Oyunlar

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bərabərdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Qüdrət-eksponensial funksiyanın törəməsi

Törəmə və onun hesablanması üsullarını bilmədən riyaziyyatda fiziki məsələlərin və ya nümunələrin həlli tamamilə mümkün deyil. Törəmə riyazi analizdə ən vacib anlayışlardan biridir. Bugünkü məqaləmizi bu əsas mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla müəyyən edilir (a, b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqumentin dəyişdirilməsi - onun dəyərlərindəki fərq x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması bir funksiyanın iki nöqtədəki dəyərləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Və budur:

nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zamana görə törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin xüsusi bir yol olduğunu bilir x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti təyin edin

Sabit törəmə işarədən çıxarıla bilər. Üstəlik, bu edilməlidir. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - Əgər ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, onu sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Həll:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanmasından danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq arqumentə görə törəməsinin və müstəqil dəyişənə görə aralıq arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı misalda ifadə ilə rastlaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə görə xarici funksiyanın törəməsini hesablayırıq, sonra isə müstəqil dəyişənə nisbətən ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı hər hansı sualınız varsa, tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər heç vaxt törəmə hesablamalar etməmisinizsə belə, ən çətin testi həll etməyə və tapşırıqları başa düşməyə kömək edəcəyik.

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirək. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

Funksiyanın törəməsini tapın.
Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Eksponensial və təbii loqarifm törəmə nöqteyi-nəzərdən bənzərsiz sadə funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçılar diferensialı funksiyanın eyni artımı adlandırırlar. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Burada.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmə işarədən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
nöqtədə.

Həll yolları:

(törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki xətti funksiyadır, yadınızdadır?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:

Törəmə:

Nümunələr:

və funksiyalarının törəmələrini tapın;
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya endirməyə çalışaq:

Bunun üçün sadə qaydadan istifadə edəcəyik: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən, yəni daha sadə formada yazıla bilməyən bir rəqəmdir. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.

Qeyd edək ki, burada iki funksiyanın əmsalı var, ona görə də müvafiq diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik:

Bu nümunədə iki funksiyanın məhsulu:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit bir obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla tərs addımları yerinə yetirmək lazımdır.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyanın nümunəsidir: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetiririk.

Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Bizim misal üçün, .

Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların mühüm xüsusiyyəti: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

İkinci misal: (eyni şey). .

Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .

Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli mürəkkəb funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb bir funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət istiqamətini müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hamısını bir yerə toplamaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmə işarədən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Məhsulun törəməsi:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

“Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
“Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə etməklə törəmələrin hesablanmasına misallar verilmişdir.

Məzmun

Həmçinin bax: Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun sübutu

Əsas düsturlar

Burada aşağıdakı funksiyaların törəmələrinin hesablanmasına dair nümunələr veririk:
; ; ; ; .

Əgər funksiya kompleks funksiya kimi aşağıdakı formada təqdim edilə bilərsə:
,
onda onun törəməsi düsturla müəyyən edilir:
.
Aşağıdakı nümunələrdə bu düsturu aşağıdakı kimi yazacağıq:
.
Harada.
Burada törəmə işarəsi altında yerləşən və ya alt işarələri fərqləndirmənin aparıldığı dəyişənləri bildirir.

Adətən törəmələr cədvəllərində x dəyişənindən funksiyaların törəmələri verilir. Bununla belə, x formal parametrdir. x dəyişəni istənilən başqa dəyişənlə əvəz edilə bilər. Buna görə də, funksiyanı dəyişəndən fərqləndirərkən, biz sadəcə olaraq törəmələr cədvəlində x dəyişənini u dəyişəninə dəyişirik.

Sadə nümunələr

Misal 1

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın
.

Verilmiş funksiyanı ekvivalent formada yazaq:
.
Törəmələr cədvəlində biz tapırıq:
;
.

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi üçün düstura görə, biz var:
.
Budur.

Misal 2

Törəməni tapın
.

Törəmə işarəsindən 5 sabitini götürürük və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

.
Budur.

Misal 3

Törəməni tapın
.

Bir sabiti çıxarırıq -1 törəmənin işarəsi üçün və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
;
Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün formula tətbiq edirik:
.
Budur.

Daha mürəkkəb nümunələr

Daha mürəkkəb nümunələrdə mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını bir neçə dəfə tətbiq edirik. Bu halda törəməni sondan hesablayırıq. Yəni funksiyanı komponent hissələrinə bölürük və istifadə edərək ən sadə hissələrin törəmələrini tapırıq törəmələr cədvəli. Biz də istifadə edirik məbləğlərin diferensiallaşdırılması qaydaları, məhsullar və fraksiyalar. Sonra əvəzetmələr edirik və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.

Misal 4

Törəməni tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçək və onun törəməsini tapaq. .

.
Burada qeyddən istifadə etdik
.

Alınan nəticələrdən istifadə edərək orijinal funksiyanın növbəti hissəsinin törəməsini tapırıq. Məbləğin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:
.

Bir daha mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.

.
Budur.

Misal 5

Funksiyanın törəməsini tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçək və törəmələr cədvəlindən onun törəməsini tapaq. .

Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.
.
Budur
.

Gəlin əldə edilən nəticələrdən istifadə edərək növbəti hissəni fərqləndirək.
.
Budur
.

Gəlin növbəti hissəni fərqləndirək.

.
Budur
.

İndi biz istədiyiniz funksiyanın törəməsini tapırıq.

.
Budur
.

Həmçinin bax:

Bu dərs “Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması” mövzusuna həsr edilmişdir. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq təcrübəsindən problem”. Bu dərs mürəkkəb funksiyaların fərqləndirilməsini araşdırır. Mürəkkəb funksiyanın törəmələri cədvəli tərtib edilir. Bundan əlavə, riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq təcrübəsindən bir problemin həlli nümunəsi nəzərdən keçirilir.

Mövzu: Törəmə

Dərs: Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün təcrübə tapşırığı

Kompleksfunksiyası biz artıq fərqləndirmişik, lakin arqument xətti funksiya idi, yəni funksiyanı necə diferensiasiya edəcəyimizi bilirik. Misal üçün, . İndi eyni şəkildə mürəkkəb funksiyanın törəmələrini tapacağıq, burada xətti funksiya yerinə başqa bir funksiya ola bilər.

Funksiyadan başlayaq

Beləliklə, biz sinusun arqumentinin kvadrat funksiya olduğu mürəkkəb funksiyadan sinusun törəməsini tapdıq.

Əgər müəyyən bir nöqtədə törəmənin qiymətini tapmaq lazımdırsa, onda bu nöqtə tapılmış törəmə ilə əvəz edilməlidir.

Beləliklə, iki nümunədə qaydanın necə işlədiyini gördük fərqləndirmə kompleks funksiyaları.

3. . Bunu xatırladaq.

8. .

Beləliklə, bu mərhələdə mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması cədvəlini tamamlayacağıq. Bundan əlavə, əlbəttə ki, daha da ümumiləşdiriləcək, amma indi törəmə ilə bağlı konkret problemlərə keçək.

Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq təcrübəsində aşağıdakı vəzifələr təklif olunur.

Funksiyanın minimumunu tapın .

ODZ: .

Gəlin törəməni tapaq. Yada salaq ki, .

Törəməni sıfıra bərabərləşdirək. Nöqtə ODZ-yə daxildir.

Törəmənin sabit işarəsinin intervallarını (funksiyanın monotonluq intervalları) tapaq (bax. şək. 1).

düyü. 1. Funksiya üçün monotonluq intervalları .

Gəlin bir nöqtəyə baxaq və onun ekstremum nöqtə olub-olmadığını öyrənək. Ekstremumun kifayət qədər əlaməti, törəmənin nöqtədən keçərkən işarəni dəyişməsidir. Bu halda törəmə işarəni dəyişir, yəni ekstremum nöqtədir. Törəmə işarəsini “-”dən “+”a dəyişdiyindən, bu minimum nöqtədir. Minimum nöqtədə funksiyanın qiymətini tapaq: . Bir diaqram çəkək (şək. 2-ə baxın).

Şəkil 2. Funksiyanın ekstremumu .

İntervalda - funksiya azalır, on - funksiya artır, ekstremum nöqtəsi unikaldır. Funksiya ən kiçik qiymətini yalnız nöqtədə alır.

Dərs zamanı biz mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılmasına baxdıq, cədvəl tərtib etdik və mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydalarına baxdıq və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq təcrübəsindən törəmənin istifadəsinə nümunə verdik.

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik).- M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərindən öyrənilməsi.-M.: Təhsil, 1997.

5. Ali məktəblərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (red. M.İ.Skanavi).- M.: Ali məktəb, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbri simulyator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Cəbr və təhlilin başlanğıcları. 8-11 siniflər: Riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və siniflər üçün dərslik (didaktik materiallar).- M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbr və təhlilin prinsipləri üzrə problemlər (ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti).- M.: Prosveşchenie, 2003.

9. Karp A.P. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər toplusu: dərslik. 10-11-ci siniflər üçün müavinət. dərinliyi ilə oxudu Riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

10. Qleyzer G.İ. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. 9-10-cu siniflər (müəllimlər üçün vəsait).-M.: Təhsil, 1983

Əlavə veb resursları

2. Təbiət Elmləri Portalı ().

Evdə hazırlayın

No 42.2, 42.3 (Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi) A. Q. Mordkoviçin redaktorluğu ilə. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Əgər tərifə əməl etsəniz, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artımının nisbətinin həddidir. y arqument artımına Δ x:

Hər şey aydın görünür. Lakin, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə etməyə çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, bütün müxtəlif funksiyalardan elementar funksiyaları ayırd edə bilərik. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvəl şəklində verilmişdir. Bu cür funksiyaları xatırlamaq olduqca asandır - törəmələri ilə birlikdə.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalananların hamısıdır. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq heç də çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

ad	Funksiya	törəmə
Sabit	f(x) = C, C ∈ R	0 (bəli, sıfır!)
Rasional göstərici ilə güc	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = günah x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	-günah x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/günah 2 x
Təbii loqarifm	f(x) = log x	1/x
İxtiyari loqarifm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponensial funksiya	f(x) = e x	e x(heçnə dəyişmədi)

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək olar - və daha çox. Artıq xüsusilə elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara görə fərqlənən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Funksiyalar verilsin f(x) Və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazmaq olar f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + günah x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, buna görə də:

f ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cos x;

Funksiya üçün də oxşar səbəblər veririk g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsidir. zərbə">törəmələrin hasilinə bərabərdir. Ancaq sizi incidir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin çox vaxt unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci amili g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Nəzərə alın ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq bunu etmək lazım deyil, lakin törəmələrin çoxu öz-özünə hesablanmır, funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun əlamətləri müəyyən ediləcək və s. Belə bir hal üçün ifadənin faktorlara bölünməsi daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) Və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Və bu kimi! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər kəsrin payı və məxrəci elementar funksiyaları ehtiva edir, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, rəqəmi faktorlara ayıraq - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2 + ln x. Bu nəticə verəcək f(x) = günah ( x 2 + ln x) - bu mürəkkəb funksiyadır. Onun da törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalardan istifadə edərək onu tapmaq mümkün olmayacaq.

Mən nə etməliyəm? Belə hallarda mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün dəyişən və düsturun dəyişdirilməsi kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', Əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu formulun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Buna görə də, hər bir addımın ətraflı təsviri ilə konkret nümunələrdən istifadə edərək izah etmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2 + ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Düsturdan istifadə edərək mürəkkəb funksiyanın törəməsini axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, onu dəyişdirmək lazımdır x 2 + ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2 + ln x. Sonra:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən göründüyü kimi, bütün problem törəmə cəminin hesablanmasına qədər endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2 + ln x).

Çox vaxt dərslərimdə “törəmə” ifadəsi əvəzinə “əsas” sözünü işlədirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq eyni vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Kökün altında zərif bir şey varsa nə olacaq? Yenə də nəticə mürəkkəb bir funksiya olacaq - testlərdə və imtahanlarda belə konstruksiyalar verməyi xoşlayırlar.