Qurilish vazifalarida biz o'lchagich va sirkul yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan geometrik figurani qurishni ko'rib chiqamiz.

O'lchagich yordamida siz:

ixtiyoriy chiziq;

berilgan nuqtadan o'tuvchi ixtiyoriy chiziq;

berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq.

Kompas yordamida siz berilgan markazdan berilgan radiusli doirani tasvirlashingiz mumkin.

Kompas yordamida berilgan nuqtadan berilgan chiziqqa segment chizish mumkin.

Qurilish uchun asosiy vazifalarni ko'rib chiqing.

Vazifa 1. Tomonlari a, b, c berilgan uchburchak tuzing (1-rasm).

Yechim. Chizgich yordamida ixtiyoriy to'g'ri chiziq chizamiz va uning ustiga ixtiyoriy B nuqtani olamiz.Sirkulning ochilishi a ga teng bo'lib, markazi B va radiusi a bo'lgan doira tasvirlaymiz. C uning chiziq bilan kesishgan nuqtasi bo'lsin. Kompasning ochilishi c ga teng bo'lsa, biz B markazdan aylana tasvirlangan va b ga teng kompas ochilishi bilan - markazdan aylana C. Bu doiralarning kesishish nuqtasi A bo'lsin. ABC uchburchagi a, b, c ga teng tomonlarga ega.

Izoh. Uchta chiziq segmenti uchburchakning tomonlari bo'lib xizmat qilishi uchun ularning kattasi qolgan ikkitasining yig'indisidan kichik bo'lishi kerak (va< b + с).

Vazifa 2.

Yechim. A cho'qqisi va OM nurli bu burchak 2-rasmda ko'rsatilgan.

Berilgan burchakning A cho'qqisiga markazlashtirilgan ixtiyoriy doira chizing. B va C aylananing burchak tomonlari bilan kesishgan nuqtalari bo'lsin (3-rasm, a). Radiusi AB bo'lgan, markazi O nuqtada - shu nurning boshlang'ich nuqtasida bo'lgan doira chizamiz (3-rasm, b). Bu doiraning berilgan nur bilan kesishish nuqtasi S 1 deb belgilanadi. Markazi C 1 va radiusi BC bo'lgan doirani tasvirlaylik. Ikki doiraning kesishish nuqtasi B 1 kerakli burchak tomonida yotadi. Bu D ABC \u003d D OB 1 C 1 tengligidan kelib chiqadi (uchburchaklar tengligining uchinchi mezoni).

Vazifa 3. Berilgan burchakning bissektrisasini tuzing (4-rasm).

Yechim. Berilgan burchakning A tepasidan, xuddi markazdan, biz ixtiyoriy radiusli doira chizamiz. B va C burchak tomonlari bilan uning kesishish nuqtalari bo'lsin. Xuddi shu radiusli B va C nuqtalaridan biz aylanalarni tasvirlaymiz. A dan farqli bo'lgan D ularning kesishish nuqtasi bo'lsin. Rey AD A burchagini yarmiga bo'ladi. Bu DABD = DACD tengligidan kelib chiqadi (uchburchaklar tengligining uchinchi mezoni).

Vazifa 4. Ushbu segmentga perpendikulyar medianani chizamiz (5-rasm).

Yechim. Ixtiyoriy, lekin bir xil kompas ochilishi (katta 1/2 AB) bilan biz markazlari A va B nuqtalarda joylashgan ikkita yoyni tasvirlaymiz, ular bir-birini ba'zi C va D nuqtalarida kesishadi. CD to'g'ri chiziq kerakli perpendikulyar bo'ladi. Haqiqatan ham, qurilishdan ko'rinib turibdiki, C va D nuqtalarining har biri A va B dan bir xil masofada joylashgan; shuning uchun bu nuqtalar AB segmentiga perpendikulyar bissektrisada yotishi kerak.

Vazifa 5. Ushbu segmentni yarmiga bo'ling. 4-masala bilan bir xil tarzda hal qilinadi (5-rasmga qarang).

Vazifa 6. Berilgan nuqta orqali berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziq chizamiz.

Yechim. Ikki holat mumkin:

1) berilgan O nuqta berilgan a to‘g‘ri chiziqda yotadi (6-rasm).

O nuqtadan ixtiyoriy radiusli aylana chizamiz, bu chiziqni A va B nuqtalarda kesib o'tamiz. A va B nuqtalardan bir xil radiusli doiralar chizamiz. Ularning kesishish nuqtasi O dan farqli O 1 bo lsin. OO 1 ⊥ AB ni olamiz. Haqiqatan ham, O va O 1 nuqtalari AB segmentining uchlaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun bu segmentga perpendikulyar bissektrisada yotadi.

Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi

34-sonli umumta’lim maktabi alohida fanlarni chuqur o‘rganadi

MAN, Fizika va matematika bo'limi

"Kompas va to'g'ri chiziq yordamida geometrik konstruktsiyalar"

To‘ldiruvchi: 7 “A” sinf o‘quvchisi

Viktoriya Batishcheva

Rahbar: Koltovskaya V.V.

Voronej, 2013 yil

3. Berilganga teng burchakni yasash.

P berilgan burchakning A cho'qqisiga markazlashtirilgan ixtiyoriy doira chizing (3-rasm). B va C aylananing burchak tomonlari bilan kesishgan nuqtalari bo'lsin. AB radiusi bilan berilgan yarim chiziqning boshlang'ich nuqtasi O nuqtaga markazlashtirilgan aylana chizamiz. Bu doiraning berilgan yarim chiziq bilan kesishish nuqtasi C bilan belgilanadi 1 . Markazi C bo'lgan doirani tasvirlang 1 va 3-rasm

radiusi BC. B nuqtasi 1 belgilangan yarim tekislikdagi qurilgan doiralarning kesishishi kerakli burchakning yon tomonida yotadi.

6. Perpendikulyar chiziqlarni yasash.

Biz ixtiyoriy radiusi r markazi O nuqtada joylashgan aylana chizamiz.6-rasm. Doira chiziqni A va B nuqtalarda kesib o'tadi.A va B nuqtalardan radiusi AB bo'lgan doiralar chizamiz. Melankolik C bu doiralarning kesishish nuqtasi bo'lsin. Biz ixtiyoriy radiusli aylana qurishda birinchi bosqichda A va B nuqtalarini oldik.

Kerakli chiziq C va O nuqtalardan o'tadi.

6-rasm

Ma'lum muammolar

1.Brahmaguptaning vazifasi

To'rt tomoni bo'lgan chizilgan to'rtburchaklar yasang. Bitta yechim Apollonius doirasidan foydalanadi.Keling, Apolloniy masalasini uch g'ildirakli velosiped va uchburchak o'rtasidagi o'xshashlikdan foydalanib yechaylik. Uchburchak ichiga chizilgan doirani qanday topamiz: bissektrisalarning kesishish nuqtasini quramiz, undan uchburchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni, perpendikulyarlarning asoslarini (perpendikulyarning kesishgan tomoni bilan kesishish nuqtalarini) tashlaymiz. u tushiriladi) va bizga kerakli doira ustida yotgan uchta nuqtani bering. Biz bu uch nuqta orqali aylana chizamiz - yechim tayyor. Apolloniy muammosi bilan ham xuddi shunday qilamiz.

2. Apolloniy muammosi

Kompas va toʻgʻri chiziqdan foydalanib, berilgan uchta aylanaga tegib aylana yasang. Afsonaga ko'ra, muammo miloddan avvalgi 220 yilda Pergalik Apollonius tomonidan ishlab chiqilgan. e. yo'qolgan, lekin 1600 yilda Fransua Vieta tomonidan qayta tiklangan "Touch" kitobida, "Gallic Apollonius", uning zamondoshlari uni chaqirganidek.

Agar berilgan doiralarning hech biri ikkinchisining ichida yotmasa, bu masala 8 ta turlicha yechimga ega.

Muntazam ko'pburchaklarni qurish.

P

to'g'ri (yoki teng qirrali ) uchburchak - bu muntazam ko'pburchakuch tomoni bilan, muntazam ko'pburchaklarning birinchisi. Hamma narsa teng yonli uchburchakning tomonlari teng va hammasi burchaklari 60°. Teng tomonli uchburchakni qurish uchun aylanani 3 ta teng qismga bo'lish kerak. Buning uchun diametrning faqat bir uchidan bu doiraning radiusi R bo'lgan yoyni chizish kerak, biz birinchi va ikkinchi bo'linmalarni olamiz. Uchinchi bo'linish diametrning qarama-qarshi uchida joylashgan. Ushbu nuqtalarni bog'lab, biz teng qirrali uchburchakni olamiz.

Oddiy olti burchakli mumkinkompas va to'g'ri chiziq yordamida qurish. Quyidaqurilish usuli berilgandoirani 6 qismga bo'lish orqali. Muntazam olti burchakli tomonlarning aylana radiusiga tengligidan foydalanamiz. Doira diametrlaridan birining qarama-qarshi uchlaridan R radiusli yoylarni tasvirlaymiz. Ushbu yoylarning berilgan aylana bilan kesishish nuqtalari uni 6 ta teng qismga bo'ladi. Topilgan nuqtalarni izchil bog'lab, muntazam olti burchak olinadi.

Muntazam beshburchakning qurilishi.

P
muntazam beshburchak bo'lishi mumkinkompas va to'g'ri chiziq yordamida yoki uni berilgan joyga o'rnatish orqali qurilgandoira, yoki berilgan tomon asosida qurish orqali. Bu jarayon Evklid tomonidan tasvirlanganuning Elementlarida, taxminan miloddan avvalgi 300 yil. e.

Berilgan doirada muntazam beshburchak qurishning bir usuli:

Beshburchak chizilgan aylana quring va uning markazini shunday belgilangO . (Bu o'ngdagi diagrammadagi yashil doira).

Doiradagi nuqtani tanlangA , bu beshburchakning cho'qqilaridan biri bo'ladi. Chiziqni o'tkazingO VaA .

Chiziqga perpendikulyar chiziq quringO.A nuqtadan o'tishO . Uning aylana bilan kesishgan joylaridan birini nuqta sifatida belgilangB .

Nuqta qurishC o'rtasidaO VaB .

C nuqta orqaliA . Uning chiziq bilan kesishgan joyini belgilangOB (asl doira ichida) nuqta sifatidaD .

Markazda aylana chizingA D nuqtasi orqali ushbu doiraning asl (yashil doira) bilan kesishgan joyini nuqta sifatida belgilangE VaF .

Markazda aylana chizingE nuqta orqaliA G .

Markazda aylana chizingF nuqta orqaliA . Uning asl doira bilan boshqa kesishmasini nuqta sifatida belgilangH .

Oddiy beshburchak yasangAEGHF .

Yechilmaydigan muammolar

Antik davrda quyidagi uchta qurilish vazifasi qo'yilgan:

Burchak trisektsiyasi - ixtiyoriy burchakni uchta teng qismga bo'lish.

Boshqacha qilib aytganda, burchakning trisektorlarini - burchakni uchta teng qismga bo'luvchi nurlarni qurish kerak. P. L. Vanzel 1837 yilda masalan, a = 360°/n burchaklar uchun trisektsiyani amalga oshirish mumkin bo‘lgan taqdirdagina masalani yechish mumkinligini isbotladi, agar n butun soni 3 ga bo‘linmasa. Biroq, vaqti-vaqti bilan matbuotda e’lon qilingan. (noto'g'ri) burchakni kompas va to'g'ri chiziq bilan uchga bo'lish usullari.

Kubni ikki barobarga oshirish - hajmi berilgan kub hajmidan ikki baravar katta bo'lgan kompas va chizg'ichli kub yasash bo'yicha klassik antik masala.

Zamonaviy yozuvda muammo tenglamani yechishgacha qisqartiriladi. Bularning barchasi uzunlik segmentini qurish muammosiga to'g'ri keladi. P. Vanzel 1837 yilda bu masalani sirkul va to'g'ri chiziq yordamida hal qilib bo'lmasligini isbotladi.

Doirani kvadratga solish - maydoni bo'yicha berilgan doiraga teng bo'lgan kvadratning kompas va o'lchagich yordamida qurilishni topish vazifasi.

Ma'lumki, sirkul va chizg'ich yordamida siz barcha 4 ta arifmetik amalni bajarishingiz va kvadrat ildizni olishingiz mumkin; shundan kelib chiqadiki, aylana kvadrati, agar shunday amallarning chekli soni yordamida uzunligi p bo'lgan segmentni qurish mumkin bo'lsa, mumkin bo'ladi. Shunday qilib, bu muammoning yechilmasligi p sonining algebraik bo'lmagan tabiatidan (transsendensiyadan) kelib chiqadi, bu 1882 yilda Lindemann tomonidan isbotlangan.

Kompas va chizg'ich yordamida hal qilib bo'lmaydigan yana bir mashhur muammoberilgan uch uzunlikdagi bissektrisa bo‘yicha uchburchak qurish .

Bundan tashqari, bu muammo hatto trisektor mavjud bo'lganda ham hal etilmaydi.

Faqatgina 19-asrda bu uchta muammoni faqat kompas va to'g'ri chiziq yordamida hal qilib bo'lmasligi isbotlangan. Qurilish imkoniyati to'g'risidagi masala Galua nazariyasiga asoslangan algebraik usullar bilan to'liq hal qilinadi.

BILASIZMI...

(geometrik konstruktsiyalar tarixidan)

Bir vaqtlar sirli ma'no muntazam ko'pburchaklar qurilishiga kiritilgan.

Shunday qilib, Pifagorlar tomonidan asos solingan diniy va falsafiy ta'limotlarning izdoshlari va qadimgi Yunonistonda yashagan pifagorchilar (V Men-men Vasrlar Miloddan avvalgi BC), ularning birlashishi belgisi sifatida muntazam beshburchakning diagonallari tomonidan tashkil etilgan yulduzli ko'pburchakni qabul qildilar.

Ba'zi muntazam ko'pburchaklarni qat'iy geometrik qurish qoidalari qadimgi yunon matematigi Evklidning "Boshlanishlar" kitobida keltirilgan.IIIichida. Miloddan avvalgi. Bu konstruksiyalarni bajarish uchun Evklid faqat o‘lchagich va sirkuldan foydalanishni taklif qildi, bunda o‘sha paytda oyoqlarni ulash uchun ilmoqli moslama bo‘lmagan (asboblarda bunday cheklanish qadimgi matematikaning ajralmas talabi edi).

Muntazam ko'pburchaklar qadimgi astronomiyada keng qo'llanilgan. Agar Evklid matematika nuqtai nazaridan bu raqamlarni qurish bilan qiziqqan bo'lsa, qadimgi yunon astronomi Klavdiy Ptolemey uchun (taxminan 90 - 160 yillar) astronomik muammolarni hal qilishda yordamchi vosita sifatida zarur bo'lib chiqdi. Shunday qilib, Almagestning 1-kitobida butun o'ninchi bob muntazam beshburchaklar va o'nburchaklar qurilishiga bag'ishlangan.

Biroq, sof ilmiy ishlardan tashqari, muntazam ko'pburchaklar qurilishi quruvchilar, hunarmandlar va rassomlar uchun kitoblarning ajralmas qismi edi. Bu raqamlarni tasvirlash qobiliyati me'morchilik, zargarlik va tasviriy san'atda azaldan talab qilingan.

Rim meʼmori Vitruviyning (miloddan avvalgi 63-14-yillarda yashagan) “Arxitektura boʻyicha oʻn kitobi”da aytilishicha, shahar devorlari rejada muntazam koʻpburchak kabi koʻrinishi kerak, qalʼa minoralari esa “dumaloq yoki koʻpburchak shaklida boʻlishi kerak. to'rtburchaklar qamal qurollari bilan vayron qilingan.

Shaharlarni rejalashtirish Vitruviy uchun katta qiziqish uyg'otdi, u ko'chalarni asosiy shamollar ular bo'ylab esmasligi uchun rejalashtirish zarur deb hisoblagan. Taxminlarga ko'ra, sakkizta shunday shamol bor va ular ma'lum yo'nalishlarda esadi.

Uyg'onish davrida muntazam ko'pburchaklar, xususan, beshburchaklar qurish oddiy matematik o'yin emas, balki qal'alar qurish uchun zarur shart edi.

Muntazam olti burchakli buyuk nemis astronomi va matematigi Yoxannes Kepler (1571-1630) tomonidan maxsus tadqiqot mavzusi bo'lib, u o'zining "Yangi yil sovg'asi" kitobida yoki olti burchakli qor parchalari haqida gapiradi. U qor parchalari olti burchakli shaklga ega bo'lish sabablarini muhokama qildi, xususan, quyidagilarni ta'kidlaydi: “... tekislikni faqat quyidagi raqamlar bilan bo'shliqlarsiz qoplash mumkin: teng tomonli uchburchaklar, kvadratlar va muntazam olti burchaklar. Bu raqamlar orasida muntazam olti burchakli eng katta maydonni egallaydi.

Geometrik konstruktsiyalar bilan shug'ullangan eng mashhur olimlardan biri buyuk nemis rassomi va matematigi Albrecht Dyurer (1471 -1528) bo'lib, u o'zining "Ko'rsatmalar ..." kitobining muhim qismini ularga bag'ishlagan. U 3. 4, 5 ... 16 tomonli muntazam ko'pburchaklar qurish qoidalarini taklif qildi. Dyurer tomonidan taklif qilingan doirani bo'lish usullari universal emas, har bir holatda individual uslub qo'llaniladi.

Dyurer badiiy amaliyotda, masalan, parket uchun turli xil bezak va naqshlarni yaratishda muntazam ko'pburchaklar qurish usullarini qo'llagan. Bunday naqshlarning eskizlarini u Niderlandiyaga safari paytida qilgan, u erda ko'plab uylarda parket pollari topilgan.

Dyurer halqalarga (oltita teng qirrali uchburchak, to‘rtta to‘rtburchak, uch yoki oltita olti burchakli, o‘n to‘rtta yetti burchakli, to‘rtta sakkizburchakli halqalar) bog‘langan oddiy ko‘pburchaklardan bezak yasagan.

Xulosa

Shunday qilib,geometrik konstruktsiyalar javobi grafik tarzda olinadigan masalani yechish usulidir. Qurilishlar ishning maksimal aniqligi va aniqligi bilan chizma asboblari bilan amalga oshiriladi, chunki qarorning to'g'riligi bunga bog'liq.

Ushbu ish tufayli men kompasning paydo bo'lish tarixi bilan tanishdim, geometrik konstruktsiyalarni bajarish qoidalarini batafsilroq bilib oldim, yangi bilimlarga ega bo'ldim va uni amalda qo'lladim.
Kompas va chizg'ich yordamida qurish bo'yicha masalalarni yechish foydali o'yin-kulgi bo'lib, geometrik shakllar va ularning elementlarining ma'lum xususiyatlariga yangicha qarash imkonini beradi.Ushbu maqolada biz kompas va to'g'ri chiziq yordamida geometrik konstruktsiyalar bilan bog'liq eng dolzarb muammolarni ko'rib chiqamiz. Asosiy vazifalar ko'rib chiqilib, ularning yechimlari keltirilgan. Yuqoridagi topshiriqlar katta amaliy qiziqish uyg'otadi, geometriyadan olingan bilimlarni mustahkamlaydi va amaliy ish uchun ishlatilishi mumkin.
Shunday qilib, ish maqsadiga erishiladi, belgilangan vazifalar amalga oshiriladi.

Qrim maktab o'quvchilarining KICHIK FANLAR AKADEMİYASI

"TOPIRICH"

"Matematika" bo'limi

IKKITA TOMONLI RULEK FOYDALANGAN GEOMETRIK QURILISH

Men ishni bajardim lekin

_____________

sinf o'quvchisi

ilmiy maslahatchi

KIRISH…………………………………………………………………………..3

I. SAVOLOTDAGI GEOMETRIK QURILISHLAR …………………4

I.1. Konstruktiv geometriyaning umumiy aksiomalari. Matematik vositalar aksiomalari……………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Bitta o‘lchagichli geometrik konstruksiyalar ……………………………..7

I.4. Ikki tomonlama o'lchagich qurishning asosiy vazifalari………………..8

I.5. Qurilish uchun turli vazifalarni hal qilish

I.6. Bir tomonlama chizg‘ichli konstruksiyalar…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………20

I.7. Ikki yoqlama chizgichning sirkul va chizg‘ich bilan almashinishi….21

XULOSA……………………………………………………………….24

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati………………………………..………….25

Kirish

Cheklangan mablag'lar bilan qurish vazifalariga faqat kompas va chizg'ich yordamida qurish vazifalari kiradi, ular maktab o'quv dasturida ko'rib chiqiladi. Qurilish muammolarini faqat bitta o'lchagich bilan hal qilish mumkinmi? Ko'pincha qo'lda kompas yo'q va o'lchagichni har doim topish mumkin.

Geometriyada qurilish vazifalari qiziqarli bo'limdir. Unga qiziqish geometrik tarkibning go'zalligi va soddaligi bilan bog'liq. Ushbu muammolarni ko'rib chiqishning dolzarbligi uning amalda qo'llanilishi bilan bog'liq. Ushbu maqolada ko'rib chiqilgan masalalarni hal qilish uchun bitta o'lchagichdan foydalanish qobiliyati amaliyotda katta ahamiyatga ega, chunki Biz doimo segmentni yarmiga bo'lish, berilgan segmentni ikki barobarga oshirish va hokazo muammolarga duch kelamiz.

Ushbu maqolada biz qurilishning asosiy vazifalarini ko'rib chiqamiz, ular yanada murakkab muammolarni hal qilishda yordam beradi.

Tajriba shuni ko'rsatadiki, qurilish vazifalari qiziqish uyg'otadi, aqliy faoliyatni faollashtirishga yordam beradi. Ularni yechishda figuralarning xossalari haqidagi bilimlardan faol foydalaniladi, fikr yuritish qobiliyati rivojlanadi, geometrik yasash malakalari takomillashtiriladi. Natijada, geometriyani o'rganish maqsadlaridan biri bo'lgan konstruktiv qobiliyatlar rivojlanadi.

Gipoteza: kompas va o'lchagich yordamida hal qilinadigan barcha qurilish masalalarini faqat ikki tomonlama chizg'ich yordamida hal qilish mumkin.

O'rganish ob'ekti: qurilish vazifalari va ikki tomonlama o'lchagich.

Tadqiqotning vazifalari: barcha qurilish muammolarini faqat ikki tomonlama o'lchagich yordamida hal qilish mumkinligini isbotlash..

Tadqiqot vazifalari: qurilish muammolarini hal qilishning nazariy asoslarini o'rganish; ikki tomonlama o'lchagich yordamida asosiy qurilish muammolarini hal qilish; murakkabroq qurilish ishlariga misollar keltiring; nazariy va amaliy materiallarni tizimlashtirish.

I. SAVOLOTDAGI GEOMETRIK QURILISHLAR

I.1. Konstruktiv geometriyaning umumiy aksiomalari. Matematik vositalar aksiomalari

Konstruktiv geometriya uchun ma'lum bir vositaning aniq va matematik maqsadlarda to'liq tavsifiga ega bo'lish kerak. Bunday tavsif aksiomalar shaklida berilgan. Ushbu aksiomalar mavhum matematik shaklda geometrik konstruktsiyalar uchun ishlatiladigan haqiqiy chizma asboblarining xususiyatlarini ifodalaydi.

Geometrik konstruktsiyalar uchun eng ko'p ishlatiladigan asboblar:hukmdor (bir tomonlama) , kompas, ikki tomonlama o'lchagich (parallel qirralar bilan) va boshqalar.

A. Hukmdor aksioma.

O'lchagich sizga quyidagi geometrik konstruktsiyalarni bajarishga imkon beradi:
a) ikkita qurilgan nuqtani bog'lovchi segmentni qurish;

b) ikkita qurilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni qurish;

v) qurilgan nuqtadan chiqadigan va boshqa qurilgan nuqtadan o'tuvchi nurni qurish.

B. Kompas aksiomasi.

Kompas quyidagi geometrik konstruktsiyalarni bajarishga imkon beradi:
a) aylananing markazi va aylana (yoki uning uchlari) radiusiga teng bo'lgan segment qurilsa, aylana qurish;

B. Ikki tomonlama hukmdor aksiomasi.

Ikki tomonlama o'lchagich sizga quyidagilarga imkon beradi:

a) A aksiomasida keltirilgan konstruksiyalardan istalgan birini bajarish;

b) tuzilgan chiziq bilan aniqlangan yarim tekisliklarning har birida ushbu chiziqqa parallel va undan uzoqda o'tadigan chiziqni qurish.lekin, qayerda lekin - berilgan o'lchagich uchun belgilangan segment (o'lchagichning kengligi);

c) agar ikkita A va B nuqtalar qurilgan bo'lsa, u holda AB qandaydir qo'zg'almas segmentdan katta bo'lishini aniqlanglekin (oʻlchagich kengligi) va agar AB > boʻlsalekin , keyin mos ravishda A va B nuqtalardan o'tuvchi va bir-biridan uzoqda joylashgan ikkita juft parallel chiziqlarni quring.lekin .

Yuqoridagi asboblarga qo'shimcha ravishda siz geometrik konstruktsiyalar uchun boshqa asboblardan foydalanishingiz mumkin: ixtiyoriy burchak, kvadrat, belgilar bilan o'lchagich, bir juft to'g'ri burchak, maxsus egri chizish uchun turli xil asboblar va boshqalar.

I.2. Qurilish muammolarini hal qilishning umumiy tamoyillari

Qurilish vazifasi ko'rsatilgan asboblar yordamida ma'lum bir figurani qurish talab qilinishidan iborat, agar boshqa raqam berilgan bo'lsa va kerakli figuraning elementlari va ushbu raqam elementlari o'rtasidagi ma'lum munosabatlar ko'rsatilgan bo'lsa.

Muammoning shartlarini qanoatlantiradigan har bir raqam deyiladiqaror bu vazifa.

Yechim toping konstruksiya vazifasi uni asosiy konstruksiyalarning chekli soniga qisqartirishni, ya’ni asosiy konstruksiyalarning chekli ketma-ketligini ko‘rsatishni bildiradi, shundan so‘ng konstruktiv geometriyaning qabul qilingan aksiomalari tufayli kerakli raqam allaqachon qurilgan deb hisoblanadi. Ruxsat etilgan asosiy konstruktsiyalar ro'yxati va shuning uchun muammoni hal qilish jarayoni asosan qurilish uchun qanday vositalar ishlatilishiga bog'liq.

Qurilish muammosini hal qiling - degani, barcha yechimlarni toping .

Oxirgi ta'rifga biroz tushuntirish kerak. Muammoning shartlarini qondiradigan raqamlar shakli va o'lchami bo'yicha ham, tekislikdagi holatida ham farq qilishi mumkin. Samolyotdagi joylashuvdagi farqlar hisobga olinadi yoki hisobga olinmaydi, qurilish muammosining o'zini shakllantirishga, masalaning sharti istalgan raqamning istalgan berilganga nisbatan ma'lum bir joylashishini nazarda tutadimi yoki yo'qmi? raqamlar.

Agar muammoning echimi topilsa, kelajakda ushbu yechimni "butun holda", ya'ni uni asosiy konstruktsiyalarga bo'lmasdan ishlatishga ruxsat beriladi.

Bir qator oddiy geometrik qurilish masalalari mavjud bo'lib, ular ko'pincha murakkabroq muammolarni hal qilishda komponentlar sifatida kiritiladi. Biz ularni elementar geometrik qurilish masalalari deb ataymiz. Elementar vazifalar ro'yxati, albatta, shartli. Eng keng tarqalgan vazifalarga quyidagilar kiradi:

Ushbu segmentni yarmiga bo'ling.

Ushbu burchakni yarmiga bo'ling.

Berilganiga teng segmentning berilgan chizig'ida qurish.

Berilgan burchakka teng burchakni qurish.

Berilgan nuqtadan berilgan chiziqqa parallel bo'lgan chiziqni qurish.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qurish.

Bu borada segmentning bo'linishi.

Uch tomoni berilgan uchburchakni qurish.

Yon va ikkita qo'shni burchak berilgan uchburchakni qurish.

Ikki tomoni va ular orasidagi burchak berilgan uchburchakni qurish.

Har qanday murakkab qurilish masalasini hal qilishda muammoni hal qilish yo'lini topish, muammoning barcha echimlarini olish, masalani hal qilish imkoniyatining shartlarini aniqlash va hokazolar uchun qanday fikr yuritish kerak degan savol tug'iladi. , konstruktiv muammolarni hal qilishda ular quyidagi to'rt bosqichdan iborat yechim sxemasidan foydalanadilar:

1) tahlil qilish;
2) qurilish;
3) dalil;
4) tadqiqot.

I.3. Bir o'lchagich bilan geometrik konstruktsiyalar

Biz hukmdorni ikki nuqtai nazardan ko'rib chiqamiz: hukmdor va ikki tomonlama hukmdor.

1. ikki tomonlama o'lchagich kengligi lekin masofada joylashgan parallel qirralari bo'lgan o'lchagichni chaqiramiz lekin bir-biridan to'g'ridan-to'g'ri qurish imkonini beradi:

a) ixtiyoriy chiziq;

b) masalani yechish jarayonida berilgan yoki olingan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq;

v) har biri nuqtalardan biri orqali o'tadigan, orasidagi masofa dan katta bo'lgan parallel chiziqlarlekin (ushbu konstruksiya vaqtida oʻlchagich shunday holatda boʻladiki, uning har bir ikkita parallel chetida berilgan ikkita nuqtadan biriga ega boʻladi; bu holda toʻgʻridan-toʻgʻri konstruksiya haqida gapiramiz).

Ushbu konstruktsiyadagi o'lchagichning kengligi doimiy hisoblanadi va shuning uchun agar ma'lum bir masalani hal qilish jarayonida olingan ba'zi nuqtalarga nisbatan to'g'ridan-to'g'ri qurilishni amalga oshirish kerak bo'lsa.LEKIN Va IN , keyin uzunligi ekanligini isbotlashimiz kerakAB ko'proq uzunlik lekin .

Biz tuzilgan nuqtani ko'rib chiqamiz, agar u ma'lumotlardan biri bo'lsa yoki ikkita qurilgan chiziqning kesishishi bo'lsa; o'z navbatida, agar qurilgan yoki berilgan nuqtalardan o'tadigan bo'lsa, tuzilgan chiziqni ko'rib chiqamiz.

Ikki tomonlama o'lchagichdan foydalanib, siz quyidagilarni qurishingiz mumkin.

a) Chiziqni istalgan ikkita nuqta orqali o'tkazish mumkin, lekin faqat bitta.

b) Qanday chiziq bo'lishidan qat'iy nazar, tekislikda unga parallel va undan uzoqda ikkita to'g'ri chiziq bora .

c) AB dagi ikkita A va B nuqta orqali lekin ikki juft parallel chizish mumkin to'g'ridan-to'g'ri; AB = da lekin ga teng bo'lgan bir juft parallel chiziq chizish mumkinlekin .

Agar bitta, ikki, uch ball berilsa, yangi nuqtalar tuzilmaydi

(1-rasm);

agar to'rtta nuqta berilgan bo'lsa, ulardan uchtasi (yoki to'rttasi) bitta to'g'ri chiziqda yotsa, boshqa nuqtalarni qurish mumkin emas (2-rasm);

parallelogrammning cho'qqilarida joylashgan to'rtta nuqta berilgan bo'lsa, faqat bitta nuqta - uning markazini qurish mumkin. (3-rasm).

Yuqoridagilarni qabul qilib, biz ikki tomonlama hukmdor tomonidan hal qilingan muammolarni alohida ko'rib chiqamiz.

I.4. Ikki tomonlama o'lchagichni qurish bo'yicha asosiy vazifalar

1
. ABC burchagining bissektrissasini tuzing.

Yechim: (4-rasm)

lekin  (IN C) Va b  (AB) va  b = D .

B oling D- bissektrisa  ABC.

Haqiqatan ham, tomonidan olingan

parallelogramma qurilishi hisoblanadi

romb, chunki uning balandligi teng. IND –

rombning diagonali bissektrisadir ABC. 4-rasm

2
. Berilgan ABC burchagini ikki baravar oshiring

Yechim : (5-rasm) a) lekin  (AB),

lekin  (IN C)= D , B nuqtalari orqali va D

b to'g'ridan-to'g'ri;

b) B va nuqtalari orqaliD m  b

bevosita,b Ç a = F .

Oling Ð AB F = 2 Ð ABC .

5-rasm

3 . Ushbu qatorga M N bunda

A nuqtaga perpendikulyar chizamiz

Yechim : (6-rasm)

1) (AA 1) || (VV 1) || (SS 1) -

bevosita (in (M N),

FROM Î (M N))) 2) A va B orqali

m || n - to'g'ridan-to'g'ri,

m Ç (SS 1) = D .

Biz olamiz (A D )  (M N ).

6-rasm.

4
. Berilgan nuqta orqali yotmaydi

bu qator, perpendikulyar chizamiz

uchun bu to'g'ri chiziq.

Yechim: Bu nuqta orqali biz chizamiz

berilganni kesishgan ikkita chiziq

AB to'g'ri chiziq va hosil bo'lgan burchaklarni ikki baravar oshiring

berilganga ulashgan uchburchaklar

Streyt.  O.A N = 2  OAB va

O.V N = 2  OVA (7-rasm).

7-rasm

5. Berilgan chiziqqa nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik nuqta quring.

Yechim: 4-masalaga qarang (O nuqta nuqtaga simmetrikN. 7-rasm)

6. To'g'ri chiziq chizing bunga parallel

P
qator M N , A nuqta orqali, emas

M liniyasiga tegishli N .

Yechim 1: (8-rasm)

1)(AA 1 ) || (VV 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KK 1) -

– to'g'ridan-to'g'ri, (SA)Ç (BB 1) \u003d C 2;

2) (C 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(AMMO F ) kerakli chiziqdir.

8-rasm

Yechim 2 . 8-rasmda 1 raqamlangan

to'g'ri chiziqlar ketma-ketligi,

shundan 1, 2 va 3 tasi parallel

to'g'ridan-to'g'ri qurilish;

(AMMO F) || (M N).

8-rasm 1

7
. Ushbu AB segmentini yarmiga bo'ling.

Yechim 1 (9-rasm) (faqat o'lchagichning kengligi berilgan segment uzunligidan kichik bo'lgan holat uchun). To'g'ridan-to'g'ri ikkita juft parallel chiziqni torting

bu segmentning uchlari, keyin esa diagonali

hosil bo'lgan romb. O - AB ning o'rta nuqtasi.

Guruch. to'qqiz.

Yechim 2 (9-rasm, a)

1) a || (AB) va b || (AB) - to'g'ridan-to'g'ri;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D IN) Ç a = M, (CB) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D TO) Ç (AMMO N ) = F ;

6) (In F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a \u003d C 1;

7) (D IN ) Ç (AMMO D 1 ) = X,

(AC 1 ) Ç (CB) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) = O. Biz AO = OB ni olamiz.

9-rasm, a

Yechim 3 .( Guruch. 9b)

Ma'lumki , o'rta trapezoidda

asoslar, kesishish nuqtasi

diagonallar va kesishish nuqtasi

yon kengaytmalar

bir xil chiziqda yoting.

1) m || (AB) - to'g'ridan-to'g'ri;

2) C Î m , D Î m , (AC) Ç (IN D ) = TO; 9-rasm, b

3) (CB) Ç (AMMO D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) = O. Biz AO = OB ni olamiz.

I.5. Turli qurilish muammolarini hal qilish

Faqat ikki tomonlama chizgichni qurish bo'yicha quyidagi masalalarni hal qilishda parallel chiziqlarni to'g'ridan-to'g'ri qurish va yuqoridagi ettita asosiy masala qo'llaniladi.

1. Ushbu nuqta orqali ikkita o'zaro perpendikulyar chiziq torting.

R Yechim: bu nuqtadan o'ting

ikkita ixtiyoriy chiziq,

va keyin bissektrisalar

qo'shni burchaklar. (10-rasm)

10-rasm

2. Berilgan A segmenti D berilgan uzunlik.

Uzunligi bo'lgan segmentni tuzing.

R
yechim : Keling, sarf qilaylik m  lekin Va h || m bo'ylab

nuqta A. f || (AMMO D ) , k || (AD) bevosita.

AB va AC ni chizamiz, bu erda B =f  m ,

a C = m  k . Ma'lum bir tarzda

AB va AC ni ikkiga bo'ling va

uchburchakning medianalarini chizing

ABC. Medianlarning mulki bo'yicha

uchburchak, oh D = - hohlagan

segment (11-rasm)

Guruch. o'n bir

3. Uzunligi bo'lgan chiziq segmentini tuzing

uchburchakning perimetriga teng.

Yechim: (12-rasm). Keling, bissektrisalarni quraylik

uchburchakning ikkita tashqi burchagi, keyin esa

3 cho'qqi IN perpendikulyarlarni chizish

bu bissektrisalarga.

DE = a + b + bilan

12-rasm

4. a uzunlikdagi segment berilgan. Uzunlikdagi segmentlarni tuzing 2a, 3a.

R Yechim: (13-rasm)

1 mln N) || (AB) va (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

To'g'ridan-to'g'ri;

2) (CA) va (CB) A va B orqali.

A 1 B 1 va A 2 B 2 segmentlari talab qilinadi.

Ushbu muammoning boshqa yechimi bo'lishi mumkin

7-masalaning yechimidan oling.

Guruch. 13

5. To'g'ri chiziqda ikkita segment berilgan, ularning uzunliklari a va b . Uzunliklari + ga teng bo'lgan segmentlarni tuzing b , b - lekin, ( a + b )/2 va ( b - a )/2 .

Yechim: va uchun a + b(14-rasm, a)

14-rasm, a

b) uchun ( a + b)/2 (14-rasm, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) - to'g'ridan-to'g'ri;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1) = N, (M H) Ç (A 1 B 1) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1) = O

Biz olamiz: N O = NP + PO =
.

Guruch. 14b

c) uchun b - lekin(14-rasm, c)

Guruch. 14, in

c) uchun ( b - a )/2 (14d-rasm)

Guruch. 14, g

6
. Ushbu doiraning markazini yarating.

Yechim : (15-rasm) AB to‘g‘ri chiziq chizing,

aylanani A va B nuqtalarida kesish;

quyosh  AB, bu erda C - kesishish nuqtasi

doira bilan.

AB ga parallel ravishda C nuqtadan o'tkazing

to'g'ri chiziq C D; FROMDdoirani kesib o'tadi

nuqtadaD.

Ulanish orqaliDB bilan va A bilan C, biz olamiz

kerakli nuqta aylananing markazidir. Guruch. 15

Yechim 2: (16-rasm) Ikki tomonlama chizgich yordamida ikkita parallel akkordlar tuzingAD VaMiloddan avvalgi . Biz teng yonli trapesiyani olamizA B C D. Bo'lsinK VaP - chiziqlarning kesishish nuqtalariAC VaBD , AB VaDC . Keyin chiziqP K ularga perpendikulyar boʻlgan trapetsiya asoslarining oʻrta nuqtalaridan oʻtadi, demak u berilgan aylananing markazidan oʻtadi. Xuddi shunday yana bir shunday to'g'ri chiziqni qurib, biz aylananing markazini topamiz.

Guruch. 16

7. Doira yoyi berilgan. Doira markazini quring

Yechim . (17-rasm) Bu yoyda uchta A, B va C nuqtalarni belgilaymiz.AB kesmaning uchlariga chizg‘ich biriktiramiz va uning chetlarini aylanamiz. Biz ikkita parallel chiziqni olamiz. O'lchagichning o'rnini o'zgartirib, yana ikkita parallel to'g'ri chiziq torting. Biz rombni olamiz (teng balandlikdagi paralelogramma). Rombning diagonallaridan biri segmentga perpendikulyar bissektrisadirAB , chunki rombning diagonali boshqa diagonalning perpendikulyar bissektrisasida yotadi. Xuddi shunday, biz segmentga perpendikulyar bissektrisa quramizAC . Tuzilgan o'rta perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi kerakli doiraning markazidir.

Guruch. 17

8. AB segmenti, unga parallel bo‘lmagan l to‘g‘ri va uning ustidagi M nuqta berilgan. Bitta ikki tomonlama chizg‘ichdan foydalanib, l to‘g‘rining radiusi AB bo‘lgan, markazi M bo‘lgan aylana bilan kesishgan nuqtalarini tuzing.

Yechim: (18-rasm)

Keling, uchburchakni to'ldiramizABM parallelogrammgaABNM . MT va bissektrisalarini tuzamizXONIMorasidagi burchaklarMNva to'g'ridan-to'g'ril . Keling, nuqtadan o'tamizN bu bissektrisalarga parallel chiziqlar:NQ || XONIM, NR || MT. MT│ XONIMqo'shni burchaklarning bissektrisalari sifatida. Ma'nosi,NQ │ MT, ya'ni uchburchakdaNMQbissektrisa balandlik, shuning uchun uchburchak teng yon tomonli:MQ = MN. Xuddi shunday,JANOB = MN. ballQVaRhohlagan.

Guruch. o'n sakkiz

9. l chiziq va l ga parallel OA segmenti berilgan. Bitta ikki tomonlama o‘lchagichdan foydalanib, l to‘g‘rining radiusi OA bo‘lgan aylana bilan kesishish nuqtalarini markazi O ga to‘g‘rilang.

Yechim: (19-rasm, a)

Keling, to'g'ri chiziq chizamizl 1 , chiziqqa parallelO.A va undan uzoqdaa . Keling, buni to'g'ridan-to'g'ri qabul qilaylikl ixtiyoriy nuqtaB . Bo'lsinB 1 - chiziqlarning kesishish nuqtasiOB Val 1 . Keling, nuqtadan o'tamizB 1 tekis, parallelAB ; bu chiziq chiziqni kesib o'tadiO.A nuqtadaA 1 . Endi nuqtalardan o'tamizO VaA 1 ga teng bo'lgan bir juft parallel chiziqlara (bunday ikkita juft chiziq bo'lishi mumkin); bo'lsinX VaX 1 - nuqtadan o'tuvchi chiziqning kesishish nuqtasiO , to'g'ri chiziqlar bilanl Val 1 . ChunkiO.A 1 = OX 1 va ∆O.A 1 X 1 ∆ OAX , keyin OA = OX, nuqtaX hohlagan.

Xuddi shunday, biz aylana va to'g'ri chiziqning kesishishning ikkinchi nuqtasini - nuqtani quramizY(18,b-rasm).

Guruch. 18, a

Guruch. 18b

I.6.Bir tomonlama o'lchagich bilan konstruktsiyalar

V
Bu erda biz alohida holatni ko'rib chiqamiz: P nuqtalari berilsin,Q, R 1 VaQ 1 . va ular trapetsiyaning uchlarida yotadi.

1. P segmentini ajrating Q yarmida

Yechim 19-rasmda ko'rsatilgan

Berilgan P nuqtalari,Q, R 1 VaQ 1 va parallel chiziqlar

RQ, R 1 Q 1 . Keling, P ni sarflaymizQ 1  QR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

A va B nuqtalarini ulang. AB RQ = F- o'rtada

segment PQ.

Guruch. 19

2. Ikki segment R 1 Q 1.

R
yechim 20-rasmda ko'rsatilgan. Keling, quraylik

nuqtaF- segmentning o'rtasi RQva uni ulang

danQ 1. R 1 Q FQ 1 = M. Keling, RMni bajaramiz. RM R 1 Q 1 = R

tenglikRQva R 1 Q 1 o'xshashlikdan kelib chiqadi

uchburchaklar RMFVa RMQ 1 ,

FMQVa R 1 MQ 1 , va tenglik RFVaFQ.

Guruch. yigirma

3
. Uzunlik segmentini tuzing n  R 1 Q 1 .

m – 1 teng segmentlar PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q m -1 Q m

Keyin quramiz (RR 1 ) VaQ m Q 1 va ulaning

nuqtalar bilan ularning kesishish nuqtasi A

Q 2 , Q 3, … Q m Qabul qildim -1 bevosita

bo'lmoqR 1 Q 1 ustidam teng qismlar.

Uchunm = 4 yechim 22-rasmda ko'rsatilgan

22-rasm

I.7. Ikki tomonlama o'lchagichning sirkul va chizg'ich bilan almashinishi

Keling, ikki tomonlama o'lchagichni sirkul va o'lchagich bilan almashtirish mumkinligini isbotlaylik. Buning uchun biz quyidagi dalillarni isbotlaymiz:

1-bayon: kompas va to'g'ri chiziq yordamida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan barcha konstruktsiyalar ikki tomonlama to'g'ri chiziq bilan amalga oshirilishi mumkin.

Sirkul va o'lchagich yordamida qurishda chizg'ich ikki nuqta orqali to'g'ri chiziq tortadi va sirkul aylana quradi (berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to'plamini topadi), keyin sirkul va o'lchagich bilan barcha konstruktsiyalar qisqartiriladi. ikkita to'g'ri chiziq, ikkita aylana va to'g'ri chiziq bilan aylana kesishmasini qurish.

Ikki chiziqning kesishishini chizg'ich yordamida chizish mumkin.

Doira va to'g'ri chiziqning kesishishi (23-rasm):

Bino:AB segmenti - aylananing radiusi, to'g'ri chiziq berilgan bo'lsinl , aylana markazi O, keyin:

1) Biz OS || sarflaymizl , OS = AB.

2) Biz OS || sarflaymizkva masofadan turib a.

3) Biz sarflaymizOD, OD l = D; OD k) Thales teoremasining natijasi bo'yicha

4) Tengliklarning tranzitivlik qonuniga ko'ra

5) O'ylab ko'ringOMQE. OMQEparallelogrammdir, chunki OM ||EQva OE ||MC(chiziqli tomonlar parallel). Keling, bu romb ekanligini isbotlaylik.

5.1) Xulq-atvorQZ OCVaQG ON, keyinQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(o'zaro yolg'on gapirish);  OS =ON, bu isbotlanishi kerak edi.

Ikki doiraning kesishishi: o'xshash.

Bayonot 2: ikki tomonlama o'lchagich yordamida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan barcha konstruktsiyalar sirkul va to'g'ri chiziq yordamida amalga oshiriladi.

Buning uchun biz kompas va o'lchagich yordamida ikki tomonlama o'lchagich uchun standart bo'lgan konstruktsiyalarni bajaramiz.

1) Ikki nuqtali chiziq chizg'ich yordamida osongina chiziladi.

2) Berilgan chiziqqa parallel va undan ma'lum masofada uzoqda joylashgan to'g'ri chiziqni qurish:

2.1) Chiziq berilgan bo'lsinkva uzunlik segmentia.

2.2) Biz ixtiyoriy chiziqni quramizb k, bo'lsink b= B.

2.3) Yoqilganbnuqtaning har ikki tomonidaBto'g'ri chiziqdabuzunligini ajratib qo'yinga, nuqtalarga ruxsat beringCVaD.

2.4) Nuqta orqaliCto'g'ri chiziq qurishc k.

2.5) Nuqta orqaliDto'g'ri chiziq qurishd k.

2.6) To'g'ridan-to'g'ricVad– orzu qilingan, chunkiMiloddan avvalgiVaBDtengaqurilish bo'yicha va chiziq orasidagi masofaga tengkva to'g'ridan-to'g'ri

3) Bir-biriga parallel va ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziqlarni qurish va ular orasidagi masofa berilgan segmentga teng:

3.1) Ballar berilsinAVaBva uzunlik segmentia.

3.2) Bir nuqtada markazlashtirilgan doira chizingAva radiusa.

3.3) Nuqta orqali berilgan aylanaga teginish quramizB; ikkita shunday tangens bor, agarBdoiradan tashqarida yotadi (agarAB> a), bitta bo'lsaBdoira ustida yotadi (agarAB= a), agar hech biriBdoira ichida yotadi (AB< a). Bu tangens kerakli chiziqlardan biridir; nuqtadan o'tish uchun chapAunga parallel to'g'ri chiziq.

3.4) Chiziqlardan biri aylana radiusiga tangens sifatida perpendikulyar bo'lganligi sababli, ikkinchisi ham unga perpendikulyar (ular parallel bo'lgani uchun), shuning uchun ular orasidagi masofa radiusga teng bo'lib, qurilishi bo'yicha tengdir. uchunabu talab qilingan narsa edi.

Shunday qilib, biz ikki tomonlama o'lchagich bilan sirkul va chizg'ichning almashinishini isbotladik.

Xulosa: ikki tomonlama o'lchagichni sirkul va o'lchagich bilan almashtirish mumkin.

Xulosa

Shunday qilib, sirkul va chizg'ich yordamida klassik qurish masalalarini yechishda bitta chizg'ichdan foydalanish imkoniyati masalasi ko'rib chiqildi va hal qilindi. Ma'lum bo'lishicha, qurilish muammolarini faqat parallel qirralari bo'lgan bitta o'lchagich yordamida hal qilish mumkin. Keyinchalik murakkab muammolarni hal qilishda, kelajakda ushbu maqolada ko'rib chiqilgan asosiy konstruktsiyalarga tayanish kerak.

Taqdim etilgan material nafaqat matematika darslarida, matematika to'garagining darslarida, balki amaliy mashg'ulotlarda ham bevosita qo'llanilishi mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

Aliyev A.V. Geometrik konstruktsiyalar. Maktabda matematika. 1978 yil 3-son

Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi. M., Ma'rifat. 1981 yil.

Depman I.Ya. Matematika darsligi sahifalari ortida. M.. Ta'lim. 1989 yil.

Elenskiy Sh. Pifagor izidan. M., Detgiz. 1961 yil.

Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati. M., Pedagogika. 1985 yil

Misol

Bir chiziqni yarmiga bo'lish

Bisektsiya muammosi. Ushbu segmentni ajratish uchun kompas va to'g'ri chiziqdan foydalaning AB ikkita teng qismga bo'ling. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan:

• Kompaslar nuqtalarda markazlashtirilgan doiralar chizadi A Va B radius AB.
• Kesishish nuqtalarini topish P Va Q ikkita qurilgan doiralar (yoylar).
• O'lchagichda nuqtalardan o'tadigan segment yoki chiziqni torting P Va Q.
• Segmentning o'rta nuqtasini topish AB- kesishish nuqtasi AB Va PQ.

Rasmiy ta'rif

Qurilish masalalari tekislikning barcha nuqtalari to'plamini, tekislikning barcha chiziqlari to'plamini va tekislikning barcha doiralari to'plamini ko'rib chiqadi, ular ustida quyidagi amallarni bajarishga ruxsat beriladi:

1. Barcha nuqtalar to'plamidan nuqta tanlang:
   1. ixtiyoriy nuqta
   2. berilgan chiziqdagi ixtiyoriy nuqta
   3. berilgan doiradagi ixtiyoriy nuqta
   4. berilgan ikkita chiziqning kesishish nuqtasi
   5. berilgan chiziq va berilgan doiraning kesishish / tegish nuqtalari
   6. berilgan ikkita aylananing kesishish nuqtalari/tangensi
2. "Yordamida hukmdorlar» barcha qatorlar toʻplamidan qatorni tanlang:
   1. ixtiyoriy chiziq
   2. berilgan nuqtadan o'tuvchi ixtiyoriy chiziq
   3. berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq
3. "Yordamida kompas» barcha doiralar toʻplamidan doira tanlang:
   1. ixtiyoriy doira
   2. berilgan nuqtada markazlashtirilgan ixtiyoriy doira
   3. radiusi berilgan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng bo'lgan ixtiyoriy doira
   4. markazi berilgan nuqtada joylashgan va radiusi berilgan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng bo'lgan doira

Muammoning sharoitida ma'lum bir nuqtalar to'plami ko'rsatilgan. Cheklangan sonli operatsiyalardan foydalanib, yuqoridagi ruxsat etilgan operatsiyalardan dastlabki to'plam bilan ma'lum munosabatda bo'lgan boshqa nuqtalar to'plamini qurish talab qilinadi.

Qurilish muammosini hal qilish uchta muhim qismni o'z ichiga oladi:

1. Berilgan to'plamni qurish usulining tavsifi.
2. Ta'riflangan tarzda tuzilgan to'plam haqiqatda asl to'plam bilan berilgan munosabatda ekanligining isboti. Odatda konstruksiyani isbotlash aksiomalar va boshqa isbotlangan teoremalarga tayangan holda teoremaning muntazam isboti sifatida amalga oshiriladi.
3. Ta'riflangan qurilish usulini boshlang'ich sharoitlarning turli xil variantlariga qo'llanilishi, shuningdek, tavsiflangan usul bilan olingan yechimning o'ziga xosligi yoki o'ziga xos emasligi uchun tahlil qilish.

Ma'lum muammolar

• Apolloniyning berilgan uchta aylanaga tangens aylana qurish masalasi. Agar berilgan doiralarning hech biri ikkinchisining ichida yotmasa, bu masala 8 ta turlicha yechimga ega.
• Brahmaguptaning to'rt tomoniga chizilgan to'rtburchak qurish masalasi.

Muntazam ko'pburchaklarni qurish

Qadimgi geometriyachilar qanday qilib to'g'ri qurishni bilishgan n-gons , va uchun.

Mumkin va mumkin bo'lmagan konstruktsiyalar

Barcha konstruktsiyalar qandaydir tenglamaning yechimlaridan boshqa narsa emas va bu tenglamaning koeffitsientlari berilgan segmentlarning uzunliklari bilan bog'liq. Shuning uchun, ma'lum bir turdagi tenglamaning grafik yechimi - sonni qurish haqida gapirish qulay. Yuqoridagi talablar doirasida quyidagi konstruktsiyalar mumkin:

• Chiziqli tenglamalar yechimlarini qurish.
• Kvadrat tenglamalar yechimlarini qurish.

Boshqacha qilib aytganda, asl sonlarning (segmentlar uzunligi) kvadrat ildizidan foydalanib, faqat arifmetik ifodalarga teng sonlarni qurish mumkin. Misol uchun,

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

• Yagona kompas bilan konstruktsiyalar. Mohr-Mascheroni teoremasiga ko'ra, bitta kompas yordamida siz sirkul va chizg'ich yordamida yasash mumkin bo'lgan har qanday figurani qurishingiz mumkin. Bunday holda, agar chiziq ustida ikkita nuqta berilgan bo'lsa, chiziq tuzilgan hisoblanadi.
• Bitta o'lchagichli konstruktsiyalar. Bitta chizg‘ich yordamida faqat proyektiv invariant konstruksiyalarni bajarish mumkinligini ko‘rish oson. Xususan, hatto segmentni ikkita teng qismga bo'lish yoki chizilgan aylananing markazini topish mumkin emas. Ammo agar tekislikda belgilangan markazga ega oldindan chizilgan doira bo'lsa, chizg'ichdan foydalanib, siz kompas va o'lchagich bilan bir xil konstruktsiyalarni chizishingiz mumkin (Ponsele-Shtayner teoremasi ( Ingliz)), 1833. Agar chizg‘ichda ikkita serif bo‘lsa, uning yordamida yasalgan konstruksiyalar sirkul va chizg‘ich yordamida yasalgan konstruksiyalarga teng bo‘ladi (Buni isbotlashda Napoleon muhim qadam qo‘ydi).
• Cheklangan asboblar bilan konstruktsiyalar. Bunday turdagi masalalarda asboblar (muammoning klassik shakllantirilishidan farqli o'laroq) ideal emas, balki cheklangan deb hisoblanadi: ikki nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqni o'lchagich yordamida faqat bu nuqtalar orasidagi masofa ma'lum bir qiymatdan oshmasagina o'tkazish mumkin. qiymat; kompas bilan chizilgan doiralar radiusi yuqoridan, pastdan yoki yuqoridan va pastdan cheklanishi mumkin.
• Yassi origami bilan qurilish. Xujit qoidalariga qarang

Shuningdek qarang

• Dinamik geometriya dasturlari kompas va to'g'ri chiziq yordamida kompyuterda chizish imkonini beradi.

Eslatmalar

Adabiyot

• A. Adler Geometrik konstruktsiyalar nazariyasi / G. M. Fixtengolts tomonidan nemis tilidan tarjima qilingan. - Uchinchi nashr. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 b.
• I. I. Aleksandrov Qurilish uchun geometrik masalalar to'plami. - O'n sakkizinchi nashr. - M .: Uchpedgiz, 1950. - 176 b.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Ikkinchi nashr. - M .: Uchpedgiz, 1957. - 268 b.
• A. M. Voronets Kompasning geometriyasi. - M.-L .: ONTI, 1934. - 40 p. - (Mashhur matematika kutubxonasi, L.A.Lyusternik tomonidan tahrirlangan).
• V. A. Geyler Yechilmaydigan qurilish muammolari // sovutish suvi. - 1999. - No 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Sirkul va o'lchagich bilan konstruktsiyalar va Galua nazariyasi // "Zamonaviy matematika" yozgi maktabi. - Dubna, 2005 yil.
• Yu.I.Manin IV kitob. Geometriya // Boshlang'ich matematika entsiklopediyasi. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 568 b.
• Y. Petersen Geometrik yasash masalalarini yechish usullari va nazariyalari. - M .: E. Lissner va Yu. Roman bosmaxonasi, 1892. - 114 b.
• V. V. Prasolov Uchta klassik qurilish muammosi. Kubni ikkiga ko'paytirish, burchakni uchga bo'lish, aylanani kvadratga aylantirish. - M .: Nauka, 1992. - 80 b. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar).
• J. Shtayner To'g'ri chiziq va qo'zg'almas doira yordamida bajariladigan geometrik konstruktsiyalar. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 b.
• Matematikadan ixtiyoriy kurs. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M .: Ta'lim, 1991. - S. 80. - 383 b. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Kompas va o'lchagich bilan qurilish" nima ekanligini ko'ring:

Rulers - Akademika VseTools-da ishlaydigan chegirmali kuponga ega bo'ling yoki VseTools-da bepul yetkazib berish bilan o'lchagichlarni foydali sotib oling

Qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lgan Evklid geometriyasining bo'limi. Qurilish ishlarida quyidagi operatsiyalarni bajarish mumkin: tekislikdagi ixtiyoriy nuqtani, tuzilgan chiziqlardan biridagi nuqtani yoki ikkita qurilgan chiziqning kesishish nuqtasini belgilang. ...... Vikipediya yordami bilan

Kompas va to'g'ri chiziq yordamida konstruktsiyalar Evklid geometriyasining qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lgan bo'limi. Qurilish ishlarida quyidagi amallarni bajarish mumkin: Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtani, qurilgan chiziqlardan biridagi nuqtani yoki nuqtani belgilang ... ... Vikipediya

Masalan, s., foydalanish. komp. tez-tez Morfologiya: (yo'q) nima? nima uchun qurilish? qurilish, (qarang) nima? nima qurish? qurilish, nima haqida? qurilish haqida; pl. nima? qurilish, (yo'q) nima? inshootlar, nima uchun? konstruktsiyalar, (qarang) nima? qurilishdan? ...... Dmitriev lug'ati

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt="(!LANG:>O'lchagich va sirkul yordamida qurish Geometriya">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="(!LANG:> Berilgan A Ú ga teng segmentni tuzing."> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="(!LANG:> Berilgan bir burchakka teng burchakli uchburchak yasash."> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="(!LANG:> Burchak bissektrisasini qurish muammosi Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="(!LANG:> A Ú perpendikulyar chiziqlarni qurish muammosi."> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="(!LANG:> Konstruksiya segmentining o'rta nuqtasini qurish berilgan"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}