងនេះ៖ លំដាប់មួយគឺជាអនុគមន៍ដែលបានកំណត់លើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍ f:N! រ.
តាមលំនាំដើម លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់ ពោលគឺមានលេខចំនួនគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់រំខានដើម្បីពិចារណាលំដាប់កំណត់ផងដែរ; តាមពិត លេខកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់ចុងក្រោយ 1; ២; ៣; ៤; 5 មានប្រាំលេខ។
រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ
វាងាយស្រួលយល់ថាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយលេខពីរ៖ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ សំណួរកើតឡើង៖ តើការដឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ស្វែងរកពាក្យតាមអំពើចិត្តនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយរបៀបណា?
វាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលចង់បានសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យមួយ។
ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា ឃ. យើងមាន: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): |
|
ជាពិសេសយើងសរសេរ៖ |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់មួយគឺ: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
កិច្ចការ 1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 2; ប្រាំ; ប្រាំបី; ដប់មួយ; : : : រករូបមន្តនៃពាក្យទី 0 ហើយគណនាលេខមួយរយ។
ការសម្រេចចិត្ត។ យោងតាមរូបមន្ត (១) យើងមាន៖
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ណាមួយ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង។
ភស្តុតាង។ យើងមាន: |
||||
a n 1 + a n + 1 |
(មួយ ឃ) + (មួយ + ឃ) |
|||
ដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ។
ជាទូទៅ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បំពេញនូវសមភាព
a n = a n k + a n + k
សម្រាប់ n > 2 និង k ធម្មជាតិណាមួយ។< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
វាប្រែថារូបមន្ត (2) មិនត្រឹមតែជាកត្តាចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់លំដាប់ទៅជាការវិវត្តនព្វន្ធផងដែរ។
សញ្ញានៃការវិវត្តនព្វន្ធ។ ប្រសិនបើសមភាព (2) ទទួលបានសម្រាប់ n > 2 ទាំងអស់ នោះលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។
ភស្តុតាង។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖
a n a n 1 = a n + 1 a n:
នេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា +1 a មិនអាស្រ័យលើ n ទេ ហើយនេះគ្រាន់តែមានន័យថា លំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្កើតជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍តែមួយ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងនឹងធ្វើដូចនេះសម្រាប់លេខបី (នេះគឺជាស្ថានភាពដែលជារឿយៗកើតឡើងក្នុងបញ្ហា)។
លក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លេខបី a, b, c បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ 2b = a + c ។
បញ្ហា 2. (សាកលវិទ្យាល័យ Moscow State, មហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច, 2007) លេខបី 8x, 3 x2 និង 4 នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់បង្កើតជាការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរក x ហើយសរសេរភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ យើងមាន៖
2(3 x2) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5៖
ប្រសិនបើ x = 1 នោះការវិវត្តថយចុះនៃ 8, 2, 4 ត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6 ។ ប្រសិនបើ x = 5 នោះការកើនឡើងនៃ 40, 22, 4 ត្រូវបានទទួល។ ករណីនេះមិនដំណើរការទេ។
ចម្លើយ៖ x = 1 ភាពខុសគ្នាគឺ 6 ។
ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ
រឿងព្រេងនិទានថា ម្តងគ្រូប្រាប់ក្មេងៗឲ្យរកលេខពី ១ ដល់ ១០០ ហើយអង្គុយអានកាសែតស្ងាត់ៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ក្មេងប្រុសម្នាក់បាននិយាយថា គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហានេះហើយ។ វាគឺជាលោក Carl Friedrich Gauss អាយុ 9 ឆ្នាំដែលក្រោយមកជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។
គំនិតរបស់ Little Gauss គឺនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន
S = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100៖
ចូរសរសេរផលបូកនេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖
S = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;
ហើយបន្ថែមរូបមន្តទាំងពីរនេះ៖
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង 101 ហើយវាមាន 100 ពាក្យសរុប។
2S = 101 100 = 10100;
យើងប្រើគំនិតនេះដើម្បីទាញយករូបមន្តផលបូក
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
ការកែប្រែដ៏មានប្រយោជន៍នៃរូបមន្ត (3) ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យ n = a1 + (n 1)d ទៅក្នុងវា៖
2a1 + (n 1) ឃ |
|||||
កិច្ចការទី 3. ស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនបីខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 13 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ លេខបីខ្ទង់ដែលជាគុណនៃ 13 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យដំបូង 104 និងភាពខុសគ្នា 13; វចនានុក្រមទី ៩ នៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n៖
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការវិវត្តរបស់យើងមានសមាជិកប៉ុន្មាននាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាព៖
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; ន ៦ ៦៩៖
ដូច្នេះមានសមាជិកចំនួន 69 នាក់នៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ យោងតាមរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញចំនួនដែលត្រូវការ:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
មាននរណាម្នាក់ចាត់ទុកពាក្យថា "វឌ្ឍនភាព" ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ជាពាក្យស្មុគ្រស្មាញពីផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរការវិវត្តនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតគឺជាការងាររបស់បញ្ជរតាក់ស៊ី (កន្លែងដែលពួកគេនៅតែមាន) ។ ហើយដើម្បីយល់ពីខ្លឹមសារ (ហើយក្នុងគណិតវិទ្យា គ្មានអ្វីសំខាន់ជាង “យល់ខ្លឹមសារ”) នៃលំដាប់នព្វន្ធមិនពិបាកនោះទេ ដោយបានវិភាគគោលគំនិតបឋមមួយចំនួន។
លំដាប់លេខគណិតវិទ្យា
វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅលេខតាមលំដាប់លេខរៀងៗខ្លួន ដែលលេខនីមួយៗមានលេខរៀងៗខ្លួន។
និង 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;
និង 2 គឺជាសមាជិកទីពីរនៃលំដាប់;
និង 7 គឺជាសមាជិកទីប្រាំពីរនៃលំដាប់;
និង n គឺជាសមាជិកទី 9 នៃលំដាប់;
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនសំណុំតួលេខ និងលេខណាមួយដែលចាប់អារម្មណ៍យើងទេ។ យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើលំដាប់លេខដែលតម្លៃនៃសមាជិក n-th គឺទាក់ទងទៅនឹងលេខធម្មតារបស់វាដោយការពឹងផ្អែកដែលអាចបង្កើតបានយ៉ាងច្បាស់តាមគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: តម្លៃលេខនៃលេខ n គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃ n ។
a - តម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខ;
n គឺជាលេខស៊េរីរបស់វា;
f(n) គឺជាអនុគមន៍មួយដែលលំដាប់លេខរៀង n គឺជាអាគុយម៉ង់។
និយមន័យ
ការវិវត្តនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខដែលពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗធំជាង (តិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ រូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី n នៃលំដាប់នព្វន្ធមានដូចខាងក្រោម៖
a n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ននៃដំណើរការនព្វន្ធ;
a n+1 - រូបមន្តនៃចំនួនបន្ទាប់;
ឃ - ភាពខុសគ្នា (ចំនួនជាក់លាក់) ។
វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន (d>0) នោះសមាជិកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីដែលកំពុងពិចារណានឹងធំជាងលេខមុន ហើយការវិវត្តនព្វន្ធបែបនេះនឹងកើនឡើង។
នៅក្នុងក្រាហ្វខាងក្រោមវាងាយស្រួលក្នុងការមើលថាហេតុអ្វីបានជាលំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា "ការកើនឡើង" ។
ក្នុងករណីដែលភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាន (ឃ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
តម្លៃនៃសមាជិកដែលបានបញ្ជាក់
ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យបំពានមួយចំនួន a n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ អ្នកអាចធ្វើដូចនេះបានដោយការគណនាជាបន្តបន្ទាប់នូវតម្លៃនៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការនព្វន្ធ ចាប់ពីលេខដំបូងរហូតដល់តម្លៃដែលចង់បាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីនេះមិនតែងតែអាចទទួលយកបានទេ ប្រសិនបើជាឧទាហរណ៍ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យប្រាំពាន់ ឬប្រាំបីលាន។ ការគណនាបែបបុរាណនឹងចំណាយពេលយូរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការវិវត្តនព្វន្ធជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយប្រើរូបមន្តជាក់លាក់។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ផងដែរ៖ តម្លៃនៃសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកនៃសមាជិកទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព គុណនឹងចំនួនសមាជិកដែលចង់បាន ដកមួយ .
រូបមន្តមានលក្ខណៈជាសកលសម្រាប់ការបង្កើន និងបន្ថយការវិវត្ត។
ឧទាហរណ៍នៃការគណនាតម្លៃនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ចូរដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមនៃការស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
លក្ខខណ្ឌ៖ មានការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖
សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់គឺ 3;
ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខគឺ 1.2 ។
កិច្ចការ៖ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃ 214 លក្ខខណ្ឌ
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងប្រើរូបមន្ត៖
a(n) = a1 + d(n-1)
ការជំនួសទិន្នន័យពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាទៅក្នុងកន្សោម យើងមាន៖
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
ចម្លើយ៖ សមាជិកទី ២១៤ នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង ២៥៨.៦។
គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តគណនានេះគឺជាក់ស្តែង - ដំណោះស្រាយទាំងមូលចំណាយពេលមិនលើសពី 2 បន្ទាត់។
ផលបូកនៃចំនួនលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ជាញឹកញាប់ណាស់ នៅក្នុងស៊េរីនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃផ្នែកមួយចំនួនរបស់វា។ វាក៏មិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃពាក្យនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើចំនួននៃពាក្យដែលផលបូកត្រូវតែរកឃើញគឺតូច។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។
ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធពី 1 ដល់ n គឺស្មើនឹងផលបូកនៃសមាជិកទីមួយ និង n គុណនឹងចំនួនសមាជិក n ហើយចែកនឹងពីរ។ ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្តតម្លៃនៃសមាជិក n-th ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមពីកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទ យើងទទួលបាន៖
ឧទាហរណ៍នៃការគណនា
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖
ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺសូន្យ;
ភាពខុសគ្នាគឺ 0.5 ។
នៅក្នុងបញ្ហាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីពី 56 ទៅ 101 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាព៖
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
ដំបូងយើងកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃសមាជិក 101 នៃវឌ្ឍនភាពដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបញ្ហារបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត៖
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
ជាក់ស្តែង ដើម្បីស្វែងយល់ពីផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពពីលេខ 56 ដល់ 101 វាចាំបាច់ត្រូវដក S 55 ចេញពី S 101 ។
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ដូច្នេះផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធសម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះគឺ៖
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃការវិវត្តនព្វន្ធ
នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទសូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍នៃលំដាប់នព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ - taximeter (ម៉ែត្រឡានតាក់ស៊ី) ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះ។
ជិះតាក់ស៊ី (រួមទាំង 3 គីឡូម៉ែត្រ) មានតម្លៃ 50 រូប្លិ៍។ គីឡូម៉ែត្រជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានបង់ក្នុងអត្រា 22 រូប្លិ / គីឡូម៉ែត្រ។ ចម្ងាយធ្វើដំណើរ 30 គីឡូម៉ែត្រ។ គណនាតម្លៃនៃការធ្វើដំណើរ។
1. ចូរបោះចោល 3 គីឡូម៉ែត្រដំបូងតម្លៃដែលបានរួមបញ្ចូលក្នុងតម្លៃចុះចត។
30 - 3 = 27 គ។
2. ការគណនាបន្ថែមទៀតគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការញែកស៊េរីលេខនព្វន្ធនោះទេ។
លេខសមាជិកគឺជាចំនួនគីឡូម៉ែត្រដែលបានធ្វើដំណើរ (ដកបីដំបូង)។
តម្លៃនៃសមាជិកគឺជាផលបូក។
ពាក្យដំបូងក្នុងបញ្ហានេះនឹងស្មើនឹង 1 = 50 rubles ។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ d = 22 ទំ។
ចំនួនចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង - តម្លៃនៃសមាជិកទី (27 + 1) នៃដំណើរការនព្វន្ធ - ការអានម៉ែត្រនៅចុងបញ្ចប់នៃគីឡូម៉ែត្រទី 27 - 27.999 ... = 28 គីឡូម៉ែត្រ។
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
ការគណនាទិន្នន័យប្រតិទិនសម្រាប់រយៈពេលវែងតាមអំពើចិត្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីលំដាប់លេខជាក់លាក់។ ក្នុងតារាសាស្ត្រ ប្រវែងនៃគន្លងគឺអាស្រ័យតាមធរណីមាត្រលើចម្ងាយនៃតួសេឡេស្ទាលទៅនឹងពន្លឺ។ លើសពីនេះ ស៊េរីលេខផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយជោគជ័យក្នុងស្ថិតិ និងផ្នែកអនុវត្តផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។
ប្រភេទនៃលំដាប់លេខមួយទៀតគឺធរណីមាត្រ
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំហំធំ បើប្រៀបធៀបជាមួយលេខនព្វន្ធ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងនយោបាយ សង្គមវិទ្យា វេជ្ជសាស្ត្រ ជាញឹកញាប់ដើម្បីបង្ហាញពីល្បឿនខ្ពស់នៃការរីករាលដាលនៃបាតុភូតជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ ជំងឺអំឡុងពេលមានការរាតត្បាតមួយ ពួកគេនិយាយថាដំណើរការនេះវិវឌ្ឍជាលំដាប់។
សមាជិក N-th នៃស៊េរីលេខធរណីមាត្រខុសពីលេខមុន ដែលវាត្រូវបានគុណដោយចំនួនថេរមួយចំនួន - ភាគបែង ឧទាហរណ៍ សមាជិកទីមួយគឺ 1 ភាគបែងគឺ 2 រៀងគ្នា បន្ទាប់មក៖
n=1:1 ∙ 2 = 2
n=2:2 ∙ 2 = 4
n=3:4 ∙ 2 = 8
n=4:8 ∙ 2 = 16
n=5:16 ∙ 2 = 32,
b n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ;
b n+1 - រូបមន្តនៃសមាជិកបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ;
q គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (ចំនួនថេរ)។
ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ នោះធរណីមាត្រគូររូបភាពខុសគ្នាបន្តិច៖
ដូចនៅក្នុងករណីនព្វន្ធ ការវិវត្តធរណីមាត្រមានរូបមន្តសម្រាប់តម្លៃនៃសមាជិកបំពាន។ ពាក្យ n-th ណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យទីមួយ ហើយភាគបែងនៃការវិវត្តទៅជាថាមពលនៃ n កាត់បន្ថយដោយមួយ:
ឧទាហរណ៍។ យើងមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 3 និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពស្មើនឹង 1.5 ។ ស្វែងរកពាក្យទី 5 នៃវឌ្ឍនភាព
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
ផលបូកនៃចំនួនសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តពិសេសផងដែរ។ ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃសមាជិកទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា និងសមាជិកទីមួយនៃវឌ្ឍនភាព ដែលបែងចែកដោយភាគបែងកាត់បន្ថយដោយមួយ:
ប្រសិនបើ b n ត្រូវបានជំនួសដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ តម្លៃនៃផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលបានពិចារណានឹងមានទម្រង់៖
ឧទាហរណ៍។ ការវិវត្តធរណីមាត្រចាប់ផ្តើមដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 1. ភាគបែងត្រូវបានកំណត់ស្មើ 3. ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យប្រាំបីដំបូង។
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280