Təyyarənin hər bir M nöqtəsi (və ya müstəvinin bəzi hissəsi) ilə müəyyən bir u sayının əlaqəli olduğu bir qayda göstərilibsə, müstəvidə (və ya təyyarənin bir hissəsində) "nöqtə funksiyası" olduğunu söyləyirlər. verilmişdir”; funksiyanın spesifikasiyası simvolik olaraq u=f(M) formasının bərabərliyi ilə ifadə edilir. M nöqtəsi ilə əlaqəli u sayı bu funksiyanın M nöqtəsindəki qiyməti adlanır. Məsələn, əgər A müstəvidə sabit nöqtədirsə, M ixtiyari nöqtədirsə, A-dan M nöqtəsinə qədər olan məsafə M nöqtəsinin funksiyasıdır. Bu halda f(m)=AM .

Bəzi u=f(M) funksiyası verilsin və eyni zamanda koordinat sistemi təqdim edilsin. Onda ixtiyari M nöqtəsi x, y koordinatları ilə müəyyən edilir. Müvafiq olaraq, bu funksiyanın M nöqtəsindəki qiyməti x, y koordinatları ilə müəyyən edilir və ya necə deyərlər, u=f(M) olur. iki dəyişənin x və y funksiyası. İki x və y dəyişəninin funksiyası f(x; y) simvolu ilə işarələnir: əgər f(M)=f(x;y), onda u=f(x; y) düsturu bunun ifadəsi adlanır. seçilmiş koordinat sistemində funksiya. Beləliklə, əvvəlki misalda f(M)=AM; Mənşəyi A nöqtəsində olan Dekart düzbucaqlı koordinat sistemi tətbiq etsək, bu funksiya üçün ifadəni alırıq:

u=sqrt(x^2 + y^2)

PROBLEM 3688 f (x, y)=x^2–y^2–16 funksiyası verilmişdir.

f (x, y)=x^2–y^2–16 funksiyası verilmişdir. Əgər koordinat oxları –45 dərəcə bucaqla fırlanırsa, bu funksiyanın yeni koordinat sistemində ifadəsini müəyyən edin.

Parametrik xətt tənlikləri

Müəyyən M nöqtəsinin koordinatlarını x və y hərfləri ilə işarə edək; t arqumentinin iki funksiyasını nəzərdən keçirək:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

t dəyişdikdə, x və y dəyərləri, ümumiyyətlə, dəyişəcək, buna görə də M nöqtəsi hərəkət edəcəkdir. Bərabərliklər (1) adlanır parametrik xətt tənlikləri M nöqtəsinin trayektoriyası olan ; t arqumentinə parametr deyilir. Əgər t parametrini bərabərliklərdən (1) xaric etmək olarsa, onda M nöqtəsinin trayektoriyasının tənliyini formada alırıq.

F formasının bərabərliyi (x, y) = 0 iki dəyişənli tənlik adlanır x, y, bütün ədəd cütləri üçün doğru deyilsə x, y.İki rəqəm deyirlər x = x 0 , y=y 0, formanın bəzi tənliyini təmin edin F(x, y)=0, dəyişənlərin yerinə bu ədədləri əvəz edərkən X Və saat tənlikdə onun sol tərəfi yox olur.

Verilmiş xəttin tənliyi (təyin edilmiş koordinat sistemində) bu xətt üzərində yerləşən hər bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilən və üzərində olmayan hər bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilməyən iki dəyişənli tənlikdir.

Sonrakı ifadədə “xəttin tənliyi verilir F(x, y) = 0" biz tez-tez qısaca deyəcəyik: bir xətt verilir F (x, y) = 0.

Əgər iki xəttin tənlikləri verilmişdirsə F(x, y) = 0 Və Ф(x, y) = Q, sonra sistemin birgə həlli

onların bütün kəsişmə nöqtələrini verir. Daha dəqiq desək, bu sistemin birgə həlli olan hər bir ədəd cütü kəsişmə nöqtələrindən birini təyin edir.

*) Koordinat sisteminin adlandırılmadığı hallarda, onun Dekart düzbucaqlı olduğu qəbul edilir.

157. Ballar verilir *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Tənliklə müəyyən edilmiş xətdə hansı dərc edilmiş nöqtələrin olduğunu müəyyən edin X+ y = 0, və hansılar bunun üzərində yalan deyil. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində çəkin.)

158. Tənliklə müəyyən edilmiş xətt üzrə X 2 +y 2 =25, absisləri aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; eyni xəttdə ordinatları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: e) 3, f) - 5, g) - 8. Hansı xətt bu tənliklə müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində çəkin.)

159. Aşağıdakı tənliklərlə hansı xətlərin təyin olunduğunu müəyyən edin (onları rəsm üzərində qurun):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; on bir) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|saat|; 19)y + |x|=0;

20) x +|saat|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + saat 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Verilmiş sətirlər:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Onlardan hansının mənşəyindən keçdiyini müəyyənləşdirin.

161. Verilmiş sətirlər:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8saat+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Onların kəsişmə nöqtələrini tapın: a) ox ilə Oh; b) ox ilə OU.

162.İki xəttin kəsişmə nöqtələrini tapın;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4saat+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4saat -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Qütb koordinat sistemində nöqtələr verilmişdir

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Və M 5 (1; )

Bu nöqtələrdən hansının qütb koordinatlarında  = 2 cos  tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzərində, hansının isə onun üzərində olmadığını müəyyən edin. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Çətin üzərində çəkin :)

164.  = tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə , Qütb bucaqları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) ,b) - , c) 0, d) . Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir?

(Onu rəsm üzərində qurun.)

165. = tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə , qütb radiusları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) 1, b) 2, c)
. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində qurun.)

166. Aşağıdakı tənliklərlə qütb koordinatlarında hansı xətlərin təyin olunduğunu müəyyənləşdirin (onları rəsm üzərində qurun):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 günah ; 8) günah  = 9) günah  =

167. Rəsm üzərində aşağıdakı Arximed spirallarını qurun:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Rəsm üzərində aşağıdakı hiperbolik spiralları qurun:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Rəsm üzərində aşağıdakı loqarifmik spiralları qurun:

,
.

170. Arximed spiralının kəsdiyi seqmentlərin uzunluqlarını təyin edin

qütbdən çıxan və bucaq altında qütb oxuna meyl edən şüa
. Rəsm çəkin.

171. Arximed spiralında
nöqtə götürüldü İLƏ, qütb radiusu 47-dir. Bu spiralın nöqtənin qütb radiusunu neçə hissədən kəsdiyini müəyyən edin İLƏ, Rəsm çəkin.

172. Hiperbolik spiral üzərində
bir nöqtə tapın R, qütb radiusu 12-dir. Rəsm çəkin.

173. Loqarifmik spiral üzərində
Qütb radiusu 81 olan Q nöqtəsini tapın. Rəsmi çəkin.

 müstəvisində Dekart düzbucaqlı koordinat sistemi Oxy və bəzi L xətti verilsin.

Tərif. tənlik F(x;y)=0 (1)çağırdı xətti tənliyiL(verilmiş koordinat sisteminə nisbətən), əgər bu tənlik L xəttində olmayan hər hansı nöqtənin x və y koordinatları ilə deyil, L xəttində yerləşən hər hansı nöqtənin x və y koordinatları ilə ödənilirsə.

Bu. təyyarədə xətt koordinatları (1) tənliyini təmin edən nöqtələrin (M(x;y)) yeridir.

Tənlik (1) L xəttini təyin edir.

Misal. Bir dairənin tənliyi.

Dairə– verilmiş M 0 (x 0,y 0) nöqtəsindən bərabər məsafədə olan nöqtələr toplusu.

M nöqtəsi 0 (x 0,y 0) – dairənin mərkəzi.

Dairə üzərində uzanan hər hansı M(x;y) nöqtəsi üçün məsafə MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – mərkəzi M 0 (x 0,y 0) nöqtəsində olan R radiuslu dairənin tənliyi.

Xəttin parametrik tənliyi.

L xəttindəki nöqtələrin x və y koordinatları t parametri ilə ifadə olunsun:

(3) – DSC-də xəttin parametrik tənliyi

burada (t) və (t) funksiyaları t parametrinə (bu parametrin müəyyən dəyişmə diapazonunda) münasibətdə fasiləsizdir.

(3) tənliyindən t parametrini çıxararaq (1) tənliyini alırıq.

L xəttini müəyyən qanuna uyğun olaraq fasiləsiz hərəkət edən maddi nöqtənin keçdiyi yol hesab edək. Dəyişən t hansısa başlanğıc anından hesablanmış vaxtı təmsil etsin. Onda hərəkət qanununun spesifikasiyası hərəkət edən nöqtənin x və y koordinatlarının t zamanının bəzi fasiləsiz x=(t) və y=(t) funksiyaları kimi dəqiqləşdirilməsini təmsil edir.

Misal. Mərkəzi başlanğıcda olan r>0 radiuslu çevrə üçün parametrik tənlik çıxaraq. M(x,y) bu çevrənin ixtiyari nöqtəsi, t isə radius vektoru ilə Ox oxu arasındakı bucaq saat əqrəbinin əksinə hesablansın.

Onda x=r cos x y=r sin t. (4)

Tənliklər (4) baxılan dairənin parametrik tənlikləridir. t parametri istənilən qiymət ala bilər, lakin M(x,y) nöqtəsinin dairəni bir dəfə dövrə vurması üçün parametrin dəyişmə diapazonu 0t2 yarımseqmenti ilə məhdudlaşır.

(4) tənlikləri kvadratlaşdıraraq və əlavə etməklə çevrənin (2) ümumi tənliyini əldə edirik.

2. Qütb koordinat sistemi (psc).

L oxunu seçək ( qütb oxu) və bu oxun O nöqtəsini təyin edin ( dirək). Təyyarənin istənilən nöqtəsi ρ və φ qütb koordinatları ilə unikal şəkildə müəyyən edilir, burada

ρ – qütb radiusu, M nöqtəsindən O qütbünə qədər olan məsafəyə bərabərdir (ρ≥0);

φ – künc vektor istiqaməti arasında OM və L oxu ( qütb bucağı). M(ρ ; φ )

UCS-də xətt tənliyi yazmaq olar:

ρ=f(φ) (5) UCS-də xəttin açıq tənliyi

F=(ρ; φ) (6) UCS-də gizli xətt tənliyi

Nöqtənin kartezyen və qütb koordinatları arasında əlaqə.

(x;y) (ρ ; φ ) OMA üçbucağından:

tan φ=(bucağın bərpasıφ məluma görətangens əmələ gəlirM nöqtəsinin hansı kvadrantda yerləşdiyini nəzərə alaraq).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Misal . M(3;4) və P(1;-1) nöqtələrinin qütb koordinatlarını tapın.

M üçün:=5, φ=arctg (4/3). P üçün: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Düz xətlərin təsnifatı.

Tərif 1. Xətt adlanır cəbri,əgər bəzi Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində, F(x;y) funksiyasının cəbri çoxhədli olduğu F(x;y)=0 (1) tənliyi ilə müəyyən edilirsə.

Tərif 2. Hər bir cəbri olmayan xətt deyilir transsendental.

Tərif 3. Cəbr xətti adlanır sifariş xəttin, əgər bəzi Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində bu xətt F(x;y) funksiyasının n-ci dərəcəli cəbri çoxhədli olduğu (1) tənliyi ilə təyin edilirsə.

Beləliklə, n-ci düzbucaqlı xətt bəzi Dekart düzbucaqlı sistemində iki naməlum olan n dərəcə cəbri tənliyi ilə müəyyən edilmiş xəttdir.

Aşağıdakı teorem 1,2,3 təriflərinin düzgünlüyünü müəyyən etməyə kömək edir.

Teorem(səh. 107-də ​​sənəd). Əgər bəzi Dekart düzbucaqlı koordinat sistemindəki xətt n dərəcə cəbri tənliyi ilə müəyyən edilirsə, onda hər hansı digər Dekart düzbucaqlı koordinat sistemindəki bu xətt eyni n dərəcəli cəbr tənliyi ilə təyin olunur.

Hədəf: Təyyarədə xətt anlayışını nəzərdən keçirin, nümunələr verin. Xəttin tərifinə əsaslanaraq, müstəvidə xəttin tənliyi anlayışını təqdim edin. Düz xətlərin növlərini nəzərdən keçirin, düz xəttin təyin edilməsi üçün nümunələr və üsullar verin. Düz xəttin tənliyini tərcümə etmək bacarığını gücləndirin ümumi görünüş bucaq əmsalı olan "seqmentlərdə" düz xəttin tənliyinə.

1. Müstəvidə xəttin tənliyi.
2. Müstəvidə düz xəttin tənliyi. Tənliklərin növləri.
3. Düz xəttin təyin edilməsi üsulları.

1. X və y iki ixtiyari dəyişən olsun.

Tərif: F(x,y)=0 şəklində olan münasibət deyilir tənlik , əgər hər hansı x və y ədəd cütləri üçün doğru deyilsə.

Misal: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Əgər hər hansı x, y üçün F(x,y)=0 bərabərliyi yerinə yetirilirsə, deməli, F(x,y) = 0 eynilikdir.

Misal: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Deyirlər ki, x ədədləri 0, y isə 0-dır tənliyini təmin edin , əgər onları bu tənliyə əvəz etdikdə həqiqi bərabərliyə çevrilirsə.

Ən vacib anlayış analitik həndəsə xəttin tənliyi anlayışıdır.

Tərif: Verilmiş xəttin tənliyi F(x,y)=0 tənliyidir ki, bu sətirdə uzanan bütün nöqtələrin koordinatları ödəyir, bu xətt üzərində uzanmayan nöqtələrin heç birinin koordinatları ilə təmin olunmur.

y = f(x) tənliyi ilə müəyyən edilən xətt f(x)-in qrafiki adlanır. x və y dəyişənlərinə cari koordinatlar deyilir, çünki onlar dəyişən nöqtənin koordinatlarıdır.

Bəziləri misallar xətt tərifləri.

1) x – y = 0 => x = y. Bu tənlik düz xətti müəyyən edir:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => xallar ya x - y = 0 tənliyini, ya da müstəvidə uyğun gələn x + y = 0 tənliyini təmin etməlidir. koordinat bucaqlarının bissektrisaları olan bir cüt kəsişən düz xətt:

3) x 2 + y 2 = 0. Bu tənlik yalnız bir O(0,0) nöqtəsi ilə təmin edilir.

2. Tərif: Təyyarədə hər hansı düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin edilə bilər

Axe + Wu + C = 0,

Üstəlik, A və B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil, yəni. A 2 + B 2 ¹ 0. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi.

A, B və C sabitlərinin dəyərlərindən asılı olaraq aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – düz xətt başlanğıcdan keçir

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - Ox oxuna paralel düz xətt

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – Oy oxuna paralel düz xətt

B = C = 0, A ¹ 0 – düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A = C = 0, B ¹ 0 – düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmiş ilkin şərtlərdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim edilə bilər.

Bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi.

Ax + By + C = 0 düz xəttinin ümumi tənliyi aşağıdakı formaya endirilərsə:

və işarələyin, onda yaranan tənlik çağırılır yamacı k olan düz xəttin tənliyi.

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər daxil ümumi tənlik düz xətt Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, onda –С-yə bölməklə, alırıq: və ya, harada

Həndəsi mənaəmsallar o əmsaldır A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Xəttin normal tənliyi.

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi adlanan bir ədədə bölünürsə normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosj + ysinj - p = 0 – düz xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki, m×С< 0.

p başlanğıcdan düz xəttə endirilən perpendikulyarın uzunluğu, j isə bu perpendikulyarın Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaqdır.

3. Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Xəttin bucaq əmsalı k-yə bərabər olsun, xətt M(x 0, y 0) nöqtəsindən keçir. Onda düz xəttin tənliyi düsturla tapılır: y – y 0 = k(x – x 0)

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi belədir:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir.

Müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

x 1 ¹ x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

= k kəsrinə deyilir yamac düz.

F(x, y) = 0 formalı bərabərlik bütün x, y ədəd cütləri üçün doğru deyilsə, iki x, y dəyişəni olan tənlik adlanır. Deyirlər ki, iki ədəd x = x 0, y = y 0 F(x, y) = 0 formalı bəzi tənliyi ödəyir, əgər bu ədədləri x və y dəyişənləri əvəzinə tənlikdə əvəz etdikdə onun sol tərəfi sıfır olarsa. .

Verilmiş xəttin tənliyi (təyin edilmiş koordinat sistemində) bu xətt üzərində yerləşən hər bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilən və üzərində olmayan hər bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilməyən iki dəyişənli tənlikdir.

Bundan sonra “F(x, y) = 0 xəttinin tənliyi verilmişdir” ifadəsinin əvəzinə biz tez-tez daha qısa deyəcəyik: F(x, y) = 0 xəttini nəzərə alaraq.

Əgər iki xəttin tənlikləri verilmişdirsə: F(x, y) = 0 və Ф(x, y) = 0, onda sistemin birgə həlli

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

onların bütün kəsişmə nöqtələrini verir. Daha doğrusu, bu sistemin birgə həlli olan hər bir ədəd cütü kəsişmə nöqtələrindən birini təyin edir,

157. Verilmiş xallar *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Verilmiş nöqtələrdən hansının x + y = 0 tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzərində yerləşdiyini və hansının onun üzərində olmadığını müəyyən edin. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində çəkin.)

158. x 2 + y 2 = 25 tənliyi ilə müəyyən edilmiş sətirdə absisləri aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; eyni xətdə ordinatları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində çəkin.)

159. Aşağıdakı tənliklərlə hansı xətlərin təyin olunduğunu müəyyən edin (onları çertyoj üzrə qurun): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + ilə + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Verilmiş sətirlər: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Onlardan hansının başlanğıcdan keçdiyini müəyyənləşdirin.

161. Verilmiş sətirlər: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Onların kəsişmə nöqtələrini tapın: a) Ox oxu ilə; b) Oy oxu ilə.

162. İki xəttin kəsişmə nöqtələrini tapın:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Qütb koordinat sistemində M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) və M nöqtələri. 5 ( 1; 2/3π). Bu nöqtələrdən hansının p = 2cosΘ tənliyi ilə qütb koordinatlarında müəyyən edilmiş xətt üzərində yerləşdiyini, hansının isə onun üzərində olmadığını müəyyən edin. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində çəkin.)

164. p = 3/cosΘ tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə qütb bucaqları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Çizgi üzərində qurun.)

165. p = 1/sinΘ tənliyi ilə müəyyən edilmiş xətt üzrə qütb radiusları aşağıdakı ədədlərə bərabər olan nöqtələri tapın: a) 1 6) 2, c) √2. Bu tənliklə hansı xətt müəyyən edilir? (Onu rəsm üzərində qurun.)

166. Aşağıdakı tənliklərlə qütb koordinatlarında hansı xətlərin təyin olunduğunu müəyyən edin (onları çertyoj üzrə qurun): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Rəsm üzərində aşağıdakı Arximed spirallarını qurun: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Rəsm üzərində aşağıdakı hiperbolik spiralları qurun: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) r= - π/Θ

169. Rəsm üzrə aşağıdakı loqarifmik spiralları qurun: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Arximed spiralının p = 3Θ qütbdən çıxan və Θ = π/6 bucaq altında qütb oxuna meylli şüa ilə kəsildiyi seqmentlərin uzunluqlarını müəyyən edin. Rəsm çəkin.

171. Arximed spiralində p = 5/πΘ, qütb radiusu 47 olan C nöqtəsi götürülür. Bu spiral C nöqtəsinin qütb radiusunu neçə hissədən kəsdiyini müəyyən edin. Rəsm çəkin.

172. P = 6/Θ hiperbolik spiralda qütb radiusu 12 olan P nöqtəsini tapın. Rəsmi çəkin.

173. P = 3 Θ loqarifmik spiralda qütb radiusu 81 olan P nöqtəsini tapın. Rəsmi çəkin.