Kaardid

Kolme numbri kalkulaatori sõlmed. Kolme või enama numbri sõlmede leidmine. Kalkulaator GCD ja NOC leidmiseks

Nimetatakse ka dividendi, mis jagub antud jagajaga ilma jäägita mitmekordne. Näiteks 48 on 8 kordne, 48 on kordne ja 8 on jagaja.

Arv võib olla korraga mitte ühe, vaid mitme arvu kordne, sellist arvu nimetatakse ühiskordaja. Näiteks arv 77 on arvude 1, 7, 11, 77 ühiskordne.

Veel üks näide. Arv 3 on 12, 15, 24, 27, 30 jne kordne. Arv 5 on 10, 15, 25, 30, 35 jne kordne. Arvudel 3 ja 5 on 15 ja 30 ühised kordsed .

Mitme arvu ühiskordse leidmine on üsna lihtne, saate need arvud lihtsalt korrutada, mille tulemusena on nende arvude korrutis nende ühiskordne.

NOC

Kõigist antud arvude ühiskordadest pakub erilist huvi vähim ühiskordne.

Vähim ühine kordne(lühendatult LCM) mitmest antud arvust on väikseim arv, mis jagub võrdselt iga antud arvuga.

Näiteks kolme arvu puhul: 3, 5 ja 12 on vähim ühiskordne arv 60, kuna ükski teine arv, mis on väiksem kui 60, ei jagu ühtlaselt 3, 5 või 12-ga.

Tavaliselt kirjutatakse vähim ühine kordne nii: LCM ( a, b, ...) = x.

Selle järgi kirjutame arvude 3, 5 ja 12 vähima ühiskordse:

LCM (3, 5, 12) = 60.

NOC kalkulaator

See kalkulaator aitab teil leida arvude vähimat ühiskordset. Sisestage lihtsalt tühikute või komadega eraldatud numbrid ja klõpsake nuppu Arvuta LCM.

Lahendame probleemi. Meil on kahte tüüpi küpsiseid. Mõned on šokolaadised ja mõned tavalised. Šokolaaditükke on 48, lihtsaid aga 36. Nendest küpsistest on vaja teha võimalikult palju kingitusi ja need kõik tuleb ära kasutada.

Kõigepealt kirjutame üles kõik nende kahe arvu jagajad, kuna mõlemad arvud peavad jaguma kingituste arvuga.

Saame

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Leiame jagajate hulgast ühised, mis on nii esimesel kui ka teisel arvul.

Ühised jagajad on: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Kõigi suurim ühisjagaja on 12. Seda arvu nimetatakse 36 ja 48 suurimaks ühisjagajaks.

Tulemuse põhjal võime järeldada, et kõigist küpsistest saab 12 kingitust. Üks selline kingitus sisaldab 4 šokolaadiküpsist ja 3 tavalist küpsist.

Suurima ühise jagaja leidmine

Suurimat naturaalarvu, millega kaks arvu a ja b jaguvad ilma jäägita, nimetatakse nende arvude suurimaks ühisjagajaks.

Mõnikord kasutatakse kirje lühendamiseks lühendit GCD.

Mõnel arvupaaril on üks suurim ühine jagaja. Selliseid numbreid nimetatakse koalgarvud. Näiteks numbrid 24 ja 35. Kas GCD =1.

Kuidas leida suurim ühisjagaja

Suurima ühisjagaja leidmiseks ei ole vaja nende arvude kõiki jagajaid välja kirjutada.

Saate teha teisiti. Esiteks arvutage mõlemad arvud algteguriteks.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

Nüüd kustutame esimese numbri laiendusse kaasatud tegurite hulgast kõik need, mida teise numbri laiendamine ei hõlma. Meie puhul on tegemist kahe kahekümnega.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

Alles jäävad tegurid 2, 2 ja 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja.

Seda reeglit saab laiendada kolmele, neljale jne. numbrid.

Üldskeem suurima ühisjagaja leidmiseks

1. Jagage arvud algteguriteks.
2. Kriipsutage nende arvude ühe laiendusse kaasatud tegurite hulgast läbi need, mida teiste arvude laiendamine ei hõlma.
3. Arvutage ülejäänud tegurite korrutis.

Veebikalkulaator võimaldab teil kiiresti leida kahe või mis tahes muu arvu suurima ühisjagaja ja vähima ühiskordse.

Kalkulaator GCD ja NOC leidmiseks

Leidke GCD ja NOC

GCD ja NOC leitud: 12197

Kuidas kalkulaatorit kasutada

Sisestage sisestusväljale numbrid
Ebaõigete märkide sisestamise korral tõstetakse sisestusväli punaselt esile
vajutage nuppu "Leia GCD ja NOC"

Kuidas numbreid sisestada

Numbrid sisestatakse eraldatuna tühikute, punktide või komadega
Sisestatud numbrite pikkus ei ole piiratud, seega ei ole pikkade arvude gcd ja lcm leidmine keeruline

Mis on NOD ja NOK?

Suurim ühine jagaja mitmest arvust on suurim loomulik täisarv, millega kõik algsed arvud jaguvad ilma jäägita. Suurim ühine jagaja on lühendatud kui GCD.
Vähim ühine kordne mitu arvu on väikseim arv, mis jagub iga algarvuga ilma jäägita. Vähim ühiskordne on lühendatud kui NOC.

Kuidas kontrollida, kas arv jagub teise arvuga ilma jäägita?

Et teada saada, kas üks arv jagub teisega ilma jäägita, võite kasutada mõningaid arvude jaguvuse omadusi. Seejärel saab neid kombineerides kontrollida jaguvust mõnega neist ja nende kombinatsioonidest.

Mõned arvude jaguvuse märgid

1. Arvu jaguvuse märk 2-ga
Et teha kindlaks, kas arv jagub kahega (kas see on paaris), piisab, kui vaadata selle arvu viimast numbrit: kui see on 0, 2, 4, 6 või 8, siis on arv paarisarv, mis tähendab, et see jagub 2-ga.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 2-ga.
Lahendus: vaata viimast numbrit: 8 tähendab, et arv jagub kahega.

2. Arvu jaguvuse märk 3-ga
Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga. Seega, et teha kindlaks, kas arv jagub 3-ga, peate arvutama numbrite summa ja kontrollima, kas see jagub 3-ga. Isegi kui numbrite summa osutus väga suureks, saate sama protsessi korrata uuesti.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 3-ga.
Lahendus: loeme numbrite summaks: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jagub 3-ga, mis tähendab, et arv jagub kolmega.

3. Arvu jaguvuse märk 5-ga
Arv jagub 5-ga, kui selle viimane number on null või viis.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 5-ga.
Lahendus: vaata viimast numbrit: 8 tähendab, et arv EI jagu viiega.

4. Arvu jaguvuse märk 9-ga
See märk on väga sarnane kolmega jaguvuse märgiga: arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 9-ga.
Lahendus: arvutame numbrite summa: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jagub 9-ga, mis tähendab, et arv jagub üheksaga.

Kuidas leida kahe numbri GCD ja LCM

Kuidas leida kahe numbri GCD

Lihtsaim viis kahe arvu suurima ühisjagaja arvutamiseks on leida nende arvude kõik võimalikud jagajad ja valida neist suurim.

Mõelge sellele meetodile, kasutades GCD(28, 36) leidmise näidet:

Kombineerime mõlemad arvud: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
Leiame ühised tegurid, st need, mis on mõlemal arvul: 1, 2 ja 2.
Arvutame nende tegurite korrutise: 1 2 2 \u003d 4 - see on arvude 28 ja 36 suurim ühisjagaja.

Kuidas leida kahe numbri LCM-i

Kahe arvu väikseima kordse leidmiseks on kaks levinumat viisi. Esimene võimalus on see, et saate välja kirjutada kahe arvu esimesed kordsed ja seejärel valida nende hulgast sellise arvu, mis on mõlema arvu jaoks ühine ja samal ajal väikseim. Ja teine on nende numbrite GCD leidmine. Mõelgem lihtsalt sellele.

LCM-i arvutamiseks peate arvutama algarvude korrutise ja seejärel jagama selle varem leitud GCD-ga. Leiame samade numbrite 28 ja 36 jaoks LCM-i:

Leidke arvude 28 ja 36 korrutis: 28 36 = 1008
gcd(28, 36) on juba teadaolevalt 4
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 uM.

GCD ja LCM-i leidmine mitme numbri jaoks

Suurima ühisjagaja võib leida mitme arvu, mitte ainult kahe arvu jaoks. Selleks jagatakse suurimat ühisjagajat otsitavad arvud algteguriteks, seejärel leitakse nende arvude ühiste algtegurite korrutis. Samuti võite mitme numbri GCD leidmiseks kasutada järgmist seost: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sarnane seos kehtib ka arvude vähima ühiskordse kohta: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Näide: leidke GCD ja LCM numbrite 12, 32 ja 36 jaoks.

Esmalt jagame arvud faktoriseerimiseks: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
Leiame ühised tegurid: 1, 2 ja 2 .
Nende toode annab gcd: 1 2 2 = 4
Nüüd leiame LCM-i: selleks leiame esmalt LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
Kõigi kolme numbri LCM-i leidmiseks peate leidma GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288 .

Suurim ühisjagaja ja vähim ühiskordne on aritmeetilised põhimõisted, mis võimaldavad hõlpsasti opereerida tavaliste murdudega. LCM ja neid kasutatakse kõige sagedamini mitme murru ühisnimetaja leidmiseks.

Põhimõisted

Täisarvu X jagaja on teine täisarv Y, millega X on jagatav ilma jäägita. Näiteks arvu 4 jagaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Täisarvu X kordne on arv Y, mis jagub X-ga ilma jäägita. Näiteks 3 on 15 kordne ja 6 on 12 kordne.

Mis tahes arvupaari jaoks leiame nende ühised jagajad ja kordsed. Näiteks 6 ja 9 puhul on ühiskordne 18 ja ühisjagaja 3. Ilmselt võib paaridel olla mitu jagajat ja kordajat, seega kasutatakse arvutustes GCD suurimat ja LCM-i väikseimat kordset. .

Väikseimal jagajal pole mõtet, kuna iga arvu puhul on see alati üks. Ka suurim kordne on mõttetu, kuna kordajate jada kipub lõpmatuseni.

GCD leidmine

Suurima ühise jagaja leidmiseks on palju meetodeid, millest kuulsaimad on:

jagajate järjestikune loendamine, paarile ühiste valimine ja neist suurima otsimine;
arvude lagunemine jagamatuteks teguriteks;
Eukleidese algoritm;
binaarne algoritm.

Tänapäeval on haridusasutustes populaarseimad algteguriteks ja Eukleidilise algoritmideks jaotamise meetodid. Viimast kasutatakse omakorda Diofantini võrrandite lahendamisel: GCD otsimine on vajalik selleks, et kontrollida võrrandi võimalust selle lahendamiseks täisarvudes.

NOC leidmine

Vähim ühiskordaja määratakse täpselt ka iteratiivse loendamise või jagamatuteks teguriteks jagamise teel. Lisaks on LCM-i lihtne leida, kui suurim jagaja on juba määratud. Numbrite X ja Y puhul on LCM ja GCD seotud järgmise seosega:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Näiteks kui gcd(15,18) = 3, siis LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-i kõige ilmsem kasutamine on ühisnimetaja leidmine, mis on antud murrud.

Koaprarvud

Kui arvupaaril pole ühiseid jagajaid, siis nimetatakse sellist paari koaprarvuks. Selliste paaride GCM on alati võrdne ühega ning jagajate ja kordajate ühenduse põhjal võrdub koprime GCM nende korrutisega. Näiteks arvud 25 ja 28 on kaasalgarvud, kuna neil pole ühiseid jagajaid, ja LCM(25, 28) = 700, mis vastab nende korrutisele. Mis tahes kaks jagamatut arvu on alati kaasalgarvuks.

Ühine jagaja ja mitmikkalkulaator

Meie kalkulaatoriga saate arvutada GCD ja LCM mis tahes arvu numbrite jaoks. Ülesanded ühiste jagajate ja kordajate arvutamiseks leiate 5., 6. klassi aritmeetikast, kuid GCD ja LCM - võtmemõisteid matemaatikas ning neid kasutatakse arvuteoorias, planimeetrias ja kommunikatiivses algebras.

Näited elust

Murdude ühisnimetaja

Väiksemat ühiskordset kasutatakse mitme murru ühisnimetaja leidmisel. Oletame, et aritmeetilises ülesandes on vaja liita 5 murdu:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Murdude lisamiseks tuleb avaldis taandada ühise nimetajani, mis taandub LCM-i leidmise probleemiks. Selleks valige kalkulaatoris 5 numbrit ja sisestage nimetaja väärtused vastavatesse lahtritesse. Programm arvutab LCM-i (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nüüd peate iga murdosa jaoks arvutama lisategurid, mis on määratletud kui LCM-i ja nimetaja suhe. Seega näeksid lisakordajad välja järgmised:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Pärast seda korrutame kõik murrud vastava lisateguriga ja saame:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Selliseid murde saame lihtsalt liita ja tulemuseks saada kujul 159/360. Vähendame murdosa 3 võrra ja näeme lõplikku vastust - 53/120.

Lineaarsete diofantiinsete võrrandite lahendus

Lineaarsed diofantiini võrrandid on avaldised kujul ax + by = d. Kui suhe d / gcd(a, b) on täisarv, siis on võrrand lahendatav täisarvudes. Kontrollime paari võrrandit täisarvlahenduse võimalikkuse kohta. Kõigepealt kontrollige võrrandit 150x + 8y = 37. Kalkulaatori abil leiame gcd (150,8) = 2. Jagage 37/2 = 18,5. Arv ei ole täisarv, seetõttu pole võrrandil täisarvu juuri.

Kontrollime võrrandit 1320x + 1760y = 10120. Leidke kalkulaatoriga gcd(1320, 1760) = 440. Jagage 10120/440 = 23. Selle tulemusena saame täisarvu, seega on Diofantiini koefitsient lahendatav. .

Järeldus

GCD ja LCM mängivad arvuteoorias olulist rolli ning mõisteid ise kasutatakse laialdaselt matemaatika erinevates valdkondades. Kasutage meie kalkulaatorit mis tahes arvu arvu suurimate jagajate ja väikseimate kordajate arvutamiseks.

ühine jagaja Mitmest arvust on arv, millega iga antud arv jagub. Näiteks antud kaks arvu: 6 ja 9. Arvul 6 on jagajad 1, 2, 3, 6. Arvul 9 on jagajad 1, 3, 9. Näeme, et arvudel 6 ja 9 on ühised jagajad 1 ja 3.

Suurim ühine jagaja(lühendatult GCD) mitmest arvust nimetavad nad suurimat ühisjagajat, millega kõik need arvud jaguvad ilma jäägita.

Seega on 6 ja 9 kõigist ühisjagajatest suurim ühisjagaja 3.

Tavaliselt kirjutatakse suurim ühisjagaja järgmiselt: gcd ( a, b, ...) = x.

Selle järgi kirjutame arvude 6 ja 9 suurima ühisjagaja:

gcd(6, 9) = 3.

Kutsutakse numbreid, mille gcd on võrdne ühega koalgarvud. Näiteks arvud 14 ja 15 on suhteliselt algarvud: gcd(14, 15) = 1.