Agar ma'lum bir raqam u tekislikning har bir M nuqtasi (yoki tekislikning biron bir qismi) bilan bog'liq bo'lgan qoida ko'rsatilgan bo'lsa, ular tekislikda (yoki tekislikning bir qismida) "nuqta funktsiyasidir" deyishadi. belgilangan”; funksiyaning spetsifikatsiyasi ramziy ravishda u=f(M) ko‘rinishdagi tenglik bilan ifodalanadi. M nuqta bilan bog'langan u soni bu funktsiyaning M nuqtadagi qiymati deb ataladi. Masalan, agar A tekislikdagi qo'zg'almas nuqta bo'lsa, M ixtiyoriy nuqta bo'lsa, u holda A dan M gacha bo'lgan masofa M nuqtaning funktsiyasidir. Bu holda f(m)=AM .

Qandaydir u=f(M) funksiya berilsin va shu bilan birga koordinatalar tizimi kiritilsin. U holda ixtiyoriy M nuqta x, y koordinatalari bilan aniqlanadi. Shunga ko'ra, bu funktsiyaning M nuqtadagi qiymati x, y koordinatalari bilan aniqlanadi yoki ular aytganidek, u=f(M) bo'ladi. ikkita o'zgaruvchining funksiyasi x va y. Ikki o‘zgaruvchining x va y funksiyasi f(x; y) belgisi bilan belgilanadi: agar f(M)=f(x;y) bo‘lsa, u=f(x; y) formulasi buning ifodasi deyiladi. tanlangan koordinatalar tizimidagi funksiya. Demak, oldingi misolda f(M)=AM; Agar boshi A nuqtada bo'lgan dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimini kiritsak, bu funktsiyaning ifodasini olamiz:

u=sqrt(x^2 + y^2)

MUAMMO 3688 f (x, y)=x^2–y^2–16 funksiya berilgan.

f (x, y)=x^2–y^2–16 funksiya berilgan. Agar koordinata o'qlari -45 gradus burchakka aylantirilsa, bu funktsiyaning yangi koordinata tizimidagi ifodasini aniqlang.

Parametrik chiziq tenglamalari

Muayyan M nuqtaning koordinatalarini x va y harflari bilan belgilaymiz; t argumentining ikkita funksiyasini ko'rib chiqamiz:

x=ph(t), y=ps(t) (1)

T o'zgarganda, x va y qiymatlari, umuman olganda, o'zgaradi, shuning uchun M nuqtasi harakatlanadi. Tenglik (1) deyiladi parametrik chiziqli tenglamalar, bu M nuqtaning traektoriyasi; t argumenti parametr deb ataladi. Agar t parametrini (1) tenglikdan chiqarib tashlash mumkin bo'lsa, u holda M nuqta traektoriyasi tenglamasini shaklda olamiz.

F shaklining tengligi (x, y) = 0 ikki o'zgaruvchili tenglama deyiladi x, y, agar bu barcha juft raqamlar uchun to'g'ri bo'lmasa x, y. Ular ikkita raqamni aytishadi x = x 0 , y=y 0, shaklning ba'zi tenglamalarini qanoatlantiring F(x, y)=0, agar bu raqamlar o'zgaruvchilar o'rniga almashtirilganda X Va da tenglamada uning chap tomoni yo'qoladi.

Berilgan chiziq tenglamasi (belgilangan koordinatalar tizimida) bu chiziqda joylashgan har bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlanadigan va unda yotmagan har bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlanmaydigan ikkita o'zgaruvchili tenglamadir.

Quyidagi iborada “chiziq tenglamasi berilgan F(x, y) = 0" biz ko'pincha qisqacha aytamiz: chiziq berilgan F (x, y) = 0.

Ikki chiziq tenglamalari berilgan bo'lsa F(x, y) = 0 Va F(x, y) = Q, keyin tizimning birgalikdagi yechimi

ularning barcha kesishish nuqtalarini beradi. Aniqroq aytganda, ushbu tizimning qo'shma yechimi bo'lgan har bir juft son kesishish nuqtalaridan birini aniqlaydi.

*) Koordinatalar sistemasi nomlanmagan hollarda, u dekart to'rtburchak deb hisoblanadi.

157. Ballar beriladi *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Qaysi nashr etilgan nuqtalar tenglama bilan aniqlangan chiziqda yotishini aniqlang X+ y = 0, va qaysi biri unga yolg'on emas. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Chizma ustiga chizing.)

158. Tenglama bilan aniqlangan chiziqda X 2 +y 2 =25, abssissalari quyidagi sonlarga teng bo lgan nuqtalarni toping: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; xuddi shu to'g'rida ordinatalari quyidagi sonlarga teng bo'lgan nuqtalarni toping: e) 3, f) - 5, g) - 8. Qaysi chiziq bu tenglama bilan aniqlanadi? (Chizma ustiga chizing.)

159. Quyidagi tenglamalar bilan qaysi chiziqlar aniqlanishini aniqlang (ularni chizma bo'yicha tuzing):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; o'n bir) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|da|; 19)y + |x|=0;

20) x +|da|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + da 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Berilgan qatorlar:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Ulardan qaysi biri koordinatadan o'tishini aniqlang.

161. Berilgan qatorlar:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8da+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Ularning kesishish nuqtalarini toping: a) o'q bilan Oh; b) o'q bilan OU.

162.Ikki chiziqning kesishish nuqtalarini toping;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4da+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4da -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10u+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Nuqtalar qutb koordinata sistemasida berilgan

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Va M 5 (1; )

Bu nuqtalardan qaysi biri qutb koordinatalarida  = 2 cos  tenglama bilan aniqlangan to‘g‘rida yotganligini va qaysi biri uning ustida yotmasligini aniqlang. Bu tenglama bilan qaysi chiziq aniqlanadi? (Uni chizmaga chizing :)

164.  = tenglama bilan aniqlangan chiziqda , qutb burchaklari quyidagi sonlarga teng nuqtalarni toping: a) , b) - , c) 0, d) . Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi?

(Uni chizma bo'yicha tuzing.)

165. = tenglama bilan aniqlangan chiziqda , qutb radiusi quyidagi sonlarga teng nuqtalarni toping: a) 1, b) 2, c)
. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Uni chizma bo'yicha tuzing.)

166. Quyidagi tenglamalar orqali qutb koordinatalarida qaysi chiziqlar aniqlanishini aniqlang (ularni chizmada tuzing):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 gunoh ; 8) gunoh  = 9) gunoh  =

167. Chizma bo‘yicha quyidagi Arximed spirallarini tuzing:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)r = -1.

168. Chizma bo‘yicha quyidagi giperbolik spirallarni tuzing:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Chizma bo‘yicha quyidagi logarifmik spirallarni tuzing:

,
.

170. Arximed spirali kesilgan segmentlarning uzunliklarini aniqlang

qutbdan chiqadigan va burchak ostida qutb o'qiga moyil nur
. Chizma qiling.

171. Arximed spiralida
nuqta olingan BILAN, Kimning qutb radiusi 47. Bu spiral nuqtaning qutb radiusini nechta qismdan kesishini aniqlang. BILAN, Chizma qiling.

172. Giperbolik spiralda
nuqta toping R, kimning qutb radiusi 12. Chizma tuzing.

173. Logarifmik spiralda
qutb radiusi 81 ga teng Q nuqtani toping. Chizma tuzing.

 tekislikda Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimi Oxy va qandaydir L chiziq berilgan bo'lsin.

Ta'rif. Tenglama F(x;y)=0 (1) chaqirdi chiziq tenglamasiL(ma'lum koordinatalar tizimiga nisbatan), agar bu tenglama L to'g'rida yotmagan har qanday nuqtaning x va y koordinatalari bilan emas, balki L to'g'rida yotgan har qanday nuqtaning x va y koordinatalari bilan qanoatlansa.

Bu. samolyotdagi chiziq- koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalarning (M(x;y)) joylashuvi.

(1) tenglama L chizig'ini aniqlaydi.

Misol. Doira tenglamasi.

Doira– berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to‘plami M 0 (x 0,y 0).

M nuqta 0 (x 0,y 0) – doira markazi.

Doira ustida yotgan har qanday M(x;y) nuqta uchun masofa MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – markazi M 0 (x 0,y 0) nuqtada bo'lgan R radiuli aylana tenglamasi.

Chiziqning parametrik tenglamasi.

L chiziqdagi nuqtalarning x va y koordinatalari t parametr yordamida ifodalansin:

(3) – DSCdagi chiziqning parametrik tenglamasi

bu yerda (t) va (t) funksiyalar t parametriga nisbatan uzluksiz (bu parametrning ma’lum bir o‘zgarishlar oralig‘ida).

(3) tenglamadan t parametrini chiqarib tashlasak, (1) tenglamani olamiz.

L chizig'ini ma'lum bir qonun bo'yicha uzluksiz harakatlanuvchi moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l deb hisoblaylik. t o'zgaruvchisi boshlang'ich momentdan hisoblangan vaqtni ifodalasin. U holda harakat qonunining spetsifikatsiyasi harakatlanuvchi nuqtaning x va y koordinatalarining t vaqtning ba'zi uzluksiz x=(t) va y=(t) funksiyalari sifatida spetsifikatsiyasini ifodalaydi.

Misol. Radiusi r>0 bo‘lgan aylana uchun parametrik tenglamani markazi koordinatali boshda keltiramiz. M(x,y) bu aylananing ixtiyoriy nuqtasi, t esa soat miliga teskari hisoblangan radius vektor va Ox o‘qi orasidagi burchak bo‘lsin.

U holda x=r cos x y=r sin t. (4)

(4) tenglamalar ko'rib chiqilayotgan doiraning parametrik tenglamalari. t parametr har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, lekin M(x,y) nuqta aylana bo‘ylab bir marta aylanib chiqishi uchun parametr o‘zgarishi diapazoni 0t2 yarim segmenti bilan chegaralanadi.

(4) tenglamalarni kvadratlash va qo'shish orqali biz aylana (2) umumiy tenglamasini olamiz.

2. Polar koordinatalar tizimi (psc).

Keling, L o'qini tanlaymiz ( qutb o'qi) va bu o'qning nuqtasini aniqlang O ( qutb). Tekislikdagi har qanday nuqta r va ph qutb koordinatalari bilan yagona aniqlanadi, bu erda

ρ – qutb radiusi, M nuqtadan O qutbgacha bo'lgan masofaga teng (r≥0);

φ – burchak vektor yo'nalishi o'rtasida OM va L o'qi ( qutb burchagi). M(ρ ; φ )

UCSda chiziqli tenglama yozilishi mumkin:

r=f(ph) (5) UCSdagi chiziqning aniq tenglamasi

F=(r; ph) (6) UCSda yashirin chiziqli tenglama

Nuqtaning dekart va qutb koordinatalari o'rtasidagi munosabat.

(x;y) (ρ ; φ ) OMA uchburchagidan:

tan ph=(burchakning tiklanishiφ ma'lum bo'lishichatangens hosil bo'ladiM nuqtasi qaysi kvadrantda joylashganligini hisobga olgan holda).(ρ ; φ )(x;y). x=rcosph,y=rsinph

Misol . M(3;4) va P(1;-1) nuqtalarning qutb koordinatalarini toping.

M:=5 uchun, ph=arctg (4/3). P uchun: r=; ph=n+arctg(-1)=3n/4.

Yassi chiziqlarning tasnifi.

Ta'rif 1. Chiziq deyiladi algebraik, agar ba'zi bir dekart to'rtburchaklar koordinata sistemasida F(x;y)=0 (1) tenglama bilan aniqlansa, bu F(x;y) funksiya algebraik ko'phaddir.

Ta'rif 2. Har bir algebraik bo'lmagan chiziq deyiladi transsendental.

Ta'rif 3. Algebraik chiziq deyiladi buyurtma liniyasin, agar ba'zi dekart to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida bu chiziq (1) tenglama bilan aniqlansa, bunda F(x;y) funksiya n-darajali algebraik ko'phaddir.

Shunday qilib, n-tartibli chiziq ba'zi dekart to'rtburchaklar tizimida ikkita noma'lumli n darajali algebraik tenglama bilan aniqlangan chiziqdir.

Quyidagi teorema 1,2,3 ta'riflarning to'g'riligini aniqlashga yordam beradi.

Teorema(107-betdagi hujjat). Agar ba'zi bir dekart to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi chiziq n darajali algebraik tenglama bilan aniqlansa, u holda boshqa har qanday dekart to'rtburchaklar koordinata tizimidagi bu chiziq bir xil n darajali algebraik tenglama bilan aniqlanadi.

Maqsad: Tekislikdagi chiziq tushunchasini ko'rib chiqing, misollar keltiring. Chiziqning ta'rifiga asoslanib, tekislikdagi chiziq tenglamasi tushunchasini kiriting. To'g'ri chiziqlarning turlarini ko'rib chiqing, to'g'ri chiziqni aniqlashga misollar va usullarni keltiring. To'g'ri chiziq tenglamasini umumiy shakldan burchak koeffitsienti bilan "segmentlarda" to'g'ri chiziq tenglamasiga o'tkazish qobiliyatini mustahkamlang.

1. Tekislikdagi chiziq tenglamasi.
2. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi. Tenglamalar turlari.
3. To'g'ri chiziqni belgilash usullari.

1. X va y ikkita ixtiyoriy o‘zgaruvchi bo‘lsin.

Ta'rif: F(x,y)=0 ko`rinishdagi munosabat deyiladi tenglama , agar u x va y sonlar juftligi uchun to'g'ri bo'lmasa.

Misol: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Agar har qanday x, y uchun F(x,y)=0 tenglik bajarilsa, demak, F(x,y) = 0 birlikdir.

Misol: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Ular x sonlari 0, y esa 0, deyishadi tenglamani qanoatlantiring , agar ularni bu tenglamaga almashtirganda u haqiqiy tenglikka aylansa.

Analitik geometriyaning eng muhim tushunchasi chiziq tenglamasi tushunchasidir.

Ta'rif: Berilgan chiziqning tenglamasi F(x,y)=0 tenglama bo‘lib, bu to‘g‘rida yotgan barcha nuqtalarning koordinatalari qanoatlantiriladi va bu to‘g‘rida yotmagan birorta nuqtaning koordinatalari qanoatlanmaydi.

y = f(x) tenglama bilan aniqlangan chiziq f(x) ning grafigi deyiladi. X va y o'zgaruvchilar joriy koordinatalar deb ataladi, chunki ular o'zgaruvchan nuqtaning koordinatalari.

Biroz misollar qator ta'riflari.

1) x – y = 0 => x = y. Ushbu tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => nuqtalar yo x - y = 0 tenglamasini yoki tekislikda mos keladigan x + y = 0 tenglamasini qanoatlantirishi kerak. koordinata burchaklarining bissektrisalari bo'lgan bir juft kesishuvchi to'g'ri chiziqlar:

3) x 2 + y 2 = 0. Bu tenglama faqat bitta O(0,0) nuqta bilan qanoatlantiriladi.

2. Ta'rif: Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin

Ax + Wu + C = 0,

Bundan tashqari, A va B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, ya'ni. A 2 + B 2 ¹ 0. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.

A, B va C konstantalarining qiymatlariga qarab, quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – to’g’ri chiziq koordinata boshidan o’tadi

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - Ox o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = C = 0, A ¹ 0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A = C = 0, B ¹ 0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday boshlang'ich sharoitga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin.

Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi.

Ax + By + C = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi ko'rinishga keltirilsa:

va ni belgilaymiz, keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S ¹ 0 bo'lsa, u holda -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki , bu erda

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir A chiziqning Ox o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatasi va b– to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.

Oddiy chiziq tenglamasi.

Ax + By + C = 0 tenglamaning ikkala tomoni chaqirilgan songa bo'linsa normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosj + ysinj - p = 0 – to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerakki, m×S< 0.

p - boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi, j - Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak.

3. To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik yordamida tenglamasi.

Chiziqning burchak koeffitsienti k ga teng bo'lsin, chiziq M(x 0, y 0) nuqtadan o'tadi. U holda to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi formula bo‘yicha topiladi: y – y 0 = k(x – x 0)

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Fazoda ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalar berilsin, u holda bu nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamasi:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak.

Tekislikda yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

agar x 1 ¹ x 2 va x = x 1 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'lsa.

= k kasr deyiladi qiyalik Streyt.

F(x, y) = 0 ko’rinishdagi tenglik, agar barcha x, y sonlar juftligi uchun to’g’ri bo’lmasa, ikkita o’zgaruvchili x, y bo’lgan tenglama deyiladi. Aytishlaricha, x = x 0, y = y 0 ikkita son F(x, y) = 0 ko'rinishdagi ba'zi tenglamani qanoatlantiradi, agar tenglamaga x va y o'zgaruvchilari o'rniga bu raqamlarni qo'shganda uning chap tomoni nolga aylansa. .

Berilgan chiziq tenglamasi (belgilangan koordinatalar tizimida) bu chiziqda joylashgan har bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlanadigan va unda yotmagan har bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlanmaydigan ikkita o'zgaruvchili tenglamadir.

Keyinchalik, "F(x, y) = 0 chiziq tenglamasi berilgan" iborasi o'rniga, biz ko'pincha qisqacha aytamiz: F(x, y) = 0 chizig'i berilgan.

Agar ikkita chiziq tenglamalari berilgan bo'lsa: F(x, y) = 0 va F(x, y) = 0, u holda sistemaning qo'shma yechimi.

F(x,y) = 0, F(x, y) = 0

ularning barcha kesishish nuqtalarini beradi. Aniqroq aytganda, ushbu tizimning qo'shma yechimi bo'lgan har bir juft son kesishish nuqtalaridan birini aniqlaydi,

157. Berilgan nuqtalar *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Berilgan nuqtalardan qaysi biri x + y = 0 tenglama bilan aniqlangan to'g'ri chiziqda yotganligini va qaysi biri unda yotmasligini aniqlang. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Chizma ustiga chizing.)

158. x 2 + y 2 = 25 tenglama bilan aniqlangan chiziqda abssissalari quyidagi sonlarga teng nuqtalarni toping: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; xuddi shu chiziqda ordinatalari quyidagi sonlarga teng nuqtalarni toping: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Chizma ustiga chizing.)

159. Quyidagi tenglamalar yordamida qaysi chiziqlar aniqlanishini aniqlang (ularni chizma bo'yicha tuzing): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + ga + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Berilgan qatorlar: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Ulardan qaysi biri koordinatali nuqtadan o'tishini aniqlang.

161. Berilgan qatorlar: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Ularning kesishish nuqtalarini toping: a) Ox o'qi bilan; b) Oy o'qi bilan.

162. Ikki chiziqning kesishish nuqtalarini toping:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Qutb koordinata sistemasida M 1 (l; p/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; p/4), M 4 (√3; p/6) va M nuqtalar. 5 (1; 2/3p). Bu nuqtalardan qaysi biri qutb koordinatalarida p = 2cosŘ tenglama bilan aniqlangan chiziqda yotganligini va qaysi biri uning ustida yotmasligini aniqlang. Bu tenglama bilan qaysi chiziq aniqlanadi? (Chizma ustiga chizing.)

164. p = 3/cosΘ tenglama bilan aniqlangan to‘g‘rida qutb burchaklari quyidagi sonlarga teng bo‘lgan nuqtalarni toping: a) p/3, b) - p/3, c) 0, d) p/6. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Uni chizma bo'yicha tuzing.)

165. p = 1/sint tenglama bilan aniqlangan to‘g‘rida qutb radiusi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan nuqtalarni toping: a) 1 6) 2, c) √2. Ushbu tenglama qaysi chiziq bilan aniqlanadi? (Uni chizma bo'yicha tuzing.)

166. Quyidagi tenglamalar orqali qutb koordinatalarida qaysi chiziqlar aniqlanishini aniqlang (ularni chizmada tuzing): 1) p = 5; 2) t = p/2; 3) t = - p/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sint = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sint; 8) sint = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Chizma bo'yicha quyidagi Arximed spirallarini tuzing: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = t/p; 4) p = -t/p.

168. Chizma bo'yicha quyidagi giperbolik spirallarni tuzing: 1) p = 1/T; 2) p = 5/T; 3) p = p/t; 4) r= - p/T

169. Chizma bo'yicha quyidagi logarifmik spirallarni tuzing: 1) p = 2 D; 2) p = (1/2) t.

170. Arximed spirali p = 3t qutbdan chiqadigan va qutb o'qiga t = p/6 burchak ostida qiya bo'lgan nur bilan kesilgan segmentlarning uzunliklarini aniqlang. Chizma qiling.

171. Arximed spiralida p = 5/pt, qutb radiusi 47 ga teng C nuqta olinadi. Bu spiral C nuqtaning qutb radiusini nechta qismdan kesishini aniqlang. Chizma tuzing.

172. P = 6/T giperbolik spiralda qutb radiusi 12 ga teng bo‘lgan P nuqtani toping. Chizma chizing.

173. P = 3 D logarifmik spiralda qutb radiusi 81 ga teng bo‘lgan P nuqtani toping. Chizma tuzing.