ការបង្កើត

ត្រីកោណសមមូលគឺជាប្រលេឡូក្រាម។ ទ្រឹស្តីបទប៉ារ៉ាឡែល។ អង្កត់ទ្រូងកាត់ពាក់កណ្តាល

ដូចនៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ចំនុច និងបន្ទាត់ត្រង់គឺជាធាតុសំខាន់នៃទ្រឹស្តីនៃប្លង់ ដូច្នេះ ប្រលេឡូក្រាមគឺជាតួរលេខសំខាន់មួយនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង។ ពីវាដូចជាខ្សែស្រលាយពីបាល់មួយ លំហូរគំនិតនៃ "ចតុកោណ", "ការ៉េ", "rhombus" និងបរិមាណធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

និយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម

រាងបួនជ្រុងប៉ោង,មានផ្នែកដែលគូនីមួយៗស្របគ្នា ត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងធរណីមាត្រថាជាប្រលេឡូក្រាម។

អ្វីដែលប៉ារ៉ាឡែលបុរាណមើលទៅដូចជា ABCD បួនជ្រុង។ ជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន (AB, BC, CD និង AD) កាត់កែងដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលណាមួយទៅជ្រុងម្ខាងនៃកំពូលនេះត្រូវបានគេហៅថាកម្ពស់ (BE និង BF) បន្ទាត់ AC និង BD គឺជាអង្កត់ទ្រូង។

យកចិត្តទុកដាក់!ការ៉េ រាងមូល និងចតុកោណកែង គឺជាករណីពិសេសនៃប្រលេឡូក្រាម។

ជ្រុងនិងមុំ៖ លក្ខណៈពិសេសសមាមាត្រ

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ ទាំងទំហំធំ កំណត់ទុកជាមុនដោយការកំណត់ខ្លួនឯងពួកគេត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយទ្រឹស្តីបទ។ លក្ខណៈទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖

ផ្នែកដែលផ្ទុយគ្នាគឺដូចគ្នាបេះបិទជាគូ។
មុំដែលទល់មុខគ្នាគឺស្មើគ្នាជាគូ។

ភ័ស្តុតាង៖ ពិចារណា ∆ABC និង ∆ADC ដែលទទួលបានដោយការបែងចែក ABCD បួនជ្រុងតាមបន្ទាត់ AC ។ ∠BCA=∠CAD និង ∠BAC=∠ACD ចាប់តាំងពី AC គឺជារឿងធម្មតាសម្រាប់ពួកគេ (មុំបញ្ឈរសម្រាប់ BC||AD និង AB||CD រៀងគ្នា)។ វាធ្វើតាមពីនេះ៖ ∆ABC = ∆ADC (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរសម្រាប់សមភាពនៃត្រីកោណ)។

ចម្រៀក AB និង BC ក្នុង ∆ABC ត្រូវគ្នាជាគូទៅនឹងបន្ទាត់ CD និង AD ក្នុង ∆ADC ដែលមានន័យថាពួកវាដូចគ្នាបេះបិទ៖ AB = CD, BC = AD ។ ដូច្នេះ ∠B ត្រូវគ្នានឹង ∠D ហើយពួកវាស្មើគ្នា។ ចាប់តាំងពី ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD ដែលដូចគ្នាបេះបិទជាគូ បន្ទាប់មក ∠A = ∠C។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

លក្ខណៈនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់តួលេខ

មុខងារចម្បងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទាំងនេះ៖ ចំនុចប្រសព្វបំបែកពួកគេ។

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ m. E ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង AC និង BD នៃរូប ABCD ។ ពួកវាបង្កើតជាត្រីកោណសមគ្នាពីរ - ∆ABE និង ∆CDE ។

AB=CD ចាប់តាំងពីពួកវាផ្ទុយគ្នា។ យោងទៅតាមបន្ទាត់ និងផ្នែក ∠ABE = ∠CDE និង ∠BAE = ∠DCE ។

យោងតាមសញ្ញាទីពីរនៃសមភាព ∆ABE = ∆CDE ។ នេះមានន័យថា ធាតុ ∆ABE និង ∆CDE គឺ៖ AE = CE, BE = DE ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ពួកវាជាផ្នែកសមស្របនៃ AC និង BD ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

លក្ខណៈពិសេសនៃជ្រុងជាប់គ្នា។

នៅជ្រុងជាប់គ្នាផលបូកនៃមុំគឺ 180 °ចាប់តាំងពីពួកគេស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងផ្នែកខាង។ សម្រាប់ ABCD បួនជ្រុង៖

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

លក្ខណៈសម្បត្តិ Bisector:

ទម្លាក់ទៅម្ខាង, កាត់កែង;
បញ្ឈរទល់មុខមាន bisectors ប៉ារ៉ាឡែល;
ត្រីកោណដែលទទួលបានដោយការគូរ bisector នឹងក្លាយជា isosceles ។

ការកំណត់លក្ខណៈលក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាមដោយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈពិសេសនៃតួលេខនេះ ធ្វើតាមទ្រឹស្ដីចម្បងរបស់វា ដែលអានដូចខាងក្រោម៖ បួនជ្រុងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រលេឡូក្រាមក្នុងករណីដែលអង្កត់ទ្រូងរបស់វាប្រសព្វគ្នា ហើយចំនុចនេះបែងចែកពួកវាជាផ្នែកស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ AC និង BD នៃ ABCD បួនជ្រុងប្រសព្វគ្នានៅក្នុង t. E. ចាប់តាំងពី ∠AED = ∠BEC និង AE+CE=AC BE+DE=BD បន្ទាប់មក ∆AED = ∆BEC (ដោយសញ្ញាដំបូងនៃសមភាពនៃត្រីកោណ)។ នោះគឺ ∠EAD = ∠ECB ។ ពួកវាក៏ជាមុំឆ្លងកាត់ខាងក្នុងនៃ AC secant សម្រាប់បន្ទាត់ AD និង BC ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យនៃភាពស្របគ្នា - AD || BC ទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃបន្ទាត់ BC និង CD ក៏ត្រូវបានយកមកផងដែរ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខ

តំបន់នៃតួលេខនេះ។ បានរកឃើញតាមវិធីជាច្រើន។មួយក្នុងចំណោមសាមញ្ញបំផុត: គុណកម្ពស់និងមូលដ្ឋានដែលវាត្រូវបានគូរ។

ភស្តុតាង៖ គូរកាត់កែង BE និង CF ពីចំនុចកំពូល B និង C. ∆ABE និង ∆DCF គឺស្មើគ្នាចាប់តាំងពី AB = CD និង BE = CF ។ ABCD គឺស្មើនឹងចតុកោណកែង EBCF ព្រោះពួកវាក៏មានតួលេខសមាមាត្រផងដែរ៖ S ABE និង S EBCD ក៏ដូចជា S DCF និង S EBCD ។ វាដូចខាងក្រោមថាផ្ទៃនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងចតុកោណកែងមួយ:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD ។

ដើម្បីកំណត់រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម យើងកំណត់កម្ពស់ជា hb, និងចំហៀង ខ. រៀងគ្នា៖

វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកតំបន់

ការគណនាតំបន់ តាមរយៈជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម និងមុំដែលពួកគេបង្កើត គឺជាវិធីសាស្ត្រទីពីរដែលគេស្គាល់។

Spr-ma - តំបន់;

a និង b គឺជាភាគីរបស់វា។

α - មុំរវាងផ្នែក a និង b ។

វិធីសាស្រ្តនេះគឺអនុវត្តជាក់ស្តែងដោយផ្អែកលើដំបូងប៉ុន្តែក្នុងករណីដែលមិនស្គាល់។ តែងតែកាត់ចេញត្រីកោណកែងដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញដោយអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ ពោលគឺ . ការផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រយើងទទួលបាន។ នៅក្នុងសមីការនៃវិធីសាស្រ្តដំបូងយើងជំនួសកម្ពស់ជាមួយនឹងផលិតផលនេះហើយទទួលបានភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះ។

តាមរយៈអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម និងមុំមួយដែលពួកវាបង្កើតនៅពេលពួកគេប្រសព្វគ្នា អ្នកក៏អាចស្វែងរកតំបន់នេះផងដែរ។

ភស្តុតាង៖ AC និង BD ប្រសព្វគ្នាបង្កើតជាត្រីកោណបួន៖ ABE, BEC, CDE និង AED ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េនេះ។

ផ្ទៃនៃ ∆ នីមួយៗអាចរកឃើញពីកន្សោម ដែល a=BE, b=AE, ∠γ=∠AEB។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកតម្លៃតែមួយនៃស៊ីនុសត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។ នោះគឺជា។ ចាប់តាំងពី AE+CE=AC=d 1 និង BE+DE=BD=d 2 រូបមន្តតំបន់កាត់បន្ថយទៅ៖

កម្មវិធីនៅក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ

លក្ខណៈពិសេសនៃផ្នែកធាតុផ្សំនៃ quadrangle នេះ បានរកឃើញកម្មវិធីនៅក្នុង ពិជគណិតវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ៖ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ។ ក្បួនប្រលេឡូក្រាមបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើបានផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រនិងទេ។គឺ collinear បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេនឹងស្មើនឹងអង្កត់ទ្រូងនៃតួលេខនេះ មូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ភ័ស្តុតាង៖ ពីការចាប់ផ្តើមដែលបានជ្រើសរើសដោយបំពាន - នោះគឺ។ - យើងបង្កើតវ៉ិចទ័រនិង។ បន្ទាប់មកទៀត យើងបង្កើតប៉ារ៉ាឡែល OASV ដែលផ្នែក OA និង OB ជាភាគី។ ដូច្នេះ OS ស្ថិតនៅលើវ៉ិចទ័រ ឬផលបូក។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រលេឡូក្រាម

អត្តសញ្ញាណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម:

a និង b, α - ជ្រុងនិងមុំរវាងពួកវា;
d 1 និង d 2 , γ - អង្កត់ទ្រូងនិងនៅចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ;
h a និង h b - កម្ពស់ទាបទៅចំហៀង a និង b;

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ	រូបមន្ត
ការស្វែងរកភាគី
តាមអង្កត់ទ្រូងនិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា
តាមអង្កត់ទ្រូងនិងចំហៀង
តាមរយៈកម្ពស់ និងចំណុចកំពូលទល់មុខ
ស្វែងរកប្រវែងអង្កត់ទ្រូង
នៅលើជ្រុងនិងទំហំនៃកំពូលរវាងពួកគេ។
នៅតាមបណ្តោយជ្រុងនិងអង្កត់ទ្រូងមួយ។	សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ប្រលេឡូក្រាម ជាតួរលេខសំខាន់មួយនៃធរណីមាត្រ ត្រូវបានប្រើក្នុងជីវិត ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសាងសង់ នៅពេលគណនាផ្ទៃដីនៃគេហទំព័រ ឬការវាស់វែងផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះហើយ ចំណេះដឹងអំពីលក្ខណៈពិសេស និងវិធីសាស្រ្តក្នុងការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងៗរបស់វាអាចមានប្រយោជន៍គ្រប់ពេលវេលាក្នុងជីវិត។

ប្រធានបទមេរៀន

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។

គោលបំណងនៃមេរៀន

ស្វែងយល់ពីនិយមន័យថ្មី ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលបានសិក្សារួចហើយ។
បង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។
រៀនអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរាងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
ការអភិវឌ្ឍន៍ - ដើម្បីអភិវឌ្ឍការយកចិត្តទុកដាក់របស់សិស្ស, ការតស៊ូ, ការតស៊ូ, ការគិតឡូជីខល, ការនិយាយគណិតវិទ្យា។
ការអប់រំ - តាមរយៈមេរៀនមួយ ដើម្បីបណ្តុះអាកប្បកិរិយាយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះគ្នាទៅវិញទៅមក បណ្តុះសមត្ថភាពក្នុងការស្តាប់សមមិត្ត ជំនួយទៅវិញទៅមក ឯករាជ្យភាព។

គោលបំណងនៃមេរៀន

ពិនិត្យមើលសមត្ថភាពរបស់សិស្សក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ផែនការមេរៀន

សុន្ទរកថាបើក។
ពាក្យដដែលៗនៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។
Parallelogram លក្ខណៈសម្បត្តិនិងសញ្ញារបស់វា។
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ។
ពិនិត្យដោយខ្លួនឯង។

សេចក្តីផ្តើម

"ការរកឃើញតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រដ៏សំខាន់មួយ ផ្តល់នូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាធំមួយ ប៉ុន្តែនៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាណាមួយ មានការរកឃើញមួយគ្រាប់។"

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃជ្រុងផ្ទុយនៃប្រលេឡូក្រាម

ប្រលេឡូក្រាមមានភាគីផ្ទុយគ្នា។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជាប្រលេឡូក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយឱ្យអង្កត់ទ្រូងរបស់វាប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O ។
ចាប់តាំងពី Δ AOB = Δ COD ដោយសញ្ញាដំបូងនៃសមភាពនៃត្រីកោណ (∠ AOB = ∠ COD ជាបញ្ឈរ AO = OC, DO = OB ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងប្រលេឡូក្រាម) បន្ទាប់មក AB = CD ។ ដូចគ្នានេះដែរពីសមភាពនៃត្រីកោណ BOC និង DOA វាធ្វើតាមថា BC = DA ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃមុំផ្ទុយនៃប្រលេឡូក្រាម

ប្រលេឡូក្រាមមានមុំទល់មុខ។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជាប្រលេឡូក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយឱ្យអង្កត់ទ្រូងរបស់វាប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O ។
ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃជ្រុងម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទនៅលើ Δ ABC = Δ CDA នៅលើបីជ្រុង (AB = CD, BC = DA ពីការបង្ហាញ, AC គឺទូទៅ) ។ វាធ្វើតាមពីសមភាពនៃត្រីកោណដែល ∠ABC = ∠CDA ។
វាត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរថា ∠ DAB = ∠ BCD ដែលតាមពី ∠ ABD = ∠ CDB ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នា ហើយចំណុចប្រសព្វត្រូវបានបំបែក។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជាប្រលេឡូក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង AC ។ យើងសម្គាល់ចំណុចកណ្តាល O នៅលើវា។ នៅលើផ្នែកបន្តនៃផ្នែក DO យើងដាក់ផ្នែក OB 1 ស្មើនឹង DO ។
តាមទ្រឹស្តីបទមុន AB 1 CD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ AB 1 គឺស្របទៅនឹង DC ។ ប៉ុន្តែតាមរយៈចំណុច A មានតែបន្ទាត់មួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចគូរស្របទៅនឹង DC ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ AB 1 ត្រូវគ្នានឹងបន្ទាត់ AB ។
វាត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរថា BC 1 ត្រូវគ្នានឹង BC ។ ដូច្នេះចំណុច C ស្របគ្នានឹង C 1 ។ ប្រលេឡូក្រាម ABCD ស្របគ្នានឹងប្រលេឡូក្រាម AB 1 ស៊ីឌី។ ដូច្នេះអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នា ហើយចំណុចប្រសព្វត្រូវបានបំបែក។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សាលាធម្មតា (ឧទាហរណ៍នៅក្នុង Pogorelov) វាត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម: អង្កត់ទ្រូងបែងចែកប្រលេឡូក្រាមជា 4 ត្រីកោណ។ ពិចារណាមួយគូហើយរកឱ្យឃើញ - ពួកគេគឺស្មើគ្នា: មូលដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺភាគីផ្ទុយគ្នាមុំដែលត្រូវគ្នានៅជាប់នឹងវាស្មើនឹងបញ្ឈរជាមួយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ នោះគឺផ្នែកនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើគ្នា។ អ្វីគ្រប់យ៉ាង។

ទាំងអស់នោះឬ?
វាត្រូវបានបញ្ជាក់ខាងលើថាចំនុចប្រសព្វកាត់អង្កត់ទ្រូង - ប្រសិនបើវាមាន។ ការលើកឡើងខាងលើមិនបានបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពរបស់វាតាមវិធីណាមួយឡើយ។ នោះគឺផ្នែកនៃទ្រឹស្តីបទ "អង្កត់ទ្រូងប៉ារ៉ាឡែលប្រសព្វ" នៅតែមិនអាចបញ្ជាក់បាន។

វាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់ដែលផ្នែកនេះពិបាកបញ្ជាក់។ ដោយវិធីនេះ វាកើតឡើងពីលទ្ធផលទូទៅជាងនេះ៖ សម្រាប់រាងបួនជ្រុងប៉ោងណាមួយ អង្កត់ទ្រូងនឹងប្រសព្វគ្នា សម្រាប់ការដែលមិនប៉ោងណាមួយពួកគេនឹងមិនធ្វើទេ។

នៅលើសមភាពនៃត្រីកោណតាមបណ្តោយចំហៀងនិងមុំពីរនៅជាប់នឹងវា (សញ្ញាទីពីរនៃសមភាពនៃត្រីកោណ) និងផ្សេងទៀត។

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីសមភាពនៃត្រីកោណពីរនៅសងខាង និងមុំពីរនៅជាប់នឹងវា លោក Thales បានរកឃើញការអនុវត្តជាក់ស្តែងដ៏សំខាន់មួយ។ ឧបករណ៍កំណត់ចម្ងាយត្រូវបានសាងសង់នៅកំពង់ផែ Miletus ដែលកំណត់ចម្ងាយទៅកប៉ាល់នៅសមុទ្រ។ វាមានចង្កឹះបី A, B និង C (AB = BC) និងបន្ទាត់ត្រង់សម្គាល់ SK ដែលកាត់កែងទៅ CA ។ នៅពេលដែលកប៉ាល់បានបង្ហាញខ្លួននៅលើបន្ទាត់ត្រង់ SC ចំនុច D ត្រូវបានគេរកឃើញថាចំនុច D, .B និង E ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ពីគំនូរ ចម្ងាយស៊ីឌីនៅលើដីគឺជាចម្ងាយដែលចង់បានទៅកាន់កប៉ាល់។

សំណួរ

តើអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េដែលបត់ដោយចំនុចប្រសព្វឬ?
តើអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើគ្នាទេ?
តើមុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើគ្នាទេ?
តើអ្វីជានិយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម?
តើមានលក្ខណៈពិសេសប៉ុន្មាននៃប្រលេឡូក្រាម?
តើ rhombus អាចជាប៉ារ៉ាឡែលបានទេ?

បញ្ជីប្រភពដែលបានប្រើ

Kuznetsov A.V. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា (ថ្នាក់ទី ៥-៩) ទីក្រុងគៀវ
“ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ២០០៦។ គណិតវិទ្យា។ សម្ភារៈអប់រំ និងបណ្តុះបណ្តាលសម្រាប់ការរៀបចំសិស្ស / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
Mazur K. I. "ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រកួតប្រជែងសំខាន់ៗក្នុងគណិតវិទ្យានៃការប្រមូលដែលបានកែសម្រួលដោយ M. I. Scanavi"
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "ធរណីមាត្រ, 7 - 9: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ"

ធ្វើការលើមេរៀន

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

អ្នកអាចលើកជាសំណួរអំពីការអប់រំសម័យទំនើប បញ្ចេញគំនិត ឬដោះស្រាយបញ្ហាបន្ទាន់នៅឯ វេទិកាអប់រំដែលជាកន្លែងដែលក្រុមប្រឹក្សាអប់រំនៃគំនិត និងសកម្មភាពថ្មីៗជួបជាអន្តរជាតិ។ បានបង្កើត ប្លុក,អ្នកនឹងមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវឋានៈរបស់អ្នកជាគ្រូបង្រៀនដែលមានជំនាញប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍សាលារៀននាពេលអនាគតផងដែរ។ សមាគមអ្នកដឹកនាំអប់រំបើកទ្វារទៅកាន់អ្នកឯកទេសលំដាប់កំពូល ហើយអញ្ជើញអ្នកឱ្យសហការក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើតសាលាល្អបំផុតនៅក្នុងពិភពលោក។

មុខវិជ្ជា > គណិតវិទ្យា > គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៨

ភស្តុតាង

តោះគូរអង្កត់ទ្រូង AC ជាមុនសិន។ ត្រីកោណពីរត្រូវបានទទួល: ABC និង ADC ។

ដោយសារ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម ខាងក្រោមនេះជាការពិត៖

AD || BC \\ ព្រួញស្ដាំ \\ មុំ ១ = \\ មុំ ២ដូចជានិយាយកុហកឆ្លងកាត់។

AB || ស៊ីឌី \ ព្រួញស្ដាំ \ មុំ ៣ \ មុំ ៤ដូចជានិយាយកុហកឆ្លងកាត់។

ដូច្នេះ \triangle ABC = \triangle ADC (ដោយលក្ខណៈទីពីរ៖ និង AC គឺជារឿងធម្មតា)។

ដូច្នេះហើយ \ ត្រីកោណ ABC = \ ត្រីកោណ ADC បន្ទាប់មក AB = ស៊ីឌី និង AD = BC ។

បញ្ជាក់!

2. មុំទល់មុខគឺដូចគ្នាបេះបិទ។

ភស្តុតាង

នេះបើតាមភស្តុតាង លក្ខណៈសម្បត្តិ ១យើងដឹងរឿងនោះ។ \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. ដូច្នេះផលបូកនៃមុំផ្ទុយគឺ៖ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. ដោយពិចារណាថា \ ត្រីកោណ ABC = \ ត្រីកោណ ADC យើងទទួលបាន \angle A = \angle C, \angle B = \angle D ។

បញ្ជាក់!

3. អង្កត់ទ្រូងត្រូវបាន bisected ដោយចំនុចប្រសព្វ។

ភស្តុតាង

តោះគូរអង្កត់ទ្រូងមួយទៀត។

ដោយ ទ្រព្យ ១យើងដឹងថាភាគីទល់មុខគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖ AB = CD ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងកត់សំគាល់មុំស្មើគ្នាដែលនិយាយបញ្ច្រាស។

ដូច្នេះវាអាចមើលឃើញថា \ ត្រីកោណ AOB = \ ត្រីកោណ COD ដោយសញ្ញាទីពីរនៃសមភាពនៃត្រីកោណ (មុំពីរនិងជ្រុងមួយរវាងពួកវា) ។ នោះគឺ BO = OD (ទល់មុខ \angle 2 និង \angle 1) និង AO = OC (ទល់មុខ \angle 3 និង \angle 4 រៀងគ្នា)។

បញ្ជាក់!

លក្ខណៈប៉ារ៉ាឡែល

ប្រសិនបើមានតែសញ្ញាមួយនៅក្នុងបញ្ហារបស់អ្នក នោះតួលេខគឺជាប៉ារ៉ាឡែល ហើយអ្នកអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃតួលេខនេះ។

ដើម្បីទន្ទេញចាំបានកាន់តែប្រសើរ សូមចំណាំថា សញ្ញាប៉ារ៉ាឡែលនឹងឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម − "តើត្រូវស្វែងយល់ដោយរបៀបណា?". នោះគឺរបៀបដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាប៉ារ៉ាឡែលមួយ។

1. ប្រលេឡូក្រាម គឺជាចតុកោណដែលភាគីទាំងពីរស្មើគ្នា និងស្របគ្នា។

AB = ស៊ីឌី; AB || ស៊ីឌី \\ ព្រួញស្ដាំ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង

ចូរយើងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ ហេតុអ្វី AD || BC?

\\ ត្រីកោណ ABC = \\ ត្រីកោណ ADC ដោយ ទ្រព្យ ១៖ AB = CD, AC គឺជារឿងធម្មតា ហើយ \angle 1 = \angle 2 ជា crosswise ជាមួយ AB និង CD ស្របគ្នា និង secant AC ។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើ \triangle ABC = \triangle ADC នោះ \angle 3 = \angle 4 (ពួកវាស្ថិតនៅទល់មុខ AB និង CD រៀងគ្នា)។ ដូច្នេះ AD || BC (\ មុំ 3 និង \ មុំ 4 - កុហកកាត់ក៏ស្មើគ្នា) ។

សញ្ញាដំបូងគឺត្រឹមត្រូវ។

2. ប្រលេឡូក្រាមគឺជាចតុកោណដែលភាគីទល់មុខស្មើគ្នា។

AB = CD , AD = BC \\ Rightarrow ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង

ចូរយើងពិចារណាលក្ខណៈពិសេសនេះ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង AC ម្តងទៀត។

ដោយ ទ្រព្យ ១\\ ត្រីកោណ ABC = \\ ត្រីកោណ ACD ។

វាធ្វើតាមថា: \angle 1 = \angle 2 \ Rightarrow AD || BCនិង \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || ស៊ីឌីនោះគឺ ABCD គឺជាប៉ារ៉ាឡែល។

សញ្ញាទីពីរគឺត្រឹមត្រូវ។

3. ប្រលេឡូក្រាមគឺជាចតុកោណដែលមុំទល់មុខគឺស្មើគ្នា។

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \ Rightarrow ABCD- ប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(ព្រោះ ABCD ជាបួនជ្រុង ហើយ \angle A = \angle C, \angle B = \angle D តាមអនុសញ្ញា)។

ដូច្នេះ \alpha + \beta = 180^(\circ) ។ ប៉ុន្តែ \alpha និង \beta គឺខាងក្នុងម្ខាងនៅ secant AB ។

ហើយការពិតថា \alpha + \beta = 180^(\circ) ក៏មានន័យថា AD || BC

នៅពេលដំណាលគ្នានោះ \alpha និង \beta គឺជាផ្នែកខាងក្នុងមួយចំហៀងជាមួយនឹង AD secant ។ ហើយនោះមានន័យថា AB || ស៊ីឌី។

សញ្ញាទីបីគឺត្រឹមត្រូវ។

4. ប្រលេឡូក្រាមគឺជាចតុកោណដែលអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចប្រសព្វ។

AO=OC; BO = OD \\ ប៉ារ៉ាឡែលព្រួញស្ដាំ។

ភស្តុតាង

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 ជាបញ្ឈរ \\ ព្រួញស្ដាំ \\ ត្រីកោណ AOB = \\ ត្រីកោណ COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4និង \Rightarrow AB || ស៊ីឌី។

ដូចគ្នា BO = OD ; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8និង \Rightarrow AD || BC

សញ្ញាទីបួនគឺត្រឹមត្រូវ។

ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាចតុកោណដែលភាគីទល់មុខស្របគ្នាជាគូ (រូបភាព 233)។

ប៉ារ៉ាឡែលបំពានមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម៖

1. ជ្រុងម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង។ គូរអង្កត់ទ្រូង AC ក្នុងប្រលេឡូក្រាម ABCD ។ ត្រីកោណ ACD និង AC B គឺស្មើនឹងមានចំហៀងរួម AC និងពីរគូនៃមុំស្មើគ្នានៅជាប់នឹងវា៖

(ជាមុំកាត់ដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល AD និង BC)។ ដូច្នេះ ហើយជាជ្រុងនៃត្រីកោណស្មើគ្នា ដែលស្ថិតនៅទល់មុខមុំស្មើគ្នា ដែលតម្រូវឱ្យបញ្ជាក់។

2. មុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ៖

3. មុំជិតខាងនៃប្រលេឡូក្រាម ពោលគឺ មុំនៅជាប់ម្ខាង បូកបន្ថែម។ល។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទី 2 និងទី 3 កើតឡើងភ្លាមៗពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុំនៅបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

4. អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមកាត់គ្នាទៅវិញទៅមកនៅចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ក្នុងន័យផ្សេងទៀត,

ភស្តុតាង។ ត្រីកោណ AOD និង BOC គឺស្មើគ្នា ដោយហេតុថាជ្រុងរបស់ពួកគេ AD និង BC គឺស្មើគ្នា (ទ្រព្យសម្បត្តិ 1) និងមុំនៅជាប់នឹងពួកវា (ជាមុំឆ្លងកាត់ដែលមានបន្ទាត់ស្របគ្នា)។ នេះបង្កប់ន័យសមភាពនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណទាំងនេះ៖ AO ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។

លក្ខណសម្បត្តិទាំងបួននេះនីមួយៗកំណត់លក្ខណៈប្រលេឡូក្រាម ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ គឺជាលក្ខណៈលក្ខណៈរបស់វា ពោលគឺ ចតុកោណណាមួយដែលមានយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម (ហើយដូច្នេះមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបីផ្សេងទៀត)។

យើងអនុវត្តភស្តុតាងសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

1. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នា នោះវាជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD បួនជ្រុងមានជ្រុង AD និង BC, AB និង CD រៀងគ្នាស្មើគ្នា (រូបភាព 233) ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង AC ។ ត្រីកោណ ABC និង CDA នឹងត្រូវគ្នាដោយមានបីគូនៃភាគីស្មើគ្នា។

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកមុំ BAC និង DCA គឺស្មើគ្នា និង . ភាពស្របគ្នានៃជ្រុង BC និង AD កើតឡើងពីសមភាពនៃមុំ CAD និង DIA ។

2. ប្រសិនបើ quadrilateral មានពីរគូនៃមុំទល់មុខស្មើគ្នា នោះវាគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យ។ ចាប់តាំងពីភាគីទាំងពីរ AD និង BC គឺស្របគ្នា (ផ្អែកលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល) ។

3. យើងទុកទម្រង់បែបបទ និងភស្តុតាងដល់អ្នកអាន។

4. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងត្រូវបានបែងចែកទៅវិញទៅមកនៅចំណុចប្រសព្វជាពាក់កណ្តាល នោះចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ AO \u003d OS, BO \u003d OD (រូបភាព 233) នោះត្រីកោណ AOD និង BOC គឺស្មើគ្នា ដោយមានមុំស្មើគ្នា (បញ្ឈរ!) នៅចំនុចកំពូល O ដែលរុំព័ទ្ធរវាងគូនៃភាគីស្មើគ្នា AO និង CO, BO និង ធ្វើ។ ពីសមភាពនៃត្រីកោណ យើងសន្និដ្ឋានថា ជ្រុង AD និង BC គឺស្មើគ្នា។ ជ្រុង AB និង CD ក៏ស្មើគ្នាដែរ ហើយ quadrilateral ប្រែជា ប្រលេឡូក្រាម យោងតាមលក្ខណៈលក្ខណៈ Г ។

ដូច្នេះ ដើម្បីបញ្ជាក់ឱ្យឃើញថា ចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាប្រលេឡូក្រាម វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបួន។ អ្នកអានត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យបង្ហាញដោយឯករាជ្យនូវលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមួយទៀតនៃប្រលេឡូក្រាម។

5. ប្រសិនបើ quadrilateral មានគូស្មើគ្នា ភាគីប៉ារ៉ាឡែល នោះវាគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ជួនកាលគូណាមួយនៃភាគីប៉ារ៉ាឡែលនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានរបស់វា ខណៈដែលពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានគេហៅថាភាគីចំហៀង។ ផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅសងខាងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលរុំព័ទ្ធរវាងពួកវាត្រូវបានគេហៅថាកម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាម។ ប្រលេឡូក្រាមនៅក្នុងរូបភព។ 234 មានកម្ពស់ h គូរទៅជ្រុង AD និង BC កំពស់ទីពីររបស់វាត្រូវបានតំណាងដោយផ្នែកមួយ។

ស្ថាប័នអប់រំថវិកាក្រុង

អនុវិទ្យាល័យ Savinskaya

ការងារស្រាវជ្រាវ

Parallelogram និងលក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីរបស់វា។

ធ្វើដោយ៖ សិស្សថ្នាក់ទី 8B

អនុវិទ្យាល័យ MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana អាយុ 14 ឆ្នាំ។

អ្នកដឹកនាំ៖ គ្រូគណិតវិទ្យា

Tulchevskaya N.A.

សាវីណូ

តំបន់ Ivanovo ប្រទេសរុស្ស៊ី

ឆ្នាំ ២០១៦

I. សេចក្តីផ្តើម ______________________________________________ ទំព័រ ៣

II. ពីប្រវត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម ___________________________________ ទំព័រទី ៤

III លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម _________________________ ទំព័រទី 4

IV. ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ _____________________________________ ទំព័រ 5

វ. ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែម __________ ទំព័រ ៨

VI. ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាមក្នុងជីវិត ___________________ ទំព័រ ១១

VII. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន _________________________________________________ ទំព័រ 12

VIII. អក្សរសិល្ប៍ _________________________________________________ ទំព័រ 13

សេចក្តីផ្តើម

"ក្នុងចំណោមចិត្តស្មើគ្នា

នៅ ភាពស្រដៀងគ្នានៃលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។

ពូកែជាងអ្នកដែលចេះធរណីមាត្រ"

(Blaise Pascal) ។

ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាប្រធានបទ "ប៉ារ៉ាឡែល" នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃប្រលេឡូក្រាម និងលក្ខណៈបី ប៉ុន្តែនៅពេលយើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហា វាប្រែថាវាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។

ខ្ញុំមានសំណួរមួយ តើប្រលេឡូក្រាមមានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតឬទេ និងរបៀបដែលវានឹងជួយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ហើយខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម និងបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកវាអាចត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

ប្រធានបទនៃការសិក្សា : ប្រលេឡូក្រាម

វត្ថុនៃការសិក្សា ៖ លក្ខណសម្បត្តិប៉ារ៉ាឡែល
គោលបំណង៖

ការបង្កើតនិងភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាមដែលមិនត្រូវបានសិក្សានៅសាលា;

ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

ភារកិច្ច:

ដើម្បីសិក្សាប្រវត្តិសាស្រ្តនៃប្រលេឡូក្រាមនិងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការអភិវឌ្ឍនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា;

ស្វែងរកអក្សរសិល្ប៍បន្ថែមលើបញ្ហាដែលកំពុងសិក្សា;

សិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម និងបញ្ជាក់ពួកវា។

បង្ហាញកម្មវិធីនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា;

ពិចារណាអំពីការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាមក្នុងជីវិត។
វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖

ធ្វើការជាមួយការអប់រំ និងវិទ្យាសាស្ត្រ - អក្សរសិល្ប៍ពេញនិយម ធនធានអ៊ីនធឺណិត;

ការសិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តី;

ការជ្រើសរើសជួរនៃកិច្ចការដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាមមួយ;

ការសង្កេត ការប្រៀបធៀប ការវិភាគ ការប្រៀបធៀប។

រយៈពេលសិក្សា : 3 ខែ: ខែមករា - មីនា 2016

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្រ យើងអាននិយមន័យខាងក្រោមនៃប្រលេឡូក្រាម៖ ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាបួនជ្រុងដែលភាគីទល់មុខស្របគ្នាជាគូ។

ពាក្យ "ប៉ារ៉ាឡែល" ត្រូវបានបកប្រែជា "បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល" (ពីពាក្យក្រិក Parallelos - ប៉ារ៉ាឡែលនិង gramme - បន្ទាត់) ពាក្យនេះត្រូវបានណែនាំដោយ Euclid ។ នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ The Elements Euclid បានបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមនៃប្រលេឡូក្រាម៖ ជ្រុងទល់មុខ និងមុំនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នា ហើយអង្កត់ទ្រូងកាត់វា។ Euclid មិននិយាយអំពីចំណុចប្រសព្វនៃប្រលេឡូក្រាមទេ។ មានតែនៅចុងបញ្ចប់នៃយុគសម័យកណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ទ្រឹស្តីពេញលេញនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយមានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ ទ្រឹស្តីបទប៉ារ៉ាឡែលបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ អ៊ីគ្លីដ លើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម។

III លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអំពីធរណីមាត្រ មានតែ 2 លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាមប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

មុំទល់មុខនិងជ្រុងស្មើគ្នា

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វ ហើយចំនុចប្រសព្វត្រូវបានប្រសព្វ

នៅក្នុងប្រភពផ្សេងៗនៃធរណីមាត្រ លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមខាងក្រោមអាចត្រូវបានរកឃើញ៖

ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នានៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 180 0

មុំ bisector នៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា;

Bisectors នៃមុំទល់មុខនៃ parallelogram មួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល;

Bisectors នៃមុំជាប់គ្នានៃ parallelogram ប្រសព្វនៅមុំខាងស្តាំ;

bisectors នៃមុំទាំងអស់នៃ parallelogram មួយបង្កើតជាចតុកោណនៅពេលដែលពួកគេប្រសព្វគ្នា;

ចំងាយពីជ្រុងផ្ទុយនៃប្រលេឡូក្រាមទៅមួយ ហើយអង្កត់ទ្រូងដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។

ប្រសិនបើអ្នកភ្ជាប់ចំនុចកំពូលទល់មុខក្នុងប្រលេឡូក្រាមជាមួយចំនុចកណ្តាលនៃភាគីទល់មុខ អ្នកនឹងទទួលបានប្រលេឡូក្រាមផ្សេងទៀត។

ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងពីរដងនៃផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងដែលនៅជាប់របស់វា។

បើយើងគូរកម្ពស់ពីមុំផ្ទុយគ្នាពីរក្នុងប្រលេឡូក្រាម យើងទទួលបានចតុកោណ។

IV ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម

ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នានៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 180 0

បានផ្តល់ឱ្យ:

ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម

បញ្ជាក់៖

ក+
ខ =

ភស្តុតាង៖

ក និង
ខ - ជ្រុងម្ខាងខាងក្នុងដែលមានបន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នា BC AD និង secant AB ដូច្នេះ
ក+
ខ =

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD - ប្រលេឡូក្រាម

AK-bisector
ប៉ុន្តែ

បញ្ជាក់៖ AVK - isosceles

ភស្តុតាង៖

1)
1=
៣ (និយាយឆ្លងជាមួយ BC AD និង secant AK),

2)
2=
3 ព្រោះ AK ជា bisector,

មានន័យថា 1 =
2.

3) ABK គឺជា isosceles ដោយសារតែ 2 មុំនៃត្រីកោណមួយគឺស្មើគ្នា

. មុំ bisector នៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា។

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម

AK គឺជាផ្នែកនៃ A

СР គឺជាផ្នែកនៃ C.

បញ្ជាក់៖ AK ទ.រ

ភស្តុតាង៖

1) 1=2 ចាប់តាំងពី AK-bisector

2) 4=5 ពីព្រោះ SR - វិស័យ

3) 3=1 (មុំឆ្លងកាត់នៅ

BC, AD និង AK-secant),

4) A \u003d C (តាមលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម) ដែលមានន័យថា 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d ៥.

4) ពីកថាខណ្ឌទី 3 និងទី 4 វាធ្វើតាមថា 1 = 4 ហើយមុំទាំងនេះត្រូវគ្នាជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ AK និង SR និង secant BC ។

ដូច្នេះ AK Join SR (ផ្អែកលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល)

. Bisectors នៃមុំទល់មុខនៃ parallelogram ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល

Bisectors នៃមុំនៅជាប់គ្នានៃ parallelogram ប្រសព្វនៅមុំខាងស្តាំ

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD - ប្រលេឡូក្រាម

AC bisector A,

DP-bisector ឃ

បញ្ជាក់៖ DP AK

ភស្តុតាង៖

1) 1=2 ពីព្រោះ អេក - ប៊ីសក័រ

អនុញ្ញាតឱ្យ 1=2=x បន្ទាប់មក A=2x,

2) 3=4 ពីព្រោះ D P - វិស័យ

អនុញ្ញាតឱ្យ 3=4=y បន្ទាប់មក D=2y

3) A + D \u003d 180 0 ពីព្រោះ ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នានៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 180

2) ពិចារណា អូឌី

1 + 3 = 90 0 បន្ទាប់មក
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. bisectors នៃមុំទាំងអស់នៃ parallelogram បង្កើតជាចតុកោណនៅពេលដែលវាប្រសព្វគ្នា

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD - ប្រលេឡូក្រាម AK-bisector A,

DP-bisector D,

CM គឺជាផ្នែកនៃ C,

BF -bisector នៃ B ។

បញ្ជាក់៖ KRNS -ចតុកោណ

ភស្តុតាង៖

ផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិមុន 8=7=6=5=90 0 ,

មានន័យថា KRNS គឺជាចតុកោណ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD-parallelogram, AC-អង្កត់ទ្រូង។

VC AU D.P. AC

បញ្ជាក់៖ BK=DP

ភស្តុតាង៖ 1) DCP \u003d KAB ជាផ្នែកខាងក្នុងដែលស្ថិតនៅត្រង់ AB បង់ CD និង secant AC ។

2) AKB= CDP (តាមចំហៀង និងជ្រុងពីរនៅជាប់នឹងវា AB=CD CD P=AB K)។

ហើយនៅក្នុងត្រីកោណស្មើគ្នា ភាគីដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះ DP \u003d BK ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖ប៉ារ៉ាឡែល ABCD ។

បញ្ជាក់៖ VKDP គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង៖

1) BP=KD (AD=BC ពិន្ទុ K និង P

បំបែកភាគីទាំងនេះ)

2) BP มิติ KD (កុហកនៅលើ AD BC)

ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃបួនជ្រុងស្មើគ្នានិងស្របគ្នា នោះបួនជ្រុងនេះជាប៉ារ៉ាឡែល។

បើយើងគូរកម្ពស់ពីមុំផ្ទុយគ្នាពីរក្នុងប្រលេឡូក្រាម យើងទទួលបានចតុកោណ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។ BD និង AC គឺជាអង្កត់ទ្រូង។

បញ្ជាក់៖ AC 2 + ប៊ី.ឌី 2 =2(AB 2 + AD 2 )

ភស្តុតាង៖ 1)សួរ៖ AC ²=
+

2)ខ រឃ : BD 2 = ខ រ 2 + ទំឃ 2 (យោងតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ)

3) AC ²+ BD ²=SC²+ក K²+ខ Р²+Рឃ ²

4) SK = BP = H(កម្ពស់ )

5) AC 2 + វឃ 2 = ហ 2 + ក ទៅ 2 + ហ 2 + ភីឃ 2

6) អនុញ្ញាតឱ្យ ឃ K=ក P=xបន្ទាប់មក គ ទៅឃ : ហ 2 = ស៊ីឌី 2 - X 2 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ )

7) AC²+Bឃ ² = គឃ 2 - x²+ AK 1 ²+ ស៊ីឌី 2 -X 2 + ភីឃ 2 ,

AC²+Vឃ ²=2Cឃ 2 -2x 2 + ក ទៅ 2 + ភីឃ 2

៨) ក ទៅ=AD+ X, រD=AD- X,

AC²+Vឃ ² = 2ស៊ីឌី 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ អេឃ²=2 ពីឃ²-២ X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -២ គ.ស X+ X 2 ,
AC²+ អេD² = 2 ស៊ីឌី 2 +2AD 2 =2(ស៊ីឌី 2 + AD 2 ).

វ . ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ

ចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors នៃមុំពីរនៃ parallelogram នៅជាប់នឹងម្ខាងជាកម្មសិទ្ធិរបស់ភាគីផ្ទុយ។ ផ្នែកខ្លីជាងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 5 . ស្វែងរកផ្នែកធំរបស់គាត់។

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម

អេក - ប៊ីសក័រ
ប៉ុន្តែ

ឃ K - វិស័យ
D, AB=5

ស្វែងរក៖ ព្រះអាទិត្យ

ដំណោះស្រាយ

ដោយសារតែ អេក - ប៊ីសក័រ
A បន្ទាប់មក ABC គឺជា isosceles ។

ដោយសារតែ ឃ K - វិស័យ
ឃ, បន្ទាប់មក DCK - isosceles

DC \u003d C K \u003d ៥

បន្ទាប់មក VS=VK+SK=5+5=10

ចម្លើយ៖ ១០

2. ស្វែងរកបរិវេណនៃប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើ bisector នៃមុំមួយរបស់វាបែងចែកផ្នែកម្ខាងនៃ parallelogram ទៅជាចម្រៀក 7 សង់ទីម៉ែត្រ និង 14 សង់ទីម៉ែត្រ។

1 ករណី

បានផ្តល់ឱ្យ៖
ប៉ុន្តែ

VK = 14 សង់ទីម៉ែត្រ KS = 7 សង់ទីម៉ែត្រ

ស្វែងរក៖ R ប៉ារ៉ាឡែល

ដំណោះស្រាយ

BC=VK+KS=14+7=21 (សង់ទីម៉ែត្រ)

ដោយសារតែ អេក - ប៊ីសក័រ
A បន្ទាប់មក ABC គឺជា isosceles ។

AB = BK = 14 សង់ទីម៉ែត្រ

បន្ទាប់មក P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

កើតឡើង

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម

ឃ K - វិស័យ
ឃ

VK = 14 សង់ទីម៉ែត្រ KS = 7 សង់ទីម៉ែត្រ

ស្វែងរក: R ប៉ារ៉ាឡែល

ដំណោះស្រាយ

BC=VK+KS=14+7=21 (សង់ទីម៉ែត្រ)

ដោយសារតែ ឃ K - វិស័យ
ឃ, បន្ទាប់មក DCK - isosceles

DC \u003d C K \u003d ៧

បន្ទាប់មក P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

ចម្លើយ៖ 70 សង់ទីម៉ែត្រ ឬ 56 សង់ទីម៉ែត្រ

3. ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមមាន 10 សង់ទីម៉ែត្រ និង 3 សង់ទីម៉ែត្រ ប្រឡោះនៃមុំពីរនៅជាប់នឹងផ្នែកធំជាង បែងចែកផ្នែកទល់មុខជាបីចម្រៀក។ ស្វែងរកផ្នែកទាំងនេះ។

១ករណី៖ bisectors ប្រសព្វគ្នានៅខាងក្រៅប៉ារ៉ាឡែល

បានផ្តល់ឱ្យ៖ ABCD - ប្រលេឡូក្រាម AK - bisector
ប៉ុន្តែ

ឃ K - វិស័យ
ឃ, AB = 3 សង់ទីម៉ែត្រ, BC = 10 សង់ទីម៉ែត្រ

ស្វែងរក៖ BM, MN, NC

ដំណោះស្រាយ

ដោយសារតែ AM - វិស័យ
ហើយបន្ទាប់មក AVM គឺជា isosceles ។

ដោយសារតែ DN - វិស័យ
ឃ, បន្ទាប់មក DCN - isosceles

DC=CN=3

បន្ទាប់មក MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 សង់ទីម៉ែត្រ

២ ករណី៖ bisectors ប្រសព្វគ្នានៅខាងក្នុងប៉ារ៉ាឡែលមួយ។

ដោយសារតែ អាន - វិស័យ
A បន្ទាប់មក ABN គឺជា isosceles ។

AB=Bន = 3 ឃ

និងក្រឡាចត្រង្គរអិល - ផ្លាស់ទីទៅចម្ងាយដែលត្រូវការនៅក្នុងមាត់ទ្វារ

យន្តការប៉ារ៉ាឡែល- យន្តការតំណបួន តំណភ្ជាប់ដែលបង្កើតជាប្រលេឡូក្រាម។ វាត្រូវបានប្រើដើម្បីអនុវត្តចលនាបកប្រែនៃយន្តការ hinged ។

Parallelogram ជាមួយតំណថេរ- តំណមួយគឺគ្មានចលនា, មួយផ្ទុយគ្នាធ្វើឱ្យមានចលនារញ្ជួយ, នៅសល់ស្របទៅនឹងមួយគ្មានចលនា។ ប៉ារ៉ាឡែលពីរភ្ជាប់មួយនៅពីក្រោយមួយទៀត ផ្តល់តំណភ្ជាប់ចុងក្រោយពីរដឺក្រេនៃសេរីភាព ដោយទុកវាឱ្យស្របទៅនឹងសញ្ញាថេរ។

ឧទាហរណ៍៖ ប្រដាប់ជូតកញ្ចក់ឡានក្រុង ឡានដឹកទំនិញ ជើងកាមេរ៉ា ធ្នើរព្យួរឡាន។

Parallelogram ជាមួយ hinge ថេរ- ទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានប្រើដើម្បីរក្សាសមាមាត្រថេរនៃចម្ងាយរវាងចំណុចបី។ ឧទាហរណ៍៖ គំនូរ pantograph - ឧបករណ៍សម្រាប់ធ្វើមាត្រដ្ឋានគំនូរ។

ផ្ការំដួល- តំណភ្ជាប់ទាំងអស់មានប្រវែងដូចគ្នា វិធីសាស្រ្ត (ការចុះកិច្ចសន្យា) នៃ hinges ផ្ទុយគ្នានាំទៅដល់ការពង្រីកនៃ hinges ពីរផ្សេងទៀត។ តំណភ្ជាប់ទាំងអស់ដំណើរការនៅក្នុងការបង្ហាប់។

ឧទាហរណ៍គឺដុំពេជ្ររបស់រថយន្ត, ផ្ទាំងរូបរថក្រោះ។

កន្ត្រៃឬ យន្តការរាងអក្សរ Xត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជា កន្ត្រៃ Nuremberg- វ៉ារ្យ៉ង់នៃ rhombus - តំណភ្ជាប់ពីរភ្ជាប់នៅកណ្តាលដោយ hinge មួយ។ គុណសម្បត្តិនៃយន្តការគឺការបង្រួមនិងភាពសាមញ្ញគុណវិបត្តិគឺវត្តមាននៃការរអិលពីរ។ យន្តការបែបនេះពីរ (ឬច្រើន) ដែលភ្ជាប់គ្នាជាស៊េរី បង្កើតជារាងមូល (s) នៅកណ្តាល។ វាត្រូវបានគេប្រើក្នុងការលើកឡើងរបស់ក្មេងលេង។

VII សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ដែលចូលប្រឡូកក្នុងគណិតវិទ្យាតាំងពីកុមារភាព។

គាត់អភិវឌ្ឍការយកចិត្តទុកដាក់ បណ្តុះបណ្តាលខួរក្បាលរបស់គាត់

ឆន្ទៈផ្ទាល់ខ្លួន បណ្តុះការតស៊ូ

និងភាពអត់ធ្មត់ក្នុងការសម្រេចគោលដៅ

A. Markushevich

នៅក្នុងដំណើរការការងារ ខ្ញុំបានបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម។

ខ្ញុំជឿជាក់ថាដោយការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាបានលឿនជាងមុន។

ខ្ញុំបានបង្ហាញពីរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្តលើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់។

ខ្ញុំបានរៀនច្រើនអំពីប្រលេឡូក្រាមដែលមិនមាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្ររបស់យើង។

ខ្ញុំត្រូវបានគេជឿជាក់ថាចំណេះដឹងនៃធរណីមាត្រមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងជីវិតដោយឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម។

គោលបំណងនៃការងារស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំត្រូវបានសម្រេច។

សារៈសំខាន់នៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការពិតដែលថារង្វាន់មួយត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់អ្នកដែលបានបោះពុម្ពសៀវភៅអំពីមនុស្សម្នាក់ដែលបានរស់នៅពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ដោយគ្មានជំនួយពីគណិតវិទ្យា។ រហូតមកដល់ពេលនេះ គ្មាននរណាម្នាក់ទទួលបានពានរង្វាន់នេះទេ។

VIII អក្សរសិល្ប៍