Mängud

10 võimalust ruudu lahendamiseks. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergievskaja keskkool"

Lõpetanud: Sizikov Stanislav

Õpetaja:

Koos. Sergievka, 2007

1. Sissejuhatus. Ruutvõrrandid Vana-Babülonis……………….3

2. Diaphant ruutvõrrandid…………..…………………………….4

3. Ruutvõrrandid Indias …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

4. Al-Khorezmi ruutvõrrandid ………………………………………..6

5. Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XYII………………………………7

6. Vieta teoreemi kohta ………………………………………………………………..9

7. Kümme ruutvõrrandite lahendamise võimalust………………………..10

8. Järeldus ………………………………………………………………………20

9. Viited ……………………………………………………………21

Sissejuhatus

Ruutvõrrandid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalvõrrandite, logaritmiliste ja irratsionaalsete võrrandite lahendamisel. Me kõik teame, kuidas ruutvõrrandeid lahendada, alates 8. klassist. Kuidas aga tekkis ja arenes ruutvõrrandite lahendamise ajalugu?

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid juba antiikajal tingis vajadus lahendada maa-alade leidmisega seotud probleeme; sõjalise iseloomuga mullatööd, samuti astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased. Kasutades tänapäevast algebralist tähistust, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara kirjutab varjus

x2- 64X = - 768

ja selle võrrandi vasaku poole ruudu täiendamiseks lisab ta mõlemale poolele 322, saades siis: x2- 64x + 322 = -768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Ruutvõrrandid al - Khorezmis

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax2 = sisse.

2) “Ruudmed on võrdsed arvuga”, s.o. ah2= Koos.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, s.o. ah2+ c = sisse.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvuga”, s.o. ah2+ in = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. sisse+ c \u003d ax2. Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

Ülesanne 14. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur "(mis tähendab võrrandi juurt x2+ 21 = 10X).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt esitatud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Ruutvõrrandid EuroopasXIII- XVIIsajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al-Khwarizmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt Abakuse raamatus (avaldatud eelmise sajandi keskel Roomas, Fibonacci Abakuse raamat sisaldab 459 lehekülge), mis on kirjutatud aastal. 1202 Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt. Seda mahukat teost, mis peegeldab matemaatika mõju nii islamimaadest kui ka Vana-Kreekast, eristab nii esitusviis kui ka selgus. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja esimene sisse Euroopa lähenes negatiivsete numbrite kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.–17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks x2+ in = s, koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks sisse, koos sõnastati Euroopas alles 1544. aastal. M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardaco, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui AT+ D, korrutatud AGA miinus A2, võrdub BD, siis AGA võrdub AT ja võrdne D».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga
täishäälik, mõeldud talle tundmatu (meie X), täishäälikud
AT,D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Samas on Vieta sümboolika tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu võttis ta võrrandite lahendamisel arvesse ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

Kümme ruutvõrrandite lahendamise viisi

Matemaatika koolikursuses õpitakse ruutvõrrandite juurte valemeid, mille abil saab lahendada mistahes ruutvõrrandi. Ruutvõrrandite lahendamiseks on aga ka teisi viise, mis võimaldavad lahendada paljusid võrrandeid väga kiiresti ja ratsionaalselt. Ruutvõrrandi lahendamiseks on kümme võimalust. Vaatleme igaüks neist.

1. Võrrandi vasaku poole faktoriseerimine

Lahendame võrrandi x2+ 10X- 24 = 0. Faktoriseerime võrrandi vasaku poole:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Seetõttu saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

( X + 12) (x - 2) = 0.

Kuna korrutis on null, on vähemalt üks selle teguritest null. Seetõttu kaob võrrandi vasak pool, kui x = 2, samuti X= - 12. See tähendab, et arvud 2 ja -12 on võrrandi x2 + 10x - 24 = 0 juured.

2. Täisruudu valiku meetod

Selgitame seda meetodit näitega.

Lahendame võrrandi x2 + 6x - 7 = 0. Vali vasakult täisruut. Selleks kirjutame avaldise x2 + 6x järgmisel kujul:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

Saadud avaldises on esimene liige arvu x ruut ja teine liige x kahekordne korrutis 3-ga. Seetõttu tuleb täisruudu saamiseks lisada 32, kuna

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Nüüd teisendame võrrandi vasaku poole

x2 + 6x - 7 = 0,

sellele liitmine ja 32 lahutamine. Meil on:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Seega saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt:

(x + = 0, st (x + 3)2 = 16.

Järelikult X+ 3 = 4 x1 \u003d 1 või x + 3 = 4, x2 \u003d - 7.

3. Ruutvõrrandite lahendamine valemiga

Korrutage võrrandi mõlemad pooled

ah2+ sisse+ c = 0, a ≠ 0, sisse 4a ja järjestikku on meil:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

Positiivse diskriminandi korral, st koos v2 – 4ac > 0, võrrand ah2+ sisse + s= 0-l on kaks erinevat juurt.

Kui diskriminant on null, st. v2 – 4ac = 0, siis võrrand ah2+ sisse+ Koos= 0 on ühe juurega, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Selle juured vastavad Vieta teoreemile, mis millal a= 1-l on vorm

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Sellest saame teha järgmised järeldused (koefitsientide järgi R ja q juurmärke saab ennustada).

a) Kui vabaliige q taandatud võrrand (1)
positiivne (q> 0), siis on võrrandil kaks identset
juure märgi järgi ja see sõltub teisest koefitsiendist R
Kui a R> 0, siis on mõlemad juured negatiivsed, kui R< 0, siis mõlemad
juured on positiivsed.

Näiteks,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 ja x2 = 1, kuna q = 2 > 0 u lk = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 ja x2 \u003d - 1, kuna q= 7 > 0 ja R = 8 > 0.

b) Kui vabaliige q taandatud võrrand (1)
negatiivne (q < 0), siis on võrrandil kaks erineva märgiga juurt ja suurem juur absoluutväärtuses on positiivne, kui R< 0 või negatiivne, kui p > 0.

Näiteks,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 ja x2 \u003d 1, alates q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 ja x2= - 1, sest q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil

Mõelge ruutvõrrandile ax2 + in+ c = 0, kus a ≠ 0. Korrutades selle mõlemad osad arvuga a, saame võrrandi a2x2+abx+ ac= 0.

Lase ah = y kus X=; siis jõuame võrrandini

y2+ kõrval+ ac = 0,

samaväärne sellega. selle juured y1 ja y2 leida Vieta teoreemi abil. Lõpuks saame x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Selle meetodi korral koefitsient a korrutatakse vaba terminiga, justkui “visatakse” sellele, mistõttu seda nimetatakse ülekande meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juurte leidmine on lihtne Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.

1. Lahendage võrrand 2x2 - 11x + 15 = 0.

Lahendus."Viime" koefitsiendi 2 üle vabasse liikmesse, selle tulemusena saame võrrandi

y2-11 juures+ 30 = 0.

Vieta teoreemi järgi y1 = 5, y2 = 6, seega x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Vastus: 2,5; 3.

6. Ruudu koefitsientide omadusedvõrrandid

A. Olgu ruutvõrrand antud

ax2 + in + c= 0, kus a ≠ 0.

1. Kui + in + koos= 0 (st võrrandi koefitsientide summa on võrdne nulliga), siis x1 = 1, x2 = .

2. Kui a - b + c= 0, võib = a + c, siis x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Vastus: 1; 184">

Võimalikud on järgmised juhtumid:

Sirg ja parabool võivad ristuda kahes punktis, lõikepunktide abstsissid on ruutvõrrandi juured;

Sirge ja parabool võivad kokku puutuda (ainult üks ühine punkt), see tähendab, et võrrandil on üks lahend;

Sirgjoonel ja paraboolil ei ole ühiseid punkte, see tähendab, et ruutvõrrandil pole juuri.

Näited.

1. Lahendame graafiliselt võrrandi x2 - 3x - 4 = 0 (joonis 2).

Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile x2 = 3x + 4.

Ehitame parabooli y = x2 ja otsene y= 3x + 4. Otsene juures= 3x + 4 saab konstrueerida kahest punktist M(0; 4) ja N(3; 13). Sirg ja parabool ristuvad kahes punktis A-st B-sse abstsissiga x1= - 1 ja x2 = 4.

Vastus: x1= - 1, x, = 4.

8. Ruutvõrrandite lahendamine kompassi ja sirgjoonega

Graafiline viis ruutvõrrandite lahendamiseks parabooli abil on ebamugav. Kui koostate parabooli punkthaaval, võtab see palju aega ja saadud tulemuste täpsusaste on madal.

Ruutvõrrandi juurte leidmiseks pakume välja järgmise meetodi

ah2+ sisse+ Koos= 0

kasutades kompassi ja joonlauda (joon.).

Oletame, et soovitud ringjoon lõikub punktides abstsisstelljega B(x1; 0) ja D(x2 ; 0), kus x1 ja x2- võrrandi juured ax2 + in+Koos=0,
ja läbib punkte A(0; 1) ja C(0; ) y-teljel..gif" width="197" height="123">

Niisiis: 1) koostage punktid https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> ring lõikub OX-teljega punktis B(x1;0 ) ja D(x1 ; 0), kus x1 ja x2 - ruutvõrrandi ax2+bx+c juured = 0.

2) Ringjoone raadius võrdub keskpunkti ordinaadiga , puudutab ringjoon x-telge punktis B(x1; 0), kus xx on ruutvõrrandi juur.

3) Ringjoone raadius on väiksem kui vasakpoolse keskpunkti ordinaat">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Kust pärast asendusi ja

lihtsustustele järgneb võrrand z2+pz+q=0 ja täht z tähendab kõverjoonelise skaala mis tahes punkti silti.

10. Geomeetriline meetod ruutvõrrandite lahendamiseks

Iidsetel aegadel, kui geomeetria oli rohkem arenenud kui algebra, lahendati ruutvõrrandid mitte algebraliselt, vaid geomeetriliselt. Toome näite, mis on kuulsaks saanud al-Khwarizmi Algebrast.

Ja neli külge kinnitatud ruutu, st S=x2+10x+25. Asendades x2+10x 39-ga, saame S = 39 + 25 = 64, mis tähendab, et ruudu külg ABCD, st segment AB= 8. Soovitud külje jaoks X algne ruut, mille me saame

Järeldus

Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandeid, alates koolist kuni lõpetamiseni. Aga matemaatika koolikursuses õpitakse ruutvõrrandite juurte valemeid, mille abil saab lahendada mis tahes ruutvõrrandid. Olles aga seda küsimust sügavamalt uurinud, veendusin, et ruutvõrrandite lahendamiseks on ka teisi viise, mis võimaldavad lahendada paljusid võrrandeid väga kiiresti ja ratsionaalselt.

Võib-olla on matemaatika kusagil teistes dimensioonides, silmaga mitte nähtav – kõik on kirja pandud ja kõik uued faktid saame lihtsalt maailmadega august? ... Jumal teab; aga selgub, et kui füüsikutel, keemikutel, majandusteadlastel või arheoloogidel on vaja uut maailma ehituse mudelit, saab selle mudeli alati võtta riiulilt, kuhu matemaatikud selle kolmsada aastat tagasi panid, või kokku panna samal pinnal lebavatest osadest. riiul. Võib-olla tuleb neid osi väänata, üksteisega kohandada, poleerida, kiiresti töödelda paar uut teoreemi puksi; kuid tulemuse teooria ei kirjelda mitte ainult tegelikku tekkinud olukorda, vaid ennustab ka tagajärgi! ...

Kummaline on see mõistusemäng, mis on alati õige ...

Kirjandus

1. Alimov SHA., Iljin VA. et al., Algebra, 6-8. Prooviõpik gümnaasiumi 6-8 klassile. - M., Haridus, 1981.

2.Bradise matemaatika tabelid keskkoolile. Ed. 57. - M., Haridus, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - ülesanded matemaatika õpetamisel. Raamat õpetajale. - M., Haridus, 1992.

4.M., Matemaatika (ajalehe "Esimene september" lisa), nr 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Okunevi funktsioonid, võrrandid ja võrratused. Juhend õpetajale. - M., Haridus, 1972.

6. Solomnik B. C., Magusad küsimused ja ülesanded matemaatikas. Ed. 4. lisa. - M., Kõrgkool, 1973.

7.M., Matemaatika (ajalehe "Esimene september" lisa), nr 40, 2000.a.

Ülevaade

SM "Sergievskaja keskkooli" 11. klassi õpilase töö eest

üldhariduslik kool"

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1 .1 Ruutvõrrandidtüli iidses Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st. 10+x, teine on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x.

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-ndad 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

juures 2 - 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

X 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandidal-Khorezmi

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. Oh 2 + koos =-gabX.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. Oh 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. Oh 2 + koos =-gabX.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. Oh 2 + bx= s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx+ c = kirves 2 .

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei võta nulllahendust arvesse ilmselt seetõttu, et see ei oma konkreetsete praktiliste ülesannete puhul tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades võrrandi x juure 2 + 21 = 10x).

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid EuroopasXIII - XVIIsajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

X 2 + bx= koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b, Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT,D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+b)x - x 2 = ab,

X 2 - (+b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Samas on Vieta sümboolika tänapäevasest välimusest veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Matemaatika koolikursuses õpitakse ruutvõrrandite juurte valemeid, mille abil saab lahendada mistahes ruutvõrrandi. Samas on ruutvõrrandite lahendamiseks ka teisi võimalusi, mis võimaldavad väga kiiresti ja ratsionaalselt lahendada paljusid võrrandeid. Ruutvõrrandi lahendamiseks on kümme võimalust. Oma töös analüüsisin neid kõiki üksikasjalikult.

1. MEETOD : Võrrandi vasaku külje faktoriseerimine.

Lahendame võrrandi

X 2 + 10x - 24 = 0.

Faktoriseerime vasaku külje:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Seetõttu saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

(x + 12) (x - 2) = 0

Kuna korrutis on null, siis vähemalt üks selle teguritest on null. Seetõttu kaob võrrandi vasak pool kell x = 2, samuti kell x = -12. See tähendab, et number 2 ja - 12 on võrrandi juured X 2 + 10x - 24 = 0.

2. MEETOD : Täisruudu valiku meetod.

Lahendame võrrandi X 2 + 6x - 7 = 0.

Valime vasakust servast täisruudu.

Selleks kirjutame avaldise x 2 + 6x järgmisel kujul:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Saadud avaldises on esimene liige arvu x ruut ja teine liige x kahekordne korrutis 3-ga. Seetõttu tuleb täisruudu saamiseks lisada 3 2, kuna

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Nüüd teisendame võrrandi vasaku poole

X 2 + 6x - 7 = 0,

sellele liitmine ja lahutamine 3 2 . Meil on:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 – 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Seega saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Järelikult x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 või x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. MEETOD :Ruutvõrrandite lahendamine valemiga.

Korrutage võrrandi mõlemad pooled

Oh 2 + bx + c = 0, ah? 0

4a ja järjestikku on meil:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2ax*b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Näited.

a) Lahendame võrrandi: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, kaks erinevat juurt;

Seega positiivse diskrimineerija, s.o. juures

b 2 - 4 ac >0 , võrrand Oh 2 + bx + c = 0 on kaks erinevat juurt.

b) Lahendame võrrandi: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, üks juur;

Seega, kui diskriminant on null, st. b 2 - 4 ac = 0 , siis võrrand

Oh 2 + bx + c = 0 on üks juur

sisse) Lahendame võrrandi: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Sellel võrrandil pole juuri.

Seega, kui diskriminant on negatiivne, s.t. b 2 - 4 ac < 0 ,

võrrand Oh 2 + bx + c = 0 pole juuri.

Ruutvõrrandi juurte valem (1). Oh 2 + bx + c = 0 võimaldab teil leida juuri ükskõik milline ruutvõrrand (kui on olemas), sealhulgas vähendatud ja mittetäielik. Valemit (1) väljendatakse verbaalselt järgmiselt: ruutvõrrandi juured on võrdsed murdosaga, mille lugeja on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, pluss miinus selle koefitsiendi ruudu ruutjuur ilma, et esimese koefitsiendi korrutist vaba liikmega neljakordistataks, ja nimetaja on kaks korda suurem kui esimene koefitsient.

4. MEETOD: Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Teatavasti on antud ruutvõrrandil vorm

X 2 + px + c = 0. (1)

Selle juured rahuldavad Vieta teoreemi, mis millal a =1 on vorm

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - lk

Sellest saame teha järgmised järeldused (juurte märke saab ennustada koefitsientide p ja q järgi).

a) Kui kokkuvõtlik termin q taandatud võrrandi (1) väärtus on positiivne ( q > 0 ), siis on võrrandil kaks sama märgi juurt ja see on teise koefitsiendi kadedus lk. Kui a R< 0 , siis on mõlemad juured negatiivsed, kui R< 0 , siis on mõlemad juured positiivsed.

Näiteks,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 ja x 2 = 1, sest q = 2 > 0 ja lk = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 ja x 2 = - 1, sest q = 7 > 0 ja lk= 8 > 0.

b) Kui vabaliige q taandatud võrrandi (1) väärtus on negatiivne ( q < 0 ), siis on võrrandil kaks erineva märgiga juurt ja suurem juur absoluutväärtuses on positiivne, kui lk < 0 või negatiivne, kui lk > 0 .

Näiteks,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 ja x 2 = 1, sest q= - 5 < 0 ja lk = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 ja x 2 = - 1, sest q = - 9 < 0 ja lk = - 8 < 0.

5. MEETOD: Võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil.

Mõelge ruutvõrrandile

Oh 2 + bx + c = 0, kus a? 0.

Korrutades selle mõlemad osad a-ga, saame võrrandi

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Lase ah = y, kus x = y/a; siis jõuame võrrandini

juures 2 + kõrval+ ac = 0,

samaväärne sellega. selle juured juures 1 ja juures 2 võib leida Vieta teoreemi abil.

Lõpuks saame

X 1 = y 1 /a ja X 1 = y 2 /a.

Selle meetodi korral koefitsient a korrutatakse vaba terminiga, justkui “visatakse” sellele, seetõttu nimetatakse seda ülekande meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juurte leidmine on lihtne Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.

Näide.

Lahendame võrrandi 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Lahendus."Viime" koefitsiendi 2 üle vabasse liikmesse, selle tulemusena saame võrrandi

juures 2 - 11 a + 30 = 0.

Vastavalt Vieta teoreemile

juures 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

juures 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Vastus: 2,5; 3.

6. MEETOD: Ruutvõrrandi kordajate omadused.

AGA. Olgu ruutvõrrand

Oh 2 + bx + c = 0, kus a? 0.

1) Kui, a+b+ c = 0 (ehk koefitsientide summa on null), siis x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Tõestus. Jagage võrrandi mõlemad pooled a-ga? 0, saame taandatud ruutvõrrandi

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Vastavalt Vieta teoreemile

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Tingimuste järgi a -b + c = 0, kus b= a + c. Sellel viisil,

x 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

need. X 1 = -1 ja X 2 = c/ a, mida meil oli vaja tõestada.

Näited.

1) Lahenda võrrand 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Lahendus. Sest a +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), siis

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Vastus: 1; -208/345.

2) Lahenda võrrand 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Lahendus. Sest a +b+ c = 0 (132–247 + 115 = 0), siis

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Vastus: 1; 115/132.

B. Kui teine koefitsient b = 2 k on paarisarv, siis juurte valem

Näide.

Lahendame võrrandi 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Lahendus. Meil on: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, kaks erinevat juurt;

Vastus: 2; 8/3

AT. Redutseeritud võrrand

X 2 +px+q= 0

langeb kokku üldvõrrandiga, milles a = 1, b= lk ja c =q. Seetõttu taandatud ruutvõrrandi jaoks juurte valem

võtab kujul:

Valemit (3) on eriti mugav kasutada siis, kui R-- paarisarv.

Näide. Lahendame võrrandi X 2 - 14x - 15 = 0.

Lahendus. Meil on: X 1,2 =7±

Vastus: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. MEETOD: Ruutvõrrandi graafiline lahendus.

Kui võrrandis

X 2 + px + q = 0

teisaldada teine ja kolmas termin paremale, saame

X 2 = - px - q.

Koostame sõltuvusgraafikud y \u003d x 2 ja y \u003d - px - q.

Esimese sõltuvuse graafik on alguspunkti läbiv parabool. Teise sõltuvuse graafik -

sirgjoon (joonis 1). Võimalikud on järgmised juhtumid:

Sirg ja parabool võivad ristuda kahes punktis, lõikepunktide abstsissid on ruutvõrrandi juured;

Sirg ja parabool võivad kokku puutuda (ainult üks ühine punkt), s.t. võrrandil on üks lahend;

Sirgel ja paraboolil ei ole ühiseid punkte, s.t. ruutvõrrandil pole juuri.

Näited.

1) Lahendame võrrandi graafiliselt X 2 - 3x - 4 = 0(joonis 2).

Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile X 2 = 3x + 4.

Ehitame parabooli y = x 2 ja otsene y = 3x + 4. otsene

y = 3x + 4 saab ehitada kahest punktist M (0; 4) ja

N (3; 13) . Sirg ja parabool ristuvad kahes punktis

AGA ja AT abstsissiga X 1 = - 1 ja X 2 = 4 . Vastus: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Lahendame võrrandi graafiliselt (joonis 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile X 2 = 2x - 1.

Ehitame parabooli y = x 2 ja otsene y = 2x - 1.

otsene y = 2x - 1 tugineda kahele punktile M (0; -1)

ja N(1/2; 0) . Sirge ja parabool ristuvad punktis AGA Koos

abstsiss x = 1. Vastus:x = 1.

3) Lahendame võrrandi graafiliselt X 2 - 2x + 5 = 0(joonis 4).

Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile X 2 = 5x - 5. Ehitame parabooli y = x 2 ja otsene y = 2x - 5. otsene y = 2x - 5 konstrueerida kahe punktiga M(0; - 5) ja N(2,5; 0). Sirgel ja paraboolil puuduvad lõikepunktid, s.t. Sellel võrrandil pole juuri.

Vastus. Võrrand X 2 - 2x + 5 = 0 pole juuri.

8. MEETOD: Ruutvõrrandite lahendamine kompassiga ja valitsejad.

Graafiline viis ruutvõrrandite lahendamiseks parabooli abil on ebamugav. Kui koostada parabool punkthaaval, siis kulub selleks palju aega ja kõige selle juures on saadud tulemuste täpsus madal.

Pakun välja järgmise meetodi ruutvõrrandi juurte leidmiseks Oh 2 + bx + c = 0 kasutades kompassi ja joonlauda (joon. 5).

Oletame, et soovitud ringjoon lõikub teljega

abstsiss punktides B(x 1 ; 0) ja D(X 2 ; 0), kus X 1 ja X 2 - võrrandi juured Oh 2 + bx + c = 0, ja läbib punkte

A(0; 1) ja C(0;c/ a) y-teljel. Siis sekanti teoreemi järgi on meil OB * OD = OA * OC, kus OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Ringjoone keskpunkt asub ristide lõikepunktis SF ja SK, taastatud akordide keskpunktides AC ja BD, sellepärast

1) konstrueerida punkte (ringi keskpunkt) ja A(0; 1) ;

2) joonestada raadiusega ring SA;

3) selle ringi ja telje lõikepunktide abstsissid Oh on algse ruutvõrrandi juured.

Sel juhul on võimalikud kolm juhtumit.

1) Ringjoone raadius on suurem kui keskpunkti ordinaat (AS > SK, või R > a + c/2 a) , lõikub ringjoon x-teljega kahes punktis (joonis 6,a) B(x 1 ; 0) ja D(X 2 ; 0) , kus X 1 ja X 2 - ruutvõrrandi juured Oh 2 + bx + c = 0.

2) Ringjoone raadius võrdub keskpunkti ordinaadiga (AS = SB, võiR = a + c/2 a) , puudutab ring punktis Hrja telge (joonis 6,b). B(x 1 ; 0) , kus x 1 on ruutvõrrandi juur.

3) Ringjoone raadius on väiksem kui keskpunkti ordinaat, ringil puuduvad abstsissteljega ühispunktid (joon. 6, c), sel juhul pole võrrandil lahendust.

Näide.

Lahendame võrrandi X 2 - 2x - 3 = 0 (joonis 7).

Lahendus. Määrake ringi keskpunkti koordinaadid valemite abil:

Joonistame raadiusega SA ringi, kus A (0; 1).

Vastus: X 1 = -1; X 2 = 3.

9. MEETOD: Ruutvõrrandite lahendamine koos nomogrammid.

See on vana ja teenimatult unustatud ruutvõrrandite lahendamise meetod, mis on paigutatud lk 83 (vt Bradis V.M. Nelja väärtusega matemaatilised tabelid. - M., Enlightenment, 1990).

Tabel XXII. Nomogramm võrrandite lahendamiseks z 2 + pz + q = 0 . See nomogramm võimaldab ilma ruutvõrrandit lahendamata määrata võrrandi juured koefitsientide järgi.

Nomogrammi kõverjooneline skaala on üles ehitatud valemite järgi (joonis 11):

Eeldusel OS = p,ED = q, OE = a(kõik cm), kolmnurkade sarnasusest SAN ja CDF saame proportsiooni

kust pärast asendusi ja lihtsustusi järgneb võrrand

z 2 + pz + q = 0,

ja kiri z tähendab kõvera skaala mis tahes punkti märgistust.

Näited.

1) Võrrandi jaoks z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogramm annab juured

z 1 = 8,0 ja z 2 = 1,0 (joonis 12).

2) Lahendame võrrandi nomogrammi abil

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Jagame selle võrrandi koefitsiendid 2-ga, saame võrrandi

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogramm annab juured z 1 = 4 ja z 2 = 0,5.

3) Võrrandi jaoks

z 2 - 25 z + 66 = 0

koefitsiendid p ja q on skaalast väljas, teostame asendus z = 5 t, saame võrrandi

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

mille lahendame nomogrammi abil ja saame t 1 = 0,6 ja t 2 = 4,4, kus z 1 = 5 t 1 = 3,0 ja z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. MEETOD: Ruudu geomeetriline lahendamise viis võrrandid.

Iidsetel aegadel, kui geomeetria oli rohkem arenenud kui algebra, lahendati ruutvõrrandid mitte algebraliselt, vaid geomeetriliselt. Toon näite, mis on kuulsaks saanud al-Khwarizmi "algebrast".

Näited.

1) Lahenda võrrand X 2 + 10x = 39.

Originaalis on see ülesanne sõnastatud järgmiselt: “Ruut ja kümme juurt võrdub 39” (joonis 15).

Lahendus. Mõelge ruudule, mille külg on x, selle külgedele ehitatakse ristkülikud nii, et igaühe teine külg on 2,5, seega on ruudu pindala 2,5x. Saadud joonist täiendatakse seejärel uueks ruuduks ABCD, täites nurkades neli võrdset ruutu, millest igaühe külg on 2,5 ja pindala on 6,25.

Ruut S ruut ABCD võib esitada pindalade summana: algne ruut X 2 , neli ristkülikut (4* 2,5x = 10x) ja neli kinnitatud ruutu (6,25* 4 = 25) , st. S = X 2 + 10x + 25. Asendamine

X 2 + 10x number 39 , me saame sellest aru S = 39 + 25 = 64 , millest järeldub, et ruudu külg ABCD, st. joonelõik AB = 8. Soovitud poole jaoks X algne ruut, mille me saame

2) Aga näiteks kuidas vanad kreeklased võrrandit lahendasid juures 2 + 6 a - 16 = 0.

Lahendus näidatud joonisel fig. 16, kus

juures 2 + 6a = 16 või juures 2 + 6 a + 9 = 16 + 9.

Lahendus. Väljendid juures 2 + 6 a + 9 ja 16 + 9 kujutavad geomeetriliselt sama ruutu ja algset võrrandit juures 2 + 6 a - 16 + 9 - 9 = 0 on sama võrrand. Kust me selle saame y + 3 = ± 5, või juures 1 = 2, a 2 = - 8 (joonis 16).

3) Lahendage geomeetriline võrrand juures 2 - 6-16 = 0.

Võrrandit teisendades saame

juures 2 - 6a = 16.

Joonisel fig. 17 leidke väljendi "kujutised". juures 2 - 6 a, need. y-küljega ruudu pindalast lahutatakse kaks korda ruudu pindala, mille külg on võrdne 3 . Niisiis, kui väljend juures 2 - 6a lisama 9 , siis saame küljega ruudu pindala juures - 3 . Väljendi asendamine juures 2 - 6a selle võrdne arv 16,

saame: (y - 3) 2 = 16 + 9, need. y - 3 = ± v25 või y - 3 = ± 5, kus juures 1 = 8 ja juures 2 = - 2.

Järeldus

Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Samal ajal ei seisne ruutvõrrandite väärtus mitte ainult probleemide lahendamise elegantsuses ja lühiduses, kuigi see on väga oluline. Vähem oluline pole ka asjaolu, et ruutvõrrandite kasutamise tulemusel ülesannete lahendamisel avastatakse sageli uusi detaile, saab teha huvitavaid üldistusi ja täpsustusi, mis on ajendatud saadud valemite ja seoste analüüsist.

Samuti tahaksin märkida, et selles töös esitatud teemat on veel vähe uuritud, nad lihtsalt ei tegele sellega, seetõttu on see täis palju varjatut ja tundmatut, mis annab suurepärase võimaluse sellega edasiseks tööks. .

Siin lahendasin ruutvõrrandite lahendamise küsimuse ja mis,

kui on muid võimalusi nende lahendamiseks?! Jälle leida ilusaid mustreid, mingeid fakte, täpsustusi, teha üldistusi, avastada kõike uut ja uut. Kuid need on tulevaste tööde küsimused.

Kokkuvõttes võime järeldada: ruutvõrrandid mängivad matemaatika arengus tohutut rolli. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni. Need teadmised võivad olla meile kasulikud kogu eluks.

Kuna neid ruutvõrrandite lahendamise meetodeid on lihtne kasutada, peaksid need kindlasti huvi pakkuma õpilastele, kellele meeldib matemaatika. Minu töö võimaldab vaadata teistsuguse pilguga probleeme, mida matemaatika meie ette seab.

Kirjandus:

1. Alimov Sh.A., Iljin V.A. et al., Algebra, 6-8. Prooviõpik 6-8 klassi gümnaasiumile. - M., Haridus, 1981.

2. Bradis V.M. Neljakohalised matemaatilised tabelid keskkoolile Toim. 57. - M., Haridus, 1990. S. 83.

3. Kružepov A.K., Rubanov A.T. Algebra ja elementaarfunktsioonide ülesannete raamat. Õpik keskeriõppeasutustele. - M., kõrgkool, 1969. a.

4. Okunev A.K. Ruutfunktsioonid, võrrandid ja võrratused. Juhend õpetajale. - M., Haridus, 1972.

5. Presman A.A. Ruutvõrrandi lahendamine kompassi ja sirgjoonega. - M., Kvant, nr 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Matemaatika küsimuste ja ülesannete kogu. Ed. - 4., lisage. - M., Kõrgkool, 1973.

7. Khudobin A.I. Algebra ja elementaarfunktsioonide ülesannete kogu. Juhend õpetajale. Ed. 2. - M., Haridus, 1970.

Shapovalova L.A. (jaam Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 klass. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 260 lk.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 klass. Haridusasutuste ülesannete vihik / A.G. Mordkovitš. Nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 270 lk.

3. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis nr 8622 / 0790 / G.I. Glaser. Nr 8622 / 0790 - M .: Haridus, 1982. Nr 8622 / 0790 - 340 lk.

4. Gusev V.A. Matemaatika. Teatmematerjalid / V.A. Gusev, A.G. Mordkovitš. Nr 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. Nr 8622 / 0790 - 372 lk.

5. Bradis V.M. Neljakohalised matemaatilised tabelid keskkoolile / V.M. Bradis. Nr 8622 / 0790 - M .: Haridus, 1990. Nr 8622 / 0790 - 83 lk.

6. Vieta teoreem. Nr 8622 / 0790 – Juurdepääsurežiim: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Vieta teoreem (kaugjuurdepääsu ressursid (Internet) ) . 20.01.2016.

7. Ruutvõrrandid. Nr 8622 / 0790 - juurdepääsurežiim: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (kaugjuurdepääsu ressursid (Internet)). 20.01.2016.

Võrranditeoorial on algebras ja matemaatikas üldiselt juhtiv koht. Selle tähtsus ei seisne mitte ainult teoreetilises tähenduses loodusseaduste tundmisel, vaid teenib ka praktilisi eesmärke. Enamik eluprobleeme taandub erinevat tüüpi võrrandite lahendamisele ja sagedamini on need ruutkujulised võrrandid.

Kooli õppekava arvestab nende lahendamiseks vaid 3 võimalust. Eelseisvateks eksamiteks valmistudes hakkasin huvi tundma nende võrrandite muude viiside vastu. Seetõttu valisin teemaks "10 ruutvõrrandite lahendamise võimalust".

Selle teema asjakohasus seisneb selles, et algebra, geomeetria, füüsika tundides kohtame väga sageli ruutvõrrandite lahendust. Seetõttu peaks iga õpilane oskama ruutvõrrandeid õigesti ja ratsionaalselt lahendada, millest on kasu ka keerulisemate ülesannete lahendamisel, sh eksamite sooritamisel.

Töö eesmärk: õppida erinevaid ruutvõrrandite lahendamise viise, õppida lahendama ruutvõrrandeid.

Kaaluge ruutvõrrandite lahendamise standardseid ja mittestandardseid meetodeid;

Tuvastada kõige mugavamad ruutvõrrandite lahendamise viisid;

Õppige ruutvõrrandeid mitmel viisil lahendama.

Uurimisobjekt: ruutvõrrandid.

Õppeaine: ruutvõrrandite lahendamise viisid.

Uurimismeetodid:

Teoreetiline: uurimisteemalise kirjanduse uurimine, temaatiliste Interneti-ressursside uurimine;

Saadud teabe analüüs;

Ruutvõrrandite lahendamise meetodite võrdlus mugavuse ja ratsionaalsuse huvides.

Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c \u003d 0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud, samas kui a? 0. Sellise võrrandi juur on selle muutuja väärtus, mis muudab ruuttrinoomi nulliks, st väärtus, mis muudab ruutvõrrandi identiteediks. Ruutvõrrandi kordajatel on oma nimed: koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk kõrgemaks, koefitsienti b teiseks või koefitsienti punktis x, c nimetatakse selle võrrandi vabaks liikmeks.

Täielik ruutvõrrand on selline, mille koefitsiendid on kõik nullist erinevad (a, b, c - 0).

Nimetatakse redutseeritud ruutvõrrand, milles juhtiv koefitsient on võrdne ühega. Sellise võrrandi saab, jagades kogu avaldise juhtiva koefitsiendiga a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Mittetäielikke ruutvõrrandeid on kolme tüüpi:

1) ax 2 + c = 0, kus c on 0;

2) ax 2 + bx = 0, kus b - 0;

Selle töö raames käsitleme meetodeid ainult täielike ruutvõrrandite lahendamiseks.

Ruutvõrrandite lahendamine üldvalemiga

Ruutvõrrandite lahendamiseks kasutatakse juurte leidmise meetodit diskriminandi kaudu. Diskriminandi leidmiseks kasutatakse järgmist valemit: D = b 2 - 4ac. Pärast D leidmist leiame valemi abil võrrandi juured

Tasub märkida, et kui:

D > 0 - võrrandil on kaks juurt;

D \u003d 0 - võrrandil on üks juur;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1.1).

Riis. 1. Praktiline osa

Vasaku külje faktoriseerimine

Meetodi demonstreerimiseks lahendame võrrandi x 2 + 10x - 24 = 0.

Faktoriseerime vasaku külje:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Seetõttu saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

(x + 12) (x - 2) = 0

Kuna korrutis on null, siis vähemalt üks selle teguritest on null. Seetõttu kaob võrrandi vasak pool, kui x = 2 ja ka x = -12.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1(1.2).

Täisruudu valimine on selline identiteedi teisendus, milles antud trinoomil on (a ± b) 2 binoomväärtuse ja mõne numbrilise või literaalse avaldise ruudu summa või erinevus.

Lahendame võrrandi x 2 + 14x + 40 = 0.

Jagame polünoomi täisruudu meetodil teguriteks.

Esimese valemi rakendamiseks peate saama avaldise

x2 + 14x + 49 = 0.

Seetõttu lisame polünoomile x 2 + 14x + 40 arvu 9 ja lahutame sellest täisruudu valimiseks

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2–9 = 0

Rakendame valemit "ruutude erinevus" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2–32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = -4x2 = -10

Vastus: -4; - kümme.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1.3).

Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil

Täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks Vieta teoreemi järgi tuleb kogu võrrand jagada koefitsiendiga a. Võrrandi x 2 + px + q = 0 korral, kui x1 ja x2 on selle juured, kehtivad valemid:

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1.4).

Võrrandite lahendamine kordajate omaduste abil

Kui on täidetud järgmine tingimus: a + c = b, siis x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Kui järgmine tingimus on täidetud:

a + b + c = 0, siis x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Näide võrrandi sellise lahendamise võimatuse kohta on näidatud joonisel fig. 1 (1,5).

Võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil

Niinimetatud "ülekande" meetod võimaldab taandada taandamata ja mitteteisendatavate võrrandite lahendit täisarvuliste koefitsientidega redutseeritud võrrandite vormiks, jagades need täisarvuga taandatud võrrandite lahendile juhtivate võrrandite koefitsiendiga. koefitsiendid. See on järgmine: korrutage võrrand ax 2 + bx + c = 0 a-ga.

Saame: a 2 x2 + abx + aс = 0. Toome sisse uue muutuja y = ax. Saame y 2 +by+ac = 0. Selle võrrandi juured on y1 ja y2 Seega x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1,6).

Lahendame võrrandi x 2 - 4x - 12 = 0.

Esitagem seda x 2 - 4x = 12.

Joonisel fig. 2 "kujutab" avaldist x - 4x, st. ruudu pindala küljega x lahutatakse kaks korda ruudu pindalast, mille külg on 2. Seega x 2 - 4x + 4 on ruudu pindala küljega x - 2.

Pärast x 2 asendamist - 4x = 12 saame

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Vastus: x1 = 6, x1 = - 2.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1,7).

Võrrandis x 2 + px + q = 0 nihutame teise ja kolmanda liikme võrrandi paremale poole. Saame: x 2 \u003d - px - q. Koostame funktsioonide graafikud

y = x 2 (parabool);

y = - qx - p (sirge).

Tuleb märkida, et:

Kui sirge ja parabooliga saab ristuda kahes punktis, on lõikepunktide abstsissid ruutvõrrandi juured;

Kui sirge puudutab parabooli (ainult üks ühine punkt), siis on võrrandil üks juur;

Kui sirgel ja paraboolil pole ühiseid punkte, s.o. ruutvõrrandil pole juuri.

Võrrandi lahendamine kompassi ja sirgjoonega

Lahendame võrrandi ax 2 + bx + c = 0:

1) konstrueerida punktid koordinaattasandile:

A(- b/2a; (a + c)/2a) on ringi keskpunkt ja B(0; 1)

2) Joonistage ringjoon r = AB

3) Ox-teljega lõikepunktide abstsissid on algse võrrandi juured

Tuleb märkida, et:

Kui ringi raadius on suurem kui keskpunkti ordinaat (AB > AC või R > (a + c) / 2a), siis ringjoon.

Ristab x-telge kahes punktis K(x1; 0) ja N(x2; 0), kus x1 ja x2 on ruutvõrrandi x2 + bx + c = 0 juured.

Kui ringi raadius on võrdne keskpunkti ordinaadiga (AB \u003d AC või R \u003d (a + c) / 2a), puudutab ring abstsisstelge punktis C (x; 0), kus x1 on ruutvõrrandi juur.

Kui ringi raadius on väiksem kui keskpunkti ordinaat (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Näide võrrandi sellisest lahendamisest on näidatud joonisel fig. 1 (1,9).

See on vana ja nüüdseks unustatud viis ruutvõrrandite lahendamiseks.

Nomogramm annab võrrandi z 2 + pz + q \u003d 0 positiivsete juurte väärtused. Kui võrrandil on erinevate märkide juured, siis pärast nomogrammilt positiivse juure leidmist on negatiivne. leitakse positiivse lahutamisel - lk.

Riis. 6. Monogrammi tüüp võrrandi z 2 + pz + q = 0 lahendamiseks

Juhul, kui mõlemad juured on negatiivsed, võtavad nad z = - t ja leiavad nomogrammist kaks positiivset juurt t1; t 2 võrrandid t 2 + - pt + z = 0 ja siis z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Kui koefitsiendid p ja q on skaalast väljas, sooritage asendus z = kt ja lahendage võrrand nomogrammi abil

kus k on võetud nii, et võrratused

Monogrammi kuju võrrandi z 2 + pz + q = 0 lahendamiseks leiate jooniselt fig. 6.

Erinevate lahenduste "plussid" ja "miinused".

Ruutvõrrandite lahendamise meetodi nimetus
Ruutvõrrandite lahendamine valemiga	Saab rakendada kõikidele ruutvõrranditele.	Peate õppima valemid.
Võrrandi vasaku külje faktoriseerimine	See võimaldab kohe näha võrrandi juuri.	Rühmitamise tingimused on vaja õigesti arvutada.
Täisruudu valiku meetod	Minimaalse arvu toimingute jaoks leiate võrrandite juured	Täisruudu valimiseks on vaja õigesti leida kõik terminid.
Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil	Üsna lihtne viis võimaldab kohe näha võrrandi juuri.	ainult terved juured on kergesti leitavad.
Ruutvõrrandi kordajate omadused	Ei nõua palju pingutust	Sobib ainult mõne võrrandiga
Võrrandite lahendamine ülekandemeetodil	Minimaalse arvu toimingute jaoks leiate võrrandi juured, seda kasutatakse koos Vieta teoreemi meetodiga.	lihtne on leida ainult terveid juuri.
Ruutvõrrandite lahendamise geomeetriline viis	Visuaalne viis.	sarnaselt täisruudu valimise viisiga
Ruutvõrrandi graafiline lahendus	visuaalne viis	Ajakavas võib esineda ebatäpsusi
Ruutvõrrandite lahendamine kompassi ja sirgjoonega	visuaalne viis	Ei pruugi olla täpne
Ruutvõrrandite lahendamine nomogrammi abil	Intuitiivne, lihtne kasutada.	Alati pole nomogrammi käepärast.

Järeldus

Antud uurimistöö käigus õnnestus valitud teemal õpitud materjali üldistada ja süstematiseerida, uurida erinevaid ruutvõrrandite lahendamise viise, õppida ruutvõrrandite lahendamist 10 viisil. Tuleb märkida, et mitte kõik neist pole lahendamiseks mugavad, kuid igaüks neist on omamoodi huvitav. Minu arvates on koolis õpitud meetodid kõige ratsionaalsemad kasutamiseks: 1.1. (vastavalt valemile); 1.4. (Vieta teoreemi järgi); samuti meetod 1.5. (kasutades koefitsientide omadusi).

Kokkuvõttes võime järeldada: ruutvõrrandid mängivad matemaatikas tohutut rolli. Need teadmised võivad olla meile kasulikud mitte ainult koolis ja ülikoolis, vaid ka kogu meie elu jooksul.

Bibliograafiline link

Ulevsky S.A. KÜMME VIISIT RUUTVÕRDENDITE LAHENDAMISEKS // Alustage teadusest. - 2016. - nr 1. - Lk 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (juurdepääsu kuupäev: 30.12.2019).

slaid 1

slaid 2

Kursuse eesmärgid: Tutvumine ruutvõrrandite lahendamise uute meetoditega Teadmiste süvendamine teemal "Ruudvõrrandid" Matemaatiliste, intellektuaalsete võimete, uurimisoskuste arendamine Indiviidi eneseteostuseks tingimuste loomine

slaid 3

Kursuse eesmärgid: Tutvustada õpilastele uusi ruutvõrrandite lahendamise viise Kinnitada võrrandite lahendamise oskust tuntud meetoditega Tutvustada teoreeme, mis võimaldavad võrrandeid lahendada mittestandardsetel viisidel Jätkata üldhariduslike oskuste kujundamist, matemaatikakultuuri edendada nende kujunemist. huvi uurimistegevuse vastu Luua õpilastele tingimused huvi tunnetamiseks ja arendamiseks matemaatika aine vastu Valmistada õpilasi ette õigeks profiili suunavalikuks

slaid 4

Programmi sisu Teema 1. Sissejuhatus. 1 tund. Ruutvõrrandi definitsioon. Täis- ja mittetäielik ruut võrrandid. Nende lahendamise meetodid. Küsitlemine. Teema 2. Lahendus sq. võrrandid. Faktoring meetod Täisruudu valiku meetod Lahendus sq. võrrandid valemite järgi Lahendus ruut. võrrandid ülekandemeetodil Lahendus sq. võrrandid kasutades t. Vieta Solution ruut. võrrandid, kasutades koefitsienti Lahendus sq. võrrandid graafiliselt Lahendus ruut. võrrandid kompassi ja joonlaua abil Lahendus ruut. võrrandid geomeetrilisel viisil Lahendus ruut. võrrandid, kasutades "nomogramme"

slaid 5

Natuke ajalugu ... Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Ruutvõrrandid Vana-Babülonis. Ruutvõrrandid Indias. Ruutvõrrandid al-Khorezmis. Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandil.

slaid 6

Slaid 7

Slaid 8

Slaid 9

slaid 10

Kuulus prantsuse teadlane Francois Viet (1540-1603) oli elukutselt jurist. Ta pühendas oma vaba aja astronoomiale. Astronoomia tundides oli vaja teadmisi trigonomeetriast ja algebrast. Viet võttis need teadused kasutusele ja jõudis peagi järeldusele, et neid on vaja täiustada, mille kallal ta töötas mitu aastat. Tänu tema tööle saab algebrast üldine algebraliste võrrandite teadus, mis põhineb sõnaarvutusel. Seetõttu sai võimalikuks võrrandite omadusi ja nende juuri väljendada üldvalemite abil.

slaid 11

Töö tegemisel jäi silma: Meetodid, mida kasutan: Vieta teoreem Koefitsientide omadused "Ülekande" meetod Vasaku külje faktoriseerimine teguriteks Graafiline meetod Meetodid on huvitavad, kuid võtavad palju aega ja pole alati mugavad. Graafiline meetod Nomogrammi abil Joonlauad ja kompassid Täisruudu valik Kummardan teadlaste ees, kes need meetodid avastasid ja teadusele arengutõuke teemas “Ruutvõrrandite lahendamine” andsid.

slaid 12

Võrrandi vasaku külje faktoriseerimine Lahendame võrrandi x2 + 10x - 24=0. Vasaku külje faktoriseerimine: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12) (x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 või x - 2=0 x= -12 x= 2 Vastus: x1= -12, x2 = 2. Lahenda võrrandid: x2 - x=0 x2 + 2x = 0 x 2 - 81 = 0 x 2 + 4x + 3 = 0 x 2 + 2x - 3 = 0

slaid 13

Täisruudu valiku meetod Lahendage võrrand x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 või x-3=-4 x=1 x=-7 Vastus: x1=1, x2=-7. Lahendage võrrandid: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

slaid 14

Ruutvõrrandite lahendamine valemi järgi Põhivalemid: Kui b on paaritu, siis D= b2-4ac ja x 1,2=, (kui D> 0) Kui b on paaris, siis D1= ja x1,2=, (kui D >0) Lahendage võrrandid: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

slaid 15

Võrrandite lahendamine ülekandemeetodil Lahendame võrrandi ax2 +bx+c=0. Korrutage võrrandi mõlemad pooled a-ga, saame a2 x2 +abx+ac=0. Olgu ax = y, kust x = y/a. Siis U2 +osta+ac=0. Selle juured on y1 ja y2. Lõpuks x1 = y1/a, x1 = y2/a. Lahendame võrrandi 2x2 -11x + 15=0. Kanname koefitsiendi 2 üle vabasse liikmesse: Y2 -11a+30=0. Vieta teoreemi järgi y1 =5 ja y2 =6. x1 = 5/2 ja x2 = 6/2 x1 = 2,5 ja x2 = 3 Vastus: x1 = 2,5, x2 = 3 Lahenda võrrand: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

slaid 16

Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil Lahendame võrrandi x2 +10x-24=0. Kuna x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, siis 24 \u003d 2 * 12, aga -10 \u003d -12 + 2, siis x1 \u003d -12 x2 \u003d \u003d 2 Vastus: 0 x3 , x2 \u003d -12. Lahendage võrrandid: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

slaid 17

Ruutvõrrandi kordajate omadused Kui a+b+c=0, siis x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Lahendame võrrandi 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, seega x1 =1, x2 = -7/1 = -7. 2 - 3+1=0, seega x1= - 1, x2 = -1/2 Vastus: x1=1, x2 = -7. Vastus: x1=-1, x2=-1/2. Lahenda võrrandid: 5x2 - 7x +2 =0 Lahenda võrrandid: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2 + 0 5x - 8 = 0 5x2 + 4x - 1 = 0 5x2 + 4x - 9 = 0 x 2 + 4x +3 = 0

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c =bX.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c =bX.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+bx= s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o.bx+ c \u003d kirves 2.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid EuroopasXIII - XVIIsajandite jooksul

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+bx= koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b, Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

1.6 Vieta teoreemi kohta

(+b)x - x 2 =ab,

x 2 – (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Samas on Vieta sümboolika tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid