Portalda reklama

Ikkita taxminiy tasodifiy va imkonsiz voqeani o'ylab toping. Ikkita ishonchli, tasodifiy va imkonsiz voqeani o'ylab toping. Yangi materialni o'rganish

Dars mavzusi: "Tasodifiy, ishonchli va imkonsiz hodisalar"

Darsning o'quv rejasidagi o'rni: "Kombinatorika. Tasodifiy hodisalar” darsi 5/8

Dars turi: Yangi bilimlarni shakllantirish darsi

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

o tasodifiy, aniq va imkonsiz hodisa ta'rifini kiritish;

o real vaziyat jarayonida ehtimollar nazariyasi atamalarini belgilashga o'rgatish: ishonchli, imkonsiz, teng ehtimolli hodisalar;

Rivojlanayotgan:

o mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga yordam berish,

o talabalarning kognitiv qiziqishlari;

o solishtirish va tahlil qilish qobiliyati;

Tarbiyaviy:

o matematikani o'rganishga qiziqishni rivojlantirish;

o'quvchilarning dunyoqarashini rivojlantirish.

o intellektual ko'nikmalar va aqliy operatsiyalarga ega bo'lish;

O'qitish usullari: tushuntirish-illyustrativ, reproduktiv, matematik diktant.

UMC: Matematika: 6 hujayra uchun darslik. muharrirligi va boshqalar, “Ma’rifat” nashriyoti, 2008, Matematika, 5-6: kitob. o'qituvchi uchun / [, [ , ]. - M.: Ta'lim, 2006 yil.

Didaktik material: taxta plakatlar.

Adabiyot:

1. Matematika: darslik. 6 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar/ va boshqalar]; ed. , ; Ros. akad. Fanlar, Ros. akad. ta’lim, “Ma’rifat” nashriyoti. - 10-nashr. - M.: Ma'rifat, 2008.-302 b.: kasal. - (Akademik maktab darsligi).

2. Matematika, 5-b: kitob. o'qituvchi uchun / [, ]. - M. : Ta'lim, 2006. - 191 p. : kasal.

4. Statistika, kombinatorika va ehtimollar nazariyasiga oid masalalar yechish. 7-9 sinflar. / auth.- komp. . Ed. 2, rev. - Volgograd: O'qituvchi, 2006. -428 p.

5. Axborot texnologiyalaridan foydalangan holda matematika darslari. 5-10 sinflar. Metodik - elektron ilovaga ega qo'llanma / va boshqalar. 2-nashr, stereotip. - M.: Globus nashriyoti, 2010. - 266 b. (Zamonaviy maktab).

6. Matematikani o'qitishda zamonaviy maktab. Yo'riqnomalar. Vladivostok: PIPPCRO nashriyoti, 2003 yil.

DARS REJASI

I. Tashkiliy moment.

II. og'zaki ish.

III. Yangi materialni o'rganish.

IV. Ko'nikma va malakalarni shakllantirish.

V. Dars natijalari.

V. Uyga vazifa.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt

2. Bilimlarni yangilash

15*(-100)

Og'zaki ish:

3. Yangi materialni tushuntirish

O'qituvchi: Bizning hayotimiz asosan baxtsiz hodisalardan iborat. Bunday fan bor "Ehtimollar nazariyasi". Uning tilidan foydalanib, ko'plab hodisa va vaziyatlarni tasvirlash mumkin.

Aleksandr Makedonskiy yoki Dmitriy Donskoy kabi qadimgi sarkardalar jangga tayyorgarlik ko'rayotganda, nafaqat jangchilarning jasorati va mahoratiga, balki tasodifga ham tayangan.

Ko'pchilik matematikani yaxshi ko'radi abadiy haqiqatlar ikki marta ikki har doim to'rt bo'ladi, juft sonlar yig'indisi juft, to'rtburchakning maydoni uning qo'shni tomonlari ko'paytmasi va hokazo.Siz yechgan har qanday masalada hamma bir xil javob oladi - shunchaki qilish shart emas. yechimdagi xatolar.

Haqiqiy hayot unchalik oddiy va aniq emas. Ko'pgina voqealarning natijalarini oldindan aytib bo'lmaydi. Masalan, tashlangan tanga qaysi tarafga tushishini, kelasi yil birinchi qor qachon yog‘ishini yoki yaqin bir soat ichida shaharda qancha odam qo‘ng‘iroq qilishni xohlashini aniq aytish mumkin emas. Bunday oldindan aytib bo'lmaydigan hodisalar deyiladi tasodifiy .

Biroq, ishning ham o'z qonuniyatlari bor, ular tasodifiy hodisalarning takroriy takrorlanishi bilan o'zini namoyon qila boshlaydi. Agar siz tangani 1000 marta tashlasangiz, "burgut" taxminan yarmiga tushadi, buni ikki yoki hatto o'nta otish haqida aytib bo'lmaydi. "Taxminan" yarmi degani emas. Bu, qoida tariqasida, bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Qonun, odatda, hech narsa aniq aytmaydi, lekin ba'zi tasodifiy hodisa ro'y berishiga ma'lum darajada ishonch beradi.

Bunday qonuniyatlarni matematikaning maxsus bo'limi o'rganadi - Ehtimollar nazariyasi . Uning yordamida siz birinchi qor yog'ish sanasini ham, qo'ng'iroqlar sonini ham ishonchliroq (lekin hali ham aniq emas) taxmin qilishingiz mumkin.

Ehtimollar nazariyasi biz bilan uzviy bog'liqdir kundalik hayot. Bu bizga ko'plab ehtimollik qonunlarini o'rnatish uchun ajoyib imkoniyat beradi empirik tarzda tasodifiy tajribalarni ko'p marta takrorlash orqali. Ushbu tajribalar uchun materiallar ko'pincha oddiy tanga, zar, dominolar to'plami, tavla, rulet yoki hatto kartalar palubasi bo'ladi. Ushbu elementlarning har biri u yoki bu tarzda o'yinlar bilan bog'liq. Gap shundaki, bu erda holat eng tez-tez uchraydigan shaklda namoyon bo'ladi. Va birinchi ehtimollik vazifalari o'yinchilarning g'alaba qozonish imkoniyatlarini baholash bilan bog'liq edi.

Zamonaviy ehtimollik nazariyasi qimor o'yinlaridan uzoqlashdi, ammo ularning rekvizitlari hali ham tasodifning eng oddiy va eng ishonchli manbai bo'lib qolmoqda. Ruletka va o'lim bilan mashq qilish orqali siz haqiqiy hayotda tasodifiy hodisalarning ehtimolini qanday hisoblashni o'rganasiz. hayotiy vaziyatlar, bu sizning muvaffaqiyat imkoniyatingizni baholash, farazlarni sinab ko'rish, nafaqat o'yinlar va lotereyalarda optimal qarorlar qabul qilish imkonini beradi.

Ehtimoliy muammolarni hal qilishda juda ehtiyot bo'ling, har bir qadamni asoslashga harakat qiling, chunki matematikaning boshqa sohalarida bunday paradokslar mavjud emas. Ehtimollar nazariyasi kabi. Va, ehtimol, buning asosiy izohi uning biz yashayotgan haqiqiy dunyo bilan bog'liqligidir.

Ko'pgina o'yinlarda har bir tomonda 1 dan 6 gacha bo'lgan nuqtalar soni har xil bo'lgan zardan foydalaniladi. O'yinchi matritsani aylantiradi, qancha nuqta tushganiga qarab (yuqorida joylashgan tomonda) va tegishli raqamni yaratadi. harakatlarning soni: 1,2,3 ,4,5 yoki 6. Qolipni dumalab o‘tish tajriba, tajriba, sinov, olingan natijani esa hodisa deb hisoblash mumkin. Odamlar odatda hodisaning boshlanishini taxmin qilish, uning natijasini bashorat qilishdan juda manfaatdor. Zar tashlanganda ular qanday bashorat qilishlari mumkin?

Birinchi bashorat: 1,2,3,4,5 yoki 6 raqamlaridan biri tushib qoladi.Sizningcha bashorat qilingan voqea keladimi yoki yo'qmi? Albatta, albatta keladi.

Muayyan tajribada sodir bo'lishi aniq bo'lgan hodisa deyiladi ishonchli voqea.

Ikkinchi bashorat : 7 raqami tushadi.Sizningcha bashorat qilingan voqea keladimi yoki yo'qmi? Albatta bo'lmaydi, bu shunchaki imkonsiz.

Berilgan tajribada sodir bo'lmaydigan hodisa deyiladi imkonsiz voqea.

Uchinchi bashorat : 1 raqami tushib ketadi.Sizningcha bashorat qilingan voqea keladimi yoki yo'qmi? Biz bu savolga to'liq aniq javob bera olmaymiz, chunki bashorat qilingan voqea sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin.

Xuddi shu sharoitda sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisalar deyiladi tasodifiy.

Misol. Qutida ko‘k rangli o‘ramdagi 5 ta shokolad va bittasi oq rangli shokolad mavjud. Qutiga qaramasdan, ular tasodifan bitta konfetni olishadi. Qanday rang bo'lishini oldindan aytish mumkinmi?

Mashq qilish : quyidagi vazifalarda muhokama qilinadigan voqealarni tasvirlab bering. Aniq, imkonsiz yoki tasodifiy.

1. Tangani aylantiring. Gerb paydo bo'ldi. (tasodifiy)

2. Ovchi bo‘riga o‘q uzdi va urdi. (tasodifiy)

3. Maktab o‘quvchisi har oqshom sayrga chiqadi. Sayr paytida, dushanba kuni u uchta tanishini uchratdi. (tasodifiy)

4. Quyidagi tajribani aqlan bajaramiz: bir stakan suvni teskari aylantiring. Agar bu tajriba kosmosda emas, balki uyda yoki sinfda o'tkazilsa, suv quyiladi. (haqiqiy)

5. Nishonga uch marta o‘q uzildi”. Beshta hit bo'ldi." (mumkin emas)

6. Toshni yuqoriga tashlang. Tosh havoda osilgan holda qoladi. (mumkin emas)

Misol Petya homilador bo'ldi natural son. Tadbir quyidagicha:

a) juft son tushuniladi; (tasodifiy)

b) toq son o'ylab topilgan; (tasodifiy)

v) juft ham, toq ham bo‘lmagan son o‘ylab topilgan; (mumkin emas)

d) juft yoki toq son tushuniladi. (haqiqiy)

Berilgan sharoitda teng imkoniyatlarga ega bo'lgan hodisalar deyiladi teng ehtimolli.

Imkoniyatlari teng bo'lgan tasodifiy hodisalar chaqiriladi teng darajada mumkin yoki teng ehtimolli .

Plakatni doskaga qo'ying.

Og'zaki imtihonda talaba oldiga qo'yilgan chiptalardan birini oladi. Imtihon chiptalaridan birini olish imkoniyati tengdir. Zarni uloqtirganda 1 dan 6 gacha bo'lgan istalgan miqdordagi ballni, shuningdek, tanga otishda bosh yoki dumni yo'qotish ham bir xil darajada mumkin.

Ammo hamma voqealar ham shunday emas teng darajada mumkin. Signal jiringlamasligi, lampochkaning yonishi, avtobus buzilib ketishi mumkin, ammo normal sharoitda bunday hodisalar dargumon. Budilnik jiringlashi, chiroq yonishi, avtobus ketishi ehtimoli ko'proq.

Ba'zi voqealar imkoniyatlar ko'proq sodir bo'ladi, ya'ni ular ehtimoli ko'proq - ishonchliga yaqinroq. Boshqalar esa kamroq imkoniyatga ega, ular kamroq - imkonsizga yaqinroq.

Mumkin bo'lmagan hodisalarning sodir bo'lish imkoniyati yo'q va ba'zi voqealar sodir bo'lish uchun barcha imkoniyatlarga ega, muayyan sharoitlarda ular albatta sodir bo'ladi.

Misol Petya va Kolya tug'ilgan kunlarini solishtirishadi. Tadbir quyidagicha:

a) ularning tug'ilgan kunlari mos kelmaydi; (tasodifiy)

b) ularning tug'ilgan kunlari bir xil; (tasodifiy)

d) ikkala tug'ilgan kun bayramlarga to'g'ri keladi - Yangi yil(1 yanvar) va Rossiya Mustaqillik kuni (12 iyun). (tasodifiy)

3. Ko`nikma va malakalarni shakllantirish

000-son darslikdagi topshiriq. Quyidagi tasodifiy hodisalardan qaysi biri ishonchli, mumkin?

a) toshbaqa gapirishni o'rganadi;

b) pechka ustidagi choynakdagi suv qaynaydi;

d) lotereyada qatnashish orqali yutasiz;

e) g'alaba qozongan lotereyada qatnashish orqali yutib olmaysiz;

f) shaxmat o'yinida yutqazasiz;

g) ertaga begona odamni uchratasiz;

h) keyingi haftada ob-havo yomonlashadi; i) siz qo'ng'iroqni bosdingiz, lekin u jiringlamadi; j) bugun - payshanba;

k) payshanbadan keyin juma bo'ladi; m) juma kunidan keyin payshanba bo'ladimi?

Qutilarda 2 ta qizil, 1 ta sariq va 4 ta yashil shar bor. Qutidan tasodifiy uchta to'p olinadi. Quyidagi hodisalardan qaysi biri imkonsiz, tasodifiy, aniq:

Javob: Uchta yashil shar chiziladi;

B: uchta qizil shar chiziladi;

C: ikki rangdagi sharlar chiziladi;

D: bir xil rangdagi sharlar chiziladi;

E: chizilgan to'plar orasida ko'k bor;

F: chizilganlar orasida uchta rangdagi to'plar bor;

G: Chizilgan to'plar orasida ikkita sariq to'p bormi?

O'zingizni tekshiring. (matematik diktant)

1) Quyidagi hodisalarning qaysi biri imkonsiz, qaysi biri aniq, qaysi biri tasodifiy ekanligini ko‘rsating:

“Spartak” – “Dinamo” futbol uchrashuvi durang bilan yakunlanadi (tasodifiy)

Siz g'alaba qozongan lotereyada qatnashib g'olib bo'lasiz ( haqiqiy)

Yarim tunda qor yog'adi, 24 soatdan keyin quyosh porlaydi (mumkin emas)

· Ertaga matematikadan test bo'ladi. (tasodifiy)

· Siz AQSh prezidenti etib saylanasiz. (mumkin emas)

· Siz Rossiya prezidenti etib saylanasiz. (tasodifiy)

2) Siz do'konda televizor sotib oldingiz, buning uchun ishlab chiqaruvchi ikki yillik kafolat beradi. Quyidagi hodisalarning qaysi biri imkonsiz, qaysi biri tasodifiy, qaysi biri aniq:

· Televizor bir yil ichida buzilmaydi. (tasodifiy)

Televizor ikki yil ichida buzilmaydi . (tasodifiy)

· Ikki yil ichida siz televizorni ta'mirlash uchun pul to'lamaysiz. (haqiqiy)

Uchinchi yilda televizor buziladi. (tasodifiy)

3) 15 yo'lovchini olib ketayotgan avtobusga 10 ta to'xtash kerak. Quyidagi hodisalarning qaysi biri imkonsiz, qaysi biri tasodifiy, qaysi biri aniq:

· Barcha yo‘lovchilar turli bekatlarda avtobusdan tushishadi. (mumkin emas)

Barcha yo'lovchilar bitta bekatda tushishadi. (tasodifiy)

Har bir bekatda hech bo'lmaganda kimdir tushadi. (tasodifiy)

Hech kim tushmaydigan to'xtash joyi bo'ladi. (tasodifiy)

Barcha bekatlarda teng miqdordagi yo‘lovchilar tushadi. (mumkin emas)

Barcha bekatlarda toq sondagi yo‘lovchilar tushadi. (mumkin emas)

Dars xulosasi

Talabalar uchun savollar:

Qanday hodisalar tasodifiy deyiladi?

Qanday hodisalar teng ehtimolli deb ataladi?

Qanday hodisalar ishonchli deb hisoblanadi? imkonsizmi?

Qaysi hodisalar ehtimoli ko'proq deb hisoblanadi? ehtimoli kamroq?

Uy vazifasi : 9.3-band

№ 000. Muayyan, imkonsiz hodisalarga, shuningdek, ro'y berishi shart deb bo'lmaydigan hodisalarga uchta misol keltiring.

902. Bir qutida 10 ta qizil, 1 ta yashil va 2 ta ko‘k rangli ruchka bor. Ikkita qalam tasodifiy qutidan chiqariladi. Quyidagi hodisalardan qaysi biri mumkin emas, aniq:

Javob: Ikkita qizil tutqich chiqariladi; B: ikkita yashil tutqich chiqariladi; C: ikkita ko'k tutqich chiqariladi; D: Har xil rangdagi ikkita tutqich chiqariladi;

E: Ikkita qalam olinadimi? 03. Egor va Danila kelishib oldilar: agar aylanuvchi stol o'qi (205-rasm) oq maydonda to'xtasa, u holda Egor panjarani bo'yaydi, agar ko'k maydonda bo'lsa, Danila. Qaysi bola to'siqni bo'yashga moyil?

Darsning maqsadi:

  1. Muayyan, imkonsiz va tasodifiy hodisalar tushunchasini kiriting.
  2. Hodisalarning turini aniqlash uchun bilim va ko'nikmalarni shakllantirish.
  3. Rivojlantirish: hisoblash qobiliyati; Diqqat; tahlil qilish, fikr yuritish, xulosa chiqarish qobiliyati; guruhda ishlash ko'nikmalari.

Darslar davomida

1) Tashkiliy davr.

Interfaol mashq: bolalar misollarni echishlari va so'zlarni ochishlari kerak, natijalarga ko'ra ular guruhlarga bo'linadi (ishonchli, imkonsiz va tasodifiy) va dars mavzusini aniqlaydilar.

1 ta karta.

0,5 1,6 12,6 5,2 7,5 8 5,2 2,08 0,5 9,54 1,6

2 ta karta

0,5 2,1 14,5 1,9 2,1 20,4 14 1,6 5,08 8,94 14

3 ta karta

5 2,4 6,7 4,7 8,1 18 40 9,54 0,78

2) O'rganilgan bilimlarni dolzarblashtirish.

"Qarsaklar" o'yini: juft son - qarsak chalish, toq raqam - turish.

Topshiriq: berilgan sonlar qatoridan 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... juft va toq sonlarni aniqlang.

3) Yangi mavzuni o'rganish.

Stollarda kublar bor. Keling, ularni batafsil ko'rib chiqaylik. Nimani ko'ryapsiz?

Zarlar qayerda ishlatiladi? Qanday qilib?

Guruh ishi.

Tajriba o'tkazish.

Zarni otishda qanday bashorat qilish mumkin?

Birinchi bashorat: 1,2,3,4,5 yoki 6 raqamlaridan biri tushadi.

Muayyan tajribada sodir bo'lishi aniq bo'lgan hodisa deyiladi ishonchli.

Ikkinchi bashorat: 7 raqami paydo bo'ladi.

Sizningcha, bashorat qilingan voqea sodir bo'ladimi yoki yo'qmi?

Bu mumkin emas!

Berilgan tajribada sodir bo'lmaydigan hodisa deyiladi imkonsiz.

Uchinchi bashorat: 1 raqami chiqadi.

Bu voqea sodir bo'ladimi?

Berilgan tajribada sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa deyiladi tasodifiy.

4) O'rganilgan materialni mustahkamlash.

I. Hodisa turini aniqlang

-Ertaga qizil qor yog'adi.

Ertaga kuchli qor yog‘adi.

Ertaga iyul bo'lsa-da, qor yog'adi.

Ertaga iyul bo'lsa-da, qor yog'maydi.

Ertaga qor yog'adi, bo'ron bo'ladi.

II. Ushbu gapga shunday so'z qo'shingki, voqea imkonsiz bo'lib qoladi.

Kolya tarix fanidan A ball oldi.

Sasha testda bitta topshiriqni bajarmadi.

Oksana Mixaylovna (tarix o'qituvchisi) yangi mavzuni tushuntiradi.

III. Mumkin bo'lmagan, tasodifiy va muayyan hodisalarga misollar keltiring.

IV. Darslik asosida ishlash (guruhlarda).

Quyidagi vazifalarda muhokama qilingan voqealarni aniq, imkonsiz yoki tasodifiy deb ta'riflang.

№ 959. Petya natural sonni o'ylab topdi. Tadbir quyidagicha:

a) juft son tushuniladi;

b) toq son o'ylab topilgan;

v) juft ham, toq ham bo‘lmagan son o‘ylab topilgan;

d) juft yoki toq son tushuniladi.

No 960. Siz ushbu darslikni istalgan sahifaga ochdingiz va birinchi kelgan otni tanladingiz. Tadbir quyidagicha:

a) tanlangan so‘zning imlosida unli bor;

b) tanlangan so'zning imlosida "o" harfi bor;

v) tanlangan so'zning imlosida unlilar yo'q;

d) tanlangan so`zning imlosida yumshoq belgi bor.

#961, #964 yechish.

Yechilgan vazifalarni muhokama qilish.

5) Fikrlash.

1. Darsda qanday voqealar bilan tanishdingiz?

2. Quyidagi hodisalardan qaysi biri aniq, qaysi biri mumkin emas, qaysi biri tasodifiy ekanligini ko‘rsating:

a) yozgi ta'tillar bo'lmaydi;

b) sendvich sariyog 'bilan pastga tushadi;

c) o'quv yili qachondir tugaydi.

6) Uy vazifasi:

Ikkita ishonchli, tasodifiy va imkonsiz voqeani o'ylab toping.

Ulardan birini chizing.

Ehtimollar nazariyasi, matematikaning har qanday sohasi kabi, ma'lum bir tushunchalar doirasi bilan ishlaydi. Ehtimollar nazariyasi tushunchalarining ko'pchiligi ta'riflangan, ammo ba'zilari geometriyadagi nuqta, chiziq, tekislik kabi aniqlanmagan, birlamchi sifatida qabul qilinadi. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi hodisadir. Voqea - bu ma'lum bir vaqtdan so'ng, ikkitadan bittasini aytish mumkin bo'lgan narsadir:

  • · Ha, shunday bo'ldi.
  • · Yo'q, bunday bo'lmadi.

Masalan, menda lotereya chiptasi bor. Lotereya o'yini natijalari e'lon qilingandan so'ng, meni qiziqtirgan voqea - ming rubl yutib olish sodir bo'ladi yoki sodir bo'lmaydi. Har qanday hodisa sinov (yoki tajriba) natijasida yuzaga keladi. Sinov (yoki tajriba) ostida voqea sodir bo'lgan sharoitlarni tushuning. Misol uchun, tanga tashlash - bu sinov va unda "gerb" paydo bo'lishi - voqea. Voqea odatda bosh lotin harflari bilan belgilanadi: A, B, C, .... Moddiy dunyodagi hodisalarni uch toifaga bo'lish mumkin - aniq, imkonsiz va tasodifiy.

Muayyan voqea sodir bo'lishi oldindan ma'lum bo'lgan hodisadir. U W harfi bilan belgilanadi. Shunday qilib, oddiy zar otishda oltitadan ko'p bo'lmagan ball ishonchli bo'ladi, faqat oq sharlar bo'lgan urnadan chiqarilganda oq sharning ko'rinishi va hokazo.

Mumkin bo'lmagan hodisa - bu sodir bo'lmasligi oldindan ma'lum bo'lgan voqea. U E harfi bilan belgilanadi. Mumkin bo'lmagan hodisalarga misol qilib oddiy kartalar dastasidan to'rttadan ortiq eysni chizish, faqat oq va qora sharlardan iborat urnadan qizil sharning paydo bo'lishi va hokazo.

Tasodifiy hodisa - bu sinov natijasida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. A va B hodisalar, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish imkoniyatini istisno qilsa, mos kelmaydigan hodisalar deb ataladi. Demak, zarbni otishda istalgan mumkin bo'lgan nuqtalar sonining ko'rinishi (A hodisasi) boshqa raqamning ko'rinishiga (B hodisasi) mos kelmaydi. Juft sonli nuqtalarni aylantirish toq sonni aylantirish bilan mos kelmaydi. Aksincha, juft sonli nuqtalar (A hodisasi) va uchga boʻlinadigan nuqtalar soni (B hodisasi) mos kelmaydigan boʻlmaydi, chunki olti nuqtaning yoʻqolishi A hodisasi ham, B hodisasi ham sodir boʻlishini bildiradi, demak, bitta hodisa sodir boʻladi. ulardan biri ikkinchisining yuzaga kelishini istisno etmaydi. Hodisalar ustida operatsiyalar bajarilishi mumkin. Ikki hodisaning birlashishi C=AUB - bu A va B hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lgandagina sodir bo'ladigan C hodisasi.Ikki hodisaning kesishishi D=A?? B hodisa A va B hodisasi sodir bo'lgandagina sodir bo'ladi.

Biz kuzatgan hodisalarni (hodisalar) quyidagi uch turga bo'lish mumkin: ishonchli, imkonsiz va tasodifiy.

ishonchli Agar ma'lum shartlar to'plami S amalga oshirilsa, albatta sodir bo'ladigan hodisani chaqiring.Masalan, agar idishda normal atmosfera bosimi va 20 ° haroratda suv bo'lsa, u holda "idishdagi suv suyuq holatda bo'ladi". ” aniq. Ushbu misolda belgilangan atmosfera bosimi va suv harorati S shartlar to'plamini tashkil qiladi.

Mumkin emas S shartlar to'plami bajarilsa, albatta sodir bo'lmaydigan hodisani chaqiring.Masalan, oldingi misoldagi shartlar to'plami bajarilsa, "idishdagi suv qattiq holatda" hodisasi albatta sodir bo'lmaydi.

Tasodifiy S shartlar majmui amalga oshirilganda sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi hodisasi hodisa deyiladi. Masalan, agar tanga tashlansa, u gerb yoki yozuv bo'lishi uchun tushishi mumkin. Shuning uchun, "tanga otishda" gerb yiqilib tushishi tasodifiy hodisa. Har bir tasodifiy hodisa, xususan, "gerb" ning qulashi juda ko'p tasodifiy sabablar ta'sirining natijasidir (bizning misolimizda: tanga otilgan kuch, tanga shakli va boshqalar. ). Bu sabablarning barchasining natijaga ta'sirini hisobga olishning iloji yo'q, chunki ularning soni juda ko'p va ularning harakat qonunlari noma'lum. Shuning uchun ehtimollik nazariyasi o'z oldiga bitta hodisa sodir bo'ladimi yoki yo'qligini bashorat qilish vazifasini qo'ymaydi - u shunchaki qila olmaydi.

Agar S bir xil sharoitlarda qayta-qayta kuzatilishi mumkin bo'lgan tasodifiy hodisalarni ko'rib chiqsak, ya'ni massiv bir jinsli tasodifiy hodisalar haqida gapiradigan bo'lsak, vaziyat boshqacha. Ma'lum bo'lishicha, bu etarli katta raqam bir hil tasodifiy hodisalar, ularning o'ziga xos xususiyatidan qat'i nazar, ma'lum qonunlarga, ya'ni ehtimollik qonunlariga bo'ysunadi. Bu qonuniyatlarni o'rnatish bilan aynan ehtimollar nazariyasi shug'ullanadi.

Shunday qilib, ehtimollar nazariyasining predmeti massiv bir xil tasodifiy hodisalarning ehtimollik qonuniyatlarini o'rganishdir.

Ehtimollar nazariyasi usullari tabiatshunoslik va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Ehtimollar nazariyasi matematik va amaliy statistikani asoslash uchun ham xizmat qiladi.

Tasodifiy hodisalarning turlari. Voqealar chaqiriladi mos kelmaydigan agar ulardan birining sodir bo'lishi xuddi shu sud muhokamasida boshqa hodisalarning sodir bo'lishini istisno qilsa.

Misol. Bir tanga tashlanadi. "Gerb" ning ko'rinishi yozuvning ko'rinishini istisno qiladi. "Gerb paydo bo'ldi" va "yozuv paydo bo'ldi" voqealari bir-biriga mos kelmaydi.

Bir nechta hodisalar shakllanadi to'liq guruh, agar ulardan kamida bittasi test natijasida paydo bo'lsa. Xususan, agar to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalar juftlik mos kelmaydigan bo'lsa, unda test natijasida bu hodisalardan bittasi va faqat bittasi paydo bo'ladi. Bu alohida holat biz uchun katta qiziqish uyg'otadi, chunki u quyida qo'llaniladi.

2-misol. Naqd pul va kiyim-kechak lotereyasi uchun ikkita chipta sotib olindi. Quyidagi voqealardan biri va faqat bittasi albatta sodir bo'ladi: "yutuq birinchi chiptaga tushmadi va ikkinchisiga tushmadi", "yutuq birinchi chiptaga tushmadi va ikkinchisiga tushdi", "yutuq tushdi" ikkala chiptada”, “yutuq ikkala chiptada ham yutmagan”. Bu hodisalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

3-misol. Otuvchi nishonga qarata o‘q uzdi. Quyidagi ikkita voqeadan biri albatta sodir bo'ladi: urish, miss. Bu ikki ajralgan hodisa to'liq guruhni tashkil qiladi.

Voqealar chaqiriladi teng darajada mumkin hech biri boshqasidan ko'ra mumkin emasligiga ishonish uchun asos bo'lsa.

4-misol. “Gerb”ning paydo bo‘lishi va tanga otilayotganda yozuvning paydo bo‘lishi bir xil darajada mumkin bo‘lgan hodisalardir. Haqiqatan ham, tanga bir hil materialdan tayyorlanganligi, muntazam silindrsimon shaklga ega ekanligi, tanganing mavjudligi tanganing u yoki bu tomonining yo‘qolishiga ta’sir qilmaydi, deb taxmin qilinadi.

Lotin alifbosining bosh harflarida o'z-o'zini belgilash: A, B, C, .. A 1, A 2 ..

Qarama-qarshiliklar to'liq guruhni tashkil etuvchi 2 noyob mumkin so-I deb ataladi. Ikkisidan biri qarama-qarshi bo'lsa hodisalar A bilan belgilanadi, keyin boshqa belgilar A`.

Misol 5. Nishonga - qarama-qarshi jinsga o'q otishda urish va o'tkazib yuborish. Shaxsiy.

1.1. Kombinatorikadan ba'zi ma'lumotlar

1.1.1. Turar joy

Muayyan ob'ektlar to'plamini tanlash va joylashtirish bilan bog'liq eng oddiy tushunchalarni ko'rib chiqing.
Bu harakatlarni bajarish usullari sonini hisoblash ko'pincha ehtimolli masalalarni yechishda amalga oshiriladi.
Ta'rif. dan turar joy n tomonidan elementlar k (k ≤n) har qanday tartiblangan kichik to‘plamidir k dan tashkil topgan to‘plamning elementlari n turli elementlar.
Misol. Quyidagi sonlar ketma-ketligi to‘plamning 3 ta elementidan (1;2;3) 2 ta elementning joylashuvi: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
E'tibor bering, joylashtirishlar ularning tarkibiy elementlari va ularning tarkibi tartibida farqlanadi. 12 va 21-joylar bir xil raqamlarni o'z ichiga oladi, lekin ularning tartibi boshqacha. Shuning uchun, bu joylashtirishlar har xil deb hisoblanadi.
dan turli xil joylashtirishlar soni n tomonidan elementlar k formula bilan belgilanadi va hisoblanadi:
,
qayerda n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(o'qing" n faktorial).
Raqam ikki xonali raqamlar, 1, 2, 3 raqamlaridan iborat bo'lishi mumkin, birorta ham raqam takrorlanmasligi sharti bilan: .

1.1.2. O'zgartirishlar

Ta'rif. dan almashtirishlar n elementlardan bunday joylashtirishlar deyiladi n faqat elementlarni joylashtirishda farq qiluvchi elementlar.
dan almashtirishlar soni n elementlar P n formula bo'yicha hisoblanadi: P n=n!
Misol. 5 kishi necha usulda qatorga turishi mumkin? Yo'llar soni 5 ta elementning almashtirishlar soniga teng, ya'ni.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Ta'rif. Agar orasida n elementlar k bir xil, keyin bularning almashtirish n elementlarni takrorlash bilan almashtirish deyiladi.
Misol. Aytaylik, 6 ta kitobdan 2 tasi bir xil. Tokchadagi barcha kitoblarning har qanday joylashuvi takrorlash bilan almashtiriladi.
Takrorlashlar bilan turli xil almashtirishlar soni (dan n elementlar, shu jumladan k bir xil) formula bilan hisoblanadi: .
Bizning misolimizda kitoblarni javonda joylashtirish usullari soni: .

1.1.3. Kombinatsiyalar

Ta'rif. dan kombinatsiyalar n tomonidan elementlar k bunday joylashtirishlar deyiladi n tomonidan elementlar k, ular bir-biridan kamida bitta element bilan farq qiladi.
Turli xil kombinatsiyalar soni n tomonidan elementlar k formula bilan belgilanadi va hisoblanadi: .
Ta'rifi bo'yicha 0!=1.
Kombinatsiyalar quyidagi xususiyatlarga ega:
1.
2.
3.
4.
Misol. Turli xil rangdagi 5 ta gul bor. Bir guldasta uchun 3 ta gul tanlanadi. 5 guldan 3 ta guldan iborat turli guldastalar soni: .

1.2. tasodifiy hodisalar

1.2.1. Ishlanmalar

Tabiiy fanlarda voqelikni bilish sinovlar (tajriba, kuzatish, tajriba) natijasida yuzaga keladi.
sinov yoki tajriba - bu o'zboshimchalik bilan ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan muayyan shartlar to'plamini amalga oshirish.
Tasodifiy qandaydir sinov (tajriba) natijasida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.
Shunday qilib, hodisa sinov natijasi sifatida qabul qilinadi.
Misol. Tanga tashlash sinovdir. Uloqtirilganda burgutning paydo bo'lishi hodisadir.
Biz kuzatayotgan hodisalar, ularning yuzaga kelish ehtimoli darajasi va munosabatlarining tabiati bilan farqlanadi.
Tadbir deyiladi ishonchli agar sinov natijasida yuzaga kelishi aniq bo'lsa.
Misol. Imtihonda ijobiy yoki salbiy baho olgan talaba, agar imtihon odatiy qoidalarga muvofiq davom etsa, ma'lum bir hodisa hisoblanadi.
Tadbir deyiladi imkonsiz agar bu test natijasida yuzaga kelmasa.
Misol. Faqat rangli (oq bo'lmagan) sharlarni o'z ichiga olgan urnadan oq to'pni chiqarib olish mumkin bo'lmagan hodisadir. E'tibor bering, tajribaning boshqa shartlarida oq to'pning paydo bo'lishi istisno qilinmaydi; Shunday qilib, bu hodisa faqat bizning tajribamiz sharoitida mumkin emas.
Bundan tashqari, tasodifiy hodisalar katta lotincha bilan belgilanadi A, B, C harflari... Aniq hodisa Ō harfi bilan, imkonsiz hodisa Ø bilan belgilanadi.
Ikki yoki undan ortiq hodisa chaqiriladi teng darajada mumkin berilgan testda, agar ushbu hodisalarning hech biri boshqalardan ko'ra ko'proq yoki kamroq ehtimoli borligiga ishonish uchun asos bo'lsa.
Misol. Zarni bir marta uloqtirganda 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ballning paydo bo'lishi bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisalardir. Albatta, matritsa bir hil materialdan tayyorlangan va muntazam shaklga ega deb taxmin qilinadi.
Ikki hodisa deyiladi mos kelmaydigan berilgan sud muhokamasida, agar ulardan birining sodir bo'lishi boshqasining yuzaga kelishini istisno qilsa va qo'shma aks holda.
Misol. Qutida standart va nostandart qismlar mavjud. Keling, bitta tafsilotni olaylik. Standart qismning ko'rinishi nostandart qismning ko'rinishini istisno qiladi. Bu hodisalar mos kelmaydi.
Bir nechta hodisalar shakllanadi voqealarning to'liq guruhi ushbu testda, agar ushbu test natijasida ulardan kamida bittasi majburiy ravishda yuzaga kelsa.
Misol. Misoldagi hodisalar teng darajada mumkin bo'lgan va juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
Berilgan sinovda hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi ikkita ajratilgan hodisa deyiladi qarama-qarshi hodisalar.
Agar ulardan biri bilan belgilansa A, keyin ikkinchisi odatda orqali belgilanadi (u "yo'q" deb o'qiydi A»).
Misol. Nishonga bitta o'q bilan urish va yo'qotish qarama-qarshi hodisalardir.

1.2.2. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Hodisa ehtimoli paydo bo'lish imkoniyatining sonli o'lchovidir.
Tadbir LEKIN chaqirdi qulay voqea DA agar biron bir voqea sodir bo'lsa LEKIN, hodisa sodir bo'ladi DA.
Ishlanmalar LEKIN 1 , LEKIN 2 , ..., LEKINn shakl holat diagrammasi , agar ular:
1) teng darajada mumkin;
2) juftlik mos kelmaydigan;
3) to'liq guruh tuzing.
Holatlar sxemasida (va faqat shu sxemada) ehtimollikning klassik ta'rifi sodir bo'ladi P(A) ishlanmalar LEKIN. Bu yerda teng darajada mumkin bo‘lgan va juftlik mos kelmaydigan hodisalarning tanlangan to‘liq guruhiga mansub hodisalarning har biri hol deyiladi.
Agar a n sxemadagi barcha holatlar soni va m- hodisa uchun qulay bo'lgan holatlar soni LEKIN, keyin hodisa ehtimoli LEKIN tenglik bilan belgilanadi:

Quyidagi xususiyatlar ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi:
1. Ehtimollik aniq voqea birga teng.
Haqiqatan ham, agar biron bir hodisa aniq bo'lsa, unda hodisalar sxemasidagi har bir hodisa hodisaga yordam beradi. Ushbu holatda m = n va shuning uchun

2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.
Haqiqatan ham, agar voqea imkonsiz bo'lsa, u holda ishlarning sxemasidan hech biri voqeani yoqtirmaydi. Shunung uchun m=0 va shuning uchun

Tasodifiy hodisaning ehtimoli noldan birgacha bo'lgan ijobiy sondir.
Darhaqiqat, tasodifiy hodisa faqat bir qismi tomonidan ma'qullanadi umumiy soni holatlar diagrammasidagi holatlar. Shuning uchun 0<m<n, bu 0 degan ma'noni anglatadi<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Demak, har qanday hodisaning ehtimoli tengsizliklarni qanoatlantiradi
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Hozirgi vaqtda ehtimollik xususiyatlari A.N. tomonidan tuzilgan aksiomalar shaklida aniqlanadi. Kolmogorov.
Ehtimollikning klassik ta'rifining asosiy afzalliklaridan biri to'g'ridan-to'g'ri hodisaning ehtimolini hisoblash qobiliyatidir, ya'ni. mantiqiy fikrlash bilan almashtiriladigan tajribalarga murojaat qilmasdan.

To'g'ridan-to'g'ri ehtimolliklarni hisoblash masalalari

Vazifa 1.1. Bitta zarbda juft sonli ball (A hodisasi) olish ehtimoli qanday?
Yechim. Voqealarni ko'rib chiqing LEKINi- tashlab ketdi i ball, i= 1, 2, …, 6. Shubhasiz, bu hodisalar holatlar namunasini tashkil qiladi. Keyin barcha holatlar soni n= 6. Juft sonli ballar hollar tomonidan afzal ko'riladi LEKIN 2 , LEKIN 4 , LEKIN 6, ya'ni. m= 3. Keyin .
Vazifa 1.2. Bir urnada 5 ta oq va 10 ta qora shar bor. To'plar yaxshilab aralashtiriladi va keyin tasodifiy 1 to'p chiqariladi. Chizilgan to'pning oq bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim. Hammasi bo'lib 15 ta holat mavjud bo'lib, ular ish tartibini tashkil qiladi. Va kutilgan voqea LEKIN- oq to'pning ko'rinishini ulardan 5 tasi ma'qullaydi, shuning uchun .
Vazifa 1.3. Bola alifboning oltita harfi bilan o'ynaydi: A, A, E, K, P, T. U TASHUV so'zini tasodifiy qo'shishi ehtimolini toping (A hodisasi).
Yechim. Qaror, harflar orasida bir xil - ikkita "A" harfi mavjudligi bilan murakkablashadi. Shuning uchun, ushbu sinovdagi barcha mumkin bo'lgan holatlar soni 6 harfdan iborat takroriy almashtirishlar soniga teng:
.
Bu holatlar teng darajada mumkin, juftlik mos kelmaydi va hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi, ya'ni. holat diagrammasini tuzing. Voqea uchun faqat bitta imkoniyat LEKIN. Shunung uchun
.
Vazifa 1.4. Tanya va Vanya Yangi yilni 10 kishilik kompaniyada nishonlashga kelishib oldilar. Ikkalasi ham bir-birining yonida o'tirishni juda xohlashdi. Do'stlari orasida o'rinlarni qur'a bo'yicha taqsimlash odat tusiga kirgan bo'lsa, ularning xohishi amalga oshishi ehtimoli qanday?
Yechim. tomonidan belgilang LEKIN voqea "Tanya va Vanyaning xohishini bajarish". 10 kishilik stolda 10 kishi o'tirishi mumkin! turli yo'llar bilan. Bularning qanchasi n= 10! Tanya va Vanya uchun teng darajada qulay usullar bormi? Tanya va Vanya yonma-yon o'tirib, 20 xil pozitsiyani egallashi mumkin. Shu bilan birga, ularning sakkiz nafar do'sti 8-stolda o'tirishi mumkin! turli yo'llar bilan, shuning uchun m= 20∙8!. Binobarin,
.
1.5-topshiriq. 5 nafar ayol va 20 nafar erkakdan iborat guruh uchta delegatni tanlaydi. Agar hozir bo'lganlarning har biri bir xil darajada tanlanadi deb faraz qilsak, ikkita ayol va bir erkakning saylanish ehtimolini toping.
Yechim. Sinovning bir xil ehtimoliy natijalarining umumiy soni 25 kishidan uchta delegatni tanlash mumkin bo'lgan usullar soniga teng, ya'ni. . Keling, qulay holatlar sonini hisoblaylik, ya'ni. qiziqish hodisasining sodir bo'lish soni. Erkak delegat yigirma xil usulda saylanishi mumkin. Shu bilan birga, qolgan ikkita delegat ayollar bo'lishi kerak va siz beshdan ikkita ayolni tanlashingiz mumkin. Binobarin, . Shunung uchun
.
Muammo 1.6. To'rtta to'p tasodifiy ravishda to'rt teshikka tarqaladi, har bir to'p bir xil ehtimollik bilan va boshqalardan mustaqil ravishda bir yoki boshqa teshikka tushadi (bir xil teshikka bir nechta to'pni kiritish uchun hech qanday to'siq yo'q). Teshiklarning birida uchta to'p, ikkinchisida bitta to'p, qolgan ikkita teshikda esa to'p bo'lmasligi ehtimolini toping.
Yechim. Ishlarning umumiy soni n=4 4. Bitta teshikni tanlash mumkin bo'lgan usullar soni, bu erda uchta to'p bo'ladi, . Bir to'p bo'ladigan teshikni tanlashingiz mumkin bo'lgan usullar soni, . Birinchi teshikka qo'yish uchun to'rtta to'pdan uchta to'pni tanlash mumkin bo'lgan usullar soni, . Qulay holatlarning umumiy soni. Voqea ehtimoli:
Muammo 1.7. Qutida 1, 2, ..., 10 raqamlari bilan belgilangan 10 ta bir xil to'p bor. Omad uchun oltita to'p chiziladi. Chiqarilgan sharlar orasida bo'lish ehtimolini toping: a) 1-sonli shar; b) №1 va 2-to'plar.
Yechim. a) Sinovning mumkin bo'lgan elementar natijalarining umumiy soni o'ntadan oltita to'pni olish mumkin bo'lgan usullar soniga teng, ya'ni.
Keling, bizni qiziqtirgan hodisaga yordam beradigan natijalar sonini topamiz: tanlangan oltita to'p orasida №1 to'p bor va shuning uchun qolgan beshta to'p turli raqamlarga ega. Bunday natijalarning soni, shubhasiz, qolgan to'qqiztadan beshta to'pni tanlash mumkin bo'lgan usullar soniga teng, ya'ni.
Istalgan ehtimollik ko'rib chiqilayotgan hodisaga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan natijalar sonining mumkin bo'lgan elementar natijalarning umumiy soniga nisbatiga teng:
b) Bizni qiziqtirgan hodisaga yordam beradigan natijalar soni (tanlangan to'plar orasida №1 va 2-sonli to'plar bor, shuning uchun to'rtta to'pning raqamlari har xil) to'rtta to'p bo'lishi mumkin bo'lgan usullar soniga teng. qolgan sakkiztadan olingan, ya'ni. Istalgan ehtimollik

1.2.3. Statistik ehtimollik

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajriba natijalari bir xil darajada bo'lmaganda qo'llaniladi.
Hodisalarning nisbiy chastotasi LEKIN tenglik bilan belgilanadi:
,
qayerda m voqea sodir bo'lgan sinovlar soni LEKIN keldi n bajarilgan testlarning umumiy soni.
J. Bernulli tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi amalda o'zboshimchalik bilan qandaydir doimiy sondan farq qilishini isbotladi. Ma'lum bo'lishicha, bu doimiy raqam voqea sodir bo'lish ehtimoli. Shuning uchun, tabiiyki, etarlicha ko'p miqdordagi sinovlar bilan voqea sodir bo'lishining nisbiy chastotasi, ilgari kiritilgan ehtimoldan farqli o'laroq, statistik ehtimollik deb ataladi.
1.8-misol. Ko'ldagi baliq sonini qanday aniqlash mumkin?
Ko'lga qo'ying X baliq. Biz tarmoqni tashlaymiz va aytaylik, biz uni topamiz n baliq. Biz ularning har birini belgilaymiz va uni qaytarib beramiz. Bir necha kundan keyin, xuddi shu ob-havo va bir joyda, biz bir xil to'rni tashladik. Faraz qilaylik, unda m baliq topdik, ular orasida k etiketlangan. Tadbirga ruxsat bering LEKIN- "Ushlangan baliqlar yorliqli." Keyin nisbiy chastota ta'rifi bilan.
Ammo ko'lda bo'lsa X baliq va biz uni qo'yib yubordik n belgilangan, keyin .
Chunki R * (LEKIN) » R(LEKIN), keyin.

1.2.4. Voqealar bo'yicha operatsiyalar. Qo'shish teoremasi

so'm, yoki bir nechta hodisalarning birlashishi - bu hodisalardan kamida bittasining (bir xil testda) sodir bo'lishidan iborat hodisa.
so'm LEKIN 1 + LEKIN 2 + … + LEKINn quyidagicha ifodalangan:
yoki .
Misol. Ikkita zar tashlanadi. Tadbirga ruxsat bering LEKIN 1 o'limga 4 ball dumalab iborat, va voqea DA- boshqa o'limda 5 balldan iborat ruloda. Ishlanmalar LEKIN va DA qo'shma. Shuning uchun voqea LEKIN +DA bir vaqtning o'zida birinchi matritsada 4 ball yoki ikkinchi matritsada 5 ball yoki birinchi matritsada 4 ball va ikkinchi qolipda 5 balldan iborat.
Misol. Tadbir LEKIN– 1 ta kredit bo‘yicha g‘alaba, voqea DA- 2 ta kredit bo'yicha g'alaba qozonish. Keyin voqea A+B- kamida bitta kredit yutib olish (ehtimol bir vaqtning o'zida ikkita).
ish yoki bir nechta hodisalarning kesishishi bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisadir (bir testda).
Ishlash DA voqealar LEKIN 1 , LEKIN 2 , …, LEKINn quyidagicha ifodalangan:
.
Misol. Ishlanmalar LEKIN va DA institutga o‘qishga kirgandan so‘ng tegishli ravishda I va II bosqichlardan muvaffaqiyatli o‘tishdan iborat. Keyin voqea LEKIN×B ikkala turni ham muvaffaqiyatli yakunlashdan iborat.
Hodisalar yig'indisi va mahsuloti tushunchalari aniq geometrik talqinga ega. Tadbirga ruxsat bering LEKIN hududda bir nuqtaga zarba bor LEKIN, va voqea DA- hududdagi nuqtani urish DA. Keyin voqea A+B Bu sohalar birlashmasida bir nuqtaning zarbasi bor (2.1-rasm), va voqea LEKINDA bu maydonlarning kesishmasida nuqtaning zarbasi mavjud (2.2-rasm).

Guruch. 2.1-rasm. 2.2
Teorema. Agar voqealar Ai(i = 1, 2, …, n) juftlik mos kelmaydigan bo'lsa, hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi:
.
Mayli LEKIN va Ā - qarama-qarshi hodisalar, ya'ni. A + a= Ō, bu erda Ō ma'lum bir hodisa. Qo'shish teoremasidan shunday xulosa kelib chiqadi
P(Ō) = R(LEKIN) + R(Ā ) = 1, shuning uchun
R(Ā ) = 1 – R(LEKIN).
Agar voqealar LEKIN 1 va LEKIN 2 qo'shma bo'lsa, ikkita qo'shma hodisa yig'indisining ehtimoli teng bo'ladi:
R(LEKIN 1 + LEKIN 2) = R(LEKIN 1) + R(LEKIN 2) – P( LEKIN 1× LEKIN 2).
Ehtimollarni qo'shish teoremalari ehtimollarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashdan murakkab hodisalarning yuzaga kelish ehtimolini aniqlashga o'tishga imkon beradi.
1.8-topshiriq. Otuvchi nishonga bitta o'q uzadi. 10 ochkoni nokaut qilish ehtimoli (hodisa LEKIN), 9 ball (hodisa DA) va 8 ball (voqea FROM) mos ravishda 0,11 ga teng; 0,23; 0,17. Bir o'q bilan o'q otuvchining 8 balldan kam to'plashi ehtimolini toping (hodisa D).
Yechim. Keling, qarama-qarshi hodisaga o'tamiz - bitta o'q bilan otuvchi kamida 8 ochkoni nokaut qiladi. Voqea sodir bo'ladi, agar LEKIN yoki DA, yoki FROM, ya'ni. . Voqealardan beri A, B, FROM qo'shilish teoremasiga ko'ra, juftlik mos kelmaydigan bo'lsa,
, qayerda.
1.9-topshiriq. 6 nafar erkak va 4 nafar ayoldan iborat brigada jamoasidan kasaba uyushma konferensiyasiga ikki kishi saylanadi. Tanlanganlar orasida kamida bitta ayol bo'lish ehtimoli qanday (hodisa LEKIN).
Yechim. Agar biror voqea sodir bo'lsa LEKIN, keyin quyidagi mos kelmaydigan hodisalardan biri albatta sodir bo'ladi: DA- "erkak va ayol tanlangan"; FROM"Ikki ayol tanlangan." Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin: A=B+C. Voqealarning ehtimolini toping DA va FROM. 10 kishidan ikkitasi yo'l bilan tanlanishi mumkin. 4 ayoldan ikkitasi yo'l bilan tanlanishi mumkin. Erkak va ayolni 6 × 4 usulda tanlash mumkin. Keyin. Voqealardan beri DA va FROM mos kelmaydigan bo'lsa, qo'shish teoremasi bo'yicha,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Muammo 1.10. Kutubxonadagi javonda tasodifiy tartibda joylashtirilgan 15 ta darslik mavjud bo'lib, ulardan beshtasi bog'langan. Kutubxonachi tasodifiy uchta darslikni oladi. Olingan darsliklardan kamida bittasi bog'langan bo'lish ehtimolini toping (hodisa LEKIN).
Yechim. Birinchi yo'l. Qabul qilingan uchta bog'langan darslikdan kamida bittasi talabi, agar quyidagi uchta mos kelmaydigan hodisa ro'y bersa, bajariladi: DA- 1 ta jildli darslik FROM- ikkita jildli darslik D- Uchta jildli darslik.
Bizni qiziqtirgan voqea LEKIN hodisalar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin: A=B+C+D. Qo'shish teoremasi bo'yicha,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Voqealarning ehtimolini toping B, C va D(kombinator sxemalariga qarang):

Ushbu ehtimolliklarni tenglikda (2.1) ifodalab, biz nihoyat erishamiz
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Ikkinchi yo'l. Tadbir LEKIN(qabul qilingan uchta darslikdan kamida bittasi majburiy majburiyatga ega) va Ā (qabul qilingan darsliklarning hech biri majburiy emas) qarama-qarshidir, shuning uchun P(A) + P(Ā) = 1 (ikki qarama-qarshi hodisaning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng). Bu yerdan P(A) = 1 – P(a). Voqea sodir bo'lish ehtimoli Ā (Olingan darsliklarning hech biri bog'lanmagan)
Istalgan ehtimollik
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Shartli ehtimollik. Ehtimollarni ko‘paytirish teoremasi

Shartli ehtimollik P(B/LEKIN) - A hodisasi allaqachon sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan B hodisaning ehtimolligi.
Teorema. Ikki hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi voqea allaqachon sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng:
P(A∙B) = P (A)∙P( DA/LEKIN). (2.2)
Ikki hodisa mustaqil deb ataladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, ya'ni.
P(A) = P(A/B) yoki P(B) = P(B/LEKIN). (2.3)
Agar voqealar LEKIN va DA mustaqil bo'lsa, (2.2) va (2.3) formulalar nazarda tutiladi
P(A∙B) = P (A)∙P(B). (2.4)
Qarama-qarshi gap ham to'g'ri, ya'ni. agar (2.4) tenglik ikkita hodisa uchun bajarilsa, bu hodisalar mustaqildir. Darhaqiqat, (2.4) va (2.2) formulalar nazarda tutadi
P(A∙B) = P (A)∙P(B) = P(A) × P(B/LEKIN), qayerda P(A) = P(B/LEKIN).
Formula (2.2) cheklangan sonli hodisalar uchun umumlashtirilishi mumkin LEKIN 1 , LEKIN 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙LEKIN 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /LEKIN 1)∙P(A 3 /LEKIN 1 LEKIN 2)∙…∙P(A n/LEKIN 1 LEKIN 2 …A n -1).
Vazifa 1.11. 5 ta oq va 10 ta qora shardan iborat urnadan ketma-ket ikkita shar chiziladi. Ikkala sharning oq bo'lish ehtimolini toping (hodisa LEKIN).
Yechim. Voqealarni ko'rib chiqing: DA- birinchi chizilgan to'p oq rangda; FROM- ikkinchi chizilgan to'p oq rangda. Keyin A = BC.
Tajriba ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin:
1) qaytish bilan: rangni o'rnatgandan so'ng, chizilgan to'p urnaga qaytariladi. Bunday holda, voqealar DA va FROM mustaqil:
P(A) = P(B)∙P (C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) almashtirilmasdan: chizilgan to'p chetga qo'yiladi. Bunday holda, voqealar DA va FROM bog'liq:
P(A) = P(B)∙P (C/DA).
Tadbir uchun DA shartlar bir xil va uchun FROM vaziyat o'zgardi. sodir bo'ldi DA, demak, urnada 14 ta shar qolgan, ulardan 4 tasi oq.
Shunday qilib, .
Vazifa 1.12. 50 ta lampochkadan 3 tasi nostandartdir. Bir vaqtning o'zida olingan ikkita lampochkaning nostandart bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. Voqealarni ko'rib chiqing: LEKIN- birinchi lampochka nostandart, DA- ikkinchi lampochka nostandart, FROM- ikkala lampochka ham nostandart. Bu aniq C = A∙DA. voqea LEKIN mumkin bo'lgan 50 ta holatdan 3 tasini afzal ko'ring, ya'ni. P(A) = 3/50. Agar voqea LEKIN allaqachon sodir bo'lgan, voqea DA mumkin bo'lgan 49 ta holatdan ikkitasini ma'qullash, ya'ni. P(B/LEKIN) = 2/49. Binobarin,
.
Vazifa 1.13. Ikki sportchi mustaqil ravishda bitta nishonga o'q uzadilar. Birinchi sportchining nishoniga tegish ehtimoli 0,7, ikkinchisi esa 0,8. Nishonga tegish ehtimoli qanday?
Yechim. Agar birinchi otuvchi yoki ikkinchisi yoki ikkalasi ham urgan bo'lsa, nishonga tegadi, ya'ni. voqea sodir bo'ladi A+B, voqea qaerda LEKIN birinchi sportchi tomonidan nishonga urishdan iborat va hodisa DA- ikkinchi. Keyin
P(A+DA)=P(A)+P(B)–P(A∙DA)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Muammo 1.14. O‘quv zalida ehtimollar nazariyasi bo‘yicha oltita darslik mavjud bo‘lib, ulardan uchtasi bog‘langan. Kutubxonachi tasodifiy ikkita darslikni oldi. Ikkita darslikning bog‘lanishi ehtimolini toping.
Yechim. Keling, hodisalarning yozuvlari bilan tanishaylik :A- birinchi olingan darslik majburiy hujjatga ega; DA- Ikkinchi darslik jildlangan. Birinchi darslikning majburiy bo'lishi ehtimoli,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Birinchi olingan kitob bog'langanligini hisobga olsak, ikkinchi darslikning bog'langanligi ehtimoli, ya'ni. hodisaning shartli ehtimoli DA, bu .. mi: P(B/LEKIN) = 2/5.
Voqealarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra, ikkala darslikning ham bog'lanishining istalgan ehtimoli tengdir.
P(AB) = P(A) ∙ P(B/LEKIN)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Muammo 1.15. Sexda 7 nafar erkak va 3 nafar ayol mehnat qiladi. Xodimlar soni bo'yicha uch kishi tasodifiy tanlab olindi. Barcha tanlangan shaxslar erkak bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. Keling, hodisalarning yozuvlarini kiritamiz: A- birinchi navbatda erkak tanlangan DA- ikkinchi tanlangan odam, FROM - uchinchi tanlangan odam. Erkakning birinchi bo'lib tanlanishi ehtimoli P(A) = 7/10.
Erkakning ikkinchi o'rinda tanlanishi ehtimoli, agar erkak allaqachon birinchi bo'lib tanlangan bo'lsa, ya'ni. hodisaning shartli ehtimoli DA Keyingisi : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Erkakning uchinchi o'rinni egallashi ehtimoli, agar ikkita erkak allaqachon tanlangan bo'lsa, ya'ni. hodisaning shartli ehtimoli FROM bu: P (C/AB) = 5/8.
Tanlangan uch kishining ham erkak bo'lish ehtimoli, P(ABC) = P(A) P(B/LEKIN) P (C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulasi

Mayli B 1 , B 2 ,…, B n juftlik mos kelmaydigan hodisalar (gipotezalar) va LEKIN- faqat bittasi bilan birga sodir bo'lishi mumkin bo'lgan hodisa.
Bizga ham xabar bering R(B i) va P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Ushbu shartlar ostida formulalar amal qiladi:
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) deyiladi umumiy ehtimollik formulasi . U hodisa ehtimolini hisoblab chiqadi LEKIN(to'liq ehtimollik).
Formula (2.6) deyiladi Bayes formulasi . Agar voqea sodir bo'lsa, gipotezalarning ehtimolini qayta hisoblash imkonini beradi LEKIN sodir bo'ldi.
Misollar tuzishda gipotezalar to'liq guruhni tashkil qilishini hisobga olish qulay.
Vazifa 1.16. Savatda bir xil navdagi to'rtta daraxtdan olma bor. Birinchisidan - barcha olmalarning 15%, ikkinchisidan - 35%, uchinchidan - 20%, to'rtinchidan - 30%. Pishgan olma mos ravishda 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Tasodifiy tanlab olingan olmaning pishish ehtimoli qanday? LEKIN).
b) Tasodifiy olingan olma pishgan bo'lsa, uning birinchi daraxtdan bo'lish ehtimolini hisoblang.
Yechim. a) Bizda 4 ta faraz bor:
B 1 - tasodifiy olingan olma 1-daraxtdan olinadi;
B 2 - tasodifiy olingan olma 2-daraxtdan olinadi;
B 3 - tasodifiy olingan olma 3-daraxtdan olinadi;
B 4 - tasodifiy olingan olma 4-daraxtdan olinadi.
Shartga ko'ra ularning ehtimoli: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Shartli hodisa ehtimoli LEKIN:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Tasodifiy tanlangan olmaning pishishi ehtimoli umumiy ehtimollik formulasi bilan topiladi:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bizning holatimiz uchun Bayes formulasi quyidagi shaklga ega:
.
Muammo 1.17. Oq to'p ikkita to'pni o'z ichiga olgan idishga tashlanadi, shundan so'ng bitta to'p tasodifiy tortiladi. Agar to'plarning dastlabki tarkibi (rang bo'yicha) bo'yicha barcha mumkin bo'lgan taxminlar bir xil bo'lsa, chizilgan to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. tomonidan belgilang LEKIN hodisa - oq to'p chiziladi. To'plarning dastlabki tarkibi haqida quyidagi taxminlar (gipotezalar) mumkin: B1 oq sharlar yo'q IN 2- bitta oq to'p AT 3- ikkita oq shar.
Hammasi bo'lib uchta gipoteza mavjud bo'lgani uchun va gipotezalarning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng (chunki ular hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi), u holda farazlarning har birining ehtimoli 1/3 ga teng, ya'ni.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Dastlab urnada oq sharlar yo'qligini hisobga olsak, oq to'pning tortilishining shartli ehtimoli, P(A/B 1)=1/3. Oq to'pning tortilishining shartli ehtimolligi, urnada dastlab bitta oq shar bo'lganligini hisobga olib, P(A/B 2)=2/3. Oq to'pning tortilishining shartli ehtimoli, urnada dastlab ikkita oq shar bo'lgan. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Oq to'pning tortilishining istalgan ehtimoli umumiy ehtimollik formulasi bilan topiladi:
R(LEKIN)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Vazifa 1.18. Ikki mashina umumiy konveyerga beriladigan bir xil qismlarni ishlab chiqaradi. Birinchi mashinaning ishlashi ikkinchisidan ikki baravar yuqori. Birinchi mashina mukammal sifatli qismlarning o'rtacha 60% ni, ikkinchisi esa 84% ni ishlab chiqaradi. Konveyerdan tasodifiy olingan qism juda yaxshi sifatga ega bo'lib chiqdi. Ushbu buyumning birinchi mashina tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping.
Yechim. tomonidan belgilang LEKIN voqea ajoyib sifatli elementdir. Ikkita taxmin qilish mumkin: B1- qism birinchi mashina tomonidan ishlab chiqariladi va (chunki birinchi mashina ikkinchisiga qaraganda ikki baravar ko'p qismlarni ishlab chiqaradi) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - qism ikkinchi mashina tomonidan ishlab chiqarilgan va P(B 2) = 1/3.
Agar qism birinchi mashina tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lsa, uning sifatli bo'lishining shartli ehtimoli, P(A/B 1)=0,6.
Agar qism ikkinchi mashina tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lsa, uning sifatli bo'lishining shartli ehtimoli, P(A/B 1)=0,84.
Tasodifiy tanlangan qismning umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra mukammal sifatga ega bo'lish ehtimoli tengdir.
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Bayes formulasiga ko'ra, olingan ajoyib qism birinchi avtomat tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lishining istalgan ehtimoli tengdir.

Vazifa 1.19. Har birida 20 qismdan iborat bo'lgan uchta to'plam mavjud. Birinchi, ikkinchi va uchinchi partiyalardagi standart qismlar soni mos ravishda 20, 15 va 10 tani tashkil etadi.Standart bo'lib chiqqan qism tanlangan partiyadan tasodifiy ravishda ajratilgan. Qismlar partiyaga qaytariladi va bir qism tasodifiy ravishda bir xil partiyadan ikkinchi marta chiqariladi, bu ham standart bo'lib chiqadi. Qismlarning uchinchi partiyadan olinganligi ehtimolini toping.
Yechim. tomonidan belgilang LEKIN hodisa - ikkita testning har birida (qaytish bilan) standart qism olindi. Uchta faraz qilish mumkin: B 1 - qismlar birinchi partiyadan chiqariladi, DA 2 - qismlar ikkinchi partiyadan olinadi; DA 3 - qismlar uchinchi partiyadan chiqariladi.
Tafsilotlar olingan partiyadan tasodifiy olingan, shuning uchun gipotezalarning ehtimollari bir xil: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Shartli ehtimollikni toping P(A/B 1), ya'ni. birinchi partiyadan ketma-ket ikkita standart qismni olish ehtimoli. Bu voqea ishonchli, chunki. birinchi partiyada, barcha qismlar standart, shuning uchun P(A/B 1) = 1.
Shartli ehtimollikni toping P(A/B 2), ya'ni. Ikkinchi partiyadan ikkita standart qismni ketma-ket (qaytish bilan) olish ehtimoli: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Shartli ehtimollikni toping P(A/B 3), ya'ni. Uchinchi partiyadan ikkita standart qism ketma-ket olib tashlanishi (qaytarilishi bilan) ehtimoli: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Bayes formulasiga ko'ra, ikkala olingan standart qismlar uchinchi partiyadan olinishining istalgan ehtimoli tengdir.

1.2.7. Qayta sinovlar

Agar bir nechta testlar o'tkazilsa va hodisaning ehtimoli LEKIN har bir sinovda boshqa sinovlar natijalariga bog'liq emas, keyin bunday sinovlar chaqiriladi A hodisasiga nisbatan mustaqil. Turli mustaqil sud jarayonlarida, voqea LEKIN turli xil yoki bir xil ehtimolliklarga ega bo'lishi mumkin. Biz bundan keyin faqat bunday mustaqil sinovlarni ko'rib chiqamiz LEKIN bir xil ehtimolga ega.
Ishlab chiqarilsin P mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisa LEKIN paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin. Faraz qilaylik, hodisa ehtimoli LEKIN har bir testda bir xil, ya'ni teng R. Shuning uchun, hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli LEKIN har bir testda ham doimiy va 1-ga teng R. Bunday ehtimollik sxemasi deyiladi Bernoulli sxemasi. Buning ehtimolini hisoblash vazifasini o'z oldimizga qo'yaylik P Bernoulli hodisasi sinovlari LEKIN aniq amalga oshadi k bir marta ( k- muvaffaqiyatlar soni) va shuning uchun amalga oshirilmaydi P- bir marta. Shuni ta'kidlash kerakki, bu hodisa talab qilinmaydi LEKIN aynan takrorlanadi k marta ma'lum bir ketma-ketlikda. Istalgan ehtimollikni belgilang R p (k). Masalan, belgi R 5 (3) beshta sinovda hodisaning aniq 3 marta paydo bo'lishi va shuning uchun 2 marta sodir bo'lmasligi ehtimolini anglatadi.
Muammo deb atalmish yordamida hal qilinishi mumkin Bernulli formulalari, qanday ko'rinadi:
.
Muammo 1.20. Bir kun davomida elektr energiyasi iste'moli belgilangan me'yordan oshmasligi ehtimoli teng. R=0,75. Keyingi 6 kun ichida 4 kun davomida elektr energiyasi iste’moli me’yordan oshmasligi ehtimolini toping.
Yechim. 6 kunning har birida elektr energiyasini normal iste'mol qilish ehtimoli doimiy va tengdir R=0,75. Shuning uchun kuniga elektr energiyasini ortiqcha sarflash ehtimoli ham doimiy va tengdir q= 1–R=1–0,75=0,25.
Bernulli formulasi bo'yicha kerakli ehtimollik teng
.
Vazifa 1.21. Ikki teng shaxmatchi shaxmat o'ynaydi. Qaysi biri ko'proq: oltitadan to'rtta yoki uchta o'yindan ikkitasida g'alaba qozonish (duranglar hisobga olinmaydi)?
Yechim. Teng shaxmatchilar o'ynamoqda, shuning uchun g'alaba qozonish ehtimoli R= 1/2, shuning uchun yo'qotish ehtimoli q ham 1/2 ga teng. Chunki barcha o'yinlarda g'alaba qozonish ehtimoli doimiy va o'yinlar qanday ketma-ketlikda yutilganligi muhim emas, keyin Bernulli formulasi qo'llaniladi.
To'rtta o'yindan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimolini toping:

Oltita o'yindan uchtasi g'alaba qozonish ehtimolini toping:

Chunki P 4 (2) > P 6 (3), oltidan uchtadan ko'ra, to'rttadan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli ko'proq.
Biroq, katta qiymatlar uchun Bernoulli formulasidan foydalanishni ko'rish mumkin n bu juda qiyin, chunki formula juda katta raqamlar bo'yicha operatsiyalarni bajarishni talab qiladi va shuning uchun hisob-kitoblar jarayonida xatolar to'planadi; natijada yakuniy natija haqiqiydan sezilarli darajada farq qilishi mumkin.
Ushbu muammoni hal qilish uchun ko'p sonli sinovlar uchun ishlatiladigan bir nechta chegara teoremalari mavjud.
1. Puasson teoremasi
Bernoulli sxemasi bo'yicha ko'p sonli sinovlarni o'tkazishda (bilan n=> ∞) va oz sonli ijobiy natijalar bilan k(muvaffaqiyat ehtimoli bor deb faraz qilsak p kichik), Bernulli formulasi Puasson formulasiga yaqinlashadi
.
1.22-misol. Korxona tomonidan ishlab chiqarish birligini ishlab chiqarishda nikoh ehtimoli teng p=0,001. 5000 dona mahsulot ishlab chiqarishda 4 tadan kam nuqsonli (hodisa) bo'lish ehtimoli qanday? LEKIN Yechim. Chunki n katta bo'lsa, biz mahalliy Laplas teoremasidan foydalanamiz:

Hisoblash x:
Funktsiya juft, shuning uchun ph(–1,67) = ph(1,67).
A.1-ilovaning jadvaliga ko'ra, biz ph (1,67) = 0,0989 ni topamiz.
Istalgan ehtimollik P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplas integral teoremasi
Agar ehtimollik R hodisaning yuzaga kelishi A Bernoulli sxemasiga ko'ra har bir sinovda doimiy va nol va birdan farq qiladi, keyin ko'p sonli sinovlar bilan n, ehtimollik R p (k 1 , k 2) voqea sodir bo'lishi A bu sinovlarda k 1 ga k 2 marta taxminan teng
R p(k 1 , k 2) = PH ( x"") – Φ ( x"), qayerda
Laplas funksiyasi,

Laplas funksiyasidagi aniq integral analitik funksiyalar sinfida hisoblanmaydi, shuning uchun uni hisoblash uchun 1-jadvaldan foydalaniladi. 2-band, ilovada keltirilgan.
1.24-misol. Yuzta mustaqil sinovning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli doimiy va tengdir p= 0,8. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping: a) kamida 75 marta va ko'pi bilan 90 marta; b) kamida 75 marta; v) 74 martadan ko'p bo'lmagan.
Yechim. Laplas integral teoremasidan foydalanamiz:
R p(k 1 , k 2) = PH ( x"") – Φ( x"), bu erda F( x) - Laplas funksiyasi,

a) Shartlar bo'yicha n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Hisoblang x"" va x" :


Laplas funktsiyasi g'alati ekanligini hisobga olsak, ya'ni. F(- x) = – F( x), olamiz
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Jadvalga ko'ra P.2. ilovalarni toping:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Istalgan ehtimollik
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) hodisaning kamida 75 marta sodir bo'lishi talabi, hodisaning sodir bo'lish soni 75 yoki 76, ... yoki 100 ga teng bo'lishi mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan ishda qabul qilish kerak. k 1 = 75, k 2 = 100. Keyin

.
Jadvalga ko'ra P.2. ilovalar, biz F (1,25) = 0,3944 ni topamiz; F(5) = 0,5.
Istalgan ehtimollik
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Voqea - " LEKIN kamida 75 marta paydo bo'ldi" va " LEKIN 74 martadan ko'p bo'lmagan paydo bo'ldi” qarama-qarshidir, shuning uchun bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng. Demak, kerakli ehtimollik
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.