Igre

Kompleksna risba monge. Mongeova metoda, več risba Točkovna projekcija, več risba

Predavanje

Predmet "Inženirska grafika"

Odsek. 1 Opisna geometrija

Sestavil: Shagvaleeva.G.N.

Uvod.

Deskriptivno geometrijo imenujemo tudi teorija slik. Predmet deskriptivne geometrije je predstavitev in utemeljitev metod za upodobitev prostorskih figur na ravni risbi in načinov reševanja prostorskih geometrijskih problemov na ravni risbi. Stereometrični (tridimenzionalni) predmeti so v njej obravnavani s pomočjo planimetričnih (dvodimenzionalnih) slik teh predmetov, projekcij.

Pravijo, da je risanje jezik tehnologije, deskriptivna geometrija pa je slovnica tega jezika. Opisna geometrija je teoretična osnova za izdelavo tehničnih risb, ki so popolni grafični modeli določenih inženirskih izdelkov.

Na podlagi pravil za konstruiranje slik, določenih v opisni geometriji projekcijska metoda.

Študij deskriptivne geometrije prispeva k razvoju prostorske reprezentacije in domišljije, konstruktivnemu geometrijskemu razmišljanju, razvoju sposobnosti analize in sinteze prostorskih oblik in odnosov med njimi. Obvladovanje metod konstruiranja različnih geometrijskih prostorskih objektov, načinov pridobivanja njihovih risb na ravni grafičnih modelov in sposobnost reševanja problemov na teh risbah, povezanih s prostorskimi objekti in njihovimi geometrijskimi značilnostmi.

Temelje deskriptivne geometrije kot znanosti je postavil francoski znanstvenik in inženir Gaspard Monge (1746-1818) v svojem delu Deskriptivna geometrija, Pariz, 1795. Gaspard Monge je dal splošno metodo za reševanje stereometričnih problemov z geometrijskimi konstrukcijami na ravnini, to je na risbi, z uporabo risarskih orodij.

Sprejete oznake.

A, B, C, D, -točke so označene z velikimi črkami latinske abecede;

a, b, c, d - vrstice - z malimi črkami latinske abecede;

p 1 - vodoravna ravnina projekcij,

p 2 - čelna ravnina projekcij,

p 3 - profilna ravnina projekcij,

p 4 , p 5 , ... - dodatne projekcijske ravnine.

letala

Projekcijske osi - z malimi črkami latinske abecede: x, y in z. Izvor koordinat je številka 0.

Projekcije točk, črt, ravnin so označene: na p 1 z eno potezo, na p 2 z dvema, na p 3 - s tremi potezami.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Oblikovanje projekcij.

1 Sredinska projekcija.

Osrednji projekcijski aparat je sestavljen iz projekcijskega središča S, projekcijske ravnine π, projekcijskih žarkov.

π 1 - projekcijska ravnina

S - projekcijsko središče

A, B, C - točke v prostoru

A", B", C" - projekcije točk na ravnino π"

Projekcija je točka presečišča projekcijskega žarka s projekcijsko ravnino.

2. Vzporedna projekcija.

Projicirani žarki se vodijo vzporedno s S in drug z drugim. Vzporedne projekcije delimo na poševne in pravokotne. Pri poševni projekciji se žarki nahajajo pod kotom na projekcijsko ravnino.

Pri pravokotni projekciji so projekcijski žarki pravokotni na projekcijsko ravnino (slika 1.3). Pravokotna projekcija je glavna metoda projekcije, ki se uporablja pri izdelavi tehničnih risb.

Osnovne lastnosti ortogonalne projekcije

1. Projekcija točke - točka obstaja;

2. Projekcija premice (v splošnem primeru) - obstaja ravna črta ali točka (premica je pravokotna na projekcijsko ravnino);

3. Če točka leži na ravni črti, potem bo projekcija te točke pripadala projekciji premice: А l ® A "l";

4. Če sta dve premici v prostoru vzporedni, potem sta vzporedni tudi njuni istoimenski projekciji: a || b ® a` || b`;

5. Če se dve premici v neki točki sekata, se njuni istoimenski projekciji sekata v ustrezni projekciji te točke: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Sorazmernost segmentov, ki ležijo na eni ravni črti ali na dveh vzporednih črtah, je ohranjena tudi na njihovih projekcijah (slika 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Če je ena od obeh medsebojno pravokotnih premic vzporedna s projekcijsko ravnino, se pravi kot projicira na to ravnino s pravim kotom (slika 1.4).

Kompleksna risba točke ali Mongeovih risb.

Najpogostejšo metodo deskriptivne geometrije v praksi je predlagal Gaspard Monge. Ta metoda temelji na ortogonalni zasnovi.

Pravokotna (ali pravokotna) projekcija točke A na ravnino π 1 se imenuje osnova navpičnice, spuščene iz točke A na ravnino π 1 (slika 1.5)

Risba, pridobljena v tem primeru na ravnini π 1, je nepovratna, korespondenca med izvirnikom A in projekcijo A "je edinstvena samo v eni smeri: od izvirnika do projekcije. Original ustreza eni sami projekciji, originalni risbi je enolično definiran, toda za projekcijo A" ji ustreza nešteto izvirnikov, in sicer vse točke projekcijske črte AA". Natančen prevod iz jezika risbe v jezik narave je nemogoč. Zato Monge uvaja drugo projekcijsko ravnino.

riž. 1.6. sl.1. 7.

Na sl. 6. prikazuje pravokoten koordinatni sistem.

Če zdaj združimo ravnini π 1 in π 2 s vgrajeni projekciji z zasukom π 1 okoli osi X za 90 0, tako da sprednja polravnina π 1 sovpada s spodnjo polravnino π 2, dobimo zapleteno risanje točk oz Mongejev diagram. (slika 1.7).

Zgrajeno po teh pravilih risba, sestavljena iz para projekcij, ki se nahajajo v projekcijskem razmerju, je reverzibilna, torej korespondenca med izvirnikom in risbo je nedvoumna v obe smeri. Ali z drugimi besedami, risba daje izčrpne informacije o izvirniku. Dešifriranje teh informacij je predmet deskriptivne geometrije.

Iz zapletene risbe točke lahko potegnemo naslednje zaključke:

1. dve projekciji točke v celoti določata položaj točke v prostoru;

2. projekcije točk vedno ležijo na vezni črti, pravokotni na os projekcije.

Črte, ki povezujejo projekcije točk, se imenujejo komunikacijske črte in so upodobljene kot polne tanke črte.

V številnih konstrukcijah in pri reševanju problemov se izkaže, da je treba v sistem uvesti π 1 (vodoravna ravnina) π 2 (čelna ravnina) in druge projekcijske ravnine. Ravnina, pravokotna na π 1 in π 1, je profilna ravnina. π 3 . Presečišče vodoravne in čelne ravnine daje os X, presečišče vodoravne in profilne ravnine daje os Y, črta presečišča čelne in profilne ravnine pa os Z. (slika 1 . 8)

Da bi dobili kompleksno risbo točke, je potrebno postaviti tri ravnine v eno, za kar “prerežemo” os Y in tri glavne projekcijske ravnine združimo v eno (slika 1. 9).

Tretja projekcija ne dodaja nobenih novih informacij o izvirniku. To samo naredi razpoložljive informacije bolj prebavljive. (Slika 1.10)

Razdalja od točke A do ravnine π 3 (A A "") v prostoru je vidna na risbi in je enaka razdalji A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X

Razdalja od točke A do ravnine π 2 (A A") v prostoru je vidna na risbi in je enaka razdalji A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y

Razdalja od točke A do ravnine π 1 (A A") v prostoru je vidna na risbi in je enaka razdalji A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z

Primer. Zgradite projekcije točk A(10, 10,30), B(30,20,10)

Tekmovalne točke.

Točke, pri katerih en par istoimenskih projekcij sovpada (in druge ne sovpadajo), imenujemo konkurenčne točke.

Točke se nahajajo na eni štrleči ravni črti, pravokotno na ravnino čelne projekcije. Smer pogleda je označena s puščico. V tem primeru je projekcija B" bližje opazovalcu kot A", in na π 2 bo projekcija B"" vidna, projekcija A"" pa nevidna (slika 1.12).

Koncept " višje nižje»

Točke se nahajajo na eni štrleči ravni črti, pravokotno na vodoravno projekcijsko ravnino. Smer pogleda je označena s puščico. V tem primeru je projekcija A "" bližje opazovalcu kot B "", in na π 1 bo projekcija A" vidna, projekcija B" pa nevidna (slika 1.13).

Mongeov diagram ali kompleksna risba je risba, sestavljena iz dveh ali več med seboj povezanih pravokotnih projekcij geometrijske figure.

Uporaba prostorske postavitve za prikaz pravokotnih projekcij geometrijskih figur je neprijetna zaradi njene obsežnosti, pa tudi zaradi dejstva, da se pri prenosu na list papirja oblika in velikost projicirane figure popačita na V in Š. letala.
Zato je namesto slike na risbi prostorske postavitve uporabljen Mongeov diagram.

Mongeov diagram dobimo s preoblikovanjem prostorske postavitve s kombiniranjem ravnin H in W s frontalno projekcijsko ravnino V:
- da poravnate ravnino H z V, jo zavrtite za 90 stopinj okoli osi x v smeri urinega kazalca. Na sliki, zaradi jasnosti, ravnina H zasukana pod kotom nekoliko manj kot 90 stopinj, medtem ko je os y, ki pripada vodoravni projekcijski ravnini, po vrtenju sovpada z osjo z;
- po poravnavi vodoravne ravnine zavrtite okoli osi z tudi pod kotom 90 stopinj na ravnino profila v nasprotni smeri od gibanja v smeri urinega kazalca. Hkrati os y, ki pripada profilni ravnini projekcije, po rotaciji sovpada z osjo x.

Po transformaciji bo prostorska postavitev dobila obliko, prikazano na sliki. Ta slika prikazuje tudi zaporedje relativnega položaja tal projekcijskih ravnin, torej zapis V označuje, da je v tem delu ploskve Monge (omejeno s pozitivno smerjo osi x in z) bližje nam je zgornje levo nadstropje ravnine frontalne projekcije V, za njim je zadnje levo nadstropje vodoravne projekcijske ravnine H, sledi zgornja zadnja etaža profilne ravnine W.

Ker ravnine nimajo meja, potem v kombiniranem položaju (na diagramu) te meje niso prikazane, ni treba puščati napisov, ki označujejo položaj tal projekcijskih ravnin. Prav tako je odveč spominjati, kje je negativna smer koordinatnih osi. Nato bo Mongeov diagram, ki bo nadomestil risbo prostorske postavitve, v svoji končni obliki dobil obliko, prikazano na sliki.

Mongeov načrt je mogoče narediti z:

- običajna orodja za risanje in napeljave:
Orodja za risanje;
Dodatki in naprave za risanje;
- Programi za gradnjo (risanje) Mongeovega diagrama: Izdelava risbe v grafičnem urejevalniku.

Kot primer zasnove Mongeovega diagrama ponujamo rešitev problema konstruiranja enakokrakega pravokotnega trikotnika ABC:

— znano po stanju težave je prikazano črno;
- v zeleni barvi so prikazane vse konstrukcije, ki vodijo do rešitve problema;
- iskana opravila so prikazana rdeče.
Glede na pogoj naloge so podane projekcije trikotnika ABC(A`B`C`, A»B»…”). Za rešitev problema je potrebno najti manjkajočo projekcijo C.

Metoda Monge, kompleksna risba.

Točkovne projekcije, kompleksna risba.

Medsebojno pravokotne projekcijske ravnine.

Metode pravokotne projekcije na dva in tri

Lastnosti ortografske projekcije

Osnovno in nespremenljivo lastnosti (Invariante) ortogonalne projekcije so naslednje:

1) točkovna projekcija - točka;

2) projekcija ravne črte - v splošnem primeru ravna črta; če smer projekcije sovpada s smerjo premice, potem je projekcija slednje točka;

3) če točka pripada premici, potem projekcija te točke pripada projekciji premice.

4) projekcije vzporednih premic so med seboj vzporedne;

5) razmerje odsekov črte je enako razmerju njihovih projekcij;

6) razmerje odsekov dveh vzporednih premic je enako razmerju njunih projekcij;

7) projekcija presečišča dveh premic je točka presečišča projekcij teh premic;

8) če je ravna ali ravna figura vzporedna z ravnino projekcij, se na to ravnino projicirajo brez popačenja;

9) če je vsaj ena stran pravega kota vzporedna z ravnino projekcij, druga pa ni pravokotna nanjo, se pravi kot projicira na to ravnino v pravi kot.

Če informacije o razdalji točke glede na projekcijsko ravnino niso podane s pomočjo številčne oznake, temveč s pomočjo druge projekcije točke, zgrajene na drugi projekcijski ravnini, se risba imenuje dve sliki oz celovito. Določena so osnovna načela za izdelavo takšnih risb Gaspard Monge - glavni francoski geometer poznega 18. in zgodnjega 19. stoletja, 1789-1818. eden od ustanoviteljev znamenite politehniške šole v Parizu in udeleženec pri delu pri uvedbi metričnega sistema mer in uteži.

Postopoma nakopičena posamezna pravila in tehnike tovrstnih slik so bila vnesena v sistem in razvita v delu G. Mongea "Geometrie desscriptive".

Mongeova metoda ortogonalne projekcije na dve medsebojno pravokotni projekcijski ravnini je bila in ostaja glavna metoda za izdelavo tehničnih risb.

V skladu z metodo, ki jo je predlagal G. Monge, upoštevamo dve medsebojno pravokotni projekcijski ravnini v prostoru (slika 6). Ena od projekcijskih ravnin P 1 postavljen vodoravno, drugi pa P 2 - navpično. P 1 - vodoravna projekcijska ravnina, P 2 - čelni. Ravnine so neskončne in neprozorne.

Projekcijske ravnine delijo prostor na štiri diedrske kote - četrtine. Glede na ortogonalne projekcije se predpostavlja, da je opazovalec v prvi četrtini na neskončno veliki razdalji od projekcijskih ravnin.

Slika 6. Prostorski model dveh projekcijskih ravnin

Črta presečišča projekcijskih ravnin se običajno imenuje koordinatna os in je označena x 21 . Ker so te ravnine neprozorne, bodo opazovalcu vidni samo tisti geometrijski objekti, ki se nahajajo v isti prvi četrtini. Da bi dobili ravno risbo, sestavljeno iz navedenih projekcij, ravnina P 1 združite z vrtenjem okoli osi x 12 s stanovanjem P 2 (slika 6) Projekcijska risba, na kateri so projekcijske ravnine z vsem, kar je na njih prikazano, na določen način združene med seboj, običajno imenujemo Mongejev diagram(francosko Epure - risba.) Ali kompleksna risba.

Metoda Monge, kompleksna risba. - koncept in vrste. Razvrstitev in značilnosti kategorije "Mongejeva metoda, kompleksna risba." 2017, 2018.

Projekcija geometrijskega predmeta na eno ravnino, ki smo jo obravnavali prej, ne daje popolne in nedvoumne predstave o obliki geometrijskega predmeta. Zato upoštevajte projekcijo vsaj dveh medsebojno pravokotnih ravnin (slika 1.2), od katerih je ena nameščena vodoravno, druga pa navpično.

Kljub jasnosti je neprijetno delati z risbo, prikazano na sliki 1.2, ker vodoravna ravnina na njej je prikazana s popačenjem. Na risbi je bolj priročno izvajati različne konstrukcije, kjer se projekcijske ravnine nahajajo v isti ravnini, in sicer v ravnini risbe. Če želite to narediti, je potrebno vodoravno ravnino obrniti okoli osi OX za 90 ° in jo združiti s sprednjo, tako da se sprednja tla vodoravne ravnine spustijo navzdol, zadnja pa navzgor. To metodo je predlagal G. Monge.

riž. 1.2. Konstrukcija Mongeovega diagrama:

a) prostorska slika lokacije projekcij točke A; b) ravninska slika lokacije projekcij točke A.

Zato tako pridobljeno risbo (slika 1.2, b) imenujemo Mongeov diagram ali kompleksna risba.

Običajno dve projekciji nista dovolj za popolno sliko zadevnega geometrijskega predmeta. Zato se predlaga uvedba tretje projekcijske ravnine, pravokotne na prvi dve (slika 1. 3, a).

riž. 1.3. Izdelava trislikovne kompleksne risbe (mongejev diagram):

a) prostorski model projekcijskih ravnin; b) kompleksna risba s tremi slikami.

Potem pa letalo P 1 imenujemo vodoravna projekcijska ravnina, P 2- čelna ravnina projekcij (ker se nahaja pred nami vzdolž sprednje strani), P 3- profilna ravnina projekcij (nahaja se v profilu glede na opazovalca). oz A 1- horizontalna projekcija točke AMPAK, A 2- čelna projekcija točke A, A 3- profilna projekcija točke AMPAK.

osi OJ, OJ, OZ se imenujejo projekcijske osi. Podobne so koordinatnim osem kartezijanskega koordinatnega sistema, le da je os OH ima pozitivno smer ne v desno, ampak v levo. Zdaj, da bi dobili projekcije v eni ravnini (ravnina risbe), je potrebno razširiti tudi profilno ravnino projekcij, da sovpada s čelno. Če želite to narediti, ga je treba zavrteti za 90 ° okoli osi oz, in obrnite sprednjo polovico ravnine v desno, zadnjo pa v levo. Kot rezultat dobimo trislikovno kompleksno risbo (monge ploskve), prikazano na sl. 1.3, b. Od osi OY se odvija skupaj z dvema ravninama P 1 in P 3, potem je na kompleksni risbi upodobljen dvakrat.

Iz tega sledi pomembno pravilo za razmerje projekcij. Namreč, na podlagi sl. 1.3, a, v matematični obliki se lahko zapiše kot: A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Zato v besedilni obliki zveni takole: razdalja od vodoravne projekcije točke do osi OH je enaka razdalji od profilne projekcije določene točke do osi OZ. Nato lahko iz poljubnih dveh projekcij točke sestavimo tretjo. Horizontalna in čelna projekcija točke AMPAK povezuje navpično komunikacijsko linijo, čelno in profilno projekcijo - vodoravno.

Zaradi dejstva, da je kompleksna risba model prostora, zložen v ravnino, na njej ni mogoče upodobiti projicirane točke (razen če njen položaj sovpada z eno od projekcij). Na podlagi tega je treba upoštevati, da v kompleksni risbi ne delujemo s samimi geometrijskimi predmeti, temveč z njihovimi projekcijami.

Kljub jasnosti je neprijetno delati z risbo, prikazano na sliki 1.2, ker vodoravna ravnina na njej je prikazana s popačenjem. Na risbi je bolj priročno izvajati različne konstrukcije, kjer se projekcijske ravnine nahajajo v isti ravnini, in sicer v ravnini risbe. Za to je potrebno vodoravno ravnino obrniti okoli osi OX za 90 in jo združiti s sprednjo, tako da se sprednji del vodoravne ravnine spusti navzdol, zadnji pa navzgor. To metodo je predlagal G. Monge.

riž. 1.2. Konstrukcija Mongeovega diagrama:

a) prostorska slika lokacije projekcij točke A; b) ravninska slika lokacije projekcij točke A.

Zato tako pridobljeno risbo (slika 1.2, b) imenujemo Mongeov diagram ali kompleksna risba.

Običajno dve projekciji nista dovolj za popolno sliko zadevnega geometrijskega predmeta. Zato se predlaga uvedba tretje projekcijske ravnine, pravokotne na prvi dve (slika 1. 3, a).

riž. 1.3. Izdelava trislikovne kompleksne risbe (mongejev diagram):

a) prostorski model projekcijskih ravnin; b) kompleksna risba s tremi slikami.

Potem pa letalo P 1 imenujemo vodoravna projekcijska ravnina, P 2 - čelna ravnina projekcij (ker se nahaja pred nami vzdolž sprednje strani), P 3 - profilna ravnina projekcij (nahaja se v profilu glede na opazovalca). oz AMPAK 1 - horizontalna projekcija točke AMPAK, AMPAK 2 - čelna projekcija točke A, A 3 - profilna projekcija točke AMPAK.

osi oh, ohY, oz se imenujejo projekcijske osi. Podobne so koordinatnim osem kartezijanskega koordinatnega sistema, le da je os OH ima pozitivno smer ne v desno, ampak v levo. Zdaj, da bi dobili projekcije v eni ravnini (ravnina risbe), je potrebno razširiti tudi profilno ravnino projekcij, da sovpada s čelno. Če želite to narediti, ga je treba zasukati za 90 okoli osi oz, in obrnite sprednjo polovico ravnine v desno, zadnjo pa v levo. Kot rezultat dobimo trislikovno kompleksno risbo (monge ploskve), prikazano na sl. 1.3, b. Od osi OY se odvija skupaj z dvema ravninama P 1 in P 3 , potem je na kompleksni risbi upodobljen dvakrat.

Iz tega sledi pomembno pravilo za razmerje projekcij. Namreč, na podlagi sl. 1.3, a, v matematični obliki se lahko zapiše kot: AMPAK 1 AMPAK x = OA y = A z AMPAK 3 . Zato v besedilni obliki zveni takole: razdalja od vodoravne projekcije točke do osi OH je enaka razdalji od profilne projekcije določene točke do osi OZ. Nato lahko iz poljubnih dveh projekcij točke sestavimo tretjo. Horizontalna in čelna projekcija točke AMPAK povezuje navpično komunikacijsko linijo, čelno in profilno projekcijo - vodoravno.