Portalda reklama

Haqiqiy sonlar maydonida kamaytiriladigan polinomlar. Ko'phadni ratsional sonlar maydoniga kengaytirish. Ratsional sonlar maydoni ustidagi ko‘pnomlar

Har qanday kompleks son tekislikdagi nuqtani bildiradi. Argumentlar bitta murakkab tekislikda, funktsiya qiymatlari boshqa murakkab tekislikda joylashgan bo'ladi.

F(z) – kompleks o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi. Kompleks o'zgaruvchining kompleks funktsiyalari orasida uzluksiz funktsiyalar sinfi ajralib turadi.

Def: kompleks o'zgaruvchining kompleks funksiyasi uzluksiz deyiladi, agar , shunday bo'lsa, .+

Geometrik ma'nosi quyidagicha:

Murakkab tekislikdagi aylanani belgilaydi, markazi z0 nuqtada va radiusda< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

1-teorema: f(z) ko‘pnomli qo‘shish. C(z) kompleks tekislikning istalgan nuqtasida uzluksizdir.

Xulosa: kompleks sonlar sohasida ko‘phadning moduli uzluksiz funksiyadir.

2-teorema: - murakkab koeffitsientli polinomlar halqasi, keyin shunday qiymatlar.

Teorema 3. (ko‘phad modulining cheksiz ortishi haqida):

Algebraning asosiy teoremasi:

0 darajali bo'lmagan kompleks sonlar maydonidagi har qanday polinom kompleks sonlar sohasida kamida bitta ildizga ega.

(Biz dalilda quyidagi bayonotlardan foydalanamiz):

D.: 1. Agar a n =0 bo'lsa, u holda z=0 f(z) ning ildizidir.

2. a n 0 bo‘lsa, 3-teorema bo‘yicha tengsizlik kompleks tekislikdagi S radiusli aylanadan tashqarida joylashgan hududni aniqlaydi. Bu mintaqada ildiz yo‘q, chunki. shuning uchun f(z) ko‘phadning ildizlarini mintaqa ichidan izlash kerak.



Keling, T1 dan ko'rib chiqaylik. f(z) uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Weierstrass teoremasiga ko'ra, u yopiq mintaqada bir nuqtada minimal darajaga etadi, ya'ni. . Keling, nuqta minimal nuqta ekanligini ko'rsataylik. Chunki 0 E, keyin, chunki f-ii qiymatining E mintaqasidan tashqarida, keyin z 0 butun kompleks tekislikdagi minimal nuqtadir. f(z 0)=0 ekanligini ko'rsataylik. Faraz qilaylik, bunday emas, demak, d'Alemberning Lemmasi orqali biz qarama-qarshilikni olamiz, chunki z 0 minimal nuqta.

Algebraik yopilish:

Def: Agar bu maydon ustida kamida bitta ildiz bo'lsa, P maydoni algebraik yopiq deb ataladi.

Teorema: kompleks sonlar maydoni algebraik jihatdan yopiq. (d-algebraning asosiy teoremasidan kelib chiqadi).

Ratsional va haqiqiy sonlar sohalari algebraik jihatdan yopiq emas.

Parchalanish qobiliyati:

Teorema: 1 dan yuqori darajadagi kompleks sonlar maydonidagi har qanday ko'phadni chiziqli omillar mahsulotiga ajratish mumkin.

Xulosa 1. Kompleks sonlar maydonidagi n darajali ko‘phad aynan n ta ildizga ega.

Keyingi 2: 1 dan katta darajali kompleks sonlar maydonidagi har qanday polinom har doim kamaytirilishi mumkin.

Def: ko'plik C\R raqamlari, ya'ni. b 0 ga teng bo'lmagan a+bi ko'rinishdagi sonlar xayoliy deyiladi.


2. Maydon ustidagi ko‘p nomlilar. Ikki polinomning GCD va Evklid algoritmi. Ko'phadni kamaytirilmaydigan omillar ko'paytmasiga ajratish va uning yagonaligi.

Def. Noma'lumda ko'p nomli (ko'p nomli). X maydon ustida R chaqirdi Butun son manfiy bo'lmagan darajalarning algebraik yig'indisi X, maydondan qandaydir koeffitsient bilan olingan R.

aiÎP qayerda yoki

Polinomlar deyiladi teng, agar ularning koeffitsientlari noma'lumlarning mos keladigan vakolatlari uchun teng bo'lsa.

Ko'phadning darajasi deyiladi. noma'lum ko'rsatkichning eng katta qiymati, koeffitsienti noldan farq qiladi.

Belgilangan: N(f(x))=n

Maydondagi barcha ko'phadlar to'plami R bilan belgilanadi: P[x].

Nolinchi darajali polinomlar maydon elementlari bilan mos keladi R, noldan farq qiladi nol ko'phad, uning darajasi noaniq.

Polinomlar ustida amallar.

1. Qo‘shish.

n³s bo‘lsin, u holda N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

  1. qo'shish operatsiyasi mumkin va o'ziga xoslik maydon elementlarini qo'shishning o'ziga xosligidan kelib chiqadi
  2. assotsiativlik
  3. nol element
  4. berilganga qarama-qarshi ko'phad
  5. kommutativlik

- Abel guruhi

2. Ko‘paytirish.

Algebraik tuzilmani o'rganish<P[x],*>

  1. operatsiyani amalga oshirish mumkin, chunki maydonda ko'paytirish amali bajariladi. O'ziga xoslik sohadagi operatsiyalarning noaniqligidan kelib chiqadi R.
  2. assotsiativlik
  3. birlik polinom
  4. Faqat nol darajali polinomlar teskari hisoblanadi

<P[x],*>- identifikatsiya elementi bo'lgan yarim guruh (manoid)

Taqsimlash qonunlari qondiriladi, shuning uchun<P[x],+,*> identifikatsiyaga ega kommutativ halqadir.

Ko'phadlarning bo'linuvchanligi

ODA: polinom f(x), f(x)OP[x], P– maydon polinomga bo‘linadi g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x], agar shunday polinom mavjud bo'lsa h(x)OP[x], bu f(x)=g(x)h(x)

Bo'linish xususiyatlari:

Misol:, ustunga bo'ling gcd =( x+3)

Qoldiq bilan bo'lish teoremasi: Har qanday polinomlar uchun f (x), g(x)OP[x], faqat bitta polinom mavjud q(x) Va r(x) shu kabi f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) yoki r(x)=0.

Hujjat g'oyasi: biz mavjud bo'lgan ikkita holatni ko'rib chiqamiz n daraja g(x)) va f bo'linadi (x) g ustida (x). Hujjatning o'ziga xosligi qarama-qarshidir.

ODA: f (x) va g(x), f(x), g(x)OP[x], h(x)OP[x] GCD f deb ataladi (x) va g(x) Agar

Evklid algoritmi

Keling, ketma-ket bo'linish jarayonini yozamiz

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) va hokazo.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Fikr isbotdir: biz buni ko'rsatamiz 1 ) f(x):(to'liq) d (x) Va g (x):(to'liq) d(x); 2) f(x):(to'liq) h(x) Va g(x):(to'liq) h(x) buni ko'rsatamiz d(x):( butunlay) h(x).

GCD ning chiziqli tasviri

T: agar d (x) - ko'phadlarning gcd f (x) va g (x), u holda ko'phadlar mavjud v (x) va u(x)OP[x], Nima f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) va g(x)OP[x] har doim umumiy boʻluvchilarga, yaʼni P maydoniga toʻgʻri keladigan nol darajali koʻphadlarga ega boʻladi; agar boshqa umumiy boʻluvchilar boʻlmasa, f(x) va g(x) koʻp tubdir. (belgisi: (f(x),g(x))=1)

T:f (x) Va g (x) nisbatan tub i.i.t.k. v(x) va u(x)OP[x] ko'phadlari mavjud shundayki f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Koʻp sonli koʻphadlarning xossalari

  1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, keyin (f(x),g(x)*q(x))=1
  2. f(x)*g(x):(butunlay)h(x) va (f(x),g(x))=1, keyin g(x):( butunlay) h(x)
  3. f(x):(butunlay)g(x), f(x):(butunlay)h(x) va ( g(x),h(x))=1, keyin f(x):(butunlay) g(x)*h(x)

ODA: f(x), f(x)OP[x] ko'phadlari deyiladi berilgan P maydoni ustida, agar uni darajalari 0 dan katta va f (x) darajasidan kichik bo'lgan omillarga ajratish mumkin bo'lsa, ya'ni.

f (x)=f 1 (x)f 2 (x), bu erda darajalar f 1 va f 2 >0,

Ko'phadlarning kamaytiruvchanligi ular ko'rib chiqiladigan sohaga bog'liq. Ko'phad Q maydonida kamaytirilmaydigan (pastki darajali omillarga ko'paytirilmaydigan ko'phad) va R maydonida kamaytirilishi mumkin.

Qaytarib bo'lmaydigan polinomlarning xossalari:

  1. Nol darajali polinom har qanday maydonda kamaytirilishi mumkin
  2. Agar polinom bo'lsa f(x) maydonda kamaytirilmaydi R, keyin a ko'phad f(x) maydonda ham kamaytirilmaydi R.
  3. Ko'phadlar f bo'lsin (x) Va p (x) maydon ustida R, va p (x) – maydonda kamaytirilmaydigan R, keyin holatlar mumkin

1) ko'phadlar f (x) Va p (x) nisbatan asosiy hisoblanadi

2) f(x):(to'liq) p (x)

F maydoni musbat darajali F bo‘lgan har qanday ko‘phad F da ildizga ega bo‘lsa, F maydoni algebraik yopiq deyiladi.

5.1 teorema (polinom algebrasining asosiy teoremasi). Kompleks sonlar maydoni algebraik jihatdan yopiq.

Natija 5 .1.1. Yuqorida BILAN Faqat birinchi darajali kamaytirilmaydigan polinomlar mavjud.

Xulosa 5.1.2. Polinom n- yuqori daraja BILAN Unda bor n murakkab ildizlar.

5.2 teorema. If polinomning kompleks ildizi f haqiqiy koeffitsientlar bilan, u holda kompleks konjugat son ham ildiz hisoblanadi f.

Natija 5 .2.1. Yuqorida R Faqat birinchi yoki ikkinchi darajali kamaytirilmaydigan polinomlar mavjud.

Xulosa 5.2.2. Ko'phadning xayoliy ildizlari R murakkab konjugatlar juftlariga ajraladi.

5.1-misol. Faktorni kamaytirilmas omillarga aylantiring BILAN va yuqorida R polinom x 4 + 4.

Yechim. Bizda ... bor

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

kengaytirish tugadi R. Qavslar ichida ikkinchi darajali ko'phadlarning murakkab ildizlarini odatdagi usulda topib, biz kengayishni olamiz. BILAN:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

5.2-misol. Ildizlari 2 va 1+ boʻlgan haqiqiy koeffitsientli eng kichik darajali koʻphadni tuzing i.

Yechim. Xulosa 5.2.2 ga binoan, ko'phadning ildizlari 2, 1 bo'lishi kerak - i va 1+ i. Uning koeffitsientlarini Vieta formulalari yordamida topish mumkin:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2(1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

Bu yerdan f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Mashqlar.

5.1. Faktorni kamaytirilmas omillarga aylantiring BILAN va yuqorida R polinomlar:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Ikki ildiz 1 va oddiy ildiz 1 - 2 bo'lgan haqiqiy koeffitsientli eng kichik darajadagi ko'phadni tuzing. i.

6. Ratsional sonlar maydoni ustidagi ko‘p nomlilar

6.1 teorema (Eyzenshteyn mezoni). Mayli f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n– butun sonli koeffitsientli polinom. Agar shunday tub son bo'lsa p, Nima a 0 , a 1 , … , a n-1 ga bo'linadi p, a n ga bo'linmaydi p,a 0 ga bo'linmaydi p 2, keyin f ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.

6.1-mashq. Qayta tiklanmaslikni isbotlang Q polinomlar:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

6.2 teorema. Mayli – ko‘phadning ildizi bo‘lgan qaytarilmas kasr f = a 0 + a 1 x + … + a n x n butun son koeffitsientlari bilan. Keyin

    a 0  p, a nq;

    f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Bu teorema butun sonli koeffitsientli ko'phadning ratsional ildizlarini topish masalasini hal qilishga imkon beradi. Buning uchun erkin hadning barcha bo'luvchilari va yetakchi koeffitsientni aniqlaymiz va ulardan har xil turdagi qaytarilmas kasrlarni tuzamiz. Barcha ratsional ildizlar bu kasrlar orasida joylashgan. Ularni aniqlash uchun siz Horner sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Unda keraksiz hisob-kitoblarga yo'l qo'ymaslik uchun biz 6.2 teoremaning 2) bayonotidan foydalanamiz.

6.1-misol. Ko‘phadning ratsional ildizlarini toping

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Yechim. Numeratorlari bo'lgan barcha kasrlarni yozamiz p - bo'luvchilar 18, maxrajlar q- ajratgichlar 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Biz ularni Horner sxemasiga muvofiq tekshiramiz:

Izoh

f(1) = –21  p–q

f(–1) = –3  p+q

X 1 = –2

X 2 = 3/2

Ildizni topish X 1 = -2 va ko'phadni ga bo'lish X+ 2, biz yangi -9 erkin atamasi bo'lgan polinomni olamiz (uning koeffitsientlari tagiga chizilgan). Qolgan ildizlarning numeratorlari bu sonning bo'luvchisi bo'lishi kerak va bu shartni qondirmaydigan kasrlar ro'yxatdan chiqarib tashlanishi mumkin. Qolgan butun qiymatlar shartni qoniqtirmagani uchun chiqarib tashlanadi f(1)p – q yoki f(–1)p + q. Masalan, bizda 3 ta p = 3, q= 1 va shart bajarilmaydi f(1) = –21p – q(ikkinchi shart bilan bir xil).

Xuddi shunday, ildizni topish X 2 = 3/2, biz yangi bo'sh muddat 3 va etakchi koeffitsienti 1 bo'lgan ko'phadga ega bo'ldik (ildiz kasr bo'lganda, hosil bo'lgan polinomning koeffitsientlarini kamaytirish kerak). Ro'yxatdagi qolgan raqam endi uning ildizi bo'la olmaydi va ratsional ildizlar ro'yxati tugadi.

Topilgan ildizlarning ko'pligi tekshirilishi kerak.

Agar yechish jarayonida biz ikkinchi darajali ko'phadga kelgan bo'lsak va kasrlar ro'yxati hali tugamagan bo'lsa, qolgan ildizlarni kvadrat trinomiyaning ildizlari sifatida odatiy formulalar yordamida topish mumkin.

6.2-mashq. Ko‘phadning ratsional ildizlarini toping

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

2 da X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

  • O'nlik sanoq sistemasida sonlarni ko'paytirish va bo'lish algoritmlari
  • O'rtacha va marjinal yo'qotishlarning qiymati va kerakli miqdordagi namunalar
  • Piter Skarganing "Xudo cherkovining birligi to'g'risida" kitobida tasdiqlash 1577 (?) r. - Ostrozkiyning birinchi polemik bayonoti.
  • Savol No 1. Domna pechida namlikning bug'lanishi va karbonatlarning parchalanishi. Karbonat parchalanishining termodinamiği.
  • Biz nol koeffitsientli HAMMA ko'phadlarni (va/yoki bo'sh shartlarni) bo'sh joysiz yozamiz.

    • Butun sonlar halqasi ustidagi polinom deyiladi ibtidoiy, agar uning koeffitsientlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 1 ga teng boʻlsa. Ratsional koeffitsientli koʻphad musbat ratsional sonning koʻpaytmasi sifatida yagona ifodalanadi. mazmuni polinom va tub ko'phad. Tub ko‘phadlarning ko‘paytmasi ibtidoiy ko‘phaddir. Bu faktdan kelib chiqadiki, agar butun sonli koeffitsientli ko'phad ratsional sonlar maydonida kamaytiriladigan bo'lsa, u holda butun sonlar halqasi ustida kamaytiriladi. Shunday qilib, ko'phadni ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga ko'paytirish masalasi butun sonlar halqasidagi shunga o'xshash masalaga keltiriladi.

    Butun sonli koeffitsientli va mazmuni 1 bo‘lgan ko‘phad va uning ratsional ildizi bo‘lsin. Ko‘phadning ildizini qaytarilmas kasr sifatida tasavvur qilaylik. Polinom f(x) ibtidoiy koʻphadlarning koʻpaytmasi sifatida ifodalanadi. Demak,

    A. sanoqchi bo‘luvchi,

    B. maxraj – bo‘luvchi

    C. har qanday butun son uchun k ma'nosi f(k) – ( ​​ga qoldiqsiz boʻlinadigan butun son. bk-a).

    Sanab o'tilgan xususiyatlar ko'phadning ratsional ildizlarini topish muammosini chekli qidiruvga qisqartirish imkonini beradi. Xuddi shunday yondashuv ko'p nomli kengayishda qo'llaniladi f Kroneker usulidan foydalangan holda ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga. Agar polinom bo'lsa f(x) daraja n berilgan bo'lsa, omillardan biri dan yuqori bo'lmagan darajaga ega n/2. Bu omil bilan belgilaymiz g(x). Polinomlarning barcha koeffitsientlari butun son bo'lganligi sababli, har qanday butun son uchun a ma'nosi f(a) ga qoldiqsiz bo‘linadi g(a). Keling, tanlaymiz m= 1+n/2 ta aniq son a men, i=1,…,m. Raqamlar uchun g(a i) chekli sonli imkoniyatlar mavjud (nolga teng bo'lmagan har qanday sonning bo'luvchilari soni chekli), shuning uchun bo'linuvchi bo'lishi mumkin bo'lgan cheklangan miqdordagi ko'phadlar mavjud. f(x). To'liq qidiruvni amalga oshirib, biz ko'phadning qaytarilmasligini ko'rsatamiz yoki uni ikkita ko'phadning mahsulotiga kengaytiramiz. Ko'rsatilgan sxemani barcha omillar qaytarilmas polinomga aylanmaguncha har bir omilga qo'llaymiz.

    Ba'zi ko'phadlarning ratsional sonlar maydoniga qaytarilmasligini oddiy Eyzenshteyn mezoni yordamida aniqlash mumkin.

    Mayli f(x) butun sonlar halqasi ustidagi ko‘phaddir. Agar tub son bo'lsa p, Nima



    I. Ko'phadning barcha koeffitsientlari f(x), eng yuqori daraja uchun koeffitsientdan tashqari, bo'linadi p

    II. Eng yuqori daraja uchun koeffitsient ga bo'linmaydi p

    III. Bepul a'zo bo'linmaydi

    Keyin polinom f(x) ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.

    Shuni ta'kidlash kerakki, Eyzenshteyn mezoni polinomlarning qaytarilmasligi uchun etarli shart-sharoitlarni ta'minlaydi, lekin zaruriy emas. Demak, polinom ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi, lekin Eyzenshteyn mezoniga javob bermaydi.

    Eyzenshteyn mezoniga ko'ra, ko'phad kamaytirilmaydi. Demak, ratsional sonlar maydonida darajaning qaytarilmas polinomi mavjud. n, Qayerda n 1 dan katta har qanday natural son.

    Haqiqiy sonlar maydonida bitta o‘zgaruvchining har qanday qaytarilmas ko‘phadlari 1 yoki 2 darajaga ega, 2 darajali ko‘phad esa R maydonida kamaytirilmaydi, agar u manfiy diskriminantga ega bo‘lsa, masalan, ko‘phad kamaytirilmaydi. haqiqiy sonlar maydoni, chunki uning diskriminanti manfiy.

    Eyzenshteyn mezoni nemis matematigi Ferdinand Eyzenshteyn nomi bilan atalgan ko‘phadning qaytarilmasligini aniqlash testidir. (An'anaviy) ismga qaramay, bu aniq belgi, ya'ni etarli shart - lekin "mezon" so'zining matematik ma'nosiga asoslanib taxmin qilinganidek, umuman kerak emas.

    Teorema (Eyzenshteyn mezoni). R faktorial halqasi ustidagi ko‘phad bo‘lsin ( n>0) va ba'zi bir qaytarilmas element uchun p quyidagi shartlar bajariladi:

    ga boʻlinmaydi p,

    tomonidan bo'lingan p, har kim uchun i dan 0 oldin n- 1,

    ga boʻlinmaydi.

    U holda ko'phad kamaytirilmaydi F xususiy halqa maydoni R.

    Natija. Algebraik sonlarning har qanday maydonida oldindan belgilangan har qanday darajada kamaytirilmaydigan polinom mavjud; masalan, polinom qaerda n>1 va pЇ qandaydir tub son.

    R - butun sonlar halqasi va F - ratsional sonlar maydoni bo'lganda, ushbu mezonni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.

    Misollar:

    Ko‘phad Q ga nisbatan qaytarilmaydi.

    Aylananing boʻlinish koʻphadini qisqartirib boʻlmaydi. Aslida, agar u kamaytiriladigan bo'lsa, biz ko'phadni ham kamaytiramiz va birinchisidan tashqari uning barcha koeffitsientlari binomial bo'lgani uchun, ya'ni ular quyidagilarga bo'linadi. p, va oxirgi koeffitsient `omin p va bundan tashqari, u taxmindan farqli o'laroq, Eyzenshteyn mezoni bilan bo'linmaydi.

    Quyidagi beshta ko'phad kamaytirilmaydigan polinomlarning ba'zi elementar xususiyatlarini ko'rsatadi:

    Butun sonlarning Z halqasida birinchi ikkita ko'phad kamaytiriladigan, oxirgi ikkitasi esa qaytarilmaydigan. (Uchinchisi umuman butun sonlar ustidagi polinom emas).

    Ratsional sonlarning Q maydonida dastlabki uchta ko'phad kamaytiriladigan, qolgan ikkitasi esa qaytarilmas.

    Haqiqiy sonlarning R maydonida dastlabki to'rtta ko'phad kamaytirilishi mumkin, ammo qaytarilmaydi. Haqiqiy sonlar sohasida chiziqli ko‘phadlar va haqiqiy ildizlari bo‘lmagan kvadratik ko‘phadlar qaytarilmaydi. Masalan, haqiqiy sonlar sohasida ko'phadning kengayishi shaklga ega. Ushbu kengayishdagi ikkala omil ham qaytarilmas polinomlardir.

    Kompleks sonlarning C maydonida barcha beshta ko'phad kamaytirilishi mumkin. Aslida, C ga nisbatan har bir doimiy bo'lmagan ko'phadni quyidagi ko'rinishda faktorlarga ajratish mumkin:

    Qayerda n- polinom darajasi; a- etakchi koeffitsient, - ko'phadning ildizlari. Shuning uchun C ga nisbatan yagona qisqartirilmaydigan ko'phadlar chiziqli polinomlardir (algebraning asosiy teoremasi).

    Qaytarib bo'lmaydigan polinom- notrivial ko'phadlarga parchalanib bo'lmaydigan ko'phad. Qaytarib bo'lmaydigan polinomlar polinom halqasining qaytarilmas elementlaridir.

    Maydon ustidagi kamaytirilmaydigan ko'phad ko'phaddir maydon ustidagi o'zgaruvchilarning soni halqaning oddiy elementidir , ya'ni ko'paytma sifatida ifodalanishi mumkin emas, bu erda va koeffitsientlari dan bo'lgan ko'phadlar, doimiylardan boshqa.

    F maydonidagi f ko'phad, agar u musbat darajaga ega bo'lsa va unchalik muhim bo'lmagan bo'luvchilarga ega bo'lmasa (ya'ni, har qanday bo'luvchi u bilan yoki bitta bilan bog'langan bo'lsa) qisqartirilmaydigan (oddiy) deyiladi.

    1 jumla

    Mayli R- qaytarilmas va A– F[x] halqasining istalgan ko‘phad. Keyin ham R ajratadi A, yoki R Va A- o'zaro oddiy.

    2 jumla

    Mayli f∈ F[x] va daraja f = 1, ya'ni f qaytarilmas ko'phad.

    Masalan: 1. Q maydoni ustidan x+1 ko‘phadni oling. Uning darajasi 1 ga teng, demak u kamaytirilmaydi.

    2. x2 +1 – qaytarilmas, chunki ildizlari yo'q

    SLU. Tizimli yechim. Kooperativ, kooperativsiz, aniq va noaniq tizimlar. Ekvivalent tizimlar

    X1,...xn o'zgaruvchilarga ega F maydon ustidagi chiziqli tenglamalar sistemasi shakldagi sistemadir.

    A 11 X 1 + … + a 1n x n= b 1

    ………………………..

    a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

    qayerda a ik,b i∈ F, m - tenglamalar soni, n - noma'lumlar soni. Qisqacha aytganda, bu tizimni quyidagicha yozish mumkin: ai1x1 + … + a ichida x n= b i (i = 1,…m.)

    Bu SLE n ta erkin o'zgaruvchiga ega bo'lgan shartdir 1,….xn.

    SLNlar mos kelmaydigan (yechimlari yo'q) va mos (aniq va noaniq) ga bo'linadi. Turdagi izchil sistema, agar u yagona yechimga ega bo‘lsa, aniq deyiladi; agar u kamida ikki xil yechimga ega bo'lsa, u noaniq deb ataladi.

    Masalan: Q maydonining tepasida

    x + y = 2 - mos kelmaydigan tizim

    x – y = 0 - bo‘g‘inli aniqlovchi (x, y = ½)

    2x + 2y = 2 - qo'shma noaniq

    Ikki l.u. tizimi bu sistemalarning yechimlar to'plami mos kelsa, ya'ni bir sistemaning har qanday yechimi bir vaqtning o'zida boshqasining yechimi bo'lsa ekvivalent bo'ladi. Bunga ekvivalent tizimni olish mumkin:



    1. tenglamalardan birini har qanday nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladigan ushbu tenglama bilan almashtirish.

    2. tenglamalardan birini shu tenglama yig‘indisi bilan sistemaning boshqa tenglamasi bilan almashtirish.

    SLE ning yechimi Gauss usuli bilan amalga oshiriladi.

    45* Chiziqli tenglamalar sistemalarining elementar transformatsiyalari (slu). Gauss usuli.

    Def.S.L.U n-xia ning elementar transformatsiyalari quyidagi transformatsiyalardir:

    1. Sistemaning tenglamalar sistemasidan birini maydonning nolga teng bo'lmagan elementiga ko'paytirish.

    2. Tizim tenglamalaridan biriga maydon elementiga ko'paytiriladigan boshqa tenglamani qo'shish.

    3. 0*x1+0*x2+…+0*xn=0 nolga teng boʻlmagan tizimga qoʻshimchalar yoki sistemadan chiqarib tashlash

    4. Tenglamalarni teskari aylantirish

    TaklifCheklangan son yordamida tizim (**) yoki tizim (*) olinsin. Elementar transformatsiyalar. Keyin tizim (**) ~ tizim (*). (Hujjat yo'q)

    o'rinbosari Chiziqli tenglamalar tizimini yozishda biz matritsa belgilaridan foydalanamiz.

    a11 a12 … a1n b1

    a21 a22 ... a2n b2

    ………………….... …

    Am1 am2 ... amn vn

    Misollar: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

    x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

    3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

    2) 1 0 1 x1=1

    0 1 2 x2=2

    3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

    0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

    Gauss usuli

    Taklif Tizimga (*) ega bo'lsin

    (a) agar barcha erkin hadlar 0 ga teng bo'lsa, barcha vk=0 ko'p yechimlar = F n

    (b) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (echimlar yo‘q)

    2. hammasi emas aij = 0

    (a) agar tizim 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 ko‘rinishdagi tenglamaga ega bo‘lsa

    (b) agar bunday tenglamalar bo'lmasa b1. Nolga teng bo'lmagan tenglamalarni yo'q qilaylik. Hamma koeffitsientlar xij=0 da bo'lmasligi uchun eng kichik indeks i1 topilsin.

    0……0……….. …. Nollarga ega ikkinchi ustun i1.

    0……0…..*=0….. ….

    0……0 ...……… …

    1.tenglamalarni qayta tartibga solish orqali biz a1i1 = 0 ga erishamiz

    0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(topshiriq) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

    A2i1............ .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( qadam tashladi

    0…. 0… a2i1… 0…..0..0… …. Matritsa)

    0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. ………………………….

    0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

    Cheklangan qadamlardan so'ng, biz yoki tizimda 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 ko'rinishdagi tenglamani olamiz yoki

    0……0 1………….. L1 “oldinga Gauss zarbasi” 0....0 1...0..0 .....0.......0.... .. “teskari zarba

    0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0...... ..Gauss”

    0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0.........1... . .....0...... ..

    .............................. .... ............................................ ..

    0.......0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

    Biz xi1, ...... xik o'zgaruvchilarni asosiylari deb ataymiz, qolganlari bepul.

    k=n => c-a aniqlangan

    k c-aniqlanmagan. Erkin o'zgaruvchilarga olingan qiymatlar berilishi mumkin va asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblash mumkin.

    2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

    1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

    3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2