Përkufizimi i derivatit të parë dhe të dytë. Zgjidhja e derivateve për dummies: përkufizimi, mënyra për të gjetur, shembuj zgjidhjesh. Derivatet e funksioneve hiperbolike

DERIVATI I PARË

DERIVATI I PARË

(derivati ​​i parë) Shpejtësia me të cilën rritet vlera e një funksioni kur argumenti i tij rritet në çdo pikë, nëse vetë funksioni përcaktohet në atë pikë. Në grafik, derivati ​​i parë i një funksioni tregon pjerrësinë e tij. Nëse y=f(x), derivati ​​i tij i parë në pikë x0është kufiri në të cilin priret f(x0+а)–f(x0)/а si A priret në një vlerë të pafundme. Derivati ​​i parë mund të shënohet dy/dx ose y'(x). Funksioni y(x) ka një vlerë konstante në një pikë x0, Nëse dy/dx në pikën x0 barazohet me zero. Një derivat i parë i barabartë me zero është një kusht i domosdoshëm por jo i mjaftueshëm që funksioni të arrijë maksimumin ose minimumin e tij në një pikë të caktuar.

Ekonomia. Fjalor. - M.: "INFRA-M", Shtëpia Botuese "Ves Mir". J. Black. Redaktor i përgjithshëm: Doktor i Ekonomisë Osadchaya I.M.. 2000 .

Fjalori ekonomik. 2000 .

Shihni se çfarë është "FIRST DERIVATIV" në fjalorë të tjerë:

- (derivativ) Shpejtësia me të cilën rritet vlera e një funksioni kur argumenti i tij rritet në çdo pikë, nëse vetë funksioni përcaktohet në këtë pikë. Në grafik, derivati ​​i parë i një funksioni tregon pjerrësinë e tij. Nëse y=f(x), derivati ​​i parë i tij në pikën... ... Fjalori ekonomik

Ky term ka kuptime të tjera, shih Derivat. Ilustrim i konceptit të derivatit Derivati ​​... Wikipedia

Derivati ​​është koncepti bazë i llogaritjes diferenciale, që karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni. Përcaktohet si kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit të tij pasi rritja e argumentit tenton në zero, nëse një kufi i tillë... ... Wikipedia

Problemi i vlerës kufitare të një lloji të veçantë; konsiston në gjetjen e një zgjidhjeje në domenin e Variablave x=(x1,..., x n). ekuacioni diferencial(1) të rendit çift 2 m për vlerat e dhëna të të gjithë derivateve të rendit jo më të larta se m në kufirin S të rajonit D (ose një pjesë të tij) ... Enciklopedia matematikore

- (derivat i dytë) Derivati ​​i parë i derivatit të parë të funksionit. Derivati ​​i parë mat pjerrësinë e funksionit; Derivati ​​i dytë mat se si pjerrësia ndryshon me rritjen e argumentit. Derivati ​​i dytë i y = f(x)… … Fjalori ekonomik

Ky artikull ose seksion ka nevojë për rishikim. Ju lutemi përmirësoni artikullin në përputhje me rregullat për shkrimin e artikujve. Thyeshme rreth ... Wikipedia

- (derivativ i pjesshëm i kryqëzuar) Efekti i ndryshimit të një argumenti të një funksioni nga dy ose më shumë ndryshore në derivatin e një funksioni të caktuar të marrë në lidhje me një argument tjetër. Nëse y=f(x,z), atëherë derivati ​​i tij, ose derivati ​​i parë i funksionit y në lidhje me argumentin x, është i barabartë me... ... Fjalori ekonomik

analog i shpejtësisë së pikës- Derivati ​​i parë i lëvizjes së një pike përgjatë koordinatës së përgjithësuar të mekanizmit...

analog i shpejtësisë këndore të lidhjes- Derivati ​​i parë i këndit të rrotullimit të lidhjes në lidhje me koordinatat e përgjithësuara të mekanizmit... Fjalor shpjegues terminologjik politeknik

shpejtësia e përgjithësuar e mekanizmit- Derivati ​​i parë i koordinatës së përgjithësuar të mekanizmit në lidhje me kohën... Fjalor shpjegues terminologjik politeknik

libra

• Koleksioni i problemeve mbi gjeometrinë dhe topologjinë diferenciale, Mishchenko A.S.. Ky koleksion problemesh synon të pasqyrojë sa më shumë që të jetë e mundur kërkesat ekzistuese për lëndët e gjeometrisë dhe topologjisë diferenciale, si nga programet e reja ashtu edhe nga kurset e tjera...
• Artikujt e mi shkencor. Libri 3. Metoda e matricave të densitetit në teoritë kuantike të një lazeri, një atomi arbitrar, Bondarev Boris Vladimirovich. Ky libër shqyrton artikuj shkencorë të botuar në të cilët, duke përdorur metodën e matricave të densitetit, të reja teoritë kuantike lazer, atom arbitrar dhe oshilator kuantik me amortizues...

Ne paraqesim një tabelë përmbledhëse për lehtësi dhe qartësi gjatë studimit të temës.

Konstantey = C Funksioni i fuqisë y = x p (x p) " = p x p - 1	Funksioni eksponencialy = sëpatë (a x) " = a x ln a Në veçanti, kura = ene kemi y = e x (e x) " = e x
Funksioni logaritmik (log a x) " = 1 x ln a Në veçanti, kura = ene kemi y = logx (ln x) " = 1 x	Funksionet trigonometrike (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 mëkat 2 x
Funksionet trigonometrike të anasjellta (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funksionet hiperbolike (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Le të analizojmë se si janë marrë formulat e tabelës së specifikuar ose, me fjalë të tjera, do të vërtetojmë derivimin e formulave të derivateve për çdo lloj funksioni.

Derivat i një konstante

Dëshmia 1

Për të nxjerrë këtë formulë, marrim si bazë përkufizimin e derivatit të një funksioni në një pikë. Ne përdorim x 0 = x, ku x merr vlerën e çdo numri real, ose, me fjalë të tjera, xështë çdo numër nga fusha e funksionit f (x) = C. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit si ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Ju lutemi vini re se shprehja 0 ∆ x bie nën shenjën e kufirit. Nuk është pasiguria "zero pjesëtuar me zero", pasi numëruesi nuk përmban një vlerë pafundësisht të vogël, por saktësisht zero. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni konstant është gjithmonë zero.

Pra, derivati ​​i funksionit konstant f (x) = C është i barabartë me zero në të gjithë fushën e përkufizimit.

Shembulli 1

Janë dhënë funksionet konstante:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Zgjidhje

Le të përshkruajmë kushtet e dhëna. Në funksionin e parë shohim derivatin e numrit natyror 3. Në shembullin e mëposhtëm, ju duhet të merrni derivatin e A, Ku A- ndonjë numër real. Shembulli i tretë na jep derivatin e numrit irracional 4. 13 7 22, i katërti është derivati ​​i zeros (zero është një numër i plotë). Së fundi, në rastin e pestë kemi derivatin e thyesës racionale - 8 7.

Përgjigje: derivatet e funksioneve të dhëna janë zero për çdo real x(në të gjithë zonën e përkufizimit)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0, f 5" (x) = - 8 7" = 0

Derivat i një funksioni fuqie

Le të kalojmë te funksioni i fuqisë dhe formula për derivatin e tij, e cila ka formën: (x p) " = p x p - 1, ku eksponenti fqështë çdo numër real.

Dëshmia 2

Le të japim një provë të formulës kur eksponenti është numri natyror: p = 1, 2, 3, …

Ne përsëri mbështetemi në përkufizimin e një derivati. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni fuqie me rritjen e argumentit:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Për të thjeshtuar shprehjen në numërues, ne përdorim formulën binomiale të Njutonit:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Kështu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + .

Kështu, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie kur eksponenti është një numër natyror.

Dëshmia 3

Për të dhënë prova për rastin kur p-çdo numër real përveç zeros, ne përdorim derivatin logaritmik (këtu duhet të kuptojmë ndryshimin nga derivati ​​i një funksioni logaritmik). Për të pasur një kuptim më të plotë, këshillohet që të studiohet derivati ​​i një funksioni logaritmik dhe të kuptohet më tej derivati ​​i një funksioni të nënkuptuar dhe derivati ​​i një funksioni kompleks.

Le të shqyrtojmë dy raste: kur x pozitive dhe kur x negativ.

Pra x > 0. Pastaj: x p > 0 . Le të logaritmojmë barazinë y = x p në bazën e dhe të zbatojmë vetinë e logaritmit:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Në këtë fazë, ne kemi marrë një funksion të specifikuar në mënyrë implicite. Le të përcaktojmë derivatin e tij:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Tani shqyrtojmë rastin kur x - një numër negativ.

Nëse treguesi fq ka numër çift, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Pastaj x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Nëse fqështë një numër tek, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Tranzicioni i fundit është i mundur për faktin se nëse fq atëherë është një numër tek p - 1 ose një numër çift ose zero (për p = 1), pra, për negativ x barazia (- x) p - 1 = x p - 1 është e vërtetë.

Pra, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie për çdo p real.

Shembulli 2

Funksionet e dhëna:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Përcaktoni derivatet e tyre.

Zgjidhje

Ne transformojmë disa nga funksionet e dhëna në formën tabelare y = x p, bazuar në vetitë e shkallës, dhe më pas përdorim formulën:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat i një funksioni eksponencial

Prova 4

Le të nxjerrim formulën e derivatit duke përdorur përkufizimin si bazë:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Kemi paqartësi. Për ta zgjeruar atë, le të shkruajmë një ndryshore të re z = a ∆ x - 1 (z → 0 si ∆ x → 0). Në këtë rast, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Për tranzicionin e fundit, u përdor formula për kalimin në një bazë të re logaritmi.

Le të zëvendësojmë në kufirin origjinal:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Le të kujtojmë kufirin e dytë të shquar dhe më pas marrim formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Shembulli 3

Janë dhënë funksionet eksponenciale:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Është e nevojshme të gjenden derivatet e tyre.

Zgjidhje

Ne përdorim formulën për derivatin e funksionit eksponencial dhe vetitë e logaritmit:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat i një funksioni logaritmik

Dëshmia 5

Ne paraqesim një vërtetim të formulës për derivatin e një funksioni logaritmik për çdo x në fushën e përkufizimit dhe çdo vlerë të lejuar të bazës a të logaritmit. Bazuar në përkufizimin e derivatit, marrim:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Nga zinxhiri i treguar i barazive është e qartë se shndërrimet janë bazuar në vetinë e logaritmit. Kufiri i barazisë ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e është i vërtetë në përputhje me kufirin e dytë të shquar.

Shembulli 4

Janë dhënë funksionet logaritmike:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Është e nevojshme të llogariten derivatet e tyre.

Zgjidhje

Le të zbatojmë formulën e nxjerrë:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Pra, derivati ​​i logaritmit natyror është një pjesëtuar me x.

Derivatet e funksioneve trigonometrike

Prova 6

Le të përdorim disa formulat trigonometrike dhe kufiri i parë i shquar për të nxjerrë formulën për derivatin e një funksioni trigonometrik.

Sipas përkufizimit të derivatit të funksionit sinus, marrim:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula për diferencën e sinuseve do të na lejojë të kryejmë veprimet e mëposhtme:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Më në fund, ne përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Pra, derivati ​​i funksionit mëkat x do cos x.

Do të vërtetojmë gjithashtu formulën për derivatin e kosinusit:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - mëkat x

Ato. derivati ​​i funksionit cos x do të jetë – mëkat x.

Ne nxjerrim formulat për derivatet e tangjentes dhe kotangjentes bazuar në rregullat e diferencimit:

t g " x = mëkat x cos x " = mëkat " x · cos x - mëkat x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - mëkat x · (- mëkat x) cos 2 x = mëkat 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - mëkat x · mëkat x - cos x · cos x mëkat 2 x = - mëkat 2 x + cos 2 x mëkat 2 x = - 1 mëkat 2 x

Derivatet e funksioneve trigonometrike të anasjellta

Seksioni mbi derivatin e funksioneve të anasjellta ofron informacion gjithëpërfshirës mbi vërtetimin e formulave për derivatet e arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit, kështu që ne nuk do ta dublikojmë materialin këtu.

Derivatet e funksioneve hiperbolike

Dëshmia 7

Ne mund të nxjerrim formulat për derivatet e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit duke përdorur rregullën e diferencimit dhe formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h 2 x 2 x =

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e kundërt. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Ekspozuesi dhe logaritmi natyror- funksionet janë unike të thjeshta për sa i përket derivateve. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi kjo funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta sjellim funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë në një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë shiritin e çokollatës, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: së pari ju e vendosni atë në katror dhe më pas unë kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë përfundimisht rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Mund të nxirret si shenjë derivatore:

(af(x)" =af " (x).

Për shembull:

Derivat i një shume algjebrike disa funksione (të marra në numra konstante) është e barabartë me shumën algjebrike të tyre derivatet:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).

Për shembull:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivatore e fundit afati ekuacioni është zero).

Nëse derivat i një funksioni g është jozero, atëherë ka edhe raporti f/g derivati ​​përfundimtar. Kjo pronë mund të shkruhet si:

.

Le funksione y = f(x) dhe y = g(x) kanë derivatet e fundme në pikën x 0 . Pastaj funksione f ± g dhe f g gjithashtu kanë derivatet e fundme në kjo pikë. Pastaj marrim:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivat i një funksioni kompleks.

Le funksionin y = f(x) ka derivat i fundëm në një pikë x 0 , funksioni z = s(y) ka një derivat të fundëm në pikën y 0 = f(x 0).

Pastaj funksion kompleks z = s (f(x)) gjithashtu ka një derivat të fundëm në këtë pikë. Sa më sipër mund të shkruhet në formën:

.

Derivat i funksionit të anasjelltë.

Le të ketë funksioni y = f(x). funksioni i anasjelltë x = g(y) në disa intervali(a, b) dhe ka një jozero derivati ​​përfundimtar ky funksion në pikën x 0, që i përket fusha e përkufizimit, d.m.th. x 0 ∈ (a, b).

Pastaj funksioni i anasjelltë Ajo ka derivatore në pikën y 0 = f(x 0):

.

Derivat i një funksioni të nënkuptuar.

Nëse funksionin y = f(x) jepet në mënyrë implicite ekuacioni F(x, y(x)) = 0, pastaj është derivatore gjendet nga gjendja:

.

Ata thonë se funksionin y = f(x) specifikohet në mënyrë implicite, Nese ajo në mënyrë identike plotëson relacionin:

ku F(x, y) është një funksion i dy argumenteve.

Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.

Nëse funksionin y = f(x) është specifikuar në mënyrë parametrike duke përdorur konsideruar

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme analiza matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është fizik i tij dhe kuptimi gjeometrik si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik derivat: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulla e katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka kurthe në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Mbrapa afatshkurtër Ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testet më të vështira dhe të zgjidhni problemet, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.