Пуассонның таралуы. Сирек кездесетін құбылыстар заңы. Дискретті кездейсоқ шаманың Пуассон үлестірімі Пуассон таралу ықтималдығы

Ықтималдық үлестірімдерінің әртүрлі түрлерінің ең көп тараған жағдайы биномдық үлестірім болып табылады. Тәжірибеде кездесетін үлестірудің ең көп тараған ерекше түрлерін анықтау үшін оның әмбебаптығын қолданайық.

Биномдық үлестірім

Бір оқиға болсын А. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тең б, А оқиғасының болмау ықтималдығы 1-ге тең б, кейде ретінде белгіленеді q. Болсын nсынақтар саны, мбұларда А оқиғасының пайда болу жиілігі nсынақтар.

Нәтижелердің барлық мүмкін комбинацияларының жиынтық ықтималдығы біреуге тең екені белгілі, яғни:

1 = б n + n · б n 1 (1 б) + C n n 2 · б n 2 (1 б) 2 + + C n м · б м· (1 б) n – м+ + (1 б) n .

б nықтималдығы nnбір рет; n · б n 1 (1 б) ықтималдығы nn 1) бір рет және 1 рет болмайды; C n n 2 · б n 2 (1 б) 2 ықтималдығы nсынақтар, А оқиғасы орын алады ( n 2) рет және 2 рет болмайды; П м = C n м · б м· (1 б) n – м ықтималдығы nсынақтар, А оқиғасы орын алады мешқашан болмайды ( n – м) бір рет; (1 б) nықтималдығы nсынақтарда А оқиғасы бір рет те болмайды; комбинацияларының саны nАвторы м .

Күтілетін мән Мбиномдық таралу мынаған тең:

М = n · б ,

Қайда nсынақтар саны, бА оқиғасының пайда болу ықтималдығы.

Стандартты ауытқу σ :

σ = sqrt( n · б· (1 б)) .

1-мысал. Ықтималдығы бар оқиғаның ықтималдығын есептеңіз б= 0,5, дюйм n= 10 сынақ болады м= 1 рет. Бізде бар: C 10 1 = 10 және одан әрі: П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Көріп отырғанымыздай, бұл оқиғаның орын алу ықтималдығы өте төмен. Бұл, біріншіден, оқиғаның болатыны немесе болмайтыны мүлдем анық еместігімен түсіндіріледі, өйткені ықтималдық 0,5 және бұл жерде мүмкіндіктер «50-ден 50-ге дейін»; екіншіден, оқиғаның оннан бір рет (көп емес, кем емес) болатынын есептеу талап етіледі.

2-мысал. Ықтималдығы бар оқиғаның ықтималдығын есептеңіз б= 0,5, дюйм n= 10 сынақ болады м= 2 рет. Бізде бар: C 10 2 = 45 және одан әрі: П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Бұл оқиғаның орын алу ықтималдығы артты!

3-мысал. Оқиғаның пайда болу ықтималдығын арттырайық. Мүмкіндігін арттырайық. Ықтималдығы бар оқиғаның ықтималдығын есептеңіз б= 0,8, дюйм n= 10 сынақ болады м= 1 рет. Бізде бар: C 10 1 = 10 және одан әрі: П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Ықтималдық бірінші мысалға қарағанда аз болды! Жауап, бір қарағанда, оғаш болып көрінеді, бірақ оқиғаның ықтималдығы айтарлықтай жоғары болғандықтан, оның тек бір рет болуы екіталай. Бұл бір емес, бірнеше рет болуы ықтимал. Шынымен, санау П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (оқиғаның ықтималдығы n= 10 сынақ 0, 1, 2, 3, , 10 рет болады), біз көреміз:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
П 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
П 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
П 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
П 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
П 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
П 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
П 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(ең жоғары ықтималдық!);
П 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
П 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Әрине П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Қалыпты таралу

Мөлшерін бейнелейтін болсақ П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10, біз 3-мысалда есептеген, графикте олардың таралуы қалыпты таралу заңына жақын пішінге ие болатыны (27.1-суретті қараңыз) (25-дәрісті қараңыз. Қалыпты таралған кездейсоқ шамаларды модельдеу).

Күріш. 27.1. Биномдық таралу түрі
p = 0,8, n = 10 кезінде әртүрлі m үшін ықтималдықтар

А оқиғасының пайда болу және болмау ықтималдылықтары шамамен бірдей болса биномдық заң қалыпты болады, яғни шартты түрде былай жаза аламыз: б≈ (1 б) . Мысалы, алайық n= 10 және б= 0,5 (яғни б= 1 б = 0.5 ).

Негізінде, біз, мысалы, бір күнде перзентханада дүниеге келген 10 баланың қанша ұл, қанша қыз болатынын теориялық тұрғыдан есептегіміз келсе, мұндай мәселеге келеміз. Дәлірек айтсақ, ұлдар мен қыздарды емес, тек ұлдардың туылу ықтималдығын, 1 ұл мен 9 қыздың туылуын, 2 ұл мен 8 қыздың туылуын және т.б. Қарапайымдылық үшін ұл мен қыздың болу ықтималдығы бірдей және 0,5-ке тең деп алайық (бірақ шынын айтсам, олай емес, «Жасанды интеллект жүйелерін модельдеу» курсын қараңыз).

Бөлу симметриялы болатыны анық, өйткені 3 ұл мен 7 қыздың болу ықтималдығы 7 ұл және 3 қыздың болу ықтималдығына тең. Туудың ең үлкен ықтималдығы 5 ұл және 5 қыз болады. Айтпақшы, бұл ықтималдық 0,25, абсолютті мәнде онша үлкен емес. Әрі қарай, бірден 10 немесе 9 ұл туылу ықтималдығы 10 баладан 5 ± 1 ұл туылу ықтималдығынан әлдеқайда аз. Биномдық үлестірім бізге бұл есептеуді жасауға көмектеседі. Сонымен.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
П 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
П 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
П 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
П 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
П 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
П 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
П 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
П 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Әрине П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Графиктегі шамаларды көрсетейік П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (27.2-суретті қараңыз).

Күріш. 27.2. Параметрлері бар биномдық таралу графигі
p = 0,5 және n = 10, оны қалыпты заңға жақындатады

Сонымен, шарттар бойынша м ≈ n/2 және б≈ 1 бнемесе бБиномдық үлестірімнің орнына ≈ 0,5 қалыпты таралуды қолдануға болады. Үлкен мәндер үшін nграфик оңға жылжиды және барған сайын тегіс болады, өйткені математикалық күту мен дисперсия өскен сайын артады n : М = n · б , D = n · б· (1 б) .

Айтпақшы, биномдық заң қалыпты және өсу үрдісіне ие n, бұл орталық шектік теорема бойынша әбден табиғи (34-дәрісті қараңыз. Статистикалық нәтижелерді жазу және өңдеу).

Енді биномдық заң қашан болған жағдайда қалай өзгеретінін қарастырыңыз б ≠ q, яғни б> 0. Бұл жағдайда қалыпты таралу гипотезасын қолдануға болмайды, ал биномдық үлестірім Пуассон үлестіріміне айналады.

Пуассонның таралуы

Пуассон үлестірімі биномдық үлестірімнің ерекше жағдайы болып табылады ( n>> 0 және кезінде б>0 (сирек оқиғалар)).

Биномдық үлестірімнің кез келген мүшесінің мәнін шамамен есептеуге мүмкіндік беретін формула математикадан белгілі:

Қайда а = n · б Пуассон параметрі (математикалық күту), ал дисперсия математикалық күтуге тең. Осы ауысуды түсіндіретін математикалық есептеулерді көрсетейік. Биномдық таралу заңы

П м = C n м · б м· (1 б) n – м

қойсаңыз жазылуы мүмкін б = а/n , түрде

Өйткені бөте аз болса, онда тек сандарды ескеру керек м, салыстырғанда аз n. Жұмыс

бірлікке өте жақын. Бұл өлшемге де қатысты

Магнитудасы

өте жақын e – а. Осыдан формуланы аламыз:

Мысал. Қорапта бар n= 100 бөлік, жоғары сапалы және ақаулы. Ақаулы өнімді алу ықтималдығы б= 0,01. Өнімді шығарып, ақауы бар ма, жоқ па, анықтап, қайта саламыз делік. Осылай жүріп өткен 100 өнімнің екеуі ақаулы болып шықты. Мұның ықтималдығы қандай?

Биномдық үлестірімнен мынаны аламыз:

Пуассон үлестірімінен біз мынаны аламыз:

Көріп отырғаныңыздай, мәндер жақын болып шықты, сондықтан сирек жағдайларда Пуассон заңын қолдану өте қолайлы, әсіресе ол аз есептеу күшін қажет етеді.

Пуассон заңының формасын графикалық түрде көрсетейік. Мысал ретінде параметрлерді алайық б = 0.05 , n= 10. Содан кейін:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
П 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
П 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
П 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
П 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
П 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
П 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
П 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
П 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
П 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
П 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Әрине П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Күріш. 27.3. Пуассон таралу графигі p = 0,05 және n = 10

Сағат n> ∞ Пуассон үлестірімі орталық шек теоремасы бойынша қалыпты заңға айналады (қараңыз.

Кіріспе

Ықтималдықтар теориясы – кездейсоқ құбылыстардағы заңдылықтарды зерттейтін математикалық ғылым. Бүгінгі күні бұл үлкен практикалық маңызы бар толыққанды ғылым.

Ықтималдықтар теориясының тарихы 17 ғасырдан басталады, сол кезде жаппай кездейсоқ құбылыстарға байланысты есептерді жүйелі түрде зерттеуге алғашқы талпыныстар жасалып, сәйкес математикалық аппарат пайда болды. Содан бері көптеген іргелі негіздер әзірленді және қазіргі тұжырымдамаларға тереңдетілді, басқа да маңызды заңдар мен заңдылықтар ашылды. Көптеген ғалымдар ықтималдықтар теориясының мәселелерімен айналысты және жұмыс істеп жатыр.

Олардың ішінде Джейкоб Бернуллиге қарағанда үлкен сандар заңының жалпы түрін дәлелдеген, сонымен қатар алғаш рет қолданылған Симеон Денис Пуассонның ((1781–1840) – француз математигі) еңбектеріне назар аударуға болмайды. есептерді шығару ықтималдығы теориясы. Пуассон атауы ықтималдықтар теориясында және оны қолдануда маңызды рөл атқаратын таралу заңдарының бірімен байланысты.

Белгілі бір кездейсоқ оқиғаның уақыт бірлігінде пайда болу саны, бұл оқиғаның берілген тәжірибеде пайда болу фактісі оның өткен уақытта қанша рет және уақыттың қандай нүктелерінде болғанына байланысты емес және әсер етпейтін болашақ. Ал сынақтар стационарлық жағдайларда жүргізіледі, содан кейін әдетте мұндай кездейсоқ шаманың таралуын сипаттау үшін Пуассон заңы қолданылады (бұл бөлуді алғаш рет 1837 жылы осы ғалым ұсынған және жариялаған).

Бұл заңды сондай-ақ биномдық үлестірудің шекті жағдайы ретінде сипаттауға болады, бұл кезде бізді қызықтыратын оқиғаның бір тәжірибеде пайда болу ықтималдығы р өте аз, бірақ уақыт бірлігінде орындалатын тәжірибелер саны m айтарлықтай көп. , атап айтқанда, процесте б

0 және m, өнім mp кейбір оң тұрақты мәнге ұмтылады (яғни mp).

Сондықтан Пуассон заңын жиі сирек оқиғалар заңы деп те атайды.

Ықтималдықтар теориясындағы Пуассон үлестірімі

Функция және таралу қатары

Пуассон үлестірімі биномдық үлестірімнің ерекше жағдайы болып табылады ( n>> 0 және кезінде б–> 0 (сирек оқиғалар)).

Биномдық үлестірімнің кез келген мүшесінің мәнін шамамен есептеуге мүмкіндік беретін формула математикадан белгілі:

Қайда а = n · бПуассон параметрі (математикалық күту), ал дисперсия математикалық күтуге тең. Осы ауысуды түсіндіретін математикалық есептеулерді көрсетейік. Биномдық таралу заңы

П м = C n m · б· (1 - б)n – м

қойсаңыз жазуға болады б = а/n, түрде

Өйткені бөте аз болса, онда тек сандарды ескеру керек м, салыстырғанда аз n. Жұмыс

бірлікке өте жақын. Бұл өлшемге де қатысты

өте жақын e –а. Осыдан формуланы аламыз:

Эйлер саны (2,71...). ,

Генерациялау функциясы үшін

бізде мөлшерлер бар:

Жиынтық ықтималдық үлестіру функциясы тең

Пуассон бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың классикалық мысалы - белгілі бір уақыт аралығында жолдың белгілі бір учаскесі арқылы өтетін автомобильдер саны. Сондай-ақ, берілген өлшемдегі аспан бөлігіндегі жұлдыздар саны, берілген ұзындықтағы мәтіндегі қателер саны, байланыс орталығындағы телефон қоңырауларының саны немесе қоңыраулар саны сияқты мысалдарды атап өтуге болады. берілген уақыт аралығындағы веб-сервер.

Пуассон заңы бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының таралу қатары келесідей болады:

x м	0	1	2	…	м	…
П м	e-a			…		…

Суретте. 1 кездейсоқ шама үлестірімінің көпбұрыштарын көрсетеді XПуассон заңы бойынша параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес А.

Алдымен, ықтималдық тізбегі таралу қатары болуы мүмкін екеніне көз жеткізейік, яғни. бұл барлық ықтималдықтардың қосындысы Рмбіріне тең.

Біз функцияны кеңейтуді қолданамыз e xМаклаурин сериясында:

Бұл қатар кез келген мән үшін жинақталатыны белгілі X, сондықтан, қабылдау x=a, Біз алып жатырмыз

демек

Пуассон таралу орнының сандық сипаттамалары

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады.

Анықтау бойынша, дискретті кездейсоқ шама есептелетін мәндер жиынын қабылдағанда:

Соманың бірінші мүшесі (сәйкес м=0 ) нөлге тең, сондықтан қосындыны бастап бастауға болады м=1 :

Сонымен параметр Акездейсоқ шаманың математикалық күтуінен басқа ештеңе емес X.

Математикалық күтуден басқа, кездейсоқ шаманың позициясы оның модасымен және медианасымен сипатталады.

Кездейсоқ шаманың режимі оның ең ықтимал мәні болып табылады.

Үздіксіз шама үшін режим ықтималдық тығыздығы функциясының жергілікті максимум нүктесі деп аталады. Егер көпбұрыш немесе таралу қисығы бір максимумға ие болса (2 а-сурет), онда бір максимум көп болса, ол мультимодальды деп аталады (атап айтқанда, екі режимі бар таралу бимодальды деп аталады). Минимумға ие таралу антимодальды деп аталады (2 б-сурет).

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Кездейсоқ шаманың ең ықтимал мәні дискретті кездейсоқ шама үшін ғаламдық максималды ықтималдықты немесе үздіксіз кездейсоқ шама үшін таралу тығыздығын қамтамасыз ететін режим болып табылады.

Медиана - ықтималдық тығыздығы графигі астындағы ауданды екіге бөлетін x l мәні, яғни. Медиана – теңдеудің кез келген түбірі. Математикалық күту болмауы мүмкін, бірақ медиана әрқашан бар және анық емес анықталуы мүмкін.

Кездейсоқ шаманың медианасы

оның мәні = x med P (< x med) = Р ( >x med) = .

Шашыраудың сандық сипаттамалары

Кездейсоқ Х шамасының дисперсиясы кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі болып табылады.

Мұндағы λ бірдей тәуелсіз сынақтардағы оқиғалардың пайда болуының орташа санына тең, яғни. λ = n × p, мұндағы p – бір сынақтағы оқиғаның ықтималдығы, e = 2,71828.

Пуассон заңының таралу қатары келесі формада болады:

Қызметтің мақсаты. Онлайн калькулятор Пуассон үлестірімін құру және қатардың барлық сипаттамаларын есептеу үшін қолданылады: математикалық күту, дисперсия және стандартты ауытқу. Шешіммен бірге хаттама Word форматында ресімделеді.

n үлкен және λ = p n > 10 болған жағдайда, Пуассон формуласы өте өрескел жуықтауды береді және P n (m) есептеу үшін Мовр-Лапластың жергілікті және интегралдық теоремалары қолданылады.

Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамалары

Пуассон үлестірімін күту
M[X] = λ

Пуассон үлестірімінің дисперсиясы
D[X] = λ

№1 мысал. Тұқымның құрамында 0,1% арамшөптер бар. Кездейсоқ 2000 тұқым таңдаса, 5 арамшөп тұқымын табу ықтималдығы қандай?
Шешім.
p ықтималдығы аз, бірақ n саны үлкен. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Күтілетін мән: M[X] = λ = 2
Дисперсия: D[X] = λ = 2

№2 мысал. Қара бидай тұқымдарының ішінде 0,4% арамшөп тұқымдары бар. Кездейсоқ таңдалған 5000 тұқымды арамшөптер санының таралу заңын құрастырыңыз. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Математикалық күту: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Тарату заңы:

X	0	1	2	…	м	…
П	e -20	20e -20	200e -20	…	20 м -20 /м!	…

№3 мысал. Телефон станциясында 1/200 ықтималдықпен қате қосылым орын алады. 200 қосылымның ішінде келесінің орын алу ықтималдығын табыңыз:
а) дәл бір қате байланыс;
б) үш дұрыс емес қосылымдар;
в) екіден көп дұрыс емес жалғаулар.
Шешім.Есептің шарты бойынша оқиғаның ықтималдығы аз, сондықтан Пуассон формуласын (15) қолданамыз.
а) Берілген: n = 200, p = 1/200, k = 1. P 200 (1) мәнін табайық.
Біз алып жатырмыз: . Сонда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Берілген: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Бізде: a = 1.

в) Берілген: n = 200, p = 1/200, k > 2. P 200 (k > 2) табыңыз.
Бұл мәселені оңайырақ шешуге болады: қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын табыңыз, өйткені бұл жағдайда сіз азырақ терминдерді есептеуіңіз керек. Алдыңғы жағдайды ескере отырып, бізде бар

n жеткілікті үлкен және p жеткілікті кіші болатын жағдайды қарастырайық; np = a қойайық, мұндағы a - қандай да бір сан. Бұл жағдайда қажетті ықтималдық Пуассон формуласымен анықталады:

t уақыт ұзақтығы ішінде k оқиғаның пайда болу ықтималдығын Пуассон формуласы арқылы да табуға болады:
мұндағы λ – оқиғалар ағынының қарқындылығы, яғни уақыт бірлігінде пайда болатын оқиғалардың орташа саны.

№4 мысал. Бөлшектің ақаулы болу ықтималдығы 0,005. 400 бөлік тексерілді. 3-тен көп бөліктердің ақаулы болу ықтималдығын есептеу формуласын көрсетіңіз.

№5 мысал. Жаппай өндіру кезінде ақаулы бөлшектердің пайда болу ықтималдығы p. N бөліктен тұратын партияның а) дәл үш бөліктен тұруының ықтималдығын анықтаңыз; б) ақауы бар үш бөліктен аспауы керек.
p=0,001; N = 4500
Шешім.
p ықтималдығы аз, бірақ n саны үлкен. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
X кездейсоқ шамасының мәндер ауқымы бар (0,1,2,...,m). Бұл мәндердің ықтималдығын мына формула арқылы табуға болады:

Х-тің таралу қатарын табайық.
Мұнда λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Сонда N бөліктен тұратын партияның дәл үш бөліктен тұру ықтималдығы мынаған тең:

Сонда N бөліктен тұратын партияда үш ақаулы бөліктен аспау ықтималдығы:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

№6 мысал. АТС орташа есеппен сағатына N қоңырауды қабылдайды. Берілген минутта оның қабылдау ықтималдығын анықтаңыз: а) дәл екі қоңырау; б) екіден көп шақыру.
N=18
Шешім.
Бір минут ішінде АТС орта есеппен λ = 18/60 мин қабылдайды. = 0,3
Бір минут ішінде АТС-ке келіп түскен қоңыраулардың кездейсоқ саны X деп есептесек,
Пуассон заңына бағынады, формуланы пайдалана отырып, қажетті ықтималдықты табамыз

Х-тің таралу қатарын табайық.
Мұнда λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Берілген минутта оның дәл екі қоңырауды қабылдау ықтималдығы:
P(2) = 0,03334
Бір минут ішінде оның екіден көп қоңырау қабылдау ықтималдығы:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

№7 мысал. Бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін екі элемент қарастырылады. Ақаусыз жұмыс ұзақтығы бірінші элемент үшін λ1 = 0,02 және екінші элемент үшін λ2 = 0,05 параметрі бар экспоненциалды үлестірімге ие. 10 сағаттан кейін ықтималдығын табыңыз: а) екі элемент те ақаусыз жұмыс істейді; б) тек №1 элементтің 10 сағатта істен шықпау ықтималдығы:
Шешім.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

№2 элементтің 10 сағатта істен шықпау ықтималдығы:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

а) екі элемент те мінсіз жұмыс істейді;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) бір ғана элемент істен шығады.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

№7 мысал. Өндіріс 1% ақау тудырады. Зерттеуге алынған 1100 өнімнің 17-ден аспауы қабылданбау ықтималдығы қандай?
Ескерту: мұнда n*p =1100*0,01=11 > 10 болғандықтан, пайдалану қажет.

Тәуелсіз сынақтардың үлкен сериясында белгілі (шектелген) рет болатын ықтималдығы төмен оқиғаларды қарастырғанда, бұл оқиғалардың пайда болу ықтималдығы Пуассон заңына немесе сирек кездесетін оқиғалар заңына бағынады, мұндағы λ орташа санына тең. бірдей тәуелсіз сынақтардағы оқиғалардың пайда болуы, яғни. λ = n × p, мұндағы p – бір сынақ кезіндегі оқиғаның ықтималдығы, e = 2,71828, m – осы оқиғаның жиілігі, M[X] математикалық күтуі λ-ге тең.

Пуассон заңының таралу қатары келесі формада болады:

Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамалары

Пуассон үлестірімін күту
M[X] = λ

Пуассон үлестірімінің дисперсиясы
D[X] = λ

Пуассон заңыкөлемі жеткілікті үлкен (n > 100) және осы сипаттамаға ие бірліктердің жеткілікті аз үлесі бар популяциялар үшін қолданылуы мүмкін (p)< 0,1).
Бұл жағдайда Пуассон үлестірімі тек n мәні - мүмкін болатын нәтижелердің жалпы саны белгісіз болғанда ғана емес, сонымен қатар n көрсете алатын соңғы сан белгісіз болғанда да қолданылуы мүмкін. Оқиғаның орын алуының орташа саны болған жағдайда оқиғаның орын алу ықтималдығы кеңейту шарттарымен сипатталады:
.
Сондықтан сәйкес ықтималдықтар:

Демек, егер жер сілкінісінің орташа саны айына бір болса, онда m = 1 және бір айда пайда болу ықтималдығы e - m = 0,3679 жуық мәнінен есептелетіндей болады:

Мысал. Бірдей өнімнің 1000 партиясын тексеру нәтижесінде партиядағы ақаулы өнім санының келесідей бөлінуі алынды:

Партиядағы ақаулы өнімдердің орташа санын анықтайық:
.
Пуассон заңының теориялық жиіліктерін табамыз:


Пуассон үлестірімі эмпирикалық және теориялық түрде табылған:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Салыстыру эмпирикалық үлестірімнің Пуассон үлестіріміне сәйкес келетінін көрсетеді.

№2 мысал. Техникалық бақылау бөлімі ұқсас өнімдердің n партиясын тексерді және бір партиядағы стандартты емес өнімдердің Х саны кестеде көрсетілген эмпирикалық үлестірімге ие екенін анықтады, оның бір жолында бір партиядағы стандартты емес өнімдердің x i саны көрсетіледі, ал басқа жолда x i стандартты емес өнімдері бар n i серияларының саны көрсетіледі. Гипотезаны α=0,05 мәнділік деңгейінде тексеру қажет, бұл кездейсоқ шама X (бір партиядағы стандартты емес өнімдердің саны) Пуассон заңы бойынша бөлінеді.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Х үлестірілетін гипотезаны тексерейік Пуассон заңыҚызметті пайдалану, статистикалық гипотезаларды тексеру.


мұндағы p i – гипотетикалық заң бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың i-ші интервалға түсу ықтималдығы; λ = x орт.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17=14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

мен	Бақыланатын жиілік n i	p i	Күтілетін жиілік np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Критикалық аймақтың шекарасын анықтайық. Пирсон статистикасы эмпирикалық және теориялық үлестірім арасындағы айырмашылықты өлшейтіндіктен, оның байқалатын мәні K obs неғұрлым үлкен болса, соғұрлым негізгі гипотезаға қарсы аргумент күшті болады.
Сондықтан, бұл статистика үшін маңызды аймақ әрқашан оң жақта :)