Igre

Složeni crtež mongea. Mongeova metoda, više crteža Tačkasta projekcija, više crteža

Predavanje

Tema "Inženjerska grafika"

Poglavlje. 1 Deskriptivna geometrija

Sastavio: Shagvaleeva.G.N.

Uvod.

Deskriptivna geometrija se naziva i teorijom slika. Predmet deskriptivne geometrije je predstavljanje i opravdanje metoda za prikazivanje prostornih figura na ravnom crtežu i metoda za rešavanje prostornih geometrijskih zadataka na ravnom crtežu. Stereometrijski (trodimenzionalni) objekti se u njemu razmatraju uz pomoć planimetrijskih (dvodimenzionalnih) slika ovih objekata, projekcija.

Kažu da je crtež jezik tehnologije, a deskriptivna geometrija gramatika ovog jezika. Deskriptivna geometrija je teorijska osnova za izradu tehničkih crteža, koji su potpuni grafički modeli specifičnih inženjerskih proizvoda.

Na osnovu pravila za konstruisanje slika postavljenih u deskriptivnoj geometriji se zasnivaju metoda projekcije.

Izučavanje deskriptivne geometrije doprinosi razvoju prostornog predstavljanja i mašte, konstruktivnom geometrijskom mišljenju, razvoju sposobnosti za analizu i sintezu prostornih oblika i odnosa među njima. Ovladavanje metodama konstruisanja različitih geometrijskih prostornih objekata, metodama dobijanja njihovih crteža na nivou grafičkih modela i sposobnošću rešavanja problema na tim crtežima koji se odnose na prostorne objekte i njihove geometrijske karakteristike.

Osnove deskriptivne geometrije kao nauke postavio je francuski naučnik i inženjer Gaspard Monge (1746-1818) u svom delu „Deskriptivna geometrija“, Pariz, 1795. Gaspard Monge je dao opšti metod rešavanja stereometrijskih problema geometrijskim konstrukcijama na ravni, odnosno na crtežu, uz korištenje alata za crtanje.

Prihvaćene oznake.

A, B, C, D, -tačke su označene velikim slovima latinice;

a, b, c, d - redovi - malim slovima latinice;

p 1 - horizontalna ravan projekcija,

p 2 - frontalna ravan projekcija,

p 3 - profilna ravan projekcija,

p 4 , p 5 , ... - dodatne ravni projekcije.

avioni

Osi projekcije - malim slovima latinice: x, y i z. Izvor koordinata je broj 0.

Projekcije tačaka, pravih, ravni su naznačene: na p 1 jednim potezom, na p 2 sa dva, na p 3 - sa tri poteza.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Formiranje projekcija.

1 Centralna projekcija.

Centralni projekcioni aparat se sastoji od projekcionog centra S, ravni projekcije π, projektovanih zraka.

π 1 - ravan projekcije

S - projekcijski centar

A, B, C - tačke u prostoru

A", B", C" - projekcije tačaka na ravan π"

Projekcija je tačka preseka projektovane grede sa ravninom projekcije.

2. Paralelna projekcija.

Isturene grede se vode paralelno sa S i jedna prema drugoj. Paralelne projekcije dijele se na kose i pravokutne. Kod kosih projekcija, zraci se nalaze pod uglom u odnosu na ravan projekcije.

Kod pravokutne projekcije, zrake koje se projektuju su okomite na ravan projekcije (slika 1.3). Pravokutna projekcija je glavna metoda projekcije koja se primjenjuje u izradi tehničkih crteža.

Osnovna svojstva ortogonalne projekcije

1. Projekcija tačke - postoji tačka;

2. Projekcija prave (u opštem slučaju) - postoji prava linija ili tačka (prava je okomita na ravan projekcije);

3. Ako tačka leži na pravoj liniji, tada će projekcija ove tačke pripadati projekciji prave: A l ® A "l";

4. Ako su dvije prave u prostoru paralelne, onda su paralelne i njihove istoimene projekcije: a || b ® a` || b`;

5. Ako se dvije prave seku u nekoj tački, tada se njihove istoimene projekcije seku u odgovarajućoj projekciji ove tačke: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Proporcionalnost segmenata koji leže na jednoj pravoj liniji ili na dvije paralelne linije također je očuvana na njihovim projekcijama (slika 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Ako je jedna od dvije međusobno okomite prave paralelna s ravninom projekcije, tada se pravi ugao projektuje na ovu ravan pod pravim uglom (slika 1.4).

Složeno crtanje tačke ili Mongeovih dijagrama.

Najčešći metod deskriptivne geometrije u praksi predložio je Gaspard Monge. Ova metoda se zasniva na ortogonalnom dizajnu.

Ortogonalna (ili pravougaona) projekcija tačke A na ravan π 1 naziva se osnova okomice spuštene iz tačke A na ravan π 1 (slika 1.5)

Crtež dobijen u ovom slučaju na ravni π 1 je nepovratan, korespondencija između originala A i projekcije A" je jedinstvena samo u jednom pravcu: od originala do projekcije. Original odgovara jednoj projekciji, originalnom crtežu je jedinstveno definisan, ali za projekciju A" postoji bezbroj originala koji joj odgovaraju, odnosno sve tačke projektovane prave AA". Tačan prevod sa jezika crteža na jezik prirode je nemoguć. Stoga Monge uvodi drugu ravan projekcije.

Rice. 1.6. Fig.1. 7.

Na sl. 6. prikazuje pravougaoni koordinatni sistem.

Kombinujući sada ravnine π 1 i π 2 sa projekcijama ugrađenim u njih okretanjem π 1 oko ose X za 90 0 tako da se prednja poluravnina π 1 poklapa sa donjom poluravninom π 2, dobijamo složeno crtanje tačaka ili Mongeov dijagram. (Sl. 1.7).

Građeno po ovim pravilima crtež koji se sastoji od para projekcija smještenih u projekcijskom odnosu je reverzibilan, odnosno korespondencija između originala i crteža je nedvosmislena u oba smjera. Ili drugim riječima, crtež daje sveobuhvatne informacije o originalu. Dešifrovanje ovih informacija je predmet deskriptivne geometrije.

Iz složenog crtanja tačke možemo izvući sljedeće zaključke:

1. dvije projekcije tačke u potpunosti određuju položaj tačke u prostoru;

2. projekcije tačaka uvijek leže na liniji veze koja je okomita na osu projekcije.

Linije koje spajaju projekcije tačaka nazivaju se komunikacijskim linijama i prikazuju se kao pune tanke linije.

U nizu konstrukcija i pri rješavanju problema, ispostavlja se da je potrebno u sistem uvesti π 1 (horizontalna ravan) π 2 (frontalna ravan) i druge ravni projekcije. Ravan okomita na π 1 i π 1 je profilna ravan. π 3 . Linija preseka horizontalne i frontalne ravni daje os X, linija preseka horizontalne i profilne ravni daje Y os, a linija preseka frontalne i profilne ravni daje Z os. (Sl. 1. 8)

Da bismo dobili složeni crtež tačke, potrebno je smestiti tri ravni u jednu, za šta „presečemo“ Y osu i kombinujemo tri glavne ravni projekcije u jednu (sl. 1. 9).

Treća projekcija ne dodaje nikakve nove informacije o originalu. To samo čini dostupne informacije probavljivijim. (Slika 1.10)

Udaljenost od tačke A do ravnine π 3 (A A "") u prostoru može se vidjeti na crtežu i jednaka je udaljenosti A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Udaljenost od tačke A do ravnine π 2 (A A") u prostoru može se vidjeti na crtežu i jednaka je udaljenosti A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Udaljenost od tačke A do ravnine π 1 (A A") u prostoru može se vidjeti na crtežu i jednaka je udaljenosti A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Primjer. Izgradite projekcije tačaka A(10, 10,30), B(30,20,10)

Konkursne tačke.

Tačke kod kojih se jedan par istoimenih projekcija poklapa (a drugi se ne poklapaju) nazivaju se konkurentske tačke.

Tačke se nalaze na jednoj isturenoj pravoj liniji, okomitoj na ravan frontalne projekcije. Smjer gledanja je označen strelicom. U ovom slučaju, projekcija B" je bliža posmatraču od A", a na π 2 projekcija B"" će biti vidljiva, a projekcija A"" nevidljiva (slika 1.12).

Koncept " viši niži»

Tačke se nalaze na jednoj projekcijskoj pravoj liniji, okomitoj na horizontalnu ravninu projekcije. Smjer gledanja je označen strelicom. U ovom slučaju, projekcija A "" je bliža posmatraču od B "", a na π 1 projekcija A" će biti vidljiva, a projekcija B" nevidljiva (slika 1.13).

Mongeov dijagram ili složeni crtež je crtež sastavljen od dvije ili više međusobno povezanih ortogonalnih projekcija geometrijske figure.

Korištenje prostornog rasporeda za prikaz ortogonalnih projekcija geometrijskih figura je nezgodno zbog njegove glomaznosti, a također i zbog činjenice da kada se prenese na list papira, oblik i veličina projicirane figure se iskrivljuju na H i W. avioni.
Stoga se umjesto slike na crtežu prostornog rasporeda koristi Mongeov dijagram.

Mongeov dijagram se dobija transformacijom prostornog rasporeda kombinovanjem H i W ravni sa ravninom frontalne projekcije V:
- da poravnate H ravan sa V, zarotirajte je za 90 stepeni oko x ose u smeru kazaljke na satu. Na slici, radi jasnoće, avion H rotirana pod uglom nešto manjim od 90 stepeni, dok je os y, koji pripada horizontalnoj ravni projekcije, nakon rotacije se poklapa sa osom z;
- nakon poravnanja horizontalne ravni, rotirati oko ose z također pod uglom od 90 stepeni u odnosu na ravninu profila u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Istovremeno, osovina y, koji pripada profilnoj ravni projekcije, nakon rotacije se poklapa sa osom x.

Nakon transformacije, prostorni raspored će poprimiti oblik prikazan na slici. Na ovoj slici je prikazan i redoslijed relativnog položaja poda ravnina projekcije, dakle zapis V ukazuje da je u ovom dijelu Mongeove grafike (ograničeno pozitivnim smjerom osi x i z) bliže nam je gornji lijevi sprat ravni frontalne projekcije V, iza njega je stražnji lijevi pod ravnine horizontalne projekcije H, a zatim gornji stražnji kat profilne ravni W.

Kako ravni nemaju granice, u kombinovanom položaju (na dijagramu) ove granice nisu prikazane, nema potrebe ostavljati natpise koji označavaju položaj poda projekcijskih ravni. Također je suvišno podsjećati gdje je negativan smjer koordinatnih osa. Tada će, u svom konačnom obliku, Mongeov dijagram koji zamjenjuje crtež prostornog rasporeda poprimiti oblik prikazan na slici.

Mongeov plan se može napraviti sa:

- konvencionalni alati i pribor za crtanje:
Alati za crtanje;
Pribor i uređaji za crtanje;
- Programi za građenje (crtanje) Monge dijagrama: Izrada crteža u grafičkom editoru.

Kao primjer dizajna Mongeovog dijagrama, nudimo rješenje problema konstruiranja jednakokračnog pravokutnog trokuta ABC:

— poznato po stanju problema je prikazano crnom bojom;
- zelenom bojom su prikazane sve konstrukcije koje vode do rješenja problema;
- traženi zadaci su prikazani crvenom bojom.
Prema uslovu zadatka date su projekcije trougla ABC(A`B`C`, A»B»…”). Da bismo riješili problem, potrebno je pronaći projekciju C koja nedostaje.

Mongeova metoda, složeno crtanje.

Tačkaste projekcije, složeni crtež.

Međusobno okomite ravni projekcije.

Metode pravougaone projekcije na dva i tri

Svojstva ortografske projekcije

Osnovno i nepromjenjivo svojstva (Invarijante) ortogonalne projekcije su sljedeće:

1) projekcija tačke - tačka;

2) projekcija prave - u opštem slučaju prava; ako se smjer projekcije poklapa sa smjerom prave linije, tada je projekcija potonje tačka;

3) ako tačka pripada pravoj, onda projekcija ove tačke pripada projekciji prave.

4) projekcije paralelnih pravih su međusobno paralelne;

5) odnos segmenata linija jednak je odnosu njihovih projekcija;

6) odnos segmenata dve paralelne prave jednak je odnosu njihovih projekcija;

7) projekcija tačke preseka dve prave je tačka preseka projekcija ovih pravih;

8) ako je ravna ili ravna figura paralelna ravni projekcija, onda se one projektuju na ovu ravan bez izobličenja;

9) ako je barem jedna strana pravog ugla paralelna sa ravninom projekcija, a druga nije okomita na nju, tada se pravi ugao projektuje na ovu ravan u pravi ugao.

Ako se informacija o udaljenosti tačke u odnosu na ravan projekcije ne daje uz pomoć numeričke oznake, već uz pomoć druge projekcije tačke izgrađene na drugoj ravni projekcije, tada se crtež naziva dvije slike ili sveobuhvatan. Izloženi su osnovni principi za izradu ovakvih crteža Gaspard Monge - glavni francuski geometar s kraja 18. i početka 19. stoljeća, 1789-1818. jedan od osnivača čuvene Politehničke škole u Parizu i učesnik u radu na uvođenju metričkog sistema mera i tegova.

Postepeno akumulirana pojedinačna pravila i tehnike takvih slika unesene su u sistem i razvijene u djelu G. Mongea "Geometrie desscriptive".

Mongeova metoda ortogonalne projekcije na dvije međusobno okomite projekcijske ravni bila je i ostala glavna metoda za izradu tehničkih crteža.

U skladu sa metodom koju je predložio G. Monge, razmatramo dve međusobno okomite ravni projekcije u prostoru (slika 6). Jedna od ravni projekcije P 1 postavljen horizontalno, a drugi P 2 - vertikalno. P 1 - horizontalna projekcijska ravan, P 2 - frontalni. Ravni su beskonačne i neprozirne.

Projekcione ravni dele prostor na četiri diedralna ugla - četvrtine. Uzimajući u obzir ortogonalne projekcije, pretpostavlja se da se posmatrač nalazi u prvoj četvrtini na beskonačno velikoj udaljenosti od ravni projekcije.

Slika 6. Prostorni model dvije projekcijske ravni

Linija presjeka ravnina projekcije obično se naziva koordinatna osa i označava x 21 . Pošto su ove ravni neprozirne, posmatraču će biti vidljivi samo oni geometrijski objekti koji se nalaze unutar iste prve četvrtine. Da biste dobili ravan crtež koji se sastoji od navedenih projekcija, ravan P 1 kombajn rotacijom oko ose x 12 sa stanom P 2 (Sl. 6) Projekcioni crtež, na kojem su ravni projekcije sa svime što je na njima prikazano, na određeni način kombinovane jedna s drugom, obično se naziva Mongeov dijagram(francuski Epure - crtež.) Ili složeni crtež.

Mongeova metoda, složeno crtanje. - koncept i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Mongeova metoda, složeni crtež." 2017, 2018.

Projekcija geometrijskog objekta na jednu ravninu, koju smo ranije razmatrali, ne daje potpunu i nedvosmislenu ideju o obliku geometrijskog objekta. Stoga, razmotrite projekciju najmanje dvije međusobno okomite ravni (slika 1.2), od kojih se jedna nalazi horizontalno, a druga okomito.

Uprkos jasnoći, nezgodno je raditi sa crtežom prikazanim na slici 1.2, jer horizontalna ravan na njemu je prikazana sa izobličenjem. Pogodnije je izvoditi različite konstrukcije na crtežu, gdje se ravni projekcije nalaze u istoj ravni, odnosno ravni crteža. Da biste to učinili, potrebno je okrenuti horizontalnu ravninu oko ose OX za 90 ° i spojiti je s prednjom tako da prednji pod horizontalne ravnine ide dolje, a stražnji ide gore. Ovu metodu je predložio G. Monge.

Rice. 1.2. Konstrukcija Mongeovog dijagrama:

a) prostornu sliku lokacije projekcija tačke A; b) planarnu sliku lokacije projekcija tačke A.

Stoga se crtež dobijen na ovaj način (slika 1.2, b) naziva Mongeov dijagram ili složeni crtež.

Obično dvije projekcije nisu dovoljne da se dobije potpuna slika dotičnog geometrijskog objekta. Stoga se predlaže uvođenje treće ravni projekcije, ortogonalne na prve dvije (sl. 1. 3, a).

Rice. 1.3. Konstrukcija kompleksnog crteža od tri slike (monge dijagram):

a) prostorni model projekcijskih ravni; b) složeni crtež od tri slike.

Onda avion P 1 zove se horizontalna projekcijska ravan, P 2- frontalna ravan projekcija (jer se nalazi ispred nas duž fronta), P 3- profilna ravan projekcija (koja se nalazi u profilu u odnosu na posmatrača). Odnosno A 1- horizontalna projekcija tačke A, A 2- frontalna projekcija tačke A, A 3- profilna projekcija tačke A.

sjekire OH, OY, OZ se nazivaju osi projekcije. One su slične koordinatnim osama Dekartovog koordinatnog sistema, sa jedinom razlikom što je osa OH ima pozitivan smjer ne desno, nego lijevo. Sada, da bi se dobile projekcije u jednoj ravni (ravnini crteža), potrebno je proširiti i profilnu ravan projekcija da se poklopi sa frontalnom. Da biste to učinili, mora se zarotirati za 90 ° oko ose oz, i okrenite prednju polovinu aviona udesno, a zadnju ulijevo. Kao rezultat, dobijamo složeni crtež od tri slike (monge plotovi), prikazan na sl. 1.3, b. Od ose OY odvija zajedno sa dve ravni P 1 i P 3, zatim je na složenom crtežu prikazan dva puta.

Iz ovoga slijedi važno pravilo za odnos projekcija. Naime, na osnovu Sl. 1.3, a, u matematičkom obliku, može se napisati kao: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Stoga, u tekstualnom obliku, zvuči ovako: udaljenost od horizontalne projekcije točke do osi OH jednaka je udaljenosti od projekcije profila navedene tačke do ose OZ. Zatim, iz bilo koje dvije projekcije tačke, možete konstruirati treću. Horizontalne i frontalne projekcije tačke A povezuje vertikalnu liniju komunikacije, a frontalne i profilne projekcije - horizontalne.

Zbog činjenice da je složeni crtež model prostora presavijenog u ravni, na njemu se ne može prikazati projektovana tačka (osim kada se njen položaj poklapa sa jednom od projekcija). Na temelju toga, treba imati na umu da u složenom crtežu ne radimo sa samim geometrijskim objektima, već s njihovim projekcijama.

Uprkos jasnoći, nezgodno je raditi sa crtežom prikazanim na slici 1.2, jer horizontalna ravan na njemu je prikazana sa izobličenjem. Pogodnije je izvoditi različite konstrukcije na crtežu, gdje se ravni projekcije nalaze u istoj ravni, odnosno ravni crteža. Da biste to učinili, potrebno je okrenuti horizontalnu ravan oko ose OX za 90 i spojiti je sa prednjom tako da prednji pod horizontalne ravni ide dole, a zadnji gore. Ovu metodu je predložio G. Monge.

Rice. 1.2. Konstrukcija Mongeovog dijagrama:

a) prostornu sliku lokacije projekcija tačke A; b) planarnu sliku lokacije projekcija tačke A.

Stoga se crtež dobijen na ovaj način (slika 1.2, b) naziva Mongeov dijagram ili složeni crtež.

Obično dvije projekcije nisu dovoljne da se dobije potpuna slika dotičnog geometrijskog objekta. Stoga se predlaže uvođenje treće ravni projekcije, ortogonalne na prve dvije (sl. 1. 3, a).

Rice. 1.3. Konstrukcija kompleksnog crteža od tri slike (monge dijagram):

a) prostorni model projekcijskih ravni; b) složeni crtež od tri slike.

Onda avion P 1 zove se horizontalna projekcijska ravan, P 2 - frontalna ravan projekcija (jer se nalazi ispred nas duž fronta), P 3 - profilna ravan projekcija (koja se nalazi u profilu u odnosu na posmatrača). Odnosno A 1 - horizontalna projekcija tačke A, A 2 - frontalna projekcija tačke AA 3 - profilna projekcija tačke A.

sjekire oh, ohY, oz se nazivaju osi projekcije. One su slične koordinatnim osama Dekartovog koordinatnog sistema, sa jedinom razlikom što je osa OH ima pozitivan smjer ne desno, nego lijevo. Sada, da bi se dobile projekcije u jednoj ravni (ravnini crteža), potrebno je proširiti i profilnu ravan projekcija da se poklopi sa frontalnom. Da biste to učinili, mora se zarotirati za 90 oko ose oz, i okrenite prednju polovinu aviona udesno, a zadnju ulijevo. Kao rezultat, dobijamo složeni crtež od tri slike (monge plotovi), prikazan na sl. 1.3, b. Od ose OY odvija zajedno sa dve ravni P 1 i P 3 , zatim je na složenom crtežu prikazan dva puta.

Iz ovoga slijedi važno pravilo za odnos projekcija. Naime, na osnovu Sl. 1.3, a, u matematičkom obliku, može se napisati kao: A 1 A x = OA y = A z A 3 . Stoga, u tekstualnom obliku, zvuči ovako: udaljenost od horizontalne projekcije točke do osi OH jednaka je udaljenosti od projekcije profila navedene tačke do ose OZ. Zatim, iz bilo koje dvije projekcije tačke, možete konstruirati treću. Horizontalne i frontalne projekcije tačke A povezuje vertikalnu liniju komunikacije, a frontalne i profilne projekcije - horizontalne.