Përgatitja për në shkollë

Enciklopedia e Matematikës. Enciklopedia e Matematikës Aksiomat dhe metodat e vërtetimit

Shkarkoni librin Enciklopedia e Matematikës në 5 vëllime absolutisht falas.

Për të shkarkuar një libër falas nga hostimi i skedarëve, klikoni në lidhjet menjëherë pas përshkrimit të librit falas.

Të nderuar lexues, nëse nuk keni pasur sukses

shkarko Enciklopedinë matematikore në 5 vëllime

shkruani në lidhje me të në komente dhe ne patjetër do t'ju ndihmojmë.

Shpresojmë që të keni pëlqyer librin dhe të keni shijuar duke e lexuar atë. Si falënderim, mund të lini një lidhje në faqen tonë në forum ose blog :) Libër elektronik Enciklopedia Matematikore në 5 vëllime ofrohet vetëm për informacion përpara se të blini një libër letre dhe nuk është konkurrent i botimeve të shtypura.

Përmbajtja e artikullit

MATEMATIKA. Matematika zakonisht përcaktohet duke renditur titujt e disa prej ndarjeve të saj tradicionale. Para së gjithash, është aritmetika, e cila merret me studimin e numrave, marrëdhëniet ndërmjet tyre dhe rregullat e veprimit ndaj numrave. Faktet e aritmetikës pranojnë interpretime të ndryshme konkrete; për shembull, raporti 2 + 3 = 4 + 1 korrespondon me pohimin se dy dhe tre libra përbëjnë të njëjtin numër librash si katër dhe një. Çdo lidhje e tipit 2 + 3 = 4 + 1, d.m.th. marrëdhënia ndërmjet objekteve thjesht matematikore pa iu referuar asnjë lloj interpretimi nga bota fizike quhet abstrakt. Natyra abstrakte e matematikës bën të mundur përdorimin e saj në zgjidhjen më të madhe probleme të ndryshme... Për shembull, algjebra, e cila merret me veprimet mbi numrat, ju lejon të zgjidhni probleme që shkojnë përtej aritmetikës. Një degë më specifike e matematikës është gjeometria, detyra kryesore e së cilës është studimi i madhësive dhe formave të objekteve. Kombinimi i metodave algjebrike dhe gjeometrike çon, nga njëra anë, në trigonometrinë (fillimisht kushtuar studimit të trekëndëshave gjeometrikë, dhe tani që mbulon një gamë shumë më të gjerë çështjesh), dhe nga ana tjetër, në gjeometrinë analitike, në të cilën gjeometria trupat dhe figurat hetohen me metoda algjebrike. Ekzistojnë disa degë të algjebrës dhe gjeometrisë më të lartë, të cilat kanë një shkallë më të lartë abstraksioni dhe nuk përfshihen në studimin e numrave të zakonshëm dhe figurave të zakonshme gjeometrike; disiplina më abstrakte gjeometrike quhet topologji.

Analiza matematikore merret me studimin e madhësive që ndryshojnë në hapësirë ose kohë, dhe bazohet në dy koncepte themelore - një funksion dhe një kufi, të cilat nuk gjenden në degët më elementare të matematikës. Fillimisht, analiza matematikore përbëhej nga llogaritja diferenciale dhe integrale, por tani përfshin seksione të tjera.

Ekzistojnë dy fusha kryesore të matematikës - matematika e pastër, e cila thekson arsyetimin deduktiv dhe matematika e aplikuar. Termi "matematikë e aplikuar" ndonjëherë u referohet atyre degëve të matematikës që krijohen posaçërisht për të përmbushur nevojat dhe kërkesat e shkencës, dhe nganjëherë atyre degëve të shkencave të ndryshme (fizikë, ekonomi, etj.) që përdorin matematikën si mjet zgjidhjen e detyrave të tyre. Shumë keqkuptime të zakonshme rreth matematikës lindin nga përzierja e këtyre dy interpretimeve të "matematikës së aplikuar". Aritmetika është një shembull i matematikës së aplikuar në kuptimin e parë, dhe kontabilitetit në kuptimin e dytë.

Në kundërshtim me besimin popullor, matematika vazhdon të përparojë me shpejtësi. Revista Mathematical Review boton përafërsisht. 8000 abstrakte të punimeve që përmbajnë rezultatet më të fundit - fakte të reja matematikore, prova të reja të fakteve të vjetra, madje edhe informacione për fusha krejtësisht të reja të matematikës. Tendenca aktuale në arsimin e matematikës është t'i prezantojë studentët me idetë matematikore moderne, më abstrakte në një fazë të hershme të mësimdhënies së matematikës. Shiko gjithashtu HISTORIA E MATEMATIKAVE. Matematika është një nga gurët themelorë të qytetërimit, por shumë pak njerëz kanë një ide për gjendjen aktuale të punëve në këtë shkencë.

Gjatë njëqind viteve të fundit, matematika ka pësuar ndryshime të jashtëzakonshme si në aspektin e lëndës ashtu edhe në metodat e kërkimit. Në këtë artikull, ne do të përpiqemi të japim një ide të përgjithshme të fazave kryesore në evolucionin e matematikës moderne, rezultatet kryesore të së cilës mund të konsiderohen, nga njëra anë, një rritje e hendekut midis matematikës së pastër dhe asaj të aplikuar, dhe nga ana tjetër, një rimendim i plotë i fushave tradicionale të matematikës.

ZHVILLIMI I METODËS MATEMATIKE

Lindja e matematikës.

Rreth vitit 2000 para Krishtit u vu re se në një trekëndësh me brinjë 3, 4 dhe 5 njësi gjatësie, një nga këndet është 90 ° (ky vëzhgim e bëri të lehtë ndërtimin e një këndi të drejtë për nevoja praktike). A e vutë re atëherë raportin 5 2 = 3 2 + 4 2? Nuk kemi asnjë informacion në lidhje me këtë. Disa shekuj më vonë, u zbulua një rregull i përgjithshëm: në çdo trekëndësh ABC me kënd të drejtë në majë A dhe partitë b = AS dhe c = AB, ndërmjet të cilit ky kënd është i mbyllur, dhe ana e kundërt a = para Krishtit lidhja është e vërtetë a 2 = b 2 + c 2. Mund të thuhet se shkenca fillon kur masa e vëzhgimeve individuale shpjegohet me një ligj të përgjithshëm; prandaj, zbulimi i "teoremës së Pitagorës" mund të konsiderohet si një nga shembujt e parë të njohur të një arritjeje vërtet shkencore.

Por edhe më e rëndësishme për shkencën në përgjithësi dhe për matematikën në veçanti është ajo, së bashku me formulimin ligji i përgjithshëm ka përpjekje për ta vërtetuar, d.m.th. tregojnë se ai rrjedh detyrimisht nga vetitë e tjera gjeometrike. Një nga "provat" lindore është veçanërisht e habitshme në thjeshtësinë e saj: katër trekëndësha, të barabartë me këtë, janë gdhendur në një katror. BCDE siç tregohet në vizatim. Zona katrore a 2 rezulton të jetë e ndarë në katër trekëndësha të barabartë me një sipërfaqe totale prej 2 p.e.s dhe katror AFGH zona ( b – c) 2. Në këtë mënyrë, a 2 = (b – c) 2 + 2p.e.s = (b 2 + c 2 – 2p.e.s) + 2p.e.s = b 2 + c 2. Është udhëzuese të hidhet një hap më shumë dhe të zbulohet më saktë se cilat prona "të mëparshme" supozohet se njihen. Fakti më i dukshëm është se që nga trekëndëshat BAC dhe BEF saktësisht, pa boshllëqe dhe mbivendosje, "të përshtatura" përgjatë anëve BA dhe Bf, kjo do të thotë se dy qoshet në kulme B dhe ME në një trekëndësh ABC së bashku përbëjnë një kënd prej 90 ° dhe për këtë arsye shuma e të tre këndeve të tij është 90 ° + 90 ° = 180 °. "Prova" e mësipërme përdor gjithashtu formulën ( p.e.s/ 2) për sipërfaqen e trekëndëshit ABC Këndi i majës 90 ° A... Në fakt, janë përdorur supozime të tjera, por mjafton ajo që u tha, që të mund të shohim qartë mekanizmin thelbësor të provës matematikore - arsyetimi deduktiv, i cili na lejon të nxjerrim përfundimin nga rezultatet e njohura pronat e reja, si rregull, nuk rrjedhin drejtpërdrejt nga të dhënat e disponueshme.

Aksiomat dhe metodat e provës.

Një nga veçoritë themelore të metodës matematikore është procesi i krijimit, duke përdorur argumente thjesht logjike të ndërtuara me kujdes, të një zinxhiri pohimesh në të cilat çdo lidhje pasuese është e lidhur me ato të mëparshmet. Konsiderata e parë mjaft e qartë është se duhet të ketë një lidhje të parë në çdo zinxhir. Kjo rrethanë u bë e dukshme për grekët kur ata filluan të sistemojnë grupin e argumenteve matematikore në shekullin e VII. para Krishtit. Për të zbatuar këtë plan, grekëve u duheshin përafërsisht. 200 vjet, dhe dokumentet e mbijetuara japin vetëm një ide të përafërt se si vepruan saktësisht. Ne kemi informacion të saktë vetëm për rezultatin përfundimtar të hulumtimit - të famshëm fillimet Euklidi (rreth 300 para Krishtit). Euklidi fillon duke renditur pikat e fillimit nga të cilat të gjitha të tjerat nxirren me mjete thjesht logjike. Këto dispozita quhen aksioma ose postulate (termet janë praktikisht të këmbyeshëm); ato shprehin ose veti shumë të përgjithshme dhe disi të paqarta të objekteve të çdo lloji, për shembull, "e tëra është më e madhe se një pjesë", ose disa veti specifike matematikore, për shembull, që për çdo dy pika ka një vijë të vetme që i lidh ato. Ne gjithashtu nuk kemi asnjë informacion nëse grekët i kanë dhënë ndonjë kuptim apo rëndësi më të thellë "të vërtetës" së aksiomave, megjithëse ka disa sugjerime që, para se të pranonin disa aksioma, grekët i diskutuan ato për ca kohë. Tek Euklidi dhe pasuesit e tij, aksiomat paraqiten vetëm si pikënisje për ndërtimin e matematikës pa asnjë koment për natyrën e tyre.

Sa i përket metodave të provës, ato, si rregull, u reduktuan në përdorimin e drejtpërdrejtë të teoremave të provuara më parë. Ndonjëherë, megjithatë, logjika e arsyetimit doli të ishte më e ndërlikuar. Këtu do të përmendim metodën e preferuar të Euklidit, e cila hyri në praktikën e përditshme të matematikës - vërtetimi indirekt, ose vërtetimi me kontradiktë. Si shembull elementar i vërtetimit me kontradiktë, tregojmë se një tabelë shahu nga e cila janë prerë dy kënde, të vendosura në skajet e kundërta të diagonales, nuk mund të mbulohet me domino, secila prej të cilave është e barabartë me dy katrorë. (Supozohet se çdo katror i tabelës së shahut duhet të mbulohet vetëm një herë.) Supozoni se pohimi i kundërt ("e kundërta") është i vërtetë, d.m.th. se dërrasa mund të mbulohet me kocka domino. Çdo pllakë mbulon një katror të zi dhe një të bardhë, kështu që pavarësisht se ku ndodhen domino, ato mbulojnë një numër të barabartë katrorësh bardh e zi. Megjithatë, për faktin se janë hequr dy kuadratet e qosheve, tabela e shahut (që fillimisht kishte sa katrorë të zinj sa katrorë të bardhë) ka dy katrorë më shumë të një ngjyre sesa katrorë të ngjyrës tjetër. Kjo do të thotë se supozimi ynë fillestar nuk mund të jetë i vërtetë, pasi çon në një kontradiktë. Dhe meqenëse gjykimet kontradiktore nuk mund të jenë njëkohësisht të rreme (nëse njëri prej tyre është i rremë, atëherë e kundërta është e vërtetë), supozimi ynë fillestar duhet të jetë i vërtetë, sepse supozimi kundërshtues është i rremë; prandaj, një tabelë shahu me dy kënde të prera diagonalisht nuk mund të mbulohet me domino. Pra, për të vërtetuar ndonjë pohim, mund të supozojmë se është i rremë, dhe nga ky supozim të nxjerrim një kontradiktë me ndonjë pohim tjetër, e vërteta e të cilit dihet.

Një shembull i shkëlqyer i vërtetimit me kontradiktë, i cili u bë një nga piketa në zhvillimin e matematikës së lashtë greke, është një provë që nuk është një numër racional, d.m.th. nuk paraqitet si thyesë fq/q, ku fq dhe q- numrat e plotë. Nëse, atëherë 2 = fq 2 /q 2, prej nga fq 2 = 2q 2. Supozoni se ka dy numra të plotë fq dhe q per cilin fq 2 = 2q 2. Me fjalë të tjera, supozojmë se ekziston një numër i plotë, katrori i të cilit është dyfishi i katrorit të një numri tjetër të plotë. Nëse ndonjë numër i plotë e plotëson këtë kusht, atëherë njëri prej tyre duhet të jetë më i vogël se të gjithë të tjerët. Le të përqendrohemi në më të voglin nga këta numra. Le të jetë një numër fq... Që nga 2 q 2 është një numër çift dhe fq 2 = 2q 2, pastaj numri fq 2 duhet të jetë i barabartë. Meqenëse katrorët e të gjithë numrave tek janë tek, dhe katrori fq 2 është çift, do të thotë vetë numri fq duhet të jetë i barabartë. Me fjalë të tjera, numri fq dy herë ndonjë numër i plotë r... Sepse fq = 2r dhe fq 2 = 2q 2, kemi: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 dhe q 2 = 2r 2. Barazia e fundit ka të njëjtën formë si barazia fq 2 = 2q 2, dhe ne mund, duke përsëritur të njëjtin arsyetim, të tregojmë se numri qështë çift dhe se ekziston një numër i tillë i plotë s, çfarë q = 2s... Por pastaj q 2 = (2s) 2 = 4s 2, dhe që nga ajo kohë q 2 = 2r 2, arrijmë në përfundimin se 4 s 2 = 2r 2 ose r 2 = 2s 2. Kjo na jep një numër të dytë të plotë që plotëson kushtin që katrori i tij të jetë dyfishi i katrorit të një numri tjetër të plotë. Por pastaj fq nuk mund të jetë numri më i vogël i tillë (pasi r = fq/ 2), megjithëse fillimisht supozuam se është më i vogli nga numrat e tillë. Prandaj, supozimi ynë origjinal është i rremë, pasi çon në një kontradiktë, dhe për këtë arsye nuk ka numra të tillë të plotë fq dhe q per cilin fq 2 = 2q 2 (d.m.th. i tillë që). Kjo do të thotë se numri nuk mund të jetë racional.

Nga Euklidi deri në fillim të shekullit të 19-të

Gjatë kësaj periudhe, matematika pësoi ndryshime të rëndësishme si rezultat i tre risive.

(1) Gjatë zhvillimit të algjebrës, u shpik një metodë e shënimit simbolik, e cila bëri të mundur paraqitjen në një formë të shkurtuar marrëdhëniet gjithnjë e më komplekse midis sasive. Si shembull i shqetësimeve që do të lindnin nëse nuk do të kishte një "shkrim kursiv" të tillë, le të përpiqemi të përcjellim me fjalë raportin ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Sipërfaqja e një katrori me një brinjë të barabartë me shumën e brinjëve të dy katrorëve të dhënë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tyre së bashku me dyfishin e sipërfaqes së një drejtkëndëshi brinjët e të cilit janë të barabarta me brinjët e këto sheshe”.

(2) Krijimi në gjysmën e parë të shekullit të 17-të. gjeometria analitike, e cila bëri të mundur reduktimin e çdo problemi të gjeometrisë klasike në ndonjë problem algjebrik.

(3) Krijimi dhe zhvillimi në periudhën nga 1600 deri në 1800 të llogaritjes së pafundësishme, e cila bëri të mundur zgjidhjen e lehtë dhe sistematike të qindra problemeve që lidhen me konceptet e kufirit dhe vazhdimësisë, vetëm disa prej të cilave u zgjidhën me shumë vështirësitë e matematikanëve të lashtë grekë. Këto degë të matematikës diskutohen më hollësisht në artikujt ALGEBRA; GJEOMETRI ANALITIKE ; ANALIZA MATEMATIKE ; VËSHTRIM I PËRGJITHSHËM GJEOMETRI.

Që nga shekulli i 17-të. gradualisht po bëhet më e qartë pyetja, e cila deri më tani ka mbetur e pazgjidhshme. Çfarë është matematika? Deri në vitin 1800, përgjigja ishte mjaft e thjeshtë. Në atë kohë, nuk kishte kufij të qartë midis shkencave të ndryshme, matematika ishte pjesë e " filozofia natyrore"- një studim sistematik i natyrës me metoda të propozuara nga reformatorët e mëdhenj të Rilindjes dhe fillimit të shekullit të 17-të. - Galileo (1564-1642), F. Bacon (1561-1626) dhe R. Descartes (1596-1650). Besohej se matematikanët kishin fushën e tyre të studimit - numrat dhe objektet gjeometrike, dhe se matematikanët nuk përdornin metodën eksperimentale. Megjithatë, Njutoni dhe pasuesit e tij studiuan mekanikën dhe astronominë duke përdorur metodën aksiomatike, e ngjashme me mënyrën se si gjeometria u prezantua në Euklid. Në përgjithësi, u pranua se çdo shkencë në të cilën rezultatet e një eksperimenti janë të përfaqësuara në aspektin e numrave ose sistemeve të numrave bëhet një fushë e aplikimit të matematikës (në fizikë ky koncept u krijua vetëm në shekullin e 19-të).

Fushat e shkencës eksperimentale që i janë nënshtruar përpunimit matematikor shpesh quhen "matematikë e aplikuar"; ky është një emër shumë për të ardhur keq, pasi as sipas standardeve klasike dhe as moderne në këto aplikacione nuk ka (në kuptimin e ngushtë) argumente vërtet matematikore, pasi objekti i kërkimit në to janë objekte jo matematikore. Pasi të dhënat eksperimentale të jenë përkthyer në gjuhën e numrave ose ekuacioneve (një "përkthim" i tillë shpesh kërkon shkathtësi të madhe nga ana e një matematikani "të aplikuar"), bëhet e mundur përdorimi i gjerë i teoremave matematikore; rezultati më pas përkthehet dhe krahasohet me vëzhgimet. Fakti që termi "matematikë" përdoret për këtë lloj procesi është një nga burimet e keqkuptimeve të pafundme. Në kohët "klasike", për të cilat po flasim tani, ky lloj keqkuptimi nuk ekzistonte, pasi të njëjtët njerëz ishin matematikanë "të aplikuar" dhe "të pastër", njëkohësisht që merreshin me probleme të analizës matematikore ose të teorisë së numrave dhe probleme të dinamike apo optike. Megjithatë, rritja e specializimit dhe tendenca për të izoluar matematikanin "të pastër" dhe "të aplikuar" dobësoi ndjeshëm traditën e mëparshme ekzistuese të universalitetit, dhe shkencëtarët të cilët, si J. von Neumann (1903-1957), ishin në gjendje të drejtonin një aktiv. veprimtaria shkencore si në matematikën e aplikuar ashtu edhe në atë të pastër, janë bërë përjashtim dhe jo rregull.

Cila është natyra e objekteve matematikore – numrave, pikave, drejtëzave, këndeve, sipërfaqeve, etj. – që ne e morëm si të mirëqenë se ekzistonin? Çfarë do të thotë koncepti i "të vërtetës" në lidhje me objekte të tilla? Përgjigje mjaft të qarta iu dhanë këtyre pyetjeve në periudhën klasike. Sigurisht, shkencëtarët e asaj epoke e kuptuan qartë se në botën e ndjesive tona nuk ka gjëra të tilla si një "vijë e drejtë pafundësisht e zgjatur" ose "pika pa dimension" e Euklidit, pasi nuk ka "metale të pastra", "dritë monokromatike". ", "sisteme të izoluara termikisht", etj. .d., të cilat eksperimentuesit veprojnë në arsyetimin e tyre. Të gjitha këto koncepte janë “ide platonike”, d.m.th. një lloj modeli gjenerues i koncepteve empirike, ndonëse të një natyre rrënjësisht të ndryshme. Megjithatë, në heshtje supozohej se "imazhet" fizike të ideve mund të ishin aq të afërta sa të dëshirohej me vetë idetë. Në masën që në përgjithësi mund të pohohet diçka në lidhje me afërsinë e objekteve me idetë, thuhet se "idetë" janë, si të thuash, "raste kufizuese" të objekteve fizike. Nga ky këndvështrim, aksiomat dhe teoremat e Euklidit që rrjedhin prej tyre shprehin vetitë e objekteve "ideale", të cilat duhet të korrespondojnë me fakte eksperimentale të parashikueshme. Për shembull, matja e këndeve të një trekëndëshi të formuar nga tre pika në hapësirë me metoda optike, në "rastin ideal" duhet të japë një shumë të barabartë me 180 °. Me fjalë të tjera, aksiomat vendosen në të njëjtin nivel me ligjet fizike, dhe për këtë arsye "e vërteta" e tyre perceptohet në të njëjtën mënyrë si e vërteta e ligjeve fizike; ato. pasojat logjike nga aksiomat i nënshtrohen verifikimit duke krahasuar me të dhënat eksperimentale. Natyrisht, marrëveshja mund të arrihet vetëm brenda gabimit që lidhet me natyrën "të papërsosur" të pajisjes matëse dhe "natyrën e papërsosur" të objektit të matur. Megjithatë, gjithmonë supozohet se nëse ligjet janë "të vërteta", atëherë përmirësimet në proceset e matjes, në parim, lejojnë që gabimi i matjes të bëhet arbitrarisht i vogël.

Gjatë gjithë shekullit të 18-të. kishte gjithnjë e më shumë dëshmi se të gjitha pasojat e marra nga aksiomat bazë, veçanërisht në astronomi dhe mekanikë, janë në përputhje me të dhënat eksperimentale. Dhe duke qenë se këto pasoja u morën duke përdorur aparatin matematikor që ekzistonte në atë kohë, sukseset e arritura kontribuan në forcimin e mendimit për vërtetësinë e aksiomave të Euklidit, i cili, siç thoshte Platoni, "është i qartë për të gjithë" dhe nuk i nënshtrohet. diskutim.

Dyshime dhe shpresa të reja.

Gjeometria jo-Euklidiane.

Ndër postulatet e cituara nga Euklidi, njëri ishte aq i paqartë sa që edhe studentët e parë të matematikanit të madh e konsideruan atë një pikë të dobët në sistem. Filloi... Aksioma në fjalë thotë se përmes një pike që shtrihet jashtë një drejtëze të caktuar, mund të vizatohet vetëm një drejtëz paralele me një drejtëz të caktuar. Shumica e gjeometrave besonin se aksioma paralele mund të vërtetohej duke përdorur aksioma të tjera dhe se Euklidi e formuloi pohimin paralel si një postulat thjesht sepse ai nuk mund të dilte me një provë të tillë. Por megjithatë matematikanët më të mirë u përpoq të zgjidhte problemin paralel, asnjëri prej tyre nuk arriti të tejkalonte Euklidin. Më në fund, në gjysmën e dytë të shekullit të 18-të. U bënë përpjekje për të vërtetuar postulatin e Euklidit për paralel dhe kontradiktor. Supozohej se aksioma paralele është e gabuar. A priori, postulati i Euklidit mund të rezultojë i rremë në dy raste: nëse është e pamundur të vizatohet një paralele e vetme përmes një pike jashtë vijës së drejtë të dhënë; ose nëse përmes tij mund të tërhiqen disa paralele. Doli se mundësia e parë a priori përjashtohet nga aksioma të tjera. Duke adoptuar një aksiomë të re në vend të aksiomës tradicionale paralele (që përmes një pike jashtë një vije të caktuar të drejtë mund të vizatohen disa vija të drejta paralele me një të dhënë), matematikanët u përpoqën të nxirrnin prej saj një pohim që bie ndesh me aksiomat e tjera, por dështuan: sado që u përpoqën të nxirrnin pasoja nga aksioma e re “anti-Euklidiane” apo “jo-Euklidiane”, kontradikta nuk u shfaq. Më në fund, pavarësisht nga njëri-tjetri, NI Lobachevsky (1793-1856) dhe J. Boyai (1802-1860) kuptuan se postulati i paraleleve të Euklidit ishte i paprovueshëm, ose, me fjalë të tjera, një kontradiktë nuk do të shfaqej në "gjeometrinë jo-Euklidiane". .

Me ardhjen e gjeometrisë jo-Euklidiane, menjëherë u ngritën disa probleme filozofike. Meqenëse pretendimi për një domosdoshmëri apriori të aksiomave është zhdukur, e vetmja mënyrë për të kontrolluar "të vërtetën" e tyre mbeti - ajo eksperimentale. Por, siç vuri në dukje më vonë Poincaré (1854–1912), ka kaq shumë supozime fizike të fshehura në përshkrimin e çdo dukurie saqë asnjë eksperiment nuk mund të sigurojë një provë bindëse të së vërtetës ose falsitetit të një aksiome matematikore. Për më tepër, edhe nëse supozojmë se bota jonë është "jo-Euklidiane", a rrjedh nga kjo se e gjithë gjeometria Euklidiane është e rreme? Me sa dihet, asnjë matematikan nuk e ka marrë seriozisht një hipotezë të tillë. Intuita diktoi që gjeometritë Euklidiane dhe jo-Euklidiane janë shembuj të matematikës së plotë.

"Përbindësha" matematikore.

Papritur, ata arritën në të njëjtat përfundime nga një anë krejtësisht e ndryshme - u zbuluan objekte që zhytën matematikanët e shekullit të 19-të. i tronditur dhe i quajtur “përbindëshat matematikorë”. Ky zbulim lidhet drejtpërdrejt me pyetjet shumë delikate të analizës matematikore që u ngritën vetëm në mesin e shekullit të 19-të. Vështirësitë u shfaqën kur përpiqeshim të gjejmë një analog të saktë matematikor të konceptit eksperimental të një kurbë. Cili ishte thelbi i konceptit të "lëvizjes së vazhdueshme" (për shembull, maja e një stilolapsi vizatimor që lëviz në një fletë letre) i nënshtrohej një përkufizimi të saktë matematikor dhe ky qëllim u arrit kur koncepti i vazhdimësisë fitoi një matematikë të rreptë. kuptimi ( cm. gjithashtu KURVE). Intuitivisht, dukej se "lakorja" në secilën nga pikat e saj ka një lloj drejtimi, d.m.th. në rastin e përgjithshëm, në afërsi të secilës prej pikave të saj, kurba sillet pothuajse në të njëjtën mënyrë si një vijë e drejtë. (Nga ana tjetër, është e lehtë të imagjinohet se një kurbë ka një numër të fundëm pikash qoshe, "të përkulura", si një shumëkëndësh.) Kjo kërkesë mund të formulohej matematikisht, domethënë, supozohej ekzistenca e një tangjente me lakoren. , dhe deri në mesin e shekullit të 19-të. besohej se "kurba" ka një tangjente pothuajse në të gjitha pikat e saj, ndoshta me përjashtim të disa pikave "njëjës". Prandaj, zbulimi i "lakoreve" që nuk kishin një tangjente në asnjë moment, shkaktoi një skandal të vërtetë ( cm. gjithashtu TEORIA E FUNKSIONIVE). (Një lexues i njohur me trigonometrinë dhe gjeometrinë analitike mund të verifikojë lehtësisht se kurba e dhënë nga ekuacioni y = x mëkat (1 / x), nuk ka një tangjente në origjinë, por është shumë më e vështirë të përcaktohet një kurbë që nuk ka një tangjente në asnjërën nga pikat e saj.)

Pak më vonë, u mor një rezultat shumë më "patologjik": arritëm të ndërtonim një shembull të një kurbë që mbush plotësisht katrorin. Që atëherë, qindra "përbindësh" të tillë janë shpikur, në kundërshtim me "mendimin e shëndoshë". Duhet theksuar se ekzistenca e objekteve të tilla matematikore të pazakonta rrjedh nga aksiomat bazë aq rigorozisht dhe logjikisht pa të meta sa ekzistenca e një trekëndëshi ose elipsi. Meqenëse "përbindëshat" matematikorë nuk mund të korrespondojnë me asnjë objekt eksperimental, dhe i vetmi përfundim i mundshëm është se bota e "ideve" matematikore është shumë më e pasur dhe më e pazakontë nga sa mund të pritej, dhe shumë pak prej tyre kanë korrespondencë në botën e ndjesive tona. . Por nëse "përbindëshat" matematikore rrjedhin logjikisht nga aksiomat, atëherë a mund të konsiderohen akoma të vërteta aksiomat?

Objekte të reja.

Rezultatet e mësipërme u vërtetuan edhe në një anë: në matematikë, kryesisht në algjebër, filluan të shfaqen njëri pas tjetrit objekte të reja matematikore, të cilat ishin përgjithësime të konceptit të numrit. Numrat e plotë të zakonshëm janë mjaft "intuitiv" dhe nuk është aspak e vështirë të arrish në një koncept eksperimental të një fraksioni (megjithëse duhet pranuar se operacioni i ndarjes së një njësie në disa pjesë të barabarta dhe zgjedhja e disa prej tyre janë të natyrshme ndryshe nga procesi i numërimit). Pasi u bë e qartë se numri nuk përfaqësohet në formën e një thyese, grekët u detyruan të marrin në konsideratë numrat irracionalë, përkufizimi i saktë i të cilëve me ndihmën e një sekuence të pafundme përafrimesh me numra racional i përket arritjeve më të larta të mendja njerëzore, por vështirë se korrespondon me ndonjë gjë reale në botën tonë fizike (ku çdo matje është gjithmonë e prirur ndaj gabimeve). Sidoqoftë, futja e numrave irracionalë u zhvillua pak a shumë në frymën e "idealizimit" të koncepteve fizike. Po numrat negativë, të cilët dalëngadalë, duke hasur në rezistencë të madhe, filluan të hyjnë në përdorim shkencor në lidhje me zhvillimin e algjebrës? Mund të argumentohet me siguri se nuk kishte objekte fizike të gatshme, duke filluar nga të cilat, duke përdorur procesin e abstraksionit të drejtpërdrejtë, mund të zhvillonim konceptin e një numri negativ dhe në mësimin e një kursi elementar algjebër duhet të prezantojmë shumë shembuj ndihmës dhe mjaft kompleks (segmente të orientuara, temperatura, borxhe etj.) për të sqaruar se çfarë janë numrat negativë. Një situatë e tillë është shumë larg konceptit "e qartë për të gjithë", siç kërkonte Platoni nga idetë që qëndrojnë në themel të matematikës, dhe nuk është e pazakontë të takosh maturantë për të cilët rregulli i shenjave (- a)(–b) = ab. Shiko gjithashtu NUMRI .

Situata është edhe më e keqe me numrat "imagjinarë" ose "kompleksë", pasi ato përfshijnë një "numër". i, sikurse i 2 = –1, që është një shkelje e qartë e rregullit të shenjës. Sidoqoftë, matematikanët nga fundi i shekullit të 16-të. mos hezitoni të kryeni llogaritjet me numra komplekse, sikur ata "kishin kuptim", megjithëse 200 vjet më parë ata nuk mund t'i përkufizonin këto "objekte" ose t'i interpretonin duke përdorur ndonjë ndërtim ndihmës, siç, për shembull, ato interpretoheshin duke përdorur segmente të drejtuara negative. numrat. (Që nga viti 1800 janë propozuar disa interpretime numra komplekse, më i famshmi është përdorimi i vektorëve në aeroplan.)

Aksiomatika moderne.

Grushti i shtetit ndodhi në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. E megjithëse nuk u shoqërua me miratimin e deklaratave zyrtare, në realitet bëhej fjalë vetëm për shpalljen e një lloj “shpalljeje të pavarësisë”. Më konkretisht, për shpalljen faktike të pavarësisë së matematikës nga bota e jashtme.

Nga ky këndvështrim, "objektet" matematikore, nëse ka kuptim të flasim për "ekzistencën" e tyre, janë produkte të pastra të arsyes dhe a kanë ato ndonjë "përputhje" dhe a pranojnë ndonjë "interpretim" në atë fizik. botë, për matematikën është e parëndësishme (edhe pse vetë kjo pyetje është interesante).

Deklaratat "të vërteta" për "objekte" të tilla janë të gjitha të njëjtat pasoja logjike nga aksiomat. Por tani aksiomat duhet të konsiderohen si krejtësisht arbitrare, dhe për këtë arsye nuk ka nevojë për "dukshmërinë" e tyre ose për të zbritur nga përvoja e përditshme me anë të "idealizimit". Në praktikë, liria e plotë kufizohet nga konsiderata të ndryshme. Natyrisht, objektet "klasike" dhe aksiomat e tyre mbeten të pandryshuara, por tani ato nuk mund të konsiderohen të vetmet objekte dhe aksioma të matematikës dhe zakoni i hedhjes ose ndryshimit të aksiomave ka hyrë në praktikën e përditshme në mënyrë që të jetë e mundur përdorimi i tyre në mënyra të ndryshme, siç u bë në kalimin nga gjeometria Euklidiane në jo-Euklidiane. (Pikërisht në këtë mënyrë janë marrë versione të shumta të gjeometrive "jo-Euklidiane", të ndryshme nga gjeometria Euklidiane dhe nga gjeometria Lobachevsky-Boyai; për shembull, ka gjeometri jo-Euklidiane në të cilat nuk ka vija paralele.)

Do të doja të theksoja veçanërisht një rrethanë që rrjedh nga qasja e re ndaj "objekteve" matematikore: të gjitha provat duhet të bazohen vetëm në aksioma. Nëse mendojmë për përkufizimin e provës matematikore, atëherë një deklaratë e tillë mund të duket si një përsëritje. Megjithatë, ky rregull është vërejtur rrallë në matematikën klasike për shkak të natyrës "intuitive" të objekteve ose aksiomave të saj. Edhe ne fillimet Euklidi, me gjithë "rreptësinë" e tyre të dukshme, shumë aksioma nuk janë formuluar në mënyrë eksplicite dhe shumë veti supozohen në heshtje ose futen pa justifikim të mjaftueshëm. Për të vendosur gjeometrinë Euklidiane mbi një themel të fortë, kërkohej një rishikim kritik i vetë fillimeve të saj. Vështirë se ia vlen të thuhet se kontrolli pedant mbi detajet më të vogla të provës është pasojë e shfaqjes së "përbindëshave" që i mësuan matematikanët modernë të jenë të kujdesshëm në përfundimet e tyre. Deklarata më e padëmshme dhe "vetëkuptueshme" në lidhje me objektet klasike, për shembull, thënia se një kurbë që lidh pikat e vendosura në anët e kundërta të një vije të drejtë sigurisht që e kryqëzon këtë vijë të drejtë, në matematikën moderne kërkon një provë formale rigoroze.

Mund të duket paradoksale të thuhet se pikërisht për shkak të respektimit të aksiomave, matematika moderne shërben si një shembull i qartë se çfarë duhet të jetë çdo shkencë. Sidoqoftë, kjo qasje ilustron një tipar karakteristik të një prej proceseve më themelore të të menduarit shkencor - marrjen e informacionit të saktë në një situatë të njohurive jo të plota. Kërkimi shkencor e një klase të caktuar objektesh supozon se tiparet që bëjnë të mundur dallimin e disa objekteve nga të tjerët janë lënë qëllimisht në harresë dhe ruhen vetëm tiparet e përgjithshme të objekteve në shqyrtim. Ajo që e dallon matematikën nga gama e përgjithshme e shkencave është respektimi i rreptë i këtij programi në të gjitha pikat e tij. Besohet se objektet matematikore përcaktohen plotësisht nga aksiomat e përdorura në teorinë e këtyre objekteve; ose, sipas Poincare-së, aksiomat shërbejnë si "përkufizime të maskuara" të objekteve të cilave u referohen.

MATEMATIKA MODERNE

Edhe pse teorikisht është e mundur të ekzistojë ndonjë aksioma, deri më tani janë propozuar dhe hulumtuar vetëm një numër i vogël aksiomash. Zakonisht, gjatë zhvillimit të një ose disa teorive, vërehet se disa skema provuese përsëriten në kushte pak a shumë të ngjashme. Pasi të zbulohen vetitë e përdorura në skemat e përgjithshme të provës, ato formulohen në formën e aksiomave dhe pasojat prej tyre ndërtohen në një teori të përgjithshme që nuk ka lidhje të drejtpërdrejtë me kontekstet specifike nga të cilat janë abstraguar aksiomat. Teoremat e përgjithshme të marra në këtë rast janë të zbatueshme për çdo situatë matematikore në të cilën ka sisteme objektesh që plotësojnë aksiomat përkatëse. Përsëritja e të njëjtave skema provuese në situata të ndryshme matematikore tregon se kemi të bëjmë me konkretizime të ndryshme të së njëjtës teori të përgjithshme. Kjo do të thotë se pas një interpretimi të duhur, aksiomat e kësaj teorie në çdo situatë bëhen teorema. Çdo veti e nxjerrë nga aksiomat do të jetë e vlefshme në të gjitha këto situata, por nuk ka nevojë për një provë të veçantë për secilin rast. Në raste të tilla, situatat matematikore thuhet se kanë të njëjtën "strukturë" matematikore.

Ne përdorim konceptin e strukturës në çdo hap në tonën Jeta e përditshme... Nëse termometri lexon 10 ° C dhe byroja e parashikimit parashikon një rritje të temperaturës prej 5 ° C, ne presim një temperaturë prej 15 ° C pa asnjë llogaritje. Nëse libri është i hapur në faqen 10 dhe na kërkohet të shohim 5 faqe më tej, nuk hezitojmë ta hapim në faqen 15 pa numëruar faqet e ndërmjetme. Në të dyja rastet, ne besojmë se shtimi i numrave jep rezultatin e saktë, pavarësisht nëse ato interpretohen si temperaturë apo numra faqesh. Nuk kemi nevojë të mësojmë një aritmetikë për termometrat dhe një tjetër për numrat e faqeve (edhe pse përdorim aritmetikë të veçantë kur kemi të bëjmë me orët, në të cilat 8 + 5 = 1, pasi orët kanë një strukturë të ndryshme nga faqet e një libri). Strukturat me interes për matematikanët janë disi më komplekse, siç mund të shihet lehtësisht nga shembujt, analiza e të cilave u kushtohet dy pjesëve të ardhshme të këtij artikulli. Njëra prej tyre merret me teorinë e grupeve dhe konceptet matematikore të strukturave dhe izomorfizmave.

Teoria e grupit.

Për të kuptuar më mirë procesin e përshkruar më sipër në skicë e përgjithshme, do të marrim guximin të shikojmë laboratorin e një matematikani modern dhe të hedhim një vështrim më të afërt në një nga mjetet e tij kryesore - teorinë e grupit ( cm. gjithashtu ABSTRAKT ALGJEBRË). Një grup është një grup (ose "bashkësi") objektesh G, mbi të cilin përcaktohet një operacion që harton çdo dy objekte ose elemente a, b nga G, marrë në rendin e specifikuar (i pari është elementi a, elementi i dytë b), elementi i tretë c nga G sipas një rregulli të përcaktuar rreptësisht. Për shkurtësi, ne e shënojmë këtë element a*b; një yll (*) tregon një veprim të përbërjes së dy elementeve. Ky operacion, të cilin ne do ta quajmë shumëzim grupi, duhet të plotësojë kushtet e mëposhtme:

(1) për çdo tre element a, b, c nga G plotësohet vetia e asociacionit: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) në G ekziston një element i tillë e që për çdo element a nga G lidhja qëndron e*a = a*e = a; këtë artikull e quhet një element i vetëm ose neutral i grupit;

(3) për çdo element a nga G ekziston një element i tillë aў, i quajtur invers ose simetrik te elementi a, çfarë a*aў = aў* a = e.

Nëse këto veti merren si aksioma, atëherë pasojat logjike të tyre (të pavarura nga çdo aksioma ose teoremë tjetër) së bashku formojnë atë që zakonisht quhet teoria e grupeve. Doli të ishte shumë e dobishme të nxirreshin një herë e mirë këto pasoja, pasi grupet përdoren gjerësisht në të gjitha degët e matematikës. Nga mijëra shembuj të mundshëm të grupeve, ne do të zgjedhim vetëm disa nga më të thjeshtët.

(a) Thyesat fq/q, ku fq dhe q- numra të plotë arbitrarë і1 (për q= 1 marrim numra të plotë të zakonshëm). Thyesat fq/q formoni një grup në lidhje me shumëzimin e grupit ( fq/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Vetitë (1), (2), (3) rrjedhin nga aksiomat e aritmetikës. Vërtet, [( fq/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (fq/q)*[(r/s)*(t/u)]. Njësia është numri 1 = 1/1, pasi (1/1) * ( fq/q) = (1H fq) / (1H q) = fq/q... Së fundi, anasjellta e thyesës fq/q, është thyesa q/fq, sepse ( fq/q)*(q/fq) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Konsideroni si G një grup prej katër numrash të plotë 0, 1, 2, 3 dhe si a*b- pjesa e mbetur e ndarjes a + b nga 4. Rezultatet e operacionit të prezantuar në këtë mënyrë janë paraqitur në tabelë. 1 (element a*b qëndron në kryqëzimin e vijës a dhe kolona b). Është e lehtë të verifikohet që vetitë (1) - (3) janë të kënaqura, dhe numri 0 është elementi i njësisë.

(c) Le të zgjedhim si G një grup numrash 1, 2, 3, 4 dhe si a*b- pjesa e mbetur e ndarjes ab(produkti i zakonshëm) me 5. Si rezultat, marrim tabelën. 2. Është e lehtë të kontrollohet nëse vetitë (1) - (3) janë të kënaqura, dhe 1 është elementi njësi.

(d) Katër objekte, të tilla si katër numrat 1, 2, 3, 4, mund të renditen në një rresht në 24 mënyra. Çdo vendndodhje mund të vizualizohet si një transformim që përkthen vendndodhjen "natyrore" në një të dhënë; për shembull, vendndodhja 4, 1, 2, 3 rezulton nga transformimi

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

që mund të shkruhet në një formë më të përshtatshme

Për çdo dy transformime të tilla S, T ne do të përcaktojmë S*T si një transformim që do të rezultojë nga ekzekutimi sekuencial T, dhe pastaj S... Për shembull, nëse, atëherë. Me këtë përkufizim, të 24 transformimet e mundshme formojnë një grup; elementi i tij njësi është, dhe elementi i kundërt me S, e marrë duke zëvendësuar shigjetat në përkufizim S në të kundërtën; për shembull, nëse, atëherë.

Është e lehtë të shihet se në tre shembujt e parë a*b = b*a; në raste të tilla, shumëzimi i grupit ose grupit thuhet se është komutativ. Nga ana tjetër, në shembullin e fundit, dhe për këtë arsye T*S ndryshon nga S*T.

Grupi nga shembulli (d) është një rast i veçantë i të ashtuquajturit. grup simetrik, fushëveprimi i të cilit përfshin, ndër të tjera, metodat për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike dhe sjelljen e vijave në spektrat e atomeve. Grupet nga shembujt (b) dhe (c) luajnë një rol të rëndësishëm në teorinë e numrave; në shembullin (b) numri 4 mund të zëvendësohet me çdo numër të plotë n, dhe numrat nga 0 në 3 janë numra nga 0 deri në n- 1 (në n= 12 marrim një sistem numrash që qëndrojnë në numrat e orës, siç e përmendëm më lart); në shembullin (c) numri 5 mund të zëvendësohet me çdo numër të thjeshtë R, dhe numrat nga 1 deri në 4 janë numra nga 1 deri në fq – 1.

Strukturat dhe izomorfizmi.

Shembujt e mëparshëm tregojnë se sa e ndryshme mund të jetë natyra e objekteve që përbëjnë një grup. Por në fakt, në secilin rast, gjithçka zbret në të njëjtin skenar: nga vetitë e një grupi objektesh, ne konsiderojmë vetëm ato që e kthejnë këtë grup në një grup (këtu është një shembull i njohurive jo të plota!). Në raste të tilla, themi se po shqyrtojmë strukturën e grupit të dhënë nga shumëzimi i grupit që kemi zgjedhur.

Një shembull tjetër i një strukture është i ashtuquajturi. struktura e rendit. Një tufë me E të pajisura me një strukturë të rendit, ose të renditur nëse midis elementeve a è b në pronësi të E, jepet një relacion, të cilin do ta shënojmë R (a,b). (Kjo marrëdhënie duhet të ketë kuptim për çdo palë elementësh nga E, por në përgjithësi është false për disa çifte dhe e vërtetë për të tjerat, për shembull, raporti 7

(1) R (a,a) është e vërtetë për të gjithë a në pronësi të E;

(2) nga R (a,b) dhe R (b,a) pason se a = b;

(3) nga R (a,b) dhe R (b,c) vijon R (a,c).

Këtu janë disa shembuj nga një numër i madh grupesh të ndryshme të renditura.

(a) E përbëhet nga të gjithë numrat e plotë, R (a,b) Është marrëdhënia " a më pak ose të barabartë b».

(b) E përbëhet nga të gjithë numrat e plotë> 1, R (a,b) Është marrëdhënia " a ndan b ose të barabartë b».

Si shembull i fundit i një strukture, përmendim strukturën e një hapësire metrike; një strukturë e tillë jepet në set E nëse çdo çift elementësh a dhe b i perket E, mund të vendosni në korrespondencë numrin d (a,b) і 0, duke përmbushur vetitë e mëposhtme:

(1) d (a,b) = 0 nëse dhe vetëm nëse a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) për çdo tre elementë të dhënë a, b, c nga E.

Këtu janë disa shembuj të hapësirave metrike:

(a) hapësirë e zakonshme "tre-dimensionale", ku d (a,b) - distanca e zakonshme (ose "Euklidiane");

(b) sipërfaqja e një sfere, ku d (a,b) - gjatësia e harkut më të vogël të një rrethi që lidh dy pika a dhe b në sferë;

Përkufizimi i saktë i konceptit të strukturës është mjaft i vështirë. Pa hyrë në detaje, mund të themi se në xhirime E jepet një strukturë e një lloji të caktuar nëse ndërmjet elementeve të grupit E(dhe nganjëherë nga objekte të tjera, për shembull, numra që luajnë një rol ndihmës) jepen marrëdhënie që plotësojnë një grup të caktuar fiks aksiomash që karakterizojnë strukturën e tipit në shqyrtim. Më sipër kemi dhënë aksiomat e tre llojeve të strukturave. Ka, sigurisht, shumë lloje të tjera strukturash, teoritë e të cilave janë zhvilluar plotësisht.

Shumë koncepte abstrakte janë të lidhura ngushtë me konceptin e strukturës; ne do të përmendim vetëm një nga më të rëndësishmet - konceptin e izomorfizmit. Kujtoni shembullin e grupeve (b) dhe (c) të dhënë në pjesën e mëparshme. Është e lehtë ta verifikosh këtë nga tabela. 1 në tryezë. 2 mund të lundrohet duke përputhur

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Në këtë rast, themi se këto grupe janë izomorfe. Në përgjithësi, dy grupe G dhe Gў janë izomorfe nëse midis elementeve të grupit G dhe elementet e grupit G• ju mund të krijoni një korrespondencë të tillë një-për-një a « a• Po sikur c = a*b, pastaj cў = aў* b• për artikujt që përputhen Gў... Çdo deklaratë nga teoria e grupit që është e vlefshme për grupin G, mbetet e vlefshme për grupin Gў, dhe anasjelltas. Grupet algjebrike G dhe Gў janë të padallueshme.

Lexuesi do të kuptojë lehtësisht se në të njëjtën mënyrë mund të përkufizohen dy bashkësi të renditura izomorfe ose dy hapësira metrike izomorfe. Mund të tregohet se koncepti i izomorfizmit shtrihet në struktura të çdo lloji.

KLASIFIKIMI

Klasifikimi i vjetër dhe i ri i matematikës.

Koncepti i strukturës dhe konceptet e tjera të lidhura me të kanë zënë një vend qendror në matematikën moderne, si nga pikëpamja thjesht "teknike" dhe nga pikëpamja filozofike dhe metodologjike. Teoremat e përgjithshme të llojeve bazë të strukturave janë mjete jashtëzakonisht të fuqishme të "teknikës" matematikore. Sa herë që një matematikan arrin të tregojë se objektet e studiuara prej tij plotësojnë aksiomat e një lloji të caktuar strukture, ai vërteton në këtë mënyrë se të gjitha teoremat e teorisë së strukturës së këtij lloji janë të zbatueshme për objektet specifike që ai studion (pa këto teorema të përgjithshme, ai ka shumë të ngjarë që të humbasin do të ishin në sy të opsioneve të tyre specifike ose do të detyroheshin të ngarkonin arsyetimin e tyre me supozime të panevojshme). Në mënyrë të ngjashme, nëse vërtetohet se dy struktura janë izomorfe, atëherë numri i teoremave dyfishohet menjëherë: çdo teoremë e vërtetuar për njërën prej strukturave jep menjëherë teoremën përkatëse për tjetrën. Prandaj, nuk është për t'u habitur që ekzistojnë teori shumë komplekse dhe të vështira, për shembull, "teoria e fushës së klasës" në teorinë e numrave, qëllimi kryesor i së cilës është të provojë izomorfizmin e strukturave.

Nga pikëpamja filozofike, përdorimi i gjerë i strukturave dhe izomorfizmave tregon tiparin kryesor të matematikës moderne - faktin që "natyra" e "objekteve" matematikore nuk ka një kuptim të veçantë, vetëm marrëdhëniet midis objekteve janë të rëndësishme (a lloj parimi i paplotesise se dijes).

Së fundi, nuk mund të mos përmendet se koncepti i strukturës bëri të mundur klasifikimin e degëve të matematikës në një mënyrë të re. Deri në mesin e shekullit të 19-të. ato ndryshonin sipas lëndës së studimit. Aritmetika (ose teoria e numrave) merret me numrat e plotë, gjeometria me drejtëza, kënde, shumëkëndësha, rrathë, zona, etj. Algjebra merrej pothuajse ekskluzivisht me metodat e zgjidhjes së ekuacioneve numerike ose sistemet e ekuacioneve, gjeometria analitike zhvilloi metoda për transformimin e problemeve gjeometrike në probleme algjebrike ekuivalente. Rrethi i interesave të një dege tjetër të rëndësishme të matematikës, të quajtur "analiza matematikore", përfshinte kryesisht llogaritjet diferenciale dhe integrale dhe aplikimet e tyre të ndryshme në gjeometri, algjebër dhe teorinë e numrave çift. Numri i këtyre aplikacioneve u rrit, si dhe u rrit rëndësia e tyre, gjë që çoi në ndarjen e analizave matematikore në nënseksione: teoria e funksionit, ekuacionet diferenciale (derivatet e zakonshme dhe të pjesshme), gjeometria diferenciale, llogaritja e variacioneve, etj.

Për shumë matematikanë modernë, kjo qasje i ngjan historisë së klasifikimit të kafshëve nga natyralistët e parë: dikur breshka e detit dhe toni konsideroheshin peshq, sepse ata jetonin në ujë dhe kishin karakteristika të ngjashme. Qasja moderne na ka mësuar të shohim jo vetëm atë që shtrihet në sipërfaqe, por edhe të shikojmë më thellë dhe të përpiqemi të njohim strukturat themelore pas pamjes mashtruese të objekteve matematikore. Nga ky këndvështrim, është e rëndësishme të studiohen llojet më të rëndësishme të strukturave. Nuk ka gjasa që ne të kemi në dispozicion një listë të plotë dhe përfundimtare të këtyre llojeve; disa prej tyre janë zbuluar në 20 vitet e fundit dhe ka çdo arsye për të pritur zbulime të reja në të ardhmen. Megjithatë, ne tashmë kemi një kuptim të shumë prej llojeve themelore "abstrakte" të strukturave. (Ato janë "abstrakte" në krahasim me objektet "klasike" të matematikës, megjithëse vështirë se mund të quhen "konkrete"; është më shumë një çështje e shkallës së abstraksionit.)

Strukturat e njohura mund të klasifikohen sipas marrëdhënieve të tyre përbërëse ose kompleksitetit të tyre. Nga njëra anë, ekziston një bllok i gjerë strukturash "algjebrike", një rast i veçantë i të cilit është, për shembull, një strukturë grupore; Ndër strukturat e tjera algjebrike nënkuptojmë unazat dhe fushat ( cm. gjithashtu ABSTRAKT ALGJEBRË). Dega e matematikës që merret me studimin e strukturave algjebrike quhet "algjebër moderne" ose "algjebër abstrakte", në ndryshim nga algjebra e zakonshme ose klasike. Një pjesë e konsiderueshme e gjeometrisë Euklidiane, e gjeometrisë jo-Euklidiane dhe e gjeometrisë analitike u bënë gjithashtu pjesë e algjebrës së re.

Në të njëjtin nivel të përgjithësimit, ekzistojnë dy blloqe të tjera strukturash. Njëra prej tyre, e quajtur topologji e përgjithshme, përfshin teoritë e llojeve të strukturave, një rast i veçantë i të cilave është struktura e një hapësire metrike ( cm... TOPOLOGJIA; HAPËSIRAT ABSTRAKTE). Blloku i tretë përbëhet nga teoritë e strukturave të rendit dhe zgjerimet e tyre. "Zgjerimi" i strukturës konsiston në shtimin e aksiomave të reja tek ato ekzistuese. Për shembull, nëse aksiomave të grupit shtojmë si aksiomë të katërt vetinë e komutativitetit a*b = b*a, atëherë marrim strukturën e një grupi komutativ (ose abelian).

Nga këto tre blloqe, dy të fundit ishin në një gjendje relativisht të qëndrueshme deri vonë, dhe blloku "algjebër moderne" u rrit me shpejtësi, ndonjëherë në drejtime të papritura (për shembull, u zhvillua një degë e tërë e quajtur "algjebër homologjike"). Jashtë të ashtuquajturit. Ekziston një nivel tjetër i llojeve "të pastra" të strukturave - struktura "të përziera", për shembull, algjebrike dhe topologjike, së bashku me aksioma të reja që i lidhin ato. Shumë kombinime të tilla janë studiuar, shumica e të cilave ndahen në dy blloqe të gjera - "algjebër topologjike" dhe "topologji algjebrike".

Të marra së bashku, këto blloqe përbëjnë një zonë shumë solide "abstrakte" të shkencës. Shumë matematikanë shpresojnë me mjete të reja të kuptojnë më mirë teoritë klasike dhe të zgjidhin probleme të vështira. Në të vërtetë, me nivelin e duhur të abstraksionit dhe përgjithësimit, detyrat e të lashtëve mund të shfaqen në një dritë të re, e cila do të lejojë gjetjen e zgjidhjeve të tyre. Pjesë të mëdha të materialit klasik u vunë nën kontrollin e matematikës së re dhe u transformuan ose u bashkuan me teori të tjera. Mbeten zona të gjera në të cilat metodat moderne nuk kanë depërtuar aq thellë. Shembujt përfshijnë teorinë ekuacionet diferenciale dhe pjesa më e madhe e teorisë së numrave. Ka shumë të ngjarë që përparim i rëndësishëm në këto fusha të arrihet pasi të zbulohen dhe studiohen tërësisht lloje të reja strukturash.

SFIDAT FILOZOFIKE

Edhe grekët e lashtë e kuptonin qartë se një teori matematikore duhet të jetë e lirë nga kontradiktat. Kjo do të thotë se është e pamundur të nxirret si pasojë logjike nga aksiomat pohimi R dhe mohimi i tij nuk është P... Sidoqoftë, meqenëse besohej se objektet matematikore kanë korrespondencë në botën reale, dhe aksiomat janë "idealizime" të ligjeve të natyrës, askush nuk dyshoi në qëndrueshmërinë e matematikës. Në kalimin nga matematika klasike në matematikën moderne, problemi i qëndrueshmërisë mori një kuptim tjetër. Liria për të zgjedhur aksiomat e çdo teorie matematikore duhet të kufizohet qëllimisht nga kushti i konsistencës, por a mund të jemi të sigurt se ky kusht do të përmbushet?

Ne kemi përmendur tashmë konceptin e një grupi. Ky koncept është përdorur gjithmonë pak a shumë në mënyrë eksplicite në matematikë dhe logjikë. Në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. Rregullat elementare për trajtimin e konceptit të një grupi u sistemuan pjesërisht, përveç kësaj, u morën disa rezultate të rëndësishme, të cilat përbënin përmbajtjen e të ashtuquajturve. teoria e grupeve ( cm. gjithashtu TEORIA E KOMPEVE), e cila është bërë, si të thuash, një substrat për të gjitha teoritë e tjera matematikore. Nga antikiteti deri në shekullin e 19-të. kishte frikë për grupe të pafundme, për shembull, të pasqyruara në paradokset e famshme të Zenoit të Eleas (shek. V para Krishtit). Këto frikë ishin pjesërisht me natyrë metafizike dhe pjesërisht për shkak të vështirësive që lidhen me konceptin e matjes së sasive (për shembull, gjatësia ose koha). Këto vështirësi u eliminuan vetëm pas shekullit të 19-të. konceptet bazë të analizës matematikore ishin të përcaktuara në mënyrë strikte. Deri në vitin 1895, të gjitha frikërat ishin zhdukur dhe matematika dukej se mbështetej në një themel të palëkundur të teorisë së grupeve. Por në dekadën e ardhshme, dolën argumente të reja që dukej se tregonin mospërputhjen e qenësishme të teorisë së grupeve (dhe të gjithë pjesës tjetër të matematikës).

Paradokset e reja ishin shumë të thjeshta. E para prej tyre, paradoksi i Rasëllit, mund të shihet në një version të thjeshtë të njohur si paradoksi i berberit. Në një qytet të caktuar, një berber rruan të gjithë banorët që nuk rruhen vetë. Kush e rruan vetë berberin? Nëse berberi rruhet vetë, atëherë rruhet jo vetëm ata banorë që nuk rruhen, por edhe një banor që rruhet vetë; nëse nuk rruhet vetë, atëherë nuk rruhet të gjithë banorët e qytetit që nuk rruhen vetë. Një paradoks i këtij lloji lind sa herë që merret parasysh koncepti i "bashkësisë së të gjitha grupeve". Megjithëse ky objekt matematikor duket shumë i natyrshëm, arsyetimi rreth tij çon shpejt në kontradikta.

Paradoksi i Berry-t është edhe më zbulues. Merrni parasysh grupin e të gjitha frazave ruse që përmbajnë jo më shumë se shtatëmbëdhjetë fjalë; numri i fjalëve në gjuhën ruse është i kufizuar, prandaj numri i frazave të tilla është gjithashtu i kufizuar. Le të zgjedhim midis tyre ato që vendosin pa mëdyshje një numër të plotë, për shembull: "Numri më i madh tek më i vogël se dhjetë". Numri i frazave të tilla është gjithashtu i fundëm; pra, grupi i numrave të plotë që ata përcaktojnë është i fundëm. Ne shënojmë një grup të fundëm të këtyre numrave me D... Nga aksiomat e aritmetikës rezulton se ka numra të plotë që nuk u përkasin D, dhe se në mesin e këtyre numrave është numri më i vogël n... Ky numër n përkufizohet pa mëdyshje me frazën: "Numri i plotë më i vogël që nuk mund të përcaktohet nga një frazë që përbëhet nga jo më shumë se shtatëmbëdhjetë fjalë ruse". Por kjo frazë përmban saktësisht shtatëmbëdhjetë fjalë. Prandaj, ai përcakton numrin n të cilat duhet t'i përkasin D dhe arrijmë në një kontradiktë paradoksale.

Intuitionistët dhe formalistët.

Goditja e shkaktuar nga paradokset e teorisë së grupeve ka gjeneruar një shumëllojshmëri të gjerë reagimesh. Disa matematikanë ishin shumë të vendosur dhe shprehën mendimin se matematika që në fillim u zhvillua në drejtim të gabuar dhe duhet të bazohet në një bazë krejtësisht të ndryshme. Nuk është e mundur të përshkruhet këndvështrimi i "intuitistëve" të tillë (siç filluan ta quajnë veten) me ndonjë siguri, pasi ata refuzuan t'i reduktojnë pikëpamjet e tyre në një skemë thjesht logjike. Nga këndvështrimi i intuitivistëve, është e gabuar të zbatohen procese logjike për objekte intuitivisht të papërfaqësueshme. Të vetmet objekte të qarta intuitivisht janë numrat natyrorë 1, 2, 3, ... dhe grupe të fundme numrash natyrorë, të "ndërtuar" sipas rregullave të përcaktuara saktësisht. Por edhe për objekte të tilla, intuitistët nuk lejuan të zbatoheshin të gjitha deduksionet e logjikës klasike. Për shembull, ata nuk e pranuan këtë për asnjë deklaratë Rështë gjithashtu e vërtetë R ose jo R... Me mjete kaq të kufizuara, ata shmangën lehtësisht "paradokset", por në të njëjtën kohë hodhën në det jo vetëm të gjithë matematikën moderne, por edhe një pjesë të konsiderueshme të rezultateve të matematikës klasike, dhe për ato që mbetën ende, ishte e nevojshme të gjendeshin prova të reja, më komplekse.

Shumica dërrmuese e matematikanëve modernë nuk u pajtuan me argumentet e intuitistëve. Matematikanët jointuitiv kanë vënë re se argumentet e përdorura në paradokse ndryshojnë dukshëm nga ato të përdorura në punën e zakonshme matematikore me teorinë e grupeve, dhe për këtë arsye argumente të tilla duhet të përjashtohen si të paligjshme pa rrezikuar teoritë ekzistuese matematikore. Një vëzhgim tjetër ishte se në teorinë "naive" të grupeve që ekzistonte përpara shfaqjes së "paradokseve", kuptimi i termave "vendosje", "pronësi", "marrëdhënie" nuk vihej në dyshim - ashtu si në gjeometrinë klasike "intuitive" natyra e koncepteve të zakonshme gjeometrike. Rrjedhimisht, mund të veprohet në të njëjtën mënyrë siç ishte në gjeometri, domethënë, të hidhni poshtë të gjitha përpjekjet për t'iu drejtuar "intuitës" dhe të merrni një sistem aksiomash të formuluara saktësisht si pikënisje të teorisë së grupeve. Megjithatë, nuk është e qartë se si fjalë të tilla si "pronë" ose "marrëdhënie" mund të privohen nga kuptimi i tyre i zakonshëm; megjithatë, kjo duhet bërë nëse duam të përjashtojmë arsyetime të tilla si paradoksi Berry. Metoda konsiston në shmangien nga përdorimi i gjuhës së zakonshme gjatë formulimit të aksiomave ose teoremave; vetëm fjalitë e ndërtuara në përputhje me një sistem të qartë rregullash të ngurta lejohen si "veti" ose "marrëdhënie" në matematikë dhe përfshihen në formulimin e aksiomave. Ky proces quhet "formalizimi" gjuha matematikore(për të shmangur keqkuptimet që lindin nga paqartësitë e gjuhës së zakonshme, rekomandohet të ndërmerret një hap më shumë dhe të zëvendësohen vetë fjalët me karaktere të veçanta në fjali të formalizuara, për shembull, zëvendësoni lidhjen "dhe" me simbolin &, lidhja "ose" me simbolin b, "ekziston" me simbolin $ etj.). Matematikanët që hodhën poshtë metodat e sugjeruara nga intuitivistët quheshin "formalistë".

Sidoqoftë, pyetja fillestare nuk u përgjigj kurrë. A është "teoria aksiomatike e grupeve" pa kontradikta? Përpjekje të reja për të vërtetuar qëndrueshmërinë e teorive të "formalizuara" u ndërmorën në vitet 1920 nga D. Hilbert (1862–1943) dhe shkolla e tij dhe u quajtën "metamathematics". Në thelb, metamatematika është një seksion i "matematikës së aplikuar" ku objektet ndaj të cilave zbatohet arsyetimi matematikor janë fjalitë e një teorie të formalizuar dhe vendndodhja e tyre brenda provave. Këto fjali duhet të konsiderohen vetëm si kombinime materiale simbolesh, të prodhuara sipas disa rregullave të vendosura, pa asnjë referencë për "kuptimin" e mundshëm të këtyre simboleve (nëse ka). Një analogji e mirë është loja e shahut: simbolet korrespondojnë me copa, fjalitë korrespondojnë me pozicione të ndryshme në tabelë dhe përfundimet korrespondojnë me rregullat e lëvizjes së copave. Për të vendosur konsistencën e një teorie të formalizuar, mjafton të tregohet se në këtë teori asnjë provë nuk përfundon me pohimin 0 # 0. Megjithatë, mund të kundërshtohet përdorimi i argumenteve matematikore në një provë "metamatematikore" të konsistencës së një teorie matematikore. teori; nëse matematika do të ishte kontradiktore, atëherë argumentet matematikore do të humbnin çdo fuqi dhe ne do të gjendeshim në një rreth vicioz. Për t'iu përgjigjur këtyre kundërshtimeve, Hilberti pranoi se përdorte në metamatematikë një arsyetim matematikor shumë të kufizuar të llojit që intuitivistët e konsiderojnë të pranueshëm. Megjithatë, së shpejti K. Gödel tregoi (1931) se qëndrueshmëria e aritmetikës nuk mund të vërtetohet me mjete kaq të kufizuara nëse është vërtet e qëndrueshme (qëllimi i këtij artikulli nuk na lejon të paraqesim metodën e zgjuar me të cilën u arrit ky rezultat i jashtëzakonshëm, dhe historia e mëtejshme e metamatematikës).

Duke e përmbledhur situatën aktuale problematike nga pikëpamja formaliste, duhet të pranojmë se nuk ka përfunduar. Përdorimi i konceptit të një grupi ishte i kufizuar në rezervime që u prezantuan posaçërisht për të shmangur paradokset e njohura dhe nuk ka garanci që paradokse të reja nuk do të lindin në teorinë e aksiomatizuar të grupeve. Megjithatë, kufizimet e teorisë aksiomatike të grupeve nuk e penguan lindjen e teorive të reja të zbatueshme.

MATEMATIKA DHE BOTA REAL

Pavarësisht pretendimeve për pavarësinë e matematikës, askush nuk do ta mohojë se matematika dhe bota fizike janë të lidhura me njëra-tjetrën. Natyrisht, qasja matematikore për zgjidhjen e problemeve të fizikës klasike mbetet në fuqi. Është gjithashtu e vërtetë se në një fushë shumë të rëndësishme të matematikës, përkatësisht në teorinë e ekuacioneve diferenciale, të zakonshme dhe në derivatet e pjesshme, procesi i pasurimit të ndërsjellë të fizikës dhe matematikës është mjaft i frytshëm.

Matematika është e dobishme në interpretimin e fenomeneve të mikrobotës. Megjithatë, "aplikacionet" e reja të matematikës ndryshojnë dukshëm nga ato klasike. Një nga mjetet më të rëndësishme të fizikës është bërë teoria e probabilitetit, e cila më parë përdorej kryesisht në teorinë e lojërave të fatit dhe sigurimit. Objektet matematikore që fizikanët i lidhin me "gjendjet atomike" ose "tranzicionet" janë shumë abstrakte dhe u prezantuan dhe u hetuan nga matematikanët shumë kohë përpara ardhjes së mekanikës kuantike. Duhet shtuar se pas sukseseve të para dolën vështirësi serioze. Kjo ndodhi në një kohë kur fizikanët po përpiqeshin të aplikonin ide matematikore në aspekte më delikate. teoria kuantike; megjithatë, shumë fizikanë ende shikojnë me shpresë teoritë e reja matematikore, duke besuar se ato do t'i ndihmojnë ata në zgjidhjen e problemeve të reja.

Matematikë - Shkencë apo Art?

Edhe nëse përfshijmë teorinë e probabilitetit ose logjikën matematikore në matematikën "e pastër", rezulton se aktualisht shkencat e tjera përdorin më pak se 50% të rezultateve të njohura matematikore. Çfarë duhet të mendojmë për gjysmën e mbetur? Me fjalë të tjera, çfarë motivesh fshihen pas atyre fushave të matematikës që nuk kanë të bëjnë me zgjidhjen e problemeve fizike?

Ne kemi përmendur tashmë irracionalitetin e një numri si një përfaqësues tipik i kësaj lloj teoreme. Një shembull tjetër është teorema e vërtetuar nga J.-L. Lagrange (1736–1813). Vështirë se ka një matematikan që nuk do ta quante atë "të rëndësishme" ose "të bukur". Teorema e Lagranzhit thotë se çdo numër i plotë më i madh ose i barabartë me një mund të përfaqësohet si shumë e katrorëve me jo më shumë se katër numra; për shembull, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Duke pasur parasysh gjendjen aktuale të punëve, është e paimagjinueshme që ky rezultat të mund të jetë i dobishëm në zgjidhjen e ndonjë problemi eksperimental. Është e vërtetë që fizikantët merren me numra të plotë sot shumë më shpesh se në të kaluarën, por numrat e plotë me të cilët ata veprojnë janë gjithmonë të kufizuar (ato rrallë i kalojnë disa qindra); prandaj, një teoremë si teorema e Lagranzhit mund të jetë "e dobishme" vetëm nëse zbatohet për numrat e plotë që nuk kalojnë ndonjë kufi. Por, sapo të kufizojmë formulimin e teoremës së Lagranzhit, ajo menjëherë pushon së qeni interesante për një matematikan, pasi e gjithë fuqia tërheqëse e kësaj teoreme qëndron në zbatueshmërinë e saj për të gjithë numrat e plotë. (Ka shumë deklarata rreth numrave të plotë që mund të verifikohen nga kompjuterët për numra shumë të mëdhenj; por duke qenë se nuk gjendet asnjë provë e përgjithshme, ato mbeten hipotetike dhe jo interesante për matematikanët profesionistë.)

Një fokus në tema që janë larg aplikimeve të menjëhershme nuk është e pazakontë për shkencëtarët që punojnë në çdo fushë, qoftë astronomi apo biologji. Megjithatë, ndërsa rezultati eksperimental mund të rafinohet dhe përmirësohet, prova matematikore është gjithmonë përfundimtare. Prandaj është e vështirë t'i rezistosh tundimit për ta parë matematikën, ose të paktën atë pjesë të saj që nuk ka lidhje me "realitetin", si art. Problemet matematikore nuk imponohen nga jashtë dhe, nëse pranojmë këndvështrimin modern, jemi plotësisht të lirë në zgjedhjen e materialit. Kur vlerësojnë disa punë matematikore, matematikanët nuk kanë kritere “objektive” dhe duhet të mbështeten në “shijen” e tyre. Shijet ndryshojnë shumë në varësi të kohës, vendit, traditave dhe individëve. Ka modë dhe "shkolla" në matematikën moderne. Aktualisht janë tre të tilla “shkolla”, të cilat për lehtësi do t’i quajmë “klasicizëm”, “modernizëm” dhe “abstraksionizëm”. Për të kuptuar më mirë ndryshimet midis tyre, le të analizojmë kriteret e ndryshme që përdorin matematikanët kur vlerësojnë një teoremë ose grup teoremash.

(1) Sipas mendimit të përgjithshëm, një rezultat matematikor "i bukur" duhet të jetë jo i parëndësishëm, d.m.th. nuk duhet të jetë pasojë e dukshme e aksiomave ose teoremave të provuara më parë; prova duhet të përdorë disa ide e re ose zbatohen me zgjuarsi idetë e vjetra. Me fjalë të tjera, për një matematikan nuk është i rëndësishëm vetë rezultati, por procesi i tejkalimit të vështirësive me të cilat u përball për ta marrë atë.

(2) Çdo problem matematikor ka historinë e vet, si të thuash "gjenealogjinë", e cila ndjek të njëjtën skemë të përgjithshme sipas së cilës zhvillohet historia e çdo shkence: pas sukseseve të para, mund të kalojë një kohë e caktuar para përgjigjes së pyetjes. gjendet pozuar. Kur merret zgjidhja, historia nuk përfundon me kaq, sepse fillojnë proceset e njohura të zgjerimit dhe përgjithësimit. Për shembull, teorema e lartpërmendur e Lagranzhit çon në pyetjen e paraqitjes së çdo numri të plotë si një shumë kubesh, shkallë të katërt, të pestë, etj. Kështu lind “Problemi i Waring”, i cili ende nuk ka marrë një zgjidhje përfundimtare. Përveç kësaj, nëse kemi fat, problemi që kemi zgjidhur do të lidhet me një ose më shumë struktura themelore dhe kjo, nga ana tjetër, do të sjellë probleme të reja që lidhen me këto struktura. Edhe nëse teoria origjinale përfundimisht "vdes", ajo tenton të lërë pas fidaneve të shumta të gjalla. Matematikanët modernë janë përballur me një shpërndarje kaq të madhe problemesh saqë, edhe sikur të ndërpriteshin të gjitha lidhjet me shkencën eksperimentale, zgjidhja e tyre do të kërkonte disa shekuj të tjerë.

(3) Çdo matematikan do të pajtohet se kur një problem i ri lind para tij, është detyrë e tij ta zgjidhë atë me çdo mjet të mundshëm. Kur një problem ka të bëjë me objekte matematikore klasike (klasicistët rrallë merren me lloje të tjera objektesh), klasicistët përpiqen ta zgjidhin atë duke përdorur vetëm mjete klasike, ndërsa matematikanët e tjerë prezantojnë struktura më "abstrakte" në mënyrë që të përdorin teorema të përgjithshme që lidhen me detyrën. Ky ndryshim në qasje nuk është i ri. Që nga shekulli i 19-të. Matematikanë ndahen në "taktikë" që përpiqen të gjejnë një zgjidhje thjesht me forcë për problemin dhe në "strategë" që janë të prirur për manovra rrethrrotullimi që bëjnë të mundur shtypjen e armikut me forca të vogla.

(4) Një element thelbësor i "bukurisë" së teoremës është thjeshtësia e saj. Sigurisht, kërkimi i thjeshtësisë është i natyrshëm në të gjithë mendimin shkencor. Por eksperimentuesit janë gati të pajtohen me "zgjidhjet e shëmtuara", nëse vetëm problemi do të zgjidhej. Po kështu, në matematikë, klasicistët dhe abstraksionistët nuk janë shumë të shqetësuar për shfaqjen e rezultateve "patologjike". Nga ana tjetër, modernistët shkojnë aq larg sa e shohin shfaqjen e "patologjive" të teorisë si një simptomë të papërsosmërisë së koncepteve themelore.

Enciklopedia e matematikës

Enciklopedia e matematikës- Botim enciklopedik sovjetik në pesë vëllime, kushtuar temave matematikore. Botuar në -1985 nga shtëpia botuese "Enciklopedia Sovjetike". Kryeredaktor: Akademik I. M. Vinogradov.

Është një botim themelor i ilustruar që mbulon të gjitha fushat kryesore të matematikës. Libri përmban material të gjerë mbi temën, biografitë e matematikanëve të famshëm, vizatime, grafikë, diagrame dhe diagrame.

Vëllimi i përgjithshëm: rreth 3000 faqe. Shpërndarja e artikujve sipas vëllimit:

Vëllimi 1: Abacus - parimi i Huygens, 576 pp.
Vëllimi 2: Operatori D'Alembert - Lojë Co-op, 552 f.
Vëllimi 3: Koordinatat - Monomial, 592 pp.
Vëllimi 4: Syri i Teoremës - Funksioni Kompleks, 608 f.
Volume 5: Random Variable - Cell, 623 pp.
Shtojca e vëllimit 5: indeksi i lëndës, lista e gabimeve të vërejtura.

Lidhjet

Libra referencë të përgjithshme dhe të veçanta dhe enciklopedi për matematikën në portalin "Bota e Ekuacioneve Matematikore", ku mund të shkarkoni enciklopedinë në formë elektronike.

Kategoritë:

Libra sipas alfabetit
Literatura matematikore
Enciklopeditë
Librat e shtëpisë botuese "Enciklopedia Sovjetike"
Enciklopeditë e BRSS

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Kimi matematike
Bazat matematikore të mekanikës kuantike

Shihni se çfarë është "Enciklopedia e Matematikës" në fjalorë të tjerë:

Logjika matematikore- (logjika teorike, logjika simbolike) një degë e matematikës që studion provat dhe pyetjet e themeleve të matematikës. "Lënda e logjikës moderne matematikore është e larmishme." Sipas përkufizimit të PS Poretsky, "matematikore ... ... Wikipedia

Enciklopedi- (Enciklopedia Novolat (jo më herët se shekulli XVI) nga greqishtja tjetër.

ENCIKLOPEDI- (nga greqishtja. enkyklios paideia trajnim në të gjithë gamën e dijes), shkencore. ose shkencore. botim referencë popullore që përmban një taksonomi. trupi i njohurive. Materiali në E. është renditur në mënyrë alfabetike ose sistematike. parimi (sipas degëve të dijes). ... ... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

LOGJIKA MATEMATIKE- një nga emrat e logjikës moderne që erdhi në të dytin. kat. 19 herët. Shekulli 20 për të zëvendësuar logjikën tradicionale. Termi logjikë simbolike përdoret gjithashtu si një emër tjetër për fazën moderne në zhvillimin e shkencës së logjikës. Përkufizimi…… Enciklopedi Filozofike

PAFINITET MATEMATIK- emri i zakonshëm decomp. realizimet e idesë së pafundësisë në matematikë. Edhe pse midis kuptimeve të konceptit të M. b. dhe kuptime të tjera, në të cilat përdoret termi pafundësi, nuk ka asnjë kufi të ngurtë (pasi të gjitha këto koncepte në fund të fundit pasqyrojnë një shumë ... ... Enciklopedi Filozofike

INDUKSIONI MATEMATIK- induksioni i plotë matematik (i quajtur në matematikë shpesh vetëm induksion i plotë; në këtë rast, ky koncept duhet të dallohet nga koncepti i induksionit të plotë i konsideruar në logjikën formale jomatematikore), - metoda e vërtetimit të fjalive të përgjithshme në ... .. . Enciklopedi Filozofike

HIPOTEZA MATEMATIKE- një ndryshim i supozuar në formën, llojin, natyrën e ekuacionit që shpreh ligjin e zonës së studiuar të fenomeneve, me qëllim shtrirjen e tij në një zonë të re, ende të paeksploruar, si ligj i tij i qenësishëm. M. përdoret gjerësisht në kohët moderne. teorike...... Enciklopedi Filozofike

SHKOLLA MATEMATIKA NË EKONOMI POLITIKE- anglisht. shkolla matematikore në ekonomi politike; gjermanisht Mathematike Schule in der politischen Okonomie. Drejtimi në ekonominë e ujitur, i cili u ngrit në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të, përfaqësuesit e rogos (L. Valras, V. Pareto, O. Jevons, etj.) dhanë ... ... Enciklopedia e Sociologjisë

SHKOLLA MATEMATIKE NË SOCIOLOGJI- anglisht. shkolla matematikore në sociologji; gjermanisht matematike Schule në der Soziologie. Trendi në sociologji që u ngrit në gjysmën e parë të shekullit të 20-të, themeluesit e të cilit (A. Zipf, E. Dodd, etj.) besonin se sociologu, teoritë arrijnë nivelin ... ... Enciklopedia e Sociologjisë

Modeli matematikor i ndërtesave dhe strukturave- Modeli matematikor (kompjuterik) i ndërtesave dhe strukturave - përfaqësimi i ndërtesave dhe strukturave në formën e një diagrami të elementeve të fundme për kryerjen e llogaritjeve numerike kur zgjidhni një grup problemesh që lindin në projektimin, ndërtimin dhe ... ... Enciklopedi e termave, përkufizimeve dhe shpjegimeve të materialeve të ndërtimit

libra

Enciklopedia e Matematikës (bashkë me 5 libra),. Enciklopedia Matematikore është një libër referimi i përshtatshëm për të gjitha fushat e matematikës. Baza e Enciklopedisë përbëhet nga artikuj mbi fushat më të rëndësishme të matematikës. Parimi i vendndodhjes ...

Enciklopedia Matematikore është një libër referimi për të gjitha degët e matematikës. Enciklopedia bazohet në artikuj rishikues mbi fushat më të rëndësishme të matematikës. Kërkesa kryesore për artikujt e këtij lloji është plotësia e mundshme e rishikimit të gjendjes aktuale të teorisë me aksesueshmërinë maksimale të prezantimit; këta artikuj janë përgjithësisht të disponueshëm për matematikanët e lartë, studentët e diplomuar dhe specialistët në fusha të ngjashme të matematikës, dhe në raste të caktuara për specialistët në fusha të tjera të njohurive që aplikojnë metoda matematikore në punën e tyre, inxhinierët dhe mësuesit e matematikës. Ofroi, më tej, artikuj të përmasave të mesme mbi problemet individuale specifike dhe metodat e matematikës; këta artikuj janë të destinuar për një rreth më të ngushtë lexuesish, kështu që prezantimi në to mund të jetë më pak i aksesueshëm. Më në fund, ekziston një lloj tjetër artikujsh - përkufizime të shpejta referimi. Në fund të vëllimit të fundit të Enciklopedisë do të vendoset një indeks lëndor, i cili do të përfshijë jo vetëm titujt e të gjithë artikujve, por edhe shumë koncepte, përkufizimet e të cilave do të jepen brenda artikujve të dy llojeve të para. , si dhe rezultatet më të rëndësishme të përmendura në artikuj. Shumica e artikujve të Enciklopedisë shoqërohen me një listë referencash me numra serialë për çdo titull, gjë që bën të mundur citimin në tekstet e artikujve. Në fund të artikujve (si rregull) tregohet autori ose burimi, nëse artikulli është botuar tashmë më herët (kryesisht, këto janë artikuj të Enciklopedisë së Madhe Sovjetike). Emrat e shkencëtarëve të huaj (përveç të lashtë) të përmendur në artikuj shoqërohen me drejtshkrim latin (nëse nuk ka referencë në bibliografi).

Shkarkoni dhe lexoni Enciklopedinë e Matematikës, Vëllimi 3, Vinogradov I.M., 1982

Shkarkoni dhe lexoni Enciklopedinë e Matematikës, Vëllimi 2, Vinogradov I.M., 1979

Shkarkoni dhe lexoni Enciklopedinë e Matematikës, Vëllimi 1, Vinogradov I.M., 1977

Algjebra fillimisht ishte një degë e matematikës që merrej me zgjidhjen e ekuacioneve. Ndryshe nga gjeometria, ndërtimi aksiomatik i algjebrës nuk ekzistonte deri në mesin e shekullit të 19-të, kur u shfaq një pamje thelbësisht e re e temës dhe natyrës së algjebrës. Kërkimet filluan të fokusohen gjithnjë e më shumë në studimin e të ashtuquajturave struktura algjebrike. Kjo kishte dy avantazhe. Nga njëra anë, u sqaruan zonat për të cilat vlejnë teoremat e veçanta, nga ana tjetër, u bë e mundur të përdoren të njëjtat prova në fusha krejtësisht të ndryshme. Kjo ndarje e algjebrës ekzistonte deri në mesin e shekullit të 20-të dhe e gjeti shprehjen e saj në faktin se u shfaqën dy emra: "algjebra klasike" dhe "algjebra moderne". Kjo e fundit karakterizohet më shumë nga një emër tjetër: “algjebër abstrakte”. Fakti është se kjo pjesë - për herë të parë në matematikë - u karakterizua nga abstraksioni i plotë.

Shkarkoni dhe lexoni Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Probabiliteti dhe Statistikat Matematikore" është një libër referimi mbi teorinë e probabilitetit, statistikat matematikore dhe aplikimet e tyre në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë. Ekzistojnë dy pjesë në enciklopedi: pjesa kryesore përmban artikuj studimi, artikuj kushtuar problemeve dhe metodave specifike individuale, referenca të shkurtra që japin përkufizime të koncepteve bazë, teorema dhe formula më të rëndësishme. Hapësirë e konsiderueshme i kushtohet çështjeve të aplikuara - teorisë së informacionit, teorisë së radhës, teorisë së besueshmërisë, planifikimit të eksperimenteve dhe fushave të ngjashme - fizikës, gjeofizikës, gjenetikës, demografisë dhe seksioneve individuale të teknologjisë. Shumica e artikujve shoqërohen me një bibliografi të punimeve më të rëndësishme për këtë problem. Titujt e artikujve janë dhënë edhe në përkthim në anglisht. Pjesa e dytë - "Lexuesi për teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore" përmban artikuj të shkruar për enciklopeditë ruse të së kaluarës, si dhe materiale enciklopedike të botuara më parë në vepra të tjera. Enciklopedia shoqërohet me një listë të gjerë revistash, periodikësh dhe botimesh të vazhdueshme që mbulojnë problemet e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore.
Materiali i përfshirë në Enciklopedi është i nevojshëm për studentët, studentët e diplomuar dhe studiuesit në fushën e matematikës dhe shkencave të tjera, të cilët përdorin metoda probabiliste në punën e tyre kërkimore dhe praktike.

Enciklopedia Matematikore është një libër referimi për të gjitha degët e matematikës. Enciklopedia bazohet në artikuj rishikues mbi fushat më të rëndësishme të matematikës. Kërkesa kryesore për artikujt e këtij lloji është plotësia e mundshme e rishikimit të gjendjes aktuale të teorisë me aksesueshmërinë maksimale të prezantimit; këta artikuj janë përgjithësisht të disponueshëm për matematikanët e lartë, studentët e diplomuar dhe specialistët në fusha të ngjashme të matematikës, dhe në raste të caktuara - për specialistët e fushave të tjera të njohurive që aplikojnë metoda matematikore në punën e tyre, inxhinierët dhe mësuesit e matematikës. Ofroi, më tej, artikuj të përmasave të mesme mbi problemet individuale specifike dhe metodat e matematikës; këta artikuj janë të destinuar për një rreth më të ngushtë lexuesish, kështu që prezantimi në to mund të jetë më pak i aksesueshëm. Më në fund, ekziston një lloj tjetër artikujsh - përkufizime të shpejta referimi. Disa përkufizime janë dhënë brenda dy llojeve të para të artikujve. Shumica e artikujve të Enciklopedisë shoqërohen me një listë referencash me numra serialë për çdo titull, gjë që bën të mundur citimin në tekstet e artikujve. Në fund të artikujve (si rregull) tregohet autori ose burimi, nëse artikulli është botuar tashmë më herët (kryesisht, këto janë artikuj të Enciklopedisë së Madhe Sovjetike). Emrat e shkencëtarëve të huaj (përveç të lashtë) të përmendur në artikuj shoqërohen me drejtshkrim latin (nëse nuk ka referencë në bibliografi).

Parimi i renditjes së artikujve në Enciklopedi është alfabetik. Nëse titulli i artikullit është një term që ka një sinonim, atëherë ky i fundit jepet pas atij kryesor. Në shumë raste, titujt e artikujve përbëhen nga dy ose më shumë fjalë. Në këto raste termat jepen ose në formën më të zakonshme, ose në radhë të parë vendoset fjala më e rëndësishme për nga kuptimi. Nëse titulli i një artikulli përfshin emrin e tij, ai vendoset në radhë të parë (në listën e referencave për artikuj të tillë, si rregull, ekziston një burim parësor që shpjegon emrin e termit). Titujt e artikujve jepen kryesisht në njëjës.

Enciklopedia përdor gjerësisht një sistem lidhjesh me artikuj të tjerë, ku lexuesi do të gjejë informacion shtesë për temën në shqyrtim. Përkufizimi nuk jep një referencë për termin që shfaqet në titullin e artikullit.

Për të kursyer hapësirë në artikuj, janë miratuar shkurtesat e disa fjalëve, të zakonshme për enciklopeditë.

Punuar në vëllimin 1

Bordi redaktues i matematikës i shtëpisë botuese "Enciklopedia Sovjetike" - V. I. BITYUTSKOV (kreu i redaksisë), M. I. VOYTSEKHOVSKY (redaktor shkencor), Yu. A. GORBKOV (redaktor shkencor), A. B. IVANOV (redaktor i lartë) IVANOVA (redaktor i lartë shkencor), T. Yu. POPOVA (redaktor shkencor), SA RUKOVA (redaktor i lartë shkencor), EG SOBOLEVSKAYA (redaktor), LV Sokolova (redaktor i ri), L.R. KHABIB (redaktor i ri).

Botues: E. P. RYABOVA (botim letrar). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografi). A. F. DALKOVSKAYA (transkriptim). N. A. FEDOROVA (departamenti i rekrutimit). 3. A. SUKHOVA (botim i ilustrimeve). E. I. ALEKSEEVA, N. Yu. Kruzhalova (botim i fjalorit). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (korrektues). G. V. SMIRNOVA (botim teknik).

Kopertina e artistit R. I. MALANICHEV.

Informacion shtesë për vëllimin 1

Shtëpia Botuese "Enciklopedia Sovjetike"

Libra referencë për fjalorët e enciklopedisë

Këshilli shkencor dhe redaktues i shtëpisë botuese

A. M. PROKHOROV (Kryetar), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV ,,,Barn,,,Barn,,Mp. , BE Bykhovsky, V. Kh. Vasilenko, L. M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHGOUBLI, V. M. GLUSHKOVLIKOV, G. ), VP YELUTIN, VS EMELYANOV, EM ZHUKOV, AA IMSHENETSKY, NN INOZEMTSEV, M. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEVLD, B. KOVALEV (Zëvendëskryetari i Parë), FV KONSTANTINOV, VN KUDRYAVTSEV, MI KUZNETSOV (Zëvendëskryetar), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. KUTUZOV, PP LOBANOV, GM LOZA, MARKKOHE, M. E. Yu. Yu. MATULIS, GI NAAN, GD OBICHKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVO Y, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, DN SOLOVNITER, V. V. SA TOKAREV, VA TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, J. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. L. V. KIRILLOVA, Sekretar i Këshillit.

Moskë 1977

Enciklopedia e Matematikës. Vëllimi 1 (A - D)

Kryeredaktor I. M. VINOGRADOV

Ekipi redaktues

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (Zëvendëskryeredaktor), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOVSHEV, VA EFIMOVRI, VA ILYATZEV, VA. MISHCHENKO, SP NOVIKOV, EG POZNYAK , Yu.V. PROKHOROV (Zëvendës kryeredaktor), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSK

Enciklopedia Matematikore. Ed. kolegjiumi: I. M. Vinogradov (kap. red.) [dhe të tjerët] T. 1 - M., " Enciklopedia Sovjetike", 1977

(Enciklopedi. Fjalorë. Libra referencë), vëll. 1. A - G. 1977. 1152 stb. nga Fig.

Jepet me qera ne kompletin 9. 06. 1976. Nenshkruar per shtyp 18. 02. 1977. Shtypja e tekstit nga matricat e punuara ne Shtypshkronjen Model I pare. A. A. Zhdanova. Urdhri i Shtëpisë Botuese të Flamurit të Kuq të Punës "Enciklopedia Sovjetike". 109817. Moskë, Zh - 28, Bulevardi Pokrovsky, 8. T - 02616 Tirazhi 150.000 kopje. Urdhri nr 418. Letra tipografike nr 1. Letra me permasa 84xl08 1/14. Vëllimi 36 fizik. n. l. ; 60, 48 konv. n. l. teksti. 101, 82 f. - ed. l. Çmimi i librit është 7 rubla. 10 r.

Urdhri i Flamurit të Kuq të Punës Shtypshkronja e Moskës Nr. 1 "Soyuzpoligrafprom" nën Komitetin Shtetëror të Këshillit të Ministrave të BRSS për Botimin, Printimin dhe Tregtinë e Librit, Moskë, I - 85, Prospekt Mira, 105. Urdhri Nr. 865.