របៀបដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងគណិតវិទ្យា។ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍វិធីសាស្ត្រ Vieta សមីការបួនជ្រុង

នៅពេលសិក្សាវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា សូមពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសដែលទទួលបាន។ ឥឡូវនេះពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

សមីការ​ការ៉េ

សមីការលំដាប់ទីពីរគឺជាសមភាព ដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបថតខាងក្រោម។

នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញា a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួនដែលត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមភាព អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ x ដែលធ្វើឱ្យវាពិត។

ចំណាំថាចាប់តាំងពីតម្លៃអតិបរមានៃថាមពលដែល x ត្រូវបានលើកឡើងគឺពីរ នោះចំនួនឫសនៅក្នុងករណីទូទៅក៏មានពីរផងដែរ។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមភាពប្រភេទនេះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់អ្វីដែលគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ Vieta

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 16 គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Francois Viet (ជនជាតិបារាំង) បានកត់សម្គាល់ដោយវិភាគលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនៃសមីការការ៉េផ្សេងៗថា បន្សំជាក់លាក់នៃពួកវាបំពេញនូវទំនាក់ទំនងជាក់លាក់។ ជាពិសេស បន្សំទាំងនេះគឺជាផលិតផល និងផលបូករបស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta បង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ នៅពេលដែលបូកសរុប ផ្តល់សមាមាត្រនៃមេគុណលីនេអ៊ែរទៅមេគុណការ៉េដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានគុណ ពួកវានាំទៅរកសមាមាត្រនៃពាក្យសេរីទៅមេគុណបួនជ្រុង។ .

ប្រសិនបើទម្រង់ទូទៅនៃសមីការត្រូវបានសរសេរដូចដែលវាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបថតនៅក្នុងផ្នែកមុននៃអត្ថបទ នោះតាមគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាសមភាពពីរ៖

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d គ / ក។

ដែល r 1 , r 2 គឺជាតម្លៃនៃឫសនៃសមីការដែលបានពិចារណា។

សមភាពទាំងពីរនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាខុសៗគ្នាជាច្រើន។ ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោមនៃអត្ថបទ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសាកល្បងឫសដែលបានរកឃើញរួចហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរកឃើញឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ដើម្បីគណនាតម្លៃ \(p\ ) និង \\ ( q ) ។ ហើយប្រសិនបើពួកវាប្រែជាដូចនៅក្នុងសមីការដើម នោះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើ ដោះស្រាយសមីការ \(x^2+x-56=0\) និងទទួលបានឫស៖ \(x_1=7\), \(x_2=-8\) ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងមានកំហុសក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយដែរឬទេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង \(p=1\) និង \(q=-56\) ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \\cdot x_2=q\end(cases)\) \\(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរបានបញ្ចូលគ្នា ដែលមានន័យថា យើងបានដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។

ការធ្វើតេស្តនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្ទាល់មាត់។ វានឹងចំណាយពេល 5 វិនាទី ហើយជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

ប្រសិនបើ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) បន្ទាប់មក \(x_1\) និង \(x_2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ \ (x^2+px+q=0\) ។

ឬតាមរបៀបសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការនៃទម្រង់ \(x^2+px+q=0\) បន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ \\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \\ cdot x_2=q\ end (cases)\) អ្នកនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។

សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាពិសេសប្រសិនបើឫសទាំងនេះមាន។ ជំនាញនេះមានសារៈសំខាន់ព្រោះវាចំណេញពេលវេលាច្រើន។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(x^2-5x+6=0\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស យើងទទួលបានថាឫសបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) ។
សូមមើលសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ \(x_1 \cdot x_2=6\) ។ តើ​លេខ​ពីរ​អាច​រលាយ​ទៅ​ជា \(6\)? នៅលើ \(2\) និង \(3\), \(6\) និង \(1\) ឬ \(-2\) និង \(-3\) និង \(-6\) និង \(- មួយ\) ហើយគូណាដែលត្រូវជ្រើសរើស សមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រាប់៖ \(x_1+x_2=5\)។ \(2\) និង \(3\) គឺស្រដៀងគ្នា ពីព្រោះ \(2+3=5\) ។
ចម្លើយ ៖ \(x_1=2\), \(x_2=3\) ។

ឧទាហរណ៍ . ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ច្រាសរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖
ក) \(x^2-15x+14=0\); ខ) \(x^2+3x-4=0\); គ) \(x^2+9x+20=0\); ឃ) \\(x^2-88x+780=0\) ។

ដំណោះស្រាយ :
ក) \(x^2-15x+14=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(14\) រលាយទៅជា? \(2\) និង \(7\), \(-2\) និង \(-7\), \(-1\) និង \(-14\), \(1\) និង \(14\ ) តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(15\)? ចម្លើយ៖ \(1\) និង \(14\) ។

ខ) \(x^2+3x-4=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(-4\) រលាយ? \(-2\) និង \(2\), \(4\) និង \(-1\), \(1\) និង \(-4\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៣\)? ចម្លើយ៖ \(១\) និង \(-៤\) ។

គ) \(x^2+9x+20=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(20\) រលាយ? \(4\) និង \(5\), \(-4\) និង \(-5\), \(2\) និង \(10\), \(-2\) និង \(-10\) ), \(-20\) និង \(-1\), \(20\) និង \(1\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៩\)? ចម្លើយ៖ \(-៤\) និង \(-៥\) ។

ឃ) \(x^2-88x+780=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(780\) រលាយ? \(390\) និង \(2\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? ទេ តើ \(780\) មានមេគុណអ្វីទៀត? \(78\) និង \(10\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? បាទ។ ចម្លើយ៖ \(78\) និង \(10\) ។

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងពាក្យចុងក្រោយទៅជាកត្តាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ \(-p\) ដែរឬទេ។

សំខាន់!ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំណើរការតែជាមួយ ពោលគឺមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\) ស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើដំបូងយើងមានសមីការមិនកាត់បន្ថយ នោះយើងអាចកាត់បន្ថយបានដោយគ្រាន់តែបែងចែកដោយមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\)។

ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ \(2x^2-4x-6=0\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយយើងចង់ប្រើទ្រឹស្តីបទមួយរបស់ Vieta ។ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចទេ ព្រោះមេគុណមុន \(x^2\) ស្មើនឹង \(2\)។ ចូរកម្ចាត់វាដោយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយ \(2\) ។

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\\(x^2-2x-3=0\)

រួចរាល់។ ឥឡូវនេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទទាំងពីរ។

ចម្លើយចំពោះសំណួរដែលគេសួរញឹកញាប់

សំណួរ៖ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តើអ្នកអាចដោះស្រាយបានទេ?
ចម្លើយ៖ ជាអកុសលទេ។ ប្រសិនបើមិនមានចំនួនគត់នៅក្នុងសមីការ ឬសមីការមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់ នោះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមិនអាចជួយបានទេ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើ រើសអើង . ជាសំណាងល្អ 80% នៃសមីការនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់។

នៅថ្នាក់ទីប្រាំបី សិស្សត្រូវបានណែនាំអំពីសមីការបួនជ្រុង និងរបៀបដោះស្រាយវា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ដូចដែលបទពិសោធន៍បានបង្ហាញ សិស្សភាគច្រើនប្រើវិធីតែមួយគត់នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ - រូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ សម្រាប់សិស្សដែលមានជំនាញរាប់ផ្ទាល់មាត់ល្អ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមិនសមហេតុផលច្បាស់លាស់។ ជារឿយៗសិស្សត្រូវដោះស្រាយសមីការ quadratic នៅវិទ្យាល័យ ហើយនៅទីនោះ វាគ្រាន់តែជាការអាណិតមួយក្នុងការចំណាយពេលវេលាក្នុងការគណនាអ្នករើសអើង។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ នៅពេលសិក្សាសមីការបួនជ្រុង ពេលវេលា និងការយកចិត្តទុកដាក់បន្ថែមទៀតគួរតែត្រូវបានបង់ទៅលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Vieta (យោងទៅតាមកម្មវិធីរបស់ A.G. Mordkovich Algebra-8 មានតែពីរម៉ោងប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានគ្រោងនឹងសិក្សាលើប្រធានបទ "ទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ ការរលួយនៃ trinomial ការ៉េទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ”) ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតភាគច្រើន ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ ហើយនិយាយថា ប្រសិនបើសមីការមានឫសគល់ ហើយ នោះពួកគេបំពេញសមភាព។បន្ទាប់មក សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ជូនដើម្បីធ្វើការលើប្រធានបទនេះ។

ចូរយកឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ និងតាមដានតក្កវិជ្ជានៃដំណោះស្រាយលើពួកវាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ។

ឧបមាថាសមីការនេះមានឫសគល់ ពោលគឺ និង . បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ភាពស្មើគ្នា

ចំណាំថាផលិតផលនៃឫសគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការមានសញ្ញាដូចគ្នា។ ហើយដោយសារផលបូកនៃឫសក៏ជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ នោះយើងសន្និដ្ឋានថាឫសទាំងពីរនៃសមីការគឺវិជ្ជមាន។ ចូរយើងត្រលប់ទៅផលិតផលនៃឫស។ សន្មត់ថាឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកសមភាពដំបូងដែលត្រឹមត្រូវអាចទទួលបានតាមពីរវិធី (តាមលំដាប់នៃកត្តា): ឬ . ចូរយើងពិនិត្យមើលសម្រាប់គូលេខដែលបានស្នើឡើង លទ្ធភាពនៃការអះអាងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ . ដូច្នេះ លេខ 2 និង 3 បំពេញសមភាពទាំងពីរ ដូច្នេះហើយជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ ២; ៣.

យើងបែងចែកដំណាក់កាលសំខាន់ៗនៃការវែកញែកនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta៖

សរសេរការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

(*)

• កំណត់សញ្ញានៃឫសនៃសមីការ (ប្រសិនបើផលិតផល និងផលបូកនៃឫសគឺវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើផលិតផលនៃឫសគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយផលបូកនៃឫសគឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក ឫសទាំងពីរគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើផលគុណនៃឫសគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ម្យ៉ាងទៀត ប្រសិនបើផលបូកនៃឫសគឺវិជ្ជមាន នោះឫសដែលមានម៉ូឌុលធំជាងគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើ ផលបូកនៃឫសគឺតិចជាងសូន្យបន្ទាប់មកឫសដែលមានម៉ូឌុលធំជាងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន);
• ជ្រើសរើសគូនៃចំនួនគត់ដែលផលិតផលផ្តល់សមភាពដំបូងត្រឹមត្រូវក្នុងសញ្ញាណ (*);
• ពីចំនួនគូដែលបានរកឃើញ សូមជ្រើសរើសគូដែលនៅពេលជំនួសដោយសមភាពទីពីរក្នុងសញ្ញាណ (*) នឹងផ្តល់សមភាពត្រឹមត្រូវ;
• ចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងចម្លើយនូវឫសគល់នៃសមីការ។

សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។

ឧទាហរណ៍ទី 2: ដោះស្រាយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ចំណាំថាផលិតផលគឺវិជ្ជមាន ហើយផលបូកគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះឫសទាំងពីរគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ យើងជ្រើសរើសគូនៃកត្តាដែលផ្តល់ឱ្យផលិតផលនៃ 10 (-1 និង -10; -2 និង -5) ។ លេខគូទីពីរបន្ថែមដល់ -7 ។ ដូច្នេះលេខ -2 និង -5 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ចម្លើយ៖ -2; -5.

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ចំណាំថាផលិតផលគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះឫសមានសញ្ញាខុសគ្នា។ ផលបូកនៃឫសក៏ជាលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ដូច្នេះឫសដែលមានម៉ូឌុលធំបំផុតគឺអវិជ្ជមាន។ យើងជ្រើសរើសគូនៃកត្តាដែលផ្តល់ឱ្យផលិតផល -10 (1 និង -10; 2 និង -5) ។ លេខគូទីពីរបន្ថែមដល់ -3 ។ ដូច្នេះលេខ 2 និង -5 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ចម្លើយ៖ 2; -5.

ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ជាគោលការណ៍អាចត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ៖ ប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសគល់ ហើយបន្ទាប់មកពួកគេបំពេញនូវសមភាព។ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះគឺមានបញ្ហាជាង ព្រោះនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញ យ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយ (ប្រសិនបើមាន) គឺជាចំនួនប្រភាគ។ ហើយការធ្វើការជាមួយការជ្រើសរើសប្រភាគគឺវែងនិងពិបាក។ ប៉ុន្តែនៅតែមានផ្លូវចេញ។

ពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ . គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណទីមួយ កហើយសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ . យើងណែនាំអថេរថ្មី និងទទួលបានសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ ដែលឫសរបស់វា និង (ប្រសិនបើមាន) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការដើមនឹងមាន។ ចំណាំថាវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការសរសេរសមីការកាត់បន្ថយជំនួយ៖ មេគុណទីពីរត្រូវបានរក្សាទុក ហើយមេគុណទីបីគឺស្មើនឹងផលិតផល អាត់. ជាមួយនឹងជំនាញជាក់លាក់មួយ សិស្សបង្កើតសមីការជំនួយភ្លាមៗ ស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta និងចង្អុលបង្ហាញឫសគល់នៃសមីការពេញលេញដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយសមីការ .

តោះបង្កើតសមីការជំនួយ ហើយតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងរកឃើញឫសរបស់វា។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើម .

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយសមីការ .

សមីការជំនួយមានទម្រង់។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ឫសរបស់វាគឺ . យើងរកឃើញឫសនៃសមីការដើម .

ចម្លើយ៖ .

ហើយករណីមួយទៀតនៅពេលដែលការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកពាក្យសំដីនៃសមីការការ៉េពេញលេញ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ លេខ 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ , ប្រសិនបើនិងប្រសិនបើ. ឫសទីពីរនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ហើយស្មើនឹង . សេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយទៀត៖ ដូច្នេះលេខ -1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់. បន្ទាប់មកឫសទីពីរនៃសមីការយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺស្មើនឹង . សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។

ឧទាហរណ៍ 6. ដោះស្រាយសមីការ។

ចំណាំថាផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការគឺសូន្យ។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការ .

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ 7. ដោះស្រាយសមីការ។

មេគុណនៃសមីការនេះពេញចិត្តនឹងទ្រព្យសម្បត្តិ (ជាការពិត 1-(-999)+(-1000)=0)។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការ .

ចម្លើយ៖ ..

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

កិច្ចការ 1. ដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

កិច្ចការទី 2. ដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយជំនួយ។

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

កិច្ចការទី 3. ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ។

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។

គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖

1 . ដោយ​ការ​អនុវត្ត​រូបមន្ត អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​បាន​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។

2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។

3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសដោយខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។

4 . យោងតាមឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការ quadratic នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។

5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។

គុណវិបត្តិ៖

1 . រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ថ្នាក់ទី ៨

រូបមន្ត
ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 បន្ទាប់មក៖

ឧទាហរណ៍
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ។

P = -2, q = −3 ។

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = −1 3 = −3 = q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស

រូបមន្ត
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2, p, q ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖

បន្ទាប់មក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 + px + q = 0 ។

ឧទាហរណ៍
ចូរបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដោយឫសរបស់វា៖

X 1 \u003d 2 -? 3 និង x 2 \u003d 2 +? ៣.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d ១.

សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ x 2 − 4x + 1 = 0 ។

នៅក្នុងការបង្រៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ពីទំនាក់ទំនងដែលចង់ដឹងចង់ឃើញរវាងឫសនៃសមីការការ៉េ និងមេគុណរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Viet (1540-1603)។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 ដោយមិនបានរកឃើញឫសរបស់វា អ្នកអាចដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ភ្លាមៗនិយាយថា ផលបូកនៃឫសគឺ ហើយផលនៃឫសគឺ
i.e. - 2. ហើយសម្រាប់សមីការ x 2 - 6x + 8 \u003d 0 យើងសន្និដ្ឋាន៖ ផលបូកនៃឫសគឺ 6 ផលិតផលនៃឫសគឺ 8; ដោយវិធីនេះវាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាតើឫសអ្វីស្មើនឹង: 4 និង 2 ។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c \u003d 0 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ដែល D \u003d b 2 - 4ac គឺជាអ្នករើសអើងនៃសមីការ។ ចាក់ឬសទាំងនេះ
យើង​ទទួល​បាន

ឥឡូវនេះយើងគណនាផលិតផលនៃឫស x 1 និង x 2 យើងមាន

ទំនាក់ទំនងទីពីរត្រូវបានបង្ហាញ៖
មតិយោបល់។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលសមីការការ៉េមានឫសមួយ (នោះគឺនៅពេលដែល D \u003d 0) វាគ្រាន់តែថាក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានចាត់ទុកថាសមីការមានឫសដូចគ្នាពីរដែលទំនាក់ទំនងខាងលើត្រូវបានអនុវត្ត។ .
ទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + px + q \u003d 0 យកទម្រង់សាមញ្ញពិសេស។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta មនុស្សម្នាក់ក៏អាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមអោយ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 ។ បន្ទាប់មក

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលបំណងសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺមិនមែនថាវាបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងជាក់លាក់រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការបួនជ្រុងនោះទេ។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតនោះគឺថា ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នោះ រូបមន្តសម្រាប់បង្កើតត្រីកោណមាត្រការ៉េត្រូវបានចេញ ដោយគ្មានអ្វីដែលយើងនឹងមិនធ្វើនៅពេលអនាគត។

ភស្តុតាង។ យើង​មាន

ឧទាហរណ៍ ១. ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េ 3x 2 - 10x + 3 ។
ដំណោះស្រាយ។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការ Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន

វាសមហេតុផលជំនួសឱ្យការសរសេរ Zx − 1។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន Zx 2 - 10x + 3 = (x − 3) (3x − 1) ។
ចំណាំថា ត្រីកោណការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានកត្តាដោយមិនប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម៖

Zx 2 − 10x + 3 = Zx 2 − 9x − x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1) ។

ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះជោគជ័យគឺអាស្រ័យលើថាតើយើងអាចស្វែងរកក្រុមជោគជ័យបានឬអត់ ខណៈពេលដែលវិធីសាស្ត្រដំបូងជោគជ័យត្រូវបានធានា។
ឧទាហរណ៍ ១. កាត់បន្ថយប្រភាគ

ដំណោះស្រាយ។ ពីសមីការ 2x 2 + 5x + 2 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = − 2,

ពីសមីការ x2 − 4x − 12 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = 6, x 2 = −2 ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2) ។
ឥឡូវនេះយើងកាត់បន្ថយប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. ធ្វើ​ជា​កត្តា​កន្សោម៖
ក) x4 + 5x 2 +6; ខ) 2x+-3
ដំណោះស្រាយ ក) យើងណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ជាត្រីកោណការ៉េដោយគោរពទៅនឹងអថេរ y ពោលគឺក្នុងទម្រង់ y 2 + bу + 6 ។
ដោយបានដោះស្រាយសមីការ y 2 + bу + 6 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3 ។ ឥឡូវនេះយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 2; យើង​ទទួល​បាន

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3) ។
វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d x 2, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3) ។
ខ) សូមណែនាំអថេរថ្មី y = . វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កន្សោម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​អថេរ y គឺ​ក្នុង​ទម្រង់ 2y 2 + y - 3 ។ ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ
2y 2 + y - 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ 2y 2 + y - 3៖
y 1 = 1, y 2 = ។ លើសពីនេះទៀតដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន:

វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ

ផ្នែកនេះបញ្ចប់ដោយការពិចារណាមួយចំនួន ភ្ជាប់ម្តងទៀតជាមួយទ្រឹស្តីបទ Vieta ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការអះអាងផ្ទុយគ្នា៖
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2 គឺដូចជា x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q នោះលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ
ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ ដោយមិនប្រើរូបមន្ត root ដ៏លំបាក ហើយថែមទាំងសរសេរសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

1) x 2 − 11x + 24 = 0. េនះ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ងាយស្មានថា x 1 = 8, x 2 = 3 ។

2) x 2 + 11x + 30 = 0. នៅទីនេះ x 1 + x 2 = −11, x 1 x 2 = 30. ងាយស្មានថា x 1 = −5, x 2 = −6 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យសេរីនៃសមីការគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

3) x 2 + x − 12 = 0. េនះ x 1 + x 2 = −1, x 1 x 2 = −12 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថា x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃនៃសមីការគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសគឺខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

4) 5x 2 + 17x − 22 = 0. ងាយមើលឃើញថា x = 1 បំពេញសមីការ i.e. x 1 \u003d 1 - ឫសគល់នៃសមីការ។ ចាប់តាំងពី x 1 x 2 \u003d - និង x 1 \u003d 1 យើងទទួលបាននោះ x 2 \u003d - ។

5) x 2 − 293x + 2830 = 0. េនេនះ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. េបើអនកយកចិត្តទុកដក់លើការពិតថា 2830 = 283 ។ 10 និង 293 \u003d 283 + 10 បន្ទាប់មកវាច្បាស់ថា x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ឥឡូវនេះស្រមៃមើលថាតើការគណនាអ្វីខ្លះនឹងត្រូវអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ) ។

6) ចូរបង្កើតសមីការការ៉េដើម្បីឱ្យលេខ x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 ដើរតួជាឫសគល់របស់វា។ ជាធម្មតានៅក្នុងករណីបែបនេះ ពួកវាបង្កើតជាសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 ។
យើងមាន x 1 + x 2 \u003d -p ដូច្នេះ 8 - 4 \u003d -p នោះគឺ p \u003d -4 ។ បន្ថែមទៀត x 1 x 2 = q, i.e. 8"(-4) = q, ពេលណាយើងទទួលបាន q = -32 ។ ដូច្នេះ p \u003d -4, q \u003d -32 ដែលមានន័យថាសមីការការ៉េដែលចង់បានមានទម្រង់ x 2 -4x-32 \u003d 0 ។