Построяване на сечения в тетраедър. Тетраедър и неговото сечение Построяване на тетраедърно сечение от три точки

Урок по темата:

„Построяване на сечения на тетраедър и паралелепипед“

Цели на урока

1. Запознайте се с основите на решаването на задачи, свързани с конструиране на сечения на тетраедър и паралелепипед с равнина.

2. Идентифицирайте видовете задачи за конструиране на раздели.

3. Развиване на умения за решаване на задачи, включващи конструиране на сечения на тетраедър и паралелепипед.

4. Формиране на пространствено въображение.

По време на часовете.

аз Организиране на времето.

II Проверка на домашните.

Момчета, какви геометрични тела изучавахме в последните си уроци? (тетраедър, паралелепипед).

Какво се нарича тетраедър?

Как се нарича паралелепипед?

Сега нека проверим устното домашна работа.

В учебника на стр. 31 четем и отговаряме на въпроси 14,15.

14. Има ли тетраедър с пет прави ъгъла?

(Не, защото в четирите образуващи триъгълника може да има само четири прави ъгъла, най-много по един във всеки).

15. Има ли паралелепипед, който има:

А) Само едно лице е правоъгълник. (Не, тъй като срещуположните страни на паралелепипеда са равни).

b) Само две съседни лица са ромби. (Не, само срещуположните лица могат да бъдат диаманти).

V) Всички ъгли на ръбовете са остри. (Не, успоредникът има както остри, така и тъпи ъгли и всяко лице е успоредник).

Ж) Всички ъгли на лицето са прави. (Да, в правоъгълен паралелепипед).

д) Броят на всички остри ъгли на лицето не е равен на броя на всички тъпи ъгли на лицето. (Не, има равни количества остри и тъпи ъгли на всяко лице).

III Обяснение нова тема.

Сега да преминем към нова тема. Запишете темата на урока. Целта на днешния урок:

1. Запознайте се с основите на решаването на задачи, свързани с конструиране на сечения на тетраедър и паралелепипед с равнина.

2. Идентифицирайте видовете задачи за конструиране на раздели.

3. Развиване на умения за решаване на задачи, включващи конструиране на сечения на тетраедър и паралелепипед.

4. Формиране на пространствено въображение.

И така, за решаване на много геометрични задачисвързани с тетраедър и паралелепипед, е полезно да можете да начертаете техните сечения в различни равнини на чертеж.

Какво имаме предвид под режеща равнина ? В учебника на стр. 27 ще намерим отговора на този въпрос.

Режеща равнина наричаме всяка равнина, от двете страни на която има точки на даден полиедър.

Следващата концепция е раздел. И отново се обръщаме за помощ към учебника. Сега вижте как изглежда точното определение на секцията.

v Къде са страните на многоъгълник, който е сечение?

v Къде са върховете на многоъгълника, който е сечение?

Сега да отговорим на въпроса. Какво означава да се построи сечение на многостен с равнина. Така във всяко лице ще построим сегменти, по които сечащата равнина пресича лицата.

За да конструирате правилно напречно сечение, трябва да можете да прилагате различни теореми и свойства. Да отговорим на въпроса.

Кое от тези твърдения може да бъде полезно при конструиране на секции?

1. Ако две равнини имат обща точка, тогава те се пресичат по права линия, съдържаща тази точка.

2. Ако права линия, лежаща в една от пресичащите се равнини, пресича друга равнина, тогава тя пресича линията на пресичане на равнините.

3. Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, то пресечните линии на равнините са успоредни.

4. Секуща равнина пресича лицето на полиедър по начупена линия.

5. В разрез на паралелепипед от равнина може да се окаже:

v линейна отсечка

v триъгълник

v четириъгълник

v петоъгълник

v шестоъгълник

v Седмоъгълник

Сега нека си припомним как да дефинираме равнина:

При конструирането на секции е важно да знаете:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Сега в учебника ще разгледаме основните задачи за конструиране на раздели. И така, първата задача, където е необходимо да се построи сечение на тетраедър, като се използват три точки, принадлежащи на секуща равнина, две от които лежат в една равнина, а третата лежи в друга равнина.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Разрешаване на проблем. Проверка на правилността на решението с помощта на слайдове.

V Обобщение на урока.

Представете си ситуацията:

Вашият съученик се разболя и пропусна уроците, където се разглеждаше темата „Построяване на сечения от многостени“. Трябва да обясните тази тема по телефона. Формулирайте алгоритъм стъпка по стъпка.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

Сега ще направя малко тестове. Трябва да изпълните три задачи в рамките на три минути. Изберете и запишете броя на рисунките, които показват правилните сечения на тетраедър и паралелепипед, както и правилния чертеж.

VI Домашна работа . n.14, въпрос 16, 000,106. Измислете и решете една задача за конструиране на сечение на тетраедър или паралелепипед.

Днес ще разгледаме отново как построете сечение на тетраедър с равнина.
Нека разгледаме най-простия случай (задължително ниво), когато 2 точки от равнината на сечение принадлежат на едно лице, а третата точка принадлежи на друго лице.

Нека ви напомним алгоритъм за изграждане на секцииот този тип (случай: 2 точки принадлежат на едно и също лице).

1. Търсим лице, което съдържа 2 точки от сечещата равнина. Начертайте права линия през две точки, разположени на едно и също лице. Намираме точките на неговото пресичане с ръбовете на тетраедъра. Частта от правата линия, която завършва в лицето, е страната на сечението.

2. Ако полигонът може да бъде затворен, участъкът е построен. Ако е невъзможно да се затвори, тогава намираме пресечната точка на построената линия и равнината, съдържаща третата точка.

1. Виждаме, че точки E и F лежат на едно и също лице (BCD), начертайте права линия EF в равнината (BCD).
2. Намерете пресечната точка на правата EF с ръба на тетраедъра BD, това е точка H.
3. Сега трябва да намерите пресечната точка на правата EF и равнината, съдържаща третата точка G, т.е. равнина (ADC).
Правата CD лежи в равнините (ADC) и (BDC), което означава, че пресича правата EF, а точката K е пресечната точка на правата EF и равнината (ADC).
4. След това намираме още две точки, лежащи в същата равнина. Това са точките G и K, и двете лежат в равнината на лявата страна. Начертаваме права GK и отбелязваме точките, в които тази линия пресича ръбовете на тетраедъра. Това са точки M и L.
4. Остава да "затворите" секцията, т.е. да свържете точките, разположени на едно и също лице. Това са точки M и H, а също и L и F. И двата сегмента са невидими, рисуваме ги с пунктирана линия.

Напречното сечение се оказа четириъгълник MHFL. Всички негови върхове лежат на ръбовете на тетраедъра. Нека изберем получения раздел.

Сега нека формулираме "свойства" на правилно конструирана секция:

1. Всички върхове на многоъгълник, който е сечение, лежат на ръбовете на тетраедър (паралелепипед, многоъгълник).

2. Всички страни на сечението лежат върху лицата на многостена.
3. Всяко лице на многоъгълник може да съдържа не повече от една (една или нито една!) страна на сечението

Разработка на урока

по темата „Построяване на сечения на тетраедър и паралелепипед” в 10 „А” клас

Целта на урока:

научи как да конструира секции на тетраедър и паралелепипед с равнина;

развиват способността да анализират, сравняват, обобщават и правят изводи;

развиват уменията за самостоятелна дейност на учениците и способността за работа в група.

Оборудване: проектор, интерактивна дъска, Раздаване.

Тип урок: урок за изучаване на нов материал.

Методи и техники, използвани в урока: нагледна, практическа, проблемно-търсена, групова, елементи на изследователска дейност.

аз . Организиране на времето.

Учителят обявява темата и целта на урока (слайд номер 1 ).

II . Актуализиране на знанията.

Учител: Докато си пишехте домашното, трябваше да намерите точките на срещане на прави линии и равнини, следата от сечаща равнина върху равнината на лицето на многостен. Коментирайте какво трябва да се направи за това.

(Учениците коментират домашното (слайдове № 2-3 ).

Учител: За да преминем към изучаване на нова тема, нека прегледаме теоретичния материал, като отговорим на въпросите:

Това, което се нарича режеща равнина (слайд номер 4 )? (Учениците дават определение.)

Какво се нарича сечение на полиедър (слайд номер 5 )? (Определението е формулирано.)

Какво трябва да се направи, за да се построи сечение на многостен с равнина?

Конструирането на сечение се свежда до конструиране на линиите на пресичане на сечещата равнина и равнините на лицата на полиедъра.)

Необходимо ли е сечаща равнина да пресича равнините на всички лица на полиедъра?

Учител: Нека направим малко проучване и да отговорим на въпроса: „Каква фигура може да се получи в сечението на тетраедър или паралелепипед с равнина?“

(Учениците, работейки по групи, търсят отговора на поставения въпрос.)

(След няколко минути те формулират предположенията си и започва демонстрацияслайдове 6-7 .)

Учител: Нека повторим правилата, които трябва да запомните, когато конструирате секции на полиедър (учениците помнят и формулират необходимите аксиоми, теореми, свойства):

Ако две точки принадлежат на сечащата равнина и равнината на някакво лице на полиедъра, тогава правата линия, минаваща през тези точки, ще бъде следата на сечащата равнина върху равнината на лицето.

Ако режещата равнина е успоредна на права, лежаща в определена равнина, и пресича тази равнина, тогава пресечната линия на тези равнини е успоредна на тази линия.

Когато две успоредни равнини се пресичат от сечаща равнина, се получават успоредни прави.

Ако режещата равнина е успоредна на определена равнина, тогава тези две равнини пресичат третата равнина по прави линии, успоредни една на друга.

Ако една сечаща равнина и равнините на две пресичащи се лица имат обща точка, тогава тя лежи на права, съдържаща общ ръб на тези лица.

Учител: Намерете грешки в тези чертежи, обосновете твърдението си (слайдове 8-9 ).

Учител: И така, момчета, подготвихме теоретична основа за обучение как да конструираме сечения от полиедри с равнина, по-специално сечения на тетраедър и паралелепипед. Повечето от задачите ще изпълнявате самостоятелно, работейки в групи, така че всеки от вас има работни листове с празни чертежи на многостени, върху които ще изгражда разрези. Ако е необходимо, можете да потърсите съвет от учител или старши в групата.

И така, представяме на вашето вниманиепърва задача : ( слайд номер 10 ) построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през дадените точкиМ, н, К. (Напречното сечение се оказва триъгълник, проверете -слайд номер 11 .)

Учител: Нека помислимвтора задача : Даден е тетраедърDABC. Построете сечение на тетраедър с равнинаMNK, АкоМDC, нAD, КAB. ( Слайд № 12 )

(Решете задачата с класа, коментирайки конструкцията.)

( Задача No3 – самостоятелна работа в групи (слайд номер 14 ). Преглед -слайд номер 15 .)

Задача No4 : Построяване на сечение на тетраедър с равнинаMNK, КъдетоМИн– средата на ребратаABИпр.н.е. ( слайд номер 16 ). (Провери заслайд №17 .)

Учител : Да преминем към следващата част от урока. Нека разгледаме задачата за конструиране на сечения на паралелепипед от равнина. Открихме, че когато паралелепипед се сече от равнина, може да се получи триъгълник, четириъгълник, петоъгълник или шестоъгълник. Правилата за изграждане на секции са същите. Предлагам да преминете към следващия проблем, който ще решите сами.

(Демонстриранослайд №18 )

Проблем №5

Построете напречно сечение на паралелепипедABCDA 1 б 1 ° С 1 д 1 самолетMNK, АкоМА.А. 1 , нBB 1 , КCC 1 . (Провери заслайд номер 19 ).

Проблем No6 : ( Слайд номер 20 ) Построете сечение на паралелепипедABCDA 1 б 1 ° С 1 д 1 самолетВОМ, Ако П, T, Опринадлежат съответно на ребрата AA 1, BB 1, SS 1.

(Решението се обсъжда, учениците изграждат разрез на отделни листове и записват напредъка на изграждането (слайд номер 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– необходимата секция.

Задача № 7: (слайд № 22) Построете сечение на паралелепипед с равнинаKMN, АкоКА 1 д 1 , н, МAB.

Решение: (слайд номер 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PM;

NE II ПК; KF II MN;

F.E.

MPKFENжеланата секция.

Творчески задачи (карти според опциите):

В правилна триъгълна пирамидаСABC през връх C исредата на ребротоСНачертайте разрез на пирамидата, успореден наС.Б.. На ръба AB е взета точкаЕтака че АЕ: ЕB=3:1. През точкатаЕИсредата на ребротоСОт С е начертана права линия. Ще бъде ли тази линияуспоредна на равнината на сечението?

AB 1 С -сечение на правоъгълен паралелепипед ABCдА 1 IN 1 СЪС 1 д 1. През точки Е,Е, K, които са съответносредата на ребратаDD 1 , А 1 д 1 , д 1 ° С 1 е направен вторият участък.Докажете, че триъгълниците ЕЕК и АВ 1 ° Сподобни и инсталирайтекакви ъгли на тези триъгълници са равни един на друг?

Обобщение на урока: И така, ние се запознахме с правилата за конструиране на сечения на тетраедър и паралелепипед, разгледахме видовете сечения и решихме най-простите задачи за конструиране на сечения. В следващия урок ще продължим да изучаваме темата и ще разгледаме по-сложни проблеми.

Сега нека обобщим урока, като отговорим на нашите традиционни въпроси (слайд номер 24 ):

„Харесах (не харесах) урока, защото...“

„Днес в час научих...“

"Искам да..."

(Оценяване на урока.)

Домашна работа: параграф 14 № 105, 106. (слайд номер 25 )

Допълнителна задачадо номер 105 : Намерете отношението, в което равнинатаMNKразделя ръбAB, АкоCN : ND = 2:1, Б.М. = М.Д.и точкаК– средата на медианатаАЛтриъгълникABC.

(Завършете творческата задача.)

Слайд 2

Информация за учителите. Целта на създаването на тази презентация е ясно да се демонстрират алгоритмите за построяване на пресечната точка на права и равнина, пресечната линия на равнини и сечения на тетраедър. Учителят може да използва презентацията, когато преподава уроци по тази тема, или да я препоръча за самоподготовказа студенти, които са пропуснали да го учат по някаква причина, или за да повторят определени въпроси. Студентите придружават изучаването на презентацията с попълване на кратко резюме.

Слайд 3

Информация за ученика. Целта на създаването на тази презентация е да демонстрира ясно алгоритми за решаване на задачи, свързани с конструиране в пространството. Опитайте се внимателно и бавно да проучите коментарите към надписите и да ги сравните с чертежа. Попълнете всички празни места в резюмето. При независимо решениепроблеми, първо трябва сами да обмислите решението и след това да разгледате предложеното от автора. Запишете въпроси за учителя и ги задайте в клас.

Слайд 4

I. Права a пресича равнината α. Изградете пресечна точка.

α β P m a Отговор: I. За да построите пресечната точка на права a и равнина α, трябва: 1) да начертаете (намерите) равнина β, минаваща през права a и пресичаща равнина α по права линия m 2) да построите точка P на пресичане на прави a и m. През правата a прекарваме равнина β, пресичаща равнината α по правата t. Пресичаме правата a с пресечната линия на равнините α и β равнина α, т.к правата m лежи в равнината α. Запишете алгоритъма в кратко резюме.

Слайд 5

1) Построете пресечната точка на права MN и равнина BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Отговор: Равнината ABC минава през правата MN и пресича равнината BDC по правата BC. Правата MN пресича правата BC в точка P. Правата BC лежи в равнината BDC, което означава, че правата MN пресича равнината BDC в точка P.

Слайд 6

2) Построете пресечната точка на права MN и равнина ABD.

D B A C M N P Отговор: Вижте решение Правата MN принадлежи на равнината ВDC, която пресича равнината АВD по правата DB Нека пресечем правите MN и DB. По-нататък

Слайд 7

II. Нека правата AB не е успоредна на равнината α. Построете пресечната линия на равнините α и ABC, ако точка C принадлежи на равнината α

B C A α β P m Нека построим пресечната точка на правата AB с равнината α. По условие и конструкция точките C и P са общи за равнините ABC и α. По условие и конструкция точките C и P са общи за равнините ABC и α. Това означава, че правата CP е желаната права линия на пресичане на равнините ABC и α. II.За да построите пресечната линия на равнината α и равнината ABC (C α, (A, B) α, AB || α), трябва: да построите пресечната точка на правата AB и равнината α - точка P; 2) точка P и C са общи точки на равнините (ABC) и α, което означава (ABC) α = CP Запишете алгоритъма в кратко резюме.

Слайд 8

3).Постройте правата линия на пресичане на равнините MNP и ADB.

Построете пресечната точка на равнината MNP и лицето ADB. M D B A C N P X Q R Отговор: Да построим пресечната точка на правата MR с равнината ADB (точка X). Правата MR лежи в равнината ADC, която пресича равнината ADB по правата AD. Правата MR лежи в равнината ADC, която пресича равнината ADB по правата AD. Точките X и N са общи точки на равнините ADB и MNP. Това означава, че те се пресичат по правата XN. Запишете напредъка на строителството в кратко резюме.

Слайд 9

Сечение на тетраедър.

C D B A M N P α Многоъгълник, съставен от сегменти, по които сечащата равнина пресича лицата на многостена, се нарича сечение на многостена. Сегментите, които съставляват сечението, се наричат ​​следи от режещата равнина върху лицата. ∆ MNP – разрез. Нека равнината пресича тетраедъра, тогава тя се нарича режеща равнина. Равнината пресича ръбовете на тетраедъра в точки M,N,P, а лицата - по отсечките MN, MP, NP... Триъгълникът MNP се нарича сечение на тетраедъра с тази равнина... Запишете го в кратка бележка.

Слайд 10

Напречното сечение на тетраедър може да бъде и четириъгълник.

A C D B M N P Q α MNPQ – разрез.

Слайд 11

Алгоритъм за построяване на сечение на тетраедър с равнина, минаваща през дадени три точки M, N, P.

MNPQ е задължителният раздел. D B A C M N P Q X Построете следи от сечащата равнина в тези лица, които имат 2 общи точки с нея. 3) Начертайте права линия през построените точки, по която сечащата равнина пресича равнината на избраното лице ABC. 4) Маркирайте и обозначете точките, в които тази линия пресича ръбовете на лицето ABC и завършете останалите следи. 2) Изберете лице, което все още няма следа. Построете пресечните точки на прави, съдържащи вече построени следи с равнината на избраното лице: ABC.

Слайд 12

Построете разрез, като използвате метода на тетраедричната равнина MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – необходимата секция.

Слайд 13

номер 1. (Решете проблема сами). Построете сечение на тетраедъра с помощта на равнината MNP.

Q D A C M N P X B X Вижте решение Втори метод: Следващ

Слайд 14

номер 2. (решете сами). Построете сечение на тетраедъра, като използвате равнината MNP, ако P принадлежи на лицето ADC.

Слайд 15

номер 3. Построете сечение с помощта на тетраедричната равнина α, успоредна на ръба CD и минаваща през точка F, лежаща в равнината DBC, и точка M.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Дадено е: α||DC, (M; F) α, F (BDC), M AD. Построете сечение на тетраедъра DABC. α||DC, тогава (DBC) α=FP и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Тъй като α||DC, тогава (DAC) α=MQ и MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP и NP α означава DC||α, следователно MNPQ е желаната секция. Продължете изречението: Ако дадена права a е успоредна на дадена равнина α, то всяка равнина, минаваща през тази права a и не успоредна на равнината α, пресича равнината α по права b………………… ………………… успоредна на правата A. Продължете... α||DC, тогава равнината BDC пресича α по права, успоредна на DC и минаваща през точката F α||DC, тогава равнината ADC пресича α по права, успоредна на DC и минаваща през точката F точка М

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Построете сечение с четиристенна равнина α, успоредна на лицето BDC и минаваща през точката M. B A C M N D Дадено е: α||DBC, M α, M AD. Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP е необходимата секция, защото………. Продължете изречението: Ако две успоредни равнини се пресичат от трета равнина, то пресечните им линии………………………… са успоредни. две пресичащи се прави MN и MP на равнината α са съответно успоредни на две пресичащи се прави DB и DC на равнината (DBC), което означава α||(DBC). α||DВC, то равнините AВ и ADC пресичат равнините α и (ВДС) по прави MN и МР, успоредни съответно на DB и DC и минаващи през точка M.

Слайд 17

Следва M R B A C N No 5. Решете сами и запишете решението. Построете сечение на тетраедъра с равнината α, минаваща през точката M и отсечката PN, ако PN||AB и M принадлежи на равнината (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC) = NR, α (BDC) = PQ. Напречно сечение, необходимо за RNPQ. Вижте решението NP||(ABC), което означава, че равнината MNP пресича равнината ABC по права MQ, успоредна на NP и минаваща през точката M.

Слайд 18

Не забравяйте да формулирате въпроси към учителя, ако нещо не е ясно, както и вашите препоръки за подобряване на тази презентация.

Слайд 19

При създаването на презентацията са използвани учебници и ръководства: 1. L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. „Просвещение” 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлър, А.Г. Бахански задачи по геометрия 7-11.М. "Просвета" 2000г

Вижте всички слайдове

, слайдове 1-2)

научете се да прилагате аксиомите на стереометрията при решаване на задачи;

научете се да намирате позицията на пресечните точки на сечащата равнина с ръбовете на тетраедъра;

овладеят методи за конструиране на тези секции

да се формира когнитивна активност, способност за логично мислене;

създават условия за самоконтрол на усвояването на знанията и уменията.

Тип урок: Формиране на нови знания.

По време на часовете

I. Организационен момент

II. Актуализиране на знанията на учениците

Фронтално проучване. (Аксиоми на стереометрията, свойства на успоредни равнини)

Словото на учителя

За решаването на много геометрични задачи, свързани с тетраедъра, е полезно да можете да ги начертаетесекции различни самолети. (слайд 3). Да се ​​обадимрежеща равнина тетраедър е всяка равнина, от двете страни на която има точки от дадения тетраедър. Режещата равнина пресича лицата на тетраедъра по сегменти. Нарича се многоъгълник, чиито страни са тези сегментинапречно сечение на тетраедър . Тъй като тетраедърът има четири лица, неговите секции могат да бъдат само триъгълници и четириъгълници. Обърнете внимание също, че за да се построи разрез, е достатъчно да се построят точките на пресичане на режещата равнина с ръбовете на тетраедъра, след което остава да се начертаят сегменти, свързващи всеки две построени точки, лежащи на едно и също лице.

В този урок ще можете да изучавате подробно сеченията на тетраедър и да овладеете методите за построяване на тези сечения. Ще научите пет правила за конструиране на сечения от полиедри, ще се научите да намирате позицията на точките на пресичане на режещата равнина с ръбовете на тетраедъра.

Актуализиране на поддържащи концепции

Първо правило. Ако две точки принадлежат както на сечещата равнина, така и на равнината на някакво лице на полиедъра, тогава правата линия, минаваща през тези две точки, е линията на пресичане на сечащата равнина с равнината на това лице (следствие от аксиомата за пресичането на равнини).

Второ правило . Ако режещата равнина е успоредна на определена равнина, тогава тези две равнини се пресичат с всяко лице по успоредни прави (свойството на две успоредни равнини, пресичани от трета).

Трето правило. Ако режещата равнина е успоредна на права, лежаща в определена равнина (например равнината на някакво лице), тогава линията на пресичане на режещата равнина с тази равнина (лице) е успоредна на тази линия (свойството на права, успоредна на равнината).

Четвърто правило. Режеща равнина пресича успоредни лица по успоредни прави (свойство на успоредни равнини, пресечени от една трета).

Пето правило . Нека две точки A и B принадлежат на сечащата равнина и точките A 1 и Б 1 са успоредни проекции на тези точки върху някакво лице. Ако правите AB и A 1 б 1 са успоредни, тогава режещата равнина пресича това лице по права линия, успоредна на A 1 б 1 . Ако правите AB и A 1 б 1 се пресичат в определена точка, тогава тази точка принадлежи както на сечащата равнина, така и на равнината на това лице (първата част от тази теорема следва от свойството на права, успоредна на равнината, а втората следва от допълнителни свойства на паралел проекция).

III. Изучаване на нов материал (формиране на знания, умения)

Колективно решаване на задачи с обяснение (слайд 4)

Задача 1. Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина, минаваща през точките K є AD, M є DS, E є BC.

Нека разгледаме внимателно чертежа. Тъй като точките K и M принадлежат на една и съща равнина, намираме пресечната точка на режещата равнина с лицето на ADS - това е сегментът KM. Точките M и E също лежат в една и съща равнина, което означава, че пресечната точка на сечащата равнина и лицето на VDS е отсечката ME. Намираме пресечната точка на прави KM и AC, които лежат в една и съща равнина ADS. Сега точка X лежи в лицето ABC, тогава тя може да бъде свързана с точка E. Начертаваме права XE, която пресича AB в точка P. Отсечката PE е пресечната точка на сечащата равнина с лицето ABC, а сегмент KP е пресечната точка на сечащата равнина с лицето ABC. Следователно четириъгълникът KMER е нашето желано сечение. Записване на решението в тетрадката:

Решение.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER – задължителен раздел

Задача 2. (слайд 5)

Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина, минаваща през точките K = ABC, M = VDS, N = AD

Нека разгледаме проекциите на някои две точки. В тетраедър проекциите на точките се намират от върха към основната равнина, т.е. М→М 1 , N→A. Намиране на пресечната точка на правите NM и AM 1 точка X. Тази точка принадлежи на сечащата равнина, тъй като лежи на правата NM, принадлежи на равнината ABC, тъй като лежи на правата AM 1 . Това означава, че сега в равнината ABC имаме две точки, които могат да бъдат свързани, получаваме правата KX. Правата пресича страната BC в точка L, а страната AB в точка H. В лицето ABC намираме пресечната линия, тя минава през точките H и K - това е NL. В лицето на ABP пресечната линия е НN, в лицето VDS прекарваме пресечната линия през точките L и M - това е LQ, а в лицето ADS получаваме отсечката NQ. Четириъгълникът HNQL е необходимото сечение.

Решение

М → М 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – задължителен раздел

IV. Затвърдяване на знанията

Решаване на проблема с последваща проверка

Задача 3. (слайд 6)

Построете сечение на тетраедъра DAWS с равнина, минаваща през точките K є BC, M є ADV, N є VDS.

Решение

1. М → М 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 М 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK – задължителен раздел

V. Самостоятелна работа(според опциите)

(слайд 7)

Задача 4. Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина, минаваща през точките M = AB, N = AC, K = AD.

Решение

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – задължителен раздел

Задача 5. Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина, минаваща през точките M = AB, K = DS, N = DV.

Решение

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP – задължителен раздел

Задача 6. Построете сечение на тетраедъра DABC с равнина, минаваща през точките M = ABC, K = VD, N = DS

Решение

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ ABP = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

ТП Н К – задължителен участък

VI. Обобщение на урока.

(слайд 8)

И така, днес научихме как да конструираме най-простите задачи върху тетраедърни сечения. Нека ви напомня, че сечението на полиедър е многоъгълник, получен в резултат на пресичането на многостен с определена равнина. Самата равнина се нарича режеща равнина. Да се ​​построи сечение означава да се определи кои ръбове пресича режещата равнина, вида на резултантното сечение и точното положение на точките на пресичане на режещата равнина с тези ръбове. Тоест целите, които бяха поставени в урока, бяха постигнати.

VII. Домашна работа.

(слайд 9)

Практическа работа„Построяване на сечения на тетраедър“ в електронна форма или хартиена версия. (Всеки получи индивидуална задача