कार्यों का गणितीय विश्लेषण। गणितीय विश्लेषण। देखें अन्य शब्दकोशों में "गणितीय विश्लेषण" क्या है

यू.वी. ओब्रूबोव द्वारा संकलित

कलुगा - 2012

गणितीय विश्लेषण का परिचय.

वास्तविक संख्या। चर और स्थिरांक.

गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है संख्या। धनात्मक संख्याएँ 1,2,3,..., जो गिनती करने पर प्राप्त होती हैं, कहलाती हैं प्राकृतिक। संख्याएँ... -3,-2,-1,0,1,2,3,... पूर्णांक कहलाती हैं। संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के परिमित अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है (
) कहा जाता है तर्कसंगत। इनमें पूर्णांक और भिन्न, धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हैं। वे संख्याएँ जो अनंत गैर-आवधिक भिन्नों द्वारा दर्शायी जाती हैं, कहलाती हैं तर्कहीन. अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं
,
. अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में होते हैं ट्रान्सेंडैंटल नंबर. ये वे संख्याएँ हैं जो गैर-बीजीय संक्रियाओं का परिणाम हैं। उनमें से सबसे प्रसिद्ध संख्या है और नेपेरोवो नंबर . परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं वैध . वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक एकल वास्तविक संख्या से मेल खाता है और, इसके विपरीत, प्रत्येक से वास्तविक संख्यासंख्या अक्ष पर एक बिंदु से मेल खाता है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं और संख्या रेखा पर बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है। इससे "संख्या ए" और "बिंदु ए" शब्दों का समान रूप से उपयोग करना संभव हो जाता है।

विभिन्न भौतिक, आर्थिक और सामाजिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, अक्सर उन मात्राओं से निपटना पड़ता है जो अध्ययन की जा रही घटनाओं के मापदंडों के संख्यात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। साथ ही, उनमें से कुछ बदल जाते हैं, जबकि अन्य अपने मूल्यों को बरकरार रखते हैं।

चर एक मात्रा है जो विभिन्न संख्यात्मक मान लेती है। वह मात्रा जिसका संख्यात्मक मान किसी दी गई समस्या या प्रयोग में नहीं बदलता है, कहलाती है स्थिर। परिवर्तनीय मात्राएँ आमतौर पर लैटिन अक्षरों में दर्शायी जाती हैं
और स्थिरांक
.

परिवर्तनीय मान इसे तब दिया गया माना जाता है जब इसके द्वारा ग्रहण किए जा सकने वाले मानों का समुच्चय ज्ञात हो। इस सेट को चर की भिन्नता की सीमा कहा जाता है।

संख्यात्मक चर के मानों के सेट विभिन्न प्रकार के होते हैं।

मध्यान्तर संख्या a और b के बीच निहित x के मानों का समूह है, जबकि संख्याएँ a और b प्रश्न में सेट से संबंधित नहीं हैं। अंतराल को (a,b);a द्वारा निरूपित किया जाता है

खंड द्वारा संख्या a और b के बीच निहित x के मानों का समूह है, जबकि संख्याएँ a और b प्रश्न में सेट से संबंधित हैं। खंड को ,a≤x≤b द्वारा दर्शाया जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक खुला अंतराल है। द्वारा निरूपित: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R.

बिंदु x का पड़ोस 0 एक मनमाना अंतराल (ए,बी) है जिसमें बिंदु x 0 है, इस अंतराल के सभी बिंदु असमानता को संतुष्ट करते हैं

ε - बिंदु ए का पड़ोस बिंदु a पर केंद्र के साथ एक अंतराल है जो असमानता a-ε को संतुष्ट करता है

समारोह। बुनियादी परिभाषाएँ और अवधारणाएँ।

फ़ंक्शन गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। मान लीजिए कि X और Y वास्तविक संख्याओं के मनमाने समुच्चय हैं।

यदि प्रत्येक संख्या x X, किसी नियम या कानून के अनुसार, एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या yU से जुड़ी है, तो वे कहते हैं कि दिया गया समारोह X की परिभाषा के क्षेत्र और Y के मानों के समुच्चय के साथ। y = f (x) द्वारा निरूपित। वेरिएबल x को कहा जाता है तर्क कार्य.

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने में, दो बिंदु आवश्यक हैं: परिभाषा के क्षेत्र को इंगित करना और पत्राचार के कानून को स्थापित करना।

परिभाषा का क्षेत्र या अस्तित्व का क्षेत्र एक फ़ंक्शन तर्क मानों का समूह है जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है, यानी यह समझ में आता है।

क्षेत्र बदलें एक फ़ंक्शन y मानों का समूह है जिसे यह x के स्वीकार्य मान लेता है।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विधियाँ.

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक विधि।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की इस पद्धति के साथ, पत्राचार कानून को एक सूत्र (एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति) के रूप में लिखा जाता है, जो दर्शाता है कि किन गणितीय परिवर्तनों के माध्यम से तर्क x के ज्ञात मान से y का संबंधित मान पाया जा सकता है।

एक फ़ंक्शन को उसकी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है या कई विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के संग्रह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: y = पाप (x 2 + 1)

2. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि

किसी घटना या प्रक्रिया के प्रत्यक्ष अवलोकन या प्रायोगिक अध्ययन के परिणामस्वरूप, तर्क x के मान और y के संबंधित मान एक निश्चित क्रम में लिखे जाते हैं।

यह तालिका x के फ़ंक्शन y को परिभाषित करती है।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि का एक उदाहरण त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएं, लघुगणक की तालिकाएं, तिथियां और विनिमय दरें, वायु तापमान और आर्द्रता इत्यादि हो सकते हैं।

3. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि में तकनीकी उपकरणों का उपयोग करके समन्वय विमान पर बिंदुओं (x, y) को चित्रित करना शामिल है। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि का उपयोग गणितीय विश्लेषण में नहीं किया जाता है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित कार्यों का ग्राफिकल चित्रण हमेशा उपयोग किया जाता है।

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हर चीज़ को यथासंभव सरलता से कहा जाना चाहिए, लेकिन अधिक सरल नहीं।
अल्बर्ट आइंस्टीन

हमारी यात्रा एक काल्पनिक चरित्र से मिलने से शुरू होगी जिसे हम जॉन डो कहेंगे। वह एक औसत कार्यकर्ता है जो दुनिया के किसी भी शहर में आसानी से पाया जा सकता है। लगभग हर दिन, जॉन अपनी अलार्म घड़ी की तेज़ आवाज़ से जाग जाता है और अपनी कार में काम करने के लिए चला जाता है। वह लिफ्ट से अपने कार्यालय जाता है, जहां वह कंप्यूटर लोड करता है और अपना उपयोगकर्ता नाम और पासवर्ड दर्ज करता है। जॉन ये सभी चीज़ें बिना ज़रा भी अंदाज़ा लगाए करता है कि वे कैसे काम करती हैं।

शायद उसे यह जानने में दिलचस्पी होगी कि जिन उपकरणों और उपकरणों का वह प्रतिदिन उपयोग करता है वे कैसे काम करते हैं और कार्य करते हैं, हालांकि, उसके पास ऐसा करने के लिए न तो समय है और न ही ऊर्जा। वह कारों, लिफ्टों, कंप्यूटरों और अलार्म घड़ियों को पूरी तरह से अलग और जटिल तंत्र मानते हैं जिनका एक-दूसरे से कोई लेना-देना नहीं है। जॉन के अनुसार, यह समझने में वर्षों का अध्ययन लगता है कि उनमें से प्रत्येक कैसे काम करता है।

कुछ लोग चीज़ों को हमारे जॉन डो से थोड़ा अलग ढंग से देखते हैं। वे जानते हैं कि एलिवेटर इंस्टॉलेशन में इलेक्ट्रिक मोटर ऑटोमोबाइल अल्टरनेटर के समान हैं।

वे जानते हैं कि प्रोग्रामेबल लॉजिक कंट्रोलर जो लिफ्ट को चलाने वाली इलेक्ट्रिक मोटर को नियंत्रित करता है, जॉन डो के कार्य कंप्यूटर के समान है। वे जानते हैं कि, मौलिक स्तर पर, प्रोग्रामयोग्य लॉजिक नियंत्रकों, अलार्म घड़ियों और कंप्यूटरों का संचालन सिद्धांत अपेक्षाकृत सरल ट्रांजिस्टर सिद्धांत पर आधारित है। जॉन डो और औसत व्यक्ति जिसे अविश्वसनीय रूप से जटिल मानते हैं वह हैकर के लिए सरल यांत्रिक और विद्युत सिद्धांतों का सबसे आम उपयोग है। समस्या यह है कि इन सिद्धांतों को कैसे लागू किया जाता है। जटिल विचारों से मौलिक सिद्धांतों को निकालने से हमें उन्हें इस तरह से समझने और सरल बनाने की अनुमति मिलती है जो ऊपर उद्धृत अल्बर्ट आइंस्टीन की बिना सोचे-समझे दी गई सलाह को श्रद्धांजलि देता है।

हममें से कई लोग कैलकुलस को कठिन मानते हैं। (जॉन डो विभिन्न तंत्रों के डिजाइन और कामकाज के एक ही सिद्धांत पर विचार करते हैं।) आप जटिल, भ्रमित करने वाली चीजों का ढेर देखते हैं। उन्हें समझने के लिए आपको बहुत समय और प्रयास की आवश्यकता होगी। लेकिन क्या होगा अगर हमने आपको बताया कि गणितीय विश्लेषण (कैलकुलस) उतना जटिल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है, न ही अधिकांश तंत्र हैं? कुछ बुनियादी सिद्धांत हैं जिन्हें हर किसी को समझने के लिए दिया जाता है, और एक बार जब आप ऐसा करते हैं, तो आपके पास दुनिया के बारे में एक नया दृष्टिकोण होगा और यह कैसे काम करता है?

एक सामान्य कैलकुलस पाठ्यपुस्तक में लगभग एक हजार पृष्ठ होते हैं। एक विशिष्ट जॉन डो इसमें हजारों चीजें देखेगा जिन्हें समझना और अध्ययन करना मुश्किल है, और एक हैकर दो बुनियादी सिद्धांतों (व्युत्पन्न और अभिन्न) और इन सिद्धांतों के 998 उदाहरण देखेगा। हम मिलकर यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि ये सिद्धांत क्या हैं। ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय के प्रोफेसर माइकल स्टारबर्ड द्वारा किए गए काम के आधार पर, हम रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करेंगे जिन्हें हर कोई समझ सकता है। गणितीय विश्लेषण से हमारी दुनिया की विशेष सुंदरता का पता चलता है - सुंदरता जो तब उत्पन्न होती है जब आप इसे गतिशील रूप से देखने में सक्षम होते हैं, न कि स्थिर रूप से। हमें उम्मीद है कि सब कुछ आपके लिए काम करेगा।

शुरू करने से पहले, मैं गणितीय विश्लेषण के उद्भव के इतिहास के बारे में संक्षेप में बताना चाहूंगा, जिसकी जड़ें परिवर्तन और आंदोलन के बहुत सावधानीपूर्वक विश्लेषण में निहित हैं।

ज़ेनो का विरोधाभास

एलिया के ज़ेनो एक दार्शनिक थे जो चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे। उन्होंने कई सूक्ष्म लेकिन गहन विरोधाभासों को सामने रखा, जिनमें से दो के कारण अंततः कैलकुलस का जन्म हुआ। ज़ेनो के विरोधाभासों को सुलझाने में मानवता को दो हजार साल से अधिक का समय लगा। जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, यह आसान नहीं था। कठिनाइयाँ काफी हद तक अनंत के विचार से संबंधित थीं। गणितीय दृष्टिकोण से अनंत समस्या क्या है? 17वीं शताब्दी में, आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज ज़ेनो के विरोधाभासों को हल करने और गणितीय विश्लेषण बनाने में कामयाब रहे। आइए इन विरोधाभासों पर करीब से नज़र डालें और समझें कि इनके बारे में इतना हंगामा क्यों हुआ।

तीर

कल्पना कीजिए कि एक तीर हवा में उड़ रहा है। हम बड़े विश्वास से कह सकते हैं कि तीर चल रहा है। आइए अब एक निश्चित समय पर तीर को देखें। वह अब हिलती-डुलती नहीं है, बल्कि आराम की स्थिति में रहती है। लेकिन हम निश्चित रूप से जानते हैं कि तीर गति में है, फिर वह स्थिर कैसे हो सकता है?! यही इस विरोधाभास का सार है. यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है, लेकिन वास्तव में यह एक बहुत ही जटिल अवधारणा है जिस पर गणितीय दृष्टिकोण से विचार करने की आवश्यकता है।

बाद में हमें पता चलेगा कि हम परिवर्तन की तात्कालिक दर की अवधारणा से निपट रहे हैं, जिसे हम गणितीय विश्लेषण (कैलकुलस) के दो सिद्धांतों में से एक - व्युत्पन्न के विचार से जोड़ेंगे। यह हमें एक निश्चित समय पर तीर की गति की गणना करने की अनुमति देगा - कुछ ऐसा जो मानवता दो सहस्राब्दियों से अधिक समय से नहीं कर पाई है।

विरोधाभास

आइए फिर से उसी तीर को देखें। इस बार आइए कल्पना करें कि यह हमारी दिशा में उड़ रहा है। ज़ेनो ने तर्क दिया कि हमें हिलना नहीं चाहिए क्योंकि एक तीर कभी भी हम पर नहीं लग सकता। कल्पना कीजिए कि एक बार जब तीर हवा में होता है, तो उसे धनुष और लक्ष्य के बीच की आधी दूरी तय करनी पड़ती है। एक बार जब वह एक निश्चित आधे बिंदु पर पहुंच जाती है, तो उसे फिर से आधी दूरी तय करनी होगी - इस बार इस बिंदु और लक्ष्य के बीच। सोचिए अगर हम ऐसा करना जारी रखें. इस प्रकार तीर लगातार संदर्भ बिंदु और लक्ष्य के बीच की आधी दूरी तय करता है। इस पर विचार करने पर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तीर हम पर कभी नहीं लग सकेगा! वास्तविक जीवन में, तीर अंततः अपने लक्ष्य तक पहुंच जाएगा, जिससे हम विरोधाभास के अर्थ का अनुमान लगाने पर मजबूर हो जाएंगे।

पहले विरोधाभास की तरह, हम बाद में देखेंगे कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांतों में से एक - अभिन्न का उपयोग करके इस समस्या को कैसे हल किया जाए। इंटीग्रल हमें अनंत की अवधारणा को एक गणितीय फलन के रूप में देखने की अनुमति देता है। वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के अनुसार यह एक अत्यंत शक्तिशाली उपकरण है।

गणितीय विश्लेषण के दो बुनियादी सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण के दो मूलभूत सिद्धांतों के सार को ज़ेनो के विरोधाभासों को हल करने के लिए लागू करके प्रदर्शित किया जा सकता है।

व्युत्पन्न.व्युत्पन्न एक ऐसी विधि है जो हमें तीर विरोधाभास में तीर की गति की गणना करने की अनुमति देगी। हम समय के क्रमिक रूप से घटते अंतराल पर तीर की स्थिति का विश्लेषण करके ऐसा करेंगे। तीर की सटीक गति तब ज्ञात होगी जब माप के बीच का समय अनंत होगा।

अभिन्न।इंटीग्रल एक ऐसी विधि है जो हमें डाइकोटॉमी विरोधाभास में तीर की स्थिति की गणना करने की अनुमति देगी। हम समय के क्रमिक रूप से घटते अंतराल पर तीर की गति का विश्लेषण करके ऐसा करेंगे। तीर की सटीक स्थिति हमें तब ज्ञात होगी जब मापों के बीच का समय अनंत हो जाएगा।

व्युत्पन्न और अभिन्न के बीच कुछ समानताएं देखना आसान है। दोनों मात्राओं की गणना धीरे-धीरे कम होते समय अंतराल पर उछाल की स्थिति या गति का विश्लेषण करके की जाती है। हमें बाद में पता चलेगा कि अभिन्न और व्युत्पन्न मूलतः एक ही सिरेमिक संधारित्र के दो पहलू हैं।

हमें कैलकुलस की मूल बातें क्यों सीखनी चाहिए?

हम सभी ओम के नियम को जानते हैं, जो करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध को एक सरल समीकरण में जोड़ता है। अब आइए संधारित्र के उदाहरण का उपयोग करके ओम के नियम को देखें। संधारित्र धारा वोल्टेज और समय पर निर्भर करती है। इस मामले में समय एक महत्वपूर्ण चर है और किसी भी गतिशील घटना में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। गणितीय विश्लेषण हमें यह समझने और सराहना करने की अनुमति देता है कि समय के साथ चीजें कैसे बदलती हैं। संधारित्र के मामले में, धारा वोल्ट प्रति सेकंड से गुणा की गई धारिता के बराबर होती है, या i = C(dv/dt), जहां:

मैं - वर्तमान ताकत (तात्कालिक);
सी - कैपेसिटेंस, जिसे फैराड में मापा जाता है;
डीवी - वोल्टेज परिवर्तन;
डीटी - समय परिवर्तन।

इस परिपथ में संधारित्र में कोई विद्युत धारा नहीं होती है। वोल्टमीटर बैटरी वोल्टेज दिखाएगा, लेकिन एमीटर कुछ नहीं दिखाएगा। जब तक पोटेंशियोमीटर बरकरार रहेगा, वोल्टेज नहीं बदलेगा। इस मामले में, i = C(0/dt) = 0 एम्पीयर। लेकिन अगर हम पोटेंशियोमीटर को समायोजित करना शुरू कर दें तो क्या होगा? समीकरण को देखते हुए, परिणामी धारा संधारित्र में दिखाई देगी। यह धारा वोल्टेज में परिवर्तन पर निर्भर करेगी, जो इस बात से संबंधित है कि पोटेंशियोमीटर कितनी तेजी से चलता है।

ये ग्राफ़ संधारित्र में वोल्टेज, करंट और उस गति के बीच संबंध दिखाते हैं जिस पर हम पोटेंशियोमीटर को घुमाते हैं। हम इसे पहले धीरे-धीरे करते हैं। गति में वृद्धि से वोल्टेज में परिवर्तन होता है, जो बदले में, वर्तमान में तेज वृद्धि को भड़काता है। सभी चरणों में, संधारित्र में धारा उसमें वोल्टेज परिवर्तन की दर के समानुपाती होती है।

गणितीय विश्लेषण, या अधिक सटीक रूप से कहें तो, व्युत्पन्न, हमें परिवर्तन की दर निर्धारित करने की अनुमति देता है ताकि हम एक निश्चित समय पर संधारित्र में वर्तमान के मूल्य को ठीक से जान सकें। इसी तरह, हम ज़ेनो के तीर की तात्कालिक गति की गणना कर सकते हैं। यह एक अविश्वसनीय रूप से शक्तिशाली उपकरण है जो आपके शस्त्रागार में होना चाहिए।

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गणितीय विश्लेषण

गणित का वह भाग, जिसमें कार्यऔर विधि द्वारा उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन किया जाता है सीमाएं.एक सीमा की अवधारणा एक अतिसूक्ष्म मात्रा की अवधारणा से निकटता से संबंधित है, इसलिए हम यह भी कह सकते हैं कि एम. ए. इनफिनिटसिमल पद्धति का उपयोग करके कार्यों और उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन करता है।

नाम "एम. ए." - गणित के इस भाग के पुराने नाम का संक्षिप्त संशोधन - "इनफिनिटिमल्स का विश्लेषण"; उत्तरार्द्ध सामग्री को अधिक पूर्ण रूप से प्रकट करता है, लेकिन इसे संक्षिप्त भी किया गया है (शीर्षक "इनफिनिटसिमल्स के माध्यम से विश्लेषण" विषय को अधिक सटीक रूप से चित्रित करेगा)। शास्त्रीय एम.ए. में अध्ययन की वस्तुएँ (विश्लेषण) मुख्य रूप से कार्य हैं। "सबसे पहले" क्योंकि एम. ए. का विकास। इसकी विधियों से ,-कार्यात्मक, संचालिका आदि की तुलना में अधिक जटिल संरचनाओं का अध्ययन करने की संभावना पैदा हुई।

प्रकृति और प्रौद्योगिकी में हर जगह हलचलें और प्रक्रियाएँ पाई जाती हैं, जिनका वर्णन कार्यों द्वारा किया जाता है; प्राकृतिक घटनाओं के नियमों का वर्णन भी आमतौर पर कार्यों द्वारा किया जाता है। इसलिए एम.ए. का वस्तुनिष्ठ महत्व। कार्यों के अध्ययन के साधन के रूप में।

एम. ए. शब्द के व्यापक अर्थ में, यह गणित के एक बहुत बड़े हिस्से को कवर करता है। इसमें शामिल है अंतर, अभिन्न कलन, एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत,लिखित सामान्य अवकल समीकरण,लिखित आंशिक अंतर समीकरण,लिखित अभिन्न समीकरण, विविधताओं की गणना, कार्यात्मक विश्लेषणऔर कुछ अन्य गणितीय अनुशासन. आधुनिक संख्या सिद्धांतऔर सिद्धांत संभावनाएम.ए. की विधियों को लागू करें और विकसित करें।

फिर भी, शब्द एम. ए. अक्सर इसका उपयोग केवल गणितीय विश्लेषण की नींव को नाम देने के लिए किया जाता है, जो सिद्धांत को जोड़ती है वास्तविक संख्यासीमा का सिद्धांत, सिद्धांत पंक्तियाँ,डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस और उनके प्रत्यक्ष अनुप्रयोग, जैसे मैक्सिमा और मिनिमा का सिद्धांत, सिद्धांत निहित कार्य, फूरियर श्रृंखला, फूरियर इंटीग्रल्स।

समारोह।एमए में। लोबचेव्स्की और डिरिचलेट के अनुसार एक फ़ंक्शन की परिभाषा से शुरू करें। यदि k.-l के आधार पर, Fnumbers के एक निश्चित सेट की प्रत्येक संख्या xy। कानून संख्या में शामिल है हाँ,तो यह फ़ंक्शन को परिभाषित करता है

एक चर से एक्स।फ़ंक्शन को इसी तरह परिभाषित किया गया है

चर से, कहाँ एक्स=(एक्स 1 , ..., एक्स पी) - एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु; कार्यों पर भी विचार करें

बिंदुओं से एक्स=(एक्स 1 , एक्स 2 , ...) एक निश्चित अनंत-आयामी स्थान का, जिसे, हालांकि, अक्सर कार्यात्मक कहा जाता है।

प्राथमिक कार्य.एम.ए. में मौलिक महत्व. खेल प्राथमिक कार्य.व्यवहार में, वे मुख्य रूप से प्राथमिक कार्यों के साथ काम करते हैं, उनका उपयोग अधिक जटिल प्रकृति के कार्यों को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। प्राथमिक कार्यों को न केवल वास्तविक के लिए, बल्कि जटिल x के लिए भी माना जा सकता है, फिर इन कार्यों के बारे में विचार, एक निश्चित अर्थ में, पूर्ण हो जाते हैं। इसी के संबंध में एम. की एक महत्वपूर्ण शाखा का उदय हुआ, जिसे कहा जाता है। एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत, या सिद्धांत विश्लेषणात्मक कार्य.

वास्तविक संख्या।किसी फ़ंक्शन की अवधारणा अनिवार्य रूप से वास्तविक (तर्कसंगत और अपरिमेय) संख्या की अवधारणा पर आधारित है। इसका निर्माण अंततः 19वीं सदी के अंत में हुआ। विशेष रूप से, संख्याओं और ज्यामितीय बिंदुओं के बीच एक तार्किक रूप से दोषरहित संबंध स्थापित किया गया है। सीधी रेखा, जिसके कारण आर. डेसकार्टेस (आर. डेसकार्टेस, 17वीं शताब्दी के मध्य) के विचारों की औपचारिक पुष्टि हुई, जिन्होंने गणित में आयताकार समन्वय प्रणाली और ग्राफ़ द्वारा उनमें कार्यों का प्रतिनिधित्व पेश किया।

सीमा.एमए में। कार्यों के अध्ययन की विधि है। किसी अनुक्रम की सीमा और किसी फ़ंक्शन की सीमा के बीच अंतर किया जाता है। ये अवधारणाएँ अंततः 19वीं शताब्दी में ही बनीं, हालाँकि प्राचीन यूनानियों को इनके बारे में एक विचार था। वैज्ञानिक। यह कहना पर्याप्त है कि आर्किमिडीज़ (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) एक प्रक्रिया का उपयोग करके परवलय के एक खंड की गणना करने में सक्षम थे जिसे हम सीमा तक मार्ग कहेंगे (देखें)। थकावट विधि).

सतत कार्य.एमए में अध्ययन किये गये महत्वपूर्ण कार्यों का निर्माण होता है निरंतर कार्य.इस अवधारणा की एक संभावित परिभाषा: कार्य y=f(x).एक चर से एक्स,अंतराल पर दिया गया ( ए, बी), बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स,अगर

फ़ंक्शन अंतराल पर निरंतर है ( ए, बी), यदि यह अपने सभी बिंदुओं पर निरंतर है; तब यह एक वक्र है, जो शब्द की रोजमर्रा की समझ में निरंतर है।

व्युत्पन्न और.निरंतर कार्यों के बीच, हमें उन कार्यों पर प्रकाश डालना चाहिए जो हैं व्युत्पन्न.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

एक बिंदु पर इस बिंदु पर परिवर्तन की दर है, यानी सीमा

यदि आपके पास समय में कोटि अक्ष के अनुदिश गतिमान किसी बिंदु का निर्देशांक है एक्स,तब f" (x). समय के क्षण में बिंदु की तात्कालिक गति है एक्स।

व्युत्पन्न f" (x) के चिह्न द्वारा . f(x) में परिवर्तन की प्रकृति का आकलन करें: यदि f"(z)>0 ( एफ"(एक्स) <0 ). अंतराल पर ( एस, डी), तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन / बढ़ता (घटता) है। यदि फ़ंक्शन / किसी बिंदु x पर एक स्थानीय चरम (अधिकतम या न्यूनतम) तक पहुंचता है और इस बिंदु पर एक व्युत्पन्न है, तो उत्तरार्द्ध इस बिंदु पर शून्य के बराबर है f "(x 0) = 0।

समानता (1) को समतुल्य समानता से प्रतिस्थापित किया जा सकता है

जहां अपरिमित है, जब यानी यदि फ़ंक्शन f के बिंदु पर एक व्युत्पन्न है एक्स,तो इस बिंदु पर इसकी वृद्धि दो पदों में विघटित हो जाती है। इनमें से पहला

(आनुपातिक) से है, दूसरा - की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है

मान (2) कहा जाता है। अंतरछोटे से वेतन वृद्धि के अनुरूप कार्यों को लगभग बराबर माना जा सकता है डीवाई:

अंतर के बारे में उपरोक्त विचार एमए के लिए विशिष्ट हैं। वे कई चरों के कार्यों और कार्यात्मकताओं तक विस्तारित होते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन

चर से निरंतर है आंशिक अवकलजबिंदु पर एक्स=(एक्स 1 , ... , एक्स एन), फिर इसकी वृद्धि स्वतंत्र चरों की वृद्धि के अनुरूप प्रपत्र में लिखा जा सकता है

अगर वह सब कहां है

यहां (3) के दाईं ओर पहला पद अंतर है dzकार्य एफ. यह रैखिक रूप से निर्भर करता है और दूसरा पद तेजी से शून्य हो जाता है

दिया जाए (कला देखें)। विविधताओं की गणना)

फ़ंक्शन क्लास x(t) तक विस्तारित , खंड पर निरंतर व्युत्पन्न होना और सीमा शर्तों को संतुष्ट करना x( टी 0)=एक्स 0,एक्स( टी 1)=एक्स एल ,कहाँ एक्स 0, एक्स 1 -डेटा नंबर; मान लीजिए, आगे, फ़ंक्शन का वर्ग h(t) है , निरंतर व्युत्पन्न पर और ऐसा कि h( टी 0)=एच(टी 1)=0. जाहिर है, अगर

विविधताओं की गणना में यह साबित होता है कि, एल पर कुछ शर्तों के तहत, कार्यात्मक जे (एक्स) की वृद्धि को फॉर्म में लिखा जा सकता है

कहा पर

और, इस प्रकार, (4) के दाईं ओर दूसरा पद ||h|| की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है, और पहला पद (4) में पहले पद पर रैखिक रूप से निर्भर करता है। कार्यात्मक की भिन्नता और dJ द्वारा निरूपित किया जाता है( एक्स,एच).

अभिन्न। व्युत्पन्न के साथ-साथ गणित में इसका मौलिक महत्व है। अनिश्चित और निश्चित अभिन्न अंग हैं।

अनिश्चितकालीन समाकलन का प्रतिअवकलन फलन से गहरा संबंध है। फ़ंक्शन F(x).कहा जाता है. अंतराल पर फलन f का प्रतिअवकलन ( ए, बी), यदि इस अंतराल पर एफ"(एक्स) =एफ(एक्स)।

फ़ंक्शन का निश्चित अभिन्न अंग (रीमैन) / अंतराल पर [ ए,बी] एक सीमा है

यदि फ़ंक्शन f सकारात्मक है और अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी], तो इस खंड पर इसका अभिन्न अंग वक्र से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर है y=f(एक्स), अक्ष ओहऔर सीधा एक्स=ए, एक्स=बी.

रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के वर्ग में सभी निरंतर फ़ंक्शंस शामिल हैं [ ए, बी]कार्य और कुछ असंतत कार्य। लेकिन वे सभी आवश्यक रूप से सीमित हैं। असीमित कार्यों के लिए जो बहुत तेज़ी से नहीं बढ़ते हैं, साथ ही अनंत अंतरालों पर परिभाषित कुछ कार्यों के लिए, तथाकथित अनुचित अभिन्न अंग,उनकी परिभाषा के लिए सीमा तक दोहरे मार्ग की आवश्यकता होती है।

एक चर के एक फ़ंक्शन के लिए रीमैन इंटीग्रल की अवधारणा कई चर के कार्यों तक फैली हुई है (देखें)। एकाधिक अभिन्न).

दूसरी ओर, एम.ए. की ज़रूरतें। एक पूरी तरह से अलग दिशा में अभिन्न का सामान्यीकरण हुआ, जिसका अर्थ है लेब्सग इंटीग्रलया अधिक सामान्य लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल।इन अभिन्नों की परिभाषा में आवश्यक कुछ सेटों का परिचय है, जिन्हें मापने योग्य कहा जाता है, उनके माप की अवधारणा और, इस आधार पर, एक मापने योग्य फ़ंक्शन की अवधारणा का परिचय। मापने योग्य कार्यों के लिए, लेब्सग्यू - स्टिल्टजेस इंटीग्रल पेश किया गया है। इस मामले में, विभिन्न मापों की एक विस्तृत श्रृंखला और मापने योग्य सेटों और कार्यों के संबंधित वर्गों पर विचार किया जाता है। इससे किसी विशिष्ट विशिष्ट समस्या के लिए एक या दूसरे अभिन्न अंग को अनुकूलित करना संभव हो जाता है।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र. व्युत्पन्न और अभिन्न के बीच एक संबंध है, जिसे न्यूटन-लीबनिज सूत्र (प्रमेय) द्वारा व्यक्त किया गया है।

यहाँ f(x).सतत पर [ ए, बी]फ़ंक्शन, एक F(x) - इसका प्रोटोटाइप.

फॉर्मूला और टेलर. गणितीय गणित में व्युत्पन्न और अभिन्न के साथ-साथ सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा (अनुसंधान उपकरण)। हैं टेलर पी टेलर पंक्ति.यदि फलन f(x) , ए बिंदु x 0 के पड़ोस में क्रम n सहित निरंतर व्युत्पन्न हैं, तो इसे इस पड़ोस में एक बहुपद द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

बुलाया इसके टेलर बहुपद (डिग्री n) द्वारा। घातों द्वारा एक्स-एक्स 0:

(टेलर फॉर्मूला); इस मामले में सन्निकटन त्रुटि

के रूप में शून्य हो जाता है

की तुलना में तेज

इस प्रकार, बिंदु x 0 के पड़ोस में फ़ंक्शन f(x) को एक बहुत ही सरल फ़ंक्शन (बहुपद) द्वारा सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ अनुमानित किया जा सकता है, जिसकी गणना के लिए केवल अंकगणित की आवश्यकता होती है। संक्रियाएँ - जोड़, घटाव और गुणा।

तथाकथित विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। ऐसे कार्य जो x 0 के एक निश्चित पड़ोस में विश्लेषणात्मक हैं और उनमें अनंत संख्या में व्युत्पन्न हैं, जैसे कि इस पड़ोस में उनके लिए उन्हें अनंत टेलर पावर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

कुछ शर्तों के तहत, टेलर विस्तार कई चर के कार्यों के साथ-साथ कार्यात्मक और ऑपरेटरों के लिए भी संभव है।

ऐतिहासिक सन्दर्भ. 17वीं सदी तक एम. ए. पृथक विशिष्ट समस्याओं के समाधान का एक समूह था; उदाहरण के लिए, इंटीग्रल कैलकुलस में, ये आकृतियों के क्षेत्रफल, घुमावदार सीमाओं वाले पिंडों के आयतन, एक चर बल का कार्य आदि की गणना करने की समस्याएं हैं। प्रत्येक समस्या या विशेष समस्या को अपनी विधि से हल किया जाता था, कभी-कभी जटिल और बोझिल ( गणित के प्रागितिहास के लिए लेख देखें अनन्तिमल कलन), एम. ए. एकल और व्यवस्थित के रूप में संपूर्ण का गठन आई. न्यूटन, जी. लीबनिज़, एल. यूलर, जे. लैग्रेंज और 17वीं-18वीं शताब्दी के अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों में हुआ था, और उनकी सीमा का सिद्धांत ओ. कोमी (ए. कॉची) द्वारा विकसित किया गया था। शुरुआत। 19 वीं सदी एमए की प्रारंभिक अवधारणाओं का गहन विश्लेषण। 19वीं और 20वीं सदी के विकास से जुड़ा था। सेट सिद्धांत, माप सिद्धांत, वास्तविक चर के कार्यों का सिद्धांत और विभिन्न सामान्यीकरणों को जन्म दिया।

लिट: ला वैले - पी यू एस ई एन श.-जे. डी ई, इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का कोर्स, ट्रांस। फ्रेंच से, खंड 1-2, एम., 1933; इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी., गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत, तीसरा संस्करण, भाग 1, एम., 1971; दूसरा संस्करण, भाग 2, एम., 1980; इल और एन वी.ए., सदोव्निची वी.ए., सीडोव बी.एक्स., गणितीय विश्लेषण, एम., 1979; के यू डी आर आई वी सी ई वी एल.डी., गणितीय विश्लेषण, दूसरा संस्करण, खंड 1-2, एम., 1973; निकोल्स्की एस.एम., गणितीय विश्लेषण का पाठ्यक्रम, दूसरा संस्करण, खंड 1-2, एम., 1975; यू आई टी टी ई के ई आर ई. टी., वी ए टी एस ओ एन डी जे। एन., आधुनिक विश्लेषण पाठ्यक्रम, ट्रांस। अंग्रेजी से, भाग 1-2, दूसरा संस्करण, एम., 1962-63; एफ इख्तेंगोल्ट्स जी.एम., कोर्स ऑफ डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, 7वां संस्करण, खंड 1-2, एम., 1970; 5वां संस्करण, खंड 3, एम., 1970। एस. एम. निकोल्स्की।

गणितीय विश्वकोश. - एम.: सोवियत विश्वकोश. आई. एम. विनोग्रादोव। 1977-1985.

देखें अन्य शब्दकोशों में "गणितीय विश्लेषण" क्या है:

गणितीय विश्लेषण, गणित की शाखाओं का एक समूह जो विभेदक कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस के तरीकों द्वारा कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है... आधुनिक विश्वकोश

गणित की शाखाओं का एक समूह जो अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों द्वारा कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है। यह शब्द वैज्ञानिक से अधिक शैक्षणिक है: गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम विश्वविद्यालयों और तकनीकी स्कूलों में पढ़ाए जाते हैं... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

अंग्रेज़ी गणितीय विश्लेषण जर्मन गणित विश्लेषण. गणित की एक शाखा जो विभेदक और अभिन्न कलन के तरीकों द्वारा कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है। एंटिनाज़ी। समाजशास्त्र का विश्वकोश, 2009 ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

अस्तित्व।, पर्यायवाची शब्दों की संख्या: 2 मटन (2) गणितीय विश्लेषण (2) पर्यायवाची शब्दकोष एएसआईएस। वी.एन. ट्रिशिन। 2013… पर्यायवाची शब्दकोष

गणितीय विश्लेषण- गणितीय विश्लेषण। गणित की शाखाओं का एक समूह जो अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों द्वारा गणितीय कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है। एम.ए. विधियों का उपयोग. सबसे महत्वपूर्ण को हल करने का एक प्रभावी साधन है... ... पद्धतिगत नियमों और अवधारणाओं का नया शब्दकोश (भाषा शिक्षण का सिद्धांत और अभ्यास)

गणितीय विश्लेषण- - EN गणितीय विश्लेषण गणित की वह शाखा जो स्पष्ट रूप से सीमा प्रक्रिया या अभिसरण की अवधारणा से संबंधित है; विभेदीकरण के सिद्धांत शामिल हैं,… … तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

गणितीय विश्लेषण- गणितीय विश्लेषण, अंतर कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस के तरीकों द्वारा कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखाओं का एक सेट। ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

"...अगर मुझे एक बच्चे की स्वाभाविक जिज्ञासा और मॉडलिंग के प्रति उसके प्यार को नष्ट करने के एकमात्र उद्देश्य से एक तंत्र बनाना होता, तो यह संभावना नहीं है कि मैं इससे बेहतर कर पाता जितना पहले ही महसूस किया जा चुका है - मैं बस ऐसा नहीं कर पाता ऐसे असंवेदनशील, नीरस विचारों से प्रतिस्पर्धा करने के लिए पर्याप्त कल्पनाशक्ति है, जो गणित के अध्ययन के आधुनिक तरीकों में सन्निहित हैं।"

इस तरह ललित कला का अध्ययन करने की कल्पना करें: बच्चे, किंडरगार्टन में कोई ड्राइंग नहीं। इसके बजाय, आइए पेंट उत्पादों के रसायन विज्ञान, प्रकाश की भौतिकी और आंख की शारीरिक रचना का अध्ययन करें। इन पहलुओं का अध्ययन करने के 12 वर्षों के बाद, यदि बच्चे (या बल्कि किशोर) अभी भी कला से नफरत नहीं करते हैं, तो वे स्वयं चित्र बनाना शुरू कर सकते हैं। आख़िरकार, अब उनके पास कला का सम्मान करना शुरू करने का पूरा आधार है। सही?

कविता के साथ भी ऐसा ही है. इस उद्धरण (सूत्र) का अध्ययन करने की कल्पना करें:

“लेकिन मुख्य बात यह है: स्वयं के प्रति सच्चे रहें; फिर, जैसे रात के बाद दिन आता है, तुम दूसरों को धोखा नहीं दोगे।” -विलियम शेक्सपियर, हेमलेट

यह "स्वयं बने रहें" कहने का एक सुंदर तरीका है (और यदि इसका मतलब गणित के बारे में अनादरपूर्वक लिखना है, तो ऐसा ही हो)। लेकिन अगर हम गणित की कक्षा में कविता पढ़ रहे होते, तो अर्थ की तलाश करने के बजाय, हम अक्षरों की संख्या गिन रहे होते, आयंबिक पेंटामीटर का विश्लेषण कर रहे होते, संज्ञा, क्रिया और विशेषण को चिह्नित कर रहे होते।

गणित और कविता एक ही चीज़ को समझाने और उसका वर्णन करने के अलग-अलग तरीके हैं। सूत्र किसी लक्ष्य को प्राप्त करने का साधन हैं, गणितीय सत्य को व्यक्त करने का एक तरीका है।

हम भूल गए हैं कि गणित विचारों से संचालित होता है, यह उन सूत्रों का यांत्रिक हेरफेर नहीं है जो इन विचारों को व्यक्त करते हैं।

ख़ैर, यह सब स्पष्ट है, तो आपका बढ़िया विचार क्या है?

यहाँ मैं क्या नहीं करूँगा: मैं उन पाठ्यपुस्तकों को दोबारा नहीं दोहराऊँगा जो पहले ही लिखी जा चुकी हैं। यदि आपको यहीं और अभी उत्तर चाहिए, तो बहुत सारी वेबसाइटें, वीडियो ट्यूटोरियल आदि मौजूद हैं 20 मिनटकी मदद।

इसके बजाय, आइए गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत सीखें। समीकरण पर्याप्त नहीं हैं - मुझे यूरेका क्षण चाहिए ताकि आप वास्तव में उनका अर्थ देख सकें और गणित की भाषा समझ सकें।

औपचारिक गणितीय भाषा केवल संचार का एक तरीका है। ग्राफ़, जानकारीपूर्ण एनिमेटेड मॉडल और सरल भाषा गूढ़ साक्ष्य के एक पृष्ठ की तुलना में अधिक जानकारी प्रदान कर सकते हैं।

लेकिन गणितीय विश्लेषण कठिन है!

मुझे लगता है कि कोई भी गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांतों को समझ सकता है। शेक्सपियर की रचनाओं का आनंद लेने के लिए हमें कवि होने की ज़रूरत नहीं है।

यदि आप बीजगणित जानते हैं और गणित में रुचि रखते हैं तो यह आपके लिए बहुत आसान होगा। बहुत पहले नहीं, पढ़ना और लिखना विशेष रूप से प्रशिक्षित शास्त्रियों का काम था। और आज ये काम कोई भी 10 साल का बच्चा कर सकता है. क्यों?

क्योंकि हम इसकी उम्मीद करते हैं. क्षमताएं विकसित करने में उम्मीदें बहुत बड़ी भूमिका निभाती हैं। इसलिए उम्मीद करें कि कैलकुलस सिर्फ एक अन्य विषय हो। कुछ लोग सबसे छोटे विवरण (लेखक/गणितज्ञ) तक पहुँच जाते हैं। लेकिन हममें से बाकी लोग जो हो रहा है उसकी प्रशंसा कर सकते हैं और इसे समझने की कोशिश कर सकते हैं। मैं चाहूंगा कि हर कोई कैलकुलस की बुनियादी अवधारणाओं में निपुण हो और कहे "वाह!"

तो कैलकुलस किस बारे में है?

यह एक साधारण उदाहरण था, लेकिन क्या आपको इसका अंदाज़ा है? हमने डिस्क ली, उसे विभाजित किया, और टुकड़ों को थोड़े अलग तरीके से एक साथ रखा। गणितीय विश्लेषण से पता चला कि डिस्क और रिंग एक-दूसरे से निकटता से संबंधित हैं: डिस्क वास्तव में रिंगों का एक सेट है। कैलकुलस में यह एक बहुत लोकप्रिय विषय है: बड़ी वस्तुएं छोटी वस्तुओं से बनी होती हैं। और कभी-कभी इन छोटी वस्तुओं के साथ काम करना आसान और स्पष्ट होता है।

उदाहरणों के बारे में थोड़ा

गणितीय विश्लेषण में कई उदाहरण भौतिकी पर आधारित हैं। बेशक, यह अद्भुत है, लेकिन उन्हें समझना मुश्किल हो सकता है: ईमानदारी से कहें तो, विभिन्न भौतिक सूत्रों को ध्यान में रखना हमेशा संभव नहीं होता है, जैसे किसी वस्तु की गति का सूत्र।

मैं सरल दृश्य उदाहरणों से शुरुआत करना पसंद करता हूं क्योंकि हमारा दिमाग इसी तरह काम करता है। जिस रिंग/सर्कल का हमने पता लगाया - आप अलग-अलग व्यास के ट्यूबिंग के कई टुकड़ों का उपयोग करके एक ही चीज़ का अनुकरण कर सकते हैं: उन्हें अलग करें, उन्हें पंक्तिबद्ध करें और उन्हें एक मोटे त्रिकोण में बिछाएं यह देखने के लिए कि क्या गणित वास्तव में काम करता है। एक साधारण भौतिक सूत्र के साथ यह संभव होने की संभावना नहीं है।

गणितीय कठोरता के बारे में थोड़ा (इस विज्ञान के कट्टरपंथियों के लिए)

मुझे ऐसा लगता है जैसे पांडित्यपूर्ण गणितज्ञ अपने कीबोर्ड जला रहे हैं। इसलिए, मैं "कठोरता" के बारे में बस कुछ शब्द डालूँगा। क्या आप जानते हैं कि हम कैलकुलस को उस तरह नहीं पढ़ाते जिस तरह न्यूटन या लीबनिज ने इसकी खोज की थी? उन्होंने "फ्लक्सियन" और "अनन्तसिमल्स" के सहज विचारों का उपयोग किया जिन्हें सीमाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया गया क्योंकि "बेशक यह व्यवहार में काम करता है। लेकिन क्या यह सिद्धांत में काम करता है?

हमने कैलकुलस को "सटीक" साबित करने के लिए जटिल यांत्रिक मॉडल बनाए हैं, लेकिन ऐसे प्रमाणों की प्रक्रिया में हमने विषय की अपनी सहज समझ खो दी है।

हम चीनी की मिठास को वैज्ञानिक शब्दों में समझाने के बजाय मस्तिष्क रसायन विज्ञान के संदर्भ में देखते हैं: “चीनी में बहुत अधिक ऊर्जा होती है। इसे खाएं।"

मैं छात्रों को कैलकुलस पढ़ाना या वैज्ञानिकों को प्रशिक्षित नहीं करना चाहता (और नहीं कर सकता)। लेकिन क्या यह बुरा होगा अगर हर कोई कैलकुलस को उसी "अस्पष्ट" स्तर पर समझ सके जिस स्तर पर न्यूटन ने इसे समझा था? ताकि यह आपके लिए भी दुनिया बदल दे, जैसे एक बार उसके लिए बदल गई थी?

सटीकता पर समय से पहले ध्यान केंद्रित करने से छात्र बिखर जाते हैं और गणित सीखना मुश्किल हो जाता है। यहां एक अच्छा उदाहरण है: संख्या ई को तकनीकी रूप से एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इसकी वृद्धि के बारे में एक सहज अनुमान की मदद से सटीक रूप से खोजा गया था। प्राकृतिक लघुगणक एक अभिन्न, या समय की तरह दिख सकता है जिसे बढ़ने की आवश्यकता है। शुरुआती लोगों के लिए कौन से स्पष्टीकरण सर्वोत्तम हैं?

आइए हाथ से थोड़ा सा चित्र बनाएं, और साथ ही रसायन शास्त्र में गोता लगाएँ। हैप्पी कंप्यूटिंग.

(पीएस: एक दयालु पाठक ने एक एनिमेटेड पावरपॉइंट स्लाइड शो बनाया जो इस विचार को अधिक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने में मदद करता है (इसे पावरपॉइंट में देखना सबसे अच्छा है, आप एनिमेशन देखेंगे)। धन्यवाद!)

9 अक्टूबर 2015

रूसी भाषा शब्दकोश के अनुसार विश्लेषणकिसी चीज़ के व्यक्तिगत पहलुओं, गुणों और घटकों पर विचार करके वैज्ञानिक अनुसंधान की एक विधि है। गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक कहा जाता है गणितीय विश्लेषण, और अक्सर सिर्फ विश्लेषण भी। प्रश्न तुरंत उठता है: गणितीय विश्लेषण द्वारा वास्तव में क्या विश्लेषण किया जाता है? उत्तर स्पष्ट है - कार्यों का विश्लेषण किया जाता है. समारोह(लैटिन "फंक्शनियो" से - कार्यान्वयन) परिवर्तनीय संख्यात्मक मानों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करता है.

चूँकि विश्लेषण एक शोध पद्धति है, दूसरा प्रश्न उठता है: ये कौन सा तरीका है? इसका उत्तर गणितीय विश्लेषण के दूसरे नाम से दिया गया है - विभेदक और अभिन्न कलन. कैलकुलस गणित की वह शाखा है जो गणना के नियम निर्धारित करती है। शब्द " अंतर"लैटिन शब्द "डिफरेंशियलिटी" से आया है, अर्थात। अंतर. शब्द " अभिन्न"इसकी इतनी स्पष्ट उत्पत्ति नहीं है ("पूर्णांक" - संपूर्ण; "पूर्णांक" - पुनर्स्थापित करें), लेकिन इसका अर्थ है भागों को एक पूरे में जोड़ना, जो मतभेदों में टूट गया है उसे पुनर्स्थापित करना। यह पुनर्प्राप्ति का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है योग.

आइए पहले परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

· मुख्य वस्तुएँ, अध्ययन किया गणितीय विश्लेषण में फलन होते हैं.

· फ़ंक्शन परिवर्तनीय संख्यात्मक मानों के बीच विभिन्न प्रकार की निर्भरताएँ हैं.

· गणितीय विश्लेषण की विधि विभेदन है- फ़ंक्शन मानों में अंतर के साथ काम करना, और एकीकरण- राशियों की गणना.

इस प्रकार, गणितीय विश्लेषण में महारत हासिल करने के लिए, सबसे पहले, आपको फ़ंक्शन की अवधारणा को समझने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा है क्योंकि फ़ंक्शन गति और परिवर्तन का वर्णन करने का एक गणितीय तरीका है। कार्य एक प्रक्रिया है.

सबसे महत्वपूर्ण प्रकार की गति एक सीधी रेखा में यांत्रिक गति है। चलते समय, किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरियों को मापा जाता है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से गति का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। अकिलिस और कछुआ दोनों प्रारंभिक बिंदु से समान दूरी तक चल सकते हैं, लेकिन उनकी गति की गति अलग-अलग होती है, और गति को समय मापने के बिना नहीं मापा जा सकता है।

इस उदाहरण पर विचार करने से पहले ही, यह स्पष्ट हो जाता है कि गति और परिवर्तन का वर्णन करने के लिए एक चर पर्याप्त नहीं है। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि समय समान रूप से बदलता है, लेकिन दूरी तेजी से या धीमी गति से बदल सकती है। गति का पूरी तरह से वर्णन किया जाता है यदि समय के प्रत्येक क्षण में यह ज्ञात हो कि वस्तु प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर चली गई है। तो, यांत्रिक गति के साथ, दो परिवर्तनीय मात्राओं के मूल्यों के बीच एक पत्राचार उत्पन्न होता है - समय, जो किसी भी चीज की परवाह किए बिना बदलता है, और दूरी, जो समय पर निर्भर करती है। यह तथ्य किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का आधार बनता है। इस मामले में, दो चरों को अब समय और दूरी नहीं कहा जाता है।

फ़ंक्शन परिभाषा: समारोह – ये कोई नियम है या कानून, स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान को निर्दिष्ट करना एक्स आश्रित चर का विशिष्ट मान पर . स्वतंत्र चर एक्स तर्क और आश्रित कहा जाता है पर - समारोह। कभी-कभी यह कहा जाता है कि एक फ़ंक्शन दो वेरिएबल्स के बीच निर्भरता है।

कैसे कल्पना करें कि एक चर क्या है? एक चर एक संख्या रेखा (रूलर या स्केल) है जिसके साथ एक बिंदु (थर्मामीटर या मनका के साथ बुनाई सुई) चलता है। एक फ़ंक्शन दो विंडो x और y के साथ गियर का एक तंत्र है। यह तंत्र आपको एक विंडो में स्थापित करने की अनुमति देता है एक्स कोई भी मान, और विंडो में पर फ़ंक्शन मान गियर का उपयोग करके स्वचालित रूप से दिखाई देगा।

समस्या 1. हर घंटे मरीज का तापमान मापा जाता है। एक कार्य है - समय पर तापमान की निर्भरता। इस फ़ंक्शन को कैसे प्रस्तुत करें? उत्तर: तालिका और ग्राफ़.

एक कार्य निरंतर होता है, जैसे गति निरंतर होती है, लेकिन व्यवहार में इस निरंतरता को ठीक करना असंभव है। आप केवल व्यक्तिगत तर्क और फ़ंक्शन मान ही पकड़ सकते हैं। हालाँकि, सैद्धांतिक रूप से निरंतरता का वर्णन करना अभी भी संभव है।

समस्या 2. गैलीलियो गैलीली ने पाया कि एक स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पिंड पहले सेकंड में एक इकाई दूरी तय करता है, दूसरे में 3 इकाई, तीसरे में 5 इकाई आदि। दूरी पर समय की निर्भरता निर्धारित करें। टिप्पणी: तय की गई दूरी की दूरी संख्या पर निर्भरता के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें।

कार्यों को निर्दिष्ट करने की विधियाँ।

गणितीय विश्लेषण की समस्याएँ.

किसी फ़ंक्शन के एक प्रतिनिधित्व से दूसरे में संक्रमण (फ़ंक्शन मानों की गणना करना, प्रयोगात्मक संख्यात्मक और ग्राफ़िकल डेटा से अनुमानित विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का निर्माण करना, फ़ंक्शन का अध्ययन करना और ग्राफ़ का निर्माण करना)।

एक प्रक्रिया के रूप में किसी फ़ंक्शन के गुणों का गणितीय अध्ययन। उदाहरण 1: पथ बनाम समय (विभेदन) के ज्ञात फ़ंक्शन का उपयोग करके गति की खोज करना। उदाहरण 2: गति बनाम समय (एकीकरण) के ज्ञात फ़ंक्शन का उपयोग करके पथ खोजना।

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