Reklaam portaalis

Neljamõõtmeline kuup. Küberkuubik – esimene samm neljandasse dimensiooni Mis on erinevate külgedega kuubi nimi

Tesseract on neljamõõtmeline hüperkuubik – kuup neljamõõtmelises ruumis.
Oxfordi sõnaraamatu järgi lõi sõna tesserakt ja kasutas seda 1888. aastal Charles Howard Hinton (1853-1907) oma raamatus A New Age of Thought. Hiljem nimetasid mõned inimesed sama kuju tetrakuubiks (kreeka τετρα – neli) – neljamõõtmeliseks kuubikuks.
Tavalist tesserakti eukleidilises neljamõõtmelises ruumis määratletakse punktide kumera korpusena (±1, ±1, ±1, ±1). Teisisõnu, seda saab esitada järgmise komplektina:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesserakt on piiratud kaheksa hüpertasandiga x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , mille ristumiskoht koos tesseraktiga määratleb selle kolmemõõtmelised tahud (mis on tavalised kuubikud) Iga mitteparalleelsete kolmemõõtmeliste tahkude paar lõikuvad moodustades kahemõõtmelised tahud (ruudud) ja nii edasi. Lõpuks on tesseraktil 8 kolmemõõtmelist tahud, 24 kahemõõtmelist tahku, 32 serva ja 16 tippu.
Populaarne kirjeldus
Proovime ette kujutada, milline näeb välja hüperkuub ilma kolmemõõtmelisest ruumist lahkumata.
Ühemõõtmelises “ruumis” - joonel - valime lõigu AB pikkusega L. Kahemõõtmelisel tasapinnal, mis on AB-st kaugusel L, joonestame sellega paralleelse lõigu DC ja ühendame nende otsad. Tulemuseks on ruudukujuline CDBA. Korrates seda toimingut tasapinnaga, saame kolmemõõtmelise kuubiku CDBAGHFE. Ja nihutades kuupi neljandas dimensioonis (risti esimese kolmega) kauguse L võrra, saame hüperkuubi CDBAGHFEKLJIOPNM.
Ühemõõtmeline segment AB toimib kahemõõtmelise ruudu CDBA küljena, ruut - kuubiku CDBAGHFE küljena, mis omakorda saab olema neljamõõtmelise hüperkuubi külg. Sirgelõikel on kaks piiripunkti, ruudul neli tippu, kuubil kaheksa. Neljamõõtmelises hüperkuubis on seega 16 tippu: 8 tippu algsest kuubist ja 8 tippu neljandas dimensioonis nihutatust. Sellel on 32 serva – igaüks 12 annab algse kuubi alg- ja lõppasendi ning veel 8 serva “joonistavad” selle kaheksa tippu, mis on liikunud neljandasse dimensiooni. Sama arutluskäiku saab teha ka hüperkuubi nägude kohta. Kahemõõtmelises ruumis on ainult üks (ruut ise), kuubil on neid 6 (kaks tahku liigutatud ruudust ja veel neli, mis kirjeldavad selle külgi). Neljamõõtmelisel hüperkuubil on 24 ruutu – 12 ruutu algsest kuubist kahes asendis ja 12 ruutu kaheteistkümnest servast.
Nii nagu ruudu küljed on 4 ühemõõtmelist segmenti ja kuubiku küljed (küljed) on 6 kahemõõtmelist ruutu, nii on ka "neljamõõtmelise kuubi" (tesserakti) küljed 8 kolmemõõtmelist kuupi . Vastandpaaride tesseraktide kuubikute ruumid (st ruumilised ruumid, kuhu need kuubikud kuuluvad) on paralleelsed. Joonisel on need kuubikud: CDBAGHFE ja KLJIOPNM, CDBAKLJI ja GHFEOPNM, EFBAMNJI ja GHDCOPLK, CKIAGOME ja DLJBHPNF.
Samamoodi võime jätkata hüperkuubikute arutluskäiku rohkem mõõtmed, kuid palju huvitavam on näha, kuidas neljamõõtmeline hüperkuub meid, kolmemõõtmelise ruumi elanikke, otsib. Selleks kasutame juba tuttavat analoogiate meetodit.
Võtame traatkuubiku ABCDHEFG ja vaatame seda ühe silmaga serva küljelt. Näeme ja saame tasapinnale joonistada kaks ruutu (selle lähi- ja kaugemad servad), mis on ühendatud nelja joonega - külgservad. Samamoodi näeb kolmemõõtmelises ruumis olev neljamõõtmeline hüperkuubik välja nagu kaks kuubikut, mis on üksteise sisse sisestatud ja kaheksa servaga ühendatud. Sel juhul projitseeritakse "kastid" ise - kolmemõõtmelised näod "meie" ruumi ja neid ühendavad jooned venivad neljanda telje suunas. Samuti võite proovida kujutada kuubikut mitte projektsioonis, vaid ruumilises pildis.
Nii nagu kolmemõõtmeline kuubik moodustatakse selle näo pikkuse võrra nihutatud ruudust, moodustab neljandasse dimensiooni nihutatud kuubik hüperkuubi. See on piiratud kaheksa kuubikuga, mis tulevikus näevad välja nagu ilusad keeruline figuur. Neljamõõtmeline hüperkuubik ise koosneb lõpmatust arvust kuubikutest, nagu ka kolmemõõtmelist kuubi saab “lõigata” lõpmatuks arvuks lamedaks ruutudeks.
Lõigates ruumilise kuubi kuue tahu, saate selle lagundada lamedaks kujundiks - arenguks. Sellel on ruut algse näo mõlemal küljel ja veel üks – selle vastaskülg. Ja neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeline arendus koosneb algsest kuubist, kuuest sellest “kasvavast” kuubist ja veel ühest - lõplikust “hüpernäost”.
Tesserakti omadused on omaduste laiendus geomeetrilised kujundid väiksem mõõde neljamõõtmelisse ruumi.

Punktid (±1, ±1, ±1, ±1). Teisisõnu, seda saab esitada järgmise komplektina:

Tesserakt on piiratud kaheksa hüpertasandiga, mille ristumiskoht tesserakti endaga määrab selle kolmemõõtmelised tahud (mis on tavalised kuubikud). Iga mitteparalleelsete 3D-tahkude paar ristub, moodustades 2D-tahud (ruudud) jne. Lõpuks on tesseraktil 8 3D tahku, 24 2D tahku, 32 serva ja 16 tippu.

Populaarne kirjeldus

Proovime ette kujutada, milline näeb välja hüperkuub ilma kolmemõõtmelisest ruumist lahkumata.

Ühemõõtmelises “ruumis” - joonel - valime lõigu AB pikkusega L. Kahemõõtmelisel tasapinnal, mis on AB-st kaugusel L, joonestame sellega paralleelse lõigu DC ja ühendame nende otsad. Tulemuseks on ruudukujuline CDBA. Korrates seda toimingut tasapinnaga, saame kolmemõõtmelise kuubiku CDBAGHFE. Ja nihutades kuupi neljandas dimensioonis (risti esimese kolmega) kauguse L võrra, saame hüperkuubi CDBAGHFEKLJIOPNM.

Tesserakti ehitamine lennukile

Ühemõõtmeline segment AB toimib kahemõõtmelise ruudu CDBA küljena, ruut - kuubiku CDBAGHFE küljena, mis omakorda saab olema neljamõõtmelise hüperkuubi külg. Sirgjoonel on kaks piiripunkti, ruudul neli tippu, kuubil kaheksa. Neljamõõtmelises hüperkuubis on seega 16 tippu: 8 tippu algsest kuubist ja 8 tippu neljandas dimensioonis nihutatust. Sellel on 32 serva – igaüks 12 annab algse kuubi alg- ja lõppasendi ning veel 8 serva “joonistavad” selle kaheksa tippu, mis on liikunud neljandasse dimensiooni. Sama arutluskäiku saab teha ka hüperkuubi nägude kohta. Kahemõõtmelises ruumis on ainult üks (ruut ise), kuubil on neid 6 (kaks tahku liigutatud ruudust ja veel neli, mis kirjeldavad selle külgi). Neljamõõtmelisel hüperkuubil on 24 ruutu – 12 ruutu algsest kuubist kahes asendis ja 12 ruutu kaheteistkümnest servast.

Nii nagu ruudu küljed on 4 ühemõõtmelist segmenti ja kuubiku küljed (küljed) on 6 kahemõõtmelist ruutu, nii on ka "neljamõõtmelise kuubi" (tesserakti) küljed 8 kolmemõõtmelist kuupi . Tesseraktide kuubikute vastaspaaride ruumid (st ruumilised ruumid, kuhu need kuubikud kuuluvad) on paralleelsed. Joonisel on need kuubikud: CDBAGHFE ja KLJIOPNM, CDBAKLJI ja GHFEOPNM, EFBAMNJI ja GHDCOPLK, CKIAGOME ja DLJBHPNF.

Samamoodi võime jätkata oma arutluskäiku suurema hulga mõõtmetega hüperkuubikute kohta, kuid palju huvitavam on näha, kuidas neljamõõtmeline hüperkuub meid, kolmemõõtmelise ruumi elanikke, otsib. Selleks kasutame juba tuttavat analoogiate meetodit.

Võtame traatkuubiku ABCDHEFG ja vaatame seda ühe silmaga serva küljelt. Näeme ja saame tasapinnale joonistada kaks ruutu (selle lähi- ja kaugemad servad), mis on ühendatud nelja joonega - külgservad. Samamoodi näeb kolmemõõtmelises ruumis olev neljamõõtmeline hüperkuubik välja nagu kaks kuubikut, mis on üksteise sisse sisestatud ja kaheksa servaga ühendatud. Sel juhul projitseeritakse "kastid" ise - kolmemõõtmelised näod "meie" ruumi ja neid ühendavad jooned venivad neljanda telje suunas. Samuti võite proovida kujutada kuubikut mitte projektsioonis, vaid ruumilises pildis.

Nii nagu kolmemõõtmeline kuubik moodustatakse selle näo pikkuse võrra nihutatud ruudust, moodustab neljandasse dimensiooni nihutatud kuubik hüperkuubi. See on piiratud kaheksa kuubikuga, mis perspektiivis näevad välja nagu mõni üsna keeruline kujund. Neljamõõtmeline hüperkuubik ise koosneb lõpmatust arvust kuubikutest, nagu ka kolmemõõtmelist kuubi saab “lõigata” lõpmatuks arvuks lamedaks ruutudeks.

Lõigates ruumilise kuubi kuue tahu, saate selle lagundada lamedaks kujundiks - arenguks. Sellel on ruut algse näo mõlemal küljel ja veel üks – selle vastaskülg. Ja neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeline arendus koosneb algsest kuubist, kuuest sellest “kasvavast” kuubist ja veel ühest - lõplikust “hüpernäost”.

Tesserakti omadused kujutavad endast madalama mõõtmega geomeetriliste kujundite omaduste jätkumist neljamõõtmelisse ruumi.

Prognoosid

Kahemõõtmelisse ruumi

Seda struktuuri on raske ette kujutada, kuid tesserakti on võimalik projitseerida kahe- või kolmemõõtmelisse ruumi. Lisaks võimaldab tasapinnale projitseerimine hõlpsasti mõista hüperkuubi tippude asukohta. Sel viisil on võimalik saada pilte, mis ei kajasta enam ruumisuhteid tesseraktis, kuid mis illustreerivad tipuühenduse struktuuri, nagu järgmistes näidetes:

Kolmas pilt näitab tesserakti isomeetriliselt ehituspunkti suhtes. See esitus pakub huvi, kui topoloogilise võrgu alusena kasutatakse tesserakti mitme protsessori ühendamiseks paralleelses andmetöötluses.

Kolmemõõtmelisse ruumi

Üks tesserakti projektsioon kolmemõõtmelisse ruumi esindab kahte pesastatud kolmemõõtmelist kuupi, mille vastavad tipud on omavahel segmentidega ühendatud. Sisemine ja välimine kuubik on kolmemõõtmelises ruumis erineva suurusega, kuid neljamõõtmelises ruumis on need võrdsed kuubikud. Kõigi tesseraktide kuubikute võrdsuse mõistmiseks loodi pöörlev tesseraktide mudel.

  • Kuus kärbitud püramiidi piki tesserakti servi on kujutised võrdsest kuuest kuubist. Need kuubikud on aga tesserakti jaoks nagu ruudud (tahud) kuubikul. Kuid tegelikult saab tesserakti jagada lõpmatuks arvuks kuubikuteks, nii nagu kuubi saab jagada lõpmatuks arvuks ruutudeks või ruudu lõpmatuks arvuks segmentideks.

Veel üks huvitav tesserakti projektsioon kolmemõõtmelisse ruumi on rombikujuline dodekaeeder, mille neli diagonaali ühendavad vastassuunaliste tippude paare rombide suurte nurkade all. Sel juhul projitseeritakse tesserakti 16 tipust 14 rombilise dodekaeedri 14 tipuks ja ülejäänud 2 projektsioonid langevad selle keskel kokku. Sellises projektsioonis kolmemõõtmelisele ruumile säilib kõigi ühe-, kahe- ja kolmemõõtmeliste külgede võrdsus ja paralleelsus.

Stereo paar

Tesrakti stereopaari on kujutatud kahe projektsioonina kolmemõõtmelisse ruumi. See tesserakti kujutis loodi esindama sügavust neljanda mõõtmena. Stereopaari vaadeldakse nii, et kumbki silm näeb ainult ühte neist kujutistest, ilmub stereoskoopiline pilt, mis kordab tesserakti sügavust.

Tesserakti lahtipakkimine

Tesserakti pinna saab lahti voltida kaheksaks kuubiks (sarnaselt sellele, kuidas kuubiku pinda saab lahti voltida kuueks ruuduks). Seal on 261 erinevat tesserakti kujundust. Tesserakti lahtivoltimist saab arvutada, kandes ühendatud nurgad graafikule.

Tesserakt kunstis

  • Edwina A. filmis "New Abbott Plain" toimib hüperkuub jutustajana.
  • Ühes episoodis "Jimmy Neutroni seiklused" leiutab "poissgeenius" Jimmy neljamõõtmelise hüperkuubi, mis on identne Robert Heinleini romaani "Glory Road" (1963) voldikkastiga.
  • Robert E. Heinlein on hüperkuubikuid maininud vähemalt kolmes ulmeloos. Teoses "Neljamõõtme maja" ("The House That Teal Built") kirjeldas ta maja, mis ehitati pakendamata tesseraktina, mis maavärina tõttu "volditi kokku" neljandas dimensioonis ja sellest sai "tõeline" tesserakt. .
  • Heinleini romaan Glory Road kirjeldab ülisuurt kasti, mis oli seest suurem kui väljast.
  • Henry Kuttneri lugu "Kõik Tenali Borogov" kirjeldab harivat mänguasja lastele kaugest tulevikust, mis sarnaneb ülesehituselt tesseraktiga.
  • Alex Garlandi () romaanis kasutatakse terminit "tesserakt" pigem neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeliseks lahtivoltimiseks, mitte hüperkuubi enda kohta. See on metafoor, mille eesmärk on näidata, et kognitiivne süsteem peab olema teadlikust laiem.
  • Kuubiku 2 süžee: Hüperkuubik keskendub kaheksale võõrale inimesele, kes on lõksus "hüperkuubikus" või ühendatud kuubikute võrgustikus.
  • Telesari Andromeda kasutab süžeeseadmena tesseraktide generaatoreid. Need on mõeldud peamiselt ruumi ja aja manipuleerimiseks.
  • Salvador Dali () maal "Ristilöömine" (Corpus Hypercubus).
  • Nextwave'i koomiksiraamat kujutab sõidukit, mis sisaldab 5 tesserakti tsooni.
  • Albumis Voivod Nothingface kannab üks kompositsioon nimega “In my hypercube”.
  • Anthony Pearce’i romaanis Route Cube, üks orbitaalkuudest Rahvusvaheline Assotsiatsioon arendust nimetatakse tesseraktiks, mis on kokku surutud 3 dimensiooniks.
  • Sarjas “Black Hole School” on kolmandal hooajal episood “Tesseract”. Lucas vajutab salajast nuppu ja kool hakkab "kuju võtma nagu matemaatiline tesserakt".
  • Mõiste "tesserakt" ja selle tuletis "tesserakt" leidub Madeleine L'Engle'i loos "Aja korts".
  • TesseracT on Briti djent-bändi nimi.
  • Marvel Cinematic Universe'i filmisarjas on Tesseract süžee põhielement, hüperkuubi kujuline kosmiline artefakt.
  • Robert Sheckley loos “Miss Mouse and the Fourth Dimension” püüab autori tuttav esoteerikakirjanik näha tesserakti, vaadates tundide kaupa enda disainitud seadet: pall jalal, millesse on torgatud vardad. millised kuubikud on monteeritud, kleebitud kõikvõimalike esoteeriliste sümbolitega. Loos mainitakse Hintoni loomingut.
  • Filmides "Esimene kättemaksja", "Tasujad". Tesseract – kogu universumi energia

Muud nimed

  • Heksadekakoroon Heksadekakoroon)
  • Octochoron (inglise) Octachoron)
  • Tetrakuub
  • 4-kuubik
  • Hüperkuub (kui mõõtmete arv pole määratud)

Märkmed

Kirjandus

  • Charles H. Hinton. Neljas mõõde, 1904. ISBN 0-405-07953-2
  • Martin Gardner, Matemaatiline karneval, 1977. ISBN 0-394-72349-X
  • Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Lingid

Vene keeles
  • Programm Transformator4D. Neljamõõtmeliste objektide (sh hüperkuubiku) kolmemõõtmeliste projektsioonide mudelite moodustamine.
  • Programm, mis rakendab tesserakti konstrueerimist ja kõiki selle afiinseid teisendusi C++ lähtekoodiga.

Inglise keeles

  • Mushware Limited – tesseracti väljundprogramm ( Tesseracti treener, litsents ühildub GPLv2-ga) ja esimese isiku shooter neljamõõtmelises ruumis ( Adanaxis; graafika on peamiselt kolmemõõtmeline; OS-i hoidlates on GPL-versioon).

Niipea kui sain pärast operatsiooni loenguid pidada, oli õpilaste esimene küsimus:

Millal sa joonistad meile 4-mõõtmelise kuubi? Iljas Abdulhajevitš lubas meile!

Mäletan, et mu kallitele sõpradele meeldib vahel mõni hetk matemaatikaõppest. Seetõttu kirjutan siia osa oma matemaatikutele mõeldud loengust. Ja ma proovin, ilma et oleks igav. Mõnel hetkel lugesin loengut muidugi rangemalt.

Kõigepealt lepime kokku. 4-mõõtmeline ja veelgi enam 5-6-7- ja üldiselt k-dimensiooniline ruum ei ole meile sensoorsetes aistingutes antud.
"Me oleme armetud, sest oleme ainult kolmemõõtmelised," ütles mu pühapäevakooliõpetaja, kes rääkis mulle esimest korda, mis on 4-mõõtmeline kuup. Pühapäevakool oli loomulikult äärmiselt religioosne – matemaatiline. Sel ajal uurisime hüperkuubikuid. Nädal enne seda matemaatiline induktsioon, nädal pärast seda Hamiltoni tsüklid graafikutes - vastavalt on see hinne 7.

Me ei saa 4-mõõtmelist kuubikut puudutada, nuusutada, kuulda ega näha. Mida me saame sellega teha? Me võime seda ette kujutada! Sest meie aju on palju keerulisem kui meie silmad ja käed.

Niisiis, selleks, et mõista, mis on 4-mõõtmeline kuup, mõistame kõigepealt, mis on meile kättesaadav. Mis on 3-mõõtmeline kuup?

OLGU OLGU! Ma ei nõua teilt selget matemaatilist definitsiooni. Kujutage vaid ette kõige lihtsamat ja tavalisemat kolmemõõtmelist kuubikut. Tutvustatakse?

Hästi.
Selleks, et mõista, kuidas üldistada 3-mõõtmelist kuupi 4-mõõtmeliseks ruumiks, mõelgem välja, mis on 2-mõõtmeline kuup. See on nii lihtne – see on ruut!

Ruudul on 2 koordinaati. Kuubis on kolm. Ruutpunktid on kahe koordinaadiga punktid. Esimene on 0 kuni 1. Ja teine ​​on 0 kuni 1. Kuubi punktidel on kolm koordinaati. Ja igaüks neist on suvaline arv vahemikus 0 kuni 1.

Loogiline on ette kujutada, et 4-mõõtmeline kuup on asi, millel on 4 koordinaati ja kõik on vahemikus 0 kuni 1.

/* Kohe loogiline on ette kujutada 1-mõõtmelist kuupi, mis pole midagi muud kui lihtne segment 0-st 1-ni. */

Niisiis, oota, kuidas joonistada 4-mõõtmelist kuubikut? Me ei saa ju 4-mõõtmelist ruumi tasapinnale joonistada!
Kuid me ei joonista ka 3-mõõtmelist ruumi tasapinnale, vaid joonistame selle projektsioon 2-mõõtmelisele joonistustasapinnale. Asetame kolmanda koordinaadi (z) nurga alla, kujutades ette, et joonistustasandi telg läheb “meie poole”.

Nüüd on täiesti selge, kuidas 4-mõõtmelist kuubikut joonistada. Samamoodi, nagu asetasime kolmanda telje teatud nurga alla, võtame neljanda telje ja asetame selle ka teatud nurga alla.
Ja - voilaa! -- 4-mõõtmelise kuubi projekteerimine tasapinnale.

Mida? Mis see ikkagi on? Ma kuulen alati tagalaudadest sosinaid. Selgitan täpsemalt, mis see ridade segadus on.
Kõigepealt vaadake kolmemõõtmelist kuubikut. Mida me oleme teinud? Võtsime ruudu ja lohistasime seda mööda kolmandat telge (z). See on nagu paljud-paljud paberiruudud, mis on virna kokku liimitud.
Sama on 4-mõõtmelise kuubikuga. Nimetagem neljandat telge mugavuse ja ulme jaoks "ajateljeks". Peame võtma tavalise kolmemõõtmelise kuubiku ja lohistama selle ajas "praegu" kuni "tunni pärast".

Meil on "nüüd" kuubik. Pildil on roosa.

Ja nüüd lohistame seda mööda neljandat telge - mööda ajatelge (näitasin seda roheliselt). Ja saamegi tuleviku kuubiku – sinise.

Iga "kuubi kohe" tipp jätab ajas jälje - segmendi. Oma oleviku ühendamine tulevikuga.

Ühesõnaga, ilma sõnadeta: joonistasime kaks identset 3-mõõtmelist kuubikut ja ühendasime vastavad tipud.
Täpselt sama, mis nad tegid 3-mõõtmelise kuubikuga (tõmmake 2 identset 2-mõõtmelist kuupi ja ühendage tipud).

5-mõõtmelise kuubi joonistamiseks peate joonistama kaks koopiat 4-mõõtmelisest kuubist (4-mõõtmeline kuubik viienda koordinaadiga 0 ja 4-mõõtmeline kuubik viienda koordinaadiga 1) ja ühendama vastavad tipud servadega. Tõsi, lennukis tekib selline servade segadus, et peaaegu võimatu on millestki aru saada.

Kui oleme 4-mõõtmelise kuubi ette kujutanud ja isegi suutnud selle joonistada, saame seda erinevatel viisidel uurida. Mälestades seda uurida nii mõttes kui pildilt.
Näiteks. 2-mõõtmeline kuubik on neljast küljest piiratud 1-mõõtmeliste kuubikutega. See on loogiline: igal kahel koordinaadil on nii algus kui ka lõpp.
3-mõõtmeline kuubik on kuuest küljest piiratud 2-mõõtmeliste kuubikutega. Iga kolme koordinaadi jaoks on sellel algus ja lõpp.
See tähendab, et 4-mõõtmeline kuubik peab olema piiratud kaheksa 3-mõõtmelise kuubikuga. Iga 4 koordinaadi jaoks - mõlemal küljel. Ülaltoodud joonisel näeme selgelt 2 nägu, mis piiravad seda piki "aja" koordinaati.

Siin on kaks kuupi (need on veidi kaldu, kuna neil on 2 dimensiooni projitseeritud tasapinnale nurga all), piirates meie hüperkuubi vasakul ja paremal.

Samuti on lihtne märgata “ülemist” ja “alumist”.

Kõige keerulisem on visuaalselt aru saada, kus on “ees” ja “tagumine”. Esiosa algab “kuubiku praegu” esiservast ja “tuleviku kuubiku” esiservani - see on punane. Tagumine on lilla.

Neid on kõige raskem märgata, kuna teie jalge all on sassis teised kuubikud, mis piiravad hüperkuubi teistsuguse projekteeritud koordinaadiga. Kuid pange tähele, et kuubikud on siiski erinevad! Siin on jälle pilt, kus on esile tõstetud “praegu kuubik” ja “tuleviku kuubik”.

Loomulikult on võimalik 4-mõõtmeline kuubik projekteerida 3-mõõtmelisse ruumi.
Esimesel võimalikul ruumimudelil on selge, kuidas see välja näeb: tuleb võtta 2 kuubikuraami ja ühendada nende vastavad tipud uue servaga.
Mul ei ole seda mudelit praegu laos. Loengul näitan õpilastele veidi teistsugust 3-mõõtmelist 4-mõõtmelise kuubi mudelit.

Teate ju küll, kuidas kuubik sellisele tasapinnale projitseeritakse.
See on nagu me vaataksime kuubikut ülalt.

Lähiserv on muidugi suur. Ja kaugem serv tundub väiksem, me näeme seda läbi lähedase.

Nii saate projitseerida 4-mõõtmelise kuubi. Kuubik on praegu suurem, me näeme tuleviku kuubikut kauguses, seega tundub see väiksem.

Teisel pool. Ülemisest küljest.

Otse täpselt serva küljelt:

Roide küljest:

Ja viimane nurk, asümmeetriline. Jaotises "Öelge mulle, et ma vaatasin tema ribide vahele".

No siis võib mida iganes välja mõelda. Näiteks nii nagu toimub 3-mõõtmelise kuubi arendamine tasapinnale (see on nagu paberilehe väljalõikamine, nii et kokkuvoldimisel saad kuubiku), juhtub sama ka 4-mõõtmelise kuubiku arendamisega. ruumi. See on nagu puutüki välja lõikamine, nii et selle 4-mõõtmelises ruumis voltides saame tesserakti.

Saate uurida mitte ainult 4-mõõtmelist, vaid n-mõõtmelist kuupi üldiselt. Näiteks, kas vastab tõele, et n-mõõtmelise kuubi ümber piiratud sfääri raadius on väiksem kui selle kuubi serva pikkus? Või siin on lihtsam küsimus: mitu tippu on n-mõõtmelisel kuubil? Mitu serva (ühemõõtmelised tahud)?


Tesseract (vanakreeka keelest τέσσερες ἀκτῖνες – neli kiirt) on neljamõõtmeline hüperkuub – kuubiku analoog neljamõõtmelises ruumis.

Kujutis on neljamõõtmelise kuubi projektsioon (perspektiiv) kolmemõõtmelisse ruumi.

Oxfordi sõnaraamatu järgi lõi sõna "tesserakt" ja kasutas seda 1888. aastal Charles Howard Hinton (1853–1907) oma raamatus A New Age of Thought. Hiljem nimetasid mõned inimesed sama kuju "tetrakuubiks".

Geomeetria

Tavalist tesserakti eukleidilises neljamõõtmelises ruumis määratletakse punktide kumera korpusena (±1, ±1, ±1, ±1). Teisisõnu, seda saab esitada järgmise komplektina:

Tesserakt on piiratud kaheksa hüpertasandiga, mille ristumiskoht tesserakti endaga määrab selle kolmemõõtmelised tahud (mis on tavalised kuubikud). Iga mitteparalleelsete 3D-tahkude paar ristub, moodustades 2D-tahud (ruudud) jne. Lõpuks on tesseraktil 8 3D tahku, 24 2D tahku, 32 serva ja 16 tippu.

Populaarne kirjeldus

Proovime ette kujutada, milline näeb välja hüperkuub, jätmata kolmemõõtmelist ruumi.

Ühemõõtmelises “ruumis” - joonel - valime lõigu AB pikkusega L. Kahemõõtmelisel tasapinnal, mis on AB-st kaugusel L, joonestame sellega paralleelse lõigu DC ja ühendame nende otsad. Tulemuseks on ruut ABCD. Korrates seda toimingut tasapinnaga, saame kolmemõõtmelise kuubi ABCDHEFG. Ja nihutades kuupi neljandas dimensioonis (risti esimese kolmega) kauguse L võrra, saame hüperkuubi ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Ühemõõtmeline segment AB toimib kahemõõtmelise ruudu ABCD küljena, ruut - kuubi ABCDHEFG küljena, mis omakorda saab olema neljamõõtmelise hüperkuubi külg. Sirgesegmendil on kaks piiripunkti, ruudul neli tippu ja kuubil kaheksa. Neljamõõtmelises hüperkuubis on seega 16 tippu: 8 tippu algsest kuubist ja 8 tippu neljandas dimensioonis nihutatust. Sellel on 32 serva – igaüks 12 annab algse kuubi alg- ja lõppasendi ning veel 8 serva “joonistavad” selle kaheksa tippu, mis on liikunud neljandasse dimensiooni. Sama arutluskäiku saab teha ka hüperkuubi nägude kohta. Kahemõõtmelises ruumis on ainult üks (ruut ise), kuubil on neid 6 (kaks tahku liigutatud ruudust ja veel neli, mis kirjeldavad selle külgi). Neljamõõtmelisel hüperkuubil on 24 ruutu – 12 ruutu algsest kuubist kahes asendis ja 12 ruutu kaheteistkümnest servast.

Samamoodi võime jätkata oma arutluskäiku suurema hulga mõõtmetega hüperkuubikute kohta, kuid palju huvitavam on näha, kuidas neljamõõtmeline hüperkuub meid, kolmemõõtmelise ruumi elanikke, otsib. Selleks kasutame juba tuttavat analoogiate meetodit.

Tesserakti lahtipakkimine

Võtame traatkuubiku ABCDHEFG ja vaatame seda ühe silmaga serva küljelt. Näeme ja saame tasapinnale joonistada kaks ruutu (selle lähi- ja kaugemad servad), mis on ühendatud nelja joonega - külgservad. Samamoodi näeb kolmemõõtmelises ruumis olev neljamõõtmeline hüperkuubik välja nagu kaks kuubikut, mis on üksteise sisse sisestatud ja kaheksa servaga ühendatud. Sel juhul projitseeritakse "kastid" ise - kolmemõõtmelised näod "meie" ruumi ja neid ühendavad jooned venivad neljandas mõõtmes. Samuti võite proovida kujutada kuubikut mitte projektsioonis, vaid ruumilises pildis.

Nii nagu kolmemõõtmeline kuubik moodustatakse selle näo pikkuse võrra nihutatud ruudust, moodustab neljandasse dimensiooni nihutatud kuubik hüperkuubi. See on piiratud kaheksa kuubikuga, mis perspektiivis näevad välja nagu mõni üsna keeruline kujund. See osa, mis jäi “meie” ruumi, on joonistatud pidevate joontega, hüperruumi läinud osa aga punktiirjoontega. Neljamõõtmeline hüperkuubik ise koosneb lõpmatust arvust kuubikutest, nagu ka kolmemõõtmelist kuubi saab “lõigata” lõpmatuks arvuks lamedaks ruutudeks.

Lõigates ruumilise kuubi kuue tahu, saate selle lagundada lamedaks kujundiks - arenguks. Sellel on algse näo mõlemal küljel ruut, millele lisandub veel üks – selle vastaskülg. Ja neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeline arendus koosneb algsest kuubist, kuuest sellest “kasvavast” kuubist ja veel ühest - lõplikust “hüpernäost”.

Tesserakti omadused kujutavad endast madalama mõõtmega geomeetriliste kujundite omaduste jätkumist neljamõõtmelisse ruumi.

Prognoosid

Kahemõõtmelisse ruumi

Seda struktuuri on raske ette kujutada, kuid tesserakti on võimalik projitseerida kahe- või kolmemõõtmelisse ruumi. Lisaks võimaldab tasapinnale projitseerimine hõlpsasti mõista hüperkuubi tippude asukohta. Sel viisil on võimalik saada pilte, mis ei kajasta enam ruumisuhteid tesseraktis, kuid mis illustreerivad tipuühenduse struktuuri, nagu järgmistes näidetes:


Kolmemõõtmelisse ruumi

Tesserakti projektsioon kolmemõõtmelisse ruumi kujutab endast kahte pesastatud kolmemõõtmelist kuupi, mille vastavad tipud on segmentidega ühendatud. Sisemine ja välimine kuubik on kolmemõõtmelises ruumis erineva suurusega, kuid neljamõõtmelises ruumis on need võrdsed kuubikud. Kõigi tesseraktide kuubikute võrdsuse mõistmiseks loodi pöörlev tesseraktide mudel.


Kuus kärbitud püramiidi piki tesserakti servi on kujutised võrdsest kuuest kuubist.
Stereo paar

Tesrakti stereopaari on kujutatud kahe projektsioonina kolmemõõtmelisse ruumi. See tesserakti kujutis loodi esindama sügavust neljanda mõõtmena. Stereopaari vaadeldakse nii, et kumbki silm näeb ainult ühte neist kujutistest, ilmub stereoskoopiline pilt, mis kordab tesserakti sügavust.

Tesserakti lahtipakkimine

Tesserakti pinna saab lahti voltida kaheksaks kuubiks (sarnaselt sellele, kuidas kuubiku pinda saab lahti voltida kuueks ruuduks). Seal on 261 erinevat tesserakti kujundust. Tesserakti lahtivoltimist saab arvutada, kandes ühendatud nurgad graafikule.

Tesserakt kunstis

Edwina A. filmis "New Abbott Plain" toimib hüperkuub jutustajana.
Jimmy Neutroni seikluste ühes osas: "Boy Genius" leiutab Jimmy neljamõõtmelise hüperkuubi, mis on identne Heinleini 1963. aasta romaani "Glory Road" voldikkastiga.
Robert E. Heinlein on hüperkuubikuid maininud vähemalt kolmes ulmeloos. Teoses The House of Four Dimensions (The House That Teal Built, 1940) kirjeldas ta maja, mis oli ehitatud nagu lahtipakkimata tesserakt.
Heinleini romaan Glory Road kirjeldab hüpersuuruses nõusid, mis olid seest suuremad kui väljast.
Henry Kuttneri lugu "Mimsy Were the Borogoves" kirjeldab harivat mänguasja lastele kaugest tulevikust, mis sarnaneb ülesehituselt tesseraktiga.
Alex Garlandi (1999) romaanis kasutatakse terminit "tesserakt" pigem neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmelise lahtivoltimise kohta, mitte hüperkuubi enda kohta. See on metafoor, mille eesmärk on näidata, et kognitiivne süsteem peab olema teadlikust laiem.
Kuubiku 2 süžee: Hüperkuubik keskendub kaheksale võõrale inimesele, kes on lõksus "hüperkuubikus" või ühendatud kuubikute võrgustikus.
Telesari Andromeda kasutab süžeeseadmena tesseraktide generaatoreid. Need on mõeldud peamiselt ruumi ja aja manipuleerimiseks.
Salvador Dali maal "Ristilöömine" (Corpus Hypercubus) (1954)
Nextwave'i koomiksiraamat kujutab sõidukit, mis sisaldab 5 tesserakti tsooni.
Albumis Voivod Nothingface kannab üks kompositsioon nimega “In my hypercube”.
Anthony Pearce’i romaanis Route Cube nimetatakse üht Rahvusvahelise Arenguühingu tiirlevat kuud tesseraktiks, mis on kokku surutud 3 mõõtmesse.
Sarjas "Kool" Must auk“” kolmandal hooajal on episood “Tesseract”. Lucas vajutab salajast nuppu ja kool hakkab kuju võtma nagu matemaatiline tesserakt.
Mõiste “tesserakt” ja selle tuletissõna “tesserakt” leidub Madeleine L’Engle’i loos “A Wrinkle in Time”.

Inimese aju areng toimus kolmemõõtmelises ruumis. Seetõttu on meil raske ette kujutada ruume, mille mõõtmed on suuremad kui kolm. Tegelikult ei suuda inimaju ette kujutada geomeetrilisi objekte, mille mõõtmed on suuremad kui kolm. Ja samal ajal võime kergesti ette kujutada geomeetrilisi objekte, mille mõõtmed pole mitte ainult kolm, vaid ka mõõtmetega kaks ja üks.

Ühemõõtmeliste ja kahemõõtmeliste ruumide erinevus ja analoogia, samuti kahe- ja kolmemõõtmeliste ruumide erinevus ja analoogia võimaldavad meil pisut avada müsteeriumiekraani, mis eraldab meid kõrgemate mõõtmetega ruumidest. Et mõista, kuidas seda analoogiat kasutatakse, kaaluge väga lihtsat neljamõõtmelist objekti - hüperkuubi, see tähendab neljamõõtmelist kuupi. Täpsemalt oletame, et tahame lahendada konkreetse probleemi, nimelt loendada neljamõõtmelise kuubi ruudukujuliste tahkude arvu. Kõik edasised kaalutlused on väga lõdvad, ilma igasuguste tõenditeta, puhtalt analoogia põhjal.

Et mõista, kuidas tavalisest kuubist hüperkuubik ehitatakse, tuleb esmalt vaadata, kuidas tavalisest ruudust tavakuubik ehitatakse. Selle materjali esituse originaalsuse huvides nimetame siin tavalist ruutu SubCube'iks (ja ei aja seda segamini succubusiga).

Alamkuubist kuubiku ehitamiseks peate alamkuubi laiendama suunas tasapinnaga risti alamkuubik kolmanda dimensiooni suunas. Sel juhul kasvab algse alamkuubi mõlemalt küljelt alamkuubik, mis on kuubi kahemõõtmeline külgpind, mis piirab kuubi kolmemõõtmelist mahtu neljast küljest, kaks risti kummagi suunaga. alamkuubi tasapind. Ja piki uut kolmandat telge on ka kaks alamkuubi, mis piiravad kuubi kolmemõõtmelist mahtu. See on kahemõõtmeline tahk, kus meie alamkuubik algselt asus, ja see kuubi kahemõõtmeline tahk, kuhu alamkuub kuubi ehitamise lõpus tuli.

Äsja loetu on esitatud liiga üksikasjalikult ja paljude täpsustustega. Ja mõjuval põhjusel. Nüüd teeme sellise triki, asendame formaalselt mõned sõnad eelmises tekstis järgmiselt:
kuubik -> hüperkuubik
alamkuubik -> kuubik
lennuk -> maht
kolmas -> neljas
kahemõõtmeline -> kolmemõõtmeline
neli -> kuus
kolmemõõtmeline -> neljamõõtmeline
kaks -> kolm
lennuk -> ruum

Selle tulemusena saame järgmise sisuka teksti, mis ei tundu enam liiga detailne.

Kuubist hüperkuubi ehitamiseks tuleb kuubi venitada kuubi mahuga risti neljanda mõõtme suunas. Sel juhul kasvab algse kuubi mõlemalt küljelt kuubik, mis on hüperkuubi külgne kolmemõõtmeline külg, mis piirab hüperkuubi neljamõõtmelist mahtu kuuel küljel, kolm risti kummagi suunaga. kuubi ruum. Ja piki uut neljandat telge on ka kaks kuupi, mis piiravad hüperkuubi neljamõõtmelist mahtu. See on kolmemõõtmeline tahk, kus meie kuup algselt asus, ja see hüperkuubi kolmemõõtmeline tahk, kuhu kuubik tuli hüperkuubi ehitamise lõpus.

Miks oleme nii kindlad, et oleme saanud hüperkuubi ehituse õige kirjelduse? Jah, sest täpselt sama vormilise sõnade asendusega saame ruudu ehituse kirjeldusest kuubi ehituse kirjelduse. (Vaadake seda ise.)

Nüüd on selge, et kui kuubi kummaltki küljelt peaks kasvama veel üks kolmemõõtmeline kuup, siis esialgse kuubi igast servast peaks kasvama nägu. Kokku on kuubil 12 serva, mis tähendab, et nendele 6 kuubile, mis piiravad neljamõõtmelist mahtu piki kolmemõõtmelise ruumi kolme telge, ilmuvad täiendavalt 12 uut tahku (alamkuubi). Ja jäänud on veel kaks kuubikut, mis piiravad seda neljamõõtmelist mahtu alt ja ülalt mööda neljandat telge. Igal neist kuubikutest on 6 tahku.

Kokku leiame, et hüperkuubil on 12+6+6=24 ruudukujulist tahku.

Järgmisel pildil on näha hüperkuubi loogiline struktuur. See on nagu hüperkuubi projektsioon kolmemõõtmelisse ruumi. Nii saadakse kolmemõõtmeline ribidest raam. Joonisel näete loomulikult selle kaadri projektsiooni tasapinnale.



Sellel raamil on sisemine kuup nagu esialgne kuup, millest ehitamine algas ja mis piirab hüperkuubiku neljamõõtmelist mahtu mööda neljandat telge altpoolt. Venitame selle esialgse kuubi ülespoole mööda neljandat mõõtmistelge ja see läheb välimisse kuubi. Seega piiravad selle joonise välimine ja sisemine kuubik hüperkuubi piki neljandat mõõtmistelge.

Ja nende kahe kuubi vahel näete veel 6 uut kuubikut, mis puudutavad kahe esimesega ühiseid nägusid. Need kuus kuupi sidusid meie hüperkuubi piki kolmemõõtmelise ruumi kolme telge. Nagu näete, ei puutu need kokku mitte ainult kahe esimese kuubikuga, mis on sellel kolmemõõtmelisel raamil sisemine ja välimine kuubik, vaid on ka üksteisega kontaktis.

Saate lugeda otse joonisel ja veenduda, et hüperkuubil on tõesti 24 nägu. Kuid see küsimus tekib. See kolmemõõtmelises ruumis olev hüperkuubiku raam on täidetud kaheksa kolmemõõtmelise kuubikuga ilma tühikuteta. Sellest kolmemõõtmelisest hüperkuubi projektsioonist tõelise hüperkuubi tegemiseks peate selle kaadri tagurpidi pöörama, nii et kõik 8 kuupi seoksid 4-mõõtmelise ruumala.

Seda tehakse nii. Kutsume neljamõõtmelise ruumi elaniku endale külla ja palume tal end aidata. Ta haarab selle raami sisemise kuubiku ja liigutab seda neljanda dimensiooni suunas, mis on risti meie kolmemõõtmelise ruumiga. Oma kolmemõõtmelises ruumis tajume seda nii, nagu oleks kogu sisemine raam kadunud ja alles oleks jäänud vaid välimise kuubi raam.

Edasi pakub meie neljadimensiooniline assistent oma abi sünnitusmajades valutuks sünnituseks, kuid meie rasedaid hirmutab väljavaade, et beebi lihtsalt kaob kõhust ja satub paralleelsesse kolmemõõtmelisse ruumi. Seetõttu keeldutakse neljadimensioonilisest inimesest viisakalt.

Ja meid hämmeldab küsimus, kas mõni meie kuubik läks laiali, kui pöörasime hüperkuubi raami pahupidi. Lõppude lõpuks, kui mingid kolmemõõtmelised kuubikud, mis ümbritsevad hüperkuubi, puudutavad oma naabreid raamil näoga, siis kas nad puudutavad ka nende samade nägudega, kui neljamõõtmeline kuubik pöörab raami pahupidi?

Pöördume uuesti analoogia juurde madalamate mõõtmetega ruumidega. Võrrelge hüperkuubi raami kujutist kolmemõõtmelise kuubi projektsiooniga järgmisel pildil näidatud tasapinnale.



Kahemõõtmelise ruumi asukad ehitasid tasapinnale raami kuubi projitseerimiseks tasapinnale ja kutsusid meid, kolmemõõtmelisi elanikke, seda raami pahupidi pöörama. Võtame sisemise ruudu neli tippu ja liigutame need tasapinnaga risti. Kahemõõtmelised elanikud näevad kogu sisemise raami täielikku kadumist ja neile jääb ainult välimise ruudu raam. Sellise toiminguga puutuvad kõik ruudud, mis olid nende servadega kokku puutunud, jätkuvalt samade servadega.

Seetõttu loodame, et ka hüperkuubi raami pahupidi pööramisel ei rikuta hüperkuubi loogilist skeemi ning hüperkuubi ruudukujuliste tahkude arv ei suurene ja võrdub ikkagi 24-ga. Seda muidugi , ei ole üldse tõend, vaid puhtalt oletus analoogia põhjal.

Pärast kõike, mida olete siin lugenud, saate hõlpsalt joonistada viiemõõtmelise kuubi loogilise raamistiku ja arvutada sellel olevate tippude, servade, tahkude, kuubikute ja hüperkuubikute arvu. See pole üldse raske.