अंकगणितीय प्रगति का योग निर्धारित करने का सूत्र। एक अंकगणितीय प्रगति का योग। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या उसी राशि से पिछले एक की तुलना में अधिक (या कम) होती है।

यह विषय अक्सर कठिन और समझ से बाहर होता है। पत्र सूचकांक, प्रगति का nवाँ शब्द, प्रगति का अंतर - यह सब किसी तरह भ्रमित करने वाला है, हाँ ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत काम करेगा।)

अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा।

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। शक? व्यर्थ।) अपने लिए देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस लाइन को बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद आगे कौन-सी संख्याएँ जाएँगी? हर कोई ... उह ..., संक्षेप में, हर कोई यह पता लगाएगा कि संख्या 6, 7, 8, 9, आदि आगे जाएगी।

कार्य को जटिल करते हैं। मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ सकते हैं, श्रृंखला का विस्तार कर सकते हैं और नाम दे सकते हैं सातवींपंक्ति नंबर?

अगर आपको पता चल गया है कि यह संख्या 20 है - मैं आपको बधाई देता हूं! आपने महसूस ही नहीं किया एक अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख बिंदु,बल्कि व्यापार में भी उनका सफलतापूर्वक उपयोग किया! यदि आप नहीं समझते हैं, तो पढ़ें।

आइए अब मुख्य बिंदुओं को संवेदनाओं से गणित में अनुवादित करें।)

पहला मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, रेखांकन बनाने और वह सब करने के आदी हैं ... और फिर श्रृंखला का विस्तार करें, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करें ...

कोई बात नहीं। यह सिर्फ इतना है कि गणित की एक नई शाखा के साथ प्रगति पहला परिचय है। अनुभाग को "श्रृंखला" कहा जाता है और संख्याओं और अभिव्यक्तियों की श्रृंखला के साथ काम करता है। इस्की आद्त डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है। आप जो भी संख्या लेते हैं, वह पिछले वाले से एक अधिक है। दूसरे में - तीन। कोई भी संख्या पिछले एक से तीन गुना अधिक है। दरअसल, यही वह क्षण है जो हमें पैटर्न को पकड़ने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा प्रमुख बिंदु।

यह क्षण हड़ताली नहीं है, हाँ ... लेकिन बहुत महत्वपूर्ण है। वह यहाँ है: प्रत्येक प्रगति संख्या अपने स्थान पर है।पहली संख्या है, सातवीं है, पैंतालीसवीं है, और इसी तरह। यदि आप उन्हें बेतरतीब ढंग से भ्रमित करते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी। यह सिर्फ संख्याओं की एक श्रृंखला है।

यह पूरी बात है।

बेशक, नए विषय में नए नियम और अंकन दिखाई देते हैं। उन्हें जानने की जरूरत है। अन्यथा, आप कार्य को नहीं समझ पाएंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ ऐसा तय करना होगा:

अंकगणितीय प्रगति (a n) के पहले छह पदों को लिखिए यदि a 2 = 5, d = -2.5।

क्या यह प्रेरित करता है?) पत्र, कुछ अनुक्रमणिका... और वैसे, कार्य आसान नहीं हो सकता। आपको केवल शब्दों और संकेतन के अर्थ को समझने की आवश्यकता है। अब हम इस मामले में महारत हासिल करेंगे और कार्य पर लौटेंगे।

शर्तें और पदनाम।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

यह मान कहा जाता है . आइए इस अवधारणा से अधिक विस्तार से निपटें।

अंकगणितीय प्रगति अंतर।

अंकगणितीय प्रगति अंतरवह राशि है जिसके द्वारा कोई प्रगति संख्या अधिकपिछला वाला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु। कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि प्रत्येक प्रगति संख्या प्राप्त की जाती है जोड़नेपिछली संख्या के अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना करने के लिए, मान लीजिए दूसरापंक्ति की संख्या, यह आवश्यक है पहलासंख्या जोड़ेंअंकगणितीय प्रगति का यह बहुत अंतर। गणना के लिए पांचवां- अंतर जरूरी है जोड़ेंप्रति चौथीअच्छा, आदि

अंकगणितीय प्रगति अंतरशायद सकारात्मकतो श्रृंखला की प्रत्येक संख्या वास्तविक निकलेगी पिछले वाले से अधिक।यह प्रगति कहलाती है की बढ़ती।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहाँ प्रत्येक संख्या है जोड़नेसकारात्मक संख्या, +5 पिछले एक के लिए।

अंतर हो सकता है नकारात्मकतो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम।इस प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है।

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां हर नंबर भी प्राप्त होता है जोड़नेपिछली, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5।

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रहा हो या घट रहा हो। निर्णय में अपने असर को खोजने, अपनी गलतियों का पता लगाने और बहुत देर होने से पहले उन्हें ठीक करने में बहुत मदद मिलती है।

अंकगणितीय प्रगति अंतरआमतौर पर पत्र द्वारा निरूपित किया जाता है डी।

कैसे ढूंढें डी? बहुत आसान। श्रृंखला की किसी भी संख्या से घटाना आवश्यक है पिछलासंख्या। घटाना। वैसे, घटाव के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

आइए परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, डीबढ़ती अंकगणितीय प्रगति के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम पंक्ति की कोई भी संख्या लेते हैं जो हम चाहते हैं, उदाहरण के लिए, 11. इसमें से घटाएं पिछली संख्यावे। आठ:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

आप बस ले सकते हैं किसी भी संख्या में प्रगति,इसलिये एक विशिष्ट प्रगति के लिए डी-हमेशा एक ही।कम से कम कहीं पंक्ति की शुरुआत में, कम से कम बीच में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर नहीं ले सकते। सिर्फ इसलिए कि पहला नंबर पिछला नहीं।)

वैसे यह जानकर डी = 3, इस श्रेढ़ी की सातवीं संख्या ज्ञात करना बहुत सरल है। हम पांचवें नंबर में 3 जोड़ते हैं - हमें छठा मिलता है, यह 17 होगा। हम छठे नंबर में तीन जोड़ते हैं, हमें सातवां नंबर - बीस मिलता है।

आइए परिभाषित करें डीघटती अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करें डीकिसी भी नंबर से चाहिए पिछले वाले को हटाओ।हम प्रगति की कोई भी संख्या चुनते हैं, उदाहरण के लिए -7। उनका पिछला नंबर -2 है। फिर:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकती है: पूर्णांक, भिन्नात्मक, अपरिमेय, कोई भी।

अन्य शर्तें और पदनाम।

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य।

प्रगति के प्रत्येक सदस्य उसका नंबर है।बिना किसी तरकीब के, संख्याएँ सख्ती से क्रम में हैं। प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ आदि। उदाहरण के लिए, श्रेणी 2, 5, 8, 11, 14, ... दो पहला सदस्य है, पांच दूसरा है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं ...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - संख्याएँ स्वयंबिल्कुल कोई भी हो सकता है, संपूर्ण, आंशिक, नकारात्मक, जो भी हो, लेकिन नंबरिंग- सख्ती से क्रम में!

सामान्य रूप में प्रगति कैसे लिखें? कोई बात नहीं! श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को एक अक्षर के रूप में लिखा जाता है। एक अंकगणितीय प्रगति को निरूपित करने के लिए, एक नियम के रूप में, अक्षर का उपयोग किया जाता है एक. सदस्य संख्या को नीचे दाईं ओर इंडेक्स द्वारा दर्शाया गया है। सदस्यों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करके लिखा जाता है, जैसे:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5, .....

एक 1पहला नंबर है एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी पेचीदा नहीं। आप इस श्रृंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: (एक).

प्रगतियां हैं परिमित और अनंत।

परमप्रगति में सदस्यों की सीमित संख्या होती है। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन यह एक परिमित संख्या है।

अनंतप्रगति - सदस्यों की असीमित संख्या है, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप इस तरह की एक श्रृंखला, सभी सदस्यों और अंत में एक डॉट के माध्यम से एक अंतिम प्रगति लिख सकते हैं:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5।

या ऐसे ही, यदि बहुत से सदस्य हैं:

एक 1, एक 2, ... एक 14, एक 15।

एक छोटी प्रविष्टि में, आपको अतिरिक्त रूप से सदस्यों की संख्या का संकेत देना होगा। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(एन), एन = 20

पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा एक अनंत प्रगति को पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप पहले से ही कार्यों को हल कर सकते हैं। कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति के लिए कार्यों के उदाहरण।

आइए उपरोक्त कार्य पर करीब से नज़र डालें:

1. अंकगणितीय प्रगति (a n) के पहले छह सदस्य लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 है।

हम कार्य को समझने योग्य भाषा में अनुवाद करते हैं। एक अनंत अंकगणितीय प्रगति को देखते हुए। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: एक 2 = 5।ज्ञात प्रगति अंतर: डी = -2.5।हमें इस श्रेणी के पहले, तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे सदस्यों को खोजने की जरूरत है।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थिति के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह सदस्य, जहां दूसरा सदस्य पांच है:

एक 1, 5, एक 3, एक 4, एक 5, एक 6, ....

एक 3 = एक 2 + डी

हम अभिव्यक्ति में स्थानापन्न करते हैं एक 2 = 5तथा डी = -2.5. माइनस मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा कार्यकाल दूसरे से कम है। सब कुछ तार्किक है। यदि संख्या पिछले वाले से अधिक है नकारात्मकमान, इसलिए संख्या स्वयं पिछले वाले से कम होगी। तरक्की कम हो रही है। ठीक है, इसे ध्यान में रखते हैं।) हम अपनी श्रृंखला के चौथे सदस्य पर विचार करते हैं:

एक 4 = एक 3 + डी

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + डी

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + डी

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

इसलिए, तीसरे से छठे तक की शर्तों की गणना की गई है। इसका परिणाम एक श्रृंखला में हुआ:

एक 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

यह पहला कार्यकाल खोजने के लिए बनी हुई है एक 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। यह दूसरी दिशा में बाईं ओर एक कदम है।) इसलिए, अंकगणितीय प्रगति का अंतर डीमें नहीं जोड़ा जाना चाहिए एक 2, एक ले लेना:

एक 1 = एक 2 - डी

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

यही सब है इसके लिए। कार्य प्रतिक्रिया:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

गुजरते समय में, मैं ध्यान देता हूं कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तकमार्ग। इस भयानक शब्द का अर्थ केवल प्रगति के सदस्य की खोज है पिछली (आसन्न) संख्या से।प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर बाद में चर्चा की जाएगी।

इस सरल कार्य से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद है:

यदि हम कम से कम एक सदस्य और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानते हैं, तो हम इस श्रृंखला के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

याद है? यह सरल निष्कर्ष हमें इस विषय पर स्कूल पाठ्यक्रम की अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। सभी कार्य तीन मुख्य मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमते हैं: एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, एक श्रृंखला का अंतर, एक श्रृंखला के सदस्य की संख्या।हर चीज़।

बेशक, सभी पिछले बीजगणित को रद्द नहीं किया गया है।) असमानताएं, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। परंतु प्रगति के अनुसार- सब कुछ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमता है।

उदाहरण के लिए, इस विषय पर कुछ लोकप्रिय कार्यों पर विचार करें।

2. अंतिम अंकगणितीय प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखें यदि n=5, d=0.4, और a 1=3.6।

यहाँ सब कुछ सरल है। सब कुछ पहले से ही दिया हुआ है। आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की गणना, गणना और लेखन कैसे किया जाता है। यह सलाह दी जाती है कि कार्य स्थिति में शब्दों को न छोड़ें: "अंतिम" और " एन = 5"। जब तक आप चेहरे पर पूरी तरह से नीले नहीं हो जाते, तब तक गिनती नहीं करने के लिए।) इस प्रगति में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

एक अन्य कार्य:

3. निर्धारित करें कि संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगा यदि ए 1 \u003d 4.1; डी = 1.2।

हम्म... कौन जानता है? किसी चीज़ को कैसे परिभाषित करें?

कैसे-कैसे ... हाँ, प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखें और देखें कि सात होंगे या नहीं! हमें यकीन है:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब साफ दिख रहा है कि हम सात ही हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में शामिल नहीं हुए, और इसलिए, सात दी गई श्रेणी के सदस्य नहीं होंगे।

उत्तर: नहीं।

और यहाँ GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य है:

4. अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई सदस्यों को लिखा जाता है:

...; पंद्रह; एक्स; 9; 6; ...

यहाँ बिना अंत और शुरुआत के एक श्रृंखला है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं डी. कोई बात नहीं। समस्या को हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझना पर्याप्त है। आइए देखें और देखें कि हम क्या कर सकते हैं पता होनाइस लाइन से? तीन मुख्य के पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है।

लेकिन तीन संख्याएँ हैं और - ध्यान! - शब्द "लगातार"इस शर्त। इसका मतलब यह है कि संख्याएं सख्ती से क्रम में हैं, बिना अंतराल के। क्या इस पंक्ति में दो हैं? पड़ोसीज्ञात संख्याएँ? हाँ वहाँ है! ये 9 और 6 हैं। इसलिए हम अंकगणितीय प्रगति के अंतर की गणना कर सकते हैं! हम छह से घटाते हैं पिछलासंख्या, अर्थात् नौ:

खाली जगह बची हैं। x के लिए पिछली संख्या कौन सी होगी? पंद्रह। अत: x को सरल योग द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है। 15 में अंकगणितीय प्रगति का अंतर जोड़ें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स = 12

हम निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करते हैं। नोट: ये पहेलियाँ सूत्रों के लिए नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम सिर्फ संख्याओं-अक्षरों की एक श्रृंखला लिखते हैं, देखते हैं और सोचते हैं।

5. अंकगणितीय प्रगति का पहला धनात्मक पद ज्ञात करें यदि a 5 = -3; डी = 1.1।

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 1.6; डी = 1.3। इस पद की संख्या n ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेढ़ी में a 2 = 4; ए 5 \u003d 15.1। एक 3 खोजें।

8. अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई सदस्य लिखे गए हैं:

...; 15.6; एक्स; 3.4; ...

प्रगति का पद ज्ञात कीजिए, जिसे अक्षर x से निरूपित किया गया है।

9. ट्रेन ने स्टेशन से चलना शुरू किया, धीरे-धीरे इसकी गति 30 मीटर प्रति मिनट बढ़ा दी। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? किमी/घंटा में अपना उत्तर दें।

10. यह ज्ञात है कि अंकगणितीय श्रेणी में a 2 = 5; एक 6 = -5। 1 खोजें.

उत्तर (अव्यवस्था में): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; चार।

सब कुछ काम कर गया? अद्भुत! आप निम्नलिखित पाठों में उच्च स्तर पर अंकगणितीय प्रगति सीख सकते हैं।

क्या सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई बात नहीं। विशेष धारा 555 में, इन सभी पहेलियों को टुकड़े-टुकड़े कर दिया गया है।) और, निश्चित रूप से, एक सरल व्यावहारिक तकनीक का वर्णन किया गया है जो ऐसे कार्यों के समाधान को स्पष्ट रूप से, स्पष्ट रूप से, जैसे आपके हाथ की हथेली में उजागर करती है!

वैसे तो ट्रेन को लेकर बनी पहेली में दो दिक्कतें ऐसी हैं, जिन पर अक्सर लोग ठोकरें खाते हैं। एक - विशुद्ध रूप से प्रगति से, और दूसरा - गणित और भौतिकी में किसी भी कार्य के लिए सामान्य। यह एक से दूसरे आयाम का अनुवाद है। यह दिखाता है कि इन समस्याओं को कैसे हल किया जाना चाहिए।

इस पाठ में, हमने एक अंकगणितीय प्रगति और उसके मुख्य मापदंडों के प्राथमिक अर्थ की जांच की। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ें डीसंख्याओं के लिए, एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ तय हो जाएगा।

उंगली समाधान श्रृंखला के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए अच्छी तरह से काम करता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है। यदि श्रृंखला लंबी है, तो गणना करना अधिक कठिन हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में है, तो प्रतिस्थापित करें "पाँच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या और भी बदतर हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो सार में सरल हैं, लेकिन गणना के मामले में बिल्कुल बेतुके हैं, उदाहरण के लिए:

एक अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है। एक 121 ज्ञात करें यदि a 1 =3 और d=1/6 है।

और क्या, हम 1/6 को कई बार जोड़ेंगे?! क्या खुद को मारना संभव है !?

आप कर सकते हैं।) यदि आप एक सरल सूत्र नहीं जानते हैं जिसके द्वारा आप एक मिनट में ऐसे कार्यों को हल कर सकते हैं। यह सूत्र अगले पाठ में होगा। और वह समस्या वहीं हल हो जाती है। एक मिनट में।)

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उनकी एक व्यावहारिक आवश्यकता थी।

इसलिए, प्राचीन मिस्र के एक पपाइरी में, जिसमें गणितीय सामग्री है - राइंड पेपिरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: रोटी के दस उपायों को दस लोगों में विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक हो एक उपाय का आठवां।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। इसलिए, अलेक्जेंड्रिया के हाइपसिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "तत्वों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने विचार तैयार किया: "सदस्यों की एक समान संख्या के साथ एक अंकगणितीय प्रगति में, दूसरी छमाही के सदस्यों का योग वर्ग 1/2 सदस्यों द्वारा 1 के सदस्यों के योग से अधिक है।

अनुक्रम a को निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्या को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रम संख्या (a1, a2, a3 ... पढ़ें: "a 1", "a 2nd", "a 3rd") और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे पिछले शब्द (n) को उसी संख्या d के साथ जोड़कर प्राप्त किया गया समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, तो इस तरह की प्रगति को बढ़ती हुई माना जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले कुछ पदों को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत बड़ी संख्या में सदस्यों के साथ, यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है।

किसी भी अंकगणितीय प्रगति को निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

an =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएँ हैं।

कथन, जो विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह बिल्कुल अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे पद से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले पद का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता एक ही समय में प्रगति का संकेत है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति की एक विशिष्ट संपत्ति कहा जाता है।
   उसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सच है: अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, अगर यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सच है, जो दूसरे से शुरू होती है।

अंकगणितीय प्रगति की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलाक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस श्रेढ़ी का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) आपको इसके किसी भी k-वें सदस्य के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की राशि (अंतिम श्रेणी के पहले एन सदस्यों को मानते हुए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए1+एएन) एन/2।

यदि पहला पद भी ज्ञात हो, तो गणना के लिए दूसरा सूत्र सुविधाजनक होता है:

एसएन = ((2ए1+डी(एन-1))/2)*एन।

अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें एन शब्द शामिल हैं, निम्नानुसार गणना की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,... अंकगणितीय प्रगति का सबसे सरल उदाहरण है।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

चतुर्थ याकोवलेव | गणित पर सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, एक अंकगणितीय (और फिर ज्यामितीय) श्रेणी को परिभाषित करने से पहले, हमें संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

परिणाम को

स्क्रीन पर एक डिवाइस की कल्पना करें जिसमें कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; एक; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का ऐसा समूह अनुक्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार में रखा जाता है)। संख्या n वाली संख्या को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, जो अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा निरूपित किया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ सदस्य है, जिसे a5 निरूपित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, किसी अनुक्रम के nवें सदस्य को a (या bn , cn , आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति तब होती है जब अनुक्रम के nवें सदस्य को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; एक; 3; 5; 7; : : सूत्र a = (1)n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; एक; एक; एक; : : :

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं होता है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें पुनर्संख्यांकित करने के लिए ¾बहुत अधिक¿ संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के क्रम में सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू) पिछले पद के योग के बराबर होता है और कुछ निश्चित संख्या (अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; आठ; ग्यारह; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। क्रम 7; 2; 3; आठ; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। क्रम 3; 3; 3; : : : शून्य अंतर वाली अंकगणितीय श्रेढ़ी है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a+1 an एक स्थिर मान है (n पर निर्भर नहीं)।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर नकारात्मक है तो घट रहा है।

1 और यहाँ एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्रम फलन f: N! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, अर्थात, जिसमें अनंत संख्याएँ होती हैं। लेकिन कोई भी परिमित अनुक्रमों पर विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1; 2; 3; चार; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

यह समझना आसान है कि अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: कैसे, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना पद ज्ञात करें?

समांतर श्रेढ़ी के nवें पद के लिए वांछित सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति d. हमारे पास है:
an+1 = a + d (n = 1; 2; : ::):
विशेष रूप से, हम लिखते हैं:
ए2 = ए1 + डी;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
और अब यह स्पष्ट हो गया है कि a का सूत्र है:
ए = ए1 + (एन 1)डी:

टास्क 1. अंकगणितीय प्रगति 2 में; 5; आठ; ग्यारह; : : : nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवें पद की गणना कीजिए।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

ए = 2 + 3(एन 1) = 3एन 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

संपत्ति और अंकगणितीय प्रगति का संकेत

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

	सबूत। हमारे पास है:
	एक n 1 + एक n + 1		(ए डी) + (ए + डी)

जो कि आवश्यक था।

अधिक आम तौर पर, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के + ए एन + के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक बल्कि एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए एक अनुक्रम के लिए पर्याप्त स्थिति भी है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n > 2 पर लागू होती है, तो अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को निम्नानुसार फिर से लिखें:

एक n एक n 1 = एक n + 1 एक n:

इससे पता चलता है कि अंतर a+1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका मतलब यह है कि अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

गुण और एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत एक बयान के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यह स्थिति अक्सर समस्याओं में होती है)।

एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c।

समस्या 2. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र के संकाय, 2007) निर्दिष्ट क्रम में तीन संख्याएं 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। एक्स खोजें और इस प्रगति का अंतर लिखें।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1, तो 8, 2, 4 की घटती हुई श्रेढ़ी 6 के अंतर से प्राप्त होती है। यदि x = 5, तो 40, 22, 4 की वर्धमान श्रेढ़ी प्राप्त होती है; यह मामला काम नहीं करता।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती कहती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गए। हालाँकि, कुछ ही मिनटों में, एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या हल कर दी है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के महानतम गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार यह था। होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100:

इस योग को उल्टे क्रम में लिखते हैं:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और कुल 100 ऐसे पद हैं। इसलिए

2S = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए2 + : : : + ए + एन एन: (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन nवें पद a = a1 + (n 1)d के सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

		2ए1 + (एन 1)डी

टास्क 3। 13 से विभाज्य सभी सकारात्मक तीन अंकों की संख्या का योग ज्ञात करें।

समाधान। तीन अंकों की संख्याएँ जो 13 की गुणज हैं, पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं; इस श्रेढ़ी का nवाँ पद है:

ए = 104 + 13(एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने सदस्य हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6999; 91 + 13एन 6999;

एन 6 908 13 = 6911 13; एन 6 69:

तो हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) के अनुसार हम आवश्यक राशि पाते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को उच्च गणित के वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में सावधानी के साथ मानता है। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी काउंटर का काम है (जहां वे अभी भी बने हुए हैं)। और सार को समझने के लिए (और गणित में "सार को समझने के लिए" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) एक अंकगणितीय अनुक्रम इतना मुश्किल नहीं है, कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण किया है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 क्रम का सातवाँ सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें n-वें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवीं संख्या का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के एक सदस्य का मूल्य;

n इसकी क्रम संख्या है;

f(n) एक ऐसा कार्य है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमिक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद की अवधि समान संख्या से पिछले एक की तुलना में अधिक (कम) होती है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य के लिए सूत्र इस प्रकार है:

एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

एक n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर सकारात्मक है (डी> 0), तो विचाराधीन श्रृंखला के प्रत्येक बाद के सदस्य पिछले एक से अधिक होंगे, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जा रही है।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, यह देखना आसान है कि संख्या क्रम को "बढ़ता हुआ" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी अंकगणितीय प्रगति के कुछ मनमाना शब्द a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप पहले से वांछित अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके ऐसा कर सकते हैं। हालांकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पांच हजारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। एनवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मूल्य प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा, शून्य से एक .

बढ़ने और घटने की प्रगति के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

स्थिति: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 शब्दों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

समाधान: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एन) = ए1 + डी(एन-1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वाँ सदस्य 258.6 के बराबर है।

इस गणना पद्धति के लाभ स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान 2 पंक्तियों से अधिक नहीं लेता है।

पदों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसमें प्रत्येक पद के मानों की गणना करने और फिर उनका योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब जिन पदों का योग मिलना चाहिए उनकी संख्या कम होती है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग पहले और nth सदस्यों के योग के बराबर है, सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-th सदस्य का मान लेख के पिछले पैराग्राफ से अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ एक समस्या का समाधान करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, 56 से 101 तक श्रृंखला की शर्तों का योग निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति का योग निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

स्पष्ट रूप से, 56वें ​​से 101वें तक की प्रगति के पदों का योग ज्ञात करने के लिए, S 55 को S 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

एस 101 - एस 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटते हैं - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में प्रवेश करने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 कि.मी.

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन को घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या का पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए रुचि की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1) वें सदस्य का मूल्य - 27 किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

एक 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड की दूरी पर प्रकाशमान होने पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या अनुक्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति एक अंकगणितीय, परिवर्तन की दर की तुलना में एक बड़ी विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति को दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वां सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे किसी स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - भाजक, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, भाजक क्रमशः 2 है, फिर:

एन = 1: 1 ∙ 2 = 2

एन = 2: 2 ∙ 2 = 4

एन = 3: 4 ∙ 2 = 8

एन = 4: 8 ∙ 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

ख n+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

क्यू एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का भाजक है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक स्वेच्छ सदस्य के मान के लिए एक सूत्र है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी n-वाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और प्रगति के भाजक को n की शक्ति से घटाकर एक कर दिया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास 3 के बराबर पहली अवधि के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है और 1.5 के बराबर प्रगति का भाजक है। श्रेढ़ी का 5वां पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 ∙ क्यू (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या का योग भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य और उसके भाजक के उत्पाद और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जो भाजक द्वारा एक घटाकर विभाजित किया जाता है:

यदि b n को ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है, तो विचार की गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप ले लेगा:

उदाहरण। गुणोत्तर श्रेढ़ी पहले पद के बराबर 1 से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया गया है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280