Oyunlar

Bir dəyişənli funksiyanın həddi və davamlılığı - sənəd. Davamlı arqumentin funksiyasının həddi Funksiyanın davamlılığı anlayışı

Limit və davamlılıq

bir dəyişənin funksiyaları

3.1.1. Tərif. Nömrə A xüçün səy göstərir x hər hansı bir nömrə üçün 0
nömrə var
(
) və şərt yerinə yetiriləcək:

Əgər
, Bu
.

(simvolizm:
).

Qrafik işarə edirsə G funksiyaları

, Nə vaxt nöqtəyə sonsuz yaxınlaşır (bunlar.
), (Şəkil 3.1-ə baxın), onda bu hal funksiyanın həndəsi ekvivalentidir.
saat
limit dəyəri var (limit) A(simvolizm:
).

Funksiya qrafiki,

düyü. 3.1

Qeyd etmək lazımdır ki, funksiyanın həddi qiymətinin (limitinin) təyinində at xüçün səy göstərir x 0 nöqtədə funksiyanın davranışı haqqında heç nə demir x 0 . Tam nöqtədə x 0 funksiyası müəyyən edilə bilməz, ola bilər
, ola bilər
.

Əgər
, onda funksiya üçün sonsuz kiçik adlanır
.

interval deyilir  - bir nöqtənin qonşuluğu x 0 mərkəzi ilə kəsilmiş. Bu addan istifadə edərək bunu deyə bilərik: əgər hər hansı bir nömrə üçün bir ədəd varsa və şərt təmin ediləcək: əgər
, Bu
.

3.1.2. Tərif. , əgər hər hansı bir konvergent üçün x 0 ardıcıllığı
sonrakı ardıcıllıq
birləşir A.

3.1.3. 3.1.1 və 3.1.2-ci bölmələrin təriflərinin ekvivalentliyini sübut edək.

İlk tərif mənasında birinci edək və edək
(
), sonra hamısı , onların sonlu sayı istisna olmaqla bərabərsizliyi təmin edir
, Harada  tərəfindən seçilmişdir  birinci tərif mənasında, yəni.
, yəni. birinci tərif ikincini nəzərdə tutur. Qoy indi
ikinci tərif mənasında və tutaq ki, ikinci tərif mənasında
, yəni. bəzi özbaşına kiçik üçün (məsələn, üçün
) ardıcıllığı tapıldı
, lakin eyni zamanda
. Biz bir ziddiyyətə gəldik, ona görə də birincisi ikinci tərifdən irəli gəlir.

3.1.4. Bu təriflərin ekvivalentliyi xüsusilə rahatdır, çünki ardıcıllıqlar üçün məhdudiyyətlərin xassələri haqqında əvvəllər sübut edilmiş bütün teoremlər demək olar ki, avtomatik olaraq yeni işə köçürülür. Yalnız məhdudiyyət anlayışını aydınlaşdırmaq lazımdır. Müvafiq teorem aşağıdakı formulaya malikdir:

Əgər
, onda nöqtənin bəzi  - qonşuluğu ilə məhdudlaşır x 0 mərkəzi ilə kəsilmiş.

3.2.1.Teorem. Qoy
,
,

Sonra,
,

3.2.2. Qoy

- ixtiyari, yaxınlaşan x 0 funksiya arqumenti dəyərlərinin ardıcıllığı və
. Uyğun ardıcıllıqlar
Və
bu funksiyaların qiymətlərinin hədləri var A Və B. Lakin sonra Bölmə 2.13.2 teoreminə əsasən ardıcıllıqlar
,
Və
müvafiq olaraq bərabər limitlərə malikdir A +B,
Və
. Bir nöqtədə funksiyanın limitinin tərifinə əsasən (bax bölmə 2.5.2), bu o deməkdir ki

,
,

3.2.3. Teorem. Əgər
,
, və bəzi yaxınlıqda

Baş verir

3.2.4. Bir nöqtədə funksiyanın limitinin tərifi ilə x istənilən ardıcıllıq üçün 0
belə

funksiya dəyərlərinin ardıcıllığı bərabər həddə malikdir A. Bu o deməkdir ki, hər kəs üçün
nömrə var
həyata keçirdi. Eynilə, ardıcıllıq üçün
nömrə var
belə ki, istənilən nömrə üçün
həyata keçirdi. Seçmək
, biz bunu hamı üçün tapırıq
həyata keçirdi. Bu bərabərsizliklər zəncirindən hər hansı üçün bizdə var, bu o deməkdir ki
.

3.2.5. Tərif. Nömrə A at funksiyasının limit qiyməti (limit) adlanır xüçün səy göstərir x sağda 0 (simvolizm:
), əgər hər hansı bir ədəd üçün ədəd () varsa və şərt ödənilirsə: əgər
, Bu
.

Çoxluğa sağ  - nöqtənin qonşuluğu deyilir x 0 . Solda həddi dəyər anlayışı (limit) oxşar şəkildə müəyyən edilir (
).

3.2.6. Teorem. at funksiyası bərabər limit dəyərinə (limit) malikdir A sonra və yalnız nə vaxt

3.3.1. Tərif. Nömrə A at funksiyasının limit qiyməti (limit) adlanır x hər hansı bir ədəd üçün bir ədəd varsa, sonsuzluğa meyllidir
(
) və aşağıdakı şərt yerinə yetiriləcəkdir:

Əgər
, Bu .

(simvolizm:
.)

Bir dəstə
çağırdı D- sonsuzluq məhəlləsi.

3.3.2. Tərif. Nömrə A at funksiyasının limit qiyməti (limit) adlanır xüstəgəl sonsuzluğa meyl edir, əgər hər hansı bir ədəd üçün bir ədəd varsa D() və şərt yerinə yetiriləcək:

Əgər
, Bu .

(simvolizm:
).

Qrafik işarə edirsə G funksiyaları
qeyri-məhdud böyümə ilə
bir üfüqi xəttə qeyri-müəyyən yaxınlaşmaq
(bax. Şəkil 3.2), onda bu hal funksiyanın həndəsi ekvivalentidir.
saat
ədədə bərabər həddi qiymətə (limitə) malikdir A(simvolizm:
).

Funksiya qrafiki
,

Bir dəstə
çağırdı D- qonşuluq plus sonsuzluq.

Limit anlayışı
.

Məşqlər.

Hallara tətbiq edilən limitlərlə bağlı bütün teoremləri qeyd edin:

1)
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
.

3.4.1. Tərif. Funksiya, əgər hər hansı bir ədəd üçün sonsuz böyük funksiya (və ya sadəcə olaraq sonsuz böyük) adlanır

, bərabərsizliyi ödəməklə bərabərsizlik təmin edilir
.

(simvolizm:
.)

Əgər yerinə yetirilərsə
, sonra yazırlar
.

3.4.2. Teorem. Qoy
Və
saat
.

Sonra
üçün sonsuz böyük funksiyadır.

3.4.3. Qoy bu ixtiyari bir rəqəm olsun. - üçün sonsuz kiçik funksiya olduğundan ədəd üçün
hər kəs üçün belə bir nömrə var x belə ki, bərabərsizlik özünü saxlayır
, amma sonra eyni üçün x bərabərsizlik təmin ediləcək
. Bunlar. üçün sonsuz böyük funksiyadır.

3.4.4.Teorem. və üçün sonsuz böyük funksiya olsun.

Sonra üçün sonsuz kiçik funksiyadır.

(Bu teorem Bölmə 3.8.2-dəki teoremə oxşar şəkildə sübut edilmişdir.)

3.4.5. Funksiya
zaman sərhədsiz adlanır
, hər hansı bir nömrə üçün
və nöqtənin istənilən δ qonşuluğu nöqtəni təyin edə bilərsiniz x bu məhəllədən elə
.

3.5.1. TƏrif. Funksiya çağırılır davamlı nöqtədə , Əgər
.

Son şərti belə yazmaq olar:

Bu qeyd o deməkdir ki, davamlı funksiyalar üçün limit işarəsi ilə funksiyanın işarəsi dəyişdirilə bilər

Və ya belə: . Və ya yenə, başlanğıcda olduğu kimi.

işarə edək
. Sonra
və =
və son qeyd forması formanı alacaq

Limit işarəsinin altındakı ifadə funksiya nöqtəsinin artımın yaratdığı artımı təmsil edir
arqument x nöqtədə, adətən kimi işarələnir
. Nəticədə nöqtədə funksiyanın davamlılığı şərtinin yazılmasının aşağıdakı formasını alırıq

bir nöqtədə funksiyanın davamlılığının “işləyən tərifi” adlanır.

Funksiya çağırılır davamlı nöqtədə sol, Əgər
.

Funksiya çağırılır davamlı nöqtədə sağda, Əgər
.

3.5.2. Misal.
. Bu funksiya istənilən üçün davamlıdır. Limitlərin xassələri haqqında teoremlərdən istifadə edərək dərhal əldə edirik: hər hansı bir rasional funksiya müəyyən edildiyi hər bir nöqtədə davamlıdır, yəni. formanın funksiyası
.

ÇALIŞMALAR.

3.6.1. Məktəb dərsliyi bunu (yüksək səviyyədə) sübut edir
(ilk diqqətəlayiq hədd). Vizual həndəsi mülahizələrdən dərhal belə çıxır
. Qeyd edək ki, sol bərabərsizlikdən də belə çıxır
, yəni. funksiyası nədir
sıfırda davamlı. Buradan bütün triqonometrik funksiyaların təyin olunduğu bütün nöqtələrdə onların davamlılığını sübut etmək heç də çətin deyil. Əslində, nə vaxt
sonsuz kiçik funksiyanın məhsulu kimi
məhdud funksiya üçün
.

3.6.2. (2-ci gözəl hədd). Artıq bildiyimiz kimi

Harada natural ədədlərdən keçir. Bunu göstərmək olar
. Üstəlik
.

ÇALIŞMALAR.

3.7.1. TEOREM (mürəkkəb funksiyanın davamlılığı haqqında).

Əgər funksiyası
bir nöqtədə davamlıdır və
, və funksiyası
bir nöqtədə davamlıdır , sonra mürəkkəb funksiya
nöqtəsində davamlıdır.

3.7.2. Bu ifadənin etibarlılığı dərhal aşağıdakı kimi yazılmış davamlılığın tərifindən irəli gəlir:

3.8.1. TEOREM. Funksiya hər nöqtədə davamlıdır (
).

3.8.2. Funksiyasını məqsədəuyğun hesab etsək
hər hansı bir üçün müəyyən edilir və ciddi monotondur (ciddi şəkildə azalır
, ilə ciddi şəkildə artır
), onda sübut çətin deyil.

At
bizdə:

olanlar. bizdə olanda
funksiyası deməkdir da davamlıdır.

At
hər şey əvvəlkinə düşür:

At
.

At
funksiyası
hamı üçün sabitdir, buna görə də davamlıdır.

3.9.1. TEOREM (əks funksiyanın birgə mövcudluğu və davamlılığı haqqında).

Nöqtənin bəzi δ - qonşuluğunda fasiləsiz funksiya ciddi şəkildə azalsın (ciddi artsın),
. Sonra bəzi ε - nöqtənin qonşuluğunda tərs funksiya var
, bu, ciddi şəkildə azalır (ciddi artır) və nöqtənin ε - qonşuluğunda davamlıdır.

3.9.2. Burada yalnız tərs funksiyanın nöqtədə davamlılığını sübut edirik.

Gəlin götürək, dövr y nöqtələr arasında yerləşir
Və
, buna görə də, əgər
, Bu
, Harada.

3.10.1. Beləliklə, fasiləsiz funksiyalar üzərində hər hansı icazə verilən arifmetik əməliyyatlar yenidən fasiləsiz funksiyalara gətirib çıxarır. Onlardan mürəkkəb və tərs funksiyaların əmələ gəlməsi davamlılığı pozmur. Buna görə də, müəyyən dərəcədə məsuliyyətlə, bütün elementar funksiyaların arqumentin bütün icazə verilən dəyərləri üçün davamlı olduğunu iddia edə bilərik.

MƏŞQ.

Bunu sübut et
saat
(ikinci gözəl limitin başqa bir forması).

3.11.1. Ekvivalent sonsuz kiçiklər anlayışından istifadə etsək, limitlərin hesablanması xeyli sadələşər. Ekvivalentlik anlayışını ixtiyari funksiyalar halına ümumiləşdirmək rahatdır.

Tərif. və funksiyalarının if üçün ekvivalent olduğu deyilir
(əvəzinə yaza bilersiniz
,
,
,
,
).

İstifadə olunan qeyd f ~ g.

Ekvivalentlik aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir

Ekvivalent sonsuz kiçiklərin aşağıdakı siyahısını yadda saxlamaq lazımdır:

~
saat
; (1)

~ at ; (2)

~
at ; (3)

~ at ; (4)

~ at ; (5)

~ at ; (6)

~ at ; (7)

~ səh at ; (8)

~ saat
; (9)

~
at. (10)

Burada və müstəqil dəyişənlər deyil, funksiyalar ola bilər
Və
bəzi davranışlar üçün müvafiq olaraq sıfıra və birə meyl edir x. Misal üçün,

~
saat
,

~
saat
.

Ekvivalentlik (1) ilk diqqətəlayiq həddi yazmağın başqa bir formasıdır. Ekvivalentlər (2), (3), (6) və (7) birbaşa sübut edilə bilər. Ekvivalentlik (4) ekvivalentliklərin xassə 2) nəzərə alınmaqla (1)-dən alınır:

~
.

Eynilə, (5) və (7) (2) və (6) dan alınır. Həqiqətən

~
,

~
.

(8)-in ekvivalentliyi (7) və (6)-nın ardıcıl tətbiqi ilə sübut edilir:

və (9) və (10) (6) və (8) əvəz edilərək alınır
.

3.11.2. Teorem. Məhsul və nisbətdə məhdudiyyətləri hesablayarkən, funksiyaları ekvivalentlərə dəyişə bilərsiniz. Yəni, əgər ~
, onda ya hər iki hədd eyni vaxtda mövcud deyil və
və ya bu məhdudiyyətlərin hər ikisi eyni vaxtda mövcud deyil.

Birinci bərabərliyi sübut edək. Sərhədlərdən biri desin ki,
mövcuddur. Sonra

3.11.3. Qoy ( rəqəm və ya simvol olsun,
və ya
). Müxtəlif b.m.-nin davranışını nəzərdən keçirəcəyik. funksiyalar (sonsuz kiçik terminini belə ixtisar edəcəyik).

Təriflər.
və ekvivalent b.m adlanır. üçün funksiyalar, əgər
(da).

biz bunu b.m adlandıracağıq. b.m-dən daha yüksək sifariş funksiyası
, Əgər
(da).

3.11.4. Əgər və ekvivalenti b.m. funksiyaları, sonra
b.m var. -dən daha yüksək dərəcəli funksiya
və nə. - b.m. at funksiyası, burada bütün x üçün və əgər bu nöqtədə funksiya çıxarıla bilən kəsilmə nöqtəsi adlanırsa. ikinci növ fasiləsizliyə malikdir. Nöqtə özü Test

Kollokviuma. Bölmələr: " Limit Və davamlılıqfunksiyaları etibarlıdır dəyişən" funksiyalarıbirdəyişən", “Diferensial hesablama funksiyaları bir neçə dəyişənlər"

Test və sualların mövzuları və nümunələri (testlər fərdi standart hesablamalar kollokvium) 1-ci semestr testi №1 bölmə “həqiqi dəyişən funksiyasının limiti və davamlılığı”

Test

Kollokviuma. Bölmələr: " Limit Və davamlılıqfunksiyaları etibarlıdır dəyişən", “Diferensial hesablama funksiyalarıbirdəyişən", “Diferensial hesablama funksiyaları bir neçə dəyişənlər". Nömrə ardıcıllığı...

Test

Test tapşırıqları və suallarının mövzuları və nümunələri (test işi fərdi standart hesablamalar kollokviumlar) 1-ci semestr test işi bölməsi “həqiqi dəyişən funksiyasının həddi və davamlılığı”

Test

Mühazirə 19 Bir neçə dəyişənli funksiyanın həddi və davamlılığı

Mühazirə

... Limit Və davamlılıqfunksiyaları bir neçə dəyişənlər. 19.1. Konsepsiya funksiyaları bir neçə dəyişənlər. Yenidən nəzərdən keçirməklə funksiyaları bir neçə dəyişənlər... xassələri funksiyalarıbirdəyişən, davamlı seqmentdə. Xüsusiyyətlərə baxın funksiyaları, davamlıüstündə...

Funksiyanın davamlılığı. Qırılma nöqtələri.

Öküz gedir, yırğalanır, ah-nalə çəkir:
- Oh, lövhə tükənir, indi yıxılacağam!

Bu dərsdə biz funksiyanın davamlılığı anlayışını, kəsilmə nöqtələrinin təsnifatını və ümumi praktiki problemi araşdıracağıq. funksiyaların davamlılığının tədqiqi. Mövzunun adından çoxları intuitiv olaraq nəyin müzakirə olunacağını təxmin edir və materialın olduqca sadə olduğunu düşünür. Bu doğrudur. Ancaq ən çox laqeydliyə və onların həllinə səthi yanaşmaya görə cəzalandırılan sadə vəzifələrdir. Buna görə də, məqaləni çox diqqətlə öyrənməyi və bütün incəlikləri və texnikaları tutmağı məsləhət görürəm.

Nəyi bilmək və bacarmaq lazımdır?Çox deyil. Dərsi yaxşı öyrənmək üçün onun nə olduğunu başa düşmək lazımdır funksiyanın limiti. Hazırlıq səviyyəsi aşağı olan oxucular üçün məqaləni başa düşmək kifayətdir Funksiya məhdudiyyətləri. Həll nümunələri və təlimatdakı limitin həndəsi mənasına baxın Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Bununla da tanış olmaq məsləhətdir qrafiklərin həndəsi çevrilmələri, çünki təcrübə əksər hallarda rəsm çəkməyi əhatə edir. Perspektivlər hər kəs üçün nikbindir və hətta tam bir çaydan da yaxın və ya iki saat ərzində öz başına işin öhdəsindən gələ biləcək!

Funksiyanın davamlılığı. Kəsmə nöqtələri və onların təsnifatı

Funksiyanın davamlılığı anlayışı

Bütün say xəttində fasiləsiz olan bəzi funksiyaları nəzərdən keçirək:

Və ya daha lakonik desək, funksiyamız davamlıdır (həqiqi ədədlər çoxluğu).

Davamlılığın “filist” meyarı nədir? Aydındır ki, davamlı funksiyanın qrafiki qələmi kağızdan qaldırmadan çəkilə bilər.

Bu vəziyyətdə iki sadə anlayışı aydın şəkildə ayırmaq lazımdır: funksiyanın domeni Və funksiyanın davamlılığı. Ümumiyyətlə eyni şey deyil. Misal üçün:

Bu funksiya bütün say xəttində, yəni üçün müəyyən edilir hər kəs“X” mənasının öz “y” mənası var. Xüsusilə, əgər , onda . Qeyd edək ki, digər nöqtədə durğu işarəsi qoyulur, çünki funksiyanın tərifinə görə arqumentin dəyəri uyğun olmalıdır yeganə şey funksiya dəyəri. Beləliklə, domen funksiyamız: .

Lakin bu funksiya davamlı deyil! Bu nöqtədə onun əziyyət çəkdiyi aydındır boşluq. Termin həm də olduqca başa düşülən və vizualdır; həqiqətən, burada qələm hər halda kağızdan qoparılmalı olacaq. Bir az sonra kəsilmə nöqtələrinin təsnifatına baxacağıq.

Bir nöqtədə və intervalda funksiyanın davamlılığı

Müəyyən bir riyazi məsələdə bir nöqtədə funksiyanın davamlılığından, intervalda funksiyanın davamlılığından, yarım intervaldan və ya seqmentdəki funksiyanın davamlılığından danışmaq olar. Yəni, "sadəcə davamlılıq" yoxdur– funksiya HƏR YERDƏ davamlı ola bilər. Və hər şeyin əsas "tikinti bloku"dur funksiyanın davamlılığı nöqtədə .

Riyazi analiz nəzəriyyəsi "delta" və "epsilon" məhəllələrindən istifadə edərək bir nöqtədə bir funksiyanın davamlılığının tərifini verir, lakin praktikada istifadədə fərqli bir tərif var, biz buna diqqət yetirəcəyik.

Əvvəlcə xatırlayaq birtərəfli məhdudiyyətlər ilk dərsdə həyatımıza girənlər funksiya qrafikləri haqqında. Gündəlik vəziyyəti nəzərdən keçirin:

Oxa nöqtəyə yaxınlaşsaq sol(qırmızı ox), sonra "oyunların" müvafiq dəyərləri ox boyunca nöqtəyə (qırmızı ox) gedəcəkdir. Riyazi olaraq, bu fakt istifadə edərək müəyyən edilir sol həddi:

Girişə diqqət yetirin ("x solda ka'ya meyllidir" oxuyur). "Əlavə" "mənfi sıfır" simvollaşdırır , mahiyyətcə bu o deməkdir ki, biz rəqəmə sol tərəfdən yaxınlaşırıq.

Eynilə, “ka” nöqtəsinə yaxınlaşsanız sağda(mavi ox), sonra "oyunlar" eyni dəyərə gələcək, lakin yaşıl ox boyunca və sağ əl həddi aşağıdakı kimi formatlaşdırılacaq:

"Əlavə" simvollaşdırır , və girişdə deyilir: "x sağda ka-ya meyl edir."

Birtərəfli limitlər sonlu və bərabərdirsə(bizim vəziyyətimizdə olduğu kimi): , onda ÜMUMİ limitin olduğunu deyəcəyik. Çox sadədir, ümumi hədd bizim “adi”mizdir. funksiyanın limiti, sonlu ədədə bərabərdir.

Qeyd edək ki, funksiya təyin olunmayıbsa (qrafik budaqdakı qara nöqtəni çıxarın), onda yuxarıdakı hesablamalar qüvvədə qalır. Artıq bir neçə dəfə, xüsusən də məqalədə qeyd edildiyi kimi sonsuz kiçik funksiyalar haqqında, ifadələr "x" deməkdir sonsuz yaxın ikən nöqtəyə yaxınlaşır FƏRQİ YOXDUR, funksiyanın özünün verilmiş nöqtədə müəyyən edilib-edilməməsi. Yaxşı bir nümunə funksiya təhlil edildikdə növbəti paraqrafda tapılacaqdır.

Tərif: verilmiş nöqtədə funksiyanın həddi həmin nöqtədəki funksiyanın qiymətinə bərabər olarsa, funksiya kəsilməzdir: .

Tərif aşağıdakı terminlərlə təfərrüatlıdır:

1) Funksiya nöqtədə müəyyən edilməlidir, yəni qiymət mövcud olmalıdır.

2) Funksiyanın ümumi həddi olmalıdır. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu, birtərəfli məhdudiyyətlərin mövcudluğunu və bərabərliyini nəzərdə tutur: .

3) Verilmiş nöqtədə funksiyanın həddi bu nöqtədəki funksiyanın qiymətinə bərabər olmalıdır: .

Əgər pozulubsa ən azı birüç şərtdən, onda funksiya nöqtədə davamlılıq xassəsini itirir.

Funksiyanın interval üzərində davamlılığı dahiyanə və çox sadə şəkildə tərtib edilmişdir: funksiya verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində davamlıdırsa, intervalda davamlıdır.

Xüsusilə, bir çox funksiyalar sonsuz intervalda, yəni həqiqi ədədlər çoxluğunda fasiləsizdir. Bu xətti funksiya, polinomlar, eksponensial, sinus, kosinus və s. Və ümumiyyətlə, hər hansı elementar funksiyaüzərində davamlıdır tərif sahəsi məsələn, loqarifmik funksiya intervalında davamlıdır. Ümid edirəm ki, indi siz əsas funksiyaların qrafiklərinin necə göründüyü barədə kifayət qədər yaxşı təsəvvürünüz var. Onların davamlılığı haqqında daha ətraflı məlumatı Fichtenholtz adlı xeyirxah bir adamdan almaq olar.

Bir seqmentdə və yarım intervallarda funksiyanın davamlılığı ilə hər şey çətin deyil, lakin bu barədə sinifdə danışmaq daha məqsədəuyğundur. seqmentdə funksiyanın minimum və maksimum qiymətlərinin tapılması haqqında, amma hələlik bundan narahat olmayaq.

Qırılma nöqtələrinin təsnifatı

Funksiyaların füsunkar həyatı hər cür xüsusi məqamlarla zəngindir və qırılma nöqtələri onların tərcümeyi-halının səhifələrindən yalnız biridir.

Qeyd : hər halda, elementar bir məqam üzərində dayanacağam: qırılma nöqtəsi həmişədir tək nöqtə– “ard-arda bir neçə qırılma nöqtəsi” yoxdur, yəni “fasilə intervalı” deyə bir şey yoxdur.

Bu nöqtələr, öz növbəsində, iki böyük qrupa bölünür: birinci növ qırılmalar Və ikinci növ qırılmalar. Hər bir boşluq növünün öz xarakterik xüsusiyyətləri var, biz indi onlara baxacağıq:

Birinci növ kəsilmə nöqtəsi

Bir nöqtədə davamlılıq şərti pozulursa və birtərəfli məhdudiyyətlər sonlu , sonra çağırılır birinci növ kəsilmə nöqtəsi.

Ən optimist vəziyyətdən başlayaq. Dərsin orijinal ideyasına görə, mən nəzəriyyəni "ümumi mənada" demək istədim, lakin materialın reallığını nümayiş etdirmək üçün konkret simvollarla seçim üzərində qərar verdim.

Əbədi məşəl fonunda yeni evlənənlərin fotoşəkili kimi kədərlidir, lakin aşağıdakı çəkiliş ümumiyyətlə qəbul edilir. Rəsmdə funksiyanın qrafikini təsvir edək:

Bu funksiya nöqtədən başqa bütün say xəttində davamlıdır. Və əslində, məxrəc sıfıra bərabər ola bilməz. Halbuki həddinin mənasına uyğun olaraq, edə bilərik sonsuz yaxın"sıfır"a həm soldan, həm də sağdan yaxınlaşın, yəni birtərəfli məhdudiyyətlər mövcuddur və açıq şəkildə üst-üstə düşür:
(2 nömrəli davamlılıq şərti təmin edilir).

Lakin funksiya nöqtədə müəyyən edilməmişdir, buna görə də 1-ci davamlılıq şərti pozulur və funksiya bu nöqtədə kəsilməyə məruz qalır.

Bu tip fasilə (mövcud ümumi hədd) adlandırılır təmir edilə bilən boşluq. Niyə çıxarıla bilər? Çünki funksiya edə bilər yenidən müəyyənləşdirin qırılma nöqtəsində:

Qəribə görünür? Ola bilər. Ancaq belə bir funksiya qeydi heç bir şeyə zidd deyil! İndi boşluq bağlandı və hamı xoşbəxtdir:

Rəsmi yoxlama aparaq:

2) - ümumi məhdudiyyət var;
3)

Beləliklə, hər üç şərt ödənilir və bir nöqtədə funksiyanın davamlılığının tərifi ilə funksiya bir nöqtədə davamlıdır.

Bununla belə, matan nifrətçiləri funksiyanı pis şəkildə təyin edə bilər, məsələn :

Maraqlıdır ki, burada ilk iki davamlılıq şərti təmin edilir:
1) – funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir;
2) - Ümumi məhdudiyyət var.

Amma üçüncü sərhəd keçilməmişdir: , yəni nöqtədə funksiyanın həddi bərabər deyil verilmiş nöqtədə verilmiş funksiyanın qiyməti.

Beləliklə, bir nöqtədə funksiya kəsilməyə məruz qalır.

İkinci, daha kədərli hal adlanır birinci növ qırılma atlama ilə. Kədər isə birtərəfli məhdudiyyətlərlə oyanır sonlu və fərqlidir. Bir nümunə dərsin ikinci rəsmində göstərilmişdir. Adətən belə bir boşluq yaranır hissə-hissə müəyyən edilmiş funksiyalar, artıq məqalədə qeyd edilmişdir qrafik çevrilmələri haqqında.

Parça-parça funksiyasını nəzərdən keçirin və biz onun rəsmini tamamlayacağıq. Qrafiki necə qurmaq olar? Çox sadə. Yarım intervalda parabolanın bir hissəsini (yaşıl), bir intervalda - düz xətt seqmentini (qırmızı) və yarım intervalda - düz xətt (mavi) çəkirik.

Üstəlik, bərabərsizlik səbəbindən kvadratik funksiya (yaşıl nöqtə), bərabərsizlik səbəbindən isə xətti funksiya (mavi nöqtə) üçün qiymət müəyyən edilir:

Ən çətin vəziyyətdə, qrafikin hər bir parçasının nöqtə-nöqtəli qurulmasına müraciət etməlisiniz (birinciyə bax). funksiyaların qrafikləri haqqında dərs).

İndi bizi yalnız məqam maraqlandıracaq. Davamlılıq üçün onu yoxlayaq:

2) Birtərəfli limitləri hesablayaq.

Solda qırmızı xətt seqmentimiz var, buna görə də sol tərəfdəki limit:

Sağda mavi düz xətt və sağ tərəfdə sərhəd var:

Nəticədə aldıq sonlu ədədlər, və onlar bərabər deyil. Çünki birtərəfli məhdudiyyətlər sonlu və fərqlidir: , onda bizim funksiyamız dözür sıçrayışla birinci növ fasiləsizlik.

Məntiqlidir ki, boşluğu aradan qaldırmaq mümkün deyil - funksiya həqiqətən əvvəlki nümunədə olduğu kimi daha da müəyyən edilə və "bir-birinə yapışdırıla bilməz".

İkinci növ kəsilmə nöqtələri

Adətən, bütün digər qırılma halları ağıllı şəkildə bu kateqoriyaya təsnif edilir. Hər şeyi sadalamayacağam, çünki praktikada problemlərin 99% -ində qarşılaşacaqsınız sonsuz boşluq– solaxay və ya sağ əlli olduqda və daha tez-tez hər iki hədd sonsuzdur.

Və təbii ki, ən bariz şəkil sıfır nöqtəsindəki hiperboladır. Burada hər iki birtərəfli məhdudiyyətlər sonsuzdur: , buna görə də funksiya nöqtədə ikinci növ fasiləsizliyə məruz qalır.

Mən məqalələrimi mümkün qədər müxtəlif məzmunla doldurmağa çalışıram, ona görə də hələ rast gəlinməyən funksiyanın qrafikinə baxaq:

standart sxemə görə:

1) Məxrəc sıfıra getdiyi üçün bu nöqtədə funksiya müəyyən edilməyib.

Əlbəttə ki, biz dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, funksiya nöqtədə kəsilməyə məruz qalır, lakin çox vaxt şərt tərəfindən tələb olunan kəsilmənin xarakterini təsnif etmək yaxşı olardı. Bunun üçün:

Nəzərinizə çatdırım ki, qeyd etməklə biz bunu nəzərdə tuturuq sonsuz kiçik mənfi ədəd, və girişin altında - sonsuz kiçik müsbət ədəd.

Birtərəfli məhdudiyyətlər sonsuzdur, yəni funksiya nöqtədə 2-ci növ fasiləsizliyə məruz qalır. y oxudur şaquli asimptot qrafik üçün.

Hər iki birtərəfli limitlərin mövcud olması qeyri-adi deyil, lakin onlardan yalnız biri sonsuzdur, məsələn:

Bu funksiyanın qrafikidir.

Davamlılıq üçün nöqtəni araşdırırıq:

1) Bu nöqtədə funksiya müəyyən edilməyib.

2) Birtərəfli limitləri hesablayaq:

Mühazirənin son iki nümunəsində bu cür birtərəfli hədlərin hesablanması üsulu haqqında danışacağıq, baxmayaraq ki, bir çox oxucu artıq hər şeyi görmüş və təxmin etmişdir.

Sol əl həddi sonludur və sıfıra bərabərdir (biz “nöqtənin özünə getmirik”), lakin sağ əl həddi sonsuzdur və qrafikin narıncı budağı sonsuz olaraq ona yaxınlaşır. şaquli asimptot, tənliklə verilmişdir (qara nöqtəli xətt).

Beləliklə, funksiya əziyyət çəkir ikinci növ fasiləsizlik nöqtədə.

1-ci növ fasiləsizliyə gəldikdə, funksiya kəsilmə nöqtəsinin özündə müəyyən edilə bilər. Məsələn, hissə-hissə funksiyası üçün Koordinatların başlanğıcına qara qalın nöqtə qoymaqdan çekinmeyin. Sağda hiperbolanın bir qolu, sağ tərəf isə sonsuzdur. Düşünürəm ki, demək olar ki, hər kəsin bu qrafikin necə göründüyü barədə bir fikri var.

Hər kəsin gözlədiyi şey:

Davamlılıq üçün funksiyanı necə yoxlamaq olar?

Bir nöqtədə davamlılıq funksiyasının tədqiqi üç fasiləsizliyin yoxlanılmasından ibarət olan artıq qurulmuş müntəzəm sxemə uyğun olaraq həyata keçirilir:

Misal 1

Funksiyanı araşdırın

Həll:

1) Əhatə dairəsinin yeganə nöqtəsi funksiyanın müəyyən edilmədiyi yerdir.

2) Birtərəfli limitləri hesablayaq:

Birtərəfli məhdudiyyətlər sonlu və bərabərdir.

Beləliklə, bu nöqtədə funksiya çıxarıla bilən fasilədən əziyyət çəkir.

Bu funksiyanın qrafiki necə görünür?

sadələşdirmək istərdim , və adi parabola alınmış kimi görünür. AMMA orijinal funksiya nöqtəsində müəyyən edilməyib, ona görə də aşağıdakı bənd tələb olunur:

Gəlin rəsm çəkək:

Cavab verin: funksiya çıxarıla bilən kəsilməyə məruz qaldığı nöqtə istisna olmaqla, bütün say xəttində davamlıdır.

Funksiya daha yaxşı və ya o qədər də yaxşı olmayan şəkildə müəyyən edilə bilər, lakin şərtə görə bu tələb olunmur.

Siz deyirsiniz ki, bu, uzaq bir nümunədir? Dəyməz. Bu, praktikada onlarla dəfə baş verib. Saytın demək olar ki, bütün tapşırıqları real müstəqil iş və testlərdən irəli gəlir.

Sevimli modullarımızdan xilas olaq:

Misal 2

Funksiyanı araşdırın davamlılıq üçün. Funksiya kəsiklərinin xarakterini, əgər varsa, müəyyən edin. Rəsmi icra edin.

Həll: Nədənsə tələbələr qorxur və modul ilə funksiyaları sevmirlər, baxmayaraq ki, onlar haqqında mürəkkəb bir şey yoxdur. Artıq dərsdə belə şeylərə bir az toxunmuşuq. Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri. Modul mənfi olmadığı üçün aşağıdakı kimi genişləndirilir: , burada “alfa” bəzi ifadədir. Bu halda funksiyamız hissə-hissə yazılmalıdır:

Lakin hər iki hissənin kəsirləri ilə azaldılmalıdır. Əvvəlki nümunədə olduğu kimi azalma nəticəsiz baş verməyəcək. Məxrəc sıfıra getdiyi üçün orijinal funksiya nöqtədə müəyyən edilmir. Beləliklə, sistem əlavə olaraq şərti təyin etməli və ilk bərabərsizliyi sərtləşdirməlidir:

İndi ÇOX FAYDALI qərar texnikası haqqında: qaralama üzərində tapşırığı tamamlamazdan əvvəl rəsm çəkmək (şərtlərin tələb edib-etməməsindən asılı olmayaraq) sərfəlidir. Bu, birincisi, davamlılıq nöqtələrini və kəsilmə nöqtələrini dərhal görməyə kömək edəcək, ikincisi, birtərəfli məhdudiyyətlər taparkən sizi səhvlərdən 100% qoruyacaqdır.

Gəlin rəsm çəkək. Hesablamalarımıza uyğun olaraq, nöqtənin solunda parabolanın bir parçasını (mavi rəng), sağda isə parabolanın bir parçasını (qırmızı rəng) çəkmək lazımdır, halbuki funksiya müəyyən edilməmişdir. özünə işarə edir:

Əgər şübhəniz varsa, bir neçə x dəyəri götürün və onları funksiyaya qoşun (modulun mümkün mənfi işarəni məhv etdiyini xatırlayaraq) və qrafiki yoxlayın.

Davamlılıq funksiyasını analitik olaraq araşdıraq:

1) Funksiya nöqtədə müəyyən edilməmişdir, ona görə də dərhal deyə bilərik ki, onun üzərində davamlı deyil.

2) Davamsızlığın xarakterini təyin edək, bunun üçün birtərəfli limitləri hesablayırıq:

Birtərəfli limitlər sonlu və fərqlidir, yəni funksiya nöqtədə sıçrayışla 1-ci növ fasiləsizliyə məruz qalır. Bir daha qeyd edək ki, limitləri taparkən, kəsilmə nöqtəsində funksiyanın müəyyən edilib-edilməməsinin əhəmiyyəti yoxdur.

İndi yalnız rəsmləri qaralamadan köçürmək (sanki tədqiqatın köməyi ilə hazırlanmışdır ;-)) və tapşırığı yerinə yetirməkdir:

Cavab verin: funksiya sıçrayışla birinci növ fasiləsizliyə məruz qaldığı nöqtə istisna olmaqla, bütün say xəttində davamlıdır.

Bəzən onlar fasiləsiz atlamanın əlavə göstəricisini tələb edirlər. Sadəcə olaraq hesablanır - sağ limitdən sol həddi çıxarmaq lazımdır: , yəni fasilə nöqtəsində funksiyamız 2 vahid aşağı sıçradı (mənfi işarənin bizə dediyi kimi).

Misal 3

Funksiyanı araşdırın davamlılıq üçün. Funksiya kəsiklərinin xarakterini, əgər varsa, müəyyən edin. Rəsm çəkin.

Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir nümunə, dərsin sonunda nümunə həlldir.

Funksiya üç hissədən ibarət olduqda tapşırığın ən populyar və geniş yayılmış versiyasına keçək:

Misal 4

Funksiyanı fasiləsizliyə görə yoxlayın və funksiyanın qrafikini çəkin .

Həll: aydındır ki, funksiyanın hər üç hissəsi müvafiq intervallarda davamlıdır, ona görə də parçalar arasında yalnız iki “qovşaq” nöqtəsini yoxlamaq qalır. Əvvəlcə bir qaralama rəsmini hazırlayaq, məqalənin birinci hissəsində tikinti texnikasını kifayət qədər ətraflı şərh etdim. Yeganə odur ki, tək nöqtələrimizi diqqətlə izləməliyik: bərabərsizlik səbəbindən qiymət düz xəttə (yaşıl nöqtə) aiddir və bərabərsizlik səbəbindən qiymət parabolaya (qırmızı nöqtə) aiddir:

Yaxşı, prinsipcə, hər şey aydındır =) Qərarın rəsmiləşdirilməsi qalır. İki "birləşmə" nöqtəsinin hər biri üçün biz standart olaraq 3 davamlılıq şərtini yoxlayırıq:

mən) Davamlılıq üçün nöqtəni araşdırırıq

Birtərəfli limitlər sonlu və fərqlidir, yəni funksiya nöqtədə sıçrayışla 1-ci növ fasiləsizliyə məruz qalır.

Kesiklik sıçrayışını sağ və sol sərhədlər arasındakı fərq kimi hesablayaq:
, yəni qrafik bir vahid yuxarı qalxdı.

II) Davamlılıq üçün nöqtəni araşdırırıq

1) – funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir.

2) Birtərəfli məhdudiyyətləri tapın:

– birtərəfli limitlər sonlu və bərabərdir, yəni ümumi hədd var.

3) – bir nöqtədə funksiyanın həddi bu funksiyanın verilmiş nöqtədəki qiymətinə bərabərdir.

Son mərhələdə rəsmini son versiyaya köçürürük, bundan sonra son akkordu qoyuruq:

Cavab verin: funksiya sıçrayışla birinci növ fasiləsizliyə məruz qaldığı nöqtə istisna olmaqla, bütün say xəttində davamlıdır.

Misal 5

Funksiyanı fasiləsizliyə görə yoxlayın və onun qrafikini qurun .

Bu, müstəqil həll nümunəsi, qısa həll və dərsin sonunda problemin təxmini nümunəsidir.

Sizdə belə bir təəssürat yarana bilər ki, bir nöqtədə funksiya davamlı olmalıdır, digərində isə fasilə olmalıdır. Praktikada bu həmişə belə olmur. Qalan nümunələri laqeyd etməməyə çalışın - bir neçə maraqlı və vacib xüsusiyyət olacaq:

Misal 6

Funksiya verilmişdir . Nöqtələrdə davamlılıq funksiyasını araşdırın. Qrafik qurun.

Həll: və yenidən dərhal qaralama üzərində rəsmi icra edin:

Bu qrafikin özəlliyi ondan ibarətdir ki, hissə-hissə funksiyası absis oxunun tənliyi ilə verilir. Burada bu sahə yaşıl rənglə çəkilir, lakin notebookda adətən sadə qələmlə qalın hərflərlə vurğulanır. Və əlbəttə ki, qoçlarımızı unutma: dəyər tangens budağa (qırmızı nöqtə) aiddir və dəyər düz xəttə aiddir.

Rəsmdən hər şey aydındır - funksiya bütün nömrə xətti boyunca davamlıdır, yalnız 3-4 oxşar nümunədən sonra tam avtomatlaşdırmaya gətirilən həlli rəsmiləşdirmək qalır:

mən) Davamlılıq üçün nöqtəni araşdırırıq

1) – funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir.

2) Birtərəfli limitləri hesablayaq:

, yəni ümumi limit var.

İstənilən halda, sizə cüzi bir faktı xatırlatmağa icazə verin: sabitin həddi sabitin özünə bərabərdir. Bu halda, sıfırın həddi sıfırın özünə bərabərdir (sol əlli həddi).

3) – bir nöqtədə funksiyanın həddi bu funksiyanın verilmiş nöqtədəki qiymətinə bərabərdir.

Beləliklə, bir nöqtədə funksiyanın davamlılığının təyini ilə bir nöqtədə fasiləsizdir.

II) Davamlılıq üçün nöqtəni araşdırırıq

1) – funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir.

2) Birtərəfli məhdudiyyətləri tapın:

Və burada - birinin həddi vahidin özünə bərabərdir.

- Ümumi məhdudiyyət var.

3) – bir nöqtədə funksiyanın həddi bu funksiyanın verilmiş nöqtədəki qiymətinə bərabərdir.

Beləliklə, bir nöqtədə funksiyanın davamlılığının təyini ilə bir nöqtədə fasiləsizdir.

Həmişə olduğu kimi, araşdırmadan sonra rəsmimizi son versiyaya köçürürük.

Cavab verin: funksiya nöqtələrdə davamlıdır.

Nəzərə alın ki, bir şərtlə ki, bizdən davamlılıq üçün bütün funksiyanın öyrənilməsi ilə bağlı heç nə tələb olunmayıb və formalaşdırmaq üçün yaxşı riyazi forma hesab olunur. dəqiq və aydın verilən sualın cavabı. Yeri gəlmişkən, əgər şərtlər sizdən qrafik qurmağı tələb etmirsə, onda sizin onu qurmamağa tam hüququnuz var (baxmayaraq ki, sonradan müəllim sizi buna məcbur edə bilər).

Bunu özünüz həll etmək üçün kiçik bir riyazi "dil bükmə":

Misal 7

Funksiya verilmişdir . Nöqtələrdə davamlılıq funksiyasını araşdırın. Əgər varsa, kəsilmə nöqtələrini təsnif edin. Rəsmi icra edin.

Bütün "sözləri" düzgün "tələffüz etməyə" çalışın =) Və qrafiki daha dəqiq çəkin, dəqiqlik, hər yerdə artıq olmaz;-)

Yadınızdadırsa, mən rəsmləri dərhal qaralama şəklində tamamlamağı tövsiyə etdim, lakin vaxtaşırı qrafikin nəyə bənzədiyini dərhal anlaya bilməyəcəyiniz nümunələrə rast gəlirsiniz. Buna görə də, bəzi hallarda, əvvəlcə birtərəfli hədləri tapmaq və yalnız bundan sonra, tədqiqata əsaslanaraq, budaqları təsvir etmək sərfəlidir. Son iki nümunədə bəzi birtərəfli limitlərin hesablanması texnikasını da öyrənəcəyik:

Misal 8

Funksiyanı fasiləsizliyə görə yoxlayın və onun sxematik qrafikini qurun.

Həll: pis nöqtələr göz qabağındadır: (göstəricinin məxrəcini sıfıra endirir) və (bütün kəsrin məxrəcini sıfıra endirir). Bu funksiyanın qrafikinin necə göründüyü aydın deyil, yəni əvvəlcə bəzi araşdırmalar aparmaq daha yaxşıdır.

Topologiya– funksiyaların hədlərini və davamlılığını öyrənən riyaziyyatın bir qolu. Cəbrlə birlikdə topologiya riyaziyyatın ümumi əsasını təşkil edir.

Topoloji fəza və ya rəqəm - nöqtələri arasında müəyyən bir yaxınlıq əlaqəsi verilən homojen Evklid fəzamızın alt çoxluğu. Burada fiqurlar sərt cisimlər kimi deyil, keyfiyyət xüsusiyyətlərini qoruyan davamlı deformasiyaya imkan verən çox elastik rezindən hazırlanmış əşyalar kimi qəbul edilir.

Fiqurların bir-bir davamlı xəritələşdirilməsi deyilir homeomorfizm. Başqa sözlə, rəqəmlər homeomorf, əgər biri davamlı deformasiya ilə digərinə keçirilə bilərsə.

Nümunələr. Aşağıdakı rəqəmlər homeomorfikdir (müxtəlif qrupların rəqəmləri homeomorf deyil), Şəkil 1-də göstərilmişdir. 2.

1. Öz-özünə kəsişmələri olmayan seqment və əyri.

2. Dairə, kvadratın içi, lent.

3. Kür, kub və tetraedrin səthi.

4. Dairə, ellips və düyünlü dairə.

5. Təyyarədə bir üzük (deşik olan bir dairə), boşluqda bir üzük, iki dəfə bükülmüş halqa, silindrin yan səthi.

6. Möbius zolağı, yəni. bir dəfə burulmuş üzük və üç dəfə burulmuş üzük.

7. Torusun (donut) səthi, sapı olan kürə və düyünlü torus.

8. İki tutacaqlı kürə və iki deşikli simit.

Riyazi analizdə funksiyalar limitlər üsulu ilə öyrənilir. Dəyişən və limit əsas anlayışlardır.

Müxtəlif hadisələrdə bəzi kəmiyyətlər öz ədədi dəyərini saxlayır, digərləri dəyişir. Dəyişənin bütün ədədi dəyərlərinin çoxluğuna deyilir bu dəyişənin dəyişmə sahəsi.

Dəyişənin davranışının müxtəlif yollarından ən mühümü dəyişənin müəyyən həddə meyl etməsidir.

Sabit nömrə açağırdı dəyişən limit, aralarındakı fərqin mütləq qiyməti olarsa x Və a() dəyişən dəyərinin dəyişdirilməsi prosesində olur x istədiyiniz qədər kiçik:

"İstədiyiniz qədər kiçik" nə deməkdir? Dəyişən dəyər X həddinə çatmağa çalışır A, əgər hər hansı bir ixtiyari kiçik (ixtiyari kiçik) ədəd üçün dəyişənin dəyişməsində belə bir an varsa X, ondan başlayaraq bərabərsizlik baş verir .

Həddinin tərifinin sadə həndəsi mənası var: bərabərsizlik bunun mənası X məntəqənin məhəlləsindədir a, olanlar. intervalda .

Beləliklə, limitin tərifi həndəsi formada verilə bilər:

Nömrə A dəyişənin limitidir X, əgər hər hansı ixtiyari kiçik (ixtiyari kiçik) üçün - ədədin qonşuluğu A dəyişəni dəyişdirərkən belə bir anı təyin edə bilərsiniz X, ondan başlayaraq onun bütün dəyərləri göstərilən nöqtənin qonşuluğuna düşür A.

Şərh. Dəyişən dəyər X onun həddinə müxtəlif yollarla yaxınlaşa bilər: bu limitdən az qalmaq (solda), daha çox (sağda), limitin qiyməti ətrafında tərəddüd etmək.

Ardıcıllıq limiti

Funksiya hər bir elementin uyğun olduğu qanun (qayda) adlanır x bəzi dəst X bir elementə uyğun gəlir y dəstləri Y.

Funksiyanı bütün natural ədədlər çoxluğunda təyin etmək olar: . Bu funksiya deyilir təbii arqument funksiyası və ya ədədi ardıcıllıq.

Ardıcıllıq, hər hansı bir sonsuz çoxluq kimi, sadalama ilə müəyyən edilə bilmədiyi üçün ümumi bir terminlə müəyyən edilir: , burada ardıcıllığın ümumi terminidir.

Diskret dəyişən ardıcıllığın ümumi terminidir.

Ardıcıllıq üçün “bir nöqtədən başlayaraq” sözləri “bir nömrədən başlayaraq” sözlərini bildirir.

Nömrə A ardıcıllığın həddi adlanır , əgər hər hansı ixtiyari kiçik (ixtiyari kiçik) ədəd üçün belə bir ədəd varsa N, nömrə ilə ardıcıllığın bütün üzvləri üçün n>N bərabərsizlik davam edir .

və ya saat .

Həndəsi olaraq, ardıcıllığın həddinin tərifi aşağıdakıları ifadə edir: hər hansı bir ixtiyari kiçik (ixtiyari kiçik) üçün - ədədin qonşuluğu A belə bir sıra var ki, ardıcıllığın bütün şərtləri daha böyükdür N, nömrələr, bu yaxınlığa düşür. Ardıcıllığın yalnız sonlu sayda ilkin şərtləri qonşuluqdan kənarda görünür. Natural ədəd N asılıdır : .