Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Auditooriumis on käru šokolaadiga ja iga tänane külastaja saab endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel hõlmab kahte osa korraga. kõrgem matemaatika, ja vaatame, kuidas nad ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ...kurat, milline jama. Kuigi, okei, ma ei löö, peaks lõpuks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, lineaarvektori sõltumatus, vektorite alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid ennekõike algebraline tähendus. Lineaaralgebra seisukohast ei ole „vektori” mõiste alati see „tavaline” vektor, mida saaksime tasapinnal või ruumis kujutada. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteos käisin: – temperatuur ja Atmosfääri rõhk vastavalt. Näide on vektorruumi omaduste seisukohalt muidugi vale, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on mõista definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad algebralisest vaatepunktist kõikidele vektoritele, kuid tuuakse geomeetrilised näited. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja selge. Ülesannetest kaugemale analüütiline geomeetria Vaatame ka mõningaid tüüpilisi algebra ülesandeid. Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid Ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapind ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelgem teie arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivne, et aluse loomiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli objektidele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppu. Pealegi sinu oma. Palun asetage vasak nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht väike sõrm parem käsi laua servale samamoodi - nii, et see oleks suunatud monitori ekraani poole. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida me saame vektorite kohta öelda? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarne väljendatakse üksteise kaudu:
, noh või vastupidi: , kus mõni arv erineb nullist.

Pilti sellest tegevusest näete klassis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi risti üksi suunas ning tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarne" tähistavad tõsiasja, et matemaatilistes võrrandites ja avaldistes puuduvad ruudud, kuubikud, muud astmed, logaritmid, siinused jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk, välja arvatud 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarne Mitte sõltuvad siis ja ainult siis, kui need ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega “viltuks”. Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatakse vastavalt alustele:
, kus on reaalarvud. Numbritele helistatakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Samuti öeldakse, et vektoresitatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealusel või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võime öelda, et vektor on lagundatud piki tasandi ortonormaalset alust, või võime öelda, et see on esitatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: Lennuki alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paariks, , kus ükskõik milline tasapinnaline vektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni oluline punkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. Alused – need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, ei saa te vasaku käe väikest sõrme parema käe väikese sõrme asemel asendada.

Oleme aluse välja mõelnud, kuid sellest ei piisa koordinaatide ruudustiku seadmisest ja igale arvutilaua elemendile koordinaatide määramisest. Miks sellest ei piisa? Vektorid on vabad ja liiguvad läbi kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid nendele väikestele määrdunud kohtadele laual, mis jäävad pärast metsikut nädalavahetust? Lähtepunkti on vaja. Ja selline maamärk on kõigile tuttav punkt – koordinaatide päritolu. Saame aru koordinaatide süsteemist:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui nad räägivad ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need alguspunkti, koordinaattelgesid ja skaalat piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada "ristkülikukujuline koordinaatsüsteem" ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest tundub, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab täielikult määratleda ortonormaalse aluse kaudu. Ja see on peaaegu tõsi. Sõnastus on järgmine:

päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline tasapinnaline koordinaatsüsteem . See tähendab, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Sellepärast näete joonist, mille ma ülal andsin - sisse geomeetrilised probleemid Sageli (kuid mitte alati) joonistatakse nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad aru, et kasutada punkti (päritolu) ja ortonormaalset alust MIS TAHES PUNKTI lennukis ja mistahes VEKTOR lennukis koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada."

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunktid vektoritega on määratletud koordinaatide ruudustikuga ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on oma koordinaadid etteantud alusel. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid üldiselt on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühtsusega, siis saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märge : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki x-telge sisaldab 4 cm, üks ühik piki ordinaattelge sisaldab 2 cm Sellest teabest piisab, et vajaduse korral "mittestandardsed" koordinaadid "meie tavalisteks sentimeetriteks" teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele tegelikult juba vastatud on, kas baasvektorite vaheline nurk peab olema võrdne 90 kraadiga? Ei! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, Ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt afiintasandi koordinaatide süsteem :

Mõnikord nimetatakse sellist koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Näidetena on joonisel näidatud punktid ja vektorid:

Nagu te mõistate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida me õppetunni teises osas käsitlesime, selles ei tööta; Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite lisamise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, segmendi jagamise valemid selles osas, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi käsitleme.

Ja järeldus on, et afiinse koordinaatsüsteemi kõige mugavam erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Sellepärast pead sa teda kõige sagedamini nägema, mu kallis. ...Kõik siin elus on aga suhteline - on palju olukordi, kus kaldus nurk (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Ja humanoididele võivad sellised süsteemid meeldida =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetunni ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on kättesaadav isegi koolilapsele.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit olid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed Põhimõtteliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval üksikasjalik kirjeldus.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurime, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Ma räägin teile kindlasti selle reegli rakendamise "lobavast" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Mõte on kohe proportsioon välja mõelda ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Suhe võib olla vastupidine, see on samaväärne variant:

Enesetesti jaoks saate kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. Sel juhul toimuvad võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida elementaarsete vektoritega tehtavate toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Teeme vektorite vastavatest koordinaatidest proportsiooni :
, mis tähendab, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt ei lükka arvustajad seda võimalust tagasi, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on nulliga võrdsed. Nagu nii: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (tõepoolest, te ei saa nulliga jagada). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline näide sõltumatu otsus:

Näide 2

Millise parameetri väärtuse juures on vektorid kas need on kollineaarsed?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need viienda punktina.

Kahe tasapinnalise vektori jaoks on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et nüüdseks olete juba aru saanud kõikidest terminitest ja väidetest, millega olete kokku puutunud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni rakendamiseks peate loomulikult suutma seda teha determinante leidma.

Otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi :
, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude ja sirgete paralleelsust. Vaatleme paari probleemi konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist luua, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Meenutagem rööpküliku määratlust:
Parallelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja.

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor (“kooli järgi” – võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on otsus vormistada selgelt, kokkuleppega. Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:
, mis tähendab, et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: nelinurga vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, mis tähendab, et see on definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Nelinurga tipud on antud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui lihtsalt meeles pidada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne, mille peate ise lahendama. Täielik lahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

A) ;
b)
V)

Lahendus:
a) Kontrollime, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

“Lihtsustatud” vormistatakse proportsiooni kontrollimisega. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumiliste vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks kolmandat järku determinandi abil. Seda meetodit käsitletakse artiklis Vektorite vektorkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus kolmemõõtmelises ruumis.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud mustrid, mida me lennukis uurisime, kehtivad ruumi jaoks. Püüdsin teooriamärkmeid minimeerida, kuna lõviosa teabest on juba näritud. Sissejuhatav osa soovitan siiski hoolega läbi lugeda, sest ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei pääse me kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu kulub aluse loomiseks kolm ruumilised vektorid. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame end sõrmedel. Palun tõstke oma käsi üles ja sirutage see laiali erinevad küljed pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades, on erineva pikkusega ja neil on erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, seda pole vaja õpetajatele demonstreerida, ükskõik kui kõvasti sõrmi keerata, aga definitsioonidest pole pääsu =)

Järgmiseks küsime endalt ühe olulise küsimuse: kas mis tahes kolm vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse? Vajutage kolm sõrme tugevalt arvutilaua ülaosale. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samas tasapinnas ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtme - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja on täiesti ilmne, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla paralleelsetel tasapindadel (ära tee seda sõrmedega, seda tegi ainult Salvador Dali =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne, kui on tasapind, millega nad on paralleelsed. Loogiline on siia lisada, et kui sellist tasandit ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutame taas ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise jaotise materjalide põhjal).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud st need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, ja mis tahes ruumivektorit ainus viis laguneb antud alusel, kus on selle aluse vektori koordinaadid

Tuletan teile meelde, et võime ka öelda, et vektor on esitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste võetakse kasutusele täpselt samamoodi nagu tasapinnalise juhtumi puhul, piisab ühest punktist ja suvalisest kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist:

päritolu, Ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik "kaldus" ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Nagu kõik arvavad, on afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

Punkt ruumis nimega päritolu, Ja ortonormaalne alus on seatud Descartes'i ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem . Tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Kolme ruumivektori puhul on järgmised väited samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Ma arvan, et vastupidised väited on arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust/sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilised ülesanded on selgelt algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriapulk ja näppida lineaaralgebra pesapallikurikat:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus sellest ei muutu - vt determinantide omadused). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või on neist vähe teadlikud, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi (determinant kuvatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Samuti on loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt peate lahendama võrrandi determinandiga. Hüppame nullidele alla nagu tuulelohed jerboadele - kõige parem on avada determinant teisel real ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsamale lineaarvõrrand:

Vastus: kell

Seda on siin lihtne kontrollida. Selleks peate asendama saadud väärtuse algse määrajaga ja veenduma selles , avage see uuesti.

Kokkuvõtteks käsitleme veel ühte tüüpilist probleemi, mis on olemuselt rohkem algebraline ja mis traditsiooniliselt sisaldub lineaaralgebra kursuses. See on nii tavaline, et väärib oma teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida sellel alusel 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad aluse kolmemõõtmelises ruumis ja leidke selles baasis vektori koordinaadid.

Lahendus: Esiteks käsitleme tingimust. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis see alus on, meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene etapp langeb täielikult kokku näite 6 lahendusega, on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutame vektori koordinaatidest koosneva determinandi:

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid Tingimata Kirjuta üles veergudesse determinant, mitte stringides. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on numbreid, millest vähemalt üks erineb nullist, nii et võrdsus https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Kui see võrdsus on täidetud ainult juhul, kui kõik , siis kutsutakse vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatu.

Teoreem. Vektorsüsteem saab olema lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vähemalt üks selle vektor on teiste lineaarne kombinatsioon.

Näide 1. Polünoom on polünoomide lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polünoomid moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi, kuna polünoom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Näide 2. Maatrikssüsteem , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> on lineaarselt sõltumatu, kuna lineaarne kombinatsioon on võrdne nullmaatriks ainult juhul, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineaarselt sõltuv.

Lahendus.

Teeme nendest vektoritest lineaarse kombinatsiooni https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" kõrgus = 22">.

Võrdsustades võrdsete vektorite samad koordinaadid, saame https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Lõpuks saame

Ja

Süsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus, seega on nende vektorite lineaarne kombinatsioon võrdne nulliga ainult juhul, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga. Seetõttu on see vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

Näide 4. Vektorid on lineaarselt sõltumatud. Millised saavad olema vektorsüsteemid?

a).;

b).?

Lahendus.

a). Teeme lineaarse kombinatsiooni ja võrdsustame selle nulliga

Kasutades lineaarruumis vektoritega tehte omadusi, kirjutame vormi viimase võrrandi ümber

Kuna vektorid on lineaarselt sõltumatud, peavad koefitsiendid at olema võrdsed nulliga, st.gif" width="12" height="23 src=">

Saadud võrrandisüsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus .

Alates võrdsusest (*) käivitatakse ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineaarselt sõltumatu;

b). Teeme võrdsuse https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Sarnast arutluskäiku rakendades saame

Lahendades võrrandisüsteemi Gaussi meetodil, saame

või

Viimasel süsteemil on lõpmatu arv lahendusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Seega on olemas mitte- null koefitsientide kogum, mille puhul kehtib võrdsus (**) . Seetõttu vektorite süsteem - lineaarselt sõltuv.

Näide 5 Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Võrdsuses (***) . Tõepoolest, kell , oleks süsteem lineaarselt sõltuv.

Suhtest (***) saame või Tähistame .

Saame

Iseseisva lahendamise ülesanded (klassiruumis)

1. Nullvektorit sisaldav süsteem on lineaarselt sõltuv.

2. Süsteem, mis koosneb ühest vektorist A, on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, a=0.

3. Kahest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid on võrdelised (st üks neist saadakse teisest arvuga korrutades).

4. Kui lisate lineaarselt sõltuvale süsteemile vektori, saate lineaarselt sõltuva süsteemi.

5. Kui vektor lineaarselt sõltumatust süsteemist eemaldada, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

6. Kui süsteem S on lineaarselt sõltumatu, kuid muutub vektori lisamisel lineaarselt sõltuvaks b, siis vektor b lineaarselt väljendatud süsteemivektorite kaudu S.

c). Maatriksite süsteem , , teist järku maatriksite ruumis.

10. Olgu vektorite süsteem a,b,c vektorruum on lineaarselt sõltumatu. Tõesta järgmiste vektorsüsteemide lineaarne sõltumatus:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– suvaline arv

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lase a,b,c– kolm vektorit tasapinnal, millest saab moodustada kolmnurga. Kas need vektorid on lineaarselt sõltuvad?

12. Antud on kaks vektorit a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Leidke veel kaks neljamõõtmelist vektorit a3 jaa4 nii et süsteem a1,a2,a3,a4 oli lineaarselt sõltumatu .

Definitsioon 1. Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui süsteemi üht vektorit saab esitada süsteemi ülejäänud vektorite lineaarse kombinatsioonina ja lineaarselt sõltumatuks - vastasel juhul.

Definitsioon 1'. Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui seal on numbreid Koos 1 , Koos 2 , …, Koos k , mitte kõik ei võrdu nulliga, nii et antud koefitsientidega vektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga: = , vastasel juhul nimetatakse süsteemi lineaarselt sõltumatuks.

Näitame, et need määratlused on samaväärsed.

Olgu 1. definitsioon rahuldatud, s.t. üks süsteemivektoritest on võrdne teiste lineaarse kombinatsiooniga:

Vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga ja mitte kõik selle kombinatsiooni koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga, s.t. Definitsioon 1´ on täidetud.

Laske definitsioonil 1' kehtida. Vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon on võrdne , ja mitte kõik kombinatsiooni koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga, näiteks vektori koefitsiendid.

Esitasime ühe süsteemivektoritest teiste lineaarse kombinatsioonina, st. Definitsioon 1 on täidetud.

2. definitsioon. Ühikvektorit ehk ühikvektorit nimetatakse n-mõõtmeline vektor, milline i-nda koordinaat on võrdne ühega ja ülejäänud on null.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

1. teoreem. Erinevad ühikvektorid n-mõõtmeline ruum on lineaarselt sõltumatu.

Tõestus. Olgu nende suvaliste koefitsientidega vektorite lineaarne kombinatsioon võrdne nullvektoriga.

Sellest võrdsusest järeldub, et kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga. Meil tekkis vastuolu.

Iga vektor n-mõõtmeline ruum ā (A 1 , A 2 , ..., A n) võib esitada ühikvektorite lineaarse kombinatsioonina, mille koefitsiendid on võrdsed vektori koordinaatidega

2. teoreem. Kui vektorite süsteem sisaldab nullvektorit, siis on see lineaarselt sõltuv.

Tõestus. Olgu antud vektorite süsteem ja üks vektoritest on null, näiteks = . Seejärel saate selle süsteemi vektoritega luua nullvektoriga võrdse lineaarse kombinatsiooni ja kõik koefitsiendid ei ole nullid:

Seetõttu on süsteem lineaarselt sõltuv.

3. teoreem. Kui vektorite süsteemi mõni alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.

Tõestus. Vektorite süsteem on antud. Oletame, et süsteem on lineaarselt sõltuv, s.t. numbrid on olemas Koos 1 , Koos 2 , …, Koos r , mitte kõik ei võrdu nulliga, nii et = . Siis

Selgus, et kogu süsteemi vektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne , ja mitte kõik selle kombinatsiooni koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga. Järelikult on vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Tagajärg. Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on ka iga selle alamsüsteem lineaarselt sõltumatu.

Tõestus.

Oletame vastupidist, s.t. mõni alamsüsteem on lineaarselt sõltuv. Teoreemist järeldub, et kogu süsteem on lineaarselt sõltuv. Oleme jõudnud vastuoluni.

4. teoreem (Steinitzi teoreem). Kui iga vektor on lineaarne kombinatsioon vektorist ja m>n, siis on vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Tagajärg.Üheski n-mõõtmelise vektori süsteemis ei saa olla rohkem kui n lineaarselt sõltumatut vektorit.

Tõestus. Iga n-dimensioonilist vektorit väljendatakse n ühikvektori lineaarse kombinatsioonina. Seega, kui süsteem sisaldab m vektorid ja m>n, siis on see süsteem teoreemi kohaselt lineaarselt sõltuv.

Vormi väljendamine helistas vektorite lineaarne kombinatsioon A 1, A 2,...,A n koefitsientidega λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltuv, kui on nullist erinev arvude hulk λ 1, λ 2,...,λ n, milles vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga, see tähendab võrrandisüsteemi: on nullist erinev lahendus.
Numbrite komplekt λ 1, λ 2,...,λ n on nullist erinev, kui vähemalt üks arvudest λ 1, λ 2,...,λ n nullist erinev.

Vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse määramine

Vektorsüsteem A 1, A 2,...,A n helistas lineaarselt sõltumatu, kui nende vektorite lineaarne kombinatsioon λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n võrdne nullvektoriga ainult nullarvude hulga puhul λ 1, λ 2,...,λ n , see tähendab võrrandisüsteemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ omab ainulaadset nulllahendust.

Näide 29.1

Kontrollige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv

Lahendus:

1. Koostame võrrandisüsteemi:

2. Lahendame selle Gaussi meetodil. Süsteemi Jordanano teisendused on toodud tabelis 29.1. Arvutamisel süsteemi paremaid külgi üles ei kirjutata, kuna need on võrdsed nulliga ega muutu Jordani teisenduste käigus.

3. Tabeli kolmest viimasest reast kirjutage üles lahendatud süsteem, mis on samaväärne algse süsteemiga süsteem:

4. Saame ühine otsus süsteemid:

5. Olles määranud vaba muutuja väärtuse x 3 =1 oma äranägemise järgi, saame konkreetse nullist erineva lahenduse X=(-3,2,1).

Vastus: Seega nullist erineva arvude hulga (-3,2,1) korral võrdub vektorite lineaarne kombinatsioon nullvektoriga -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Seega vektorsüsteem lineaarselt sõltuv.

Vektorsüsteemide omadused

Vara (1)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, siis vähemalt ühte vektorit laiendatakse teiste suhtes ja vastupidi, kui vähemalt ühte süsteemi vektorit laiendatakse teiste suhtes, siis vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Vara (2)
Kui mis tahes vektorite alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.

Vara (3)
Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on iga selle alamsüsteem lineaarselt sõltumatu.

Kinnistu (4)
Iga nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Kinnisvara (5)
M-mõõtmeliste vektorite süsteem on alati lineaarselt sõltuv, kui vektorite arv n on suurem kui nende mõõde (n>m)

Vektorsüsteemi alused

Vektorsüsteemi alus A 1 , A 2 ,..., A sellist alamsüsteemi B 1 , B 2 ,...,B r nimetatakse(iga vektorid B 1, B 2,..., B r on üks vektoritest A 1, A 2,..., A n), mis vastab järgmistele tingimustele:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem;
2. mis tahes vektor A j Süsteemi A 1 , A 2 ,..., A n väljendatakse lineaarselt läbi vektorite B 1 , B 2 ,..., B r

r— baasis sisalduvate vektorite arv.

Teoreem 29.1 Vektorite süsteemi ühiku alusel.

Kui m-mõõtmeliste vektorite süsteem sisaldab m erinevat ühikvektorit E 1 E 2 ,..., E m , siis moodustavad need süsteemi aluse.

Algoritm vektorite süsteemi aluse leidmiseks

Vektorite süsteemi A 1 ,A 2 ,...,A n aluse leidmiseks on vaja:

• Looge vastav vektorsüsteem homogeenne süsteem võrrandid A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Tooge see süsteem

Lineaarne sõltuvus ja vektori sõltumatus

Lineaarselt sõltuvate ja sõltumatute vektorsüsteemide definitsioonid

Definitsioon 22

Olgu meil n-vektorite süsteem ja arvude hulk
, Siis

(11)

nimetatakse antud vektorite süsteemi lineaarseks kombinatsiooniks antud koefitsientide hulgaga.

Definitsioon 23

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui selline koefitsientide hulk on olemas
, millest vähemalt üks ei ole võrdne nulliga, et antud koefitsientide komplektiga antud vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga:

Lase
, Siis

Definitsioon 24 ( süsteemi ühe vektori esitamise kaudu teiste lineaarse kombinatsioonina)

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui vähemalt ühte selle süsteemi vektorit saab esitada selle süsteemi ülejäänud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

3. väide

Definitsioonid 23 ja 24 on samaväärsed.

Definitsioon 25(null lineaarse kombinatsiooni kaudu)

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui selle süsteemi nullline lineaarne kombinatsioon on võimalik ainult kõigi jaoks
võrdne nulliga.

Definitsioon 26(kuna süsteemi üht vektorit on võimatu esitada teiste lineaarse kombinatsioonina)

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ühtegi selle süsteemi vektorit ei saa esitada selle süsteemi teiste vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Lineaarselt sõltuvate ja sõltumatute vektorsüsteemide omadused

Teoreem 2 (nullvektor vektorite süsteemis)

Kui vektorite süsteemil on nullvektor, siis on süsteem lineaarselt sõltuv.

 Lase
, Siis.

Saame
, seega lineaarselt sõltuva vektorite süsteemi definitsiooni kaudu null-lineaarse kombinatsiooni kaudu (12) süsteem on lineaarselt sõltuv. 

Teoreem 3 (sõltuv alamsüsteem vektorsüsteemis)

Kui vektorite süsteemil on lineaarselt sõltuv alamsüsteem, siis on kogu süsteem lineaarselt sõltuv.

 Lase
- lineaarselt sõltuv alamsüsteem
, mille hulgas vähemalt üks ei ole võrdne nulliga:

See tähendab 23. definitsiooni järgi, et süsteem on lineaarselt sõltuv. 

4. teoreem

Lineaarselt sõltumatu süsteemi mis tahes alamsüsteem on lineaarselt sõltumatu.

 Vastupidiselt. Olgu süsteem lineaarselt sõltumatu ja sellel on lineaarselt sõltuv alamsüsteem. Kuid siis, vastavalt teoreemile 3, on ka kogu süsteem lineaarselt sõltuv. Vastuolu. Järelikult ei saa lineaarselt sõltumatu süsteemi alamsüsteem olla lineaarselt sõltuv. 

Vektorisüsteemi lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse geomeetriline tähendus

5. teoreem

Kaks vektorit Ja on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis
.

 Vajadus.

Ja - lineaarselt sõltuv
et tingimus on täidetud
. Siis
, st.
.

Adekvaatsus.

Lineaarselt sõltuv. 

Järeldus 5.1

Nullvektor on mis tahes vektori suhtes kollineaarne

Järeldus 5.2

Selleks, et kaks vektorit oleks lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et ei olnud kollineaarne .

6. teoreem

Selleks, et kolmest vektorist koosnev süsteem oleks lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et need vektorid oleksid tasapinnalised .

 Vajadus.

- on lineaarselt sõltuvad, seetõttu saab ühte vektorit esitada kahe ülejäänud lineaarse kombinatsioonina.

, (13)

Kus
Ja
. Rööpkülikureegli järgi on külgedega rööpküliku diagonaal
, kuid rööpkülik on lame kujund
koplanaarne
- on samuti tasapinnalised.

Adekvaatsus.

- koplanaarne. Rakendame punktile O kolm vektorit:

C

B`

– lineaarselt sõltuv 

Järeldus 6.1

Nullvektor on samatasandiline mis tahes vektoripaariga.

Järeldus 6.2

Selleks, et vektorid
olid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et need ei oleks tasapinnalised.

Järeldus 6.3

Tasapinna mis tahes vektorit saab esitada mis tahes kahe sama tasandi mittekollineaarse vektori lineaarse kombinatsioonina.

7. teoreem

Kõik neli vektorit ruumis on lineaarselt sõltuvad .

 Vaatleme 4 juhtumit:

Joonistame tasapinna läbi vektorite, seejärel tasapinna läbi vektorite ja tasapinna läbi vektorite. Seejärel joonistame vektoripaaridega paralleelsed tasapinnad, mis läbivad punkti D; ; vastavalt. Ehitame rööptahuka piki tasandite lõikejooni O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Mõelgem O.B. 1 D 1 C 1 – rööpkülik konstruktsiooni järgi rööpkülikureegli järgi
.

Vaatleme OADD 1 – rööpkülikut (rööptahuka omadusest)
, Siis

EMBED võrrand.3 .

1. teoreemi järgi
selline, et . Siis
, ja definitsiooni 24 järgi on vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. 

Järeldus 7.1

Kolme mittetasapinnalise vektori summa ruumis on vektor, mis ühtib nendele kolmele vektorile ehitatud rööptahuka diagonaaliga, mis on rakendatud ühisele alguspunktile, ja summavektori alguspunkt langeb kokku nende kolme vektori ühise alguspunktiga.

Järeldus 7.2

Kui võtta ruumis 3 mittetasatasandilist vektorit, siis saab selle ruumi suvalise vektori lagundada nende kolme vektori lineaarseks kombinatsiooniks.