Në detyrat e ndërtimit, ne do të shqyrtojmë ndërtimin e një figure gjeometrike, e cila mund të kryhet duke përdorur një vizore dhe një busull.

Me një sundimtar, ju mund të:

vijë arbitrare;

një vijë arbitrare që kalon nëpër një pikë të caktuar;

një drejtëz që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Duke përdorur një busull, mund të përshkruani një rreth me një rreze të caktuar nga një qendër e caktuar.

Një busull mund të përdoret për të vizatuar një segment në një vijë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Konsideroni detyrat kryesore për ndërtimin.

Detyra 1. Ndërtoni një trekëndësh me brinjët e dhëna a, b, c (Fig. 1).

Zgjidhje. Me ndihmën e një vizore vizatoni një vijë të drejtë arbitrare dhe merrni një pikë arbitrare B. Me një hapje busull të barabartë me a, përshkruajmë një rreth me qendër B dhe rreze a. Le të jetë C pika e prerjes së saj me drejtëzën. Me një hapje busull të barabartë me c, ne përshkruajmë një rreth nga qendra B, dhe me një hapje busull të barabartë me b - një rreth nga qendra C. Le të jetë A pika e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Trekëndëshi ABC ka brinjë të barabarta me a, b, c.

Komentoni. Në mënyrë që tre segmente vijash të shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi, është e nevojshme që më i madhi prej tyre të jetë më i vogël se shuma e dy të tjerëve (dhe< b + с).

Detyra 2.

Zgjidhje. Ky kënd me kulmin A dhe rreze OM janë paraqitur në figurën 2.

Vizatoni një rreth arbitrar me qendër në kulmin A të këndit të dhënë. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me anët e këndit (Fig. 3, a). Le të vizatojmë një rreth me rreze AB me qendër në pikën O - pika e fillimit të kësaj rreze (Fig. 3, b). Pika e prerjes së këtij rrethi me rrezen e dhënë do të shënohet si С 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër C 1 dhe rreze BC. Pika B 1 e kryqëzimit të dy rrathëve shtrihet në anën e këndit të dëshiruar. Kjo rrjedh nga barazia Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (kriteri i tretë për barazinë e trekëndëshave).

Detyra 3. Ndërtoni përgjysmuesin e këndit të dhënë (Fig. 4).

Zgjidhje. Nga kulmi A i një këndi të caktuar, si nga qendra, vizatojmë një rreth me rreze arbitrare. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së tij me brinjët e këndit. Nga pikat B dhe C me rreze të njëjtë përshkruajmë rrathë. Le të jetë D pika e tyre e kryqëzimit, e ndryshme nga A. Ray AD ndan këndin A në gjysmë. Kjo rrjedh nga barazia ΔABD = ΔACD (kriteri i tretë për barazinë e trekëndëshave).

Detyra 4. Vizatoni një mesatare pingul me këtë segment (Fig. 5).

Zgjidhje. Me një hapje busull arbitrare, por identike (i madh 1/2 AB), ne përshkruajmë dy harqe me qendra në pikat A dhe B, të cilët do të kryqëzojnë njëri-tjetrin në disa pika C dhe D. Vija e drejtë CD do të jetë pingulja e kërkuar. Në të vërtetë, siç mund të shihet nga konstruksioni, secila nga pikat C dhe D është po aq e largët nga A dhe B; prandaj, këto pika duhet të shtrihen në përgjysmuesin pingul me segmentin AB.

Detyra 5. Ndani këtë pjesë në gjysmë. Zgjidhet në të njëjtën mënyrë si problemi 4 (shih Fig. 5).

Detyra 6. Nëpër një pikë të caktuar, vizatoni një vijë pingul me vijën e dhënë.

Zgjidhje. Dy raste janë të mundshme:

1) pika e dhënë O shtrihet në drejtëzën e dhënë a (Fig. 6).

Nga pika O vizatojmë një rreth me rreze arbitrare që pret drejtëzën a në pikat A dhe B. Nga pikat A dhe B vizatojmë rrathë me të njëjtën rreze. Le të jetë О 1 pika e tyre e kryqëzimit e ndryshme nga О. Marrim ОО 1 ⊥ AB. Në të vërtetë, pikat O dhe O 1 janë të barabarta nga skajet e segmentit AB dhe, për rrjedhojë, shtrihen në përgjysmuesin pingul me këtë segment.

Institucion arsimor buxhetor komunal

shkolla e mesme nr.34 me studim të thelluar të lëndëve individuale

NJERI, Seksioni Fizikë dhe Matematikë

"Ndërtimet gjeometrike duke përdorur një busull dhe drejtim"

Plotësohet nga: nxënës i klasës 7 “A”.

Batishcheva Victoria

Drejtues: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.

P vizatoni një rreth arbitrar me qendër në kulmin A të këndit të dhënë (Fig. 3). Le të jenë B dhe C pikat e kryqëzimit të rrethit me brinjët e këndit. Me rreze AB, vizatojmë një rreth me qendër në pikën O, pika e fillimit të gjysmëdrejtëzës së dhënë. Pika e prerjes së këtij rrethi me gjysmëdrejtëzën e dhënë shënohet me C 1 . Përshkruani një rreth me qendër C 1 dhe Fig.3

rrezja para Krishtit. Pika B 1 kryqëzimi i rrathëve të ndërtuar në gjysmëplanin e specifikuar shtrihet në anën e këndit të dëshiruar.

6. Ndërtimi i vijave pingule.

Vizatojmë një rreth me rreze arbitrare r me qendër në pikën O Fig.6. Rrethi pret drejtëzën në pikat A dhe B.Nga pikat A dhe B vizatojmë rrathë me rreze AB. Le të jetë melankolia C pika e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Ne morëm pikat A dhe B në hapin e parë, kur ndërtuam një rreth me një rreze arbitrare.

Vija e dëshiruar kalon nëpër pikat C dhe O.

Fig.6

Çështje të njohura

1.Detyra e Brahmagupta

Ndërtoni një katërkëndësh të brendashkruar me katër brinjë. Një zgjidhje përdor rrethin e Apollonit.Le të zgjidhim problemin e Apolonit duke përdorur analogjinë midis një biçiklete me tre rrota dhe një trekëndëshi. Si e gjejmë një rreth të brendashkruar në një trekëndësh: ndërtojmë pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve, i hedhim pingulët nga ai në anët e trekëndëshit, bazat e pinguleve (pikat e kryqëzimit të pingules me anën në të cilën është ulur) dhe na jepni tre pika të shtrira në rrethin e dëshiruar. Ne tërheqim një rreth përmes këtyre tre pikave - zgjidhja është gati. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me problemin e Apollonit.

2. Problemi i Apolonisë

Përdorni një busull dhe një vijë të drejtë për të ndërtuar një rreth tangent me tre rrathët e dhënë. Sipas legjendës, problemi u formulua nga Apollonius i Pergës rreth vitit 220 para Krishtit. e. në librin “Prekja”, i cili humbi, por u restaurua në vitin 1600 nga François Vieta, “Apolonia Galike”, siç e quanin bashkëkohësit e tij.

Nëse asnjë nga rrathët e dhënë nuk shtrihet brenda tjetrit, atëherë ky problem ka 8 zgjidhje thelbësisht të ndryshme.

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt.

P

e saktë (ose barabrinjës ) trekëndëshi - atë shumëkëndëshi i rregulltme tre brinjë, e para e shumëkëndëshave të rregullt. Gjithçka brinjët e një trekëndëshi barabrinjës janë të barabartë dhe të gjithë këndet janë 60°. Për të ndërtuar një trekëndësh barabrinjës, duhet ta ndani rrethin në 3 pjesë të barabarta. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të vizatoni një hark me një rreze R të këtij rrethi nga vetëm një fund i diametrit, marrim ndarjet e para dhe të dyta. Ndarja e tretë është në skajin e kundërt të diametrit. Duke lidhur këto pika, marrim një trekëndësh barabrinjës.

Gjashtëkëndësh i rregullt mundndërtoni me një busull dhe një vijë të drejtë. Më poshtëjepet mënyra e ndërtimitduke e ndarë rrethin në 6 pjesë. Ne përdorim barazinë e brinjëve të një gjashtëkëndëshi të rregullt me ​​rrezen e rrethit të rrethuar. Nga skajet e kundërta të njërit prej diametrave të rrethit, përshkruajmë harqe me rreze R. Pikat e kryqëzimit të këtyre harqeve me një rreth të caktuar do ta ndajnë atë në 6 pjesë të barabarta. Duke lidhur vazhdimisht pikat e gjetura, fitohet një gjashtëkëndësh i rregullt.

Ndërtimi i një pesëkëndëshi të rregullt.

P
pesëkëndëshi i rregullt mund të jetëtë ndërtuara duke përdorur një busull dhe një vijë të drejtë, ose duke e përshtatur atë në një të dhënërrethi, ose duke ndërtuar mbi bazën e një ane të caktuar. Ky proces është përshkruar nga Euklidinë Elementet e tij, rreth 300 para Krishtit. e.

Këtu është një metodë për ndërtimin e një pesëkëndëshi të rregullt në një rreth të caktuar:

Ndërtoni një rreth në të cilin do të jetë i gdhendur pesëkëndëshi dhe caktoni qendrën e tij siO . (Ky është rrethi i gjelbër në diagramin në të djathtë).

Zgjidh një pikë në rrethA , e cila do të jetë një nga kulmet e pesëkëndëshit. Vizatoni një vijë përmesO dheA .

Ndërtoni një vijë pingul me vijënOA duke kaluar nëpër pikëO . Përcaktoni një nga kryqëzimet e tij me rrethin si pikëB .

Ndërtoni një pikëC në mes të rrugësO dheB .

C përmes një pikeA . Shënoni kryqëzimin e tij me vijënOB (brenda rrethit origjinal) si pikëD .

Vizatoni një rreth me qendërA përmes pikës D, shënoni pikëprerjen e këtij rrethi me origjinalin (rrethin e gjelbër).E dheF .

Vizatoni një rreth me qendërE përmes një pikeA G .

Vizatoni një rreth me qendërF përmes një pikeA . Përcaktoni si pikë kryqëzimin tjetër të tij me rrethin origjinalH .

Ndërtoni një pesëkëndësh të rregulltAEGHF .

Probleme të pazgjidhshme

Në antikitet u vendosën tre detyrat e mëposhtme të ndërtimit:

Triprerja e këndit - ndani një kënd arbitrar në tre pjesë të barabarta.

Me fjalë të tjera, është e nevojshme të ndërtohen tresektorët e këndit - rrezet që ndajnë këndin në tre pjesë të barabarta. P. L. Vanzel vërtetoi në 1837 se problemi është i zgjidhshëm vetëm kur, për shembull, treprerja është e realizueshme për këndet α = 360°/n, me kusht që numri i plotë n të mos pjesëtohet me 3. Megjithatë, në shtyp botohet herë pas here metoda (të pasakta) për treprerjen e një këndi me një busull dhe një vijë të drejtë.

Dyfishimi i kubit - një problem klasik i lashtë mbi ndërtimin e një kubi me një busull dhe një vizore, vëllimi i të cilit është dyfishi i vëllimit të një kubi të caktuar.

Në shënimin modern, problemi reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit. E gjitha varet nga problemi i ndërtimit të një segmenti të gjatësisë. P. Wanzel vërtetoi në 1837 se ky problem nuk mund të zgjidhet me ndihmën e një busull dhe të drejtë.

Katrorja e rrethit - detyra për të gjetur një konstruksion duke përdorur një busull dhe një vizore të një katrori që është i barabartë në sipërfaqe me një rreth të caktuar.

Siç e dini, me ndihmën e një busull dhe një vizore, ju mund të kryeni të 4 veprimet aritmetike dhe të nxirrni rrënjën katrore; prandaj rrjedh se katrorimi i një rrethi është i mundur nëse dhe vetëm nëse, me ndihmën e një numri të kufizuar veprimesh të tilla, është e mundur të ndërtohet një segment me gjatësi π. Kështu, pazgjidhshmëria e këtij problemi rrjedh nga natyra joalgjebrike (transcendenca) e numrit π, e cila u vërtetua në 1882 nga Lindemann.

Një problem tjetër i njohur që nuk mund të zgjidhet me ndihmën e busullës dhe vizores ështëndërtimi i një trekëndëshi me tre gjatësi të dhëna të përgjysmuesve .

Për më tepër, ky problem mbetet i pazgjidhshëm edhe në prani të një trisektori.

Vetëm në shekullin e 19-të u vërtetua se të tre problemet ishin të pazgjidhshme duke përdorur vetëm një busull dhe një vijë të drejtë. Çështja e mundësisë së ndërtimit zgjidhet plotësisht me metoda algjebrike të bazuara në teorinë Galois.

A E DINI SE...

(nga historia e ndërtimeve gjeometrike)

Njëherë e një kohë, një kuptim mistik u investua në ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt.

Pra, pitagorianët, pasuesit e mësimeve fetare dhe filozofike të themeluara nga Pitagora dhe që jetuan në Greqinë e lashtë (V I-I Vshekuj para Krishtit BC), adoptoi si shenjë të bashkimit të tyre një poligon yll të formuar nga diagonalet e një pesëkëndëshi të rregullt.

Rregullat për ndërtimin e rreptë gjeometrik të disa shumëkëndëshave të rregullt janë përcaktuar në librin "Fillimet" nga matematikani i lashtë grek Euklidi, i cili ka jetuar nëIIIv. para Krishtit. Për të kryer këto ndërtime, Euklidi sugjeroi përdorimin e vetëm një vizore dhe një busull, i cili në atë kohë nuk kishte një pajisje me varëse për lidhjen e këmbëve (një kufizim i tillë në mjete ishte një kërkesë e domosdoshme e matematikës antike).

Shumëkëndëshat e rregullt u përdorën gjerësisht në astronominë antike. Nëse Euklidi ishte i interesuar për ndërtimin e këtyre figurave nga pikëpamja e matematikës, atëherë për astronomin e lashtë grek Klaudi Ptolemeu (rreth 90 - 160 pas Krishtit) doli të ishte i nevojshëm si një mjet ndihmës në zgjidhjen e problemeve astronomike. Pra, në librin e parë të Almagestit, i gjithë kapitulli i dhjetë i kushtohet ndërtimit të pesëkëndëshave dhe dhjetëkëndëshave të rregullt.

Megjithatë, përveç veprave thjesht shkencore, ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt ishte pjesë përbërëse e librave për ndërtuesit, artizanët dhe artistët. Aftësia për të përshkruar këto figura është kërkuar prej kohësh në arkitekturë, bizhuteri dhe arte të bukura.

"Dhjetë librat mbi arkitekturën" nga arkitekti romak Vitruvius (i cili jetoi rreth viteve 63-14 p.e.s.) thotë se muret e qytetit duhet të duken si një poligon i rregullt në plan, dhe kullat e kalasë "duhet të bëhen të rrumbullakëta ose poligonale, sepse katërkëndëshi mjaft i shkatërruar nga armët e rrethimit.

Planifikimi i qyteteve ishte me interes të madh për Vitruvius, i cili besonte se ishte e nevojshme të planifikoheshin rrugët në mënyrë që erërat kryesore të mos frynin përgjatë tyre. Supozohej se kishte tetë erëra të tilla dhe se ato frynin në drejtime të caktuara.

Gjatë Rilindjes, ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt, dhe veçanërisht i pesëkëndëshit, nuk ishte një lojë e thjeshtë matematikore, por ishte një parakusht i domosdoshëm për ndërtimin e fortesave.

Gjashtëkëndëshi i rregullt ishte objekt i një studimi të veçantë nga astronomi dhe matematikani i madh gjerman Johannes Kepler (1571-1630), për të cilin ai flet në librin e tij Dhurata e Vitit të Ri, ose për flokë dëbore gjashtëkëndore. Ai diskutoi arsyet pse floket e borës kanë një formë gjashtëkëndore, ai vëren, veçanërisht, sa vijon: "... avioni mund të mbulohet pa boshllëqe vetëm nga figurat e mëposhtme: trekëndëshat barabrinjës, katrorët dhe gjashtëkëndëshat e rregullt. Ndër këto figura, gjashtëkëndëshi i rregullt mbulon sipërfaqen më të madhe.

Një nga shkencëtarët më të famshëm të përfshirë në ndërtimet gjeometrike ishte artisti dhe matematikani i madh gjerman Albrecht Dürer (1471 -1528), i cili u kushtoi atyre një pjesë të konsiderueshme të librit të tij "Udhëzime ...". Ai propozoi rregulla për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt me ​​3. 4, 5 ... 16 brinjë. Metodat për ndarjen e rrethit të propozuara nga Dürer nuk janë universale; në secilin rast, përdoret një teknikë individuale.

Durer aplikoi metodat e ndërtimit të shumëkëndëshave të rregullt në praktikën artistike, për shembull, kur krijonte lloje të ndryshme zbukurimesh dhe modelesh për parket. Skica të modeleve të tilla janë bërë nga ai gjatë një udhëtimi në Holandë, ku në shumë shtëpi u gjetën dysheme me parket.

Durer bënte zbukurime nga shumëkëndësha të rregullt, të cilët lidhen në unaza (unaza me gjashtë trekëndësha barabrinjës, katër katërkëndësha, tre ose gjashtë gjashtëkëndësha, katërmbëdhjetë shtatëkëndësha, katër tetëkëndësha).

konkluzioni

Kështu që,ndërtime gjeometrike është një metodë e zgjidhjes së një problemi në të cilën përgjigja merret në mënyrë grafike. Ndërtimet kryhen me mjete vizatimi me saktësi dhe saktësi maksimale të punës, pasi nga kjo varet korrektësia e vendimit.

Falë kësaj pune u njoha me historinë e origjinës së busullës, u njoha më hollësisht me rregullat e kryerjes së ndërtimeve gjeometrike, mora njohuri të reja dhe e vura në praktikë.
Zgjidhja e problemeve në ndërtimin me një busull dhe një vizore është një kalim kohe e dobishme që ju lejon të hidhni një vështrim të ri në vetitë e njohura të formave gjeometrike dhe elementeve të tyre.Në këtë punim, ne konsiderojmë problemet më urgjente që lidhen me konstruksionet gjeometrike duke përdorur një busull dhe drejtim. Shqyrtohen detyrat kryesore dhe jepen zgjidhjet e tyre. Detyrat e mësipërme janë me interes të konsiderueshëm praktik, konsolidojnë njohuritë e marra në gjeometri dhe mund të përdoren për punë praktike.
Kështu, qëllimi i punës arrihet, detyrat e vendosura përmbushen.

AKADEMIA E VOGLA E SHKENCAVE TË NXËNËVE TË SHKOLLAVE TË KRIMES

"GJETI"

Seksioni "Matematika"

KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE ME PERDORIM RREGULLEN E DY KANESHME

Unë e kam bërë punën a

_____________

nxënës i klasës

këshilltar shkencor

HYRJE………………………………………………………………………..…..3

I. KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE NË RAFSH …………………...4

I.1. Aksiomat e përgjithshme të gjeometrisë konstruktive. Aksiomat e mjeteve matematikore…………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Ndërtime gjeometrike me një vizore ……………………………..7

Unë.4. Detyrat kryesore për ndërtimin e një vizore të dyanshme…………………..8

I.5. Zgjidhja e detyrave të ndryshme për ndërtimin

I.6. Ndërtime me vizore të njëanshme……………………………………………………………………………………………………………

I.7. Ndërrimi i vizores së dyanshme me busull dhe vizore….21

KONKLUZION………………………………………………………………………….24

Lista e literaturës së përdorur…………………………………..………….25

Prezantimi

Detyrat për ndërtimin me mjete të kufizuara përfshijnë detyrat për ndërtimin vetëm me busull dhe vizore, të cilat konsiderohen në kurrikulën shkollore. A është e mundur të zgjidhen problemet e ndërtimit vetëm me një vizore? Shpesh nuk ka busull pranë dhe gjithmonë mund të gjendet një vizore.

Detyrat e ndërtimit në gjeometri janë një seksion tërheqës. Interesi për të është për shkak të bukurisë dhe thjeshtësisë së përmbajtjes gjeometrike. Urgjenca e shqyrtimit të këtyre problemeve rritet për faktin se gjen zbatim në praktikë. Aftësia për të përdorur një vizore për të zgjidhur problemet e shqyrtuara në këtë punim ka një rëndësi të madhe në praktikë, sepse vazhdimisht përballemi me probleme të ndarjes së një segmenti në gjysmë, dyfishimit të një segmenti të caktuar etj.

Në këtë punim shqyrtojmë detyrat kryesore për ndërtimin, të cilat shërbejnë si mbështetje në zgjidhjen e problemeve më komplekse.

Siç tregon përvoja, detyrat e ndërtimit ngjallin interes, kontribuojnë në aktivizimin e aktivitetit mendor. Gjatë zgjidhjes së tyre, njohuritë për vetitë e figurave përdoren në mënyrë aktive, zhvillohet aftësia për të arsyetuar, përmirësohen aftësitë e ndërtimeve gjeometrike. Si rezultat, zhvillohen aftësitë konstruktive, që është një nga qëllimet e studimit të gjeometrisë.

Hipoteza: të gjitha problemet e ndërtimit që mund të zgjidhen me një busull dhe vizore mund të zgjidhen vetëm me një vizore të dyanshme.

Objekti i studimit: detyra ndërtimi dhe vizore dyanëshe.

Objektivat e studimit: të vërtetohet se të gjitha problemet e ndërtimit mund të zgjidhen vetëm me ndihmën e një vizoreje të dyanshme..

Objektivat e kërkimit: të studiohen bazat teorike të zgjidhjes së problemeve të ndërtimit; zgjidh problemet themelore të ndërtimit me ndihmën e një sundimtari të dyanshëm; jepni shembuj të detyrave më komplekse të ndërtimit; sistematizojnë materialin teorik dhe praktik.

I. KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE NË RAFSH

I.1. Aksiomat e përgjithshme të gjeometrisë konstruktive. Aksiomat e mjeteve matematikore

Për gjeometrinë konstruktive, është e nevojshme të kemi një përshkrim të saktë dhe, për qëllime matematikore, të plotë të një mjeti të caktuar. Një përshkrim i tillë jepet në formën e aksiomave. Këto aksioma në një formë matematikore abstrakte shprehin ato veti të veglave reale të vizatimit që përdoren për ndërtime gjeometrike.

Mjetet më të përdorura për ndërtime gjeometrike janë:sundimtar (i njëanshëm) , busull, dypalëshe vizore (me skaje paralele) dhe disa të tjerë.

A. Aksioma e vizores.

Sundimtari ju lejon të kryeni ndërtimet e mëposhtme gjeometrike:
a) ndërtoni një segment që lidh dy pika të ndërtuara;

b) të ndërtojë një drejtëz që kalon nga dy pika të ndërtuara;

c) ndërtoni një rreze që buron nga një pikë e ndërtuar dhe kalon nga një pikë tjetër e ndërtuar.

B. Aksioma e busullës.

Busulla ju lejon të kryeni ndërtimet e mëposhtme gjeometrike:
a) ndërtoni një rreth nëse ndërtohet qendra e rrethit dhe një segment i barabartë me rrezen e rrethit (ose skajet e tij);

B. Aksioma e një vizoreje me dy anë.

Vizitori i dyanshëm ju lejon të:

a) kryejnë ndonjë nga ndërtimet e renditura në aksiomën A;

b) në secilin nga gjysmërrafshet e përcaktuara nga vija e ndërtuar, ndërtoni një drejtëz paralele me këtë drejtëz dhe që kalon prej saj në distancëa, ku a - një segment i fiksuar për një vizore të caktuar (gjerësia e një vizoreje);

c) nëse ndërtohen dy pika A dhe B, atëherë përcaktoni nëse AB do të jetë më i madh se ndonjë segment fiksa (gjerësia e vizores), dhe nëse AB >a , më pas ndërtoni dy çifte drejtëzash paralele që kalojnë përkatësisht nga pikat A dhe B dhe të ndara nga njëra-tjetra në një distancëa .

Përveç mjeteve të mësipërme, mund të përdorni mjete të tjera për ndërtime gjeometrike: një kënd arbitrar, një katror, ​​një vizore me shenja, një palë kënde të drejta, pajisje të ndryshme për vizatimin e kthesave të veçanta etj.

I.2. Parimet e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve të ndërtimit

Detyrë ndërtimi konsiston në faktin se kërkohet të ndërtohet një figurë e caktuar me mjetet e treguara, nëse jepet ndonjë figurë tjetër dhe tregohen marrëdhënie të caktuara ndërmjet elementeve të figurës së dëshiruar dhe elementeve të kësaj figure.

Çdo figurë që plotëson kushtet e problemit quhetvendim këtë detyrë.

Gjej nje zgjidhje Detyra e ndërtimit do të thotë ta reduktosh atë në një numër të kufizuar ndërtimesh bazë, d.m.th., të tregosh një sekuencë të fundme ndërtimesh bazë, pas së cilës figura e dëshiruar tashmë do të konsiderohet e ndërtuar në bazë të aksiomave të pranuara të gjeometrisë konstruktive. Lista e konstruksioneve bazë të pranueshme, dhe, rrjedhimisht, rrjedha e zgjidhjes së problemit, në thelb varet nga lloji i mjeteve që përdoren për ndërtime.

Zgjidh problemin e ndërtimit - do të thotë, gjeni të gjitha zgjidhjet .

Përkufizimi i fundit ka nevojë për disa sqarime. Shifrat që plotësojnë kushtet e problemit mund të ndryshojnë si në formë ashtu edhe në madhësi dhe në pozicionin në aeroplan. Ndryshimet në pozicionin në rrafsh merren parasysh ose nuk merren parasysh në varësi të formulimit të vetë detyrës së ndërtimit, nëse gjendja e problemit parashikon ose jo një vendndodhje të caktuar të figurës së dëshiruar në lidhje me ndonjë figurë të dhënë.

Nëse gjendet një zgjidhje për një problem, atëherë në të ardhmen lejohet përdorimi i kësaj zgjidhjeje "në tërësi", d.m.th., pa e ndarë atë në ndërtime themelore.

Ekzistojnë një sërë problemesh të thjeshta gjeometrike të ndërtimit, të cilat veçanërisht shpesh përfshihen si komponentë në zgjidhjen e problemeve më komplekse. Do t'i quajmë probleme elementare të ndërtimit gjeometrik. Lista e detyrave elementare është, natyrisht, e kushtëzuar. Detyrat më të zakonshme përfshijnë si më poshtë:

Ndani këtë segment në gjysmë.

Ndani këtë kënd në gjysmë.

Ndërtimi në një vijë të caktuar të një segmenti të barabartë me atë të dhënë.

Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.

Ndërtimi i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar paralel me një drejtëz të caktuar.

Ndërtimi i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me një drejtëz të caktuar.

Ndarja e segmentit në këtë drejtim.

Ndërtimi i një trekëndëshi me tri brinjë.

Ndërtimi i një trekëndëshi të dhënë një brinjë dhe dy kënde ngjitur.

Ndërtimi i një trekëndëshi me dy brinjë dhe një kënd ndërmjet tyre.

Kur zgjidhet ndonjë problem ndërtimi disi kompleks, lind pyetja se si të arsyetohet për të gjetur një mënyrë për të zgjidhur problemin, për të marrë të gjitha zgjidhjet e problemit, për të gjetur kushtet për mundësinë e zgjidhjes së problemit, etj. Prandaj , kur zgjidhin probleme konstruktive, ata përdorin skemën e zgjidhjes që përbëhet nga katër hapat e mëposhtëm:

1) analiza;
2) ndërtimi;
3) dëshmi;
4) hulumtim.

I.3. Ndërtime gjeometrike me një vizore

Sundimtarin do ta konsiderojmë nga dy këndvështrime: si sundimtar dhe si sundimtar i dyanshëm.

1. sundimtar i dyanshëm gjerësia a do të quajmë një vizore me skaje paralele të vendosura në distancë a nga njëri-tjetri, duke bërë të mundur ndërtimin e drejtpërdrejtë:

a) një linjë arbitrare;

b) një drejtëz që kalon nga dy pika të dhëna ose të marra në procesin e zgjidhjes së problemit;

c) drejtëza paralele, secila prej të cilave kalon në njërën nga pikat, distanca ndërmjet të cilave është më e madhe sea (gjatë këtij konstruksioni, vizori është në një pozicion të tillë që secila nga dy skajet e tij paralele ka një nga dy pikat e dhëna; në këtë rast do të flasim për një ndërtim të drejtpërdrejtë).

Gjerësia e vizores në këtë ndërtim konsiderohet konstante, dhe për këtë arsye, nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi specifik, bëhet e nevojshme të kryhet një ndërtim i drejtpërdrejtë në lidhje me disa pika të marra.A dhe V , atëherë duhet të vërtetojmë se gjatësiaAB më shumë gjatësi a .

Një pikë do ta konsiderojmë të ndërtuar nëse është një nga të dhënat ose është kryqëzimi i dy drejtëzave të ndërtuara; nga ana tjetër, ne do të konsiderojmë një vijë të ndërtuar nëse ajo kalon nëpër pikat e ndërtuara ose të dhëna.

Duke përdorur një sundimtar të dyanshëm, mund të ndërtoni sa vijon.

a) Një vijë mund të vizatohet në çdo dy pika, por vetëm një.

b) Cilado qoftë drejtëza, në rrafsh janë saktësisht dy drejtëza paralele me të dhe në një distancë prej saja .

c) Nëpër dy pika A dhe B në AB a është e mundur të vizatohen dy palë paralele direkt; në AB = a mund të vizatohen një çift drejtëzash paralele, distanca ndërmjet të cilave është e barabartë mea .

Nëse jepen një, dy, tre pikë, atëherë nuk mund të ndërtohen pikë të reja

(Figura 1);

nëse jepen katër pika, nga të cilat tre (ose të katërt) shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë nuk mund të ndërtohen pika të tjera (Fig. 2);

duke pasur parasysh katër pika që shtrihen në kulmet e një paralelogrami, mund të ndërtohet vetëm një pikë - qendra e saj. (Fig.3).

Duke pranuar sa më sipër, ne konsiderojmë veçmas problemet e zgjidhura nga një sundimtar i dyanshëm.

Unë.4. Detyrat themelore për ndërtimin e një sundimtari të dyanshëm

1
. Ndërtoni përgjysmuesin e këndit ABC.

Zgjidhja: (Fig. 4)

a  (V C) dhe b  (Një grup  b = D .

Merr B D- përgjysmues  ABC.

Në të vërtetë, marrë nga

ndërtimi paralelogram është

romb, pasi lartësitë e tij janë të barabarta. VD –

diagonalja e rombit është përgjysmues ABC. Fig.4

2
. Dyfishoni këndin e dhënë ABC

Zgjidhje : (Fig. 5) a) a  (AB),

a  (V C)= D , përmes pikave B dhe D

b drejtpërdrejt;

b) përmes pikave B dheD m  b

drejtpërdrejt,b Ç a = F .

Marr Ð AB F = 2 Ð ABC .

Fig.5

3 . Në këtë linjë M N në këtë

vizatoni një pingul me pikën A

Zgjidhje : (Fig.6)

1) (AA 1) || (VV 1) || (SS 1) -

drejtpërdrejt (në (M N),

ME Î (M N)); 2) përmes A dhe B

m || n - drejtpërdrejt,

m Ç (SS 1) = D .

Ne marrim (A D )  (M N ).

Fig.6.

4
. Përmes një pike të caktuar nuk shtrihet në

kjo linjë, vizatoni një pingul

për të këtë vijë të drejtë.

Zgjidhja: Përmes kësaj pike O ne tërheqim

dy drejtëza që kryqëzojnë një të dhënë

drejtëz AB, dhe dyfishoni këndet e rezultatit

trekëndëshat ngjitur me një të dhënë

drejt.  OA N = 2  OAB dhe

OV N = 2  OVA (Fig. 7).

Fig.7

5. Ndërtoni një pikë simetrike me një të dhënë në lidhje me një drejtëz të caktuar.

Zgjidhja: shih problemin 4. (pika O është simetrike me pikënN. Fig.7)

6. Vizatoni një vijë të drejtë paralel me këtë

P
rreshti M N , përmes pikës A, jo

që i përket linjës M N .

Zgjidhja 1: (Fig. 8)

1)(AA 1) || (VV 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KK 1) -

– drejtpërdrejt, (SA)Ç (BB 1) \u003d C 2;

2) (C 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) është linja e dëshiruar.

Figura 8

Zgjidhja 2 . Në Fig.8 është numëruar 1

sekuenca e vijave të drejta,

nga të cilat 1, 2 dhe 3 janë paralele në

ndërtim i drejtpërdrejtë;

(A F) || (M N).

Fig.8 1

7
. Ndajeni këtë segment AB në gjysmë.

Zgjidhja 1 (Fig. 9) (vetëm për rastin kur gjerësia e vizores është më e vogël se gjatësia e segmentit të dhënë). Vizatoni drejtpërsëdrejti dy çifte drejtëzash paralele

skajet e këtij segmenti, dhe më pas diagonalja

rombi që rezulton. O është mesi i AB.

Oriz. 9.

Zgjidhja 2 (Fig. 9, a)

1) a || (Një grup b || (AB) - drejtpërdrejt;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D V) Ç a = M, (CB) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D TE) Ç (A N ) = F ;

6) (Në F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a \u003d C 1;

7) (D V ) Ç (A D 1) = X,

(AC 1) Ç (CB) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) = O. Ne marrim AO = OB.

Fig. 9, a

Zgjidhja 3 .( Oriz. 9b)

Siç dihet , në trapezin e mesëm

bazat, pika e kryqëzimit

diagonalet dhe pikat e kryqëzimit

zgjatimet anësore

shtrihuni në të njëjtën linjë.

1) m || (AB) - drejtpërdrejt;

2) C Î m , D Î m , (AC) Ç (V D ) = TE; Fig.9,b

3) (CB) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) = O. Ne marrim AO = OB.

I.5. Zgjidhja e problemeve të ndryshme të ndërtimit

Në zgjidhjen e problemeve të mëposhtme për ndërtimin e vetëm një vizoreje të dyanshme, përdoret ndërtimi i drejtpërdrejtë i vijave paralele dhe shtatë problemet kryesore të mësipërme.

1. Vizatoni dy vija pingule në këtë pikë.

R Zgjidhja: kalojnë nëpër këtë pikë

dy rreshta arbitrare,

dhe më pas përgjysmorët

qoshet ngjitur. (Fig.10)

Fig.10

2. Jepet segmenti A D një gjatësi të caktuar.

Ndërtoni një segment gjatësia e të cilit është .

R
zgjidhje : Le të shpenzojmë m  a dhe h || m përtej

pika A. f || (A D ) , k || (pas Krishtit) drejtpërdrejt.

Le të vizatojmë AB dhe AC, ku B =f  m ,

a C = m  k . Në një mënyrë të njohur

Ndani AB dhe AC në gjysmë dhe

vizatoni median e trekëndëshit

ABC. Nga vetia e medianave

trekëndësh, oh D = - e dëshiruar

segment (Fig.11)

Oriz. njëmbëdhjetë

3. Ndërtoni një segment të vijës gjatësia e të cilit është

e barabartë me perimetrin e trekëndëshit.

Zgjidhja: (Fig. 12). Le të ndërtojmë përgjysmues

dy qoshet e jashtme të trekëndëshit, dhe më pas

3 maja V vizatoni pingulet

këtyre përgjysmuesve.

DE = a + b + me

Fig.12

4. Jepet një segment me gjatësi a. Ndërtoni segmente me gjatësi 2a, 3a.

R Zgjidhja: (Fig. 13)

1 milion N) || (AB) dhe (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Direkt;

2) (CA) dhe (CB) përmes A dhe B.

Segmentet A 1 B 1 dhe A 2 B 2 janë të nevojshme.

Një zgjidhje tjetër për këtë problem mund të jetë

merrni nga zgjidhja e problemit 7.

Oriz. trembëdhjetë

5. Në një vijë të drejtë jepen dy segmente, gjatësitë e të cilave janë a dhe b . Ndërtoni segmente gjatësitë e të cilave janë të barabarta me + b , b - a, ( a + b )/2 dhe ( b - a )/2 .

Zgjidhja: dhe për a + b(Fig. 14, a)

Fig. 14, a

b) për ( a + b)/2 (Fig. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) - drejtpërdrejt;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1) = N, (M H) Ç (A 1 B 1) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1) = O

Ne marrim: N O = NP + PO =
.

Oriz. 14b

c) për b - a(Fig. 14,c)

Oriz. 14, në

c) për ( b - a )/2 (Fig. 14d)

Oriz. 14, g

6
. Ndërtoni qendrën e këtij rrethi.

Zgjidhje : (Fig. 15) Vizatoni një vijë të drejtë AB,

prerja e rrethit në pikat A dhe B;

dielli  AB, ku C është pika e kryqëzimit

me një rreth.

Vizatoni pikën C paralele me AB

vijë e drejtë C D; MEDkalon rrethin

në pikënD.

Duke u lidhurDme B dhe A me C, marrim

pika e dëshiruar është qendra e rrethit. Oriz. 15

Zgjidhja 2: (Fig. 16) Ndërtoni dy korda paralele duke përdorur një vizore me dy anëpas Krishtit dhepara Krishtit . Ne marrim një trapezoid isoscelesABCD. LeK dheP - pikat e prerjes së drejtëzaveAC dheBD , AB dheDC . Pastaj linjaP K kalon nëpër mesin e bazave të trapezit pingul me to, që do të thotë se kalon nga qendra e rrethit të dhënë. Pasi kemi ndërtuar në mënyrë të ngjashme një vijë tjetër të tillë të drejtë, gjejmë qendrën e rrethit.

Oriz. gjashtëmbëdhjetë

7. Është dhënë një hark rrethi. Ndërtoni qendrën e rrethit

Zgjidhje . (Fig. 17) Le të shënojmë tri pika A, B dhe C në këtë hark. Le të bashkojmë një vizore në skajet e segmentit AB dhe të rrethojmë skajet e tij. Marrim dy vija paralele. Duke ndryshuar pozicionin e vizores, vizatoni edhe dy vija të drejta paralele. Marrim një romb (paralelogram me lartësi të barabarta). Një nga diagonalet e rombit është përgjysmues pingul me segmentinAB , meqenëse diagonalja e rombit shtrihet në përgjysmuesin pingul të diagonales tjetër. Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë përgjysmuesin pingul me segmentinAC . Pika e kryqëzimit të perpendikulave të mesit të ndërtuar është qendra e rrethit të dëshiruar.

Oriz. 17

8. Jepet një segment AB, një drejtëz l jo paralele me të dhe një pikë M në të. Duke përdorur një vizore të dyanshme, ndërtoni pikat e kryqëzimit të drejtëzës l me një rreth me rreze AB me qendër M.

Zgjidhja: (Fig.18)

Le të plotësojmë trekëndëshinABM në paralelogramABNM . Le të ndërtojmë përgjysmorët MT dheZNJkënde ndërmjetMNdhe të drejtpërdrejtël . Le të kalojmë nëpër pikënN vijat paralele me këta përgjysmues:NQ || ZNJ, NR || MT. MT│ ZNJsi përgjysmues të këndeve fqinjë. Do të thotë,NQ │ MT, domethënë në një trekëndëshNMQpërgjysmues është lartësia, pra trekëndëshi është dykëndësh:MQ = MN. Po kështu,ZOTI = MN. pikëPdheRe dëshiruar.

Oriz. tetëmbëdhjetë

9. Jepet drejtëza l dhe segmenti OA paralel me l. Duke përdorur një vizore të dyanshme, ndërtoni pikat e kryqëzimit të drejtëzës l me një rreth me rreze OA me qendër në O.

Zgjidhja: (Fig. 19, a)

Le të vizatojmë një vijë të drejtël 1 , paralel me vijënOA dhe në një distancë prej saja . Le ta marrim drejtl pikë arbitrareB . LeB 1 - pika e prerjes së vijaveOB dhel 1 . Le të kalojmë nëpër pikënB 1 drejt, paralelAB ; kjo vijë e pret vijënOA në pikënA 1 . Tani le të kalojmë nëpër pikaO dheA 1 një çift drejtëzash paralele, distanca ndërmjet të cilave është e barabartë mea (mund të ketë dy palë të tilla linjash); leX dheX 1 - pika e prerjes së drejtëzës që kalon nëpër pikëO , me vija të drejtal dhel 1 . SepseOA 1 = OK 1 dhe ∆OA 1 X 1 ∆ OAX , pastaj OA = OH, pikëX e dëshiruar.

Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë pikën e dytë të kryqëzimit të rrethit dhe vijës së drejtë - pikënY(Fig.18,b).

Oriz. 18, a

Oriz. 18b

I.6.Ndërtime me vizore të njëanshme

W
Këtu shqyrtojmë një rast të veçantë: le të jepen pikat P,P, R 1 dheP 1 . dhe ato shtrihen në kulmet e trapezit.

1. Ndani segmentin P P në gjysmë

Zgjidhje treguar në figurën 19

Duke pasur parasysh pikat P,P, R 1 dheP 1 dhe vijat paralele

RP, R 1 P 1 . Le të shpenzojmë RP 1  PR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

Lidhni pikat A dhe B. AB RP = F- mes

segmenti PP.

Oriz. nëntëmbëdhjetë

2. Segment i dyfishtë R 1 P 1.

R
zgjidhje treguar në figurën 20. Le të ndërtojmë

pikëF- mesi i segmentit RPdhe lidheni atë

MeP 1. R 1 P FQ 1 = M. Le të kryejmë RM. RM R 1 P 1 = R

barazisëRQdhe R 1 P 1 rrjedh nga ngjashmëria

trekëndëshat RMFdhe RMP 1 ,

FMPdhe R 1 MP 1 , dhe barazia РFdheFQ.

Oriz. njëzet

3
. Ndërtoni një segment të gjatësisë n  R 1 P 1 .

m – 1 segmente të barabarta PP 2 , P 2 P 3, … P m -1 P m

Pastaj ne ndërtojmë (RR 1 ) dheP m P 1 dhe lidheni

pika e tyre e prerjes A me pikat

P 2 , P 3, … P m Marrëm -1 e drejtpërdrejtë

ndajnëR 1 P 1 nëm të barabartë pjesët.

Përm = 4 Zgjidhja është paraqitur në figurën 22

Fig.22

I.7. Këmbyeshmëria e vizores së dyanshme me busull dhe vizore

Le të vërtetojmë se një sundimtar i dyanshëm është i këmbyeshëm me një busull dhe një vizore. Për ta bërë këtë, ne vërtetojmë pohimet e mëposhtme:

Deklarata 1: të gjitha ndërtimet e realizueshme me një busull dhe një vijë të drejtë janë të realizueshme me një drejtim të dyanshëm.

Meqenëse kur ndërtohet me busull dhe vizore, vizori vizaton një vijë të drejtë përmes dy pikave, dhe busulla ndërton një rreth (gjen një grup pikash në distancë të barabartë nga ai i dhënë), atëherë të gjitha ndërtimet me busull dhe vizore reduktohen në duke ndërtuar kryqëzimin e dy drejtëzave, dy rrathëve dhe një rrethi me një vijë të drejtë.

Kryqëzimi i dy vijave mund të vizatohet duke përdorur një vizore.

Kryqëzimi i një rrethi me një vijë të drejtë (Fig. 23):

Ndërtesa:Le të jepet segmenti AB - rrezja e rrethit, vija e drejtël , qendra e rrethit O, pastaj:

1) Ne shpenzojmë OS ||l , OS = AB.

2) Ne shpenzojmë OS ||kdhe në distancë në një.

3) Ne shpenzojmëOD, OD l = D; OD k) Nga përfundimi i teoremës së Talesit

4) Sipas ligjit të kalimit të barazive

5) KonsideroniOMQE. OMQEështë një paralelogram, pasi OM ||EQdhe OE ||MC(anët lineare janë paralele). Le të vërtetojmë se ky është një romb.

5.1) SjelljaQZ OCdheQG AKTIV, pastajQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(gënjyer kryq);  OS =AKTIV, që duhej vërtetuar.

Kryqëzimi i dy rrathëve: i ngjashëm.

Deklarata 2: të gjitha ndërtimet e realizueshme me një vizore të dyanshme janë të realizueshme me një busull dhe një vijë të drejtë.

Për ta bërë këtë, ne do të kryejmë ndërtime që janë standarde për një sundimtar të dyanshëm duke përdorur një busull dhe një sundimtar.

1) Një vijë me dy pika vizatohet lehtësisht duke përdorur një vizore.

2) Ndërtimi i një vije të drejtë, paralele me një të dhënë dhe e largët prej saj në një distancë të caktuar:

2.1) Le të jepet një rreshtkdhe një segment me gjatësia.

2.2) Ne ndërtojmë një linjë arbitrareb k, lek b= B.

2.3) Aktivbnë të dyja anët e pikësBnë një vijë të drejtëblini mënjanë një gjatësia, le pikatCdheD.

2.4) Përmes një pikeCndërtoni një vijë të drejtëc k.

2.5) Përmes një pikeDndërtoni një vijë të drejtëd k.

2.6) Direktcdhed– e dëshiruar, pasipara KrishtitdheBDtë barabartëanga ndërtimi dhe janë të barabarta me distancën ndërmjet vijëskdhe të drejtpërdrejtë

3) Ndërtimi i drejtëzave paralele me njëra-tjetrën dhe që kalojnë nëpër dy pika të dhëna, dhe distanca ndërmjet distancës ndërmjet të cilave është e barabartë me segmentin e dhënë:

3.1) Le të jepen pikëAdheBdhe një segment me gjatësia.

3.2) Vizatoni një rreth me qendër në një pikëAdhe rrezea.

3.3) Ne ndërtojmë një tangjente me një rreth të caktuar përmes një pikeB; ka dy tangjente të tilla, nëseBshtrihet jashtë rrethit (nëseAB> a), një nëseBshtrihet në rreth (nëseAB= a), asnjë nëseBshtrihet brenda rrethit (AB< a). Kjo tangjente është një nga vijat e dëshiruara; lihet për të kaluar nëpër pikëAvijë e drejtë paralele me të.

3.4) Meqenëse njëra prej drejtëzave është pingul me rrezen e rrethit si tangjente, e dyta është gjithashtu pingul me të (pasi janë paralele), prandaj, distanca ndërmjet tyre është e barabartë me rrezen, e cila, nga ndërtimi, është e barabartë teaqë është ajo që kërkohej.

Kështu, ne kemi vërtetuar këmbyeshmërinë e një sundimtari të dyanshëm dhe një busull dhe një sundimtar.

Përfundim: një sundimtar i dyanshëm është i këmbyeshëm me busull dhe një vizore.

konkluzioni

Pra, është shqyrtuar dhe zgjidhur çështja e mundësisë së përdorimit të një vizoreje për zgjidhjen e problemeve klasike të ndërtimit me ndihmën e një busull dhe një vizore. Rezulton se problemet e ndërtimit mund të zgjidhen duke përdorur vetëm një vizore me skaje paralele. Gjatë zgjidhjes së problemeve më komplekse, duhet të mbështetemi në të ardhmen në të ashtuquajturat ndërtime themelore të konsideruara në këtë punim.

Materiali i paraqitur mund të zbatohet drejtpërdrejt jo vetëm në mësimet e matematikës, në klasat e një rrethi matematikor, por edhe në aktivitete praktike.

Lista e literaturës së përdorur

Aliyev A.V. Ndërtime gjeometrike. Matematika në shkollë. 1978 nr. 3

Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. M., Iluminizmi. 1981.

Depman I.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. M.. Arsimi. 1989.

Elensky Sh. Në gjurmët e Pitagorës. M., Detgiz. 1961.

Fjalor Enciklopedik i një Matematikani të Ri. M., Pedagogji. 1985

Shembull

Ndarja e një rreshti në gjysmë

Problemi i ndarjes. Përdorni një busull dhe një vijë të drejtë për të ndarë këtë segment AB në dy pjesë të barabarta. Një nga zgjidhjet është paraqitur në figurë:

• Busullat vizatojnë rrathë të përqendruar në pika A dhe B rreze AB.
• Gjetja e pikave të kryqëzimit P dhe P dy rrathë (harqe) të ndërtuar.
• Në një vizore, vizatoni një segment ose një vijë që kalon nëpër pika P dhe P.
• Gjetja e mesit të segmentit AB- pika e kryqëzimit AB dhe PQ.

Përkufizimi formal

Problemet e ndërtimit marrin në konsideratë grupin e të gjitha pikave të rrafshit, grupin e të gjitha vijave të rrafshit dhe grupin e të gjithë rrathëve të rrafshit, mbi të cilat lejohen veprimet e mëposhtme:

1. Zgjidhni një pikë nga grupi i të gjitha pikave:
   1. pikë arbitrare
   2. pikë arbitrare në një vijë të caktuar
   3. pikë arbitrare në një rreth të caktuar
   4. pika e prerjes së dy drejtëzave të dhëna
   5. pikat e kryqëzimit / tangjenca e një drejtëze të caktuar dhe një rrethi të caktuar
   6. pikat e kryqëzimit/tangjencave të dy rrathëve të dhënë
2. "Nëpërmjet sundimtarët» zgjidhni një rresht nga grupi i të gjitha rreshtave:
   1. vijë arbitrare
   2. një vijë arbitrare që kalon nëpër një pikë të caktuar
   3. një vijë që kalon nëpër dy pika të dhëna
3. "Nëpërmjet busull» zgjidhni një rreth nga grupi i të gjithë rrathëve:
   1. rreth arbitrar
   2. një rreth arbitrar me qendër në një pikë të caktuar
   3. një rreth arbitrar me një rreze të barabartë me distancën midis dy pikave të dhëna
   4. një rreth me qendër në një pikë të caktuar dhe me një rreze të barabartë me distancën midis dy pikave të dhëna

Në kushtet e problemit, specifikohet një grup i caktuar pikash. Kërkohet, duke përdorur një numër të kufizuar operacionesh, të ndërtohet një grup tjetër pikash nga operacionet e mësipërme të lejuara, i cili është në një marrëdhënie të caktuar me grupin origjinal.

Zgjidhja e problemit të ndërtimit përmban tre pjesë thelbësore:

1. Përshkrimi i metodës për ndërtimin e një grupi të caktuar.
2. Një provë që grupi i ndërtuar në mënyrën e përshkruar është me të vërtetë në një marrëdhënie të caktuar me grupin origjinal. Zakonisht vërtetimi i konstruksionit bëhet si vërtetim i rregullt i një teoreme, duke u mbështetur në aksioma dhe teorema të tjera të vërtetuara.
3. Analiza e metodës së përshkruar të ndërtimit për zbatueshmërinë e saj në variante të ndryshme të kushteve fillestare, si dhe për unike ose jo unike të zgjidhjes së marrë me metodën e përshkruar.

Çështje të njohura

• Problemi i Apolonit për ndërtimin e një rrethi tangjent me tre rrathë të dhënë. Nëse asnjë nga rrathët e dhënë nuk shtrihet brenda tjetrit, atëherë ky problem ka 8 zgjidhje thelbësisht të ndryshme.
• Problemi i Brahmagupta-s për ndërtimin e një katërkëndëshi të gdhendur në katër anët e tij.

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt

Gjeometrit e lashtë dinin të ndërtonin saktë n-gons për , , dhe .

Ndërtime të mundshme dhe të pamundura

Të gjitha konstruksionet nuk janë gjë tjetër veçse zgjidhje për disa ekuacione, dhe koeficientët e këtij ekuacioni lidhen me gjatësitë e segmenteve të dhëna. Prandaj, është e përshtatshme të flasim për ndërtimin e një numri - një zgjidhje grafike për një ekuacion të një lloji të caktuar. Në kuadër të kërkesave të mësipërme, janë të mundshme ndërtimet e mëposhtme:

• Ndërtimi i zgjidhjeve të ekuacioneve lineare.
• Ndërtimi i zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike.

Me fjalë të tjera, është e mundur të ndërtohen vetëm numra të barabartë me shprehjet aritmetike duke përdorur rrënjën katrore të numrave origjinalë (gjatësitë e segmenteve). Për shembull,

Variacione dhe përgjithësime

• Ndërtime me një busull të vetme. Sipas teoremës Mohr-Mascheroni, me ndihmën e një busulle, mund të ndërtoni çdo figurë që mund të ndërtohet me një busull dhe një vizore. Në këtë rast, një vijë konsiderohet e ndërtuar nëse mbi të janë dhënë dy pika.
• Ndërtime me një vizore të vetme.Është e lehtë të shihet se vetëm ndërtimet projektive të pandryshueshme mund të kryhen me ndihmën e një sundimtari. Në veçanti, është e pamundur edhe të ndahet segmenti në dy pjesë të barabarta, ose të gjendet qendra e rrethit të vizatuar. Por nëse ka një rreth të vizatuar paraprakisht në aeroplan me një qendër të shënuar, duke përdorur një vizore, mund të vizatoni të njëjtat ndërtime si me një busull dhe një vizore (teorema Poncelet-Steiner ( anglisht)), 1833. Nëse ka dy serife në vizore, atëherë ndërtimet që përdorin atë janë ekuivalente me ndërtimet që përdorin një busull dhe një vizore (Napoleoni bëri një hap të rëndësishëm në vërtetimin e kësaj).
• Ndërtime me mjete të kufizuara. Në problemet e këtij lloji, mjetet (në kontrast me formulimin klasik të problemit) konsiderohen jo ideale, por të kufizuara: një vijë e drejtë përmes dy pikave mund të vizatohet duke përdorur një vizore vetëm nëse distanca midis këtyre pikave nuk kalon një të caktuar. vlera; rrezja e rrathëve të vizatuar me një busull mund të kufizohet nga lart, poshtë ose nga lart dhe poshtë.
• Ndërtesë me origami të sheshtë. shih rregullat e Khujit

Shiko gjithashtu

• Programet e gjeometrisë dinamike ju lejojnë të vizatoni me një busull dhe një vijë të drejtë në një kompjuter.

Shënime

Letërsia

• A. Adler Teoria e ndërtimeve gjeometrike / Përkthyer nga gjermanishtja nga G. M. Fikhtengolts. - Botimi i tretë. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 f.
• I. I. Alexandrov Mbledhja e problemave gjeometrike për ndërtimin. - Botimi i tetëmbëdhjetë. - M .: Uchpedgiz, 1950. - 176 f.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Edicioni i dyte. - M .: Uchpedgiz, 1957. - 268 f.
• A. M. Voronets Gjeometria e busullës. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 f. - (Biblioteka Popullore e Matematikës, redaktuar nga L.A. Lyusternik).
• V. A. Geiler Probleme të pazgjidhshme ndërtimi // ftohës. - 1999. - Nr 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Ndërtimet me busull dhe vizore dhe teoria Galois // Shkolla Verore "Matematika moderne". - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin Libri IV. Gjeometria // Enciklopedia e matematikës elementare. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 568 f.
• Y. Petersen Metoda dhe teori për zgjidhjen e problemeve gjeometrike të ndërtimit. - M .: Shtypshkronja e E. Lissner dhe Yu. Roman, 1892. - 114 f.
• V. V. Prasolov Tre probleme klasike të ndërtimit. Dyfishimi i një kubi, treprerja e një këndi, kuadrimi i një rrethi. - M .: Nauka, 1992. - 80 f. - (Ligjërata popullore për matematikën).
• J. Shtajner Ndërtimet gjeometrike të kryera duke përdorur një vijë të drejtë dhe një rreth fiks. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 f.
• Kurs me zgjedhje në matematikë. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M .: Arsimi, 1991. - S. 80. - 383 f. - ISBN 5-09-001287-3

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Ndërtimi me busull dhe vizore" në fjalorë të tjerë:

Sundimtarët - merrni një kupon zbritje pune në Akademika VseTools ose blini me fitim sundimtarë me transport falas në shitje në VseTools

Seksion i gjeometrisë Euklidiane, i njohur që nga kohërat e lashta. Në detyrat e ndërtimit, operacionet e mëposhtme janë të mundshme: Shënoni një pikë arbitrare në plan, një pikë në një nga linjat e ndërtuara ose një pikë kryqëzimi të dy vijave të ndërtuara. Me ndihmën e ... ... Wikipedia

Konstruksione me ndihmën e një busull dhe një vijë të drejtë Një pjesë e gjeometrisë Euklidiane e njohur që nga kohërat e lashta. Në detyrat e ndërtimit, operacionet e mëposhtme janë të mundshme: Shënoni një pikë arbitrare në aeroplan, një pikë në një nga linjat e ndërtuara ose një pikë ... ... Wikipedia

P.sh., s., përdorim. komp. shpesh Morfologjia: (jo) çfarë? ndërtimi për çfarë? ndërtim, (shih) çfarë? duke ndërtuar çfarë? ndërtesa, për çfarë? rreth ndërtimit; pl. çfarë? ndërtim, (jo) çfarë? ndërtimet, pse? ndërtime, (shih) çfarë? ndërtim se?...... Fjalori i Dmitriev

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt="(!LANG:>Ndërtimi me vizore dhe busull Gjeometria">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="(!LANG:> Ndërtoni një segment të barabartë me Ú Problemi A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="(!LANG:> Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë Merrni parasysh trekëndëshat"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="(!LANG:> Ndërtimi i një përgjysmues këndi Problemi Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="(!LANG:> Ndërtimi i drejtëzave pingule Ú Problemi Jepet një drejtëz"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="(!LANG:> Ndërtimi i pikës së mesit të një segmenti Detyra Ú Ndërtimi i pikës së mesme të segmentit dhënë"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}