Limit nöqtəsi teoremi. Bolzano-Weierstrass teoremi. İxtiyari ölçüdə fəza vəziyyətinə genişlənmə

Tərif v.7. Əgər hər hansı U (x) məhəlləsi və hər hansı N natural ədədi üçün bu məhəlləyə aid olan xn elementini ədədindən böyük tapmaq olarsa, say xəttindəki x € R nöqtəsi ardıcıllığın (xn) həddi nöqtəsi adlanır. LG, yəni. x 6 R - limit nöqtəsi əgər. Başqa sözlə, x nöqtəsi (xn) üçün limit nöqtəsi olacaq, əgər onun məhəllələrindən hər hansı biri ixtiyari böyük ədədlərlə bu ardıcıllığın elementlərini ehtiva edir, baxmayaraq ki, bəlkə də n > N rəqəmləri olan bütün elementlər deyil. Buna görə də, aşağıdakı ifadə tamamilə aydındır. . Bəyanat b.b. Əgər lim(xn) = 6 6 R, onda b (xn) ardıcıllığının yeganə həddi nöqtəsidir. Həqiqətən də, ardıcıllığın həddinin 6.3-cü tərifinə əsasən, onun bütün elementləri müəyyən bir ədəddən başlayaraq, 6-cı nöqtənin istənilən ixtiyari kiçik qonşuluğuna düşür və buna görə də ixtiyari çoxlu sayda elementlər başqa heç bir nöqtənin qonşuluğuna düşə bilməz. . Nəticə etibarilə, 6.7-ci tərifin şərti yalnız bir nöqtə 6 üçün ödənilir. Bununla belə, ardıcıllığın hər bir hədd nöqtəsi (bəzən nazik qatılaşdırılmış nöqtə də adlanır) onun həddi deyil. Beləliklə, (b.b) ardıcıllığının heç bir həddi yoxdur (misal 6.5-ə baxın), lakin iki limit nöqtəsi var x = 1 və x = - 1. Ardıcıllığın ((-1)pp) iki sonsuz nöqtəsi +oo və həddi nöqtələri kimi - - uzadılmış say xətti ilə, birliyi bir oo simvolu ilə işarələnir. Məhz buna görə də sonsuz hədd nöqtələrinin üst-üstə düşdüyünü və (6.29) görə sonsuz nöqtənin oo-nun bu ardıcıllığın həddi olduğunu düşünə bilərik. Ardıcıl nömrə xəttinin limit nöqtələri.Veyerştras testinin və Koşi kriteriyasının sübutu. (jn) ardıcıllığı verilsin və k ədədləri müsbət tam ədədlərin artan ardıcıllığını təşkil etsin. Onda ardıcıllıq (Vnb burada yn = xkn> ilkin ardıcıllığın alt ardıcıllığı adlanır. Aydındır ki, əgər (i„) hədd kimi 6 rəqəminə malikdirsə, onda onun hər hansı alt ardıcıllığı müəyyən bir ədəddən başlayaraq eyni limitə malikdir. həm ilkin ardıcıllığın bütün elementləri, həm də onun hər hansı bir alt ardıcıllığı 6-cı nöqtənin hər hansı seçilmiş qonşuluğuna düşür.Eyni zamanda, alt ardıcıllığın istənilən həddi nöqtəsi həm də ardıcıllığın həddi nöqtəsidir Teorem 9. Hər hansı ardıcıllıqdan həddi nöqtə, onun həddi kimi bu hədd nöqtəsi olan alt ardıcıllığı seçmək olar.(xn) ardıcıllığının həddi nöqtəsi b olsun, onda 6-cı tərifə uyğun olaraq. 7 limit nöqtəsi, hər n üçün radius 1/n olan b nöqtəsinin U (6, 1/n) məhəlləsinə aid element var. ijtj, ...1 ... nöqtələrindən ibarət olan sonrakı ardıcıllığın zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, 6-cı nöqtədə limiti var. Həqiqətən də, ixtiyari e > 0 üçün N-i seçmək olar. belə. Onda km sayından başlayaraq alt ardıcıllığın bütün elementləri 6-cı bəndin ^-qonşuluğuna U(6, e) düşəcək ki, bu da ardıcıllığın həddi təyininin 6.3-cü şərtinə uyğundur. Əks teorem də doğrudur. Ardıcıl nömrə xəttinin limit nöqtələri.Veyerştras testinin və Koşi kriteriyasının sübutu. Teorem 8.10. Əgər hansısa ardıcıllığın həddi 6 olan alt ardıcıllığı varsa, onda b bu ardıcıllığın həddi nöqtəsidir. Ardıcıllığın həddinin 6.3-cü tərifindən belə çıxır ki, müəyyən ədəddən başlayaraq b həddi olan alt ardıcıllığın bütün elementləri ixtiyari e radiuslu U(b, ​​e) qonşuluğuna düşür. eyni zamanda (xn) ardıcıllığının elementləridir> xn elementləri o qədər ixtiyari böyük ədədlə bu məhəlləyə düşür və bu, 6.7-ci tərifə görə, o deməkdir ki, b (n) ardıcıllığının həddi nöqtəsidir. Qeyd 0.2. 6.9 və 6.10 teoremləri həddi nöqtənin sonsuz olduğu halda da etibarlıdır, əgər U(6, 1 /n)-nin merto qonşuluğunu sübut edərkən qonşuluğu (yaxud məhəllələri) nəzərə alsaq). ardıcıllıqdan təcrid oluna bilər aşağıdakı teoremlə qurulur.Teorem 6.11 (Bolzano - Weierstrass).Hər bir məhdud ardıcıllıq sonlu həddə yaxınlaşan alt ardıcıllığı ehtiva edir.(an) ardıcıllığının bütün elementləri a və 6 ədədləri arasında olsun. , yəni xn € [a, b] Vn € N. [a , b] seqmentini yarıya bölün.Sonra onun yarısının heç olmasa birində ardıcıllığın sonsuz sayda elementi olacaq, çünki əks halda bütün seqment [a, b] onların sonlu sayını ehtiva edərdi, bu qeyri-mümkündür. ] ardıcıllığının sonsuz elementlər toplusunu (zn) ehtiva edən [a , 6] seqmentinin yarıları olsun (yaxud hər iki yarım belədirsə) , sonra onlardan hər hansı).Eləcə də ardıcıllığın sonsuz elementlər toplusunu ehtiva edən seqmentdən və s. Bu prosesi davam etdirərək, bn - an = (6- a)/2P ilə iç-içə seqmentlər sistemi quracağıq. Yuvalanmış seqmentlər prinsipinə əsasən, bütün bu seqmentlərə aid olan x nöqtəsi var. Bu nöqtə (xn) ardıcıllığı üçün məhdudiyyət nöqtəsi olacaq - Əslində, hər hansı bir e-qonşuluq U(x, e) = (xx + e) ​​x nöqtəsi üçün C U(x, e) seqmenti var (bu (sn) ardıcıllığının sonsuz sayda elementini ehtiva edən bərabərsizlikdən n-i seçmək kifayətdir. 6.7 tərifinə əsasən, x bu ardıcıllığın həddi nöqtəsidir. Sonra 6.9 teoreminə əsasən x nöqtəsinə yaxınlaşan bir alt ardıcıllıq var. Bu teoremin isbatında istifadə edilən (bəzən Bolzano-Veyer-Ştrass lemması da adlanır) və nəzərdən keçirilən seqmentlərin ardıcıl biseksiyası ilə bağlı olan mülahizə üsulu Bolzano metodu kimi tanınır. Bu teorem bir çox mürəkkəb teoremlərin isbatını xeyli asanlaşdırır. Bu, bir sıra əsas teoremləri fərqli (bəzən daha sadə) şəkildə sübut etməyə imkan verir. Əlavə 6.2. Weierstrass testinin və Koşi kriteriyasının sübutu Əvvəlcə 6.1-ci bəyanatı (məhdud monoton ardıcıllığın yaxınlaşması üçün Weierstrass testi) sübut edirik. Fərz edək ki, (jn) ardıcıllığı azalan deyil. Sonra onun qiymətlər çoxluğu yuxarıda məhdudlaşdırılır və 2.1 teoreminə görə, biz sup(xn) ilə işarə etdiyimiz yuxarıya malikdir. xətt Weierstrass testinin və Koşi meyarının sübutu. 6.1-ci tərifə uyğun olaraq azalmayan ardıcıllıq üçün və ya Sonra > Ny və (6.34) nəzərə alınmaqla, ardıcıllığın limitinin 6.3-cü tərifinə uyğun gələni əldə edirik, yəni. 31im(sn) və lim(xn) = 66R. Ardıcıllıq (xn) artan deyilsə, sübutun gedişi oxşardır. İndi gəlin ardıcıllığın yaxınlaşması üçün Kochia kriteriyasının yetərliliyini sübut etməyə davam edək (bax. Bəyanat 6.3), çünki meyar şərtinin zəruriliyi Teorem 6.7-dən irəli gəlir. Ardıcıllıq (jn) əsas olsun. 6.4-cü tərifə əsasən, ixtiyari € > 0 verildikdə, m^N və n^N-nin ifadə etdiyi N(lər) ədədi tapmaq olar. Sonra, m - N götürərək, Vn > N üçün € £ alırıq. Baxılan ardıcıllığın ədədləri N-dən çox olmayan sonlu sayda elementləri olduğundan (6.35) əsas ardıcıllığın məhdud olduğu (müqayisə üçün bax. konvergent ardıcıllığın məhdudluğu haqqında 6.2 teoreminin sübutu). Məhdud ardıcıllığın qiymətlər dəsti üçün infimum və yuxarı hədlər var (bax Teorem 2.1). n > N üçün element qiymətləri dəsti üçün biz bu üzləri müvafiq olaraq an = inf xn və bjy = sup xn işarələyirik. N artdıqca dəqiq infimum azalmır, dəqiq supremum isə artmır, yəni. . Mən kondisioner sistemi ala bilərəm? seqmentlər İç-içə seqmentlər prinsipinə əsasən, bütün seqmentlərə aid olan ümumi nöqtə var. Onu b ilə işarə edək. Beləliklə, müqayisə ilə (6. 36) və (6.37) nəticədə ardıcıllığın həddinin 6.3 tərifinə uyğun gələni əldə edirik, yəni. 31im(x„) və lim(sn) = 6 6 R. Bolzano fundamental ardıcıllıqları öyrənməyə başladı. Lakin onun həqiqi ədədlərin ciddi nəzəriyyəsi yox idi və buna görə də fundamental ardıcıllığın yaxınlaşmasını sübut edə bilmədi. Koşi bunu Cantorun sonradan əsaslandırdığı iç içə seqmentlər prinsipini təbii qəbul edərək etdi. Ardıcıllığın yaxınlaşması meyarına təkcə Koşi adı verilmir, həm də əsas ardıcıllığa çox vaxt Koşi ardıcıllığı deyilir və iç-içə seqmentlər prinsipi Kantorun adını daşıyır. Suallar və tapşırıqlar 8.1. Bunu sübut edin: 6.2. Q və R\Q çoxluqlarına aid elementləri olan konvergent olmayan ardıcıllıqlara nümunələr göstərin. 0.3. Arifmetik və həndəsi irəliləyişlərin şərtləri hansı şəraitdə azalan və artan ardıcıllıqlar əmələ gətirir? 6.4. Cədvəldən gələn əlaqələri sübut edin. 6.1. 6.5. Sonsuz +oo, -oo, oo nöqtələrinə meyl edən ardıcıllıq nümunələri və 6 € nöqtəsinə yaxınlaşan ardıcıllığın nümunəsini qurun R. c.v. Məhdudiyyətsiz ardıcıllıq b.b ola bilməzmi? Əgər belədirsə, onda bir nümunə verin. 7-də. Nə sonlu, nə də sonsuz həddi olmayan müsbət elementlərdən ibarət divergent ardıcıllığa nümunə qurun. 6.8. Təkrarlanan sn+i = sin(xn/2) düsturu ilə verilən (jn) ardıcıllığının “1 = 1” şərti ilə yaxınlaşmasını sübut edin. 6.9. Sübut edin ki, sn+i/xn-»g€ olarsa lim(xn)=09.

Seqmenti bölün [ a 0 ,b 0 ] iki bərabər seqmentə bölün. Yaranan seqmentlərdən ən azı birində ardıcıllığın sonsuz sayda şərtləri var. işarə edək [ a 1 ,b 1 ] .

Növbəti addımda proseduru [ seqmenti ilə təkrarlayacağıq. a 1 ,b 1 ]: onu iki bərabər seqmentə bölün və onlardan ardıcıllığın sonsuz sayda şərtlərinin yerləşdiyi birini seçin. işarə edək [ a 2 ,b 2 ] .

Prosesi davam etdirərək, iç-içə seqmentlərin ardıcıllığını əldə edirik

burada hər bir sonrakı əvvəlkinin yarısıdır və ardıcıllığın sonsuz sayda şərtlərini ehtiva edir ( x k } .

Seqmentlərin uzunluğu sıfıra meyllidir:

Yuvalanmış seqmentlərin Koşi-Kantor prinsipinə əsasən, bütün seqmentlərə aid olan tək nöqtə ξ var:

Hər seqmentdə tikinti ilə [a m ,b m ] ardıcıllığın sonsuz sayda şərtləri var. Gəlin ardıcıllıqla seçək

sayının artması şərtini müşahidə edərkən:

Sonra ardıcıllıq ξ nöqtəsinə yaxınlaşır. Bu, ξ-dən olan məsafənin onları ehtiva edən seqmentin uzunluğundan çox olmamasından irəli gəlir [a m ,b m ] , harada

İxtiyari ölçüdə fəza vəziyyətinə genişlənmə

Bolzano-Weierstrass teoremi ixtiyari ölçülü fəza vəziyyətinə asanlıqla ümumiləşdirilir.

Kosmosdakı nöqtələrin ardıcıllığı verilsin:

(aşağı indeks sıra üzvünün nömrəsi, yuxarı indeks koordinat nömrəsidir). Kosmosdakı nöqtələrin ardıcıllığı məhduddursa, koordinatların ədədi ardıcıllığının hər biri:

həm də məhduddur ( - koordinat nömrəsi).

Ardıcıllıqdan Bolzano-Weirstrass teoreminin birölçülü versiyasına görə ( x k) birinci koordinatları birləşən ardıcıllığı təşkil edən nöqtələrin alt ardıcıllığını seçə bilərik. Yaranan alt ardıcıllıqdan biz bir daha ikinci koordinat boyunca birləşən alt ardıcıllığı seçirik. Bu halda birinci koordinat üzrə yaxınlaşma qorunub saxlanılacaq, çünki konvergent ardıcıllığın hər bir sonrakı ardıcıllığı da yaxınlaşır. Və s.

sonra n müəyyən addımlar ardıcıllığı alırıq

-nin alt ardıcıllığıdır və koordinatların hər biri boyunca birləşir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bu alt ardıcıllıq birləşir.

Hekayə

Bolzano-Weierstrass teoremi (iş üçün n= 1) ilk dəfə 1817-ci ildə çex riyaziyyatçısı Bolzano tərəfindən sübut edilmişdir. Bolzanonun işində o, hazırda Bolzano-Koşi teoremi kimi tanınan fasiləsiz funksiyanın aralıq qiymətləri haqqında teoremin isbatında lemma kimi çıxış etmişdir. Lakin Bolzano tərəfindən Koşi və Veyerştrassdan çox əvvəl sübut edilmiş bu və digər nəticələr diqqətdən kənarda qaldı.

Yalnız yarım əsr sonra Weierstrass Bolzanodan asılı olmayaraq bu teoremi yenidən kəşf etdi və sübut etdi. Bolzanonun işi məlum və qəbul edilməzdən əvvəl əvvəlcə Weierstrass teoremi adlanırdı.

Bu gün bu teorem Bolzano və Weierstrassın adlarını daşıyır. Bu teorem tez-tez adlanır Bolzano-Weierstrass lemması, və bəzən limit nöqtəsi lemması.

Bolzano-Weierstrass teoremi və yığcamlıq anlayışı

Bolzano-Weierstrass teoremi məhdud çoxluğun aşağıdakı maraqlı xassəsini təyin edir: hər bir nöqtə ardıcıllığı M konvergent alt ardıcıllığı ehtiva edir.

Təhlildə müxtəlif müddəaları sübut edən zaman onlar tez-tez aşağıdakı texnikaya müraciət edirlər: hansısa arzu olunan xassəyə malik olan nöqtələr ardıcıllığını müəyyən edir, sonra ondan ona da malik olan, lakin artıq konvergent olan alt ardıcıllığı seçirlər. Məsələn, Weierstrass teoremi belə sübut olunur ki, intervalda davamlı funksiya məhduddur və onun ən böyük və ən kiçik qiymətlərini alır.

Ümumiyyətlə belə bir texnikanın effektivliyi, həmçinin Weierstrass teoremini ixtiyari metrik fəzalara genişləndirmək istəyi fransız riyaziyyatçısı Moris Freşeni 1906-cı ildə konsepsiyanı təqdim etməyə sövq etdi. kompaktlıq. Bolzano-Weierstrass teoremi ilə müəyyən edilmiş məhdud çoxluqların xassəsi, obrazlı desək, çoxluğun nöqtələrinin kifayət qədər "yaxın" və ya "yığcam" yerləşməsidir: bu çoxluq boyunca sonsuz sayda addım ataraq, əlbəttə ki, kosmosda hansısa bir nöqtəyə istədiyimiz qədər yaxınlaşırıq.

Frechet aşağıdakı tərifi təqdim edir: set Mçağırdı yığcam, və ya yığcam, əgər onun nöqtələrinin hər bir ardıcıllığı bu çoxluğun hansısa nöqtəsinə yaxınlaşan alt ardıcıllığı ehtiva edirsə. Çəkiliş meydançasında olduğu güman edilir M metrik müəyyən edilir, yəni odur

Tərif 1. Sonsuz xəttin x nöqtəsi, əgər bu nöqtənin hər hansı e-qonşuluğunda (x n) ardıcıllığının sonsuz sayda elementi varsa, ardıcıllığın (x n) həddi nöqtəsi adlanır.

Lemma 1.Əgər x ardıcıllığın (x k ) həddi nöqtəsidirsə, onda bu ardıcıllıqdan x ədədinə yaxınlaşan alt ardıcıllığı (x n k ) seçə bilərik.

Şərh.Əks bəyanat da doğrudur. Əgər (x k) ardıcıllığından x ədədinə yaxınlaşan alt ardıcıllığı seçmək mümkündürsə, onda x rəqəmi (x k) ardıcıllığın həddi nöqtəsidir. Həqiqətən də, x nöqtəsinin istənilən e-qonşuluğunda alt ardıcıllığın və deməli, ardıcıllığın özünün (x k) sonsuz sayda elementləri mövcuddur.

Lemma 1-dən belə çıxır ki, biz 1-ci tərifə ekvivalent olan ardıcıllığın həddi nöqtəsinin başqa tərifini verə bilərik.

Tərif 2. Sonsuz xəttin x nöqtəsi ardıcıllığın həddi nöqtəsi adlanır (x k ), əgər bu ardıcıllıqdan x-ə yaxınlaşan alt ardıcıllığı seçmək mümkündürsə.

Lemma 2. Hər bir konvergent ardıcıllığın yalnız bir sərhəd nöqtəsi var ki, bu da həmin ardıcıllığın həddi ilə üst-üstə düşür.

Şərh. Ardıcıllıq birləşirsə, Lemma 2 ilə yalnız bir limit nöqtəsinə malikdir. Bununla belə, əgər (xn) konvergent deyilsə, onda onun bir neçə həddi nöqtəsi ola bilər (və ümumiyyətlə, sonsuz sayda həddi). Məsələn, göstərək ki, (1+(-1) n ) iki hədd nöqtəsinə malikdir.

Həqiqətən də, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... 0 və 2 iki hədd nöqtəsinə malikdir, çünki bu ardıcıllığın (0)=0,0,0,... və (2)=2,2,2,... alt ardıcıllıqları müvafiq olaraq 0 və 2 rəqəmlərinin hədlərinə malikdir.Bu ardıcıllığın başqa həddi nöqtələri yoxdur. Doğrudan da, x rəqəmlər oxunun 0 və 2 nöqtələrindən başqa istənilən nöqtəsi olsun. Gəlin e >0 götürək.

kiçik ki, e - 0, x və 2 nöqtələrinin məhəllələri kəsişməsin. 0 və 2-ci nöqtələrin e-qonşuluğu ardıcıllığın bütün elementlərini ehtiva edir və buna görə də x nöqtəsinin e-qonşuluğu sonsuz sayda elementi (1+(-1) n ) ehtiva edə bilməz və buna görə də bu ardıcıllığın həddi nöqtəsi deyil.

Teorem. Hər bir məhdud ardıcıllığın ən azı bir limit nöqtəsi var.

Şərh.-dən çox olan x rəqəmi (x n) ardıcıllığın məhdudlaşdırıcı nöqtəsidir, yəni. - ardıcıllığın ən böyük həddi nöqtəsi (x n).

X -dən böyük olan istənilən ədəd olsun. Gəlin e>0 seçək ki, o qədər kiçik olsun

və x 1 О(x), x 1-in sağında ardıcıllığın sonlu sayda elementləri var (x n) və ya heç biri yoxdur, yəni. x ardıcıllığın (x n) həddi nöqtəsi deyil.

Tərif. Ardıcıllığın ən böyük həddi nöqtəsi (x n) ardıcıllığın yuxarı həddi adlanır və simvolla işarələnir. Qeyddən belə çıxır ki, hər bir məhdud ardıcıllığın yuxarı həddi var.

Eynilə, aşağı hədd anlayışı təqdim olunur (ardıcıllığın ən kiçik həddi nöqtəsi (x n ) kimi).

Beləliklə, aşağıdakı ifadəni sübut etdik. Hər bir məhdud ardıcıllığın yuxarı və aşağı hədləri var.

Aşağıdakı teoremi sübutsuz tərtib edək.

Teorem.(x n) ardıcıllığının yaxınlaşması üçün onun məhdud olması, yuxarı və aşağı hədlərinin üst-üstə düşməsi zəruri və kifayətdir.

Bu bölmənin nəticələri Bolzano-Weierstrassın aşağıdakı əsas teoreminə gətirib çıxarır.

Bolzano-Weierstrass teoremi.İstənilən məhdud ardıcıllıqdan konvergent alt ardıcıllığı seçmək olar.

Sübut. Ardıcıllıq (x n ) məhdud olduğundan, ən azı bir x həddi nöqtəsinə malikdir. Sonra bu ardıcıllıqdan x nöqtəsinə yaxınlaşan alt ardıcıllığı seçə bilərik (məhdud nöqtənin 2-ci tərifindən sonra).

Şərh.İstənilən məhdud ardıcıllıqdan monoton konvergent ardıcıllığı təcrid etmək olar.