Vrste paralelopipedov. Poševni paralelopiped: lastnosti, formule in naloge za učitelja matematike. Neposredno risanje paralelepipeda

V tej lekciji bodo vsi lahko preučevali temo "Pravokotni paralelopiped". Na začetku lekcije bomo ponovili, kaj so poljubni in ravni paralelopipedi, se spomnili lastnosti njunih nasprotnih ploskev in diagonal paralelepipeda. Nato si bomo ogledali, kaj je kvader, in razpravljali o njegovih osnovnih lastnostih.

Tema: Pravokotnost premic in ravnin

Lekcija: Kvader

Površino, sestavljeno iz dveh enakih paralelogramov ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 ter štirih paralelogramov ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, imenujemo. paralelopiped(Slika 1).

riž. 1 Paralelepiped

Se pravi: imamo dva enaka paralelograma ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 (osnovici), ležita v vzporednih ravninah tako, da so stranski robovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 vzporedni. Tako se imenuje površina, sestavljena iz paralelogramov paralelopiped.

Tako je površina paralelepipeda vsota vseh paralelogramov, ki sestavljajo paralelepiped.

1. Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

(oblike so enake, to pomeni, da jih je mogoče kombinirati s prekrivanjem)

Na primer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (po definiciji enaka paralelograma),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ker sta AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C nasprotni strani paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ker sta AA 1 D 1 D in BB 1 C 1 C nasprotni ploskvi paralelepipeda).

2. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in se s to točko razpolovita.

Diagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se sekajo v eni točki O in vsako diagonalo s to točko deli na pol (slika 2).

riž. 2 Diagonali paralelopipeda se sekata in ju deli presečišče na pol.

3. Obstajajo tri četverice enakih in vzporednih robov paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove.

Naj bo stranski rob AA 1 pravokoten na podlago (slika 3). To pomeni, da je premica AA 1 pravokotna na premici AD in AB, ki ležita v ravnini baze. To pomeni, da stranske ploskve vsebujejo pravokotnike. In osnove vsebujejo poljubne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, kot φ je lahko poljuben.

riž. 3 Pravi paralelepiped

Pravilni paralelepiped je torej paralelepiped, pri katerem so stranski robovi pravokotni na osnove paralelopipeda.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje pravokotnik,če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago. Osnove so pravokotniki.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravokoten (slika 4), če:

1. AA 1 ⊥ ABCD (stranski rob, pravokoten na ravnino osnove, to je ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, kar pomeni, da je osnova pravokotnik.

riž. 4 Pravokotni paralelepiped

Pravokotni paralelepiped ima vse lastnosti poljubnega paralelepipeda. Toda obstajajo dodatne lastnosti, ki izhajajo iz definicije kvadra.

Torej, kvader je paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnovo. Osnova kvadra je pravokotnik.

1. V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov.

ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 sta po definiciji pravokotnika.

2. Stranska rebra so pravokotna na podlago. To pomeni, da so vse stranske ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

3. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi.

Oglejmo si na primer diedrski kot pravokotnega paralelopipeda z robom AB, to je diedrski kot med ravninama ABC 1 in ABC.

AB je rob, točka A 1 leži v eni ravnini - v ravnini ABB 1, točka D pa v drugi - v ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Potem lahko obravnavani diedrski kot označimo tudi takole: ∠A 1 ABD.

Vzemimo točko A na robu AB. AA 1 je pravokoten na rob AB v ravnini АВВ-1, AD je pravokoten na rob AB v ravnini ABC. To pomeni, da je ∠A 1 AD linearni kot danega diedrskega kota. ∠A 1 AD = 90°, kar pomeni, da je diedrski kot pri robu AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobno je dokazano, da so vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda pravi.

Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Opomba. Dolžine treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča kvadra, so mere kvadra. Včasih se imenujejo dolžina, širina, višina.

Podano: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokotni paralelopiped (slika 5).

Dokaži: .

riž. 5 Pravokotni paralelepiped

Dokaz:

Premica CC 1 je pravokotna na ravnino ABC in torej na premico AC. To pomeni, da je trikotnik CC 1 A pravokoten. Po Pitagorovem izreku:

Razmislimo pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku:

Toda BC in AD sta nasprotni strani pravokotnika. Torej BC = AD. Nato:

Ker , A , To. Ker je CC 1 = AA 1, je bilo to potrebno dokazati.

Diagonali pravokotnega paralelopipeda sta enaki.

Označimo mere paralelopipeda ABC kot a, b, c (glej sliko 6), nato pa AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ali (enakovredno) polieder, ki ima šest ploskev in vsaka od njih - paralelogram.

Vrste paralelopipedov

Obstaja več vrst paralelepipedov:

• Kvader je paralelepiped, katerega vse ploskve so pravokotniki.
• Pravi paralelepiped je paralelepiped s 4 stranskimi ploskvami, ki so pravokotniki.
• Nagnjen paralelepiped je paralelepiped, katerega stranske ploskve niso pravokotne na osnove.

Bistveni elementi

Dve ploskvi paralelepipeda, ki nimata skupnega roba, imenujemo nasprotni, tisti, ki imata skupni rob, pa sosednji. Dve oglišči paralelepipeda, ki ne pripadata isti ploskvi, imenujemo nasprotni. Odsek, ki povezuje nasprotni oglišči, se imenuje diagonala paralelepipeda. Dolžine treh robov pravokotnega paralelepipeda, ki imajo skupno oglišče, imenujemo njegove mere.

Lastnosti

• Paralelepiped je simetričen glede na sredino svoje diagonale.
• Vsak segment s konci, ki pripadajo površini paralelepipeda in potekajo skozi sredino njegove diagonale, je razdeljen na polovico z njim; zlasti se vse diagonale paralelepipeda sekajo v eni točki in se z njo razpolovijo.
• Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.
• Kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Osnovne formule

Pravi paralelepiped

Bočna površina S b =P o *h, kjer je P o obod osnove, h je višina

Skupna površina S p =S b +2S o, kjer je S o osnovna ploščina

Glasnost V=S o *h

Pravokotni paralelopiped

Bočna površina S b =2c(a+b), kjer sta a, b stranici osnove, c je stranski rob pravokotnega paralelopipeda.

Skupna površina S p =2(ab+bc+ac)

Glasnost V=abc, kjer so a, b, c mere pravokotnega paralelopipeda.

Kocka

Površina: $S=6a^2$
Glasnost: $V=a^3$, Kje $a$- rob kocke.

Vsak paralelopiped

Prostornina in razmerja v nagnjenem paralelepipedu so pogosto določeni z uporabo vektorske algebre. Prostornina paralelepipeda je enaka absolutni vrednosti mešanega zmnožka treh vektorjev, določenih s tremi stranicami paralelepipeda, ki izhajajo iz enega oglišča. Razmerje med dolžinami stranic paralelopipeda in koti med njimi daje izjavo, da je determinanta Grama navedenih treh vektorjev enaka kvadratu njihovega mešanega produkta: 215.

V matematični analizi

IN matematična analiza pod n-razsežnim kvadrom $B$ razumeti veliko točk $x\; =\; (x\_1,\backslash lpike,x\_n)$ vrsta $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napišite oceno o članku "Paralelepiped"

Opombe

Povezave

Pravilno Pravilno nekonveksna Konveksno formule, izreki, teorije drugo

Odlomek, ki opisuje paralelopiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Pravijo, da sta se tekmeca pomirila zaradi te bolezni.]
Z velikim veseljem so ponavljali besedo angina.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stari grof je zelo ganljiv, pravijo. Jokal je kot otrok, ko je zdravnik rekel tisti nevarni primer.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, to bi bila velika izguba. Tako ljubka ženska.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," je rekla Ana Pavlovna in se približala. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," je rekla Anna Pavlovna z nasmehom nad svojim navdušenjem. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Govorite o ubogi grofici ... Poslal sem, da izvem o njenem zdravju. Povedali so mi, da se počuti malo bolje. Oh, brez dvoma, to je najlepša ženska na svetu. Pripadamo različnim taborom, a to mi ne preprečuje, da bi jo spoštoval po njenih zaslugah. Tako je nesrečna.] – je dodala Anna Pavlovna.
V prepričanju, da je Ana Pavlovna s temi besedami nekoliko odgrnila tančico skrivnosti nad grofičino boleznijo, si je neki neprevidni mladenič dovolil izraziti presenečenje, da niso poklicali slavnih zdravnikov, ampak da grofico zdravi šarlatan, ki lahko povzroči nevarne pravna sredstva.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," je Ana Pavlovna nenadoma strupeno napadla neizkušenega mladeniča. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vaše novice so morda bolj točne od mojih ... vendar iz dobrih virov vem, da je ta zdravnik zelo učena in spretna oseba. To je življenjski zdravnik španske kraljice.] - In tako uničila mladeniča, se je Anna Pavlovna obrnila k Bilibinu, ki je v drugem krogu pobral kožo in jo očitno nameraval zrahljati, da bi rekel un mot, spregovoril o Avstrijcih.
»Je trouve que c"est charmant! [se mi zdi očarljivo!],« je rekel o diplomatskem papirju, s katerim so bili avstrijski prapori, ki jih je odnesel Wittgenstein, poslani na Dunaj, le heros de Petropol [junak Petropola] (kot je rekel je bil poklican v Peterburgu).
- Kako, kako je to? - Anna Pavlovna se je obrnila k njemu in prebudila tišino, da bi slišala besedo, ki jo je že poznala.
In Bilibin je ponovil naslednje izvirne besede diplomatske depeše, ki jo je sestavil:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," je rekel Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Cesar pošilja avstrijske prapore, prijazne in izgubljene prapore, ki jih je našel zunaj prave ceste.], « je končal Bilibin in zrahljal kožo.
"Charmant, charmant, [ljubka, očarljiva," je rekel princ Vasilij.
“C"est la route de Varsovie peut être, [To je morda Varšavska cesta.] - je rekel princ Hippolyte glasno in nepričakovano. Vsi so se ozrli vanj, ne da bi razumeli, kaj je hotel s tem povedati. Tudi princ Hippolyte se je ozrl nazaj z veselim presenečenjem okoli sebe, ni razumel, kaj pomenijo besede, ki jih je izrekel. besede, ki so mu prve prišle na misel,« je pomislil, »če pa ne bo šlo, bodo lahko uredili tam.« Zavladala je nerodna tišina, pojavila se je ta premalo patriotska Ana Pavlovna, in ona je z nasmehom in prstom povabila k mizi ter mu dala dve sveči in rokopis ter ga prosila, naj začne .

Opredelitev

Polieder bomo imenovali zaprto ploskev, sestavljeno iz mnogokotnikov in omejuje določen del prostora.

Segmenti, ki so stranice teh mnogokotnikov, se imenujejo rebra polieder, sami poligoni pa so robovi. Oglišča mnogokotnikov imenujemo oglišča poliedrov.

Upoštevali bomo samo konveksne poliedre (to je polieder, ki se nahaja na eni strani vsake ravnine, ki vsebuje njegovo ploskev).

Poligoni, ki sestavljajo polieder, tvorijo njegovo površino. Del prostora, ki ga omejuje dani polieder, imenujemo njegova notranjost.

Opredelitev: prizma

Razmislite o dveh enakih poligonih \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\), ki se nahajata v vzporednih ravninah, tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) vzporedno. Polieder, sestavljen iz mnogokotnikov \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) ter paralelogramov \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se imenuje (\(n\)-gonal) prizma.

Mnogokotnika \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) imenujemo osnove prizme, paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– stranske ploskve, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- stranska rebra.
Tako sta stranska robova prizme med seboj vzporedna in enaka.

Poglejmo primer - prizma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), na dnu katerega leži konveksni peterokotnik.

Višina prizme so navpičnica, spuščena iz katere koli točke ene baze na ravnino druge baze.

Če stranski robovi niso pravokotni na podlago, se imenuje taka prizma nagnjen(slika 1), drugače – naravnost. V ravni prizmi so stranski robovi višine, stranske ploskve pa enaki pravokotniki.

Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, se imenuje prizma pravilno.

Opredelitev: pojem prostornine

Enota za merjenje prostornine je enotska kocka (kocka, ki meri \(1\times1\times1\) enot\(^3\), kjer je enota določena merska enota).

Lahko rečemo, da je prostornina poliedra količina prostora, ki ga ta polieder omejuje. Sicer: to je količina, katere številčna vrednost kaže, kolikokrat se enota kocke in njeni deli prilegajo danemu poliedru.

Prostornina ima enake lastnosti kot površina:

1. Zvezki enake figure so enaki.

2. Če je polieder sestavljen iz več poliedrov, ki se ne sekajo, potem je njegova prostornina enaka vsoti prostornin teh poliedrov.

3. Prostornina je nenegativna količina.

4. Prostornina se meri v cm\(^3\) (kubičnih centimetrih), m\(^3\) (kubičnih metrih) itd.

Izrek

1. Površina stranske površine prizme je enaka produktu oboda osnove in višine prizme.
Bočna površina je vsota ploščin stranskih ploskev prizme.

2. Prostornina prizme je enaka zmnožku osnovne ploščine in višine prizme: \

Definicija: paralelepiped

Paralelepiped je prizma s paralelogramom na dnu.

Vse ploskve paralelopipeda (obstajajo \(6\) : \(4\) stranske ploskve in \(2\) osnove) so paralelogrami, nasprotni ploskvi (med seboj vzporedni) pa sta enaka paralelograma (slika 2) .

Diagonala paralelepipeda je odsek, ki povezuje dve oglišči paralelepipeda, ki ne ležita na isti ploskvi (teh je \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravokotni paralelopiped je pravi paralelepiped s pravokotnikom na dnu.
Ker Ker je to pravi paralelepiped, so stranske ploskve pravokotniki. To pomeni, da so na splošno vse ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

Vse diagonale pravokotnega paralelepipeda so enake (to izhaja iz enakosti trikotnikov \(\trikotnik ACC_1=\trikotnik AA_1C=\trikotnik BDD_1=\trikotnik BB_1D\) itd.).

Komentiraj

Tako ima paralelepiped vse lastnosti prizme.

Izrek

Bočna površina pravokotnega paralelepipeda je \

Skupna površina pravokotnega paralelepipeda je \

Izrek

Prostornina kvadra je enaka zmnožku njegovih treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Ker V pravokotnem paralelepipedu so stranski robovi pravokotni na osnovo, potem so tudi njegove višine, to je \(h=AA_1=c\) Ker osnova je pravokotnik, torej \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Od tod izvira ta formula.

Izrek

Diagonalo \(d\) pravokotnega paralelopipeda najdemo z uporabo formule (kjer so \(a,b,c\) mere paralelepipeda) \

Dokaz

Poglejmo sl. 3. Ker osnova je pravokotnik, potem je \(\trikotnik ABD\) pravokoten, torej po Pitagorovem izreku \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Ker vsi stranski robovi so pravokotni na osnove, torej \(BB_1\perp (ABC) \desna puščica BB_1\) pravokotna na katero koli premico v tej ravnini, tj. \(BB_1\perp BD\) . To pomeni, da je \(\trikotnik BB_1D\) pravokoten. Potem pa po Pitagorejskem izreku \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Opredelitev: kocka

Kocka je pravokoten paralelepiped, katerega vse ploskve so enaki kvadrati.

Tako so tri dimenzije med seboj enake: \(a=b=c\) . Torej drži naslednje

Izreki

1. Prostornina kocke z robom \(a\) je enaka \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Diagonalo kocke najdemo s formulo \(d=a\sqrt3\) .

3. Skupna površina kocke \(S_(\text(celotna kocka))=6a^2\).

Pravokotni paralelopiped

Pravokotni paralelepiped je pravi paralelepiped, katerega vse ploskve so pravokotniki.

Dovolj je, da pogledamo okoli sebe in videli bomo, da imajo predmeti okoli nas obliko, ki je podobna paralelepipedu. Lahko jih ločimo po barvi, imajo veliko dodatnih podrobnosti, če pa te podrobnosti zavržemo, lahko rečemo, da ima na primer omara, škatla itd. približno enako obliko.

S konceptom pravokotnega paralelepipeda se srečamo skoraj vsak dan! Poglej okoli in mi povej, kje vidiš pravokotne paralelepipede? Poglejte knjigo, je popolnoma enake oblike! Opeka, škatlica za vžigalice, kos lesa imajo enako obliko in tudi zdaj ste znotraj pravokotnega paralelepipeda, saj je učilnica najsvetlejša interpretacija tega geometrijskega lika.

Vaja: Katere primere paralelepipedov lahko navedete?

Oglejmo si kvader pobližje. In kaj vidimo?

Najprej vidimo, da je ta lik sestavljen iz šestih pravokotnikov, ki so ploskve kvadra;

Drugič, kvader ima osem oglišč in dvanajst robov. Robovi kvadra so stranice njegovih ploskev, oglišča kvadra pa oglišča ploskev.

Vaja:

1. Kako se imenuje vsaka od ploskev pravokotnega paralelopipeda? 2. Zahvaljujoč katerim parametrom je mogoče izmeriti paralelogram? 3. Določite nasprotne ploskve.

Vrste paralelopipedov

Toda paralelepipedi niso samo pravokotni, ampak so lahko tudi ravni in nagnjeni, ravne črte pa delimo na pravokotne, nepravokotne in kocke.

Naloga: Oglejte si sliko in povejte, kateri paralelopipedi so na njej. Kako se pravokotni paralelepiped razlikuje od kocke?

Lastnosti pravokotnega paralelopipeda

Pravokotni paralelepiped ima številne pomembne lastnosti:

Prvič, kvadrat diagonale te geometrijske figure je enak vsoti kvadratov njenih treh glavnih parametrov: višine, širine in dolžine.

Drugič, vse štiri njegove diagonale so popolnoma enake.

Tretjič, če so vsi trije parametri paralelepipeda enaki, to je, da so dolžina, širina in višina enaki, potem se tak paralelepiped imenuje kocka in vsi njegovi obrazi bodo enaki istemu kvadratu.

telovadba

1. Ali ima pravokoten paralelepiped enake stranice? Če obstajajo, jih pokažite na sliki. 2. Katere? geometrijske oblike Kakšne so ploskve pravokotnega paralelopipeda? 3. Kakšna je razporeditev enakih robov drug glede na drugega? 4. Poimenujte število parov enakih ploskev te figure. 5. V pravokotnem paralelepipedu poiščite robove, ki označujejo njegovo dolžino, širino in višino. Koliko ste jih prešteli?

Naloga

Da bi lepo okrasila rojstnodnevno darilo za svojo mamo, je Tanya vzela škatlo v obliki pravokotnega paralelepipeda. Velikost te škatle je 25cm*35cm*45cm. Da bi bila ta embalaža lepa, se je Tanya odločila, da jo prekrije s čudovitim papirjem, katerega cena je 3 grivne za 1 dm2. Koliko denarja bi morali porabiti za ovojni papir?

Ali veste, da je slavni iluzionist David Blaine kot del eksperimenta preživel 44 dni v steklenem paralelepipedu, ki je visel nad Temzo. Teh 44 dni ni jedel, ampak samo pil vodo. V svoj prostovoljni zapor je David vzel samo pisalni material, blazino in vzmetnico ter robčke.

ali (enakovredno) polieder s šestimi ploskvami, ki so paralelogrami. Šesterokotnik.

Paralelograma, ki sestavljata paralelopiped, sta robovi tega paralelopipeda sta stranici teh paralelogramov robovi paralelepipeda, in oglišča paralelogramov so vrhovi paralelopiped. V paralelepipedu je vsak obraz paralelogram.

Praviloma sta kateri koli 2 nasprotni ploskvi identificirani in poklicani osnove paralelopipeda, in preostali obrazi - stranske ploskve paralelepipeda. Robovi paralelepipeda, ki ne pripadajo osnovnicam, so stranska rebra.

2 ploskvi paralelepipeda, ki imata skupni rob, sta sosednji, in tiste, ki nimajo skupnih robov - nasprotje.

Odsek, ki povezuje 2 oglišči, ki ne pripadata 1. ploskvi, je diagonala paralelepipeda.

Dolžini robov pravokotnega paralelopipeda, ki nista vzporedni, sta linearne dimenzije (meritve) paralelepiped. Pravokotni paralelepiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelopipedov.

Obstaja več vrst paralelepipedov:

Neposredno je paralelepiped z robom, pravokotno na ravnino razlogov.

Pravokotni paralelepiped, v katerem so vse 3 dimenzije enake, je kocka. Vsaka ploskev kocke je enaka kvadrati .

Vsak paralelopiped. Prostornina in razmerja v nagnjenem paralelepipedu so večinoma določeni z uporabo vektorske algebre. Prostornina paralelepipeda je enaka absolutni vrednosti mešanega produkta 3 vektorjev, ki jih določajo 3 stranice paralelepipeda (ki izhajajo iz istega oglišča). Razmerje med dolžinami stranic paralelopipeda in koti med njimi kaže na trditev, da je determinanta Grama danih 3 vektorjev enaka kvadratu njihovega mešanega produkta.

Lastnosti paralelepipeda.

• Paralelepiped je simetričen glede na sredino svoje diagonale.
• Vsak odsek s konci, ki pripada površini paralelepipeda in poteka skozi sredino njegove diagonale, je razdeljen z njim na dva enaka dela. Vse diagonale paralelopipeda se sekajo v 1. točki in jih ta deli na dva enaka dela.
• Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in imata enake mere.
• Kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak