Törəməni kim təqdim etdi? Törəmə nədir?Törəmə funksiyanın tərifi və mənası. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənası
B9 məsələsi aşağıdakı kəmiyyətlərdən birini təyin etməli olduğunuz funksiyanın və ya törəmənin qrafikini verir:
- X 0 nöqtəsində törəmənin dəyəri,
- Maksimum və ya minimum xal (ekstremum xal),
- Artan və azalan funksiyaların intervalları (monotonluq intervalları).
Bu problemdə təqdim olunan funksiyalar və törəmələr həmişə davamlıdır və həllini xeyli asanlaşdırır. Tapşırığın bölməyə aid olmasına baxmayaraq riyazi analiz, hətta ən zəif tələbələrin imkanları daxilindədir, çünki burada dərin nəzəri bilik tələb olunmur.
Törəmə, ekstremum nöqtələri və monotonluq intervallarının dəyərini tapmaq üçün sadə və universal alqoritmlər var - bunların hamısı aşağıda müzakirə olunacaq.
Axmaq səhvlərə yol verməmək üçün B9 probleminin şərtlərini diqqətlə oxuyun: bəzən kifayət qədər uzun mətnlərlə rastlaşırsınız, lakin həllin gedişatına təsir edən bir neçə vacib şərt var.
Törəmə dəyərinin hesablanması. İki nöqtəli üsul
Əgər məsələyə x 0 nöqtəsində bu qrafikə tangens olan f(x) funksiyasının qrafiki verilirsə və bu nöqtədə törəmənin qiymətini tapmaq tələb olunursa, aşağıdakı alqoritm tətbiq edilir:
- Tangens qrafikində iki “adekvat” nöqtəni tapın: onların koordinatları tam ədəd olmalıdır. Bu nöqtələri A (x 1 ; y 1) və B (x 2 ; y 2) kimi işarə edək. Koordinatları düzgün yazın - bu həllin əsas nöqtəsidir və burada hər hansı bir səhv səhv cavaba səbəb olacaqdır.
- Koordinatları bilməklə Δx = x 2 − x 1 arqumentinin artımını və Δy = y 2 − y 1 funksiyasının artımını hesablamaq asandır.
- Nəhayət, D = Δy/Δx törəməsinin qiymətini tapırıq. Başqa sözlə, funksiyanın artımını arqumentin artımına bölmək lazımdır - və bu cavab olacaq.
Bir daha qeyd edək: A və B nöqtələri tez-tez olduğu kimi f(x) funksiyasının qrafikində deyil, dəqiq tangensdə axtarılmalıdır. Tangens xətti mütləq ən azı iki belə nöqtəni ehtiva edəcəkdir - əks halda problem düzgün tərtib edilməyəcəkdir.
A (−3; 2) və B (−1; 6) nöqtələrini nəzərdən keçirin və artımları tapın:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Törəmənin qiymətini tapaq: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tapşırıq. Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və absis x 0 olan nöqtədə ona toxunan təsvir verilmişdir. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın.
A (0; 3) və B (3; 0) nöqtələrini nəzərdən keçirin, artımları tapın:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
İndi törəmənin qiymətini tapırıq: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tapşırıq. Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və absis x 0 olan nöqtədə ona toxunan təsvir verilmişdir. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın.
A (0; 2) və B (5; 2) nöqtələrini nəzərdən keçirin və artımları tapın:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Törəmənin qiymətini tapmaq qalır: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Sonuncu misaldan bir qayda tərtib edə bilərik: əgər tangens OX oxuna paraleldirsə, toxunma nöqtəsində funksiyanın törəməsi sıfırdır. Bu vəziyyətdə heç bir şeyi saymağa belə ehtiyac yoxdur - sadəcə qrafikə baxın.
Maksimum və minimum balların hesablanması
Bəzən B9 məsələsi funksiyanın qrafiki əvəzinə törəmənin qrafikini verir və funksiyanın maksimum və ya minimum nöqtəsinin tapılmasını tələb edir. Bu vəziyyətdə iki nöqtəli üsul faydasızdır, lakin başqa, daha sadə bir alqoritm var. Əvvəlcə terminologiyanı müəyyən edək:
- Bu nöqtənin hansısa qonşuluğunda aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilirsə, x 0 nöqtəsi f(x) funksiyasının maksimum nöqtəsi adlanır: f(x 0) ≥ f(x).
- Bu nöqtənin hansısa qonşuluğunda aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilirsə, x 0 nöqtəsi f(x) funksiyasının minimum nöqtəsi adlanır: f(x 0) ≤ f(x).
Törəmə qrafikindən maksimum və minimum xalları tapmaq üçün bu addımları yerinə yetirmək kifayətdir:
- Bütün lazımsız məlumatları çıxararaq törəmə qrafiki yenidən çəkin. Təcrübə göstərir ki, lazımsız məlumatlar yalnız qərara müdaxilə edir. Buna görə də, koordinat oxunda törəmənin sıfırlarını qeyd edirik - vəssalam.
- Sıfırlar arasındakı intervallarda törəmənin əlamətlərini tapın. Əgər hansısa x 0 nöqtəsi üçün f'(x 0) ≠ 0 olduğu məlumdursa, onda yalnız iki variant mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 və ya f'(x 0) ≤ 0. Törəmə işarəsi belədir. orijinal çertyojdan asanlıqla müəyyən etmək olar: törəmə qrafiki OX oxundan yuxarıda yerləşirsə, onda f'(x) ≥ 0. Və əksinə, törəmə qrafik OX oxundan aşağıda yerləşirsə, f'(x) ≤ 0.
- Törəmənin sıfırlarını və işarələrini yenidən yoxlayırıq. İşarənin mənfidən artıya dəyişdiyi yer minimum nöqtədir. Əksinə, törəmənin işarəsi artıdan mənfiyə dəyişirsə, bu maksimum nöqtədir. Sayma həmişə soldan sağa aparılır.
Bu sxem yalnız davamlı funksiyalar üçün işləyir - Problem B9-da başqaları yoxdur.
Tapşırıq. Şəkildə f(x) funksiyasının [−5” intervalında təyin edilmiş törəməsinin qrafiki göstərilir; 5]. Bu seqmentdə f(x) funksiyasının minimum nöqtəsini tapın.
Gəlin lazımsız məlumatlardan xilas olaq və yalnız sərhədləri tərk edək [−5; 5] və x = −3 və x = 2 törəməsinin sıfırları. İşarələri də qeyd edirik:
Aydındır ki, x = −3 nöqtəsində törəmənin işarəsi mənfidən artıya dəyişir. Bu minimum nöqtədir.
Tapşırıq. Şəkildə f(x) funksiyasının [−3” intervalında təyin edilmiş törəməsinin qrafiki göstərilir; 7]. Bu seqmentdə f(x) funksiyasının maksimum nöqtəsini tapın.
Yalnız sərhədləri qoyaraq qrafiki yenidən çəkək [−3; 7] və x = −1.7 və x = 5 törəməsinin sıfırları. Əldə edilən qrafikdə törəmənin işarələrini qeyd edək. Bizdə:
Aydındır ki, x = 5 nöqtəsində törəmənin işarəsi artıdan mənfiyə dəyişir - bu maksimum nöqtədir.
Tapşırıq. Şəkildə f(x) funksiyasının [−6” intervalında təyin edilmiş törəməsinin qrafiki göstərilir; 4]. f(x) funksiyasının [−4] seqmentinə aid olan maksimum nöqtələrinin sayını tapın; 3].
Məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, qrafikin yalnız seqmentlə məhdudlaşan hissəsini nəzərdən keçirmək kifayətdir [−4; 3]. Buna görə də, biz yalnız sərhədləri qeyd etdiyimiz yeni bir qrafik qururuq [−4; 3] və onun içindəki törəmənin sıfırları. Yəni x = −3.5 və x = 2 nöqtələri. Alırıq:
Bu qrafikdə yalnız bir maksimum x = 2 nöqtəsi var. Məhz bu nöqtədə törəmənin işarəsi artıdan mənfiyə dəyişir.
Tam olmayan koordinatları olan nöqtələr haqqında kiçik bir qeyd. Məsələn, sonuncu məsələdə x = −3,5 nöqtəsi nəzərdən keçirildi, lakin eyni müvəffəqiyyətlə x = −3,4 ala bilərik. Problem düzgün tərtib edilərsə, bu cür dəyişikliklər cavaba təsir etməməlidir, çünki "sabit yaşayış yeri olmayan" nöqtələr problemin həllində birbaşa iştirak etmir. Təbii ki, bu hiylə tam ədədlərlə işləməyəcək.
Artan və azalan funksiyaların intervallarının tapılması
Belə bir problemdə maksimum və minimum nöqtələr kimi, funksiyanın özünün artdığı və ya azaldığı sahələri tapmaq üçün törəmə qrafikdən istifadə etmək təklif olunur. Əvvəlcə artan və azalanların nə olduğunu müəyyən edək:
- Bu seqmentdən hər hansı iki x 1 və x 2 nöqtəsi üçün aşağıdakı müddəa doğru olarsa, f(x) funksiyası seqmentdə artan deyilir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Başqa sözlə, arqument dəyəri nə qədər böyükdürsə, funksiya dəyəri də bir o qədər böyükdür.
- Bu seqmentdən hər hansı iki x 1 və x 2 nöqtəsi üçün aşağıdakı müddəa doğru olarsa, f(x) funksiyası seqmentdə azalan deyilir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Bunlar. Daha böyük arqument dəyəri daha kiçik funksiya dəyərinə uyğundur.
Artırma və azalma üçün kifayət qədər şərtləri formalaşdıraq:
- Üçün davamlı funksiya seqmentdə f(x) artır, onun seqment daxilində törəməsinin müsbət olması kifayətdir, yəni. f’(x) ≥ 0.
- Davamlı f(x) funksiyasının seqmentdə azalması üçün onun seqment daxilində törəməsinin mənfi olması kifayətdir, yəni. f’(x) ≤ 0.
Gəlin bu ifadələri dəlilsiz qəbul edək. Beləliklə, bir çox cəhətdən ekstremum nöqtələrinin hesablanması alqoritminə bənzəyən artan və azalma intervallarını tapmaq üçün bir sxem əldə edirik:
- Bütün lazımsız məlumatları silin. Törəmənin orijinal qrafikində bizi ilk növbədə funksiyanın sıfırları maraqlandırır, ona görə də yalnız onları tərk edəcəyik.
- Törəmə əlamətlərini sıfırlar arasındakı intervallarda qeyd edin. f’(x) ≥ 0 olduqda funksiya artır, f’(x) ≤ 0 olduqda isə azalır. Problem x dəyişəninə məhdudiyyətlər qoyursa, biz onları əlavə olaraq yeni qrafikdə qeyd edirik.
- İndi funksiyanın davranışını və məhdudiyyətləri bildiyimizə görə, problemdə tələb olunan kəmiyyəti hesablamaq qalır.
Tapşırıq. Şəkildə f(x) funksiyasının [−3” intervalında təyin edilmiş törəməsinin qrafiki göstərilir; 7.5]. f(x) funksiyasının azalma intervallarını tapın. Cavabınızda bu intervallara daxil olan tam ədədlərin cəmini göstərin.
Həmişə olduğu kimi, qrafiki yenidən çəkək və sərhədləri qeyd edək [−3; 7.5], həmçinin x = −1.5 və x = 5.3 törəməsinin sıfırları. Sonra törəmənin əlamətlərini qeyd edirik. Bizdə:
Törəmə (− 1.5) intervalında mənfi olduğu üçün bu, azalan funksiya intervalıdır. Bu intervalın daxilində olan bütün tam ədədləri toplamaq qalır:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tapşırıq. Şəkildə f(x) funksiyasının [−10” intervalında təyin edilmiş törəməsinin qrafiki göstərilir; 4]. f(x) funksiyasının artım intervallarını tapın. Cavabınızda onlardan ən böyüyünün uzunluğunu göstərin.
Gəlin lazımsız məlumatlardan xilas olaq. Yalnız sərhədləri tərk edək [−10; 4] və törəmənin sıfırları, onlardan bu dəfə dörd idi: x = −8, x = −6, x = −3 və x = 2. Törəmə işarələrini qeyd edək və aşağıdakı şəkli əldə edək:
Biz artan funksiyanın intervalları ilə maraqlanırıq, yəni. f’(x) ≥ 0. Qrafikdə iki belə interval var: (−8; −6) və (−3; 2). Onların uzunluqlarını hesablayaq:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Fasilələrin ən böyüyünün uzunluğunu tapmaq lazım olduğundan, cavab olaraq l 2 = 5 qiymətini yazırıq.
Funksiya bir nöqtədə və onun qonşuluğunda müəyyən edilsin. Arqumentə elə bir artım verək ki, nöqtə funksiyanın təyini sahəsinə düşsün. Bundan sonra funksiya artırılacaq.
TƏrif. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi funksiyanın bu nöqtədəki artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, at (əgər bu hədd mövcuddursa və sonludursa), yəni.
İşarə edin: ,,,.
Sağdakı nöqtədə funksiyanın törəməsi (sol) çağırdı
(əgər bu limit mövcuddursa və sonludursa).
Təyin olunur: , – sağdakı nöqtədə törəmə,
, soldakı nöqtədə törəmədir.
Aydındır ki, aşağıdakı teorem doğrudur.
TEOREM. Funksiyanın bir nöqtədə törəməsi o halda olur ki, bu nöqtədə funksiyanın sağ və sol tərəfdəki törəmələri mövcud olsun və bir-birinə bərabər olsun. Üstəlik
Aşağıdakı teorem bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin mövcudluğu ilə bu nöqtədə funksiyanın davamlılığı arasında əlaqə qurur.
TEOREM (bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin olması üçün zəruri şərt). Əgər funksiyanın bir nöqtədə törəməsi varsa, bu nöqtədəki funksiya davamlıdır.
SÜBUT
Qoy var olsun. Sonra
,
sonsuz kiçik haradadır.
Şərh
funksiyanın törəməsi və işarə edir
funksiyanın diferensiallaşdırılması .
HƏNDƏSİ VƏ FİZİKİ MƏNA
1) Törəmənin fiziki mənası. Əgər funksiya və onun arqumentləri olarsa fiziki kəmiyyətlər, onda törəmə dəyişənin bir nöqtədə dəyişənə nisbətən dəyişmə sürətidir. Məsələn, zaman nöqtəsinin qət etdiyi məsafədirsə, onun törəməsi zaman anındakı sürətdir. Əgər anında keçiricinin kəsişməsindən axan elektrik miqdarıdırsa, o zaman elektrik enerjisinin miqdarının bir anda dəyişmə sürəti, yəni. bir anda cari güc.
2) Törəmənin həndəsi mənası.
Bir az əyri olsun, əyri üzərində bir nöqtə olsun. 
Ən azı iki nöqtəni kəsən istənilən düz xətt deyilir sekant .
Bir nöqtədə əyriyə toxunan bir əyri boyunca hərəkət edən nöqtə meyl edirsə, sekantın limit mövqeyi adlanır.
Tərifdən aydın olur ki, əyriyə toxunan bir nöqtədə mövcuddursa, o, yeganədir.
Bir əyri (yəni funksiyanın qrafiki) nəzərdən keçirin. Bir nöqtədə şaquli olmayan tangens olsun. Onun tənliyi: (nöqtədən keçən və bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi). 
Yamacın tərifinə görə
düz xəttin oxa meyl bucağı haradadır.
Sekantın oxa meyl bucağı olsun, burada. Bir tangens olduğundan, nə vaxt
Beləliklə,
Beləliklə, biz bunu əldə etdik – nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı(nöqtədə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənası). Buna görə də bir nöqtədə əyriyə toxunan tənliyi formada yazmaq olar
Şərh . Nöqtədə əyriyə çəkilmiş tangensə perpendikulyar nöqtədən keçən düz xətt deyilir nöqtədəki əyriyə normaldır . Perpendikulyar düz xətlərin bucaq əmsalları əlaqə ilə əlaqəli olduğundan, bir nöqtədə əyriyə normalın tənliyi formaya sahib olacaqdır.
, Əgər .
Əgər olarsa, onda nöqtədəki əyriyə toxunan formaya sahib olacaqdır
və normal.
TƏNGENT VƏ NORMAL TƏNLİKLƏR
Tangens tənliyi
Funksiya tənliklə verilsin y=f(x), tənliyi yazmalısınız tangens nöqtədə x 0. Törəmə tərifindən:
y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x
Δ y=f(x+Δ x)−f(x).
tənlik tangens funksiya qrafikinə: y=kx+b (k,b=const). Törəmənin həndəsi mənasından: f/(x 0)=tgα= kÇünki x 0 və f(x 0)∈ düz xətt, sonra tənlik tangens kimi yazılır: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) və ya
y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.
Normal tənlik
Normal-ə perpendikulyardır tangens(şəkilə bax). Buna əsaslanaraq:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)
Çünki normalın meyl bucağı β1 bucağıdır, onda bizdə:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).
Nöqtə ( x 0,f(x 0))∈ normal, tənlik formasını alır:
y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).
SÜBUT
Qoy var olsun. Sonra
,
sonsuz kiçik haradadır.
Amma bu o deməkdir ki, o, bir nöqtədə davamlıdır (fasiləsizliyin həndəsi tərifinə bax). ∎
Şərh . Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı bu funksiyanın bir nöqtədə törəməsinin mövcudluğu üçün kifayət qədər şərt deyil. Məsələn, funksiya davamlıdır, lakin bir nöqtədə törəməsi yoxdur. Həqiqətən,
və buna görə də mövcud deyil.
Aydındır ki, yazışma bəzi çoxluqda müəyyən edilmiş funksiyadır. Onu çağırırlar funksiyanın törəməsi və işarə edir
Bir funksiyanın törəmə funksiyasını tapmaq əməliyyatı adlanır funksiyanın diferensiallaşdırılması .
Cəm və fərqin törəməsi
Törəmələri bizə məlum olan f(x) və g(x) funksiyaları verilsin. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:
(f + g)' = f ' + g '
(f - g)' = f ' - g '
Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Məsələn, (f + g + h)' = f' + g' + h'.
Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də, f − g fərqi f + (−1) g cəmi kimi yenidən yazıla bilər və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.
Məqalənin məzmunu
TÖRƏVVƏ– funksiyanın törəməsi y = f(x), müəyyən intervalda verilir ( a, b) nöqtəsində x bu intervalın funksiya artımının nisbətinin meyl etdiyi hədd adlanır f bu nöqtədə arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə arqumentin müvafiq artımına.
Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir:
Digər təyinatlar da geniş istifadə olunur:
Ani sürət.
Qoy nöqtə olsun M düz bir xətt üzrə hərəkət edir. Məsafə s hərəkət nöqtəsi, bəzi başlanğıc mövqedən sayılır M 0 , zamandan asılıdır t, yəni. s zaman funksiyası var t: s= f(t). Zamanın bir nöqtəsində icazə verin t hərəkət nöqtəsi M məsafədə idi s başlanğıc mövqeyindən M 0 və növbəti anda t+D t mövqedə tapdı M 1 - məsafədə s+D s ilkin mövqedən ( şəklə bax.).
Beləliklə, müəyyən müddət ərzində D t məsafə s D məbləği ilə dəyişdirildi s. Bu halda deyirlər ki, D vaxt intervalında t böyüklük s artım D s.
Orta sürət bütün hallarda nöqtənin hərəkət sürətini dəqiq xarakterizə edə bilməz M zamanın bir nöqtəsində t. Əgər, məsələn, D intervalının əvvəlində bədən tçox tez hərəkət etdi və sonunda çox yavaş, onda orta sürət nöqtənin hərəkətinin göstərilən xüsusiyyətlərini əks etdirə bilməyəcək və hazırda onun hərəkətinin əsl sürəti haqqında fikir verə bilməyəcək. t. Orta sürətdən istifadə edərək həqiqi sürəti daha dəqiq ifadə etmək üçün daha qısa D vaxtını götürməlisiniz t. Bu anda bir nöqtənin hərəkət sürətini ən tam şəkildə xarakterizə edir t orta sürətin D-də meyl etdiyi hədd t® 0. Bu hədd cari sürət adlanır:
Beləliklə, verilmiş andakı hərəkət sürəti yolun artım nisbətinin həddi D adlanır s zaman artımı D t, zaman artımı sıfıra meyl etdikdə. Çünki
Törəmənin həndəsi mənası. Funksiya qrafikinə tangens.
Tangens xətlərinin qurulması diferensial hesabın yaranmasına səbəb olan problemlərdən biridir. Leybniz tərəfindən yazılmış diferensial hesabla bağlı ilk nəşr olunmuş əsər başlıqlı idi Nə kəsr, nə də irrasional kəmiyyətlərin maneə törətmədiyi maksimum və minimumların, eləcə də tangenslərin yeni üsulu və bunun üçün xüsusi hesablama növü..
Əyri funksiyanın qrafiki olsun y =f(x) düzbucaqlı koordinat sistemində ( santimetr. düyü.).
Bəzi dəyərdə x funksiyası vacibdir y =f(x). Bu dəyərlər x Və yəyridəki nöqtə uyğun gəlir M 0(x, y). Əgər mübahisə x vermək artım D x, sonra arqumentin yeni dəyəri x+D x yeni funksiya dəyərinə uyğundur y+ D y = f(x + D x). Əyrinin müvafiq nöqtəsi nöqtə olacaqdır M 1(x+D x,y+D y). Bir sekant çəkirsinizsə M 0M 1 və j ilə işarələnir oxun müsbət istiqaməti ilə eninə ilə əmələ gələn bucaq öküz, rəqəmdən dərhal aydın olur ki .
Əgər indi D x sıfıra, sonra nöqtəyə meyl edir M 1 nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edir M 0 və bucaq j D ilə dəyişir x. At Dx® 0 j bucağı müəyyən a limitinə və nöqtədən keçən düz xəttə meyl edir M 0 və x oxunun müsbət istiqaməti olan komponent a bucağı istənilən tangens olacaqdır. Onun mailliyi:
Beləliklə, f´( x) = tga
olanlar. törəmə dəyər f´( x) verilmiş arqument dəyəri üçün x funksiyanın qrafikinə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabərdir f(x) müvafiq nöqtədə M 0(x,y) müsbət oxu istiqaməti ilə öküz.
Funksiyaların diferensiallığı.
Tərif. Əgər funksiyası y = f(x) nöqtəsində törəmə var x = x 0, onda funksiya bu nöqtədə diferensiallana bilər.
Törəmə olan funksiyanın davamlılığı. Teorem.
Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə diferensiallaşır x = x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.
Beləliklə, funksiyanın kəsilmə nöqtələrində törəməsi ola bilməz. Əks nəticə yanlışdır, yəni. ki, nə vaxtsa x = x 0 funksiyası y = f(x) davamlı olması o demək deyil ki, bu nöqtədə diferensiallaşır. Məsələn, funksiya y = |x| hər kəs üçün davamlı x(–Ґ x x = 0-ın törəməsi yoxdur. Bu nöqtədə qrafikə toxunan yoxdur. Sağ və sol tangens var, lakin üst-üstə düşmür.
Diferensiallanan funksiyalar haqqında bəzi teoremlər. Törəmənin kökləri haqqında teorem (Rol teoremi).Əgər funksiyası f(x) seqmentdə davamlıdır [a,b], bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində və uclarında fərqlənir x = a Və x = b sıfıra gedir ( f(a) = f(b) = 0), sonra seqment daxilində [ a,b] ən azı bir nöqtə var x= ilə, a c b, hansı törəmə fў( x) sıfıra gedir, yəni. fў( c) = 0.
Sonlu artım teoremi (Laqranj teoremi).Əgər funksiyası f(x) [ intervalında davamlıdır a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində, sonra seqmentin daxilində [[ a, b] ən azı bir nöqtə var ilə, a c b ki
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
İki funksiyanın artımlarının nisbəti haqqında teorem (Koşi teoremi).Əgər f(x) Və g(x) – seqmentdə davamlı iki funksiya [a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində diferensiallana bilir və gў( x) bu seqmentin daxilində, sonra seqmentin daxilində heç bir yerdə yox olmur. a, b] belə bir məqam var x = ilə, a c b ki
Müxtəlif sifarişlərin törəmələri.
Qoy funksiya olsun y =f(x) müəyyən intervalda diferensiallaşır [ a, b]. Törəmə dəyərlər f ў( x), ümumiyyətlə, asılıdır x, yəni. törəmə f ў( x) də funksiyasıdır x. Bu funksiyanı diferensiallaşdırarkən, funksiyanın ikinci törəməsi deyilən şeyi əldə edirik f(x), işarələnmişdir f ўў ( x).
törəmə n- funksiya sırası f(x) törəmənin (birinci dərəcəli) törəməsi adlanır n- 1- th və simvolu ilə işarələnir y(n) = (y(n– 1))ў.
Müxtəlif sifarişlərin diferensialları.
Funksiya diferensialı y = f(x), Harada x– müstəqil dəyişən, bəli dy = f ў( x)dx, -dən bəzi funksiyalar x, amma dan x yalnız birinci amil asılı ola bilər f ў( x), ikinci amil ( dx) müstəqil dəyişənin artımıdır x və bu dəyişənin qiymətindən asılı deyil. Çünki dy-dən bir funksiya var x, onda biz bu funksiyanın diferensialını təyin edə bilərik. Funksiyanın diferensialının diferensialına bu funksiyanın ikinci və ya ikinci dərəcəli diferensialı deyilir və işarə olunur. d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferensial n- birinci dərəcəli diferensialın birinci diferensialı adlanır n- 1- ci sifariş:
d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).
Qismən törəmə.
Əgər funksiya birdən deyil, bir neçə arqumentdən asılıdırsa x i(i 1-dən dəyişir n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), sonra diferensial hesablamada yalnız bir arqument dəyişdikdə bir neçə dəyişən funksiyasının dəyişmə sürətini xarakterizə edən qismən törəmə anlayışı təqdim olunur, məsələn, x i. ilə bağlı 1-ci dərəcəli qismən törəmə x i adi törəmə kimi müəyyən edilir və istisna olmaqla bütün arqumentlərin olduğu güman edilir x i, sabit dəyərləri saxlayın. Qismən törəmələr üçün qeyd daxil edilir
Bu şəkildə müəyyən edilmiş 1-ci dərəcəli qismən törəmələr (eyni arqumentlərin funksiyaları kimi) öz növbəsində qismən törəmələrə də malik ola bilər, bunlar ikinci dərəcəli qismən törəmələrdir və s. Müxtəlif arqumentlərdən götürülmüş belə törəmələrə qarışıq deyilir. Eyni tərtibli davamlı qarışıq törəmələr diferensiasiya qaydasından asılı deyil və bir-birinə bərabərdir.
Anna Çuqaynova
(\large\bf funksiyanın törəməsi)
Funksiyanı nəzərdən keçirin y=f(x), intervalda göstərilmişdir (a, b). Qoy x- intervalın istənilən sabit nöqtəsi (a, b), A Δx- dəyəri olan ixtiyari bir ədəd x+Δx intervalına da aiddir (a, b). Bu nömrə Δx arqument artımı adlanır.
Tərif. Funksiya artımı y=f(x) nöqtədə x, arqument artımına uyğundur Δx, nömrəyə zəng edək
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Biz buna inanırıq Δx ≠ 0. Verilmiş sabit nöqtədə düşünün x bu nöqtədə funksiya artımının müvafiq arqument artımına nisbəti Δx
Bu əlaqəni fərq əlaqəsi adlandıracağıq. Dəyərdən bəri x sabit hesab edirik, fərq nisbəti arqumentin funksiyasıdır Δx. Bu funksiya bütün arqument dəyərləri üçün müəyyən edilmişdir Δx, nöqtənin kifayət qədər kiçik bir məhəlləsinə aiddir Δx=0, nöqtənin özü istisna olmaqla Δx=0. Beləliklə, göstərilən funksiyanın limitinin mövcudluğu məsələsini nəzərdən keçirmək hüququmuz var Δx → 0.
Tərif. Funksiya törəməsi y=f(x) müəyyən bir nöqtədə x limiti çağırıb Δx → 0 fərq nisbəti, yəni
Bir şərtlə ki, bu limit mövcud olsun.
Təyinat. y′(x) və ya f'(x).
Törəmənin həndəsi mənası: Funksiyanın törəməsi f(x) Bu nöqtədə x ox arasındakı bucağın tangensinə bərabərdir öküz və müvafiq nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə bir tangens:
f′(x 0) = \tgα.
Törəmənin mexaniki mənası: Zamana görə yolun törəməsi nöqtənin düzxətli hərəkət sürətinə bərabərdir:
Xəttə toxunan tənliyi y=f(x) nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0) formasını alır
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Bir nöqtədə əyrinin normalı eyni nöqtədəki tangensə perpendikulyardır. Əgər f′(x 0)≠ 0, sonra normalın xəttin tənliyi y=f(x) nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0) belə yazılır:
Funksiyanın diferensiallığı anlayışı
Qoy funksiya olsun y=f(x) müəyyən intervalda müəyyən edilir (a, b), x- bu intervaldan bəzi sabit arqument dəyəri, Δx- arqumentin arqumentin dəyərinə bərabər olan hər hansı artımı x+Δx ∈ (a, b).
Tərif. Funksiya y=f(x) müəyyən bir nöqtədə diferensiallanan adlanır x, artım olarsa Δy nöqtədə bu funksiya x, arqument artımına uyğundur Δx, şəklində təmsil oluna bilər
Δy = A Δx +αΔx,
Harada A- bəzi ədədlərdən asılı olmayaraq Δx, A α - arqument funksiyası Δx, bu da sonsuz kiçikdir Δx→ 0.
İki sonsuz kiçik funksiyanın məhsulu olduğundan αΔx sonsuz kiçikdir yüksək sifariş, Necə Δx(3 sonsuz kiçik funksiyanın xassəsi), onda yaza bilərik:
Δy = A Δx +o(Δx).
Teorem. Funksiya üçün y=f(x) müəyyən bir nöqtədə diferensiallaşdı x, bu nöqtədə onun sonlu törəməsi olması zəruri və kifayətdir. Harada A=f′(x), yəni
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Törəmə tapmaq əməliyyatı adətən diferensiallaşdırma adlanır.
Teorem. Əgər funksiyası y=f(x) x, onda bu nöqtədə davamlıdır.
Şərh. Funksiyanın davamlılığından y=f(x) Bu nöqtədə x, ümumiyyətlə desək, funksiyanın diferensiallığı izlənmir f(x) Bu nöqtədə. Məsələn, funksiya y=|x|- bir nöqtədə davamlı x=0, lakin törəməsi yoxdur.
Diferensial funksiya anlayışı
Tərif. Funksiya diferensialı y=f(x) bu funksiyanın törəməsi ilə müstəqil dəyişənin artımının hasilinə deyilir x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Funksiya üçün y=x alırıq dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, yəni dx=Δx- müstəqil dəyişənin diferensialı bu dəyişənin artımına bərabərdir.
Beləliklə, yaza bilərik
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferensial dy və artım Δy funksiyaları y=f(x) Bu nöqtədə x, hər ikisi eyni arqument artımına uyğundur Δx, ümumiyyətlə, bir-birinə bərabər deyil.
Diferensialın həndəsi mənası: Arqument artırıldıqda funksiyanın diferensialı bu funksiyanın qrafikinə toxunan ordinatın artımına bərabərdir. Δx.
Fərqləndirmə qaydaları
Teorem. Əgər funksiyaların hər biri u(x) Və v(x) müəyyən nöqtədə diferensiallana bilir x, sonra bu funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və bölməsi (bölmə şərti ilə v(x)≠ 0) də bu nöqtədə diferensiallaşdırıla bilər və düsturlar aşağıdakıları ehtiva edir:
Kompleks funksiyanı nəzərdən keçirin y=f(φ(x))≡ F(x), Harada y=f(u), u=φ(x). Bu halda uçağırdı ara arqument, x - müstəqil dəyişən.
Teorem. Əgər y=f(u) Və u=φ(x) onların arqumentlərinin diferensiallana bilən funksiyaları, sonra isə kompleks funksiyanın törəməsidir y=f(φ(x)) mövcuddur və bu funksiyanın aralıq arqumentə görə hasilinə və müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentin törəməsinə bərabərdir, yəni.
Şərh. Üç funksiyanın superpozisiyası olan mürəkkəb funksiya üçün y=F(f(φ(x))), fərqləndirmə qaydası formaya malikdir
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
funksiyalar haradadır v=φ(x), u=f(v) Və y=F(u)- onların arqumentlərinin diferensiallanan funksiyaları.
Teorem. Qoy funksiya olsun y=f(x) artır (və ya azalır) və nöqtənin bəzi qonşuluğunda davamlıdır x 0. Bundan əlavə, bu funksiya göstərilən nöqtədə diferensiallana bilər x 0 və bu nöqtədə onun törəməsi f′(x 0) ≠ 0. Sonra müvafiq nöqtənin bəzi məhəlləsində y 0 =f(x 0)üçün tərsi müəyyən edilir y=f(x) funksiyası x=f -1 (y), və göstərilən tərs funksiya müvafiq nöqtədə diferensiallaşır y 0 =f(x 0) və bu nöqtədə onun törəməsi üçün y formula etibarlıdır
Törəmələr cədvəli
Birinci diferensialın formasının dəyişməzliyi
Mürəkkəb funksiyanın diferensialını nəzərdən keçirək. Əgər y=f(x), x=φ(t)- onların arqumentlərinin funksiyaları diferensiallanır, sonra funksiyanın törəməsi y=f(φ(t)) düsturu ilə ifadə edilir
y′ t = y′ x x′ t.
A-prior dy=y′ t dt, onda alırıq
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Beləliklə, biz sübut etdik
Funksiyanın birinci diferensialının formasının dəyişməzlik xassəsi: arqument olduqda olduğu kimi x müstəqil dəyişəndir və arqument olduğu halda xözü yeni dəyişənin, diferensialın diferensiallanan funksiyasıdır dy funksiyaları y=f(x) bu funksiyanın törəməsinin arqumentin diferensialına vurulmasına bərabərdir dx.
Diferensialın təxmini hesablamalarda tətbiqi
Diferensial olduğunu göstərdik dy funksiyaları y=f(x), ümumiyyətlə desək, artıma bərabər deyil Δy bu funksiya. Bununla belə, sonsuzluğa qədər dəqiqliklə kiçik funksiya daha yüksək kiçiklik sırası Δx, təxmini bərabərlik etibarlıdır
Δy ≈ dy.
Nisbət bu bərabərliyin bərabərliyinin nisbi xətası adlanır. Çünki Δy-dy=o(Δx), onda bu bərabərliyin nisbi xətası azaldıqca istənilən qədər kiçik olur |Δх|.
Bunu nəzərə alaraq Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, alırıq f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx və ya
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Bu təxmini bərabərlik səhvə yol verir o(Δx) funksiyasını əvəz edin f(x) nöqtənin kiçik bir məhəlləsində x(yəni kiçik dəyərlər üçün Δx) arqumentin xətti funksiyası Δx, sağ tərəfdə dayanır.
Daha yüksək dərəcəli törəmələr
Tərif. Funksiyanın ikinci törəməsi (və ya ikinci dərəcəli törəməsi). y=f(x) birinci törəmənin törəməsi adlanır.
Funksiyanın ikinci törəməsi üçün qeyd y=f(x):
İkinci törəmənin mexaniki mənası. Əgər funksiyası y=f(x) düz xətt üzrə maddi nöqtənin hərəkət qanununu, sonra ikinci törəməni təsvir edir f″(x) zaman anında hərəkət edən nöqtənin sürətlənməsinə bərabərdir x.
Üçüncü və dördüncü törəmələr də eyni şəkildə müəyyən edilir.
Tərif. n törəmə (və ya törəmə n-ci sıra) funksiyaları y=f(x) onun törəməsi adlanır n-1 ci törəmə:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Təyinatlar: y″′, y IV, y V və s.
Törəmənin həndəsi mənası
|
ƏYRİYƏ TƏNGENTİN TƏYİFİ Bir əyriyə toxunan y=ƒ(x) nöqtədə M nöqtədən keçən sekantın məhdudlaşdırıcı mövqeyi adlanır M və ona bitişik nöqtə M 1əyri, bu şərtlə ki, nöqtə M 1əyri boyunca qeyri-müəyyən müddətə nöqtəyə yaxınlaşır M. TÖRƏMƏNİN HƏNDƏSİ MƏNASI Funksiya törəməsi y=ƒ(x) nöqtədə X 0 ədədi olaraq oxa meyl bucağının tangensinə bərabərdir Ohəyriyə tangens y=ƒ(x) nöqtədə M (x 0; ƒ(x 0)). |
DOTİKƏ DƏYİŞƏN DƏYİŞİKLİK Döngəyə nöqtəli y=ƒ(x) tam olaraq M nöqtədən çəkilmiş xəttin sərhəd mövqeyi adlanır M və onunla növbəti nöqtə M 1əyri, ağıldan kənar, nə məqamdır M 1əyri istər-istəməz nöqtəyə yaxınlaşır M. HƏNDƏSİ ZMİST POKHİDNOI Oxşar funksiyalar y=ƒ(x) tam olaraq x 0ədədi olaraq yamacın oxa olan tangensinə bərabərdir Oh dotic, əyri həyata keçirilir y=ƒ(x) tam olaraq M (x 0; ƒ(x 0)). |
Törəmənin praktiki mənası
Müəyyən funksiyanın törəməsi kimi tapdığımız kəmiyyətin praktiki olaraq nə demək olduğunu nəzərdən keçirək.
Hər şeydən əvvəl, törəmə- bu, müəyyən bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edən diferensial hesabın əsas anlayışıdır.
"Dəyişiklik dərəcəsi" nədir? Funksiyanı təsəvvür edək f(x) = 5. (x) arqumentinin dəyərindən asılı olmayaraq, onun dəyəri heç bir şəkildə dəyişmir. Yəni onun dəyişmə sürəti sıfırdır.
İndi funksiyanı nəzərdən keçirin f(x) = x. x-in törəməsi birə bərabərdir. Həqiqətən də (x) arqumentindəki hər dəyişiklik üçün funksiyanın dəyərinin də bir artdığını görmək asandır.
Alınan məlumat nöqteyi-nəzərindən indi sadə funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxaq. Buna əsasən, dərhal aydın olur fiziki məna funksiyanın törəməsinin tapılması. Bu anlayış praktiki problemlərin həllini asanlaşdırmalıdır.
Müvafiq olaraq, törəmə funksiyanın dəyişmə sürətini göstərirsə, ikiqat törəmə də sürətlənməni göstərir.
2080.1947
