ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងសមីការផ្សេងទៀត។ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​ប្រើ​រូបមន្ត Solve quadratic equations vieta

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។

គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖

1 . ដោយ​ការ​អនុវត្ត​រូបមន្ត អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​បាន​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។

2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។

3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសដោយខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។

4 . យោងតាមឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការ quadratic នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។

5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។

គុណវិបត្តិ៖

1 . រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ថ្នាក់ទី ៨

រូបមន្ត
ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 បន្ទាប់មក៖

ឧទាហរណ៍
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ។

P = -2, q = −3 ។

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = −1 3 = −3 = q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស

រូបមន្ត
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2, p, q ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖

បន្ទាប់មក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 + px + q = 0 ។

ឧទាហរណ៍
ចូរបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដោយឫសរបស់វា៖

X 1 \u003d 2 -? 3 និង x 2 \u003d 2 +? ៣.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d ១.

សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ x 2 − 4x + 1 = 0 ។

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការគូប និងសមីការនៃលំដាប់តាមអំពើចិត្ត។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

សមីការ​ការ៉េ

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ
(1) .
បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖
;
.

កំណត់ចំណាំអំពីឫសច្រើន។

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ (1) គឺសូន្យ នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បី​ជៀសវាង​ការ​បង្កើត​ទម្រង់​ស្មុគស្មាញ វា​ត្រូវ​បាន​ទទួល​យក​ជា​ទូទៅ​ថា​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ សមីការ (1) មាន​ឫស​ច្រើន ឬ​ស្មើ​ពីរ៖
.

ភស្តុតាងមួយ។

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការ (១)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ៖
;
;
.

ស្វែងរកផលបូកនៃឫស៖
.

ដើម្បីស្វែងរកផលិតផលយើងអនុវត្តរូបមន្ត៖
.
បន្ទាប់មក

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងពីរ

ប្រសិនបើលេខ និងជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic (1) បន្ទាប់មក
.
យើងបើកតង្កៀប។

.
ដូច្នេះ សមីការ (១) នឹងមានទម្រង់៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (១) យើងរកឃើញ៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

សូមឱ្យមានលេខតាមអំពើចិត្ត។ បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
,
កន្លែងណា
(2) ;
(3) .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Vieta

ពិចារណាសមីការការ៉េ
(1) .
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ និង , បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការ (1)។

ជំនួស (2) និង (3) ទៅ (1)៖
.
យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖
;
;
(4) .

ជំនួសក្នុង (4):
;
.

ជំនួសក្នុង (4):
;
.
សមីការត្រូវបានបំពេញ។ នោះគឺលេខគឺជាឫសនៃសមីការ (1) ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ

ឥឡូវពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ
(5) ,
កន្លែងណា និងជាលេខមួយចំនួន។ និង។

យើងបែងចែកសមីការ (៥) ដោយ៖
.
នោះគឺយើងទទួលបានសមីការខាងលើ
,
កន្លែងណា; .

បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ
.
បន្ទាប់មកផលបូកនិងផលនៃឫសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការគូប

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការគូប។ ពិចារណាសមីការគូប
(6) ,
ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាលេខមួយចំនួន។ និង។
ចូរបែងចែកសមីការនេះដោយ៖
(7) ,
កន្លែងណា , .
សូមឱ្យ , , ជាឫសគល់នៃសមីការ (7) (និងសមីការ (6)) ។ បន្ទាប់មក

.

ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការ (៧) យើងរកឃើញ៖
;
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការដឺក្រេទី 1

ដូចគ្នាដែរ អ្នកអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងឫស , , ... , , សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទី
.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការសញ្ញាបត្រទី n មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
;
;
;

.

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់​មក​យើង​គណនា​មេគុណ​នៅ , , , ... , ហើយ​ប្រៀបធៀប​ពាក្យ​សេរី។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ Nikolsky, M.K. Potapov et al ។ , ពិជគណិត: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 នៃស្ថាប័នអប់រំ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ការអប់រំ, 2006 ។

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

នៅក្នុងការបង្រៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ពីទំនាក់ទំនងដែលចង់ដឹងចង់ឃើញរវាងឫសនៃសមីការការ៉េ និងមេគុណរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Viet (1540-1603)។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 ដោយមិនស្វែងរកឫសរបស់វា អ្នកអាចដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ភ្លាមនិយាយថា ផលបូកនៃឫសគឺ ហើយផលនៃឫសគឺ
i.e. - 2. ហើយសម្រាប់សមីការ x 2 - 6x + 8 \u003d 0 យើងសន្និដ្ឋាន៖ ផលបូកនៃឫសគឺ 6 ផលិតផលនៃឫសគឺ 8; ដោយវិធីនេះវាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាតើឫសអ្វីស្មើនឹង: 4 និង 2 ។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c \u003d 0 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ដែល D \u003d b 2 - 4ac គឺជាអ្នករើសអើងនៃសមីការ។ ចាក់ឬសទាំងនេះ
យើង​ទទួល​បាន

ឥឡូវនេះយើងគណនាផលិតផលនៃឫស x 1 និង x 2 យើងមាន

ទំនាក់ទំនងទីពីរត្រូវបានបង្ហាញ៖
មតិយោបល់។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលសមីការការ៉េមានឫសមួយ (នោះគឺនៅពេលដែល D \u003d 0) វាគ្រាន់តែថាក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានចាត់ទុកថាសមីការមានឫសដូចគ្នាពីរដែលទំនាក់ទំនងខាងលើត្រូវបានអនុវត្ត។ .
ទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + px + q \u003d 0 យកទម្រង់សាមញ្ញពិសេស។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta មនុស្សម្នាក់ក៏អាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមអោយ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 ។ បន្ទាប់មក

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលបំណងសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺមិនមែនថាវាបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងជាក់លាក់រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការបួនជ្រុងនោះទេ។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតនោះគឺថា ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta រូបមន្តសម្រាប់បង្កើតត្រីកោណមាត្រការ៉េត្រូវបានយកមក ដោយគ្មានអ្វីដែលយើងនឹងមិនធ្វើនៅពេលអនាគត។

ភស្តុតាង។ យើង​មាន

ឧទាហរណ៍ ១. ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េ 3x 2 - 10x + 3 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការ Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន

វាសមហេតុផលជំនួសឱ្យការសរសេរ Zx − 1។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន Zx 2 - 10x + 3 = (x − 3) (3x − 1) ។
ចំណាំថា ត្រីកោណការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានកត្តាដោយមិនប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម៖

Zx 2 − 10x + 3 = Zx 2 − 9x − x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1) ។

ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកឃើញហើយ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះជោគជ័យគឺអាស្រ័យលើថាតើយើងអាចស្វែងរកក្រុមជោគជ័យបានឬអត់ ខណៈពេលដែលវិធីសាស្ត្រដំបូងជោគជ័យត្រូវបានធានា។
ឧទាហរណ៍ ១. កាត់បន្ថយប្រភាគ

ការសម្រេចចិត្ត។ ពីសមីការ 2x 2 + 5x + 2 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = − 2,

ពីសមីការ x2 − 4x − 12 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = 6, x 2 = −2 ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2) ។
ឥឡូវនេះយើងកាត់បន្ថយប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. ធ្វើ​ជា​កត្តា​កន្សោម៖
ក) x4 + 5x 2 +6; ខ) 2x+-3
ដំណោះស្រាយ ក) យើងណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ជាត្រីកោណការ៉េដោយគោរពទៅនឹងអថេរ y ពោលគឺក្នុងទម្រង់ y 2 + bу + 6 ។
ដោយបានដោះស្រាយសមីការ y 2 + bу + 6 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3 ។ ឥឡូវនេះយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 2; យើង​ទទួល​បាន

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3) ។
វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d x 2, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3) ។
ខ) សូមណែនាំអថេរថ្មី y = . វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កន្សោម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ត្រីកោណ​ការ៉េ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​អថេរ y ពោល​គឺ​ក្នុង​ទម្រង់ 2y 2 + y - 3 ។ ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ
2y 2 + y - 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ 2y 2 + y - 3៖
y 1 = 1, y 2 = ។ លើសពីនេះទៀតដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន:

វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ

ផ្នែកនេះបញ្ចប់ដោយការពិចារណាមួយចំនួន ភ្ជាប់ម្តងទៀតជាមួយទ្រឹស្តីបទ Vieta ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការអះអាងផ្ទុយគ្នា៖
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2 គឺដូចជា x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q នោះលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ
ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ ដោយមិនប្រើរូបមន្ត root ដ៏លំបាក ហើយថែមទាំងសរសេរសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

1) x 2 − 11x + 24 = 0. េនះ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ងាយស្មានថា x 1 = 8, x 2 = 3 ។

2) x 2 + 11x + 30 = 0. នៅទីនេះ x 1 + x 2 = −11, x 1 x 2 = 30. ងាយស្មានថា x 1 = −5, x 2 = −6 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យសេរីនៃសមីការគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

3) x 2 + x − 12 = 0. េនះ x 1 + x 2 = −1, x 1 x 2 = −12 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថា x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃនៃសមីការគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសគឺខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

4) 5x 2 + 17x − 22 = 0. ងាយមើលឃើញថា x = 1 បំពេញសមីការ i.e. x 1 \u003d 1 - ឫសគល់នៃសមីការ។ ចាប់តាំងពី x 1 x 2 \u003d - និង x 1 \u003d 1 យើងទទួលបាននោះ x 2 \u003d - ។

5) x 2 − 293x + 2830 = 0. េនេនះ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. េបើអនកយកចិត្តទុកដក់លើការពិតថា 2830 = 283 ។ 10 និង 293 \u003d 283 + 10 បន្ទាប់មកវាច្បាស់ថា x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ឥឡូវនេះស្រមៃមើលថាតើការគណនាអ្វីខ្លះនឹងត្រូវអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ) ។

6) ចូរបង្កើតសមីការការ៉េដើម្បីឱ្យលេខ x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 ដើរតួជាឫសគល់របស់វា។ ជាធម្មតានៅក្នុងករណីបែបនេះ ពួកវាបង្កើតជាសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + px + q \u003d 0 ។
យើងមាន x 1 + x 2 \u003d -p ដូច្នេះ 8 - 4 \u003d -p នោះគឺ p \u003d -4 ។ បន្ថែមទៀត x 1 x 2 = q, i.e. 8"(-4) = q, ពេលណាយើងទទួលបាន q = -32 ។ ដូច្នេះ p \u003d -4, q \u003d -32 ដែលមានន័យថាសមីការការ៉េដែលចង់បានមានទម្រង់ x 2 -4x-32 \u003d 0 ។

ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដោយខ្លួនឯង៖ ឧបមាថាយើងមានសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ x^2+b*x+c=0។ ចូរនិយាយថាសមីការនេះមានឫស x1 និង x2។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមអាចទទួលយកបាន៖

1) ផលបូកនៃឫស x1 និង x2 នឹងស្មើនឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃមេគុណ ខ។

2) ផលិតផលនៃឫសទាំងនេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវមេគុណ c ។

ប៉ុន្តែតើសមីការខាងលើជាអ្វី?

សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ​គឺ​ជា​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​ដែល​ជា​មេគុណ​នៃ​កម្រិត​ខ្ពស់​បំផុត​ដែល​ស្មើ​នឹង​មួយ​, i.e. នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ x^2 + b*x + c = 0។ (ហើយសមីការ a*x^2 + b*x + c = 0 មិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ)។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីកាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ យើងត្រូវបែងចែកសមីការនេះដោយមេគុណនៅកម្រិតខ្ពស់បំផុត (a)។ ភារកិច្ចគឺនាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ៖

3*x^2 12*x+18=0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0 ។

យើងបែងចែកសមីការនីមួយៗដោយមេគុណនៃកំរិតខ្ពស់បំផុត យើងទទួលបាន៖

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x - 5.5 = 0 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ សូម្បីតែសមីការដែលមានប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

យើងទទួលបានឫស៖ x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានឫស: x1 = -2; x2 = −4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2=4;

យើងទទួលបានឫស៖ x1 = −1; x2 = −4 ។

សារៈសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទ Vieta

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការ quadratic ណាមួយក្នុងរយៈពេលស្ទើរតែវិនាទី។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីសមីការ 5 10 អ្នកអាចរៀនមើលឫសភ្លាមៗ។

ពីឧទាហរណ៍ខាងលើ និងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ អ្នកអាចឃើញពីរបៀបដែលអ្នកអាចធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងសាមញ្ញយ៉ាងសំខាន់ ពីព្រោះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងការគណនាស្មុគស្មាញតិចតួច ឬគ្មាន ហើយគណនាការរើសអើង ហើយដូចដែលអ្នកដឹង ការគណនាកាន់តែតិច ការធ្វើខុសកាន់តែពិបាក ដែលជារឿងសំខាន់។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ យើងបានប្រើច្បាប់នេះដោយផ្អែកលើការសន្មត់សំខាន់ពីរ៖

សមីការខាងលើ i.e. មេគុណ​នៅ​កម្រិត​ខ្ពស់​បំផុត​គឺ​ស្មើ​នឹង​មួយ (លក្ខខណ្ឌ​នេះ​គឺ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ជៀស​វាង។ អ្នក​អាច​ប្រើ​ទម្រង់​សមីការ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ បន្ទាប់​មក​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ខាងក្រោម x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a នឹង​ជា ត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែជាធម្មតាវាពិបាកដោះស្រាយជាង :))

នៅពេលដែលសមីការនឹងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ យើងសន្មត់ថាវិសមភាពគឺពិត ហើយអ្នករើសអើងគឺខ្លាំងជាងសូន្យ។

ដូច្នេះហើយ យើងអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយទូទៅដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ក្បួនដោះស្រាយទូទៅដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

យើងនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងក្នុងទម្រង់មិនកាត់បន្ថយ។ នៅពេលដែលមេគុណនៅក្នុងសមីការការ៉េដែលយើងបានបង្ហាញពីមុនថាបានកាត់បន្ថយបានប្រែទៅជាប្រភាគ (មិនមែនទសភាគ) បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះសមីការរបស់យើងគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង។

វាក៏មានករណីដែលត្រលប់ទៅសមីការដើមអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការជាមួយលេខ "ងាយស្រួល" ។

នៅពេលសិក្សាវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា សូមពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសដែលទទួលបាន។ ឥឡូវនេះពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

សមីការ​ការ៉េ

សមីការលំដាប់ទីពីរគឺជាសមភាព ដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបថតខាងក្រោម។

នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញា a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួនដែលត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមភាព អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ x ដែលធ្វើឱ្យវាពិត។

ចំណាំថាចាប់តាំងពីតម្លៃអតិបរមានៃថាមពលដែល x ត្រូវបានលើកឡើងគឺពីរ នោះចំនួនឫសនៅក្នុងករណីទូទៅក៏មានពីរផងដែរ។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមភាពប្រភេទនេះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់អ្វីដែលគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ Vieta

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 16 គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Francois Viet (ជនជាតិបារាំង) បានកត់សម្គាល់ដោយវិភាគលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េផ្សេងៗថា បន្សំជាក់លាក់នៃពួកវាបំពេញទំនាក់ទំនងជាក់លាក់។ ជាពិសេស បន្សំទាំងនេះគឺជាផលិតផល និងផលបូករបស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta បង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ នៅពេលដែលបូកសរុប ផ្តល់សមាមាត្រនៃលីនេអ៊ែរទៅមេគុណការ៉េដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានគុណ ពួកវានាំទៅរកសមាមាត្រនៃពាក្យសេរីទៅមេគុណបួនជ្រុង។ .

ប្រសិនបើទម្រង់ទូទៅនៃសមីការត្រូវបានសរសេរដូចដែលវាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបថតនៅក្នុងផ្នែកមុននៃអត្ថបទ នោះតាមគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាសមភាពពីរ៖

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d គ / ក។

ដែល r 1 , r 2 គឺជាតម្លៃនៃឫសនៃសមីការដែលបានពិចារណា។

សមភាពទាំងពីរនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាខុសៗគ្នាជាច្រើន។ ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោមនៃអត្ថបទ។