अनुपात और अनुपात की गणना। प्रपत्र में अनुपात 1 1 की गणना कैसे करें

हाई स्कूल गणित की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए समानुपातिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह सरल कौशल आपको न केवल पाठ्यपुस्तक से जटिल अभ्यास करने में मदद करेगा, बल्कि गणितीय विज्ञान के सार में भी तल्लीन करेगा। कैसे एक अनुपात बनाने के लिए? अब इसका पता लगाते हैं।

सबसे सरल उदाहरण एक समस्या है जहां तीन पैरामीटर ज्ञात हैं, और चौथा पाया जाना चाहिए। बेशक, अनुपात अलग हैं, लेकिन अक्सर आपको प्रतिशत के आधार पर कुछ संख्या खोजने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, लड़के के पास कुल दस सेब थे। चौथा भाग उसने अपनी माँ को दे दिया। लड़के के पास कितने सेब बचे? यह सबसे सरल उदाहरण है जो आपको अनुपात बनाने की अनुमति देगा। मुख्य बात यह करना है। मूल रूप से दस सेब थे। इसे 100% होने दें। यह हमने उसके सभी सेबों को चिन्हित किया। उसने एक चौथाई दिया। 1/4 = 25/100। तो, उसने छोड़ दिया है: 100% (यह मूल रूप से था) - 25% (उसने दिया) = 75%। यह आंकड़ा पहले उपलब्ध फल की मात्रा से बचे हुए फलों की मात्रा का प्रतिशत दर्शाता है। अब हमारे पास तीन संख्याएँ हैं जिनके द्वारा हम पहले से ही अनुपात को हल कर सकते हैं। 10 सेब - 100%, एक्ससेब - 75%, जहाँ x फल की वांछित मात्रा है। कैसे एक अनुपात बनाने के लिए? यह क्या है यह समझना आवश्यक है। गणितीय रूप से यह ऐसा दिखता है। समान चिह्न आपकी समझ के लिए है।

10 सेब = 100%;

एक्स सेब = 75%।

यह पता चला है कि 10/x = 100%/75। यह अनुपात की मुख्य संपत्ति है। आखिरकार, जितना अधिक x, उतना अधिक प्रतिशत मूल से यह संख्या है। हम इस अनुपात को हल करते हैं और x = 7.5 सेब प्राप्त करते हैं। लड़के ने एक गैर-पूर्णांक राशि देने का फैसला क्यों किया, हम नहीं जानते। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे बनाना है। मुख्य बात दो अनुपातों को खोजना है, जिनमें से एक में वांछित अज्ञात है।

एक अनुपात को हल करना अक्सर साधारण गुणा और फिर भाग करने के लिए नीचे आता है। ऐसा क्यों है बच्चों को स्कूलों में नहीं पढ़ाया जाता है। हालांकि यह समझना महत्वपूर्ण है कि आनुपातिक संबंध गणितीय क्लासिक्स हैं, जो कि विज्ञान का सार है। समानुपातों को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को संभालने में सक्षम होने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, अक्सर प्रतिशत को साधारण भिन्न में बदलना आवश्यक होता है। यानी 95% का रिकॉर्ड काम नहीं करेगा। और अगर आप तुरंत 95/100 लिखते हैं, तो आप मुख्य गिनती शुरू किए बिना ठोस कटौती कर सकते हैं। यह तुरंत कहने योग्य है कि यदि आपका अनुपात दो अज्ञात के साथ निकला, तो इसे हल नहीं किया जा सकता। यहां कोई प्रोफेसर आपकी मदद नहीं कर सकता। और आपका कार्य, सबसे अधिक संभावना है, सही कार्यों के लिए एक अधिक जटिल एल्गोरिथ्म है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें जहाँ कोई प्रतिशत नहीं है। मोटर चालक ने 150 रूबल के लिए 5 लीटर गैसोलीन खरीदा। उसने सोचा कि वह 30 लीटर ईंधन के लिए कितना भुगतान करेगा। इस समस्या को हल करने के लिए, हम आवश्यक धनराशि को x से निरूपित करते हैं। आप इस समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं और फिर उत्तर की जांच कर सकते हैं। यदि आपने अभी तक यह पता नहीं लगाया है कि अनुपात कैसे बनाया जाए, तो देखें। 5 लीटर गैसोलीन 150 रूबल है। पहले उदाहरण की तरह, 5l - 150r लिखते हैं। अब तीसरी संख्या ज्ञात करते हैं। बेशक, यह 30 लीटर है। सहमत हूँ कि इस स्थिति में 30 l - x रूबल की एक जोड़ी उपयुक्त है। आइए गणितीय भाषा पर चलते हैं।

5 लीटर - 150 रूबल;

30 लीटर - एक्स रूबल;

हम इस अनुपात को हल करते हैं:

एक्स = 900 रूबल।

हमने यही तय किया। अपने कार्य में, उत्तर की पर्याप्तता की जाँच करना न भूलें। ऐसा होता है कि गलत निर्णय के साथ कारें 5000 किलोमीटर प्रति घंटे की अवास्तविक गति तक पहुंचती हैं और इसी तरह। अब आप जानते हैं कि कैसे एक अनुपात बनाना है। साथ ही आप इसे हल कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।

एक संबंध हमारी दुनिया की संस्थाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। ये संख्याएँ, भौतिक मात्राएँ, वस्तुएँ, उत्पाद, घटनाएँ, क्रियाएँ और यहाँ तक कि लोग भी हो सकते हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी में जब अनुपात की बात आती है तो हम कहते हैं "इस और उस का अनुपात". उदाहरण के लिए, यदि एक फूलदान में 4 सेब और 2 नाशपाती हैं, तो हम कहते हैं सेब से नाशपाती अनुपात नाशपाती से सेब का अनुपात.

गणित में, अनुपात का प्रयोग प्राय: किया जाता है "किसी वस्तु का किसी वस्तु से संबंध". उदाहरण के लिए, गणित में चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात, जिसे हमने ऊपर माना, इस रूप में पढ़ा जाएगा "चार सेब से दो नाशपाती का अनुपात"या यदि आप सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तब "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात".

अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया है एकप्रति बी(जहां के बजाय एकतथा बीकोई भी संख्या), लेकिन अधिक बार आप एक प्रविष्टि पा सकते हैं जो एक कोलन का उपयोग करके बनाई गई है ए: बी. आप इस प्रविष्टि को विभिन्न तरीकों से पढ़ सकते हैं:

• एकप्रति बी
• एकको संदर्भित करता है बी
• रवैया एकप्रति बी

हम चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात अनुपात चिह्न का उपयोग करके लिखते हैं:

4: 2

यदि हम सेब और नाशपाती की अदला-बदली करें, तो हमारा अनुपात 2:4 हो जाएगा। इस अनुपात को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो से चार" या तो "दो नाशपाती चार सेब के बराबर हैं" .

निम्नलिखित में, हम संबंध को संबंध के रूप में संदर्भित करेंगे।

पाठ सामग्री

एक रवैया क्या है?

संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, के रूप में लिखा गया है ए: बी. इसे अंश के रूप में भी लिखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि गणित में इस तरह के रिकॉर्ड का मतलब विभाजन होता है। तब संबंध का परिणाम संख्याओं का भागफल होगा एकतथा बी.

गणित में, अनुपात दो संख्याओं का भागफल होता है।

अनुपात आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई दूसरे की प्रति इकाई कितनी है। आइए चार सेब और दो नाशपाती के अनुपात पर वापस जाएं (4:2)। यह अनुपात हमें यह पता लगाने की अनुमति देगा कि प्रति यूनिट नाशपाती में कितने सेब हैं। एक इकाई का अर्थ है एक नाशपाती। पहले, अनुपात 4:2 को एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:

यह अनुपात संख्या 2 से संख्या 4 का विभाजन है। यदि हम इस विभाजन को करते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं

हमें 2 मिले। इसलिए चार सेब और दो नाशपाती (4: 2) सहसंबद्ध हैं (एक दूसरे से परस्पर संबंधित) ताकि प्रति नाशपाती दो सेब हों

आंकड़ा दिखाता है कि कैसे चार सेब और दो नाशपाती एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक नाशपाती के लिए दो सेब हैं।

के रूप में लिखकर संबंध को उल्टा किया जा सकता है। फिर हमें दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात मिलता है, या "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात।" यह अनुपात दिखाएगा कि प्रति यूनिट सेब में कितने नाशपाती हैं। एक सेब की इकाई का अर्थ है एक सेब।

भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए।

0.5 मिला। आइए इस दशमलव अंश को साधारण अंश में बदलें:

परिणामी साधारण अंश को 5 से कम करें

उत्तर मिला (आधा नाशपाती)। तो दो नाशपाती और चार सेब (2: 4) सहसंबद्ध हैं (एक दूसरे के साथ परस्पर जुड़े हुए हैं) ताकि एक सेब आधे नाशपाती के बराबर हो

चित्र दिखाता है कि कैसे दो नाशपाती और चार सेब एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक सेब के लिए आधा नाशपाती होती है।

संख्याएँ जो संबंध बनाती हैं, कहलाती हैं रिश्ते के सदस्य. उदाहरण के लिए, संबंध 4:2 में सदस्य संख्या 4 और 2 हैं।

संबंधों के अन्य उदाहरणों पर विचार करें। किसी चीज को बनाने के लिए रेसिपी बनाई जाती है। नुस्खा उत्पादों के बीच अनुपात से बनाया गया है। उदाहरण के लिए, दलिया बनाने के लिए आमतौर पर दो गिलास दूध या पानी में एक गिलास अनाज की आवश्यकता होती है। इसका परिणाम 1:2 अनुपात ("एक से दो" या "एक गिलास अनाज से दो गिलास दूध") में होता है।

आइए अनुपात 1: 2 को एक भिन्न में परिवर्तित करें, हमें मिलता है। इस अंश की गणना करने पर हमें 0.5 मिलता है। इसका मतलब यह है कि एक गिलास अनाज और दो गिलास दूध आपस में इस प्रकार सहसम्बन्धित (सहसंबद्ध) हैं कि एक गिलास दूध के लिए आधा गिलास अनाज है।

यदि आप 1:2 अनुपात को बदलते हैं, तो आपको 2:1 अनुपात मिलता है ("दो से एक" या "दो गिलास दूध से एक गिलास अनाज")। 2:1 के अनुपात को एक भिन्न में बदलने पर, हम पाते हैं। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। इसलिए दो गिलास दूध और एक गिलास अनाज आपस में संबंधित हैं (एक दूसरे से सहसंबद्ध) ताकि एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध हो।

उदाहरण 2कक्षा में 15 छात्र हैं। इनमें 5 लड़के, 10 लड़कियां हैं। लड़कियों और लड़कों के अनुपात को 10:5 में लिखना और इस अनुपात को भिन्न में बदलना संभव है। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। यानी, लड़कियां और लड़के एक-दूसरे से संबंधित हैं ताकि हर लड़के के लिए दो लड़कियां हों

आंकड़ा दिखाता है कि दस लड़कियां और पांच लड़के एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां होती हैं।

किसी अनुपात को भिन्न में बदलना और भागफल ज्ञात करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ मामलों में यह अतार्किक होगा।

इसलिए, यदि आप अनुपात को उल्टा कर दें, और यह लड़कों का लड़कियों से अनुपात है। यदि आप इस अंश की गणना करते हैं, तो आपको 0.5 मिलता है। यह पता चला कि पाँच लड़के दस लड़कियों से संबंधित हैं, इसलिए हर लड़की के लिए आधा लड़का है। गणितीय रूप से, यह निश्चित रूप से सच है, लेकिन वास्तविकता के दृष्टिकोण से, यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि एक लड़का एक जीवित व्यक्ति है और इसे नाशपाती या सेब की तरह आसानी से नहीं लिया जा सकता है।

समस्या समाधान में सही दृष्टिकोण का निर्माण एक महत्वपूर्ण कौशल है। तो भौतिकी में, तय की गई दूरी और समय के अनुपात को गति की गति कहा जाता है।

दूरी को चर द्वारा निरूपित किया जाता है एस, समय - एक चर के माध्यम से टी, गति - चर के माध्यम से वि. फिर मुहावरा "समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है"निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाएगा:

मान लीजिए एक कार 2 घंटे में 100 किलोमीटर की दूरी तय करती है। तो 100 किलोमीटर की यात्रा का 2 घंटे से अनुपात कार की गति होगी:

वेग वह दूरी है जो किसी पिंड द्वारा समय की प्रति इकाई तय की जाती है। समय की इकाई 1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड है। और अनुपात, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई दूसरे की प्रति इकाई कितनी है। हमारे उदाहरण में, एक सौ किलोमीटर से दो घंटे के अनुपात से पता चलता है कि एक घंटे की आवाजाही में कितने किलोमीटर हैं। हम देखते हैं कि हर घंटे की आवाजाही के लिए 50 किलोमीटर होते हैं

तो गति को मापा जाता है किमी/घंटा, मी/मिनट, मी/से. अंश प्रतीक (/) समय से दूरी के अनुपात को इंगित करता है: किलोमीटर प्रति घंटा , मीटर प्रति मिनटतथा मीटर प्रति सेकंड क्रमश।

उदाहरण 2. किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

यदि हमने स्टोर में 5 चॉकलेट बार लिए और उनकी कुल कीमत 100 रूबल थी, तो हम एक बार की कीमत निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको बार की संख्या के लिए एक सौ रूबल का अनुपात खोजने की आवश्यकता है। फिर हम पाते हैं कि एक बार 20 रूबल के लिए खाता है

मूल्यों की तुलना

पहले हमने सीखा कि विभिन्न प्रकृति की राशियों के बीच का अनुपात एक नई मात्रा बनाता है। इस प्रकार, तय की गई दूरी और समय का अनुपात गति की गति है। किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

लेकिन मूल्यों की तुलना करने के लिए अनुपात का भी उपयोग किया जा सकता है। इस तरह के संबंध का परिणाम एक संख्या है जो यह दर्शाता है कि पहला मान दूसरे से कितना गुना अधिक है, या पहला मान दूसरे से कितना भाग है।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कितना गुना अधिक है, आपको अनुपात के अंश में एक बड़ा मान और हर में एक छोटा मान लिखना होगा।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कौन सा भाग है, आपको अनुपात के अंश में एक छोटा मान और भाजक में एक बड़ा मान लिखना होगा।

संख्या 20 और 2 पर विचार करें। आइए जानें कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना अधिक है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से संख्या 2 का अनुपात ज्ञात करते हैं। अनुपात के अंश में संख्या 20 लिखें , और भाजक में संख्या 2

इस अनुपात का मान दस है

संख्या 20 से संख्या 2 का अनुपात संख्या 10 है। यह संख्या दर्शाती है कि संख्या 20 कितनी बार संख्या 2 से बड़ी है। इसलिए संख्या 20 संख्या 2 से दस गुना अधिक है।

उदाहरण 2कक्षा में 15 छात्र हैं। इनमें 5 लड़के, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कियां लड़कों की तुलना में कितनी गुना अधिक हैं।

लड़कियों का लड़कों के प्रति रवैया लिखिए। अनुपात के अंश में हम लड़कियों की संख्या लिखते हैं, अनुपात के भाजक में - लड़कों की संख्या:

इस अनुपात का मान 2 है। इसका मतलब है कि 15 की एक कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है।

अब यह सवाल ही नहीं उठता कि एक लड़के के लिए कितनी लड़कियां होती हैं। इस मामले में, लड़कों की संख्या के साथ लड़कियों की संख्या की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 3. संख्या 2 का कौन सा भाग संख्या 20 से है।

हम संख्या 2 से संख्या 20 का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या 2 लिखते हैं, और भाजक में - संख्या 20

इस रिश्ते का अर्थ खोजने के लिए, आपको याद रखना होगा,

संख्या 2 से संख्या 20 के अनुपात का मान संख्या 0.1 है

इस स्थिति में, दशमलव अंश 0.1 को साधारण अंश में बदला जा सकता है। इस उत्तर को समझने में आसानी होगी:

तो संख्या 20 की संख्या 2 एक दसवां है।

आप चैक कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से खोजेंगे। यदि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो हमें संख्या 2 प्राप्त करनी चाहिए

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

हमें संख्या 2 मिली। इसलिए संख्या 20 का दसवां भाग संख्या 2 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समस्या का सही समाधान हो गया है।

उदाहरण 4कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें 5 लड़के, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि छात्रों की कुल संख्या का कितना अनुपात लड़कों का है।

हम छात्रों की कुल संख्या में लड़कों के अनुपात को लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में पाँच लड़के लिखते हैं, और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम संख्या 15 को अनुपात के भाजक में लिखते हैं

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 5 को संख्या 15 से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 5 को 15 से विभाजित करते हैं, तो आपको एक आवधिक अंश मिलता है। आइए इस भिन्न को साधारण में बदलें

अंतिम उत्तर मिला। इसलिए लड़के पूरी कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं

चित्र से पता चलता है कि 15 विद्यार्थियों की एक कक्षा में एक तिहाई कक्षा में 5 लड़के हैं।

यदि सत्यापन के लिए हम 15 स्कूली बच्चों में से पाते हैं, तो हमें 5 लड़के मिलेंगे

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

उदाहरण 5संख्या 35 संख्या 5 से कितनी गुना बड़ी है?

हम संख्या 35 से संख्या 5 का अनुपात लिखते हैं। अनुपात के अंश में, आपको संख्या 35 लिखने की आवश्यकता है, भाजक में - संख्या 5, लेकिन इसके विपरीत नहीं

इस अनुपात का मान 7 है। इसलिए संख्या 35 संख्या 5 से सात गुना बड़ी है।

उदाहरण 6कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें 5 लड़के, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कियों की कुल संख्या का कितना अनुपात है।

हम छात्रों की कुल संख्या में लड़कियों का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में दस लड़कियों और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम संख्या 15 को अनुपात के भाजक में लिखते हैं

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 15 से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 10 को 15 से विभाजित करते हैं, तो आपको एक आवधिक अंश मिलता है। आइए इस भिन्न को साधारण में बदलें

आइए परिणामी भिन्न को 3 से कम करें

अंतिम उत्तर मिला। इसलिए लड़कियां पूरी कक्षा का दो-तिहाई हिस्सा हैं

चित्र से पता चलता है कि 15 विद्यार्थियों की एक कक्षा में दो तिहाई कक्षा में 10 लड़कियाँ हैं।

अगर सत्यापन के लिए हम 15 स्कूली बच्चों से पाते हैं, तो हमें 10 लड़कियां मिलती हैं

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

उदाहरण 7 10 सेमी का कितना भाग 25 सेमी है?

दस सेंटीमीटर से पच्चीस सेंटीमीटर का अनुपात लिखिए। अनुपात के अंश में हम 10 सेमी लिखते हैं, भाजक में - 25 सेमी

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 25 से विभाजित किया जाना चाहिए

आइए परिणामी दशमलव अंश को साधारण में बदलें

आइए परिणामी अंश को 2 से कम करें

अंतिम उत्तर मिला। तो 10 सेमी 25 सेमी है।

उदाहरण 8 25 सेमी 10 सेमी से कितनी बार बड़ा है?

पच्चीस सेंटीमीटर से दस सेंटीमीटर का अनुपात लिखिए। अनुपात के अंश में हम 25 सेमी लिखते हैं, भाजक में - 10 सेमी

उत्तर मिला 2.5। तो 25 सेमी 10 सेमी (ढाई गुना) से 2.5 गुना अधिक है

महत्वपूर्ण लेख।समान भौतिक राशियों का अनुपात ज्ञात करते समय इन राशियों को माप की एक इकाई में अवश्य व्यक्त करना चाहिए, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो लंबाई के साथ काम कर रहे हैं और जानना चाहते हैं कि पहली लंबाई कितनी बार दूसरी से अधिक है, या पहली लंबाई दूसरी से कितनी है, तो दोनों लंबाई को पहले माप की एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए।

उदाहरण 9 150 सेमी 1 मीटर से कितनी बार अधिक है?

सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि दोनों लंबाई एक ही इकाई में व्यक्त की गई हैं। ऐसा करने के लिए, 1 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। एक मीटर एक सौ सेंटीमीटर है

1 मीटर = 100 सेमी

अब हम एक सौ पचास सेंटीमीटर से एक सौ सेंटीमीटर का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम 150 सेंटीमीटर लिखते हैं, भाजक में - 100 सेंटीमीटर

आइए जानें इस संबंध का मूल्य

उत्तर मिला 1.5। तो 150 सेमी 100 सेमी से 1.5 गुना (डेढ़ गुना) से अधिक है।

और अगर हमने मीटर को सेंटीमीटर में बदलना शुरू नहीं किया और तुरंत 150 सेंटीमीटर से एक मीटर का अनुपात खोजने की कोशिश की, तो हमें निम्नलिखित मिलेगा:

यह पता चलेगा कि 150 सेमी एक मीटर से एक सौ पचास गुना अधिक है, लेकिन यह सच नहीं है। इसलिए, संबंध में शामिल भौतिक मात्राओं के मापन की इकाइयों पर ध्यान देना अत्यावश्यक है। यदि इन राशियों को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो इन मात्राओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, आपको माप की एक इकाई पर जाना होगा।

उदाहरण 10पिछले महीने एक व्यक्ति का वेतन 25,000 रूबल था, और इस महीने वेतन बढ़कर 27,000 रूबल हो गया है। निर्धारित करें कि वेतन कितना बढ़ा है

हम सत्ताईस हजार से पच्चीस हजार का अनुपात लिखते हैं। अनुपात के अंश में हम 27000 लिखते हैं, भाजक में - 25000

आइए जानें इस संबंध का मूल्य

उत्तर मिला 1.08। तो वेतन में 1.08 गुना की वृद्धि हुई। भविष्य में, जब हम प्रतिशत से परिचित होंगे, तो हम ऐसे संकेतकों को वेतन के रूप में प्रतिशत के रूप में व्यक्त करेंगे।

उदाहरण 11. अपार्टमेंट बिल्डिंग 80 मीटर चौड़ी और 16 मीटर ऊंची है। मकान की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से कितनी गुना अधिक है?

हम घर की चौड़ाई का अनुपात उसकी ऊंचाई से लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 5 है। इसका मतलब है कि घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से पांच गुना है।

संबंध संपत्ति

यदि इसकी शर्तों को उसी संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है तो अनुपात नहीं बदलेगा।

किसी संबंध का यह सबसे महत्वपूर्ण गुण भागफल गुण से आता है। हम जानते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा। और चूंकि अनुपात एक विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है, भागफल संपत्ति इसके लिए भी काम करती है।

आइए हम लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये पर लौटते हैं (10:5)। इस अनुपात से पता चलता है कि हर लड़के पर दो लड़कियां होती हैं। आइए देखें कि संबंध संपत्ति कैसे काम करती है, अर्थात्, इसके सदस्यों को उसी संख्या से गुणा या विभाजित करने का प्रयास करें।

हमारे उदाहरण में, संबंध की शर्तों को उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक (GCD) से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है।

सदस्य 10 और 5 का जीसीडी संख्या 5 है। इसलिए, आप संबंध की शर्तों को संख्या 5 से विभाजित कर सकते हैं

नया तेवर मिला। यह दो से एक अनुपात (2:1) है। यह अनुपात, पिछले 10:5 के अनुपात की तरह दर्शाता है कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

यह आंकड़ा 2:1 अनुपात (दो से एक) दिखाता है। पिछले 10:5 के अनुपात में प्रति लड़के दो लड़कियां हैं। दूसरे शब्दों में, रवैया नहीं बदला है।

उदाहरण 2. एक कक्षा में 10 लड़कियाँ और 5 लड़के हैं। दूसरी कक्षा में 20 लड़कियां और 10 लड़के हैं। पहली कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी अधिक है? दूसरी कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी अधिक है?

दोनों कक्षाओं में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है, क्योंकि और का अनुपात समान संख्या के बराबर है।

संबंध संपत्ति आपको वास्तविक वस्तु के समान पैरामीटर वाले विभिन्न मॉडल बनाने की अनुमति देती है। मान लीजिए कि एक अपार्टमेंट बिल्डिंग 30 मीटर चौड़ी और 10 मीटर ऊंची है।

कागज पर एक समान घर बनाने के लिए, आपको इसे 30:10 के समान अनुपात में बनाना होगा।

इस अनुपात के दोनों पदों को संख्या 10 से विभाजित करें। तब हमें अनुपात 3:1 प्राप्त होता है। यह अनुपात 3 है, जैसे पिछला अनुपात 3 है

मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। 3 मीटर 300 सेंटीमीटर और 1 मीटर 100 सेंटीमीटर के बराबर होता है।

3 मीटर = 300 सेमी

1 मीटर = 100 सेमी

हमारे पास 300 सेमी: 100 सेमी का अनुपात है। इस अनुपात की शर्तों को 100 से विभाजित करें। हमें 3 सेमी: 1 सेमी का अनुपात मिलता है। अब हम 3 सेमी की चौड़ाई और 1 सेमी की ऊंचाई के साथ एक घर बना सकते हैं।

बेशक, खींचा हुआ घर वास्तविक घर की तुलना में बहुत छोटा होता है, लेकिन चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इसने हमें एक घर को यथासंभव वास्तविक के करीब बनाने की अनुमति दी।

मनोवृत्ति को दूसरे तरीके से समझा जा सकता है। प्रारंभ में, यह कहा गया था कि एक वास्तविक घर की चौड़ाई 30 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर होती है। कुल 30 + 10, यानी 40 मीटर है।

इन 40 मीटर को 40 भागों के रूप में समझा जा सकता है। 30:10 के अनुपात का अर्थ है चौड़ाई के लिए 30 भाग और ऊँचाई के लिए 10 भाग।

आगे 30:10 के अनुपात के सदस्यों को 10 से विभाजित किया गया। परिणाम 3:1 का अनुपात था। इस अनुपात को 4 भागों के रूप में समझा जा सकता है, जिनमें से तीन चौड़ाई पर पड़ते हैं, एक ऊंचाई पर। इस मामले में, आपको आमतौर पर यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि प्रति चौड़ाई और ऊंचाई कितने मीटर है।

दूसरे शब्दों में, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि कितने मीटर 3 भागों में पड़ते हैं और कितने मीटर 1 भाग में गिरते हैं। पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि एक हिस्से पर कितने मीटर गिरते हैं। ऐसा करने के लिए, कुल 40 मीटर को 4 से विभाजित करना होगा, क्योंकि 3:1 के अनुपात में केवल चार भाग हैं

आइए निर्धारित करें कि चौड़ाई कितने मीटर है:

10 मीटर × 3 = 30 मीटर

आइए निर्धारित करें कि ऊंचाई पर कितने मीटर गिरते हैं:

10 मीटर × 1 = 10 मीटर

एक रिश्ते के कई सदस्य

यदि किसी संबंध में कई सदस्य दिए जाते हैं, तो उन्हें किसी चीज के हिस्से के रूप में समझा जा सकता है।

उदाहरण 1. 18 सेब खरीदे। इन सेबों को माँ, पिता और बेटी के बीच 2:1:3 के अनुपात में बाँट दिया गया। प्रत्येक को कितने सेब मिले?

2: 1: 3 का अनुपात बताता है कि माँ को 2 भाग मिले, पिता को - 1 भाग, बेटी को - 3 भाग। दूसरे शब्दों में, 2:1:3 अनुपात का प्रत्येक सदस्य 18 सेबों का एक निश्चित अंश है:

यदि आप 2: 1: 3 के अनुपात की शर्तों को जोड़ते हैं, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि कुल कितने भाग हैं:

2 + 1 + 3 = 6 (भाग)

पता करो कि एक भाग पर कितने सेब गिरे। ऐसा करने के लिए, 18 सेबों को 6 से भाग दें

18:6 = 3 (प्रति भाग सेब)

अब आइए निर्धारित करें कि प्रत्येक को कितने सेब मिले। 2:1:3 अनुपात के प्रत्येक सदस्य द्वारा तीन सेबों का गुणा करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि माँ को कितने सेब मिले, कितने पिता को और बेटी को कितने सेब मिले।

पता करें कि माँ को कितने सेब मिले:

3 × 2 = 6 (सेब)

पता करें कि पिताजी को कितने सेब मिले:

3 × 1 = 3 (सेब)

पता करें कि बेटी को कितने सेब मिले:

3 × 3 = 9 (सेब)

उदाहरण 2. नई चांदी (अल्पाका) 3:4:13 के अनुपात में निकल, जस्ता और तांबे का मिश्र धातु है। 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए प्रत्येक धातु के कितने किलोग्राम लेने चाहिए?

4 किलोग्राम नई चांदी में 3 भाग निकल, 4 भाग जस्ता और 13 भाग तांबा होगा। सबसे पहले, हम यह पता लगाते हैं कि चार किलोग्राम चांदी में कितने भाग होंगे:

3 + 4 + 13 = 20 (भाग)

निर्धारित करें कि एक भाग पर कितने किलोग्राम गिरेंगे:

4 किग्रा: 20 = 0.2 किग्रा

आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम निकेल होगा। 3:4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के तीन भागों में निकेल होने की बात कही गई है। तो हम 0.2 को 3 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 3 = 0.6 किग्रा निकल

अब यह निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम जस्ता समाहित होगा। 3:4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के चार भागों में जिंक होने की बात कही गई है। तो हम 0.2 को 4 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 4 = 0.8 किग्रा जिंक

अब यह निर्धारित करते हैं कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम तांबा समाहित होगा। 3:4:13 के अनुपात में मिश्रधातु के तेरह भागों में तांबा होने की बात कही गई है। इसलिए, हम 0.2 को 13 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 13 = 2.6 किग्रा ताँबा

तो, 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए आपको 0.6 किलो निकल, 0.8 किलो जस्ता और 2.6 किलो तांबा लेना होगा।

उदाहरण 3. पीतल तांबे और जस्ता का मिश्र धातु है जिसका द्रव्यमान अनुपात 3:2 है। पीतल का एक टुकड़ा बनाने में 120 ग्राम ताँबा लगता है। इस पीतल के टुकड़े को बनाने के लिए कितने जिंक की आवश्यकता होगी?

आइए निर्धारित करें कि मिश्र धातु कितने ग्राम एक भाग पर गिरती है। शर्त कहती है कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। यह भी कहा जाता है कि मिश्र धातु के तीन भागों में तांबा होता है। यदि हम 120 को 3 से विभाजित करते हैं, तो हमें पता चलता है कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्रधातु है:

120: 3 = 40 ग्राम प्रति पीस

अब देखते हैं कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए कितना जस्ता चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम 40 ग्राम को 2 से गुणा करते हैं, क्योंकि 3: 2 के अनुपात में यह संकेत मिलता है कि दो भागों में जस्ता होता है:

40 ग्राम × 2 = 80 ग्राम जस्ता

उदाहरण 4. उन्होंने सोने और चाँदी की दो मिश्रधातुएँ लीं। एक में इन धातुओं का अनुपात 1:9 तथा दूसरे में 2:3 है। 15 किग्रा नई मिश्रधातु प्राप्त करने के लिए प्रत्येक मिश्रधातु की कितनी मात्रा ली जाए जिसमें सोने और चांदी का संबंध 1:4 के रूप में होगा। ?

समाधान

नई मिश्रधातु का 15 किग्रा 1:4 के अनुपात में होना चाहिए। यह अनुपात दर्शाता है कि मिश्रधातु के एक भाग में सोना होगा, और चार भागों में चाँदी होगी। कुल पाँच भाग हैं। योजनाबद्ध रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है

आइए एक भाग का द्रव्यमान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, पहले सभी भागों (1 और 4) को जोड़ें, फिर मिश्र धातु के द्रव्यमान को इन भागों की संख्या से विभाजित करें।

1 + 4 = 5
15 किलो: 5 = 3 किलो

मिश्रधातु के एक भाग का द्रव्यमान 3 किग्रा होगा। फिर 15 किग्रा नई मिश्रधातु में 3 × 1 = 3 किग्रा सोना और 3 × 4 = 12 किग्रा चाँदी होगी।

इसलिए, 15 किलो वजन वाली मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए हमें 3 किलो सोना और 12 किलो चांदी चाहिए।

अब आइए कार्य के प्रश्न का उत्तर दें - " प्रत्येक मिश्र धातु को कितना लेना है? »

हम पहले मिश्र धातु का 10 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 1: 9 के अनुपात में हैं। यानी, यह पहला मिश्र धातु हमें 1 किलो सोना और 9 किलो चांदी देगा।

हम 5 किलो दूसरी मिश्र धातु लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 2: 3 के अनुपात में हैं। यानी यह दूसरी मिश्र धातु हमें 2 किलो सोना और 3 किलो चांदी देगी।

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आधारगणितीय अनुसंधान कुछ मात्राओं के बारे में अन्य मात्राओं के साथ तुलना करके ज्ञान प्राप्त करने की क्षमता है बराबर, या अधिकया कमउन लोगों की तुलना में जो अध्ययन का विषय हैं। यह आमतौर पर एक श्रृंखला के साथ किया जाता है समीकरणतथा अनुपात. जब हम समीकरणों का उपयोग करते हैं, तो हम उस मात्रा को ज्ञात करके निर्धारित करते हैं जिसकी हम तलाश कर रहे हैं समानताकुछ अन्य पहले से ही परिचित मात्रा या मात्रा के साथ।

हालाँकि, अक्सर ऐसा होता है कि हम एक अज्ञात मात्रा की तुलना दूसरों के साथ कर रहे होते हैं बराबर नहींउसका, लेकिन उससे कम या ज्यादा। यहां हमें डाटा प्रोसेसिंग के लिए एक अलग दृष्टिकोण की जरूरत है। हमें जानने की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, कितनाएक मान दूसरे से बड़ा है, या कितनी बारएक में दूसरा शामिल है। इन सवालों के जवाब खोजने के लिए, हम पता लगाएंगे कि क्या है अनुपातदो आकार। एक अनुपात कहलाता है अंकगणित, और दुसरी ज्यामितिक. यद्यपि यह ध्यान देने योग्य है कि इन दोनों शर्तों को संयोग से या केवल भेद के लिए नहीं अपनाया गया था। अंकगणित और ज्यामितीय दोनों संबंध अंकगणित और ज्यामिति दोनों पर लागू होते हैं।

एक विशाल और महत्वपूर्ण विषय का घटक होने के कारण, अनुपात अनुपात पर निर्भर करता है, इसलिए इन अवधारणाओं की स्पष्ट और पूर्ण समझ आवश्यक है।

338. अंकगणितीय अनुपात ये है अंतरदो मात्राओं या मात्राओं की एक श्रृंखला के बीच. राशियाँ ही कहलाती हैं सदस्योंअनुपात, अर्थात्, वे शब्द जिनके बीच एक अनुपात है। इस प्रकार 2, 5 और 3 का अंकगणितीय अनुपात है। इसे दो मानों के बीच एक ऋण चिह्न लगाकर व्यक्त किया जाता है, अर्थात 5 - 3। बेशक, अंकगणितीय अनुपात शब्द और इसका मदीकरण व्यावहारिक रूप से बेकार है, क्योंकि केवल शब्द का प्रतिस्थापन घटित होना अंतरअभिव्यक्ति में ऋण चिह्न के लिए।

339. यदि दोनों एक अंकगणितीय संबंध के सदस्य हैं गुणाया विभाजित करनाउसी राशि से, फिर अनुपात,अंततः उस राशि से गुणा या विभाजित किया जाएगा।
इस प्रकार, यदि हमारे पास a - b = r है
फिर दोनों पक्षों को h , (Ax. 3.) ha - hb = hr से गुणा करें
और h से भाग देने पर, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. यदि किसी अंकगणितीय अनुपात के पदों में किसी अन्य के संगत पदों में जोड़ या घटाव किया जाता है, तो योग या अंतर का अनुपात दो अनुपातों के योग या अंतर के बराबर होगा।
अगर ए - बी
और डी-एच
दो अनुपात हैं,
फिर (ए + डी) - (बी + एच) = (ए - बी) + (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a + d - b - h है।
और (ए - डी) - (बी - एच) = (ए - बी) - (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a - d - b + h है।
अतः 11 - 4 का अंकगणितीय अनुपात 7 है
और 5 - 2 का अंकगणितीय अनुपात 3 है
16 - 6 पदों के योग का अनुपात 10 है, - अनुपातों का योग।
6-2 सदस्यों के अंतर का अनुपात 4 है, - अनुपातों का अंतर।

341. ज्यामितीय अनुपात मात्राओं के बीच संबंध है, जो व्यक्त किया जाता है निजीयदि एक मान को दूसरे से विभाजित किया जाता है।
अतः 8 से 4 के अनुपात को 8/4 या 2 के रूप में लिखा जा सकता है। अर्थात, 8 का भागफल 4 से विभाजित होता है। दूसरे शब्दों में, यह दर्शाता है कि 8 में कितनी बार 4 है।

उसी तरह, किसी भी मात्रा का दूसरे से अनुपात पहले को दूसरे से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है, या, जो मूल रूप से एक ही बात है, पहले को भिन्न का अंश और दूसरे को भाजक बनाकर।
तो a से b का अनुपात \frac(a)(b)$ है
d + h से b + c का अनुपात \frac(d+h)(b+c)$ है।

342. तुलनात्मक मानों के बीच एक के ऊपर एक दो बिंदु रखकर ज्यामितीय अनुपात भी लिखा जाता है।
इस प्रकार a:b, a से b का अनुपात है, और 12:4 12 से 4 का अनुपात है। दो मात्राएँ मिलकर बनती हैं जोड़ाजिसमें प्रथम पद कहते हैं पूर्वपद, और आखिरी है अहम.

343. यह बिंदीदार संकेतन और अन्य, एक अंश के रूप में, आवश्यक के रूप में विनिमेय हैं, जिसमें पूर्ववर्ती अंश का अंश बन जाता है और इसके परिणामस्वरूप भाजक बन जाता है।
तो 10:5 $\frac(10)(5)$ के समान है और b:d $\frac(b)(d)$ के समान है।

344. यदि इन तीन अर्थों में से कोई भी अर्थ: पूर्ववर्ती, परिणामी और संबंध दिया जाता है दो, तो तीसरा मिल सकता है।

माना a= पूर्ववर्ती, c= परिणामी, r= अनुपात।
परिभाषा के अनुसार, $r=\frac(a)(c)$, यानी, अनुपात परिणामी द्वारा विभाजित पूर्ववर्ती के बराबर है।
सी से गुणा करने पर, ए = सीआर, यानी, पूर्ववर्ती अनुपात परिणामी गुणा के बराबर होता है।
आर से विभाजित करें, $c=\frac(a)(r)$, यानी, परिणामी अनुपात से विभाजित पूर्ववर्ती के बराबर है।

उत्तर 1. यदि दो युग्मों के पूर्ववृत्त और परिणाम समान हों, तो उनका अनुपात भी बराबर होता है।

उत्तर 2. यदि दो युग्मों के अनुपात और पूर्ववृत्त समान हैं, तो परिणाम समान हैं, और यदि अनुपात और परिणाम समान हैं, तो पूर्ववृत्त समान हैं।

345. यदि दो मात्राओं की तुलना की जाए बराबर, तो उनका अनुपात एकता या समानता के बराबर है। अनुपात 3 * 6:18 एक के बराबर है, क्योंकि किसी भी मूल्य का भागफल खुद से विभाजित 1 के बराबर है।

यदि जोड़ी का पूर्ववर्ती अधिक,परिणामी की तुलना में, तो अनुपात एक से अधिक है। चूँकि भाज्य भाजक से अधिक है, भागफल एक से अधिक है। अतः 18:6 का अनुपात 3 है। इसे अनुपात कहते हैं अधिक असमानता.

दूसरी ओर, यदि पूर्ववर्ती कमपरिणामी की तुलना में, तब अनुपात एक से कम होता है, और इसे अनुपात कहा जाता है कम असमानता. अतः अनुपात 2:3 एक से कम है, क्योंकि भाजक भाजक से कम है।

346. उल्टाअनुपात दो व्युत्क्रमों का अनुपात है।
तो 6 से 3 के व्युत्क्रम का अनुपात है, अर्थात:।
a से b का सीधा संबंध $\frac(a)(b)$ है, यानी पूर्ववर्ती को परिणाम से विभाजित किया जाता है।
व्युत्क्रम संबंध $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ या $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) है (ए) $।
अर्थात्, परिणाम b को पूर्ववर्ती a से विभाजित किया जाता है।

इसलिए उलटा संबंध व्यक्त किया गया है एक अंश को उलट कर, जो एक सीधा संबंध प्रदर्शित करता है, या, जब डॉट्स का उपयोग करके अंकन किया जाता है, सदस्यों के लेखन के क्रम को उलटना.
इस प्रकार a का संबंध b से उल्टा है कि b का संबंध a से है।

347. जटिल अनुपातयह अनुपात काम करता हैदो या दो से अधिक सरल संबंधों के साथ संबंधित शब्द।
तो अनुपात 6:3 है, 2 के बराबर है
और अनुपात 12:4 बराबर 3
इनका बना अनुपात 72:12 = 6 है।

यहां दो पूर्ववर्ती और सरल संबंधों के दो परिणामों को एक साथ गुणा करके एक जटिल संबंध प्राप्त किया जाता है।
तो अनुपात बना है
अनुपात a:b से
और सी: डी अनुपात
और अनुपात h:y
यह $ ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ का अनुपात है।
एक जटिल संबंध अपने में भिन्न नहीं होता है प्रकृतिकिसी अन्य अनुपात से। इस शब्द का प्रयोग कुछ मामलों में संबंध की उत्पत्ति को दर्शाने के लिए किया जाता है।

उत्तर जटिल अनुपात साधारण अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है।
अनुपात a:b $\frac(a)(b)$ के बराबर है
अनुपात c:d $\frac(c)(d)$ के बराबर है
अनुपात h:y $\frac(h)(y)$ के बराबर है
और इन तीनों का जोड़ा गया अनुपात ach/bdy होगा, जो साधारण अनुपातों को व्यक्त करने वाले भिन्नों का गुणनफल है।

348. यदि प्रत्येक पिछली जोड़ी में संबंधों के क्रम में परिणामी अगले एक में पूर्ववर्ती है, तो पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणाम का अनुपात मध्यवर्ती अनुपात से प्राप्त अनुपात के बराबर है।
तो कई अनुपातों में
ए: बी
बी: सी
सी: डी
घ: ज
अनुपात a:h अनुपातों a:b और b:c और c:d और d:h से योग किए गए अनुपात के बराबर है। तो पिछले लेख में जटिल संबंध $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, या a:h है।

इसी प्रकार, सभी राशियाँ जो पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों हैं गायब होना, जब अंशों के गुणनफल को उसके निचले पदों तक सरलीकृत किया जाता है और शेष में जटिल संबंध पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणामी द्वारा व्यक्त किया जाएगा।

349. एक साधारण संबंध को गुणा करके जटिल संबंधों का एक विशेष वर्ग प्राप्त किया जाता है वह स्वयंया दूसरे को बराबरअनुपात। ये अनुपात कहलाते हैं दोहरा, ट्रिपल, चौगुनी, और इसी तरह, गुणन की संख्या के अनुसार।

अनुपात से बना है दोसमान अनुपात, यानी वर्ग दोहराअनुपात।

से बना तीन, वह है, घनक्षेत्रसरल अनुपात कहलाता है ट्रिपल, और इसी तरह।

इसी प्रकार, अनुपात वर्गमूलदो मात्राओं को अनुपात कहते हैं वर्गमूल, और अनुपात घन जड़ें- अनुपात घनमूल, और इसी तरह।
तो a से b का साधारण अनुपात a:b है
a से b का दोहरा अनुपात a 2:b 2 है
a से b का तिगुना अनुपात a 3:b 3 है
a से b के वर्गमूल का अनुपात √a :√b है
a से b के घनमूल का अनुपात 3 √a : 3 √b है, और इसी तरह आगे भी।
शर्तें दोहरा, ट्रिपल, और इतने पर मिश्रित होने की आवश्यकता नहीं है दोगुनी, तीन गुना, और इसी तरह।
6 से 2 का अनुपात 6:2 = 3 है
यदि हम इस अनुपात को दुगुना करते हैं, अर्थात अनुपात को दोगुना करते हैं, तो हमें 12:2 = 6 प्राप्त होता है
हम इस अनुपात को तिगुना करते हैं, अर्थात इस अनुपात को तीन गुना करते हैं, हमें 18:2 = 9 प्राप्त होता है
लेकिन दोहराअनुपात, अर्थात् वर्गअनुपात 6 2:2 2 = 9 है
और ट्रिपलअनुपात, यानी अनुपात का घन, 6 3:2 3 = 27 है

350. राशियों को एक दूसरे के साथ सहसंबंधित करने के लिए, उन्हें एक ही प्रकार का होना चाहिए, ताकि यह निश्चित रूप से कहा जा सके कि वे एक दूसरे के बराबर हैं, या उनमें से एक बड़ा या छोटा है। एक फुट एक इंच का होता है जैसे 12 से 1: यह एक इंच से 12 गुना बड़ा होता है। लेकिन, उदाहरण के लिए, यह नहीं कहा जा सकता है कि एक घंटा एक छड़ी से अधिक या छोटा है, या एक एकड़ एक डिग्री से अधिक या कम है। हालाँकि, यदि इन मूल्यों को व्यक्त किया जाता है नंबर, तो इन संख्याओं के बीच कोई संबंध हो सकता है। यानी एक घंटे में मिनटों की संख्या और एक मील में कदमों की संख्या के बीच संबंध हो सकता है।

351. की ओर मुड़ना प्रकृतिअनुपात, अगला कदम हमें ध्यान में रखना होगा कि कैसे एक या दो शर्तों में परिवर्तन जो एक दूसरे के साथ तुलना की जाती है, अनुपात को ही प्रभावित करेगा। याद रखें कि एक सीधा अनुपात एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ पूर्वलेखजोड़े हमेशा होते हैं मीटर, एक फलस्वरूप - भाजक. तब भिन्नों के गुणधर्म से यह प्राप्त करना आसान होगा कि तुलना की गई मात्राओं में परिवर्तन करने से अनुपात में परिवर्तन होता है। दो मात्राओं का अनुपात समान है अर्थअंश, जिनमें से प्रत्येक प्रतिनिधित्व करता है निजी: अंश को भाजक से विभाजित किया जाता है। (अनुच्छेद 341।) अब यह दिखाया गया है कि किसी अंश के अंश को किसी भी मान से गुणा करना गुणा करने के समान है अर्थउसी राशि से और अंश को विभाजित करना एक भिन्न के मानों को विभाजित करने के समान है। इसीलिए,

352. किसी युग्म के पूर्वपद को किसी मान से गुणा करने का अर्थ है अनुपातों को इस मान से गुणा करना और पूर्वपद को विभाजित करना इस अनुपात को विभाजित करना है।.
तो 6:2 का अनुपात 3 है
और 24:2 का अनुपात 12 है।
यहां अंतिम जोड़ी में पूर्ववर्ती और अनुपात पहले की तुलना में 4 गुना अधिक है।
संबंध a:b $\frac(a)(b)$ के बराबर है
और संबंध na:b $\frac(na)(b)$ के बराबर है।

उत्तर एक ज्ञात परिणाम के साथ, और अधिक पूर्वपद, अधिक अनुपात, और इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, पूर्ववर्ती उतना ही बड़ा होगा।

353. परिणामी जोड़ी को किसी भी मूल्य से गुणा करने पर, हम इस मूल्य से अनुपात का विभाजन प्राप्त करते हैं, और परिणामी को विभाजित करते हुए, हम अनुपात को गुणा करते हैं।किसी भिन्न के हर को गुणा करके, हम मान को विभाजित करते हैं, और हर को विभाजित करके, मान को गुणा करते हैं।
अतः 12:2 का अनुपात 6 है
और 12:4 का अनुपात 3 है।
यहाँ दूसरी जोड़ी का परिणाम है दो बारअधिक, लेकिन अनुपात दो बारपहले से कम।
अनुपात a:b \frac(a)(b)$ है
और अनुपात a:nb $\frac(a)(nb)$ के बराबर है।

उत्तर किसी दिए गए पूर्ववर्ती के लिए, परिणाम जितना बड़ा होगा, अनुपात उतना ही छोटा होगा। इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, परिणामी उतना ही छोटा होगा।

354. यह पिछले दो लेखों से अनुसरण करता है गुणन पूर्वकालकिसी भी मूल्य के जोड़े का अनुपात पर उतना ही प्रभाव पड़ेगा जितना कि परिणामी का विभाजनइस राशि से, और पूर्ववर्ती विभाजन, के समान प्रभाव होगा परिणामी गुणन.
तो 8:4 का अनुपात 2 है
पूर्ववर्ती को 2 से गुणा करने पर 16:4 का अनुपात 4 आता है
पूर्ववर्ती को 2 से भाग देने पर 8:2 का अनुपात 4 होता है।

उत्तर कोई कारकया विभक्तसंबंध को बदले बिना जोड़े के पूर्ववर्ती से परिणामी या परिणामी से पूर्ववर्ती में स्थानांतरित किया जा सकता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब एक गुणनखंड को एक पद से दूसरे पद में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह एक भाजक बन जाता है, और स्थानांतरित भाजक एक गुणनखंड बन जाता है।
तो अनुपात 3.6:9 = 2 है
कारक 3 को स्थानांतरित करना, $6:\frac(9)(3)=2$
समान अनुपात।

संबंध $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
मूविंग y $ma:by=\frac(ma)(by)$
गतिमान m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$।

355. जैसा कि लेखों से स्पष्ट है। 352 और 353, यदि पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों को एक ही राशि से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुपात नहीं बदलता है.

उत्तर 1. दो का अनुपात अंशों, जिनका एक सामान्य भाजक है, उनके अनुपात के समान है अंश.
इस प्रकार अनुपात a/n:b/n a:b के समान है।

उत्तर 2. प्रत्यक्षएक सामान्य अंश वाले दो अंशों का अनुपात उनके पारस्परिक अनुपात के बराबर होता है हरों.

356. किसी वस्तु से किन्हीं दो भिन्नों का अनुपात ज्ञात करना आसान है। यदि प्रत्येक पद को दो हरों से गुणा किया जाए, तो अनुपात समाकल व्यंजकों द्वारा दिया जाएगा। इस प्रकार, a/b:c/d युग्म के पदों को bd से गुणा करने पर, हमें $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$ प्राप्त होता है, जो घटाकर ad:bc बन जाता है। अंश और भाजक से कुल मान।

356 बी। अनुपात अधिक असमानता बढ़ती हैउसके
मान लें कि अधिक असमानता अनुपात 1+n:1 के रूप में दिया गया है
और कोई अनुपात ए: बी
एक सम्मिश्र अनुपात होगा (अनुच्छेद 347,) a + na:b
अनुपात a:b (अनुच्छेद 351 सम्मान) से अधिक क्या है
लेकिन अनुपात कम असमानता, दूसरे अनुपात के साथ जोड़ा गया, कम कर देता हैउसके।
मान लीजिए छोटे अंतर का अनुपात 1-n:1 है
कोई भी अनुपात ए: बी
जटिल अनुपात ए - ना:बी
a से कम क्या है:b.

357. अगर किसी जोड़ी के सदस्यों को या उससेजोड़ें या दो अन्य मात्राएँ घटाएँ जो एक ही अनुपात में हैं, तो योग या अवशेष का अनुपात समान होगा.
माना अनुपात a:b
यह c:d जैसा ही होगा
फिर रिश्ता मात्रापरिणामों के योग के पूर्ववृत्त, अर्थात्, a + c से b + d, भी समान हैं।
अर्थात, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$।

सबूत।

1. अनुमान से, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. बी और डी से गुणा करें, विज्ञापन = बीसी
3. दोनों पक्षों में सीडी जोड़ें, विज्ञापन + सीडी = बीसी + सीडी
4. डी द्वारा विभाजित करें, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$ से विभाजित करें।

अनुपात अंतरपरिणामों के अंतर के पूर्ववर्ती भी समान हैं।

358. यदि कई जोड़ियों में अनुपात समान हैं, तो सभी पूर्ववृत्तों का योग सभी परिणामों के योग के रूप में होता है क्योंकि कोई भी पूर्ववृत्त इसके परिणामस्वरूप होता है।
इस प्रकार अनुपात
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
इस प्रकार अनुपात (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2।

358बी। अनुपात अधिक असमानताकम हो जाती है, जोड़ना समान राशिदोनों सदस्यों को।
मान लीजिए कि दिया गया संबंध a+b:a या $\frac(a+b)(a)$ है
दोनों पदों में x जोड़ने पर, हमें a+b+x:a+x या $\frac(a+b)(a)$ प्राप्त होता है।

पहला बन जाता है $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
और आखिरी वाला $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$ है।
चूँकि अंतिम अंश स्पष्ट रूप से दूसरे से छोटा है, तब अनुपातकम होना चाहिए। (अनुच्छेद 351 सम्मान।)

लेकिन अनुपात कम असमानता बढ़ती है, दोनों शब्दों में समान मान जोड़ना।
मान लें कि दिया गया संबंध (a-b):a, या $\frac(a-b)(a)$ है।
दोनों पदों में x जोड़ने पर, यह (a-b+x):(a+x) या $\frac(a-b+x)(a+x)$ हो जाता है
उन्हें एक आम भाजक में लाना,
पहला बन जाता है $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
और आखिरी वाला, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$।

चूँकि अंतिम अंश दूसरे से बड़ा है, तब अनुपातअधिक।
यदि समान मान जोड़ने के बजाय ले लेनादो शब्दों से, यह स्पष्ट है कि अनुपात पर प्रभाव विपरीत होगा।

उदाहरण।

1. कौन सा बड़ा है: 11:9 अनुपात या 44:35 अनुपात?

2. कौन सा बड़ा है: अनुपात $(a+3):\frac(a)(6)$, या अनुपात $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. यदि एक जोड़ी का पूर्ववर्ती 65 है और अनुपात 13 है, तो परिणाम क्या होगा?

4. यदि एक युग्म का परिणामी 7 है और अनुपात 18 है, तो पूर्ववर्ती क्या है?

5. 8:7, और 2a:5b, और (7x+1):(3y-2) से बना जटिल अनुपात कैसा दिखता है?

6. (x + y): b, और (x-y): (a + b), और (a + b): h से बना एक जटिल अनुपात कैसा दिखता है? निरसित। (x 2 - y 2): बीएच।

7. यदि संबंध (5x+7):(2x-3), और $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ एक जटिल संबंध बनाते हैं, तो क्या संबंध क्या आपको मिलेगा: अधिक या कम असमानता? निरसित। अधिक असमानता का अनुपात।

8. (x + y):a और (x - y):b, और $b:\frac(x^2-y^2)(a)$ से बना अनुपात क्या है? निरसित। समानता अनुपात।

9. 7:5 का अनुपात क्या है और 4:9 को दोगुना और 3:2 को तिगुना कर दें?
निरसित। 14:15।

10. 3:7 का अनुपात और x:y के अनुपात को तिगुना करके 49:9 के अनुपात से मूल निकालने पर क्या बनता है?
निरसित। x3:y3.

अनुपात एक ऐसा परिचित संयोजन है, जो शायद एक व्यापक स्कूल के प्राथमिक ग्रेड से जाना जाता है। सबसे सामान्य अर्थ में, अनुपात दो या दो से अधिक अनुपातों की समानता है.

यानी अगर कुछ नंबर ए, बी और सी हैं

फिर अनुपात

यदि चार संख्याएँ A, B, C और D हैं

या तो एक अनुपात है

सबसे सरल उदाहरण जहां अनुपात का उपयोग किया जाता है वह प्रतिशत की गणना है।

सामान्य तौर पर, अनुपातों का उपयोग इतना व्यापक है कि यह बताना आसान है कि वे कहाँ लागू नहीं होते हैं।

दूरी, द्रव्यमान, आयतन, साथ ही किसी भी चीज़ की मात्रा निर्धारित करने के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त के साथ अनुपात का उपयोग किया जा सकता है: अनुपात में, विभिन्न वस्तुओं के बीच रैखिक निर्भरता होनी चाहिए. नीचे, कांस्य घुड़सवार लेआउट के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, आप देखेंगे कि गैर-रैखिक निर्भरता वाले अनुपातों की गणना कैसे करें।

निर्धारित करें कि कितने किलोग्राम चावल होंगे यदि आप 150 किलोग्राम चावल की कुल मात्रा का 17 प्रतिशत लेते हैं?

आइए शब्दों में अनुपात बनाते हैं: 150 किलोग्राम चावल का कुल आयतन है। तो चलिए इसे 100% के रूप में लेते हैं। फिर 100% के 17% की गणना दो अनुपातों के अनुपात के रूप में की जाएगी: 100 प्रतिशत 150 किलोग्राम के बराबर है जो 17 प्रतिशत अज्ञात संख्या के समान है।

अब अज्ञात संख्या की गणना प्राथमिक रूप से की जाती है

यानी हमारा जवाब 25.5 किलोग्राम चावल है।

अनुपात से जुड़े दिलचस्प रहस्य भी हैं, जो बताते हैं कि सभी अवसरों के लिए जल्दबाजी में अनुपात लागू करना आवश्यक नहीं है।

यहाँ उनमें से एक है, थोड़ा संशोधित:

कंपनी के कार्यालय में प्रदर्शन के लिए, निदेशक ने ग्रेनाइट पेडस्टल के बिना मूर्तिकला "कांस्य घुड़सवार" का एक मॉडल बनाने का आदेश दिया। शर्तों में से एक यह है कि मॉक-अप को मूल सामग्री के समान ही बनाया जाना चाहिए, अनुपात का पालन किया जाना चाहिए और मॉक-अप की ऊंचाई बिल्कुल 1 मीटर होनी चाहिए। प्रश्न: लेआउट का वजन कितना होगा?

आइए संदर्भ पुस्तकों से शुरू करें।

सवार की ऊंचाई 5.35 मीटर है और इसका वजन 8,000 किलोग्राम है।

यदि हम पहले विचार का उपयोग करें - अनुपात बनाने के लिए: 5.35 मीटर 8,000 किलोग्राम से 1 मीटर अज्ञात मान से संबंधित है, तो हम गणना भी शुरू नहीं कर सकते हैं, क्योंकि उत्तर गलत होगा।

यह सब एक छोटी सी बारीकियों के बारे में है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह कनेक्शन के बारे में है द्रव्यमान और ऊंचाई के बीचमूर्तियों अरेखीय, अर्थात्, यह नहीं कहा जा सकता है कि, उदाहरण के लिए, एक घन को 1 मीटर बढ़ाकर (अनुपात को देखते हुए कि यह एक घन बना रहे), हम उसी मात्रा से उसका वजन बढ़ाएंगे।

उदाहरणों के साथ जांचना आसान है:

1. एक क्यूब को 10 सेंटीमीटर की लंबाई के साथ गोंद करें। वहां कितना पानी जाएगा? यह तर्कसंगत है कि 10 * 10 * 10 \u003d 1000 घन सेंटीमीटर, यानी 1 लीटर। खैर, चूंकि उन्होंने वहां पानी डाला (घनत्व एक के बराबर है), और दूसरा तरल नहीं है, तो द्रव्यमान 1 किलो के बराबर होगा।

2. एक समान घन को गोंद करें लेकिन 20 सेमी की रिब लंबाई के साथ इसमें डाले गए पानी की मात्रा 20 * 20 * 20 = 8000 घन सेंटीमीटर, यानी 8 लीटर के बराबर होगी। खैर, वजन स्वाभाविक रूप से 8 किलो है।

यह देखना आसान है कि द्रव्यमान और घन के किनारे की लंबाई में परिवर्तन के बीच का संबंध गैर-रैखिक, या बल्कि घन है।

याद रखें कि आयतन ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई का गुणनफल है।

अर्थात्, जब कोई आकृति एक रेखीय आकार (ऊंचाई, चौड़ाई, गहराई) के अनुपात (अनुपात / आकार के अधीन) में बदलती है, तो त्रि-आयामी आकृति का द्रव्यमान / आयतन घन रूप से बदल जाता है।

हम बहस करते है:

हमारा रैखिक आयाम 5.35 मीटर से बदलकर 1 मीटर हो गया है, तो द्रव्यमान (आयतन) 8000/x के घनमूल के रूप में बदल जाएगा

और वह लेआउट प्राप्त करें कांस्य घुड़सवारकंपनी के कार्यालय में 1 मीटर की ऊंचाई के साथ 52 किलोग्राम 243 ग्राम वजन होगा।

लेकिन दूसरी तरफ, अगर कार्य इस तरह निर्धारित किया गया था " लेआउट मूल, अनुपात और समान सामग्रियों से बना होना चाहिए मात्रा 1 घन मीटर "फिर यह जानकर कि मात्रा और द्रव्यमान के बीच एक रैखिक संबंध है, हम केवल मानक अनुपात, पुरानी मात्रा को नए और पुराने द्रव्यमान को अज्ञात संख्या में उपयोग करेंगे।

लेकिन हमारा बॉट अन्य, अधिक सामान्य और व्यावहारिक मामलों में अनुपातों की गणना करने में मदद करता है।

निश्चित रूप से, यह खाना पकाने वाली सभी गृहिणियों के लिए उपयोगी होगा।

स्थिति तब उत्पन्न होती है जब 10 किलो के एक अद्भुत केक के लिए एक नुस्खा मिल जाता है, लेकिन इसकी मात्रा तैयार करने के लिए बहुत बड़ी है .. मैं चाहूंगा कि यह छोटा हो, उदाहरण के लिए, केवल दो किलोग्राम, लेकिन सभी नए वजन की गणना कैसे करें और सामग्री की मात्रा?

यह वह जगह है जहां एक बॉट आपकी मदद करेगा, जो 2 किलोग्राम के केक के नए मापदंडों की गणना करने में सक्षम होगा।

साथ ही, बॉट घर बनाने वाले मेहनती पुरुषों की गणना में मदद करेगा और उन्हें यह गणना करने की आवश्यकता है कि यदि उनके पास केवल 50 किलोग्राम रेत है तो उन्हें कितनी ठोस सामग्री लेनी है।

वाक्य - विन्यास

XMPP क्लाइंट उपयोगकर्ताओं के लिए: समर्थक<строка>

जहां स्ट्रिंग में आवश्यक तत्व हैं

संख्या 1 / संख्या 2 - अनुपात ढूँढना।

इस तरह के संक्षिप्त विवरण से डरने के लिए हम यहां एक उदाहरण देते हैं।

200 300 100 3 400/100

जो कहता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित:

200 ग्राम आटा, 300 मिलीलीटर दूध, 100 ग्राम मक्खन, 3 अंडे - पेनकेक्स की पैदावार 400 ग्राम है।

केवल 100 ग्राम पेनकेक्स बेक करने के लिए आपको कितनी सामग्री लेनी होगी?

नोटिस करना कितना आसान है

400/100 हम चाहते हैं उपज के लिए विशिष्ट नुस्खा का अनुपात है।

हम संबंधित अनुभाग में उदाहरणों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

उदाहरण

एक मित्र ने एक अद्भुत नुस्खा साझा किया

आटा: 200 ग्राम खसखस, 8 अंडे, 200 आइसिंग शुगर, 50 ग्राम कद्दूकस किए हुए रोल, 200 ग्राम पिसे हुए मेवे, 3 कप शहद।
धीमी आंच पर 30 मिनट के लिए खसखस ​​को उबालें, मूसल से पीसें, पिघला हुआ शहद, पिसे पटाखे, मेवे डालें।
पाउडर चीनी के साथ अंडे मारो, द्रव्यमान में जोड़ें।
आटे को धीरे से मिलाएं, एक सांचे में डालें, बेक करें।
ठंडा केक को 2 परतों में काटें, खट्टा जाम के साथ कोट करें, फिर क्रीम के साथ।
जैम बेरीज से गार्निश करें।
क्रीम: 1 कप खट्टा क्रीम, 1/2 कप चीनी, मारो।