Cheksiz geom progressiyasi. Geometrik progressiya. Yechim bilan misol. Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi
Keling, ma'lum bir seriyani ko'rib chiqaylik.
7 28 112 448 1792...
Uning biron bir elementining qiymati avvalgisidan to'liq to'rt baravar katta ekanligi aniq. Bu shuni anglatadiki, bu seriya progressiyadir.
Geometrik progressiya sonlarning cheksiz ketma-ketligi bo'lib, uning asosiy xususiyati keyingi sonni oldingisidan ma'lum bir songa ko'paytirish orqali olinadi. Bu quyidagi formula bilan ifodalanadi.
a z +1 =a z ·q, bu erda z - tanlangan elementning soni.
Shunga ko'ra, z ∈ N.
Maktabda geometrik progressiya o‘rganiladigan davr 9-sinf. Misollar tushunchani tushunishga yordam beradi:
0.25 0.125 0.0625...
Ushbu formulaga asoslanib, progressiyaning maxrajini quyidagicha topish mumkin:
q ham, b z ham nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuningdek, progressiyaning har bir elementi nolga teng bo'lmasligi kerak.
Shunga ko'ra, ketma-ket keyingi raqamni bilish uchun oxirgi raqamni q ga ko'paytirish kerak.
Ushbu progressiyani o'rnatish uchun siz uning birinchi elementi va maxrajini ko'rsatishingiz kerak. Shundan so'ng, har qanday keyingi shartlarni va ularning yig'indisini topish mumkin.
Turlari
q va a 1 ga qarab, bu progressiya bir necha turga bo'linadi:
- Agar 1 ham, q ham birdan katta bo'lsa, bunday ketma-ketlik har bir keyingi element bilan ortib boruvchi geometrik progressiyadir. Bunga misol quyida keltirilgan.
Misol: a 1 =3, q=2 - ikkala parametr ham birdan katta.
Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:
3 6 12 24 48 ...
- Agar |q| birdan kichik bo'lsa, ya'ni unga ko'paytirish bo'lishga ekvivalent bo'lsa, sharti o'xshash bo'lgan progressiya kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladi. Bunga misol quyida keltirilgan.
Misol: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdan katta, q kichik.
Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:
6 2 2/3 ... - har qanday element undan keyingi elementdan 3 marta katta.
- O'zgaruvchan belgi. Agar q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Misol: a 1 = -3, q = -2 - ikkala parametr ham noldan kichik.
Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:
3, 6, -12, 24,...
Formulalar
Geometrik progressiyalardan qulay foydalanish uchun ko'plab formulalar mavjud:
- Z-term formulasi. Oldingi raqamlarni hisoblamasdan, ma'lum bir raqam ostida elementni hisoblash imkonini beradi.
Misol:q = 3, a 1 = 4. Progressiyaning to'rtinchi elementini sanash talab qilinadi.
Yechim:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Miqdori teng bo'lgan birinchi elementlarning yig'indisi z. gacha bo'lgan ketma-ketlikning barcha elementlari yig'indisini hisoblash imkonini beradia zinklyuziv.
beri (1-q) maxrajda bo‘lsa, u holda (1 - q)≠ 0, shuning uchun q 1 ga teng emas.
Eslatma: agar q=1 bo'lsa, progressiya cheksiz takrorlanuvchi sonlar qatori bo'ladi.
Geometrik progressiya yig'indisi, misollar:a 1 = 2, q= -2. S5 ni hisoblang.
Yechim:S 5 = 22 - formuladan foydalanib hisoblash.
- Agar |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Misol:a 1 = 2 , q= 0,5. Miqdorini toping.
Yechim:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Ba'zi xususiyatlar:
- Xarakterli xususiyat. Quyidagi shart bo'lsa har qanday uchun ishlaydiz, u holda berilgan sonlar qatori geometrik progressiyadir:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Shuningdek, geometrik progressiyadagi istalgan sonning kvadrati, agar ular ushbu elementdan teng masofada joylashgan bo'lsa, berilgan qatordagi boshqa ikkita raqamning kvadratlarini qo'shish orqali topiladi.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Qayerdat- bu raqamlar orasidagi masofa.
- Elementlarq bilan farqlanadibir marta.
- Progressiya elementlarining logarifmlari ham progressiyani tashkil qiladi, lekin arifmetik, ya'ni ularning har biri oldingisidan ma'lum songa kattaroqdir.
Ba'zi klassik muammolarga misollar
Geometrik progressiya nima ekanligini yaxshiroq tushunish uchun 9-sinf uchun echimlar bilan misollar yordam berishi mumkin.
- Shartlar:a 1 = 3, a 3 = 48. Topingq.
Yechim: har bir keyingi element avvalgisidan kattaroqq bir marta.Ayrim elementlarni maxraj yordamida boshqalar bilan ifodalash kerak.
Demak,a 3 = q 2 · a 1
O'zgartirish paytidaq= 4
- Shartlar:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6 ni hisoblang.
Yechim:Buning uchun birinchi element bo'lgan q ni toping va uni formulaga qo'ying.
a 3 = q· a 2 , shuning uchun,q= 2
a 2 = q · a 1,Shunung uchun a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Progressiyaning to‘rtinchi elementini toping.
Yechish: buning uchun to‘rtinchi elementni birinchi va maxraj orqali ifodalash kifoya.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Ilova misoli:
- Bank mijozi 10 000 rubl miqdorida depozit qo'ydi, uning shartlariga ko'ra, har yili mijoz asosiy qarzga uning 6 foizini qo'shib qo'yadi. 4 yildan keyin hisobda qancha pul bo'ladi?
Yechim: Dastlabki miqdor - 10 ming rubl. Bu shuni anglatadiki, investitsiya qilinganidan bir yil o'tgach, hisob 10 000 + 10 000 ga teng bo'ladi. · 0,06 = 10000 1,06
Shunga ko'ra, yana bir yildan keyin hisobvaraqdagi summa quyidagicha ifodalanadi:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Ya'ni, har yili bu miqdor 1,06 barobarga oshadi. Bu shuni anglatadiki, 4 yildan so'ng hisobvaraqdagi mablag'lar miqdorini topish uchun birinchi element tomonidan 10 mingga teng va maxraj 1,06 ga teng bo'lgan progressiyaning to'rtinchi elementini topish kifoya.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Yig'indini hisoblash masalalariga misollar:
Geometrik progressiya turli masalalarda qo'llaniladi. Yig'indini topishga quyidagi misolni keltirish mumkin:
a 1 = 4, q= 2, hisoblangS 5.
Yechim: hisoblash uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlar ma'lum, ularni formulaga almashtirish kifoya.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Birinchi olti elementning yig'indisini hisoblang.
Yechim:
Geomda. progressiya, har bir keyingi element oldingisidan q marta katta, ya'ni yig'indini hisoblash uchun elementni bilish kerak.a 1 va maxrajq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Xuddi shunday, siz topishingiz keraka 1 , bilisha 2 Vaq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
>>Matematika: Geometrik progressiya
O'quvchiga qulaylik yaratish uchun ushbu paragraf avvalgi xatboshida amal qilgan rejaga muvofiq tuzilgan.
1. Asosiy tushunchalar.
Ta'rif. Barcha a'zolari 0 dan farq qiladigan va har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi a'zodan bir xil songa ko'paytirib olinadigan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi. Bunda 5 soni geometrik progressiyaning maxraji deyiladi.
Shunday qilib, geometrik progressiya - bu munosabatlar orqali takroriy aniqlangan sonli ketma-ketlik (b n)
Sonlar ketma-ketligiga qarab, uning geometrik progressiya ekanligini aniqlash mumkinmi? mumkin. Agar ketma-ketlikning istalgan a'zosining oldingi a'zoga nisbati doimiy ekanligiga ishonchingiz komil bo'lsa, u holda siz geometrik progressiyaga ega bo'lasiz.
1-misol.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
2-misol.
Bu geometrik progressiyaga ega
3-misol.
Bu geometrik progressiyaga ega
4-misol.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Bu geometrik progressiya bo'lib, b 1 - 8, q = 1.
E'tibor bering, bu ketma-ketlik ham arifmetik progressiyadir (15-§ 3-misolga qarang).
5-misol.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Bu geometrik progressiya bo'lib, b 1 = 2, q = -1.
Shubhasiz, geometrik progressiya, agar b 1 > 0, q > 1 bo'lsa, ortib boruvchi ketma-ketlik (1-misolga qarang), b 1 > 0, 0 bo'lsa, kamayuvchi ketma-ketlikdir.< q < 1 (см. пример 2).
Ketma-ketlik (b n) geometrik progressiya ekanligini ko'rsatish uchun ba'zan quyidagi yozuv qulay bo'ladi:
Belgi "geometrik progressiya" iborasini almashtiradi.
Keling, geometrik progressiyaning bir qiziq va ayni paytda aniq xususiyatini ta'kidlaymiz:
Agar ketma-ketlik 
geometrik progressiya, keyin kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni. 
geometrik progressiyadir.
Ikkinchi geometrik progressiyada birinchi had q 2 ga teng va teng.
Agar geometrik progressiyada b n dan keyingi barcha hadlarni bekor qilsak, chekli geometrik progressiyaga erishamiz. 
Ushbu bo'limning keyingi paragraflarida biz geometrik progressiyaning eng muhim xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
2. Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi.
Geometrik progressiyani ko'rib chiqing 
maxraj q. Bizda ... bor:
Har qanday n soni uchun tenglik to'g'ri ekanligini taxmin qilish qiyin emas
Bu geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi.
Izoh.
Agar siz oldingi paragrafdagi muhim izohni o‘qib chiqqan bo‘lsangiz va uni tushungan bo‘lsangiz, arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi uchun qilinganidek, (1) formulani matematik induksiya usuli yordamida isbotlashga harakat qiling.
Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasini qayta yozamiz
va yozuvni kiriting: Biz y = mq 2 ni olamiz, yoki batafsilroq, 
Argument x ko'rsatkichda joylashgan, shuning uchun bu funktsiya eksponensial funktsiya deb ataladi. Demak, geometrik progressiya N natural sonlar to‘plamida aniqlangan ko‘rsatkichli funksiya sifatida qaralishi mumkin. Shaklda. 96a-rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. 966 - funktsiya grafigi 
Ikkala holatda ham ma'lum bir egri chiziqda yotadigan ajratilgan nuqtalar (x = 1, x = 2, x = 3 va hokazo abscissalar bilan) mavjud (har ikkala raqam ham bir xil egri chiziqni ko'rsatadi, faqat har xil joylashgan va turli masshtablarda tasvirlangan). Bu egri chiziq eksponensial egri chiziq deyiladi. Eksponensial funksiya va uning grafigi haqida batafsil ma’lumot 11-sinf algebra kursida muhokama qilinadi.
Oldingi paragrafdagi 1-5 misollarga qaytaylik.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu geometrik progressiya bo'lib, u uchun b 1 = 1, q = 3. n-chi had uchun formulani tuzamiz. 
2) 
Bu geometrik progressiya bo'lib, u uchun n-son uchun formula tuzamiz 
Bu geometrik progressiyaga ega 
n-son uchun formulani tuzamiz 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu geometrik progressiya bo'lib, u uchun b 1 = 8, q = 1. n-chi had uchun formulani tuzamiz. 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu geometrik progressiya bo'lib, b 1 = 2, q = -1. n-son uchun formulani tuzamiz 
6-misol.
Geometrik progressiya berilgan
Hamma hollarda yechim geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasiga asoslanadi
a) Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasiga n = 6 ni qo‘yib, hosil bo‘lamiz
b) Bizda bor
512 = 2 9 bo'lgani uchun biz n - 1 = 9, n = 10 ni olamiz.
d) Bizda bor
7-misol.
Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi hadlarining ayirmasi 48 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi hadlarining yig‘indisi ham 48 ga teng. Shu progressiyaning o‘n ikkinchi hadini toping.
Birinchi bosqich. Matematik modelni tuzish.
Muammoning shartlarini qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
U holda masalaning ikkinchi shartini (b 7 - b 5 = 48) quyidagicha yozish mumkin
Masalaning uchinchi shartini (b 5 + b 6 = 48) quyidagicha yozish mumkin
Natijada, ikkita o'zgaruvchisi b 1 va q bo'lgan ikkita tenglamalar tizimini olamiz:
yuqorida yozilgan 1) shart bilan birgalikda masalaning matematik modelini ifodalaydi.
Ikkinchi bosqich.
Kompilyatsiya qilingan model bilan ishlash. Tizimning ikkala tenglamasining chap tomonlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
(tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan b 1 q 4 ifodaga ajratdik).
q 2 - q - 2 = 0 tenglamasidan q 1 = 2, q 2 = -1 ni topamiz. Tizimning ikkinchi tenglamasiga q = 2 qiymatini qo'yib, biz olamiz 
Tizimning ikkinchi tenglamasiga q = -1 qiymatini almashtirib, b 1 1 0 = 48 ni olamiz; bu tenglamaning yechimlari yo'q.
Demak, b 1 =1, q = 2 - bu juftlik tuzilgan tenglamalar tizimining yechimidir.
Endi biz masalada muhokama qilingan geometrik progressiyani yozishimiz mumkin: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Uchinchi bosqich.
Muammoli savolga javob. Siz b 12 ni hisoblashingiz kerak. Bizda ... bor
Javob: b 12 = 2048.
3. Cheklangan geometrik progressiya hadlari yig’indisining formulasi.
Cheklangan geometrik progressiya berilsin
Uning hadlari yig'indisini S n bilan belgilaymiz, ya'ni.
Keling, bu miqdorni topish uchun formulani chiqaramiz.
Eng oddiy holatdan boshlaylik, q = 1 bo'lganda. U holda b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn geometrik progressiya b 1 ga teng n ta sondan iborat, ya'ni. progressiya b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ga o'xshaydi. Bu raqamlarning yig'indisi nb 1 ga teng.
Endi q = 1 bo'lsin, S n ni topish uchun sun'iy texnikani qo'llaymiz: S n q ifodasini ba'zi o'zgartirishlarni bajaramiz. Bizda ... bor:
O'zgartirishlarni amalga oshirishda biz, birinchi navbatda, geometrik progressiyaning ta'rifidan foydalandik, unga ko'ra (mulohazalarning uchinchi qatoriga qarang); ikkinchidan, qo‘shish va ayirish, shuning uchun ham ifoda ma’nosi, albatta, o‘zgarmagan (to‘rtinchi fikr qatoriga qarang); uchinchidan, biz geometrik progressiyaning n-chi hadi uchun formuladan foydalandik:
Formuladan (1) biz quyidagilarni topamiz:
Bu geometrik progressiyaning n ta hadi yig'indisining formulasi (q = 1 bo'lgan holat uchun).
8-misol.
Cheklangan geometrik progressiya berilgan
a) progressiya shartlari yig'indisi; b) uning hadlari kvadratlari yig'indisi.
b) Yuqorida (132-betga qarang) biz allaqachon ta’kidlagan edik, agar geometrik progressiyaning barcha hadlari kvadrat bo‘lsa, birinchi had b 2 va maxraji q 2 bo‘lgan geometrik progressiyani olamiz. Keyin yangi progressiyaning oltita hadining yig'indisi tomonidan hisoblanadi
9-misol.
Qaysi uchun geometrik progressiyaning 8-chi hadini toping
Aslida, biz quyidagi teoremani isbotladik.
Raqamli ketma-ketlik, agar birinchi teoremadan (va chekli ketma-ketlikda oxirgi) tashqari har bir hadining kvadrati oldingi va keyingi hadlarning (a) ko‘paytmasiga teng bo‘lsagina, geometrik progressiya hisoblanadi. geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati).
Masterweb dan
22.09.2018 22:00Geometrik progressiya arifmetik progressiya bilan bir qatorda 9-sinfda maktab algebrasi kursida o‘rganiladigan muhim sonlar qatoridir. Ushbu maqolada biz geometrik progressiyaning maxrajini va uning qiymati uning xususiyatlariga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqamiz.
Geometrik progressiyaning ta’rifi
Birinchidan, ushbu sonlar qatorining ta'rifini beraylik. Geometrik progressiya ratsional sonlar qatori boʻlib, uning birinchi elementini maxraj deb ataladigan doimiy songa ketma-ket koʻpaytirish yoʻli bilan hosil boʻladi.
Masalan, 3, 6, 12, 24, ... qatoridagi sonlar geometrik progressiyadir, chunki 3 ni (birinchi elementni) 2 ga ko'paytirsangiz, 6 ga erishasiz. 6 ni 2 ga ko'paytirsangiz, hosil bo'ladi. 12 va boshqalar.
Ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikning a'zolari odatda ai belgisi bilan belgilanadi, bu erda i qator elementining sonini ko'rsatadigan butun sondir.
Progressiyaning yuqoridagi ta'rifini matematik tilda quyidagicha yozish mumkin: an = bn-1 * a1, bu erda b - maxraj. Ushbu formulani tekshirish oson: agar n = 1 bo'lsa, u holda b1-1 = 1 va biz a1 = a1 ni olamiz. Agar n = 2 bo'lsa, u holda an = b * a1 va biz yana ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifiga kelamiz. Xuddi shunday mulohazalarni n ning katta qiymatlari uchun ham davom ettirish mumkin.
Geometrik progressiyaning maxraji
b soni butun raqamlar qatori qanday belgiga ega bo'lishini to'liq aniqlaydi. Maxraj b musbat, manfiy yoki birdan katta yoki kichik bo'lishi mumkin. Yuqoridagi barcha variantlar turli xil ketma-ketliklarga olib keladi:
- b > 1. Ratsional sonlarning ortib borayotgan qatori mavjud. Masalan, 1, 2, 4, 8, ... Agar a1 elementi manfiy bo'lsa, u holda butun ketma-ketlik faqat mutlaq qiymatda ortadi, lekin raqamlarning belgisiga qarab kamayadi.
- b = 1. Ko'pincha bu holat progressiya deb nomlanmaydi, chunki bir xil ratsional sonlarning oddiy qatori mavjud. Masalan, -4, -4, -4.
Miqdor uchun formula
Ko'rib chiqilayotgan progressiya turining maxrajidan foydalangan holda aniq masalalarni ko'rib chiqishga o'tishdan oldin uning birinchi n elementi yig'indisining muhim formulasini keltirish kerak. Formula quyidagicha ko'rinadi: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Progressiya shartlarining rekursiv ketma-ketligini ko'rib chiqsangiz, bu ifodani o'zingiz olishingiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi formulada ixtiyoriy sonli hadlar yig'indisini topish uchun faqat birinchi element va maxrajni bilish kifoya.
Cheksiz kamayuvchi ketma-ketlik
Bu nima ekanligi haqida yuqorida tushuntirish berilgan. Endi, Sn ning formulasini bilgan holda, uni ushbu sonlar qatoriga qo'llaymiz. Moduli 1 dan oshmaydigan har qanday son katta darajaga koʻtarilganda nolga intiladi, yaʼni -1 boʻlsa b∞ => 0 boʻladi.
Farq (1 - b) maxrajning qiymatidan qat'iy nazar har doim musbat bo'lganligi sababli, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisining belgisi S∞ uning birinchi elementi a1 belgisi bilan yagona aniqlanadi.
Keling, olingan bilimlarni aniq raqamlarda qanday qo'llashni ko'rsatadigan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.
Vazifa No 1. Progressiya va yig'indining noma'lum elementlarini hisoblash
Geometrik progressiya berilgan bo‘lsa, progressiyaning maxraji 2 ga, birinchi elementi esa 3 ga teng. Uning 7 va 10 hadlari nimaga teng bo‘ladi va uning yettita boshlang‘ich elementi yig‘indisi nechaga teng?
Muammoning sharti juda oddiy va yuqoridagi formulalardan bevosita foydalanishni o'z ichiga oladi. Demak, n element raqamini hisoblash uchun an = bn-1 * a1 ifodasidan foydalanamiz. 7-element uchun bizda mavjud: a7 = b6 * a1, ma'lum ma'lumotlarning o'rniga, biz olamiz: a7 = 26 * 3 = 192. 10-son uchun ham xuddi shunday qilamiz: a10 = 29 * 3 = 1536.
Keling, yig'indi uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bu qiymatni seriyaning birinchi 7 elementi uchun aniqlaymiz. Bizda: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Muammo No 2. Progressiyaning ixtiyoriy elementlari yig’indisini aniqlash
-2 geometrik progressiyaning bn-1 * 4 maxrajiga teng bo'lsin, bu erda n butun son. Ushbu qatorning 5-dan 10-elementigacha bo'lgan summani, shu jumladan, aniqlash kerak.
Qo'yilgan muammoni ma'lum formulalar yordamida to'g'ridan-to'g'ri hal qilib bo'lmaydi. Buni 2 xil usul yordamida hal qilish mumkin. Mavzu taqdimotining to'liqligi uchun biz ikkalasini ham taqdim etamiz.
Usul 1. G'oya oddiy: birinchi shartlarning ikkita mos keladigan summasini hisoblashingiz kerak, so'ngra ikkinchisini biridan ayirish kerak. Biz kichikroq miqdorni hisoblaymiz: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Endi biz kattaroq summani hisoblaymiz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. E'tibor bering, oxirgi iborada faqat 4 ta atama jamlangan, chunki 5-o'rin allaqachon muammoning shartlariga ko'ra hisoblanishi kerak bo'lgan miqdorga kiritilgan. Nihoyat, biz farqni olamiz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
2-usul. Raqamlarni almashtirish va hisoblashdan oldin ko'rib chiqilayotgan qatorning m va n hadlari orasidagi yig'indi formulasini olishingiz mumkin. Biz 1-usulda bo'lgani kabi xuddi shunday qilamiz, faqat biz birinchi navbatda miqdorning ramziy ko'rinishi bilan ishlaymiz. Bizda: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Olingan ifodaga ma'lum raqamlarni almashtirishingiz va yakuniy natijani hisoblashingiz mumkin: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Masala No 3. Maxraj nima?
a1 = 2 bo'lsin, geometrik progressiyaning maxraji topilsin, agar uning cheksiz yig'indisi 3 ga teng bo'lsa va bu sonlarning kamayuvchi qatori ekanligi ma'lum.
Muammoning shartlariga asoslanib, uni hal qilish uchun qaysi formuladan foydalanish kerakligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, cheksiz kamayib borayotgan progressiyaning yig'indisi uchun. Bizda: S∞ = a1 / (1 - b). Maxrajni qaerdan ifodalaymiz: b = 1 - a1 / S∞. Ma'lum qiymatlarni almashtirish va kerakli raqamni olish qoladi: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 yoki -0,333 (3). Agar ushbu turdagi ketma-ketlik uchun modul b 1 dan oshmasligi kerakligini eslasak, bu natijani sifat jihatidan tekshirishimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, |-1 / 3|
Vazifa No 4. Bir qator raqamlarni tiklash
Son qatorining 2 ta elementi berilsin, masalan, 5-chi 30 ga, 10-si 60 ga teng. Bu maʼlumotlardan butun qatorni geometrik progressiyaning xossalarini qanoatlantirishini bilib, qayta qurish kerak.
Muammoni hal qilish uchun, avvalo, har bir ma'lum atama uchun tegishli iborani yozishingiz kerak. Bizda: a5 = b4 * a1 va a10 = b9 * a1. Endi ikkinchi ifodani birinchisiga ajratamiz, biz olamiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Bu yerdan muammo bayonidan ma'lum bo'lgan atamalar nisbatining beshinchi ildizini olib, maxrajni aniqlaymiz, b = 1,148698. Olingan sonni ma'lum element uchun ifodalardan biriga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Geometrik progressiya sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi nolga teng boʻlmagan va har bir keyingi had oldingi hadning bir xil nolga teng boʻlmagan songa koʻpaytirilganiga teng.
Geometrik progressiya belgilanadi b1,b2,b3, …, bn, … .
Geometrik xatoning istalgan hadining oldingi hadiga nisbati bir xil songa teng, ya’ni b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu to'g'ridan-to'g'ri arifmetik progressiyaning ta'rifidan kelib chiqadi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Odatda geometrik progressiyaning maxraji q harfi bilan belgilanadi.
Monoton va doimiy ketma-ketlik
Geometrik progressiyani aniqlash usullaridan biri uning birinchi hadi b1 va q geometrik xatosining maxrajini ko'rsatishdir. Masalan, b1=4, q=-2. Bu ikki shart 4, -8, 16, -32, … geometrik progressiyani aniqlaydi.
Agar q>0 (q 1 ga teng bo'lmasa), progressiya bo'ladi monoton ketma-ketlik. Masalan, 2, 4,8,16,32, ... ketma-ketlik monoton ortib boruvchi ketma-ketlikdir (b1=2, q=2).
Agar geometrik xatodagi maxraj q=1 bo'lsa, geometrik progressiyaning barcha hadlari bir-biriga teng bo'ladi. Bunday hollarda ular progress deb aytishadi doimiy ketma-ketlik.
Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi
Sonlar ketma-ketligi (bn) geometrik progressiya bo'lishi uchun uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab qo'shni a'zolarning geometrik o'rtasi bo'lishi kerak. Ya'ni, quyidagi tenglamani bajarish kerak
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), har qanday n>0 uchun, bunda n N natural sonlar to‘plamiga tegishli.
Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi:
bn=b1*q^(n-1),
bu yerda n N natural sonlar to‘plamiga tegishli.
Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisining formulasi
Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), bunda q 1 ga teng emas.
Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik:
Geometrik progressiyada b1=6, q=3, n=8 Sn ni toping.
S8 ni topish uchun geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasidan foydalanamiz.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.
Arifmetik va geometrik progressiyalar
Nazariy ma'lumotlar
Nazariy ma'lumotlar
Arifmetik progressiya |
Geometrik progressiya |
|
Ta'rif |
Arifmetik progressiya a n ikkinchidan boshlab har bir a'zo bir xil songa qo'shilgan oldingi a'zoga teng bo'lgan ketma-ketlikdir d (d- progressiv farq) |
Geometrik progressiya b n nolga teng bo'lmagan raqamlar ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning bir xil songa ko'paytirilishiga teng. q (q- progressiyaning maxraji) |
Takrorlanish formulasi |
Har qanday tabiiy uchun n |
Har qanday tabiiy uchun n |
Formula n-chi davr |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Xarakterli xususiyat |  |
|
| Birinchi n ta shartlar yig'indisi |  |
 |
Izohlar bilan topshiriqlarga misollar
1-mashq
Arifmetik progressiyada ( a n) a 1 = -6, a 2
n-sonning formulasiga ko'ra:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Shart bo'yicha:
a 1= -6, keyin a 22= -6 + 21 d.
Progressiyalar farqini topish kerak:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Javob: a 22 = -48.
Vazifa 2
Geometrik progressiyaning beshinchi hadini toping: -3; 6;.....
1-usul (n-term formulasidan foydalangan holda)
Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasiga ko‘ra:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Chunki b 1 = -3,
2-usul (takroriy formuladan foydalangan holda)
Progressiyaning maxraji -2 (q = -2) bo'lgani uchun, u holda:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Javob: b 5 = -48.
Vazifa 3
Arifmetik progressiyada ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Shu progressiyaning yetmish beshinchi hadini toping.
Arifmetik progressiya uchun xarakteristik xususiyat shaklga ega 
.
Shuning uchun:
.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
Javob: 95.
Vazifa 4
Arifmetik progressiyada ( a n ) a n= 3n - 4. Birinchi o'n yetti hadning yig'indisini toping.
Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisini topish uchun ikkita formuladan foydalaniladi:
.
Bu holatda ulardan qaysi birini ishlatish qulayroq?
Shartga ko'ra, dastlabki progressiyaning n-chi hadi formulasi ma'lum ( a n) a n= 3n - 4. Siz darhol topishingiz mumkin va a 1, Va a 16 topmasdan d. Shuning uchun biz birinchi formuladan foydalanamiz.
Javob: 368.
Vazifa 5
Arifmetik progressiyada ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Progressiyaning yigirma ikkinchi hadini toping.
n-sonning formulasiga ko'ra:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 kun.
Shart bo'yicha, agar a 1= -6, keyin a 22= -6 + 21d. Progressiyalar farqini topish kerak:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Javob: a 22 = -48.
Vazifa 6
Geometrik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari yoziladi:
X bilan belgilangan progressiyaning hadini toping.
Yechishda n-son uchun formuladan foydalanamiz b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrik progressiyalar uchun. Progressiyaning birinchi muddati. Progressiyaning maxrajini topish uchun progressiyaning berilgan har qanday hadini olish va oldingisiga bo‘lish kerak. Bizning misolimizda biz olishimiz va bo'lishimiz mumkin. Biz q = 3 ni olamiz. Formulada n o'rniga 3 ni qo'yamiz, chunki berilgan geometrik progressiyaning uchinchi hadini topish kerak.
Topilgan qiymatlarni formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
.
Javob:.
Vazifa 7
n-sonli had formulasi bilan berilgan arifmetik progressiyalardan qaysi shart bajarilganini tanlang. a 27 > 9:
Berilgan shart progressiyaning 27-chi hadi uchun bajarilishi kerakligi sababli, to‘rtta progressiyaning har birida n o‘rniga 27 ni qo‘yamiz. 4-bosqichda biz quyidagilarni olamiz:
.
Javob: 4.
Vazifa 8
Arifmetik progressiyada a 1= 3, d = -1,5. Tengsizlik bajariladigan n ning eng katta qiymatini belgilang a n > -6.
