Poissonovo rozdelenie. Zákon vzácnych udalostí. Poissonovo rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej Pravdepodobnosť Poissonovho rozdelenia

Najčastejším prípadom rôznych typov rozdelení pravdepodobnosti je binomické rozdelenie. Využime jeho všestrannosť na určenie najbežnejších konkrétnych typov distribúcií, s ktorými sa v praxi stretávame.

Binomické rozdelenie

Nech je nejaká udalosť A. Pravdepodobnosť výskytu udalosti A sa rovná p, pravdepodobnosť, že udalosť A nenastane, je 1 p, niekedy sa označuje ako q. Nechaj n počet testov, m frekvencia výskytu udalosti A v týchto n testy.

Je známe, že celková pravdepodobnosť všetkých možných kombinácií výsledkov sa rovná jednej, teda:

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

p n pravdepodobnosť, že v nn raz; n · p n 1 (1 p) pravdepodobnosť, že v nn 1) raz a nestane sa to raz; C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 pravdepodobnosť, že v n testy, nastane udalosť A ( n 2) krát a nestane sa to 2 krát; P m = C n m · p m· (1 p) n – m pravdepodobnosť, že v n testy, dôjde k udalosti A m sa nikdy nestane ( n – m) raz; (1 p) n pravdepodobnosť, že v n v skúškach sa udalosť A nevyskytne ani raz; počet kombinácií n Autor: m .

Očakávaná hodnota M binomické rozdelenie sa rovná:

M = n · p ,

Kde n počet testov, p pravdepodobnosť výskytu udalosti A.

Smerodajná odchýlka σ :

σ = sqrt( n · p· (1 p)) .

Príklad 1 Vypočítajte pravdepodobnosť, že udalosť, ktorá má pravdepodobnosť p= 0,5 palca n= uskutoční sa 10 pokusov m= 1 krát. Máme: C 10 1 = 10 a ďalej: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Ako vidíme, pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti je pomerne nízka. To sa vysvetľuje po prvé skutočnosťou, že nie je úplne jasné, či sa udalosť stane alebo nie, pretože pravdepodobnosť je 0,5 a šance sú tu „50 na 50“; a po druhé, je potrebné vypočítať, že udalosť nastane presne raz (nie viac ani menej) z desiatich.

Príklad 2 Vypočítajte pravdepodobnosť, že udalosť, ktorá má pravdepodobnosť p= 0,5 palca n= uskutoční sa 10 pokusov m= 2 krát. Máme: C 10 2 = 45 a ďalej: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti sa zvýšila!

Príklad 3 Zvýšme pravdepodobnosť výskytu samotnej udalosti. Urobme to pravdepodobnejšie. Vypočítajte pravdepodobnosť, že udalosť, ktorá má pravdepodobnosť p= 0,8 palca n= uskutoční sa 10 pokusov m= 1 krát. Máme: C 10 1 = 10 a ďalej: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Pravdepodobnosť je menšia ako v prvom príklade! Odpoveď sa na prvý pohľad zdá zvláštna, ale keďže udalosť má dosť vysokú pravdepodobnosť, je nepravdepodobné, že sa stane iba raz. Je pravdepodobnejšie, že sa to stane viac ako raz. Naozaj, počítanie P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (pravdepodobnosť, že udalosť v n= 10 pokusov sa uskutoční 0, 1, 2, 3, , 10 krát), uvidíme:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(najvyššia pravdepodobnosť!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Samozrejme P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Normálne rozdelenie

Ak znázorníme množstvá P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, ktorý sme vypočítali v príklade 3, na grafe sa ukazuje, že ich rozdelenie má tvar blízky zákonu normálneho rozdelenia (pozri obr. 27.1) (pozri prednášku 25. Modelovanie normálne rozdelených náhodných veličín).

Ryža. 27.1. Typ binomického rozdelenia
pravdepodobnosti pre rôzne m pri p = 0,8, n = 10

Binomický zákon sa stáva normálnym, ak sú pravdepodobnosti výskytu a neexistencie udalosti A približne rovnaké, to znamená, že môžeme podmienečne písať: p≈ (1 p) . Zoberme si napríklad n= 10 a p= 0,5 (tj p= 1 p = 0.5 ).

K takémuto problému prídeme zmysluplne, ak chceme napríklad teoreticky vypočítať, koľko chlapcov a koľko dievčat bude z 10 detí narodených v pôrodnici v ten istý deň. Presnejšie, nebudeme počítať chlapcov a dievčatá, ale pravdepodobnosť, že sa narodia len chlapci, že sa narodí 1 chlapec a 9 dievčat, narodia sa 2 chlapci a 8 dievčat atď. Pre jednoduchosť predpokladajme, že pravdepodobnosť, že sa narodí chlapec a dievča, je rovnaká a rovná sa 0,5 (ale v skutočnosti to tak nie je, pozri kurz „Modelovanie systémov umelej inteligencie“).

Je jasné, že rozdelenie bude symetrické, keďže pravdepodobnosť mať 3 chlapcov a 7 dievčat sa rovná pravdepodobnosti mať 7 chlapcov a 3 dievčatá. Najväčšia pravdepodobnosť narodenia bude 5 chlapcov a 5 dievčat. Táto pravdepodobnosť sa rovná 0,25, mimochodom, v absolútnej hodnote nie je taká veľká. Ďalej, pravdepodobnosť, že sa naraz narodí 10 alebo 9 chlapcov, je oveľa menšia ako pravdepodobnosť, že sa narodí 5 ± 1 chlapec z 10 detí. Pri tomto výpočte nám pomôže binomické rozdelenie. Takže.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Samozrejme P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Ukážme veličiny na grafe P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (pozri obr. 27.2).

Ryža. 27.2. Graf binomického rozdelenia s parametrami
p = 0,5 an = 10, čím sa približuje k normálnemu zákonu

Takže za podmienok m ≈ n/2 a p≈ 1 p alebo p≈ 0,5 namiesto binomického rozdelenia môžete použiť normálne. Pre veľké hodnoty n graf sa posúva doprava a stáva sa viac a viac plochým, pretože matematické očakávania a rozptyl sa zvyšujú s rastúcim n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

Mimochodom, binomický zákon má tendenciu k normálnemu a s rastúcim n, čo je celkom prirodzené, podľa centrálnej limitnej vety (pozri prednášku 34. Záznam a spracovanie štatistických výsledkov).

Teraz zvážte, ako sa mení binomický zákon v prípade, keď p ≠ q, teda p> 0. V tomto prípade nemožno použiť hypotézu normálneho rozdelenia a binomické rozdelenie sa stáva Poissonovým rozdelením.

Poissonovo rozdelenie

Poissonovo rozdelenie je špeciálny prípad binomického rozdelenia (s n>> 0 a pri p>0 (zriedkavé udalosti)).

Z matematiky je známy vzorec, ktorý umožňuje približne vypočítať hodnotu ktoréhokoľvek člena binomického rozdelenia:

Kde a = n · p Poissonov parameter (matematické očakávanie) a rozptyl sa rovná matematickému očakávaniu. Uveďme matematické výpočty, ktoré tento prechod vysvetľujú. Zákon binomického rozdelenia

P m = C n m · p m· (1 p) n – m

dá sa napísať, ak dáte p = a/n , as

Pretože p je veľmi malý, potom by sa mali brať do úvahy iba čísla m, malý v porovnaní s n. Práca

veľmi blízko k jednote. To isté platí aj o veľkosti

Rozsah

veľmi blízko k e – a. Odtiaľ dostaneme vzorec:

Príklad. Krabička obsahuje n= 100 dielov, kvalitných aj chybných. Pravdepodobnosť prijatia chybného produktu je p= 0,01. Povedzme, že výrobok vyberieme, zistíme, či je chybný alebo nie, a vrátime ho späť. Týmto spôsobom sa ukázalo, že zo 100 produktov, ktoré sme prešli, sa dva ukázali ako chybné. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Z binomického rozdelenia dostaneme:

Z Poissonovej distribúcie dostaneme:

Ako vidíte, hodnoty sa ukázali byť blízko, takže v prípade zriedkavých udalostí je celkom prijateľné použiť Poissonov zákon, najmä preto, že si to vyžaduje menšie výpočtové úsilie.

Ukážme si graficky podobu Poissonovho zákona. Zoberme si parametre ako príklad p = 0.05 , n= 10. potom:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Samozrejme P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Ryža. 27.3. Graf Poissonovho rozdelenia pri p = 0,05 an = 10

O n> ∞ Poissonovo rozdelenie sa mení na normálny zákon podľa centrálnej limitnej vety (pozri.

Úvod

Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá študuje vzorce v náhodných javoch. Dnes je to plnohodnotná veda s veľkým praktickým významom.

História teórie pravdepodobnosti siaha až do 17. storočia, kedy sa uskutočnili prvé pokusy o systematické štúdium problémov súvisiacich s hromadnými náhodnými javmi a objavil sa zodpovedajúci matematický aparát. Odvtedy sa vyvinulo a prehĺbilo mnoho základov až do súčasných konceptov a objavili sa ďalšie dôležité zákony a vzorce. Mnoho vedcov pracovalo a pracuje na problémoch v teórii pravdepodobnosti.

Spomedzi nich nemožno nevenovať pozornosť dielam Simeona Denisa Poissona ((1781–1840) – francúzskeho matematika), ktorý dokázal všeobecnejšiu formu zákona veľkých čísel ako Jacob Bernoulli a tiež prvýkrát aplikoval teória pravdepodobnosti k problémom streľby. Poissonovo meno je spojené s jedným zo zákonov rozdelenia, ktorý hrá dôležitú úlohu v teórii pravdepodobnosti a jej aplikáciách.

Počet výskytov určitej náhodnej udalosti za jednotku času, kedy skutočnosť výskytu tejto udalosti v danom experimente nezávisí od toho, koľkokrát a v akom časovom bode sa v minulosti vyskytla, a neovplyvňuje budúcnosť. A testy sa vykonávajú za stacionárnych podmienok, potom sa na opis rozloženia takejto náhodnej premennej zvyčajne používa Poissonov zákon (toto rozdelenie bolo prvýkrát navrhnuté a publikované týmto vedcom v roku 1837).

Tento zákon možno opísať aj ako obmedzujúci prípad binomického rozdelenia, keď pravdepodobnosť p výskytu nás zaujímavej udalosti v jedinom experimente je veľmi malá, ale počet experimentov m vykonaných za jednotku času je dosť veľký. , a to taký, že v procese p

0 a m má produkt mp tendenciu k nejakej kladnej konštantnej hodnote (t.j. mp).

Preto sa Poissonov zákon často nazýva aj zákonom vzácnych udalostí.

Poissonovo rozdelenie v teórii pravdepodobnosti

Funkčný a distribučný rad

Poissonovo rozdelenie je špeciálny prípad binomického rozdelenia (s n>> 0 a pri p–> 0 (zriedkavé udalosti)).

Z matematiky je známy vzorec, ktorý umožňuje približne vypočítať hodnotu ktoréhokoľvek člena binomického rozdelenia:

Kde a = n · p je Poissonov parameter (matematické očakávanie) a rozptyl sa rovná matematickému očakávaniu. Uveďme matematické výpočty, ktoré tento prechod vysvetľujú. Zákon binomického rozdelenia

Popoludnie = C n m · popoludnie· (1 - p)n – m

dá sa napísať, ak dáte p = a/n, as

Pretože p je veľmi malý, potom by sa mali brať do úvahy iba čísla m, malý v porovnaní s n. Práca

veľmi blízko k jednote. To isté platí aj o veľkosti

veľmi blízko k e –a. Odtiaľ dostaneme vzorec:

Eulerovo číslo (2,71...). ,

Pre funkciu generovania

máme množstvo:

Kumulatívna funkcia rozdelenia pravdepodobnosti sa rovná

Klasickým príkladom náhodnej premennej rozloženej podľa Poissona je počet áut prechádzajúcich určitým úsekom cesty za dané časové obdobie. Môžete si všimnúť aj také príklady, ako je počet hviezd v časti oblohy danej veľkosti, počet chýb v texte danej dĺžky, počet telefonátov v call centre alebo počet hovorov na webový server za dané časové obdobie.

Distribučný rad náhodnej premennej X, rozdelený podľa Poissonovho zákona, vyzerá takto:

x m	0	1	2	…	m	…
Popoludnie	e-a			…		…

Na obr. 1 sú znázornené polygóny rozdelenia náhodných premenných X podľa Poissonovho zákona, zodpovedajúce rôznym hodnotám parametra A.

Najprv sa presvedčíme, že postupnosť pravdepodobností môže byť distribučný rad, t.j. že súčet všetkých pravdepodobností Rm rovný jednej.

Používame rozšírenie funkcie e x v sérii Maclaurin:

Je známe, že tento rad konverguje pre akúkoľvek hodnotu X, teda brať x=a, dostaneme

teda

Numerické charakteristiky Poissonovej distribučnej pozície

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností.

Podľa definície, keď diskrétna náhodná premenná nadobúda spočítateľný súbor hodnôt:

Prvý termín súčtu (zodpovedajúci m=0 ) sa rovná nule, preto sčítanie môže začať od m=1 :

Takže parameter A nie je nič iné ako matematické očakávanie náhodnej premennej X.

Pozíciu náhodnej premennej charakterizuje okrem matematického očakávania aj jej modus a medián.

Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou.

Pre spojitú veličinu sa mód nazýva bod lokálneho maxima funkcie hustoty pravdepodobnosti. Ak má polygón alebo distribučná krivka jedno maximum (obr. 2 a), potom sa rozdelenie nazýva unimodálne, ak je maximum viac, je multimodálne (najmä rozdelenie s dvoma režimami sa nazýva bimodálne). Distribúcia, ktorá má minimum, sa nazýva antimodálna (obr. 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Najpravdepodobnejšia hodnota náhodnej premennej je mód, ktorý poskytuje globálnu maximálnu pravdepodobnosť pre diskrétnu náhodnú premennú alebo hustotu distribúcie pre spojitú náhodnú premennú.

Medián je hodnota x l, ktorá rozdeľuje oblasť pod grafom hustoty pravdepodobnosti na polovicu, t.j. Medián je ľubovoľný koreň rovnice. Matematické očakávanie nemusí existovať, ale medián vždy existuje a môže byť nejednoznačne definovaný.

Medián náhodnej premennej

jeho hodnota = x med sa nazýva taká, že P (< x med) = Р ( >x med) = .

Číselné charakteristiky rozptylu

Rozptyl náhodnej premennej X je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

Kde λ sa rovná priemernému počtu výskytov udalostí v identických nezávislých pokusoch, t.j. λ = n × p, kde p je pravdepodobnosť udalosti v jednom pokuse, e = 2,71828.

Séria distribúcie Poissonovho zákona má tvar:

Účel služby. Online kalkulačka sa používa na zostavenie Poissonovho rozdelenia a výpočet všetkých charakteristík série: matematické očakávanie, rozptyl a štandardná odchýlka. Správa s rozhodnutím je vyhotovená vo formáte Word.

V prípade, že n je veľké a λ = p n > 10, Poissonov vzorec dáva veľmi hrubú aproximáciu a na výpočet P n (m) sa použijú lokálne a integrálne Moivre-Laplaceove teorémy.

Numerické charakteristiky náhodnej premennej X

Očakávanie Poissonovej distribúcie
M[X] = A

Rozptyl Poissonovho rozdelenia
D[X] = λ

Príklad č.1. Semená obsahujú 0,1 % burín. Aká je pravdepodobnosť nájdenia 5 semien buriny, ak náhodne vyberiete 2000 semien?
Riešenie.
Pravdepodobnosť p je malá, ale číslo n je veľké. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Očakávaná hodnota M[X] = A = 2
Disperzia: D[X] = λ = 2

Príklad č.2. Medzi semenami raže je 0,4 % semien burín. Vypracujte distribučný zákon pre počet burín s náhodným výberom 5000 semien. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.
Riešenie. Matematické očakávanie: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Disperzia: D[X] = λ = 20
Distribučný zákon:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e - 20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Príklad č.3. Na telefónnej ústredni dôjde k nesprávnemu spojeniu s pravdepodobnosťou 1/200. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 200 pripojeniami sa vyskytne toto:
a) práve jedno nesprávne pripojenie;
b) menej ako tri nesprávne pripojenia;
c) viac ako dve nesprávne pripojenia.
Riešenie. Podľa podmienok úlohy je pravdepodobnosť udalosti nízka, preto použijeme Poissonov vzorec (15).
a) Dané: n = 200, p = 1/200, k = 1. Nájdite P 200 (1).
Dostaneme: . Potom P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Dané: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Máme: a = 1.

c) Dané: n = 200, p = 1/200, k > 2. Nájdite P 200 (k > 2).
Tento problém možno vyriešiť jednoduchšie: nájdite pravdepodobnosť opačnej udalosti, pretože v tomto prípade musíte vypočítať menej výrazov. Berúc do úvahy predchádzajúci prípad, máme

Zvážte prípad, keď n je dostatočne veľké a p dostatočne malé; dajme np = a, kde a je nejaké číslo. V tomto prípade je požadovaná pravdepodobnosť určená Poissonovým vzorcom:

Pravdepodobnosť výskytu k udalostí počas časového trvania t možno nájsť aj pomocou Poissonovho vzorca:
kde λ je intenzita toku udalostí, to znamená priemerný počet udalostí, ktoré sa objavia za jednotku času.

Príklad č.4. Pravdepodobnosť, že súčiastka je chybná, je 0,005. Kontroluje sa 400 dielov. Poskytnite vzorec na výpočet pravdepodobnosti, že viac ako 3 diely sú chybné.

Príklad č.5. Pravdepodobnosť výskytu chybných dielov pri hromadnej výrobe je p. určiť pravdepodobnosť, že dávka N dielov obsahuje a) práve tri diely; b) najviac tri chybné diely.
p = 0,001; N = 4500
Riešenie.
Pravdepodobnosť p je malá, ale číslo n je veľké. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Náhodná premenná X má rozsah hodnôt (0,1,2,...,m). Pravdepodobnosť týchto hodnôt možno nájsť pomocou vzorca:

Poďme nájsť distribučnú sériu X.
Tu λ = np = 4500 * 0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e-4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Potom sa pravdepodobnosť, že dávka N častí obsahuje práve tri časti, rovná:

Potom pravdepodobnosť, že dávka N dielov neobsahuje viac ako tri chybné diely:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Príklad č.6. Automatická telefónna ústredňa prijme v priemere N hovorov za hodinu. Určte pravdepodobnosť, že v danej minúte dostane: a) práve dva hovory; b) viac ako dva hovory.
N=18
Riešenie.
Za jednu minútu prijme automatická telefónna ústredňa v priemere λ = 18/60 min. = 0,3
Za predpokladu, že náhodný počet X hovorov prijatých na PBX za jednu minútu,
dodržiava Poissonov zákon, pomocou vzorca nájdeme požadovanú pravdepodobnosť

Poďme nájsť distribučnú sériu X.
Tu λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Pravdepodobnosť, že dostane presne dva hovory v danej minúte, je:
P(2) = 0,03334
Pravdepodobnosť, že dostane viac ako dva hovory v danej minúte, je:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Príklad č.7. Uvažujú sa dva prvky fungujúce nezávisle na sebe. Trvanie bezporuchovej prevádzky má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ1 = 0,02 pre prvý prvok a λ2 = 0,05 pre druhý prvok. Nájdite pravdepodobnosť, že za 10 hodín: a) oba prvky budú fungovať bez poruchy; b) iba pravdepodobnosť, že prvok č. 1 nezlyhá do 10 hodín:
rozhodnutie.
P1 (0) = e-λ1*t = e-0,02*10 = 0,8187

Pravdepodobnosť, že prvok č. 2 nezlyhá do 10 hodín:
P2 (0) = e-λ2*t = e-0,05*10 = 0,6065

a) oba prvky budú fungovať bezchybne;
P(2) = P1 (0) * P2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
b) zlyhá iba jeden prvok.
P(1) = P1 (0)*(1-P2 (0)) + (1-P1 (0))*P2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Príklad č.7. Výroba produkuje 1 % chýb. Aká je pravdepodobnosť, že z 1100 produktov odobratých na výskum nebude zamietnutých viac ako 17?
Poznámka: keďže tu n*p =1100*0,01=11 > 10, je potrebné použiť

Keď uvažujeme o udalostiach s nízkou pravdepodobnosťou, ktoré sa vyskytujú vo veľkej sérii nezávislých pokusov určitý (konečný) počet, pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí sa riadia Poissonovým zákonom alebo zákonom zriedkavých udalostí, kde λ sa rovná priemernému počtu výskyt udalostí v identických nezávislých štúdiách, t.j. λ = n × p, kde p je pravdepodobnosť udalosti počas jedného pokusu, e = 2,71828, m je frekvencia tejto udalosti, matematické očakávanie M[X] sa rovná λ.

Séria distribúcie Poissonovho zákona má tvar:

Numerické charakteristiky náhodnej premennej X

Očakávanie Poissonovej distribúcie
M[X] = A

Rozptyl Poissonovho rozdelenia
D[X] = λ

Poissonov zákon možno použiť pre populácie, ktoré majú dostatočne veľký objem (n > 100) a majú dostatočne malý podiel jednotiek s touto charakteristikou (p< 0,1).
V tomto prípade je možné použiť Poissonovo rozdelenie, keď nie je známa len hodnota n - celkový počet možných výsledkov, ale aj keď nie je známe konečné číslo, ktoré n môže predstavovať. Ak existuje priemerný počet výskytov udalosti, pravdepodobnosť výskytu udalosti je opísaná výrazmi rozšírenia:
.
Zodpovedajúce pravdepodobnosti sú teda:

Ak je teda priemerný počet zemetrasení jedno za mesiac, potom m=1 a pravdepodobnosť výskytu za mesiac bude nasledovná, vypočítaná z približnej hodnoty e - m = 0,3679:

Príklad. Ako výsledok kontroly 1 000 šarží identických výrobkov sa získalo nasledovné rozloženie počtu chybných výrobkov v šarži:

Poďme určiť priemerný počet chybných produktov v dávke:
.
Nájdeme teoretické frekvencie Poissonovho zákona:


Empiricky a teoreticky zistené Poissonovo rozdelenie:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Porovnanie ukazuje, že empirické rozdelenie zodpovedá Poissonovmu rozdeleniu.

Príklad č.2. Útvar technickej kontroly skontroloval n šarží podobných výrobkov a zistil, že počet X neštandardných výrobkov v jednej šarži má empirické rozloženie uvedené v tabuľke, pričom jeden riadok udáva počet x i neštandardných výrobkov v jednej šarži, a druhý riadok udáva počet n i šarží obsahujúcich x i neštandardných produktov. Je potrebné otestovať hypotézu na hladine významnosti α=0,05, že náhodná premenná X (počet neštandardných produktov v jednej dávke) distribuované podľa Poissonovho zákona.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Overme si hypotézu, že X je rozložené Poissonov zákon Pomocou služby testovanie štatistických hypotéz.


kde p i je pravdepodobnosť náhodnej premennej rozloženej podľa hypotetického zákona spadajúcej do i-tého intervalu; λ = x priem.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p2 = 0,1839, np2 = 183,94
i = 3: p3 = 0,0613, np3 = 61,31
i = 4: p4 = 0,0153, np4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39 = 15,33 + 3,07

i	Pozorovaná frekvencia n i	p i	Očakávaná frekvencia np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Určme hranicu kritickej oblasti. Keďže Pearsonova štatistika meria rozdiel medzi empirickým a teoretickým rozdelením, čím väčšia je jej pozorovaná hodnota K obs, tým silnejší je argument proti hlavnej hypotéze.
Preto je kritická oblasť pre tieto štatistiky vždy pravák :)