Ertaklar

Uchburchakning balandliklari uchun tenglamalar berilgan. Analitik geometriyadan masalalar yechishni qanday o'rganish mumkin? Samolyotdagi uchburchak bilan bog'liq odatiy muammo

1 - 20 masalalarda ABC uchburchakning uchlari berilgan.
Toping: 1) AB tomonining uzunligi; 2) AB va AC tomonlar tenglamalari va ularning burchak koeffitsientlari; 3) 0,01 aniqlikdagi radianlarda ichki burchak A; 4) CD balandligi va uning uzunligi uchun tenglama; 5) CD balandligi diametri bo'lgan aylana tenglamasi; 6) ABC uchburchagini aniqlovchi chiziqli tengsizliklar sistemasi.

Uchburchak tomonlarining uzunligi:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
M nuqtadan d masofasi: d = 10
Uchburchak uchlari koordinatalari berilgan: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) uchburchak tomonlarining uzunligi
M 1 (x 1 ; y 1) va M 2 (x 2 ; y 2) nuqtalar orasidagi d masofa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

8) Chiziq tenglamasi
A 1 (x 1 ; y 1) va A 2 (x 2 ; y 2) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamalar bilan ifodalanadi:

AB chiziq tenglamasi

yoki

yoki
y = -3/4 x -7/4 yoki 4y + 3x +7 = 0
AC chiziq tenglamasi
Chiziqning kanonik tenglamasi:

yoki

yoki
y = 1/2 x + 9/2 yoki 2y -x - 9 = 0
BC chiziq tenglamasi
Chiziqning kanonik tenglamasi:

yoki

yoki
y = -7x + 42 yoki y + 7x - 42 = 0
3) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak
AB to'g'ri chiziq tenglamasi:y = -3 / 4 x -7 / 4
Chiziq tenglamasi AC:y = 1/2 x + 9/2
Burchak koeffitsientlari y = k 1 x + b 1 va y 2 = k 2 x + b 2 bo'lgan tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziq orasidagi ph burchagi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bu chiziqlarning qiyaliklari -3/4 va 1/2. Keling, formuladan foydalanamiz va uning o'ng tomoni modulini olaylik:

tg ph = 2
ph = arktan(2) = 63,44 0 yoki 1,107 rad.
9) C cho'qqi orqali balandlik tenglamasi
N 0 (x 0 ;y 0) nuqtadan o'tuvchi va Ax + By + C = 0 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar to'g'ri chiziq yo'nalish vektoriga (A;B) ega va shuning uchun tenglamalar bilan ifodalanadi:

Bu tenglamani boshqa yo'l bilan topish mumkin. Buning uchun AB to’g’ri chiziqning k 1 qiyaligi topilsin.
AB tenglamasi: y = -3 / 4 x -7 / 4, ya'ni. k 1 = -3 / 4
Ikki to'g'ri chiziqning perpendikulyarlik shartidan perpendikulyarning burchak koeffitsienti k topilsin: k 1 *k = -1.
Ushbu chiziqning qiyaligini k 1 o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:
-3/4 k = -1, bundan k = 4/3
Perpendikulyar C(5,7) nuqtadan o'tib, k = 4 / 3 ga ega bo'lgani uchun uning tenglamasini y-y 0 = k(x-x 0) ko'rinishda qidiramiz.
x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 ni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
y-7 = 4/3 (x-5)
yoki
y = 4/3 x + 1/3 yoki 3y -4x - 1 = 0
AB chiziq bilan kesishish nuqtasini topamiz:
Bizda ikkita tenglama tizimi mavjud:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Birinchi tenglamadan y ni ifodalaymiz va uni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz.
Biz olamiz:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) C uchidan chizilgan uchburchakning balandligi uzunligi
M 1 (x 1 ;y 1) nuqtadan Ax + By + C = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan d masofa kattalikning mutlaq qiymatiga teng:

C(5;7) nuqta va AB (4y + 3x +7 = 0) chiziq orasidagi masofani toping.

Balandlikning uzunligini C(5;7) nuqta va D(-1;-1) nuqtasi orasidagi masofa sifatida boshqa formula yordamida hisoblash mumkin.
Ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalarda quyidagi formula bilan ifodalanadi:

5) CD balandligi diametri bo'lgan aylana tenglamasi;
Markazi E(a;b) nuqtada boʻlgan radiusi R boʻlgan aylana tenglamasi quyidagi koʻrinishga ega:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
CD kerakli doiraning diametri bo'lgani uchun uning markazi E CD segmentining o'rta nuqtasidir. Segmentni yarmiga bo'lish formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shuning uchun E(2;3) va R = CD / 2 = 5. Formuladan foydalanib, biz kerakli doira tenglamasini olamiz: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ABC uchburchagini aniqlovchi chiziqli tengsizliklar sistemasi.
AB chiziq tenglamasi: y = -3 / 4 x -7 / 4
AC chiziq tenglamasi: y = 1/2 x + 9/2
BC chiziq tenglamasi: y = -7x + 42

Analitik geometriyadan masalalar yechishni qanday o'rganish mumkin?
Samolyotdagi uchburchak bilan bog'liq odatiy muammo

Bu dars tekislik geometriyasi va fazo geometriyasi o'rtasidagi ekvatorga yaqinlashish bo'yicha yaratilgan. Hozirgi vaqtda to'plangan ma'lumotlarni tizimlashtirish va juda muhim savolga javob berish kerak: analitik geometriyadagi masalalarni yechishni qanday o'rganish kerak? Qiyinchilik shundaki, siz geometriya bo'yicha cheksiz ko'p muammolarni o'ylab topishingiz mumkin va hech qanday darslik juda ko'p va xilma-xil misollarni o'z ichiga olmaydi. U emas funktsiyaning hosilasi beshta farqlash qoidalari, jadval va bir nechta texnikalar bilan ....

Yechim bor! Men qandaydir ulug'vor texnikani ishlab chiqqanim haqida baland ovozda gapirmayman, ammo mening fikrimcha, ko'rib chiqilayotgan muammoga samarali yondashuv mavjud, bu hatto to'liq qo'g'irchoqqa ham yaxshi va ajoyib natijalarga erishishga imkon beradi. Hech bo'lmaganda, geometrik muammolarni hal qilishning umumiy algoritmi mening boshimda juda aniq shakllandi.

NIMALARNI BILISHINGIZ KERAK VA QOLISh
geometriya masalalarini muvaffaqiyatli yechish uchun?

Bundan qochishning iloji yo'q - tugmalarni burningiz bilan tasodifiy urmaslik uchun siz analitik geometriya asoslarini o'zlashtirishingiz kerak. Shuning uchun, agar siz geometriyani o'rganishni endi boshlagan bo'lsangiz yoki uni butunlay unutgan bo'lsangiz, darsni boshlang Dummies uchun vektorlar. Vektorlar va ular bilan harakatlardan tashqari, siz tekis geometriyaning asosiy tushunchalarini bilishingiz kerak, xususan, tekislikdagi chiziq tenglamasi Va . Kosmosning geometriyasi maqolalarda keltirilgan Tekislik tenglamasi, Fazodagi chiziq tenglamalari, To'g'ri chiziq va tekislik bo'yicha asosiy masalalar va boshqa ba'zi darslar. Ikkinchi tartibning egri chiziqlari va fazoviy yuzalari bir-biridan bir oz ajralib turadi va ular bilan bog'liq muammolar unchalik ko'p emas.

Faraz qilaylik, talaba analitik geometriyaning eng oddiy masalalarini yechish bo‘yicha boshlang‘ich bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘lgan. Ammo bu shunday bo'ladi: siz muammoning bayonotini o'qiysiz va ... siz hamma narsani butunlay yopishni xohlaysiz, uni uzoq burchakka tashlab, yomon tush kabi unutasiz. Bundan tashqari, bu sizning malakangiz darajasiga bog'liq emas, vaqti-vaqti bilan men o'zim yechimi aniq bo'lmagan vazifalarga duch kelaman. Bunday hollarda nima qilish kerak? Siz tushunmaydigan vazifadan qo'rqishning hojati yo'q!

Birinchidan, o'rnatilishi kerak - Bu "tekis" yoki fazoviy muammomi? Misol uchun, agar shart ikkita koordinatali vektorlarni o'z ichiga olsa, unda, albatta, bu tekislikning geometriyasi. Va agar o'qituvchi minnatdor tinglovchiga piramidani yuklagan bo'lsa, unda fazoning geometriyasi aniq. Birinchi qadamning natijalari allaqachon juda yaxshi, chunki biz bu vazifa uchun keraksiz juda ko'p ma'lumotni kesib tashladik!

Ikkinchi. Vaziyat odatda sizni qandaydir geometrik shakl bilan bog'laydi. Darhaqiqat, tug'ilgan universitetingizning koridorlari bo'ylab yuring va siz juda ko'p tashvishli yuzlarni ko'rasiz.

"Yassi" muammolarda, aniq nuqtalar va chiziqlar haqida gapirmasa ham, eng mashhur raqam uchburchakdir. Biz buni batafsil tahlil qilamiz. Keyin parallelogramma keladi va to'rtburchaklar, kvadrat, romb, doira va boshqa shakllar kamroq tarqalgan.

Fazoviy masalalarda bir xil tekis figuralar + tekisliklarning o'zlari va parallelepipedli umumiy uchburchak piramidalar uchishi mumkin.

Ikkinchi savol - Bu raqam haqida hamma narsani bilasizmi? Faraz qilaylik, shart teng yonli uchburchak haqida gapiradi va siz uning qanday uchburchak ekanligini juda noaniq eslaysiz. Biz maktab darsligini ochamiz va teng yonli uchburchak haqida o'qiymiz. Nima qilish kerak... doktor romb dedi, bu romb degani. Analitik geometriya analitik geometriyadir, lekin masala raqamlarning geometrik xossalari bilan hal qilinadi, bizga maktab o'quv dasturidan ma'lum. Agar siz uchburchak burchaklarining yig'indisi nima ekanligini bilmasangiz, siz uzoq vaqt azob chekishingiz mumkin.

Uchinchi. DOIMA chizmaga amal qilishga harakat qiling(qoralama/tugatish nusxasida/aqliy jihatdan), hatto shart talab qilmasa ham. "Yassi" masalalarda Evklidning o'zi o'lchagich va qalam olishni buyurgan - bu nafaqat vaziyatni tushunish uchun, balki o'zini o'zi sinab ko'rish uchun ham. Bunday holda, eng qulay o'lchov 1 birlik = 1 sm (2 daftar katakchasi). Beparvo talabalar va matematiklarning qabrlarida aylanayotgani haqida gapirmaylik - bunday masalalarda xato qilish deyarli mumkin emas. Fazoviy vazifalar uchun biz sxematik chizmani bajaramiz, bu ham vaziyatni tahlil qilishga yordam beradi.

Chizma yoki sxematik chizma ko'pincha muammoni hal qilish yo'lini darhol ko'rishga imkon beradi. Albatta, buning uchun siz geometriya asoslarini bilishingiz va geometrik shakllarning xususiyatlarini tushunishingiz kerak (oldingi xatboshiga qarang).

To'rtinchi. Yechim algoritmini ishlab chiqish. Ko'pgina geometriya masalalari ko'p bosqichli, shuning uchun yechim va uning dizayni nuqtalarga bo'linish uchun juda qulaydir. Ko'pincha algoritm shartni o'qiganingizdan yoki chizmani tugatgandan so'ng darhol yodga keladi. Qiyinchiliklar bo'lsa, biz vazifaning SAVOLidan boshlaymiz. Masalan, "siz to'g'ri chiziq qurishingiz kerak ..." shartiga ko'ra. Bu erda eng mantiqiy savol: "Ushbu to'g'ri chiziqni qurish uchun nimani bilish kifoya?" Aytaylik, "biz nuqtani bilamiz, biz yo'nalish vektorini bilishimiz kerak". Biz quyidagi savolni beramiz: “Ushbu yo'nalish vektorini qanday topish mumkin? Qayerda?" va hokazo.

Ba'zida "xato" bor - muammo hal etilmadi va shu. To'xtashning sabablari quyidagilar bo'lishi mumkin:

- Asosiy bilimlarda jiddiy bo'shliq. Boshqacha qilib aytganda, siz juda oddiy narsani bilmaysiz va/yoki ko'rmaysiz.

– Geometrik figuralarning xossalarini bilmaslik.

- Vazifa qiyin edi. Ha, shunday bo'ladi. Soatlab bug‘lanib, ro‘molchada ko‘z yosh yig‘ishdan foyda yo‘q. O'qituvchingizdan, kursdoshlaringizdan maslahat so'rang yoki forumda savol bering. Bundan tashqari, uning bayonotini aniqroq qilish yaxshiroqdir - yechimning siz tushunmaydigan qismi haqida. "Muammoni qanday hal qilish kerak?" Ko'rinishidagi qichqiriq. unchalik yaxshi ko'rinmaydi... va, eng avvalo, o'z obro'ingiz uchun.

Beshinchi bosqich. Biz qaror qilamiz-tekshiramiz, qaror qilamiz-tekshiramiz, qaror qilamiz-tekshiramiz-javob beramiz. Vazifaning har bir nuqtasini tekshirish foydalidir tugagandan so'ng darhol. Bu xatoni darhol aniqlashga yordam beradi. Tabiiyki, hech kim butun muammoni tezda hal qilishni taqiqlamaydi, lekin hamma narsani qayta yozish xavfi mavjud (ko'pincha bir necha sahifalar).

Bu, ehtimol, muammolarni hal qilishda kuzatilishi kerak bo'lgan barcha asosiy fikrlardir.

Darsning amaliy qismi tekis geometriyadan keltirilgan. Faqat ikkita misol bo'ladi, lekin bu etarli emas =)

Keling, kichik ilmiy ishimda ko'rib chiqqan algoritm mavzusini ko'rib chiqaylik:

1-misol

Parallelogrammaning uchta uchi berilgan. Yuqorini toping.

Keling, tushunishni boshlaylik:

Birinchi qadam: Gap "tekis" muammo haqida ketayotgani aniq.

Ikkinchi qadam: Muammo parallelogramma bilan bog'liq. Bu parallelogrammni hamma eslaydimi? Tabassum qilishning hojati yo'q, ko'p odamlar 30-40-50 va undan ko'p yoshda ta'lim oladilar, shuning uchun hatto oddiy faktlarni ham xotiradan o'chirib tashlash mumkin. Paralelogrammaning ta'rifi darsning 3-misolida keltirilgan Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari.

Uchinchi qadam: Keling, uchta ma'lum cho'qqini belgilagan chizma tuzamiz. Qizig'i shundaki, kerakli nuqtani darhol qurish qiyin emas:

Uni qurish, albatta, yaxshi, lekin yechim analitik tarzda shakllantirilishi kerak.

To'rtinchi qadam: Yechim algoritmini ishlab chiqish. Aqlga keladigan birinchi narsa, nuqtani chiziqlarning kesishishi sifatida topish mumkin. Biz ularning tenglamalarini bilmaymiz, shuning uchun biz bu masalani hal qilishimiz kerak:

1) Qarama-qarshi tomonlar parallel. Ballar bo'yicha Bu tomonlarning yo'nalish vektorini topamiz. Bu sinfda muhokama qilingan eng oddiy muammo. Dummies uchun vektorlar.

Eslatma: "tomonni o'z ichiga olgan chiziq tenglamasi" deyish to'g'riroq, ammo bu erda va bundan keyin qisqachalik uchun "tomon tenglamasi", "tomonning yo'nalishi vektori" va hokazo iboralarni ishlataman.

3) Qarama-qarshi tomonlar parallel. Nuqtalardan foydalanib, bu tomonlarning yo'nalish vektorini topamiz.

4) Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz

1-2 va 3-4-bandlarda biz bir xil masalani ikki marta hal qildik, darvoqe, bu darsning 3-misolida muhokama qilingan. Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Uzunroq yo'lni bosib o'tish mumkin edi - avval chiziqlar tenglamalarini toping va shundan keyingina yo'nalish vektorlarini "chiqarib oling".

5) Endi chiziqlar tenglamalari ma'lum. Tegishli chiziqli tenglamalar tizimini tuzish va yechishgina qoladi (shu darsning № 4, 5 misollariga qarang). Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar).

Gap topildi.

Vazifa juda oddiy va uning echimi aniq, ammo qisqaroq yo'l bor!

Ikkinchi yechim:

Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi. Men nuqtani belgilab qo'ydim, lekin chizmani chalkashtirmaslik uchun diagonallarning o'zini chizmadim.

Yon nuqta tenglamasini nuqtama-nuqta tuzamiz :

Tekshirish uchun siz aqliy ravishda yoki qoralamada har bir nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan tenglamaga almashtirishingiz kerak. Endi qiyalikni topamiz. Buning uchun umumiy tenglamani qiyalik koeffitsientli tenglama shaklida qayta yozamiz:

Shunday qilib, nishab:

Xuddi shunday, tomonlarning tenglamalarini topamiz. Xuddi shu narsani tasvirlashda men unchalik ma'no ko'rmayapman, shuning uchun men darhol yakuniy natijani beraman:

2) Tomonning uzunligini toping. Bu sinfda yoritilgan eng oddiy masala. Dummies uchun vektorlar. Ballar uchun formuladan foydalanamiz:

Xuddi shu formuladan foydalanib, boshqa tomonlarning uzunliklarini topish oson. Tekshirish oddiy o'lchagich bilan juda tez amalga oshirilishi mumkin.

Biz formuladan foydalanamiz .

Vektorlarni topamiz:

Shunday qilib:

Aytgancha, yo'lda biz tomonlarning uzunligini topdik.

Natijada:

Xo'sh, bu haqiqatga o'xshaydi; ishonchli bo'lish uchun burchakka transportyorni biriktirishingiz mumkin.

Diqqat! Uchburchakning burchagini to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak bilan aralashtirmang. Uchburchakning burchagi to'g'ridan-to'g'ri bo'lishi mumkin, ammo to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak mumkin emas (maqolaning oxirgi xatboshiga qarang). Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar). Biroq, uchburchakning burchagini topish uchun siz yuqoridagi darsdagi formulalardan ham foydalanishingiz mumkin, ammo pürüzlülüğü bu formulalar har doim o'tkir burchakni beradi. Ularning yordami bilan men bu muammoni qoralamada hal qildim va natijaga erishdim. Va oxirgi nusxada men qo'shimcha uzrlarni yozishim kerak edi, ya'ni .

4) To‘g‘ri chiziqqa parallel nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘rining tenglamasini yozing.

Darsning 2-misolida batafsil muhokama qilingan standart vazifa Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Chiziqning umumiy tenglamasidan Keling, yo'naltiruvchi vektorni chiqaramiz. Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Uchburchakning balandligini qanday topish mumkin?

5) Balandlik uchun tenglama tuzamiz va uning uzunligini topamiz.

Qattiq ta'riflardan qochishning iloji yo'q, shuning uchun siz maktab darsligidan o'g'irlashingiz kerak bo'ladi:

Uchburchak balandligi uchburchakning tepasidan qarama-qarshi tomonini o'z ichiga olgan chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi.

Ya'ni, cho'qqidan yon tomonga chizilgan perpendikulyar uchun tenglama tuzish kerak. Bu vazifa darsning 6, 7-sonli misollarida muhokama qilinadi Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Tenglamadan. normal vektorni olib tashlang. Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida balandlik tenglamasini tuzamiz:

E'tibor bering, biz nuqta koordinatalarini bilmaymiz.

Ba'zan balandlik tenglamasi perpendikulyar chiziqlarning burchak koeffitsientlari nisbatidan topiladi: . Bunday holda, u holda: . Nuqta va burchak koeffitsienti yordamida balandlik tenglamasini tuzamiz (dars boshiga qarang). Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi):

Balandlik uzunligini ikki yo'l bilan topish mumkin.

Aylanma yo'l bor:

a) toping - balandlik va tomonning kesishish nuqtasi;
b) ikkita ma'lum nuqtadan foydalanib, segment uzunligini toping.

Ammo sinfda Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning qulay formulasi ko'rib chiqildi. Nuqta ma'lum: , chiziq tenglamasi ham ma'lum: , Shunday qilib:

6) Uchburchakning maydonini hisoblang. Kosmosda uchburchakning maydoni an'anaviy ravishda hisoblab chiqiladi vektorlarning vektor mahsuloti, lekin bu erda bizga tekislikdagi uchburchak berilgan. Biz maktab formulasidan foydalanamiz:
- Uchburchakning maydoni uning poydevori va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng.

Ushbu holatda:

Uchburchakning medianasini qanday topish mumkin?

7) Mediana uchun tenglama tuzamiz.

Uchburchakning medianasi uchburchakning uchini qarama-qarshi tomonining o'rtasi bilan bog'laydigan segment deyiladi.

a) nuqta - tomonning o'rtasini toping. Biz foydalanamiz segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar. Segment uchlarining koordinatalari ma'lum: , keyin o'rtaning koordinatalari:

Shunday qilib:

Median tenglamani nuqtama-nuqta tuzamiz :

Tenglamani tekshirish uchun unga nuqtalarning koordinatalarini qo'yish kerak.

8) Balandlik va mediananing kesishish nuqtasini toping. Menimcha, hamma allaqachon figurali uchishning ushbu elementini yiqilmasdan qanday bajarishni o'rgangan:

Muammo 1. ABC uchburchak uchlari koordinatalari berilgan: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Toping: 1) AB tomonining uzunligi; 2) AB va BC tomonlar tenglamalari va ularning burchak koeffitsientlari; 3) ikki raqam aniqligi bilan radianlarda B burchak; 4) CD balandligi va uning uzunligi tenglamasi; 5) AE medianasining tenglamasi va bu mediananing CD balandligi bilan kesishgan K nuqtasining koordinatalari; 6) K nuqtadan AB tomoniga parallel o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi; 7) CD to'g'ri chiziqqa nisbatan A nuqtaga simmetrik joylashgan M nuqtaning koordinatalari.

Yechim:

1. A(x 1 ,y 1) va B(x 2 ,y 2) nuqtalar orasidagi d masofa formula bilan aniqlanadi.

(1) dan foydalanib, AB tomonining uzunligini topamiz:

2. A(x 1 ,y 1) va B(x 2 ,y 2) nuqtalardan o‘tuvchi chiziq tenglamasi ko‘rinishga ega.

(2)

A va B nuqtalarning koordinatalarini (2) ga almashtirib, AB tomonining tenglamasini olamiz:

Y uchun oxirgi tenglamani yechib, AB tomonining tenglamasini burchak koeffitsientli to'g'ri chiziqli tenglama ko'rinishida topamiz:

qayerda

B va C nuqtalarning koordinatalarini (2) ga almashtirib, BC to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Yoki

3. Ma'lumki, burchak koeffitsientlari mos ravishda teng bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakning tangensi formula bo'yicha hisoblanadi.

(3)

Kerakli B burchak AB va BC to'g'ri chiziqlar orqali hosil bo'ladi, ularning burchak koeffitsientlari topiladi: (3) ni qo'llash orqali biz olamiz.

Yoki xursand.

4. Berilgan nuqtadan ma’lum yo‘nalishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi ko‘rinishga ega

(4)

CD balandligi AB tomoniga perpendikulyar. CD balandligining qiyaligini topish uchun biz chiziqlarning perpendikulyarlik shartidan foydalanamiz. O'shandan beri (4) ga C nuqtaning koordinatalarini va topilgan balandlik koeffitsientini qo'yib, biz hosil bo'lamiz.

CD balandligi uzunligini topish uchun birinchi navbatda D nuqtaning koordinatalarini - AB va CD to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasini aniqlaymiz. Tizimni birgalikda hal qilish:

topamiz bular. D(8;0).

Formuladan (1) foydalanib, CD balandligi uzunligini topamiz:

5. AE mediana tenglamasini topish uchun avval segmentni ikkita teng qismga bo‘lish formulalari yordamida BC tomonining o‘rtasi bo‘lgan E nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz:

(5)

Demak,

A va E nuqtalarning koordinatalarini (2) ga almashtirib, mediana uchun tenglamani topamiz:

CD balandligi va mediana AE kesishish nuqtasining koordinatalarini topish uchun tenglamalar tizimini birgalikda yechamiz.

topamiz.

6. Kerakli to'g'ri chiziq AB tomoniga parallel bo'lgani uchun uning burchak koeffitsienti AB to'g'ri chiziqning burchak koeffitsientiga teng bo'ladi. Topilgan K nuqtaning koordinatalarini va burchak koeffitsientini (4) ga almashtirib, olamiz

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. AB to'g'ri chiziq CD to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgani uchun CD to'g'ri chiziqqa nisbatan A nuqtaga simmetrik joylashgan kerakli M nuqta AB to'g'ri chiziqda yotadi. Bundan tashqari, D nuqtasi AM segmentining o'rta nuqtasidir. Formulalar (5) yordamida biz kerakli M nuqtaning koordinatalarini topamiz:

ABC uchburchagi, CD balandligi, mediana AE, KF to'g'ri chiziq va M nuqta rasmdagi xOy koordinata tizimida qurilgan. 1.

Vazifa 2. Berilgan A(4; 0) nuqtaga va x=1 chiziqqa masofalari 2 ga teng bo‘lgan nuqtalar joylashuvi uchun tenglama tuzing.

Yechim:

xOy koordinatalar sistemasida A(4;0) nuqta va x = 1 to'g'ri chiziqni quramiz. M(x;y) nuqtalarning kerakli geometrik joylashuvining ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Berilgan x = 1 to‘g‘riga MB perpendikulyarni tushirib, B nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. B nuqta berilgan to‘g‘ri ustida joylashgani uchun uning absissasi 1 ga teng. B nuqta ordinatasi M nuqta ordinatasiga teng. Shuning uchun B(1;y) (2-rasm).

Masala shartlariga ko'ra |MA|: |MV| = 2. Masofalar |MA| va |MB| 1-masalaning (1) formulasidan topamiz:

Chap va o'ng tomonlarni kvadratga aylantirib, biz olamiz

Olingan tenglama giperbola bo'lib, unda haqiqiy yarim o'q a = 2, xayoliy yarim o'q esa

Giperbolaning fokuslarini aniqlaymiz. Giperbola uchun tenglik bajariladi.Demak, va - giperbola fokuslari. Ko'rib turganingizdek, berilgan A(4;0) nuqta giperbolaning to'g'ri fokusidir.

Olingan giperbolaning ekssentrikligini aniqlaymiz:

Giperbola asimptotalarining tenglamalari va ko'rinishga ega. Demak, yoki va giperbolaning asimptotalaridir. Giperbolani qurishdan oldin uning asimptotalarini tuzamiz.

Muammo 3. A(4; 3) nuqta va y = 1 to‘g‘ri chiziqdan teng masofada joylashgan nuqtalar joylashuvi uchun tenglama tuzing. Hosil bo‘lgan tenglamani eng oddiy ko‘rinishga keltiring.

Yechim: M(x; y) nuqtalarning kerakli geometrik joylashuvi nuqtalaridan biri bo'lsin. M nuqtadan MB perpendikulyarni shu y = 1 to'g'ri chiziqqa tushiramiz (3-rasm). B nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. Shubhasiz, B nuqtaning abssissasi M nuqtaning abssissasiga, B nuqtaning ordinatasi esa 1 ga, ya’ni B(x; 1) ga teng. Masala shartlariga ko'ra |MA|=|MV|. Demak, nuqtalarning istalgan geometrik joylashuviga tegishli bo'lgan har qanday M(x;y) nuqta uchun quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi:

Hosil boʻlgan tenglama nuqtada choʻqqisi boʻlgan parabolani aniqlaydi.Parabola tenglamasini eng oddiy koʻrinishga keltirish uchun y+2=Y ni oʻrnatamiz, u holda parabola tenglamasi quyidagi koʻrinishni oladi:

1-mashq

57. ABC uchburchakning uchlari berilgan. Toping

) AB tomonining uzunligi;

) AB va AC tomonlar tenglamalari va ularning burchak koeffitsientlari;

) ichki burchak A;

) B cho'qqisidan chizilgan mediana tenglamasi;

) CD balandligi va uning uzunligi tenglamasi;

) CD balandligi diametri va bu doiraning AC tomoni bilan kesishish nuqtalari bo'lgan aylana tenglamasi;

) ichki burchak A bissektrisasi tenglamasi;

) ABC uchburchagining maydoni;

) ABC uchburchagini aniqlovchi chiziqli tengsizliklar sistemasi.

Chizma qiling.

A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)

Yechim:

1) Vektor uzunligini topamiz

= (x b -x a )2+ (y b -y a )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - AB tomonining uzunligi

2) AB tomonining tenglamasini topamiz

Nuqtalardan o`tuvchi chiziq tenglamasi

Oh A ; da V ) va B(x A ; da V ) umuman

To'g'ri chiziqning bu tenglamasiga A va B nuqtalarning koordinatalarini qo'yaylik

S AB = (- 3, - 4) AB toʻgʻri chiziqning yoʻnalish vektori deyiladi. Bu vektor AB chizig'iga parallel.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - AB chizig'ining tenglamasi

Agar tenglama quyidagicha yozilsa: y = X - u holda uning burchak koeffitsientini ajratib olamiz: k 1 =4/3

Vektor N AB = (-4, 3) AB chiziqning normal vektori deyiladi.

Vektor N AB = (-4, 3) AB chiziqqa perpendikulyar.

Xuddi shunday, AC tomonining tenglamasini topamiz

S AC = (- 7, - 1) - AC tomonining yo'nalish vektori

(x - 7) = - 7(y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - AC tomonining tenglamasi

y = = x + 8 nishab bu yerdan k 2 = 1/7

Vektor N A.C. = (- 1, 7) - AC chizig'ining normal vektori.

Vektor N A.C. = (- 1, 7) AC chiziqqa perpendikulyar.

3) A burchakni topamiz

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi formulasini yozamiz Va

* = *chunki ∟A

A burchakni topish uchun bu burchakning kosinusini topish kifoya. Oldingi formuladan A burchak kosinusining ifodasini yozamiz

cos ∟A =

Vektorlarning skalyar mahsulotini topish Va

= (x V - X A ; da V - y A ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x Bilan - X A ; da Bilan - y A ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Vektor uzunligi = 15 (ilgari topilgan)

Vektor uzunligini topamiz

= (x BILAN -x A )2+ (y Bilan -y a )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14.14 - yon uzunligi AC

U holda cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) B nuqtadan AC tomoniga chizilgan BE medianasining tenglamasi topilsin

Umumiy shakldagi median tenglama

Endi siz BE to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topishingiz kerak.

ABC uchburchagini ABCD parallelogrammasiga quramiz, shunda AC tomoni uning diagonali bo'lsin. Paralelogrammadagi diagonallar yarmiga bo'linadi, ya'ni AE = EC. Demak, E nuqta BF chiziqda yotadi.

BE to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori sifatida BE vektorini olish mumkin , biz topamiz.

= +

= (x c - X b ; da c - y b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Keling, tenglamaga almashtiramiz

C nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz (-7; 7)

(x + 7) = 2(y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - median BE tenglamasi

E nuqta AC tomonining o'rtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari

X e = (x A + x Bilan )/2 = (7 - 7)/2 = 0

da e = (y A + y Bilan )/2 = (9 + 7)/2 = 8

E nuqtaning koordinatalari (0; 8)

5) CD balandligi va uning uzunligi tenglamasini topamiz

Umumiy tenglama

CD to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topish kerak

CD chizig'i AB chizig'iga perpendikulyar, shuning uchun CD chizig'ining yo'nalish vektori AB chizig'ining normal vektoriga parallel.

CD ‖AB

Ya'ni, AB to'g'ri chiziqning normal vektorini CD to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olish mumkin

Vektor AB ilgari topilgan: AB (-4, 3)

C nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4(y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - balandlik tenglamasi C D

D nuqtasi koordinatalari:

D nuqta AB chizig'iga tegishli, shuning uchun D(x) nuqtasining koordinatalari d . y d ) avval topilgan AB to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantirishi kerak

D nuqtasi CD chizig'iga tegishli, shuning uchun D(x) nuqtasining koordinatalari d . y d ) CD to'g'ri chiziq tenglamasini qondirishi kerak,

Buning asosida tenglamalar sistemasini tuzamiz

Koordinatalar D(1; 1)

CD to'g'ri chiziq uzunligini toping

= (x d -x c )2+ (y d -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - CD to'g'ri chiziq uzunligi

6) CD diametrli aylana tenglamasini toping

Ko'rinib turibdiki, CD to'g'ri chiziq koordinatalar boshidan o'tadi, chunki uning tenglamasi -3x - 4y = 0, shuning uchun aylana tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin.

(x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- markazi (a; b) nuqtada bo'lgan aylana tenglamasi

Bu erda R = SD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

O (a; b) aylana markazi CD segmentining o'rtasida yotadi. Uning koordinatalarini topamiz:

X 0= a = = = - 3;

y 0= b = = = 4

Doira tenglamasi:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Ushbu aylananing AC tomoni bilan kesishuvini topamiz:

K nuqta aylanaga ham, AC chiziqqa ham tegishli

x + 7y - 56 = 0 - ilgari topilgan AC to'g'ri chiziq tenglamasi.

Keling, tizim yarataylik