Portalda reklama

Monte-Karlo formulalarini statik modellashtirish usuli. Monte-Karlo simulyatsiyasi qanday amalga oshiriladi. "Ob'ekt-model" munosabatlarida tushunchalar mavjud emas

Entsiklopedik YouTube

    1 / 5

    ✪ RuleOfThumb - Monte-Karlo usuli

    ✪ Dmitriy Kazakov - Kvarklar

    ✪ [Kollokvium]: Amaliy tadqiqotlarda matematik usullarning yorqinligi va qashshoqligi

    ✪ 1-ma'ruza: Hisoblash xatolari

    ✪ Elena Braun - Richard afsonasi ll

    Subtitrlar

Hikoya

Buffonning Pi ni aniqlash algoritmi

Otishlar soni Chorrahalar soni Igna uzunligi Chiziqlar orasidagi masofa Aylanish Pi qiymati Xato
Birinchi urinib ko'ring 500 236 3 4 yo'q 3.1780 +3,6⋅10 -2
Ikkinchi urinish 530 253 3 4 hozir 3.1423 +7,0⋅10 -4
Uchinchi urinish 590 939 5 2 hozir 3.1416 +4,7⋅10 -5

Izohlar:

Stokastik jarayonlar va differentsial tenglamalar o'rtasidagi bog'liqlik

Stokastik usullarning matematik apparatini yaratish 19-asr oxirida boshlangan. 1899 yilda lord Rayleigh cheksiz panjarada bir o'lchovli tasodifiy yurish parabolik differensial tenglamaning bir turiga taxminiy yechim berishi mumkinligini ko'rsatdi. Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1931 yilda turli xil matematik muammolarni echishda stoxastik yondashuvlarning rivojlanishiga katta turtki berdi, chunki u Markov zanjirlarining ma'lum integro-differensial tenglamalar bilan bog'liqligini isbotlay oldi. 1933 yilda Ivan Georgievich Petrovskiy Markov zanjirini tashkil etuvchi tasodifiy yurish elliptik qisman differentsial tenglamaning yechimi bilan asimptotik bog'liqligini ko'rsatdi. Ushbu kashfiyotlardan so'ng, stoxastik jarayonlarni differentsial tenglamalar bilan tasvirlash va shunga mos ravishda o'sha paytda bu tenglamalarni echishning yaxshi ishlab chiqilgan matematik usullari yordamida o'rganish mumkinligi aniq bo'ldi.

Los-Alamosda Monte-Karlo usulining tug'ilishi

Bu g‘oya Ulam tomonidan ishlab chiqilgan bo‘lib, u kasallikdan tuzalib ketayotib, solitaire o‘ynab, o‘yini qanday natija berishi mumkinligi haqida hayron bo‘lgan. Bunday muammolar uchun odatiy kombinatorik mulohazalarni qo'llash o'rniga, Ulam tajribani ko'p marta bajarish va muvaffaqiyatli natijalar sonini hisoblab, ehtimollikni taxmin qilishni taklif qildi. Shuningdek, u Monte-Karlo hisob-kitoblari uchun kompyuterlardan foydalanishni taklif qildi.

Yuqori tezlikda soxta tasodifiy raqamlarni yarata oladigan birinchi elektron kompyuterlarning paydo bo'lishi stoxastik yondashuv boshqa matematik usullarga qaraganda samaraliroq bo'lgan muammolar doirasini keskin kengaytirdi. Shundan so'ng, katta yutuq yuz berdi va ko'plab muammolarda Monte-Karlo usuli qo'llanildi, ammo ma'lum bir aniqlik bilan javob olish uchun zarur bo'lgan hisob-kitoblarning ko'pligi tufayli uni qo'llash har doim ham oqlanmagan.

Monte-Karlo usulining tug'ilgan yili Metropolis va Ulamning "Monte-Karlo usuli" maqolasi chop etilgan 1949 yil deb hisoblanadi. Usulning nomi Monako knyazligidagi kommuna nomidan kelib chiqqan bo'lib, u o'zining ko'plab kazinolari bilan mashhur, chunki rulet eng keng tarqalgan tasodifiy sonlar generatorlaridan biridir. Stanislav Ulam o‘zining “Matematikning sarguzashtlari” nomli tarjimai holida bu nomni qimorbozlik bilan shug‘ullangan amakisi sharafiga Nikolay Metropolis taklif qilganini yozadi.

Keyingi rivojlanish va zamonaviylik

Monte-Karlo integratsiyasi

Aytaylik, qandaydir funktsiyaning integralini olishimiz kerak. Keling, integralning norasmiy geometrik tavsifidan foydalanamiz va uni ushbu funktsiya grafigi ostidagi maydon sifatida tushunamiz.

Ushbu maydonni aniqlash uchun siz odatiy raqamli integratsiya usullaridan birini qo'llashingiz mumkin: segmentni kichik segmentlarga bo'ling, ularning har biri bo'yicha funktsiya grafigi ostidagi maydonni hisoblang va qo'shing. Faraz qilaylik, 2-rasmda keltirilgan funksiya uchun uni 25 ta segmentga bo'lish va shuning uchun 25 funktsiya qiymatini hisoblash kifoya. Keling, endi biz bilan shug'ullanayotganimizni tasavvur qilaylik n (\displaystyle n)- o'lchovli funktsiya. Keyin bizga kerak 25 n (\displaystyle 25^(n)) segmentlar va funksiya qiymatining bir xil miqdordagi hisoblari. Funktsiya o'lchami 10 dan katta bo'lsa, muammo juda katta bo'ladi. Yuqori o'lchamli bo'shliqlar, xususan, simlar nazariyasi masalalarida, shuningdek, erkinlik darajasi ko'p bo'lgan tizimlar mavjud bo'lgan boshqa ko'plab fizik muammolarda yuzaga kelganligi sababli, hisoblash murakkabligi u qadar kuchli bog'liq bo'lmagan hal qilish usuliga ega bo'lish kerak. o'lcham. Aynan shu xususiyat Monte-Karlo usuliga ega.

An'anaviy Monte-Karlo integratsiya algoritmi

Aytaylik, siz aniq integralni hisoblashingiz kerak ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing u (\displaystyle u), integratsiya oralig'ida bir tekis taqsimlangan. Keyin u ham tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi va uning matematik kutilishi quyidagicha ifodalanadi
E f (u) = ∫ a b f (x) ph (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \, dx), Qayerda ph (x) (\displaystyle \varphi (x))- tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi u (\displaystyle u), teng 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a))) Joylashuv yoqilgan [ a , b ] (\displaystyle).

Shunday qilib, kerakli integral quyidagicha ifodalanadi
∫ a b f (x) d x = (b - a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( u)).

Ammo tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi f (u) (\displaystyle f(u)) Ushbu tasodifiy o'zgaruvchini simulyatsiya qilish va namunaviy o'rtachani hisoblash orqali osongina taxmin qilish mumkin.

Shunday ekan, ketaylik N (\displaystyle N) nuqtalar teng taqsimlanadi [ a , b ] (\displaystyle), har bir nuqta uchun u men (\displaystyle u_(i)) hisoblash f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Keyin namunaviy o'rtachani hisoblaymiz: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

Natijada, biz integralning taxminiy qiymatini olamiz: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\taxminan (\frac (b-a)) (N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Baholashning to'g'riligi faqat ballar soniga bog'liq N (\displaystyle N).

Bu usul ham geometrik talqinga ega. Bu yuqorida tavsiflangan deterministik usulga juda o'xshaydi, farqi shundaki, biz integratsiya mintaqasini kichik oraliqlarga bir xilda bo'lish va hosil bo'lgan "ustunlar" maydonlarini yig'ish o'rniga, biz integratsiya mintaqasiga tasodifiy nuqtalarni tashlaymiz, ularning har birida biz bir xil "ustun" qurish, uning kengligi qanday aniqlash b − a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))), va ularning sohalarini jamlaydi.

Geometrik Monte-Karlo integratsiya algoritmi

Funksiya grafigi ostidagi maydonni aniqlash uchun siz quyidagi stokastik algoritmdan foydalanishingiz mumkin:

Integrallashuvchi funksiyaning oz sonli o'lchamlari uchun Monte-Karlo integratsiyasining ishlashi deterministik usullarning ishlashiga qaraganda ancha past bo'ladi. Biroq, ba'zi hollarda, funktsiya bilvosita ko'rsatilganda va murakkab tengsizliklar shaklida ko'rsatilgan mintaqani aniqlash zarur bo'lganda, stokastik usul ko'proq ma'qul bo'lishi mumkin.

Muhimlik namunalaridan foydalanish

Bir xil miqdordagi tasodifiy nuqtalar bilan, kerakli funktsiyani cheklovchi maydonni funktsiyaning o'ziga yaqinlashtirish orqali hisob-kitoblarning aniqligini oshirish mumkin. Buning uchun shakli integrallanayotgan funksiya shakliga imkon qadar yaqin bo'lgan taqsimotga ega tasodifiy o'zgaruvchilardan foydalanish kerak. Bu Monte-Karlo hisoblarida konvergentsiyani yaxshilash usullaridan birining asosidir: ahamiyatlilik namunasi.

Optimallashtirish

Optimallashtirish masalalarini yechishda Monte-Karlo usulining variatsiyalaridan foydalanish mumkin. Masalan, simulyatsiya qilingan tavlanish algoritmi.

Fizikada qo'llash

Kompyuter simulyatsiyasi zamonaviy fizikada muhim rol o'ynaydi va Monte Karlo usuli kvant fizikasidan qattiq jismlar fizikasi, plazma fizikasi va astrofizikagacha bo'lgan ko'plab sohalarda eng keng tarqalgan usullardan biridir.

Metropolis algoritmi

An'anaga ko'ra, termodinamik muvozanat holatida tizimlarning turli fizik parametrlarini aniqlash uchun Monte-Karlo usuli qo'llaniladi. Faraz qilaylik, fizik tizimning mumkin bo'lgan holatlari to'plami mavjud S (\displaystyle S). O'rtacha qiymatni aniqlash uchun A ¯ (\displaystyle (\overline (A))) ba'zi o'lcham A (\displaystyle A) hisoblash kerak A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), bu erda yig'ish barcha holatlar bo'yicha amalga oshiriladi S (\displaystyle S) dan W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- holat ehtimoli S (\displaystyle S).

Dinamik (kinetik) formula

To'g'ridan-to'g'ri Monte Karlo simulyatsiyasi

Har qanday jismoniy jarayonni to'g'ridan-to'g'ri Monte-Karlo modellashtirish jismoniy tizimning alohida elementar qismlarining xatti-harakatlarini modellashtirishni o'z ichiga oladi. Aslida, bu to'g'ridan-to'g'ri modellashtirish muammoni birinchi printsiplardan hal qilishga yaqin, ammo odatda hisob-kitoblarni tezlashtirish uchun ba'zi jismoniy yaqinliklardan foydalanishga ruxsat beriladi. Masalan, molekulyar dinamika usuli yordamida turli jarayonlarni hisoblash: bir tomondan, tizim uning elementar tarkibiy qismlarining xatti-harakatlari orqali tavsiflanadi, boshqa tomondan, ishlatiladigan o'zaro ta'sir potentsiali ko'pincha empirikdir.

To'g'ridan-to'g'ri Monte-Karlo simulyatsiyasiga misollar:

  • Ikkilik to'qnashuvning yaqinlashuvida qattiq jismlarning ionlar bilan nurlanishini modellashtirish.
  • Noyob gazlarning to'g'ridan-to'g'ri Monte-Karlo simulyatsiyasi.
  • Ko'pgina kinetik Monte-Karlo modellari to'g'ridan-to'g'ri (xususan, molekulyar nur epitaksisini o'rganish).

Kvant Monte-Karlo usuli

Monte-Karlo kvant usuli murakkab molekulalar va qattiq jismlarni o'rganishda keng qo'llaniladi. Bu nom bir necha xil usullarni birlashtiradi. Ulardan birinchisi variatsion Monte-Karlo usuli bo'lib, u asosan Shredinger tenglamasini yechishda yuzaga keladigan ko'p o'lchovli integrallarning sonli integrasiyasidir. 1000 ta elektron ishtirok etgan masalani yechish uchun 3000 oʻlchovli integrallarni olish kerak boʻladi va bunday masalalarni yechish uchun Monte-Karlo usuli boshqa sonli integrasiya usullariga nisbatan katta unumdorlikka ega. Monte-Karlo usulining yana bir varianti diffuziya Monte-Karlo usulidir.

5-ma'ruza.

Monte-Karlo usuli

3-mavzu. Iqtisodiy tizimlarda navbat jarayonlari

1. Kirish so‘zlari. 1

2. Monte-Karlo usulining umumiy sxemasi. 2

3. Monte-Karlo usuli yordamida navbat tizimini hisoblash misoli. 4

Test savollari... 5

1. Kirish so‘zlari

EHMda statistik modellashtirish usuli - ehtimollik nazariyasining chegaraviy teoremalaridan nazariy asos sifatida foydalanish, stokastik tizimlarning simulyatsiya modellari yordamida natijalarni olishning asosiy usuli. Buning asosi Monte-Karlo statistik test usuli hisoblanadi.

Monte-Karlo usulini tasodifiy o'zgaruvchilarni taqsimlash xususiyatlarini hisoblash uchun simulyatsiya qilish usuli sifatida aniqlash mumkin. Qoida tariqasida, modellashtirish elektron kompyuterlar (kompyuterlar) yordamida amalga oshiriladi, deb taxmin qilinadi, garchi ba'zi hollarda lenta o'lchovi, qalam va qog'oz kabi asboblar yordamida muvaffaqiyatga erishish mumkin.

"Monte-Karlo usuli" atamasi (J. von Neumann tomonidan kiritilgan va 1940-yillarda) tasodifiy sonlar generatori yordamida jarayonlarni simulyatsiya qilishni anglatadi. Monte-Karlo (o'zining kazinolari bilan mashhur shahar) atamasi birinchi yadroviy bombalarni yaratishda murakkab tenglamalarning integrallarini topish uchun "ko'rsatkichlar soni" (Monte-Karlo simulyatsiyasi texnikasi) ishlatilganligidan kelib chiqadi. kvant mexanikasi integrallari). Masalan, bir nechta taqsimotlardan tasodifiy sonlarning katta namunalarini yaratish orqali ushbu (murakkab) taqsimotlarning integrallarini (hosil qilingan) ma'lumotlardan taxminan aniqlash mumkin.


Taxminiy hisob-kitoblar sohasida tasodifiy hodisalardan foydalanish g'oyasining paydo bo'lishi odatda 1878 yilda, Xollning ishi parallel chiziqlar bilan belgilangan qog'ozga tasodifiy igna otish orqali p raqamlarini aniqlash bo'yicha paydo bo'lgan vaqtga to'g'ri keladi. Masalaning mohiyati, ehtimolligi p soni orqali ifodalanadigan hodisani eksperimental tarzda takrorlash va bu ehtimolni taxminan baholashdir.

Monte-Karlo usuli bo'yicha mahalliy ishlar yillar davomida paydo bo'ldi. Yigirma yil davomida Monte-Karlo usulidan foydalangan holda 2000 dan ortiq nomlarni o'z ichiga olgan keng qamrovli bibliografiya to'plangan. Bundan tashqari, hatto asarlar nomlariga tez qarash ham fan va texnikaning ko'plab sohalaridagi amaliy muammolarni hal qilishda Monte-Karlo usulining qo'llanilishi to'g'risida xulosa chiqarish imkonini beradi.

Dastlab, Monte-Karlo usuli asosan neytron fizikasi muammolarini hal qilish uchun ishlatilgan, bu erda an'anaviy raqamli usullar unchalik foydali bo'lmagan. Bundan tashqari, uning ta'siri statistik fizika muammolarining keng sinfiga tarqaldi, mazmunan juda farq qiladi. Monte-Karlo usuli tobora ko'proq qo'llaniladigan fan sohalariga navbat nazariyasi muammolari, o'yinlar nazariyasi va matematik iqtisod muammolari, interferensiya mavjud bo'lgan xabarlarni uzatish nazariyasi muammolari va boshqa bir qator masalalar kiradi.

Monte-Karlo usuli hisoblash matematikasi usulining rivojlanishiga (masalan, raqamli integratsiya usullarini ishlab chiqish) sezilarli ta'sir ko'rsatdi va ko'rsatmoqda va ko'plab muammolarni hal qilishda boshqa hisoblash usullari bilan muvaffaqiyatli birlashtiriladi va ularni to'ldiradi. . Uning qo'llanilishi, birinchi navbatda, ehtimollik-nazariy tavsifga imkon beradigan muammolarda oqlanadi. Bu ehtimoliy tarkibga ega bo'lgan masalalarda ma'lum bir ehtimollik bilan javob olishning tabiiyligi, ham hal qilish tartibini sezilarli darajada soddalashtirish bilan izohlanadi. Kompyuterda ma'lum bir muammoni hal qilish qiyinligi ko'p jihatdan uni mashinaning "tiliga" tarjima qilish qiyinligi bilan belgilanadi. Avtomatik dasturlash tillarini yaratish ushbu ishning bosqichlaridan birini sezilarli darajada soddalashtirdi. Shuning uchun hozirgi vaqtda eng qiyin bosqichlar: o'rganilayotgan hodisaning matematik tavsifi, masalani zarur soddalashtirish, mos keladigan raqamli usulni tanlash, uning xatosini o'rganish va algoritmni qayd etish. Muammoning ehtimollik-nazariy tavsifi mavjud bo'lgan hollarda, Monte-Karlo usulidan foydalanish ko'rsatilgan oraliq bosqichlarni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin. Biroq, bundan kelib chiqadigan bo'lsak, ko'p hollarda Monte-Karlo usulini qo'llash uchun ehtimollik modelini qurish (asl muammoni tasodifiy ajratish) qat'iy deterministik muammolar uchun ham foydalidir.

2. Monte-Karlo usulining umumiy sxemasi

Faraz qilaylik, qandaydir noma’lum miqdorni hisoblashimiz kerak va biz buni tasodifiy o‘zgaruvchini hisobga olib, uning matematik kutilishi M, = m bo‘lishini istaymiz. Ushbu tasodifiy miqdorning dispersiyasi D = b bo'lsin.

N ta tasodifiy mustaqil o'zgaruvchilarni ko'rib chiqamiz,,..., ularning taqsimlanishi ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimotiga to'g'ri keladi p..gif" width="247" height="48">

Oxirgi munosabat quyidagicha yozilishi mumkin

Olingan formula m ni hisoblash usulini va bu usulning xatosini baholashni beradi.

Monte-Karlo usulidan foydalanishning mohiyati ma'lum bir qaror qabul qilish vaqtida olingan statistik ma'lumotlarga asoslangan natijalarni aniqlashdir.

Masalan. E1 va E2 ba'zi tasodifiy jarayonning faqat ikkita mumkin bo'lgan amalga oshirilishi bo'lsin va p1 - E1 natijasining ehtimoli va p2 = 1 - p1 - E2 natijasining ehtimoli. Bu holda e1 yoki E2 ikkita hodisaning qaysi biri sodir bo'lishini aniqlash uchun biz (0, 1) oraliqda bir xil taqsimlangan 0 va 1 oralig'idagi tasodifiy sonni olamiz va sinovni o'tkazamiz. E1 natijasi agar bo'lsa, E2 natijasi aks holda yuzaga keladi.

Shunday qilib, Monte-Karlo usuli yordamida olingan natijalarning ishonchliligi tasodifiy sonlar generatorining sifati bilan qat'iy aniqlanadi.

Kompyuterda tasodifiy sonlarni olish uchun, odatda, ma'lum bir operatsiyani ko'p marta takrorlashga asoslangan avlod usullari qo'llaniladi. Shu tarzda olingan ketma-ketlikni psevdor tasodifiy raqamlar deb atashadi, chunki hosil qilingan ketma-ketlik davriydir va ma'lum bir daqiqadan boshlab raqamlar takrorlana boshlaydi. Bu kompyuter kodida faqat cheklangan miqdordagi turli raqamlarni yozish mumkinligidan kelib chiqadi. Natijada, hosil qilingan g1 sonlardan biri gL ketma-ketlikning oldingi a'zolaridan biriga to'g'ri keladi. Va nasl berish shakl formulasi bo'yicha amalga oshirilganligi sababli


gk+1 = F(gk),

shu daqiqadan boshlab ketma-ketlikning qolgan a'zolari takrorlanadi.

Bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlardan foydalanish Monte-Karlo simulyatsiyasining asosini tashkil qiladi. Aytishimiz mumkinki, agar Monte-Karlo usuli yordamida ma'lum bir tasodifiy miqdor aniqlangan bo'lsa, uni hisoblash uchun bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar ketma-ketligi ishlatilgan.

Bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar 0 dan 1 gacha bo'ladi va taqsimot funksiyasiga ko'ra tasodifiy tanlanadi

F(x) = Rr(X< х} = х, .

Ushbu taqsimot bilan tasodifiy o'zgaruvchining har qanday qiymatlarining (0, 1) oraliqda paydo bo'lishi bir xil darajada oqilona. Bu erda Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Tasodifiy sonlarni olishning asosiy usuli ularning modullarini yaratishdir. m, a, c, x0 shunday butun sonlar bo‘lsinki, m > x0 va a, c, x0 > 0. (xi) ketma-ketlikdan psevdotasodifiy xi soni takrorlanish munosabati yordamida olinadi.

xi = a xi-1 + c (mod m).

Yaratilgan raqamlarning stokastik xarakteristikalari qat'iy ravishda m, a va c ni tanlashga bog'liq. Ularning noto'g'ri tanlovi Monte-Karlo simulyatsiyalarida noto'g'ri natijalarga olib keladi.

Raqamli simulyatsiyalar ko'pincha ko'p sonli tasodifiy sonlarni talab qiladi. Shuning uchun hosil qilingan tasodifiy sonlar ketma-ketligi davri, undan keyin ketma-ketlik takrorlana boshlaydi, juda katta bo'lishi kerak. U modellashtirish uchun zarur bo'lgan tasodifiy sonlar sonidan sezilarli darajada ko'p bo'lishi kerak, aks holda olingan natijalar buziladi.

Ko'pgina kompyuterlar va dasturiy ta'minot paketlarida tasodifiy sonlar generatori mavjud. Biroq, aksariyat statistik testlar natijada tasodifiy sonlar o'rtasidagi korrelyatsiyani ko'rsatadi.

Har bir generatorni tekshirish uchun foydalanishingiz mumkin bo'lgan tezkor test mavjud. Tasodifiy sonlar generatorining sifati to'liq d o'lchovli panjarani to'ldirish orqali ko'rsatilishi mumkin (masalan, ikki yoki uch o'lchovli). Yaxshi generator giperkubning butun maydonini to'ldirishi kerak.

N ta tasodifiy sonlar xi taqsimotining bir xilligini tekshirishning yana bir taxminiy usuli ularning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblashdir. Ushbu mezonga ko'ra, bir xil taqsimlash uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Ketma-ket tasodifiy bo'lishini tekshirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ko'plab statistik testlar mavjud. Spektral mezon eng aniq deb hisoblanadi. Masalan, KS mezoni yoki Kolmogorov-Smirnov mezoni deb ataladigan juda keng tarqalgan mezon. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, masalan, Excel elektron jadvallaridagi tasodifiy sonlar generatori ushbu mezonga javob bermaydi.

Amalda, asosiy muammo oddiy va ishonchli tasodifiy sonlar generatorini yaratishdir, uni o'z dasturlaringizda ishlatishingiz mumkin. Buning uchun quyidagi tartib tavsiya etiladi.

Dasturning boshida butun X o'zgaruvchisiga ma'lum bir X0 qiymati beriladi. Keyin qoida bo'yicha tasodifiy sonlar hosil bo'ladi

X = (aX + c) mod m. (1)

Parametrlarni tanlash quyidagi asosiy tamoyillardan foydalangan holda amalga oshirilishi kerak.

1. X0 boshlang'ich raqami o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin. Agar dastur bir necha marta ishlatilsa va har safar tasodifiy sonlarning turli manbalarini talab qilsa, siz, masalan, X0 ga oldingi ishda oxirgi olingan X qiymatini belgilashingiz mumkin.

2. m soni katta bo'lishi kerak, masalan, 230 (chunki bu raqam yaratilgan psevdo-tasodifiy ketma-ketlikning davrini belgilaydi).

3.Agar m ikkining kuchi bo'lsa, shundaysini tanlang a mod8 = 5. Agar m o'nning kuchi bo'lsa, shunday tanlang a mod10 = 21. Ushbu tanlov tasodifiy sonlar generatori takrorlashni boshlashdan oldin barcha m mumkin bo'lgan qiymatlarni ishlab chiqarishini ta'minlaydi.

4.Ko‘paytuvchi A afzal tanlov 0,01 m dan 0,99 m gacha va uning ikkilik yoki o'nlik raqamlari oddiy muntazam tuzilishga ega bo'lmasligi kerak. Ko'paytiruvchi spektral mezondan va afzalroq, bir nechta boshqa mezonlardan o'tishi kerak.

5.Agar a yaxshi multiplikator bo'lsa, c qiymati muhim emas, bundan mustasno c m bilan umumiy multiplikatorga ega bo'lmasligi kerak, agar m kompyuter so'zi hajmi bo'lsa. Siz, masalan, c = 1 yoki c = a ni tanlashingiz mumkin.

6. Siz m/1000 dan ortiq bo'lmagan tasodifiy sonlarni yaratishingiz mumkin. Shundan so'ng, yangi sxema, masalan, yangi multiplikatordan foydalanish kerak A.

Ro'yxatda keltirilgan qoidalar asosan mashina dasturlash tiliga tegishli. C++ kabi yuqori darajadagi dasturlash tili uchun boshqa variant (1) tez-tez ishlatiladi: eng katta oson hisoblanuvchi butun songa yaqin bo'lgan m tub son tanlanadi, a qiymati antiderivativ ildizga teng qilib o'rnatiladi. m, c esa nolga teng deb qabul qilinadi. Masalan, siz olishingiz mumkin a= 48271 va t =

3. Monte-Karlo usuli yordamida navbat tizimini hisoblash misoli

Keling, eng oddiy navbat tizimini (QS) ko'rib chiqaylik, u n qatordan iborat (aks holda kanallar yoki xizmat ko'rsatish nuqtalari deb ataladi). Tasodifiy vaqtda tizimga arizalar qabul qilinadi. Har bir ariza 1-qator bo'yicha keladi. Agar Tk ko'rinishini olish vaqtida ushbu liniya bepul bo'lsa, ariza t3 vaqtida (liniya band bo'lgan vaqt) xizmat ko'rsatiladi. Agar chiziq band bo'lsa, so'rov bir zumda 2-qatorga o'tkaziladi va hokazo. Agar hozirda barcha n qator band bo'lsa, tizim rad etish haqida xabar beradi.

Tabiiy vazifa - bu tizimning samaradorligini baholash mumkin bo'lgan xususiyatlarini aniqlash: xizmat ko'rsatishni kutishning o'rtacha vaqti, tizimning ishlamay qolishi foizi, o'rtacha navbat uzunligi va boshqalar.

Bunday tizimlar uchun amalda yagona hisoblash usuli Monte-Karlo usuli hisoblanadi.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Algoritmlar kompyuterda tasodifiy sonlarni olish uchun ishlatiladi, shuning uchun mohiyatan deterministik bo'lgan bunday ketma-ketliklar psevdor tasodifiy deb ataladi. Kompyuter n-bitli sonlar bilan ishlaydi, shuning uchun (0,1) oraliqdagi yagona tasodifiy sonlarning uzluksiz yig'indisi o'rniga kompyuterda bir xil oraliqdagi 2n tasodifiy sonlarning diskret ketma-ketligi qo'llaniladi - taqsimot qonuni. bunday diskret ketma-ketlik kvazibir xil taqsimot deyiladi.

Ideal tasodifiy sonlar generatoriga qo'yiladigan talablar:

1. Ketma-ketlik bir xil taqsimlangan sonlardan iborat bo'lishi kerak.

2. Raqamlar mustaqil bo'lishi kerak.

3. Tasodifiy sonlar ketma-ketligi takrorlanishi kerak.

4. Ketma-ket takrorlanmaydigan raqamlarga ega bo'lishi kerak.

5. Ketma-ketliklarni minimal hisoblash resurslari bilan olish kerak.

Pseudo-tasodifiy raqamlar ketma-ketligini yaratish uchun kompyuter modellash amaliyotida eng katta qo'llanilishi quyidagi shakldagi algoritmlarda topilgan:

birinchi tartibli takrorlanuvchi munosabatlardir.

Masalan. x0 = 0,2152, (x0)2=0, x1 = 0,6311, (x1)2=0, x2=0,8287 va hokazo.

Bunday usullarning kamchiliklari ketma-ketlikdagi raqamlar o'rtasidagi korrelyatsiyaning mavjudligi va ba'zida tasodifiylik umuman yo'q, masalan:

x0 = 0,4500, (x0)2=0, x1 = 0,2500, (x1)2=0, x2=0,2500 va hokazo.

Pseudortasodifiy ketma-ketliklarni yaratish uchun kongruent protseduralar keng qo'llanila boshlandi.

Ikkita a va b butun soni m mos (taqqoslash mumkin) moduldir, bu yerda m butun son, agar a-b=km bo‘lgan k butun soni bo‘lsa.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Ko'pgina mos tasodifiy sonlarni yaratish protseduralari quyidagi formulaga asoslanadi:

manfiy bo'lmagan butun sonlar qayerda.

Ketma-ketlikning (Xi) butun sonlaridan foydalanib, (0,1) birlik oralig'idan (xi)=(Xi/M) ratsional sonlar ketma-ketligini qurishimiz mumkin.

Modellashtirishdan oldin foydalaniladigan tasodifiy sonlar generatorlari tasodifiy sonlar ketma-ketligining bir xilligi, stokastikligi va mustaqilligi uchun to'liq dastlabki sinovdan o'tishi kerak.

Tasodifiy sonlar ketma-ketligi sifatini oshirish usullari:

1. r tartibli takrorlanuvchi formulalardan foydalanish:

Ammo bu usuldan foydalanish raqamlarni olish uchun hisoblash resurslari narxining oshishiga olib keladi.

2. Perturbatsiya usuli:

.

5. Tizimlarga tasodifiy ta'sirlarni modellashtirish

1. Berilgan p ehtimollik bilan sodir bo'ladigan tasodifiy A hodisani amalga oshirish kerak. (0,1) oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning tanlangan xi qiymati tengsizlikni qanoatlantirish hodisasi sifatida A ni aniqlaymiz:

Keyin A hodisasining ehtimoli https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">, bo'ladi.

Bu holda test simulyatsiyasi tartibi xi tasodifiy sonlarini lr qiymatlari bilan ketma-ket taqqoslashdan iborat. Agar shart bajarilsa, test natijasi Am hodisasidir.

3. A va B mustaqil hodisalarni pA va pB yuzaga kelish ehtimoli bilan ko'rib chiqing. Bu holatda qo'shma sinovlarning mumkin bo'lgan natijalari pArB, (1-pA) pB, pA (1-pB), (1-pA) (1-pB) ehtimolliklari bilan AB hodisalari bo'ladi. Qo'shma testlarni simulyatsiya qilish uchun protseduraning ikkita variantidan foydalanish mumkin:

1-bandda muhokama qilingan tartibni izchil bajarish.

AB natijalaridan birini tegishli ehtimollar bilan qur'a bo'yicha aniqlash, ya'ni 2-bandda muhokama qilingan protsedura.

Birinchi variant ikkita xi raqamini va ikkita taqqoslashni talab qiladi. Ikkinchi variant bilan siz bitta xi raqamiga ega bo'lishingiz mumkin, ammo ko'proq taqqoslash talab qilinishi mumkin. Modellashtirish algoritmini tuzish va operatsiyalar sonini va kompyuter xotirasini tejash qulayligi nuqtai nazaridan birinchi variant afzalroqdir.

4. A va B hodisalar bog'liq va pA va pB ehtimolliklari bilan sodir bo'ladi. A hodisa sodir bo'lgan bo'lsa, B hodisaning yuzaga kelishining shartli ehtimolini pA(B) bilan belgilaymiz.

Nazorat savollari

1) Monte-Karlo usulini qanday aniqlash mumkin?

2) Monte-Karlo usulining amaliy ahamiyati.

3) Monte-Karlo usulining umumiy sxemasi.

4) Monte-Karlo usuli yordamida navbat tizimini hisoblash misoli.

5) Tasodifiy sonlarni hosil qilish usullari.

6) Ideal tasodifiy sonlar generatoriga qanday talablar qo'yiladi?

7) Tasodifiy sonlar ketma-ketligi sifatini oshirish usullari.

biz qabul qiladigan har qanday qarorning ajralmas qismidir. Biz doimo noaniqlik, noaniqlik va o'zgaruvchanlik bilan duch kelamiz. Axborotga misli ko'rilmagan holda ham, biz kelajakni aniq bashorat qila olmaymiz. Monte-Karlo simulyatsiyasi (shuningdek, Monte-Karlo usuli sifatida ham tanilgan) sizning qarorlaringizning barcha mumkin bo'lgan oqibatlarini ko'rib chiqish va xavf ta'sirini baholash imkonini beradi, bu sizga noaniqlik sharoitida yaxshiroq qaror qabul qilish imkonini beradi.

Monte-Karlo simulyatsiyasi nima?
Monte-Karlo simulyatsiyasi - bu xavfni miqdoriy tahlil va qaror qabul qilish jarayoniga kiritish uchun mo'ljallangan avtomatlashtirilgan matematik usul. Ushbu metodologiya moliya, loyihalarni boshqarish, energetika, ishlab chiqarish, muhandislik, ilmiy-tadqiqot, sug'urta, neft va gaz, transport va atrof-muhitni muhofaza qilish kabi turli sohalardagi mutaxassislar tomonidan qo'llaniladi.

Har safar keyingi harakatlar kursini tanlash jarayonida Monte-Karlo simulyatsiyasi qaror qabul qiluvchiga mumkin bo'lgan oqibatlarning butun majmuasini ko'rib chiqish va ularning yuzaga kelish ehtimolini baholash imkonini beradi. Ushbu usul spektrning qarama-qarshi uchlarida joylashgan imkoniyatlarni (hammasiga kirish va eng konservativ choralarni ko'rish natijalari), shuningdek, mo''tadil qarorlarning mumkin bo'lgan oqibatlarini ko'rsatadi.

Bu usul birinchi marta atom bombasini yaratishda ishtirok etgan olimlar tomonidan qo'llanilgan; u o'zining kazinolari bilan mashhur Monakodagi kurort Monte-Karlo sharafiga nomlangan. Ikkinchi jahon urushi davrida keng tarqalgan Monte-Karlo usuli barcha turdagi jismoniy va nazariy tizimlarni simulyatsiya qilish uchun qo'llanila boshlandi.

Sharhlarni ko'rish
Duglas Xabbard
Hubbard qaror tadqiqoti
Vaqt: 00:35 sek

"Monte-Karlo simulyatsiyasi noaniqlik sharoitida tanqidiy qarorlarni tahlil qilishning yagona usulidir."

Jon Chjao
Suncor energiyasi
Vaqt: 02:36 min

"Kapital xarajatlarni baholash uchun Monte-Karlo simulyatsiyalarini o'tkazish [Suncor'da] har qanday yirik loyiha uchun talabga aylandi."

Monte-Karlo simulyatsiyasi qanday amalga oshiriladi?
Monte-Karlo usuli doirasida xavf tahlili mumkin bo'lgan natijalar modellari yordamida amalga oshiriladi. Bunday modellarni yaratishda noaniqlik bilan tavsiflangan har qanday omil bir qator qiymatlar bilan almashtiriladi - ehtimollik taqsimoti. Keyin natijalar bir necha marta, har safar tasodifiy ehtimollik funksiyasi qiymatlarining boshqa to'plamidan foydalangan holda hisoblab chiqiladi. Ba'zan simulyatsiyani bajarish uchun noaniqliklar soniga va ular uchun belgilangan diapazonlarga qarab minglab yoki hatto o'n minglab qayta hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak bo'lishi mumkin. Monte-Karlo simulyatsiyasi mumkin bo'lgan oqibatlarning qiymatlarini taqsimlash imkonini beradi.

Ehtimollar taqsimotidan foydalanganda, o'zgaruvchilar turli xil oqibatlarning yuzaga kelishi ehtimoli bo'lishi mumkin. Ehtimollik taqsimoti risklarni tahlil qilish jarayonida o'zgaruvchilar noaniqligini tavsiflashning ancha real usuli hisoblanadi. Eng keng tarqalgan ehtimollik taqsimotlari quyida keltirilgan.

Oddiy taqsimot(yoki "Bauss egri chizig'i"). O'rtacha qiymatdan chetlanishni tavsiflash uchun foydalanuvchi o'rtacha yoki kutilgan qiymatni va standart og'ishni belgilaydi. O'rtada, o'rtacha yonida joylashgan qiymatlar eng yuqori ehtimollik bilan tavsiflanadi. Oddiy taqsimot nosimmetrikdir va ko'plab umumiy hodisalarni tasvirlaydi - masalan, odamlarning balandligi. Oddiy taqsimot bilan tavsiflangan o'zgaruvchilarga misollar inflyatsiya sur'atlarini va energiya narxlarini o'z ichiga oladi.

Lognormal taqsimot. Qiymatlar musbat qiyshiq va oddiy taqsimotdan farqli o'laroq, assimetrikdir. Ushbu taqsimot noldan pastga tushmaydigan, lekin cheksiz ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan miqdorlarni aks ettirish uchun ishlatiladi. Lognormal taqsimot bilan tavsiflangan o'zgaruvchilarga misollar ko'chmas mulk qiymati, aktsiya bahosi va neft zaxiralarini o'z ichiga oladi.

Yagona taqsimlash. Barcha miqdorlar teng ehtimollik bilan u yoki bu qiymatni olishi mumkin, foydalanuvchi minimal va maksimalni aniqlaydi. Bir xil taqsimlanishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilarga misollar ishlab chiqarish xarajatlari yoki yangi mahsulotni kelajakda sotishdan olingan daromadlarni o'z ichiga oladi.

Uchburchak taqsimoti. Foydalanuvchi minimal, ehtimol va maksimal qiymatlarni belgilaydi. Maksimal ehtimollik nuqtasi yaqinida joylashgan qiymatlar eng yuqori ehtimollikka ega. Uchburchak taqsimot bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilarga vaqt birligidagi tarixiy sotuvlar va inventar darajalari kiradi.

PERT taqsimoti. Foydalanuvchi minimal, ehtimol va maksimal qiymatlarni belgilaydi - uchburchak taqsimoti bilan bir xil. Maksimal ehtimollik nuqtasi yaqinida joylashgan qiymatlar eng yuqori ehtimollikka ega. Biroq, eng katta va ekstremal qiymatlar oralig'idagi qiymatlar uchburchak taqsimotga qaraganda ko'proq paydo bo'ladi, ya'ni ekstremal qiymatlarga urg'u berilmaydi. PERT taqsimotidan foydalanish misoli loyihani boshqarish modeli doirasidagi vazifaning davomiyligini tavsiflashdir.

Diskret taqsimot. Foydalanuvchi mumkin bo'lganlar orasidan ma'lum qiymatlarni, shuningdek ularning har birini olish ehtimolini aniqlaydi. Masalan, sud jarayonining natijasi bo'lishi mumkin: 20% ijobiy qaror, 30% salbiy qaror, 40% tomonlar o'rtasidagi kelishuv va 10% sud jarayonini bekor qilish imkoniyati.

Monte-Karlo simulyatsiyasida qiymatlar dastlabki ehtimollik taqsimotidan tasodifiy tanlanadi. Har bir qiymat namunasi iteratsiya deb ataladi; namunadan olingan natija qayd etiladi. Modellashtirish jarayonida ushbu protsedura yuzlab yoki minglab marta amalga oshiriladi va natijada yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlarning ehtimollik taqsimoti olinadi. Shunday qilib, Monte-Karlo simulyatsiyasi mumkin bo'lgan voqealar haqida to'liqroq tasavvur beradi. Bu nafaqat nima bo'lishi mumkinligini, balki bunday natijaning ehtimoli qanday ekanligini ham hukm qilish imkonini beradi.

Monte-Karlo simulyatsiyasi deterministik yoki nuqtali taxminiy tahlilga nisbatan bir qator afzalliklarga ega:

  • Ehtimoliy natijalar.Natijalar nafaqat mumkin bo'lgan hodisalarni, balki ularning paydo bo'lish ehtimolini ham ko'rsatadi.
  • Natijalarning grafik tasviri. Monte-Karlo usuli yordamida olingan ma'lumotlarning tabiati turli oqibatlarning grafiklarini, shuningdek, ularning paydo bo'lish ehtimolini yaratishga imkon beradi. Bu natijalarni boshqa manfaatdor tomonlarga etkazishda muhim ahamiyatga ega.
  • Sezuvchanlik tahlili. Bir nechta istisnolardan tashqari, deterministik tahlil qaysi o'zgaruvchan natijalarga ko'proq ta'sir qilishini aniqlashni qiyinlashtiradi. Monte-Karlo simulyatsiyasini ishga tushirganda, qaysi kirishlar yakuniy natijalarga eng katta ta'sir ko'rsatishini ko'rish oson.
  • Ssenariy tahlili. Deterministik modellarda turli xil kirish qiymatlari uchun miqdorlarning turli kombinatsiyalarini simulyatsiya qilish juda qiyin va shuning uchun haqiqatan ham turli stsenariylarning ta'sirini baholash. Monte-Karlo usulidan foydalangan holda, tahlilchilar qanday ma'lumotlar ma'lum qiymatlarga olib kelishini aniq aniqlashlari va ma'lum oqibatlarning yuzaga kelishini kuzatishlari mumkin. Bu keyingi tahlil qilish uchun juda muhimdir.
  • Manba ma'lumotlarining korrelyatsiyasi. Monte-Karlo usuli sizga kiritilgan o'zgaruvchilar orasidagi o'zaro bog'liq munosabatlarni modellashtirishga imkon beradi. Ishonchli ma'lumotga ega bo'lish uchun qaysi holatlarda ba'zi omillar ko'payganida, boshqalari mos ravishda ko'tarilishi yoki kamayishi haqida tasavvur qilish kerak.

Shuningdek, siz Monte-Karlo simulyatsiyasi natijalarini Lotin Hypercube usuli yordamida namuna olish orqali yaxshilashingiz mumkin, bu esa tarqatish funktsiyalarining barcha qatoridan aniqroq tanlanadi.

Palisade modellashtirish mahsulotlari
Monte-Karlo usulidan foydalanish
Shaxsiy kompyuterlarda elektron jadvallar bilan ishlashga mo'ljallangan ilovalarning paydo bo'lishi mutaxassislarga kundalik faoliyatda tahlil o'tkazishda Monte-Karlo usulidan foydalanish uchun keng imkoniyatlar ochdi. Microsoft Excel elektron jadvallarni tahlil qilishning eng keng tarqalgan vositalaridan biri bo'lib, dastur Palisade-ning Excel uchun asosiy plaginidir, bu sizga Monte-Karlo simulyatsiyalarini bajarish imkonini beradi. @RISK birinchi marta 1987 yilda DOS operatsion tizimida Lotus 1-2-3 uchun taqdim etilgan va darhol o'zining aniqligi, modellashtirish moslashuvchanligi va foydalanish qulayligi uchun ajoyib obro'ga ega bo'ldi. Microsoft Project ning paydo bo'lishi Monte-Karlo usulini qo'llash uchun boshqa mantiqiy dasturni yaratishga olib keldi. Uning asosiy vazifasi yirik loyihalarni boshqarish bilan bog'liq noaniqliklar va xavflarni tahlil qilish edi.

Statistik modellashtirish - bu berilgan ehtimollik zichligi bilan tasodifiy signallar to'plami bilan modelni sinab ko'rishni o'z ichiga olgan asosiy modellash usuli. Maqsad - chiqish natijalarini statistik aniqlash. Statistik modellashtirishga asoslanadi usuli Monte Karlo. Yodda tutaylik, taqlid qilish boshqa usullarni qo'llash mumkin bo'lmaganda qo'llaniladi.

Monte-Karlo usuli

Qiymati analitik yo'l bilan topilmaydigan integralni hisoblash misolida Monte-Karlo usulini ko'rib chiqamiz.

1-topshiriq. Integralning qiymatini toping:

Shaklda. 1.1 funksiyaning grafigini ko'rsatadi f (x). Bu funktsiyaning integralining qiymatini hisoblash bu grafik ostidagi maydonni topishni anglatadi.

Guruch. 1.1

Biz egri chiziqni yuqoridan, o'ngga va chapga cheklaymiz. Qidiruv to'rtburchakda nuqtalarni tasodifiy taqsimlaymiz. bilan belgilaymiz N 1 sinov uchun qabul qilingan ballar soni (ya'ni, to'rtburchaklar ichiga tushib, bu nuqtalar 1.1-rasmda qizil va ko'k rangda ko'rsatilgan) va orqali N 2 - egri chiziq ostidagi nuqtalar soni, ya'ni funksiya ostidagi soyali maydonga tushish (bu nuqtalar 1.1-rasmda qizil rangda ko'rsatilgan). Keyin umumiy nuqtalar soniga nisbatan egri chiziq ostiga tushadigan nuqtalar soni sinov to'rtburchaklar maydoniga nisbatan egri chiziq ostidagi maydonga (integralning qiymati) proportsional deb taxmin qilish tabiiydir. Matematik jihatdan buni quyidagicha ifodalash mumkin:

Bu mulohazalar, shubhasiz, statistikdir va qanchalik to'g'ri bo'lsa, shuncha ko'p test nuqtalarini olamiz.

Monte-Karlo usuli algoritmining blok diagrammasi ko'rinishidagi qismi rasmda ko'rsatilganidek ko'rinadi. 1.2

Guruch. 1.2

Qiymatlar r 1 va r 2-rasmda. 1.2 oraliqlardan bir tekis taqsimlangan tasodifiy sonlar ( x 1 ; x 2) va ( c 1 ; c 2) mos ravishda.

Monte-Karlo usuli juda samarali va sodda, ammo "yaxshi" tasodifiy sonlar generatorini talab qiladi. Usulni qo'llashdagi ikkinchi muammo - bu tanlama hajmini, ya'ni berilgan aniqlik bilan yechimni ta'minlash uchun zarur bo'lgan nuqtalar sonini aniqlash. Tajribalar shuni ko'rsatadiki, aniqlikni 10 barobar oshirish uchun namuna hajmini 100 barobar oshirish kerak; ya'ni aniqlik namuna hajmining kvadrat ildiziga taxminan proportsionaldir:

Tasodifiy parametrli tizimlarni o'rganishda Monte-Karlo usulidan foydalanish sxemasi

Tasodifiy parametrlarga ega tizim modelini qurgandan so'ng, rasmda ko'rsatilganidek, tasodifiy sonlar generatoridan (RNG) kirish signallari uning kirishiga etkazib beriladi. 1.3 RNG ishlab chiqaradigan tarzda ishlab chiqilgan teng ravishda tarqatilgan tasodifiy raqamlar r intervaldan pp. Ba'zi hodisalar ehtimoli ko'proq bo'lishi mumkinligi sababli, boshqalari kamroq ehtimolli, bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar generatordan tasodifiy sonlar qonuni konvertori (RLC) ga beriladi, bu ularni o'zgartiradi. berilgan ehtimollik taqsimot qonunining foydalanuvchisi, masalan, normal yoki eksponensial qonun. Bu tasodifiy sonlarni aylantirdi x model kiritishiga beriladi. Model kirish signalini qayta ishlaydi x ba'zi qonunlarga ko'ra y = ts (x) va chiqish signalini qabul qiladi y, bu ham tasodifiy.

statistik modellashtirish tasodifiy o'zgaruvchilar


Guruch. 1.3

Filtrlar va hisoblagichlar statistikani to'plash blokiga (BNStat) o'rnatilgan. Filtr (ba'zi mantiqiy shart) qiymat bo'yicha aniqlanadi y, ma'lum bir hodisa muayyan tajribada amalga oshirilganmi (shart bajarilganmi, f= 1) yoki yo'q (shart bajarilmagan, f= 0). Agar hodisa ro'y bersa, hodisa hisoblagichi bittaga oshiriladi. Agar voqea amalga oshmasa, hisoblagich qiymati o'zgarmaydi. Agar siz turli xil hodisalarni kuzatishingiz kerak bo'lsa, statistik modellashtirish uchun sizga bir nechta filtrlar va hisoblagichlar kerak bo'ladi. N i. Tajribalar sonining hisoblagichi doimo saqlanadi - N.

Keyingi munosabat N i Kimga N, Monte-Karlo usulidan foydalangan holda statistik xususiyatlarni (BVSH) hisoblash uchun blokda hisoblangan, ehtimollik taxminini beradi. p i hodisaning yuzaga kelishi i, ya'ni bir qatorda uning paydo bo'lish chastotasini ko'rsatadi N tajribalar. Bu bizga modellashtirilgan ob'ektning statistik xususiyatlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi.

Masalan, 50 marta o'tkazilgan 200 ta tajriba natijasida A hodisasi sodir bo'ldi. Bu, Monte-Karlo usuliga ko'ra, voqea sodir bo'lish ehtimoli: p A = 50/200 = 0,25. Hodisa sodir bo'lmasligi ehtimoli mos ravishda 1 - 0,25 = 0,75 ga teng.

Iltimos, toʻlang diqqat: ular eksperimental ravishda olingan ehtimollik haqida gapirganda, u chastota deb ataladi; ehtimollik so'zi nazariy tushuncha haqida gapirayotganimizni ta'kidlamoqchi bo'lganlarida ishlatiladi.

Ko'p sonli tajribalar bilan N eksperimental yo'l bilan olingan hodisaning sodir bo'lish chastotasi, hodisaning yuzaga kelishining nazariy ehtimolligi qiymatiga intiladi.

Ishonchlilikni baholash blokida (RAB) modeldan olingan statistik eksperimental ma'lumotlarning ishonchlilik darajasi tahlil qilinadi (natijaning aniqligini hisobga olgan holda). e, foydalanuvchi tomonidan ko'rsatilgan) va buning uchun zarur bo'lgan statistik testlar sonini aniqlang. Agar hodisalarning paydo bo'lish chastotasi qiymatlarining nazariy ehtimolga nisbatan tebranishlari belgilangan aniqlikdan kam bo'lsa, javob sifatida eksperimental chastota olinadi, aks holda tasodifiy kirish ta'sirini yaratish davom etadi va modellashtirish jarayoni davom etadi. takrorlanadi. Kam miqdordagi testlar bilan natija ishonchsiz bo'lishi mumkin. Ammo markaziy chegara teoremasiga ko'ra, qanchalik ko'p testlar bo'lsa, javob shunchalik aniq bo'ladi.

E'tibor bering, baholash eng yomon chastota yordamida amalga oshiriladi. Bu bir vaqtning o'zida modelning barcha o'lchangan xususiyatlari uchun ishonchli natijalarni beradi.

Misol 1. Keling, oddiy masalani yechaylik. Tasodifiy balandlikdan tushgan tanganing yuqoriga tushishi ehtimoli qanday?

Keling, tanga tashlashni va har bir otish natijalarini yozishni boshlaylik (1.1-jadvalga qarang).

1.1-jadval.

Tanga otish sinovi natijalari


Biz boshlarning chastotasini boshlar sonining kuzatuvlarning umumiy soniga nisbati sifatida hisoblaymiz. Jadvalga qarang. uchun 1.1 holatlar N = 1, N = 2, N= 3 - dastlab chastota qiymatlarini ishonchli deb atash mumkin emas. Keling, qaramlik grafigini qurishga harakat qilaylik P o dan N- va keling, bajarilgan tajribalar soniga qarab boshlarning chastotasi qanday o'zgarishini ko'rib chiqaylik. Albatta, turli tajribalar turli jadvallarni va shuning uchun turli xil grafiklarni ishlab chiqaradi. Shaklda. 1.4 variantlardan birini ko'rsatadi.


Guruch. 1.4

Keling, ba'zi xulosalar chiqaraylik.

  • 1. Ko'rish mumkinki, kichik qiymatlarda N, Masalan, N = 1, N = 2, N= 3 Javobga umuman ishonib bo'lmaydi. Masalan, P o = 0 da N= 1, ya'ni bir otishda boshni olish ehtimoli nolga teng! Garchi bu unchalik emasligini hamma yaxshi biladi. Ya'ni, hozirgacha juda qo'pol javob oldik. Biroq, grafikaga qarang: davom etmoqda tejash ma'lumot bo'lsa, javob asta-sekin, lekin shubhasiz to'g'ri javobga yaqinlashmoqda (u nuqta chiziq bilan ta'kidlangan). Yaxshiyamki, bu alohida holatda biz to'g'ri javobni bilamiz: ideal holda, boshni olish ehtimoli 0,5 ga teng (boshqa, murakkabroq masalalarda javob, albatta, bizga noma'lum bo'ladi). Keling, javobni aniq bilishimiz kerak deb faraz qilaylik e= 0,1. To'g'ri javobdan 0,5 dan 0,1 masofaga ajratilgan ikkita parallel chiziq chizamiz (1.4-rasmga qarang). Olingan koridorning kengligi 0,2 bo'ladi. Egrilik bilanoq P O ( N) bu koridorga u hech qachon undan chiqmaydigan tarzda kiradi, siz to'xtab, qanday qiymatga ega bo'lishingizni ko'rishingiz mumkin N sodir bo'ldi. Bu shunday eksperimental tarzda hisoblangan tanqidiy ma'nosi kerakli miqdordagi tajribalar N javobni aniq aniqlash uchun kr e e = 0.1; e- bizning fikrimizdagi mahalla o'ziga xos aniq naycha rolini o'ynaydi. E'tibor bering, javoblar P u (91), P o (92) va boshqalar endi o'z qiymatlarini ko'p o'zgartirmaydi (1.4-rasmga qarang); hech bo'lmaganda muammoning shartlariga ko'ra ishonishimiz shart bo'lgan kasrdan keyingi birinchi raqam o'zgarmaydi.
  • 2. Egri chiziqning bunday xatti-harakatining sababi harakatdir markaziy yakuniy teoremalar. Hozircha biz uni eng oddiy versiyada shakllantiramiz: "Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi tasodifiy bo'lmagan miqdordir." Biz o'rtacha qiymatdan foydalandik P o, tajribalar yig'indisi haqida ma'lumotni olib yuradi va shuning uchun asta-sekin bu qiymat tobora ishonchli bo'ladi.
  • 3. Agar siz ushbu tajribani boshidan yana takrorlasangiz, unda, albatta, uning natijasi boshqa turdagi tasodifiy egri chiziq bo'ladi. Va javob boshqacha bo'ladi, garchi taxminan bir xil. Keling, bunday tajribalarning butun seriyasini o'tkazamiz (1.5-rasmga qarang). Bunday turkum realizatsiyalar ansambli deb ataladi. Oxir oqibat qaysi javobga ishonishingiz kerak? Axir, ular yaqin bo'lsa-da, ular hali ham farq qiladi. Amalda ular boshqacha harakat qilishadi. Birinchi variant - bir nechta ilovalar bo'yicha javoblarning o'rtacha qiymatini hisoblash (1.2-jadvalga qarang).

Guruch. 1.5

Biz bir nechta tajribalar o'rnatdik va har safar qancha tajriba o'tkazish kerakligini aniqladik, ya'ni N cr e. 10 ta tajriba o'tkazildi, natijalari jadvalda umumlashtirildi. 1.2 10 ta tajriba natijalariga ko'ra o'rtacha qiymat hisoblab chiqildi N cr e.

1.2-jadval.

Aniqlikka erishish uchun kerakli miqdordagi tangalar bo'yicha eksperimental ma'lumotlar e

Shunday qilib, turli uzunlikdagi 10 ta amaliyotni amalga oshirganimizdan so'ng, biz bu etarli ekanligini aniqladik V o'rtacha 94 tanga otish uzunligi bilan 1 ta realizatsiya qilish mumkin edi.

Yana bir muhim fakt. 21.5-rasmdagi grafikni diqqat bilan ko'rib chiqing.Unda 100 ta realizatsiya - 100 ta qizil chiziq ko'rsatilgan. Undagi abscissani belgilang N= 94 vertikal chiziq. Qizil chiziqlarning ma'lum foizi bor, ular kesib o'tishga ulgurmagan e-mahalla, ya'ni ( P Exp - e ? P nazariya? P exp + e) va koridorga aynan shu paytgacha kiring N= 94. E'tibor bering, shunday 5 ta satr mavjud.Bu 100 tadan 95 tasi, ya'ni 95% chiziq belgilangan intervalga ishonchli tarzda kirganligini bildiradi.

Shunday qilib, 100 ta amaliyotni amalga oshirganimizdan so'ng, biz boshlarning eksperimental ravishda olingan ehtimoliga taxminan 95% ishonchga erishdik va uni 0,1 aniqlik bilan aniqladik.

Olingan natijani solishtirish uchun nazariy qiymatni hisoblaymiz N kr t nazariy jihatdan. Biroq, buning uchun biz ishonch ehtimoli tushunchasini kiritishimiz kerak bo'ladi Q F, bu javobga ishonishga qanchalik tayyor ekanligimizni ko'rsatadi.

Masalan, qachon Q F= 0,95 100 tadan 95% hollarda javobga ishonishga tayyormiz. Bu shunday ko'rinadi: N cr t = k (Q F) · p· (1 - p) /e 2 qaerda k (Q F) - Laplas koeffitsienti, p- boshni olish ehtimoli, e- aniqlik (ishonch oralig'i). Jadvalda 1.3 har xil uchun zarur bo'lgan tajribalar sonining nazariy qiymatining qiymatlarini ko'rsatadi Q F(aniqlik uchun e= 0,1 va ehtimollik p = 0.5).

1.3-jadval.

Aniqlikka erishish uchun kerakli miqdordagi tangalarni o'girishni nazariy hisoblash e Boshlarni olish ehtimolini hisoblashda = 0,1


Ko'rib turganingizdek, biz 94 ta tajribaga teng bo'lgan amalga oshirish davomiyligi bo'yicha olingan taxminiy nazariyaga juda yaqin, ya'ni 96 ga teng. aniq hisoblash N cr e. Agar siz ko'proq ishonishingiz kerak bo'lgan natijaga erishmoqchi bo'lsangiz, ishonch qiymatini o'zgartiring. Misol uchun, nazariya bizga aytadiki, agar 167 ta tajriba mavjud bo'lsa, unda ansambldan faqat 1-2 satr tavsiya etilgan aniqlik trubasiga kiritilmaydi. Ammo shuni yodda tutingki, tajribalar soni ortib borayotgan aniqlik va ishonchlilik bilan juda tez ortadi.

Amalda qo'llaniladigan ikkinchi variant - amalga oshirish bitta amalga oshirish va kattalashtirish; ko'paytirish qabul qildi Uchun uni N cr uh V 2 marta. Bu javobning to'g'riligining yaxshi kafolati hisoblanadi (1.6-rasmga qarang).


Guruch. 1.6. "Ikkiga ko'paytirish" qoidasi yordamida N cr e ni eksperimental aniqlashning tasviri

Agar siz diqqat bilan qarasangiz ansambl tasodifiy amalga oshirishlar, u holda chastotaning nazariy ehtimollik qiymatiga yaqinlashishi tajribalar soniga teskari kvadratik bog'liqlikka mos keladigan egri chiziq bo'ylab sodir bo'lishini topishimiz mumkin (1.7-rasmga qarang).


Guruch. 1.7

Bu aslida nazariy jihatdan shunday ishlaydi. Belgilangan aniqlikni o'zgartirsangiz e va ularning har birini ta'minlash uchun zarur bo'lgan tajribalar sonini ko'rib chiqing, siz jadval olasiz. 1.4

1.4-jadval.

Berilgan aniqlikni ta'minlash uchun zarur bo'lgan tajribalar sonining nazariy bog'liqligi Q F = 0.95


Keling, jadvalga muvofiq quramiz. 1.4 bog'liqlik grafigi N crt ( e) (1.8-rasmga qarang).

Guruch. 1.8 Berilgan aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan tajribalar sonining qat'iy Q F = 0,95 ga bog'liqligi e

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan grafikalar yuqoridagi bahoni tasdiqlaydi:

E'tibor bering, bir nechta aniqlik taxminlari bo'lishi mumkin.

2-misol. Monte-Karlo usuli yordamida figuraning maydonini topish. Monte-Karlo usulidan foydalanib, burchak koordinatalari (0, 0), (0.10), (5, 20), (10,10), (7, 0) bo'lgan beshburchakning maydonini aniqlang.

Keling, berilgan beshburchakni ikki o'lchovli koordinatalarda chizamiz, uni to'rtburchak ichiga yozamiz, uning maydoni, siz taxmin qilganingizdek, (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (1.9-rasmga qarang).

Guruch. 1.9

Raqamlar juftligini yaratish uchun tasodifiy sonlar jadvalidan foydalanish R, G, 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda bir xilda taqsimlangan. Raqam R X (0 ? X? 10), shuning uchun X= 10 · R. Raqam G koordinatani simulyatsiya qiladi Y (0 ? Y? 20), shuning uchun Y= 20 · G. Keling, 10 ta raqam hosil qilaylik R Va G va 10 ballni ko'rsatish ( X; Y) rasmda. 1.9 va jadvalda. 1.5

1.5-jadval.

Monte-Karlo usuli yordamida masalani yechish


Statistik gipoteza shundan iboratki, raqam konturiga kiritilgan nuqtalar soni rasmning maydoniga mutanosibdir: 6: 10 = S: 200. Ya'ni Monte-Karlo usuli formulasiga ko'ra, maydonni topamiz S beshburchak teng: 200 · 6/10 = 120.

Keling, qiymat qanday o'zgarganini ko'rib chiqaylik S tajribadan tajribaga (1.6-jadvalga qarang).

1.6-jadval.

Javob aniqligini baholash

Javobdagi ikkinchi raqamning qiymati hali ham o'zgarganligi sababli, mumkin bo'lgan noaniqlik hali ham 10% dan ortiq. Hisoblashning aniqligi testlar sonining ko'payishi bilan oshirilishi mumkin (1.10-rasmga qarang).

Guruch. 1.10 Nazariy natijaga eksperimental tarzda aniqlangan javobning yaqinlashish jarayonining tasviri

Ma’ruza 2. Tasodifiy sonlar generatorlari

Monte-Karlo usuli (1-ma'ruzaga qarang. Statistik modellashtirish) tasodifiy sonlarni yaratishga asoslangan bo'lib, ular (0;1) oraliqda bir xil taqsimlanishi kerak.

Agar generator intervalning ma'lum bir qismiga o'tkaziladigan raqamlarni ishlab chiqarsa (ba'zi raqamlar boshqalarga qaraganda tez-tez paydo bo'ladi), u holda statistik usul bilan hal qilingan masalani hal qilish natijasi noto'g'ri bo'lishi mumkin. Shuning uchun, haqiqatan ham tasodifiy va haqiqatan ham bir xil taqsimlangan raqamlarning yaxshi generatoridan foydalanish muammosi juda keskin.

Kutilgan qiymat m r va dispersiya D r dan iborat bunday ketma-ketlik n tasodifiy raqamlar r i, quyidagicha bo'lishi kerak (agar ular haqiqatan ham 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar bo'lsa):

Agar foydalanuvchi tasodifiy raqamga muhtoj bo'lsa x oraliqda edi ( a; b), (0) dan farq qiladi;

  • 1), siz formuladan foydalanishingiz kerak x = a + (b - a) · r, Qayerda r- intervaldan tasodifiy son (0;
  • 1). Ushbu o'zgartirishning qonuniyligi rasmda ko'rsatilgan. 2.1

Guruch. 2.1

1) intervalda (a; b)

Hozir x- oralig'ida bir xil taqsimlangan tasodifiy son a oldin b.

Orqada tasodifiy sonlar generatori standarti(RNG) hosil qiluvchi generator qabul qilinadi keyingi ketma-ketlik bilan tasodifiy sonlar forma intervalda taqsimot qonuni (0;

  • 1). Bitta qo'ng'iroq uchun bu generator bitta tasodifiy raqamni qaytaradi. Agar siz bunday RNGni etarlicha uzoq vaqt kuzatsangiz, masalan, o'nta intervalning har birida (0; 0,1), (0,1; 0,2), (0,2; 0,3), ..., (0,9) bo'ladi. ;
  • 1) deyarli bir xil miqdordagi tasodifiy sonlar bo'ladi - ya'ni ular butun interval bo'ylab teng taqsimlanadi (0;
  • 1). Agar grafikda ko'rsatilgan bo'lsa k= 10 interval va chastotalar N i ularni ursa, siz tasodifiy sonlarning eksperimental taqsimot zichligi egri chizig'ini olasiz (2.2-rasmga qarang).

Guruch. 2.2

E'tibor bering, ideal holda tasodifiy sonlarni taqsimlash zichligi egri rasmda ko'rsatilgandek ko'rinadi. 2.3. Ya'ni, ideal holda, har bir intervalda bir xil miqdordagi nuqtalar mavjud: N i = N/k, Qayerda N- umumiy ballar soni, k- intervallar soni, i = 1, …, k.


Guruch. 2.3

Shuni esda tutish kerakki, ixtiyoriy tasodifiy sonni yaratish ikki bosqichdan iborat:

  • · normallashtirilgan tasodifiy sonni yaratish (ya'ni 0 dan 1 gacha bir xil taqsimlangan);
  • · normallashtirilgan tasodifiy sonlarni o'zgartirish r i tasodifiy raqamlarga x i, ular foydalanuvchi tomonidan talab qilinadigan (o'zboshimchalik) tarqatish qonuniga muvofiq yoki kerakli oraliqda taqsimlanadi.

Raqamlarni olish usuliga ko'ra tasodifiy sonlar generatorlari quyidagilarga bo'linadi:

  • · jismoniy;
  • · jadvalli;
  • · algoritmik.

Yaqinda men Duglas Xabbardning ajoyib kitobini o'qidim. Kitobning qisqacha konspektida men bo'limlardan biriga alohida eslatma bag'ishlashga va'da berdim - Risklarni baholash: Monte-Karlo simulyatsiyasiga kirish. Ha, hamma narsa qandaydir tarzda amalga oshmadi. Va yaqinda men valyuta risklarini boshqarish usullarini diqqat bilan o'rgana boshladim. Ushbu mavzuga bag'ishlangan materiallarda Monte-Karlo simulyatsiyasi ko'pincha tilga olinadi. Shunday qilib, va'da qilingan material sizning oldingizda.

Men hech qachon u bilan hech qachon ishlamagan, lekin Excel elektron jadvallaridan foydalanishni tushunadiganlar uchun Monte Karlo simulyatsiyasining oddiy misolini keltiraman.

Aytaylik, siz yangi mashina ijaraga olmoqchisiz. Mashinaning yillik ijara narxi 400 000 dollarni tashkil etadi va shartnoma bir necha yilga imzolanishi kerak. Shuning uchun, agar siz yetib bormagan bo'lsangiz ham, siz hali ham mashinani darhol qaytarib bera olmaysiz. Siz zamonaviy asbob-uskunalar mehnat xarajatlari va xom ashyo va materiallar tannarxini tejaydi, deb o‘ylab, shartnoma tuzmoqchisiz, yangi mashinaning moddiy-texnik ta’minoti ham arzonlashadi, deb o‘ylaysiz.

Eslatmani formatda yuklab oling, misollar formatda

Sizning kalibrlangan hisoblagichlaringiz kutilayotgan tejash va yillik ishlab chiqarishning quyidagi diapazonlarini berdi:

Yillik jamg'armalar quyidagicha bo'ladi: (MS + LS + RMS) x PL

Albatta, bu misol real bo'lish uchun juda oddiy. Ishlab chiqarish hajmi har yili o'zgarib turadi, ishchilar yangi mashinani o'zlashtirganda, ba'zi xarajatlar kamayadi va hokazo. Ammo bu misolda biz oddiylik uchun ataylab realizmni qurbon qildik.

Har bir qiymat oralig'ining medianasini (o'rtacha) oladigan bo'lsak, biz yillik tejashni olamiz: (15 + 3 + 6) x 25 000 = 600 000 (dollar)

Ko'rinishidan, biz nafaqat muvozanatni buzdik, balki biroz daromad oldik, lekin unutmangki, noaniqliklar mavjud. Ushbu investitsiyalarning xavfliligini qanday baholash mumkin? Keling, avvalo, ushbu kontekstda xavf nima ekanligini aniqlaylik. Xavfni olish uchun biz kelajakdagi natijalarni ularning noaniqliklari bilan, ba'zilari esa miqdoriy zarar ko'rish ehtimoli bilan tavsiflashimiz kerak. Xavfni ko'rib chiqishning usullaridan biri - biz buzilmasligimiz ehtimolini tasavvur qilishdir, ya'ni bizning jamg'armalarimiz mashina lizingining yillik narxidan kamroq bo'ladi. Qanchalik ko'p ijara xarajatlarimizni qoplay olmasak, shuncha ko'p yo'qotamiz. 600 000 dollar. intervalning medianasi hisoblanadi. Haqiqiy qiymat diapazonini qanday aniqlash va undan zararsizlanish nuqtasiga erisha olmasligimiz ehtimolini qanday hisoblash mumkin?

Aniq ma'lumotlar mavjud emasligi sababli, biz kerakli tejashga erisha olamizmi degan savolga javob berish uchun oddiy hisob-kitoblarni amalga oshirib bo'lmaydi. Muayyan sharoitlarda dastlabki ma'lumotlar qiymatlari oralig'idan olingan parametr qiymatlari diapazonini topishga imkon beradigan usullar mavjud, ammo ko'pgina real hayot muammolari uchun bunday shartlar, qoida tariqasida, bajariladi. mavjud emas. Har xil turdagi taqsimotlarni yig'ish va ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, muammo odatda matematiklar hal qilib bo'lmaydigan yoki oddiy matematik usullar bilan hal etilmaydigan muammoga aylanadi. Shuning o'rniga biz kompyuterlarning paydo bo'lishi bilan mumkin bo'lgan mumkin bo'lgan variantlarni to'g'ridan-to'g'ri tanlash usulidan foydalanamiz. Mavjud oraliqlardan biz tasodifiy boshlang'ich parametrlarning aniq qiymatlari to'plamini (minglab) tanlaymiz va kerakli ko'rsatkichning aniq qiymatlari to'plamini hisoblaymiz.

Monte-Karlo simulyatsiyasi bu kabi muammolarni hal qilishning ajoyib usuli. Biz shunchaki belgilangan oraliqlarda tasodifiy qiymatlarni tanlashimiz, yillik tejashni hisoblash va umumiy miqdorni hisoblash uchun ularni formulaga almashtirishimiz kerak. Ba'zi natijalar bizning hisoblangan o'rtacha 600 000 dollardan yuqori bo'ladi, boshqalari esa pastroq bo'ladi. Ba'zilar hatto 400 000 dollardan ham past bo'ladi.

Monte-Karlo simulyatsiyasini Excel yordamida shaxsiy kompyuterda osongina ishga tushirishingiz mumkin, ammo bu 90% ishonch oralig'idan bir oz ko'proq ma'lumot talab qiladi. Tarqatish egri chizig'ining shaklini bilish kerak. Turli miqdorlar uchun bir shakldagi egri chiziqlar boshqalarga qaraganda ko'proq mos keladi. 90% ishonch oralig'i bo'lsa, odatda normal (Gauss) taqsimot egri chizig'i ishlatiladi. Bu tanish qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziq bo'lib, unda eng mumkin bo'lgan natijalar qiymatlari grafikning markaziy qismida to'plangan va faqat bir nechta, ehtimol kamroq bo'lganlar, uning chekkalariga to'g'ri keladigan tarzda taqsimlangan (1-rasm).

Oddiy taqsimot shunday ko'rinadi:

1-rasm. Oddiy taqsimot. Abscissa o'qi - sigma soni.

Xususiyatlari:

  • grafikning markaziy qismida joylashgan qiymatlar uning chetidagi qiymatlarga qaraganda ko'proq bo'ladi;
  • taqsimot nosimmetrikdir; mediana 90% ishonch oralig'ining (CI) yuqori va pastki chegaralari o'rtasida to'liq yarmi;
  • grafikning "dumlari" cheksizdir; 90% ishonch oralig'idan tashqaridagi qiymatlar dargumon, ammo baribir mumkin.

Excelda normal taqsimotni yaratish uchun siz =NORMIDIST(X; Average; Standard_deviation; Integral) funksiyasidan foydalanishingiz mumkin, bunda
X – normal taqsimot tuzilgan qiymat;
O'rtacha - taqsimotning o'rtacha arifmetik qiymati; bizning holatlarimizda = 0;
Standard_deviation – taqsimotning standart og'ishi; bizning holatlarimizda = 1;
Integral - funktsiya shaklini aniqlaydigan mantiqiy qiymat; agar kümülatif TRUE bo'lsa, NORMDIST kümülatif taqsimot funksiyasini qaytaradi; agar bu argument FALSE bo'lsa, zichlik funksiyasi qaytariladi; bizning holatlarimizda = FALSE.

Oddiy taqsimot haqida gapirganda, standart og'ish kabi tegishli tushunchani eslatib o'tish kerak. Shubhasiz, hamma ham bu nima ekanligini intuitiv tushuna olmaydi, lekin standart og'ish 90% ishonch oralig'idan hisoblangan raqam bilan almashtirilishi mumkinligi sababli (ko'pchilik buni intuitiv ravishda tushunadi), men bu erda bu haqda batafsil gapirmayman. 1-rasmda bitta 90% ishonch oralig'ida 3,29 standart og'ish mavjudligi ko'rsatilgan, shuning uchun biz faqat konvertatsiya qilishimiz kerak.

Bizning holatda, har bir qiymat oralig'i uchun elektron jadvalda tasodifiy sonlar generatorini yaratishimiz kerak. Keling, masalan, MS - moddiy-texnik xizmatlarni tejash bilan boshlaylik. Excel formulasidan foydalanamiz: =NORMINV (ehtimollik, o'rtacha, standart_burilish), bu erda
Ehtimollik - normal taqsimotga mos keladigan ehtimollik;
O'rtacha - taqsimotning o'rtacha arifmetik qiymati;
Standard_deviation - taqsimotning standart og'ishi.

Bizning holatda:
O'rtacha (median) = (90% CI yuqori chegarasi + 90% CI pastki chegarasi)/2;
Standart og'ish = (90% CI yuqori chegarasi - 90% CI pastki chegarasi)/3.29.

MS parametri uchun formula quyidagi shaklga ega: =NORMIN(RAND();15,(20-10)/3.29), bunda
RAND – 0 dan 1 gacha bo‘lgan oraliqda tasodifiy sonlarni hosil qiluvchi funksiya;
15 – MS diapazonining o‘rtacha arifmetik qiymati;
(20-10) / 3.29 = 3.04 - standart og'ish; Eslatib o'taman, standart og'ishning ma'nosi quyidagicha: tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlarining 90% (bizning holimizda MS) nisbiy o'rtachaga simmetrik joylashgan 3.29*Standart_burilish oralig'iga to'g'ri keladi.

100 ta tasodifiy normal taqsimlangan qiymatlar uchun logistika bo'yicha tejashni taqsimlash:

Guruch. 2. MS ning qiymatlar diapazonida tarqalish ehtimoli; Pivot jadval yordamida bunday taqsimotni qanday qurish haqida ma'lumot olish uchun qarang

Biz "faqat" 100 ta tasodifiy qiymatdan foydalanganimiz sababli, taqsimot u qadar nosimmetrik emas edi. Biroq, qiymatlarning taxminan 90% MS tejamkorligi 10 dan 20 dollargacha (aniq 91%) to'g'ri keldi.

MS, LS, RMS va PL parametrlarining ishonch oraliqlari asosida jadval tuzamiz (3-rasm). Oxirgi ikkita ustunda boshqa ustunlardagi ma'lumotlar asosida hisob-kitoblar natijalari ko'rsatilgan. Jami tejamkorlik ustunida har bir satr uchun hisoblangan yillik jamg'armalar ko'rsatilgan. Misol uchun, agar 1-stsenariy amalga oshirilgan bo'lsa, jami tejamkorlik (14,3 + 5,8 + 4,3) x 23,471 = 570,834 dollarni tashkil qiladi.“Siz tenglikni buzyapsizmi?” ustuni. sizga haqiqatan ham kerak emas. Men uni faqat ma'lumot olish uchun kiritdim. Excelda 10 000 ta skript qatorini yaratamiz.

Guruch. 3. Excelda Monte-Karlo usuli yordamida stsenariylarni hisoblash

Olingan natijalarni baholash uchun, masalan, har 100 ming diapazondagi stsenariylar sonini hisoblash imkonini beruvchi pivot jadvalidan foydalanishingiz mumkin. Keyin siz hisoblash natijalarini ko'rsatadigan grafikni tuzasiz (4-rasm). Ushbu grafik 10 000 ta stsenariyning qaysi qismi ma'lum qiymat oralig'ida yillik tejashga ega bo'lishini ko'rsatadi. Misol uchun, stsenariylarning taxminan 3% 1 million dollardan ortiq yillik tejashni ta'minlaydi.

Guruch. 4. Jami jamg'armalarni qiymat diapazonlari bo'yicha taqsimlash. X o'qi tejamkorlikning 100 minginchi diapazonini, y o'qi esa belgilangan diapazonga to'g'ri keladigan stsenariylarning ulushini ko'rsatadi.

Olingan barcha yillik tejashning taxminan 15% 400 ming dollardan kam bo'ladi. Bu 15% zarar ehtimoli borligini anglatadi. Bu raqam jiddiy xavfni baholashni anglatadi. Ammo tavakkalchilik har doim ham salbiy investitsion daromad olish ehtimoli bilan tugamaydi. Narsaning hajmini baholashda biz uning balandligi, massasi, aylanasi va boshqalarni aniqlaymiz. Xuddi shunday, bir nechta foydali xavf ko'rsatkichlari mavjud. Keyingi tahlillar shuni ko'rsatadiki, zavod har yili tejash o'rniga 100 ming dollar yo'qotishi 4% ehtimoli bor. Biroq, daromadning to'liq etishmasligi amalda mumkin emas. Xavfni tahlil qilish deganda aynan shu narsa tushuniladi - biz turli miqyosdagi zarar ehtimolini hisoblay olishimiz kerak. Agar siz haqiqatan ham xavfni o'lchasangiz, buni qilishingiz kerak.

Ba'zi hollarda siz qisqaroq yo'lni tanlashingiz mumkin. Agar biz ishlayotgan qiymatlarning barcha taqsimotlari normal bo'lsa va biz faqat ushbu qiymatlarning intervallarini (masalan, xarajatlar va foyda intervallarini) qo'shishimiz yoki ularni bir-biridan ayirishimiz kerak bo'lsa, biz Montesiz ham qila olamiz. Karlo simulyatsiyasi. Bizning misolimizdagi uchta tejamkorlikni qo'shish haqida gap ketganda, oddiy hisob-kitob qilish kerak. Siz izlayotgan intervalni olish uchun quyida keltirilgan oltita qadamdan foydalaning:

1) har bir qiymat oralig'ining o'rtacha qiymatini uning yuqori chegarasidan ayirish; logistikani tejash uchun 20 – 15 = 5 (dollar), mehnat xarajatlarini tejash uchun – 5 dollar. va xom ashyo va materiallarni tejash uchun - 3 dollar;

2) birinchi qadam natijalarini kvadratga aylantiring 5 2 = 25 (dollar) va boshqalar;

3) ikkinchi bosqich natijalarini umumlashtirish 25 + 25 + 9 = 59 (dollar);

4) olingan miqdorning kvadrat ildizini oling: u 7,7 dollar bo'lib chiqadi;

5) barcha o'rtacha qiymatlarni qo'shing: 15 + 3 + 6 = 24 (dollar);

6) 4-bosqich natijasini o'rtacha qiymatlar yig'indisiga qo'shing va diapazonning yuqori chegarasini oling: 24 + 7,7 = 31,7 dollar; 4-bosqich natijasini o'rtacha qiymatlar yig'indisidan olib tashlang va 24 - 7,7 = 16,3 dollar oralig'ining pastki chegarasini oling.

Shunday qilib, har bir jamg'arma turi uchun uchta 90% ishonch oralig'i yig'indisi uchun 90% ishonch oralig'i $16,3–31,7 ni tashkil qiladi.

Biz quyidagi xususiyatdan foydalandik: umumiy interval diapazoni alohida intervallar diapazonlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.

Ba'zan shunga o'xshash narsa yuqori chegaraning barcha "optimistik" qiymatlarini va intervalning pastki chegarasining "pessimistik" qiymatlarini jamlash orqali amalga oshiriladi. Bu holda, bizning uchta 90% ishonch oralig'iga asoslanib, biz $11–37 oralig'ini olamiz. Bu oraliq 16,3–31,7 dollardan biroz kengroq. Bunday hisob-kitoblar o'nlab o'zgaruvchilar bilan dizaynni oqlash uchun amalga oshirilganda, intervalning kengayishi e'tiborga olinmaydi. Yuqori chegara uchun eng "optimistik" va pastki chegara uchun "pessimistik" qiymatlarni olish o'ylashga o'xshaydi: agar biz bir nechta zar tashlasak, barcha holatlarda biz faqat "1" yoki faqat "6" olamiz. Aslida, past va yuqori qiymatlarning ba'zi kombinatsiyasi paydo bo'ladi. Intervalning haddan tashqari kengayishi keng tarqalgan xatodir, bu, albatta, ko'pincha ma'lumotsiz qarorlarga olib keladi. Shu bilan birga, men ta'riflagan oddiy usul, yig'ilishi kerak bo'lgan bir necha 90% ishonch oralig'i mavjud bo'lganda ajoyib ishlaydi.

Biroq, bizning maqsadimiz nafaqat intervallarni yig'ish, balki ularni ishlab chiqarish hajmiga ko'paytirishdir, ularning qiymatlari diapazon shaklida ham berilgan. Oddiy yig'ish usuli faqat qiymatlar oraliqlarini ayirish yoki qo'shish uchun javob beradi.

Monte-Karlo simulyatsiyasi barcha taqsimotlar normal bo'lmaganda ham talab qilinadi. Tarqatishning boshqa turlari ushbu kitob mavzusiga kiritilmagan bo'lsa-da, biz ulardan ikkitasini - bir xil va binarni eslatib o'tamiz (5, 6-rasm).

Guruch. 5. Yagona taqsimot (ideal emas, lekin Excelda RAND funksiyasidan foydalangan holda qurilgan)

Xususiyatlari:

  • barcha qiymatlarning ehtimoli bir xil;
  • taqsimot nosimmetrik, buzilishlarsiz; mediana intervalning yuqori va pastki chegaralari o'rtasida to'liq yarmi;
  • intervaldan tashqari qiymatlar mumkin emas.

Excelda ushbu taqsimotni qurish uchun formuladan foydalanilgan: RAND()*(UB – LB) + LB, bu yerda UB yuqori chegara; LB - pastki chegara; keyin pivot jadval yordamida barcha qiymatlarni diapazonlarga bo'lish.

Guruch. 6. Ikkilik taqsimot (Bernulli taqsimoti)

Xususiyatlari:

  • faqat ikkita qiymat mumkin;
  • bitta qiymatning yagona ehtimoli bor (bu holda 60%); boshqa qiymatning ehtimoli birinchi qiymatning ehtimolligidan bir minusga teng

Excelda ushbu turdagi tasodifiy taqsimotni yaratish uchun funktsiyadan foydalanilgan: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Usul birinchi marta matematik Stanislav Ulam tomonidan qo'llanilgan (qarang).

Duglas Xabbard qo'shimcha ravishda Monte-Karlo simulyatsiyasi uchun mo'ljallangan bir nechta dasturlarni sanab o'tadi. Ular orasida Decisioneering, Inc., Denver, Kolorado kompaniyasidan Crystal Ball bor. Ingliz tilidagi kitob 2007 yilda nashr etilgan. Hozir bu dastur Oracle kompaniyasiga tegishli. Dasturning demo versiyasini kompaniya veb-saytidan yuklab olish mumkin. Biz uning imkoniyatlari haqida gaplashamiz.

Duglas Xabbard tilga olgan kitobning 5-bobiga qarang

Bu erda Duglas Xabbard diapazonni 90% ishonch oralig'ining yuqori chegarasi va bu oraliqning o'rtacha qiymati o'rtasidagi farq sifatida belgilaydi (yoki o'rtacha qiymat va pastki chegara o'rtasidagi, chunki taqsimot simmetrikdir). Odatda, diapazon yuqori va pastki chegaralar orasidagi farq sifatida tushuniladi.