Axiomatický prístup ku konštrukcii sústavy prirodzených čísel. Axiomatické metódy v matematike. Základné pojmy a definície
Polysémia
Polysémia alebo polysémia slov vzniká v dôsledku toho, že jazyk predstavuje systém, ktorý je v porovnaní s nekonečnou rozmanitosťou skutočnej reality obmedzený, takže slovami akademika Vinogradova „Jazyk je nútený distribuovať nespočetné množstvo významov pod jeden, resp. ďalšia rubrika základných pojmov.“ (Vinogradov „Ruský jazyk“ 1947). Je potrebné rozlišovať medzi rôznymi použitiami slov v jednom lexikálno-sémantickom variante a skutočným rozdielom slova. Takže napríklad slovo (das)Ol môže označovať množstvo rôznych olejov, okrem kravského (pre ktorý existuje slovo maslo). Z toho však nevyplýva, že pri označení rôznych olejov bude mať slovo Ol zakaždým iný význam: vo všetkých prípadoch bude jeho význam rovnaký, totiž olej (všetko okrem kravského). Rovnako ako napríklad význam slova Tisch table bez ohľadu na to, aký typ tabuľky slovo v tomto konkrétnom prípade označuje. Iná situácia je, keď slovo Ol znamená olej. Tu už nevystupuje do popredia podobnosť oleja z hľadiska olejnatosti s rôznymi druhmi oleja, ale zvláštna kvalita oleja – horľavosť. A zároveň sa so slovom Ol budú spájať slová označujúce rôzne druhy paliva: Kohl, Holz atď. To nám dáva možnosť odlíšiť od slova Ol dva významy (alebo inými slovami dve lexikálno-sémantické možnosti): 1) olej (nie zviera) 2) olej.
Nové významy zvyčajne vznikajú prenesením jedného z existujúcich slov na nový objekt alebo jav. Takto sa tvoria obrazné významy. Sú založené buď na podobnosti predmetov alebo na spojení jedného objektu s druhým. Je známych niekoľko typov prenosu mien. Najdôležitejšie z nich sú metafora alebo metonymia.
V metafore je prenos založený na podobnosti vecí vo farbe, tvare, povahe pohybu atď. So všetkými metaforickými zmenami zostáva nejaký znak pôvodného konceptu
Homonymia
Polysémia slova je taký veľký a mnohostranný problém, že s ním nejako súvisí široká škála problémov v lexikológii. Najmä problém homonymie sa v niektorých aspektoch dostáva do kontaktu s týmto problémom.
Homonymá sú slová, ktoré znejú rovnako, ale majú odlišný význam. V niektorých prípadoch homonymá vznikajú z polysémie, ktorá prešla procesom deštrukcie. No homonymá môžu vzniknúť aj v dôsledku náhodných zvukových zhôd. Kľúč, ktorý otvára dvere, a kľúč - pružina alebo kosa - účes a kosa - poľnohospodársky nástroj - tieto slová majú rôzny význam a rôzny pôvod, ale zhodou okolností sa zhodujú vo svojom zvuku.
Homonymá rozlišujeme lexikálne (týkajú sa jedného slovného druhu, napr. kľúč je na otváranie zámku a kľúč je pružina. zdroj), morfologické (týkajú sa rôznych slovných druhov, napr. tri je číslovka, trojka je sloveso v rozkazovacom spôsobe), lexiko-gramatické, ktoré vznikajú konverziou, keď dané slovo prechádza do iného slovného druhu. napríklad v angličtine pozri-pozri a pozri-pozri. V anglickom jazyku je obzvlášť veľa lexikálnych a gramatických homoným.
Homofóny a homografy treba odlíšiť od homonym. Homofóny sú rôzne slová, ktoré sa síce líšia v pravopise, ale sú rovnaké vo výslovnosti, napríklad: cibuľa - lúka, Seite - stránka a Saite - struna.
Homografy sú také odlišné slová, ktoré majú rovnaký pravopis, hoci sa inak vyslovujú (aj z hľadiska zvukového zloženia, aj miesta prízvuku v slove), napríklad hrad - hrad.
Synonymia
Synonymá sú slová, ktoré sú si významovo blízke, ale znejú inak, vyjadrujú odtiene jedného pojmu.
Existujú tri typy synoným:
1. Koncepčný alebo ideografický. Líšia sa od seba lexikálnym významom. Tento rozdiel sa prejavuje v rôznych stupňoch označeného atribútu (mráz - chladný, silný, mocný, mohutný), v charaktere jeho označenia (vypchávaná bunda - prešívaná bunda - vystužená bunda), v objeme vyjadreného pojmu (banner - vlajkový, odvážny - tučný), v miere koherencie lexikálnych významov (hnedý - lieskový, čierny - havran).
2. Synonymá sú štylistické alebo funkčné. Líšia sa od seba v oblasti použitia, napríklad oči - oči, tvár - tvár, čelo - čelo. Synonymá citovo – hodnotiaci. Tieto synonymá otvorene vyjadrujú postoj hovoriaceho k označenej osobe, predmetu alebo javu. Napríklad dieťa možno slávnostne nazvať dieťaťom, láskavo malý chlapec a malý chlapec, opovržlivo chlapec a prísavník a tiež zosilnene a pohŕdavo šteniatko, prísavník, spratek.
3. Antonymá - spojenia slov, ktoré sú v lexikálnom význame opačné, napr.: hore - dole, biela - čierna, hovoriť - ticho, hlasno - ticho.
Antonymia
Existujú tri typy antoným:
1. Antonymá postupnej a koordinovanej opozície, napríklad biely - čierny, tichý - hlasný, blízko - vzdialený, dobrý - zlý atď. Tieto antonymá majú niečo spoločné vo svojom význame, čo umožňuje ich kontrast. Čiernobiele pojmy teda označujú pojmy opačných farieb.
2. Antonymá komplementárnych a konverzných protikladov: vojna - mier, manžel - manželka, ženatý - slobodný, možný - nemožný, uzavretý - otvorený.
3. Antonymá dichotomického delenia pojmov. Často sú to rovnaké korene slov: ľudové – protinárodné, legálne – nezákonné, humánne – neľudské.
Zaujímavosťou je tzv vnútroslovná antonymia, keď sú proti sebe postavené významy slov, ktoré majú rovnaký materiálny obal. Napríklad v ruštine sloveso požičať niekomu peniaze znamená „požičať“ a požičať si peniaze od niekoho už znamená požičať si od niekoho peniaze. Vnútroslovná opozícia významov sa nazýva enantiosemia.
6. Axiomatická konštrukcia sústavy prirodzených čísel. Axiomatická metóda konštrukcie matematickej teórie. Požiadavky na systém axióm: dôslednosť, nezávislosť, úplnosť. Peanova axiomatika. Pojem prirodzeného čísla z axiomatickej pozície. Modely systému Peanovho axiómu. Sčítanie a násobenie prirodzených čísel z axiomatických pozícií. Usporiadanosť množiny prirodzených čísel. Vlastnosti množiny prirodzených čísel. Odčítanie a delenie množiny prirodzených čísel od axiomatických pozícií. Metóda matematickej indukcie. Zavedenie nuly a konštrukcia množiny nezáporných celých čísel. Veta o delení so zvyškom.
Základné pojmy a definície
číslo - ide o vyjadrenie určitej veličiny.
Prirodzené číslo prvok nekonečne pokračujúcej sekvencie.
Prirodzené čísla (prirodzené čísla) -čísla, ktoré prirodzene vznikajú pri počítaní (v zmysle enumerácie aj v zmysle kalkulu).
Existujú dva prístupy k definovaniu prirodzených čísel - čísla používané v:
zoznam (číslovanie) položiek (prvý, druhý, tretí, ...);
označenie počtu položiek (žiadne položky, jedna položka, dve položky, ...).
axióma – to sú základné východiská (samozrejmé princípy) konkrétnej teórie, z ktorých sa dedukciou, teda čisto logickými prostriedkami, vyťahuje zvyšok obsahu tejto teórie.
Číslo, ktoré má iba dvoch deliteľov (samotné číslo a jeden), sa nazýva - prvočíslo.
Zložené číslo je číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov.
§2. Axiomatika prirodzených čísel
Prirodzené čísla sa získavajú počítaním predmetov a meraním veličín. Ale ak sa počas merania objavia iné čísla ako prirodzené čísla, potom počítanie vedie len k prirodzeným číslam. Na počítanie potrebujete postupnosť číslic, ktorá začína jednotkou a ktorá vám umožňuje prechádzať z jednej číslice na druhú toľkokrát, koľkokrát je to potrebné. Inými slovami, potrebujeme segment prirodzeného radu. Preto pri riešení problému zdôvodnenia sústavy prirodzených čísel bolo v prvom rade potrebné zodpovedať otázku, čo je to číslo ako prvok prirodzeného radu. Odpoveď na to dali diela dvoch matematikov - Nemec Grassmann a Talian Peano. Navrhli axiomatiku, v ktorej prirodzené číslo bolo odôvodnené ako prvok nekonečne pokračujúcej postupnosti.
Axiomatická konštrukcia sústavy prirodzených čísel sa uskutočňuje podľa formulovaných pravidiel.
Päť axióm možno považovať za axiomatickú definíciu základných pojmov:
1 je prirodzené číslo;
Nasledujúce prirodzené číslo je prirodzené číslo;
1 nenasleduje žiadne prirodzené číslo;
Ak je prirodzené číslo A nasleduje prirodzené číslo b a mimo prirodzeného čísla s, To b A s sú identické;
Ak je nejaký výrok dokázaný pre 1 a ak z predpokladu, že platí pre prirodzené číslo n, z toho vyplýva, že platí pre nasledujúce n prirodzené číslo, potom táto veta platí pre všetky prirodzené čísla.
Jednotka– toto je prvé číslo prirodzeného radu , ako aj jednu z číslic v desiatkovej číselnej sústave.
Predpokladá sa, že označenie jednotky akejkoľvek kategórie s rovnakým znakom (celkom blízko k modernému) sa prvýkrát objavilo v starovekom Babylone približne 2 000 rokov pred naším letopočtom. e.
Starí Gréci, ktorí za čísla považovali iba prirodzené čísla, považovali každé z nich za súbor jednotiek. Samotná jednotka má osobitné miesto: nepovažovala sa za číslo.
I. Newton napísal: „... pod číslom nerozumieme ani tak súhrn jednotiek, ako skôr abstraktný vzťah jednej veličiny k inej veličine, u nás konvenčne akceptovanej ako jednotka.“ Jeden už teda zaujal svoje právoplatné miesto medzi ostatnými číslami.
Aritmetické operácie s číslami majú rôzne vlastnosti. Možno ich opísať slovami, napríklad: „Súčet sa nemení zmenou miesta výrazov.“ Môžete to napísať písmenami: a+b = b+a. Dá sa vyjadriť osobitnými výrazmi.
Základné aritmetické zákony používame často zo zvyku, bez toho, aby sme si to uvedomovali:
1) komutatívny zákon (komutativity), - vlastnosť sčítania a násobenia čísel, vyjadrená identitami:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) kombinačný zákon (asociativita), - vlastnosť sčítania a násobenia čísel, vyjadrená identitami:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) distributívny zákon (distributivity), - vlastnosť, ktorá spája sčítanie a násobenie čísel a je vyjadrená identitami:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
Po dokázaní komutatívneho, kombinačného a distributívneho (vo vzťahu k sčítaniu) zákonov pôsobenia násobenia nepredstavuje ďalšia konštrukcia teórie aritmetických operácií na prirodzených číslach zásadné ťažkosti.
V súčasnosti v hlave alebo na papieri robíme len tie najjednoduchšie výpočty, zložitejšie výpočtové práce čoraz častejšie zverujeme kalkulačkám a počítačom. Činnosť všetkých počítačov – jednoduchých aj zložitých – je však založená na najjednoduchšej operácii – sčítaní prirodzených čísel. Ukazuje sa, že najzložitejšie výpočty sa dajú zredukovať na sčítanie, ale táto operácia sa musí vykonať mnoho miliónov krát.
Axiomatické metódy v matematike
Jedným z hlavných dôvodov rozvoja matematickej logiky je rozšírenosť axiomatická metóda pri konštrukcii rôznych matematických teórií, predovšetkým geometrie a potom aritmetiky, teórie grúp atď. Axiomatická metóda možno definovať ako teóriu, ktorá je postavená na vopred vybranom systéme nedefinovaných pojmov a vzťahov medzi nimi.
Pri axiomatickej konštrukcii matematickej teórie sa predbežne vyberá určitý systém nedefinovaných pojmov a vzťahov medzi nimi. Tieto pojmy a vzťahy sa nazývajú základné. Ďalej zadajte axiómy tie. hlavné ustanovenia uvažovanej teórie, prijaté bez dôkazov. Všetok ďalší obsah teórie je logicky odvodený od axióm. Prvýkrát sa axiomatickej konštrukcie matematickej teórie ujal Euclid pri konštrukcii geometrie.
Axiomatická metóda v matematike.
Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených radov. Definícia prirodzeného čísla.
Sčítanie prirodzených čísel.
Násobenie prirodzených čísel.
Vlastnosti množiny prirodzených čísel
Odčítanie a delenie prirodzených čísel.
Axiomatická metóda v matematike
Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa dodržiavajú tieto pravidlá: určité pravidlá:
1. Niektoré koncepty teórie sú vybrané ako Hlavná a sú akceptované bez definície.
2. Sú formulované axiómy, ktoré sú v tejto teórii prijímané bez dôkazu, odhaľujú vlastnosti základných pojmov.
3. Každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, je uvedený definícia, vysvetľuje jeho význam pomocou hlavných a predchádzajúcich pojmov.
4. Každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný. Takéto návrhy sú tzv teorémy a dokázať ich na základe axióm a teorém predchádzajúcich tej, o ktorej sa uvažuje.
Axiómový systém by mal byť:
a) konzistentné: musíme si byť istí, že vyvodením všetkých možných záverov z daného systému axióm nikdy nedôjdeme k rozporu;
b) nezávislý: žiadna axióma by nemala byť dôsledkom iných axióm tohto systému.
V) plný, ak je v jej rámci vždy možné dokázať buď dané tvrdenie, alebo jeho negáciu.
Za prvú skúsenosť s konštrukciou axiomatickej teórie možno považovať prezentáciu geometrie Euklidom v jeho „Prvkoch“ (3. storočie pred Kristom). Významne prispel k rozvoju axiomatickej metódy konštrukcie geometrie a algebry N.I. Lobačevskij a E. Galois. Koncom 19. stor. Taliansky matematik Peano vyvinul systém axióm pre aritmetiku.
Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených čísel. Definícia prirodzeného čísla.
Ako základný (nedefinovaný) pojem v určitom súbore N je vybratý postoj , a tiež používa koncepty teórie množín, ako aj pravidlá logiky.
Prvok bezprostredne nasledujúci za prvkom A, označovať A".
Vzťah „priamo nasledovať“ spĺňa nasledujúce axiómy:
Peanove axiómy:
Axióma 1. V hojnosti N existuje priamo prvok nie ďalší nie pre žiadny prvok tejto sady. Zavolajme mu jednotka a označené symbolom 1 .
axióma 2. Pre každý prvok A od N existuje len jeden prvok A" , bezprostredne nasledujúce A .
axióma 3. Pre každý prvok A od N existuje najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje A .
axióma 4. Akákoľvek podmnožina M súpravy N sa zhoduje s N , ak má tieto vlastnosti: 1) 1 obsiahnuté v M ; 2) zo skutočnosti, že A obsiahnuté v M , z toho vyplýva A" obsiahnuté v M.
Definícia 1. Kopa N , pre ktorých prvky je vzťah založený "priamo nasledovať“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, sa nazýva množina prirodzených čísel, a jej prvky sú prirodzené čísla.
Táto definícia nehovorí nič o povahe prvkov súboru N . Takže to môže byť čokoľvek. Výber ako set N nejaká konkrétna množina, na ktorú je daný špecifický vzťah „priamo nadväzuje“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, dostaneme model tohto systému axióma.
Štandardný model systému Peanových axióm je rad čísel, ktoré vznikli v procese historického vývoja spoločnosti: 1,2,3,4,... Prirodzený rad začína číslom 1 (axióma 1); za každým prirodzeným číslom bezprostredne nasleduje jediné prirodzené číslo (axióma 2); každé prirodzené číslo bezprostredne nasleduje najviac za jedným prirodzeným číslom (axióma 3); počnúc číslom 1 a pohybom k prirodzeným číslam, ktoré bezprostredne nasledujú za sebou, dostaneme celú množinu týchto čísel (axióma 4).
Takže sme začali axiomatickú konštrukciu systému prirodzených čísel výberom základného vzťah „priamo nasledovať“. a axiómy, ktoré popisujú jeho vlastnosti. Ďalšia konštrukcia teórie zahŕňa úvahy o známych vlastnostiach prirodzených čísel a operácií s nimi. Musia byť zverejnené v definíciách a teorémoch, t.j. sú odvodené čisto logicky zo vzťahu „priamo nasledovať“ a axiómy 1-4.
Prvý pojem, ktorý zavedieme po definovaní prirodzeného čísla, je postoj "bezprostredne predchádza" , čo sa často používa pri zvažovaní vlastností prírodného radu.
Definícia 2. Ak je prirodzené číslo b priamo nasleduje prirodzené číslo A, to číslo A volal bezprostredne predchádzajúci(alebo predchádzajúce) číslo b .
Vzťah „predchádza“ má množstvo vlastností.
Veta 1. Jednotka nemá žiadne predchádzajúce prirodzené číslo.
Veta 2. Každé prirodzené číslo A, iné ako 1, má jedno predchádzajúce číslo b, také že b"= A.
S axiomatickou konštrukciou teórie prirodzených čísel sa neuvažuje ani na základných, ani na stredných školách. Avšak tie vlastnosti vzťahu „priamo nasledovať“, ktoré sa odrážajú v Peanových axiómach, sú predmetom štúdia v počiatočnom kurze matematiky. Už v prvej triede sa pri zvažovaní čísiel prvej desiatky ukáže, ako sa dá každé číslo získať. Používajú sa pojmy „nasleduje“ a „predchádza“. Každé nové číslo pôsobí ako pokračovanie študovaného segmentu prirodzeného radu čísel. Študenti sú presvedčení, že za každým číslom nasleduje ďalšie, a navyše len jedna vec, že prirodzený rad čísel je nekonečný.
Sčítanie prirodzených čísel
Podľa pravidiel pre konštrukciu axiomatickej teórie musí byť definícia sčítania prirodzených čísel zavedená iba pomocou vzťahu "priamo sledovať" a koncepty "prirodzené číslo" A "predchádzajúce číslo".
Definíciu sčítania uveďme na úvod nasledujúcimi úvahami. Ak na akékoľvek prirodzené číslo A pridajte 1, dostaneme číslo A", bezprostredne nasledujúce A, t.j. A+ 1= a" a preto dostaneme pravidlo pre pridanie 1 k akémukoľvek prirodzenému číslu. Ale ako pridať k číslu A prirodzené číslo b, odlišná od 1? Využime nasledujúcu skutočnosť: ak vieme, že 2 + 3 = 5, tak súčet je 2 + 4 = 6, čo bezprostredne nasleduje za číslom 5. Deje sa tak preto, lebo v súčte 2 + 4 je druhý člen číslo, ktoré bezprostredne nasleduje číslo 3. Teda 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Vo všeobecnosti máme , .
Tieto skutočnosti tvoria základ pre definíciu sčítania prirodzených čísel v axiomatickej teórii.
Definícia 3. Sčítanie prirodzených čísel je algebraická operácia, ktorá má nasledujúce vlastnosti:
číslo a + b volal súčet čísel A A b , a samotné čísla A A b - podmienky.
Ako základný koncept kedy
axiomatická konštrukcia aritmetiky
prirodzené čísla berú pomer
„priamo nasledovať“ uvedené na
neprázdna sada N.
Prvok bezprostredne nasledujúci
prvok a, označujú a."
prvok, ktorý bezprostredne nenasleduje
za ktorým prvkom tohto súboru. Budeme
nazvime to jednotka.
Axióma 2. Pre každý prvok a z N
existuje len jeden prvok a",
bezprostredne po a. Axióma 3. Pre každý prvok a z N
existuje najviac jeden prvok na
za ktorým bezprostredne nasleduje a.
Axióma 4. Každá podmnožina M
sada N má nasledujúce vlastnosti:
1) jednotka patrí do množiny M;
2) zo skutočnosti, že a je obsiahnuté v M, vyplýva, že
že a" je obsiahnuté v M, potom sa M zhoduje s
sada N.
Definícia prirodzeného čísla
Množina N, pre ktorej prvky je vzťah vytvorený"priamo nasledovať", spĺňajúce axiómy 1-4,
sa nazýva množina prirodzených čísel a jej prvky sú prirodzené čísla.
Doplnenie
Definícia. Sčítanie prirodzených čísel sa nazývaalgebraická operácia s nasledujúcimi vlastnosťami:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
Číslo a+b sa nazýva súčet čísel a a b a samotných čísel a a b
podmienky.
Dohodnime sa na nasledujúcom zápise:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 atď.
Vlastnosti sčítania
Veta 3. Existuje sčítanie prirodzených čísel a toiba
Veta 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Veta 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Násobenie
Násobenie prirodzených čísel sa nazýva algebraickéoperácia s nasledujúcimi vlastnosťami:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
Číslo a b sa nazýva súčin čísel a a b a samotných čísel a a
b - multiplikátory
Vlastnosti násobenia
Veta 7. Násobenie prirodzených čísel existuje, a toiba.
Veta 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - distributivita
doprava vzhľadom na sčítanie.
Veta 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a·(b + c) = + a·c - ľavá distributivita
ohľadom pridávania.
Veta 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - asociativita
násobenie.
Veta 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - komutivita násobenia
Samotestovacie otázky
1. Možno axiómu 3 formulovať takto: „Pre každý prvoka z N je jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje
mal by"?
2. Pokračujte v definícii prirodzeného čísla: „Prirodzené číslo
sa nazýva prvok súboru...“
3. Je pravda, že každé prirodzené číslo je získané z predchádzajúceho?
pridaním jedného?
4. Aké vlastnosti násobenia možno použiť pri hľadaní
význam výrazov:
a) 5.(10 + 4); b) 125,15,6; c) (8 · 379) · 125?
Literatúra
Stoilová L. P.Matematika: Učebnica pre žiakov. vyššie ped. učebnica prevádzkarní.
M.: Edičné stredisko „Akadémia“. 2002. - 424 s.
GOUVPO
Štátna pedagogická univerzita v Tule
Pomenovaný podľa L. N. Tolstého
ČÍSELNÉ SYSTÉMY
Tula 2008
Numerické sústavy
Príručka je určená pre študentov matematických odborov vysokej školy pedagogickej a bola vypracovaná v súlade so štátnym štandardom pre predmet „Numerické systémy“. Prezentuje sa teoretický materiál. Analyzujú sa riešenia typických úloh. Poskytujú sa cvičenia na riešenie na hodinách praktických cvičení.
Skomplikovaný -
Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Katedry algebry a geometrie TSPU pomenovaný po. L. N. Tolstoj Yu A. Ignatov
recenzent -
Kandidát fyzikálnych a matematických vied, profesor Katedry matematickej analýzy TSPU pomenovaný po. L. N. Tolstoj I. V. Denisov
Vzdelávacie vydanie
Numerické sústavy
Skomplikovaný
IGNATOV Jurij Alexandrovič
© Yu. Ignatov, 2008
ČÍSELNÉ SYSTÉMY
Tento kurz pokrýva základy matematiky. Poskytuje prísnu axiomatickú konštrukciu základných číselných systémov: prirodzené, celočíselné, racionálne, reálne, komplexné, ako aj kvaternióny. Je založený na teórii formálnych axiomatických systémov, preberaných v kurze matematickej logiky.
V každom odseku sú vety očíslované ako prvé. Ak je potrebné odkázať na vetu z iného odseku, používa sa postupné číslovanie: číslo odseku sa umiestni pred číslo vety. Napríklad Veta 1.2.3 je Veta 3 z odseku 1.2.
Celé čísla
Axiomatická teória prirodzených čísel
Axiomatická teória je definovaná nasledujúcimi prvkami:
Súbor konštánt;
Sada funkčných symbolov na označenie operácií;
Sada predikátových symbolov na reprezentáciu vzťahov;
Zoznam axióm spájajúcich vyššie uvedené prvky.
Pre formálnu axiomatickú teóriu sú tiež naznačené pravidlá inferencie, pomocou ktorých sa dokazujú vety. V tomto prípade sú všetky výroky zapísané vo forme vzorcov, na význame ktorých nezáleží a na týchto vzorcoch sa vykonávajú transformácie podľa daných pravidiel. V substantívnej axiomatickej teórii nie sú pravidlá inferencie špecifikované. Dôkazy sa vykonávajú na základe bežných logických konštrukcií, ktoré zohľadňujú význam dokazovaných tvrdení.
Tento kurz buduje zmysluplné teórie základných číselných systémov.
Najdôležitejšou požiadavkou na axiomatickú teóriu je jej konzistentnosť. Dôkaz konzistentnosti sa vykonáva zostavením modelu teórie v inej teórii. Potom sa konzistentnosť uvažovanej teórie redukuje na konzistentnosť teórie, v ktorej je model skonštruovaný.
Pre systém celých čísel je model zostavený v rámci systému prirodzených čísel, pre racionálne čísla - v rámci systému celých čísel atď. Výsledkom je reťazec axiomatických teórií, v ktorých každá teória vychádza z predchádzajúcej. Ale pre prvú teóriu v tomto reťazci, konkrétne teóriu prirodzených čísel, nie je kde zostaviť model. Preto je pre sústavu prirodzených čísel potrebné skonštruovať teóriu, pre ktorú je existencia modelu nepochybná, hoci ju nie je možné striktne dokázať.
Teória by mala byť veľmi jednoduchá. Na tento účel považujeme systém prirodzených čísel len za nástroj na počítanie predmetov. Operácie sčítania, násobenia a poradia musia byť určené po zostrojení teórie v naznačenej forme.
Pre potreby počítania musí byť sústava prirodzených čísel postupnosť, v ktorej je definovaný prvý prvok (jednotka) a pre každý prvok je definovaný ďalší. V súlade s tým získame nasledujúcu teóriu.
Neustále: 1 (jednotka).
Funkčný symbol: "¢". Označuje jednočlennú operáciu „nasledovania“, tj A¢ – nasledujúce číslo A. V tomto prípade číslo A volal predchádzajúce Pre A¢.
Neexistujú žiadne špeciálne predikátové znaky. Používa sa zvyčajný vzťah rovnosti a teoretické vzťahy. Axiómy pre nich nebudú uvedené.
Označuje sa množina, na ktorej je teória založená N.
Axiómy:
(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (nesleduje žiadne číslo).
(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (každé číslo má najviac jedného predchodcu).
(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(axióma matematickej indukcie).
Vyššie uvedenú axiomatiku navrhol (s malými zmenami) taliansky matematik Peano na konci 19. storočia.
Nie je ťažké odvodiť niektoré vety z axióm.
Veta 1. (Metóda matematickej indukcie). Nechaj R(n) – predikát definovaný na množine N. Nech je to pravda R(1) a (" n)(P(n)® P(n¢)). Potom R(n) je identicky pravdivý predikát na N.
Dôkaz. Nechaj M– množina prirodzených čísel n, pre ktoré R(n) je pravda. Potom 1О M podľa podmienok vety. Ďalej, ak nÎ M, To P(n) pravda podľa definície M, P(n¢) platí podľa podmienok vety a n¢Î M a-priorstvo M. Všetky predpoklady indukčnej axiómy sú splnené, preto M = N. Podľa definície M, znamená to, že R(n) platí pre všetky čísla od N. Veta bola dokázaná.
Veta 2. Akékoľvek číslo AČíslo 1 má predchodcu a iba jeden.
Dôkaz. Nechaj M– množina prirodzených čísel obsahujúcich 1 a všetky čísla, ktoré majú predchodcu. Potom 1О M. Ak aÎ M, To a¢Î M, pretože a¢ má predchodcu (podmienka sa tu ani nepoužíva aÎ M). Takže podľa axiómy indukcie M = N. Veta bola dokázaná.
Veta 3. Každé číslo sa líši od nasledujúceho.
Cvičenie. Po určení prirodzených čísel 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6 dokážte, že 2¹ 6.
Sčítanie prirodzených čísel
Nasledujúca rekurzívna definícia je uvedená pre sčítanie prirodzených čísel.
Definícia. Sčítanie prirodzených čísel je binárna operácia, ktorá platí pre prirodzené čísla A A b zodpovedá číslu a+b, ktorý má nasledujúce vlastnosti:
(S1) A + 1 = A¢ pre kohokoľvek A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ pre všetky A A b.
Je potrebné dokázať, že táto definícia je správna, to znamená, že existuje operácia, ktorá spĺňa dané vlastnosti. Táto úloha sa zdá byť veľmi jednoduchá: stačí vykonať indukciu b, počítanie A pevné. V tomto prípade je potrebné vybrať súpravu M hodnoty b, pre ktorú je prevádzka a+b je definovaný a spĺňa podmienky (S1) a (S2). Pri vykonávaní indukčného prechodu musíme predpokladať, že pre b operácia sa vykonáva, a preukázať, že sa vykonáva pre b¢. Ale v majetku (S2), ktorý musí byť uspokojený za b, už existuje odkaz na a+b¢. To znamená, že táto vlastnosť automaticky predpokladá existenciu operácie pre a+b¢, a teda pre nasledujúce čísla: predsa pre a+b¢ vlastnosť (S2) musí byť tiež splnená. Niekto by si mohol myslieť, že to len zjednoduší problém tým, že sa indukčný krok stane triviálnym: tvrdenie, ktoré sa dokazuje, jednoducho opakuje indukčnú hypotézu. Ale problém tu je v dôkaze pre základ indukcie. Pre hodnotu b= 1, musia byť splnené aj vlastnosti (S1) a (S2). Ale vlastnosť (S2), ako je znázornené, predpokladá existenciu operácie pre všetky hodnoty nasledujúce po 1. To znamená, že kontrola bázy indukcie predpokladá dôkaz nie pre jedno, ale pre všetky čísla a indukcia stráca svoj význam: základ indukcie sa zhoduje s tvrdením, ktoré sa dokazuje.
Vyššie uvedené zdôvodnenie neznamená, že rekurzívne definície sú nesprávne alebo vyžadujú starostlivé odôvodnenie zakaždým. Aby ste ich zdôvodnili, musíte použiť vlastnosti prirodzených čísel, ktoré sa v tejto fáze iba vytvárajú. Akonáhle sú tieto stanovené, platnosť rekurzívnych definícií môže byť preukázaná. Dokážme zatiaľ existenciu sčítania pomocou indukcie na A: vo vzorcoch (S1) a (S2) nie je spojenie medzi pridaním pre A A A¢.
Veta 1. Sčítanie prirodzených čísel je vždy možné, a to jedinečne.
Dôkaz. a) Najprv dokážeme jedinečnosť. Poďme to napraviť A. Potom výsledok operácie a+b existuje funkcia od b. Predpokladajme, že existujú dve takéto funkcie f(b) A g(b), ktoré majú vlastnosti (S1) a (S2). Dokážme, že sú si rovní.
Nechaj M– súbor významov b, pre ktoré f(b) = g(b). Podľa vlastníctva (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ a g(1) = A + 1 = A¢ znamená f(1) = g(1) a 1О M.
Nechaj to teraz bÎ M, teda f(b) = g(b). Podľa vlastníctva (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
znamená, b¢Î M. Podľa axiómy indukcie M = N. Jedinečnosť bola preukázaná.
b) Teraz zapnite indukciu A dokážme existenciu operácie a+b. Nechaj M– súbor týchto hodnôt A, pre ktorú je prevádzka a+b s vlastnosťami (S1) a (S2) je definovaný pre všetky b.
Nechaj A= 1. Uveďme príklad takejto operácie. Podľa definície predpokladáme 1 + b == b¢. Ukážme, že táto operácia spĺňa vlastnosti (S1) a (S2). (S1) má tvar 1 + 1 = 1¢, čo zodpovedá definícii. Kontrola (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢ a (S2) je splnené. Takže 1О M.
Nechaj to teraz AÎ M. Dokážme to A¢Î M. Veríme podľa definície
a¢ +b = (a+ b)¢. Potom
a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,
a¢ +b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,
a vlastnosti (S1) a (S2) sú splnené.
teda M = N a sčítanie je definované pre všetky prirodzené čísla. Veta bola dokázaná.
Veta 2. Sčítanie prirodzených čísel je asociatívne, tzn
(a+b) + c = a + (b+c).
Dôkaz. Poďme to napraviť A A b a vykonajte indukciu s. Nechaj M- súbor týchto čísel s, pre ktoré platí rovnosť. Na základe vlastností (S1) a (S2) máme:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a+(b+ 1) Þ 1О M.
Nechaj to teraz sÎ M. Potom
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a+(b + c))¢ = a+(b + c)¢ = a+(b + c¢),
A c¢Î M. Podľa axiómy (N3) M = N. Veta bola dokázaná.
Veta 3. Sčítanie prirodzených čísel je komutatívne, tzn
a + b = b + a. (1)
Dôkaz. Poďme to napraviť A a vykonajte indukciu b.
Nechaj b= 1, to znamená, že je potrebné dokázať rovnosť
A + 1 = 1 + A. (2)
Túto rovnosť dokazujeme indukciou na A.
O A= 1 rovnosť je triviálna. Nech sa to robí pre A, dokážme to pre A¢. Máme
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
Indukčný prechod je dokončený. Podľa princípu matematickej indukcie platí rovnosť (2) pre všetkých A. To dokazuje tvrdenie o základe indukcie na b.
Nech je teraz vzorec (1) splnený b. Dokážme to pre b¢. Máme
a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.
Pomocou princípu matematickej indukcie je veta dokázaná.
Veta 4.a + b ¹ b.
Dôkazom je cvičenie.
Veta 5. Pre akékoľvek čísla A A b nastane iba jeden z nasledujúcich prípadov:
1) a = b.
2) Existuje číslo k také že a = b + k.
3) Existuje číslo l také že b = a + l.
Dôkaz. Z vety 4 vyplýva, že nastane najviac jeden z týchto prípadov, keďže prípady 1) a 2), ako aj 1) a 3) samozrejme nemôžu nastať súčasne. Ak sa prípady 2) a 3) vyskytli súčasne, potom a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
čo opäť odporuje vete 4. Dokážme, že aspoň jeden z týchto prípadov nastáva vždy.
Nech sa vyberie číslo A A M – veľa z nich b, pre každý z nich daný a nastane prípad 1), 2) alebo 3).
Nechaj b= 1. Ak a= 1, potom máme prípad 1). Ak A¹ 1, potom podľa vety 1.1.2 máme
a = k" = k + 1 = 1 + k,
to znamená, že máme prípad 2) pre b= 1. Takže 1 patrí M.
Nechaj b patrí M. Potom sú možné tieto prípady:
- A = b, znamená, b" = b + 1 = A+ 1, to znamená, že máme prípad 3) pre b";
- A = b+k, A keď k= 1 teda A = b+ 1 = b", teda prípad 1) nastáva pre b";
ak k Tak teda č k = t" A
a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,
teda prípad 2) nastáva pre b";
- b = a+ pôda b" =(a + l)¢ = A + l¢, to znamená, že máme prípad 3) pre b".
V každom prípade b" patrí M. Veta bola dokázaná.
Cvičenie. Dokážte na základe definície súčtu, že 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.
Násobenie prirodzených čísel
Definícia. Násobenie prirodzených čísel je binárna operácia, ktorá platí pre prirodzené čísla A A b zodpovedá číslu ab(alebo a×b), ktorý má tieto vlastnosti:
(P1) A×1 = A pre hocikoho A;
(P2) ab" = ab + a pre akékoľvek A A b.
Pokiaľ ide o definíciu násobenia, všetky pripomienky, ktoré boli uvedené v predchádzajúcom odseku týkajúce sa definície sčítania, zostávajú v platnosti. Predovšetkým z nej ešte nie je zrejmé, že existuje súlad s vlastnosťami uvedenými v definícii. Preto má nasledujúca veta, podobne ako veta 1.2.1, veľký zásadný význam.
Veta 1. Existuje len jedno násobenie prirodzených čísel. Inými slovami, násobenie je vždy uskutočniteľné a jednoznačné.
Dôkaz je dosť podobný dôkazu vety 1.2.1 a ponúka sa ako cvičenie.
Vlastnosti násobenia formulované v nasledujúcich vetách sa dajú ľahko dokázať. Dôkaz každej vety je založený na predchádzajúcich.
Veta 2.(Pravý distributívny zákon): ( a+b)c = ac + bc.
Veta 3. Násobenie je komutatívne: ab = ba.
Veta 4.(Ľavý distributívny zákon): c(a+b)= сa + сb.
Veta 5. Násobenie je asociatívne: a(bc) = (ab)c.
Definícia. Semiring je systém, kde + a × sú binárne operácie sčítania a násobenia, ktoré spĺňajú axiómy:
(1) je komutatívna pologrupa, to znamená, že sčítanie je komutatívne a asociatívne;
(2) – pologrupa, teda násobenie je asociatívne;
(3) platí pravá a ľavá distributivita.
Z algebraického hľadiska systém prirodzených čísel vzhľadom na sčítanie a násobenie tvorí semiring.
Cvičenie. Dokážte na základe definície produktu, že
2×2 = 4, 2×3 = 6.
Cvičenia
Dokážte totožnosť:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Nájdite sumu:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.
Dokážte nerovnosti:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Pre n³ 4.
9. (1 + X)n³ 1 + nx, Kde X > –1.
10. pri n > 1.
11.
pri n > 1.
12.
.
13.
Nájdite chybu v dôkaze indukciou, že všetky čísla sú rovnaké. Dokážeme ekvivalentné tvrdenie: v akejkoľvek množine nčísla, všetky čísla sú si navzájom rovné. O n= 1 tvrdenie je pravdivé. Nech je to pravda pre n = k, dokážme to pre n = k+ 1. Vezmite si súbor ľubovoľných
(k+ 1) čísla. Odstránime z neho jedno číslo A. Vľavo kčísla, podľa induktívnej hypotézy sú si navzájom rovné. Najmä dve čísla sú rovnaké b A s. Teraz odstránime číslo zo sady s a zapnite ho A. Vo výslednom súbore je stále kčísla, čo znamená, že sú si navzájom rovné. najmä a = b. znamená, a = b = c, a to je všetko ( k+ 1) čísla sú rovnaké. Indukčný prechod je dokončený a tvrdenie je preukázané.
14. Dokážte vylepšený princíp matematickej indukcie:
Nechaj A(n) je predikát množiny prirodzených čísel. Nechaj A(1) pravdivé a z pravdy A(k) pre všetky čísla k < m by mala byť pravda A(m). Potom A(n) platí pre každého n.
Objednané súpravy
Pripomeňme si základné definície spojené so vzťahom objednávky.
Definícia. Vzťah f („vyššie“) na množine M volal objednávkový vzťah, alebo jednoducho v poriadku, ak je tento vzťah tranzitívny a antisymetrický. Systém b M, fñ sa nazýva objednaná sada.
Definícia. prísny poriadok, ak je antireflexný, a voľný poriadok, ak je reflexná.
Definícia. Relácia rádu f sa nazýva relácia lineárne poradie, ak je pripojený, tzn a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Poradie, ktoré nie je lineárne, sa nazýva čiastočné.
Definícia. Nech á M A– podmnožina M. Element T súpravy A volal najmenší, ak je menej ako všetky ostatné prvky súpravy A, teda
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Definícia. Nech á M, fñ – objednaná sada, A– podmnožina M. Element T súpravy A volal minimálne, ak je v súprave A neexistuje žiadny menší prvok, tj (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Najväčšie a maximálne prvky sa určujú podobne.
Cvičenia
1. Dokážte, že tranzitívny a antireflexívny vzťah je vzťahom poriadku.
2. Dokážte, že vzťah deliteľnosti M na množine N existuje čiastočný vzťah objednávky.
3. Dokážte, že množina môže mať najviac jeden najväčší a najviac jeden najmenší prvok.
4. Nájdite všetky minimálne, maximálne, najväčšie a najmenšie prvky v množine (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) pre vzťah deliteľnosti.
5. Dokážte, že ak má súbor najmenší prvok, potom je to jediný minimálny.
6. Koľkými spôsobmi môžeme definovať lineárne usporiadanie na množine troch prvkov? lineárne a prísne? lineárne a laxné?
7. Nech á M, fñ je lineárne usporiadaná množina. Dokážte, že vzťah > definovaný podmienkou
a > b Û a f b & a¹ b
je vzťah prísneho lineárneho poriadku.
8. Nech á M, fñ je lineárne usporiadaná množina. Dokážte, že vzťah ³ je definovaný podmienkou
a ³ b Û a f b Ú a= b,
je vzťah neprísneho lineárneho poriadku.
Definícia. Lineárne usporiadaná množina b M, fñ, v ktorom každá neprázdna podmnožina má najmenší prvok, sa nazýva celkom poriadok. Vzťah f sa v tomto prípade nazýva vzťah dokončiť objednávku.
Podľa vety 1.4.6 je sústava prirodzených čísel úplne usporiadaná množina.
Definícia. Nech á M Interval oddelený prvkom a, s názvom set R a všetky prvky nižšie A a odlišný od A, teda
R a = {X Î Mï a f X, X¹ a}.
Najmä ak A je teda minimálny prvok R a = Æ.
Veta 1.(Princíp transfinitnej indukcie). Nech á M, fñ je kompletne usporiadaná sada a A Í M. Nechajte pre každý prvok A od M z príslušnosti k A všetky prvky intervalu R a z toho vyplýva AÎ A. Potom A = M.
Dôkaz.
Nechaj A" = M\A je množinovo-teoretický rozdiel množín M A A. Ak A"= Æ teda A = M, a veta je pravdivá. Ak A"¹ Æ , potom, odvtedy M je kompletne objednaná sada, potom sada A" obsahuje najmenší prvok T. V tomto prípade všetky prvky predchádzajúce T a odlišný od T, nepatriť A" a preto patria A. teda Р m Í A. Preto podľa podmienok vety T Î A, a preto T Ï A", v rozpore s predpokladom.
Nech á A; fñ je usporiadaná množina. Budeme to predpokladať A– konečná množina. S každým prvkom A súpravy A porovnajme nejaký bod T (A) danej roviny tak, že ak prvok A bezprostredne nasleduje prvok b, potom bod T (a) umiestnime nad bod T(b) a spojte ich segmentom. Výsledkom je, že získame graf zodpovedajúci tejto usporiadanej množine.
Cvičenia
9. Nech á M, fñ je kompletne objednaná sada, b Î PaniÎ M. Dokážte, že resp Pb = R s, alebo Pb Ì R s, alebo R s Ì Pb.
10.
Nech á M, f 1 с a b L, f 2 ñ sú úplne usporiadané množiny také, že
M Ç L=Æ .
V hojnosti M È L Definujme binárnu reláciu f pomocou nasledujúcich podmienok:
1) ak a, bÎ M, to, a f b Û a f 1 b;
2) ak a, bÎ L, to, a f b Û a f 2 b;
3) ak AÎ M,bÎ L, to, a f b.
Dokážte, že systém b MÈ L, fñ je kompletne usporiadaná sada.
Usporiadané poloskupiny
Definícia.Poloskupina nazývaná algebra á A, *ñ, kde * je asociatívna binárna operácia.
Definícia. Poloskupina á A, *ñ sa nazýva pologrupa s redukciou, ak spĺňa vlastnosti
a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Definícia.Usporiadaná poloskupina nazývaný systém b A, +, fñ, kde:
1) systém b A, +ñ – pologrupa;
2) systém b A, fñ – usporiadaná množina;
3) vzťah f je monotónny vzhľadom na operáciu pologrupy, tzn
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.
Usporiadaná poloskupina á A, +, fñ sa nazývajú objednaná skupina, ak systém b A, +ñ – skupina.
V súlade s typmi objednávky sa určujú vzťahy lineárne usporiadaná pologrupa, lineárne usporiadaná skupina, čiastočne usporiadaná pologrupa, prísne usporiadaná pologrupa atď.
Veta 1. V usporiadanej poloskupine á A, +, fñ nerovnosti môžu byť pridané, tzn a f b, c f d Þ a+c f b+d.
Dôkaz. Máme
a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,
odkiaľ tranzitivitou a+c f b+d. Veta bola dokázaná.
Cvičenie 1. Dokážte, že sústava prirodzených čísel je čiastočne usporiadaná pologrupa vzhľadom na násobenie a deliteľnosť.
Je ľahké vidieť, že systém b N, +, >ñ – prísne usporiadaná pologrupa, b N, +, ³ñ je nestriktne usporiadaná pologrupa. Môžeme uviesť príklad takéhoto usporiadania pologrupy á N, +ñ, v ktorom poradie nie je ani prísne, ani neprísne.
Cvičenie 2. Definujme rád f v sústave prirodzených čísel takto: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Dokážte, že b N, +, fñ je usporiadaná pologrupa, v ktorej poradie nie je ani prísne, ani neprísne.
Príklad 1 Nechaj A– množina prirodzených čísel, ktorá sa nerovná jednej. Definujme pomer f in A nasledujúcim spôsobom:
a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & bč. 3.
Dokážte, že systém b A, +, fñ je čiastočne a striktne usporiadaná pologrupa.
Dôkaz. Skontrolujeme prechodnosť:
a f b, b f c Þ a = b + k, bč. 3, b = c + 1, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.
Pretože a f b Þ a > b, potom je antireflexivita splnená. Z cvičenia 2.1.1 vyplýva, že f je vzťah prísneho poriadku. Poradie je čiastočné, pretože prvky 3 a 4 nie sú v žiadnom vzťahu.
Vzťah f je vzhľadom na sčítanie monotónny. Skutočne, podmienka a f b Þ a+c f b+c môže byť porušená len vtedy
b+c= 3. Ale súčet sa môže rovnať 3, pretože je to možné Ažiadna jednotka.
Skupina dvoch prvkov nemôže byť lineárne a striktne usporiadaná. V skutočnosti nech sú 0 a 1 jej prvky (0 je nula skupiny). Predpokladajme, že 1 > 0. Potom dostaneme 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.
Veta 2. Každá lineárne usporiadaná odvolateľná pologrupa môže byť lineárne a striktne usporiadaná.
Dôkaz. Nech á A, +, fñ je usporiadaná pologrupa. Prísny vzťah poradia > je definovaný ako v cvičení 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Ukážme, že podmienka 3) z definície usporiadanej pologrupy je splnená.
a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.
Ak a+c = b+c potom, znížením, dostaneme a = b, čo odporuje podmienke
A > b. znamená, a+c ¹ b+c, A a+c > b+c. Druhá časť podmienky 3) sa kontroluje podobne, čím sa veta dokazuje.
Veta 3. Ak b A, +, fñ je lineárne a prísne usporiadaná pologrupa, potom:
1) A + s = b + c Û a = b Û c + a = s + b;
2) A + s f b + c Û A f b Û s + a f s + b.
Dôkaz. Nechaj A + s = b + c. Ak a ¹ b, potom z dôvodu spojenia A f b alebo
b f a. Ale potom podľa toho A + s f b+ c alebo b + s f a+ c, čo odporuje podmienke A + s = b + c. Ostatné prípady sa riešia podobne.
Čiže každá lineárne a striktne usporiadaná pologrupa je zrušiteľnou pologrupou.
Definícia. Nech á A, +, fñ je usporiadaná pologrupa. Element A súpravy A nazývaný pozitívny (negatívny), ak a + a¹ A A a+a f A(resp A f a + a).
Príklad 2 Dokážte, že prvok usporiadanej komutatívnej pologrupy so zrušením väčším ako pozitívny prvok nemusí byť nevyhnutne pozitívny.
Riešenie. Použime príklad 1. Máme 2 + 2 f 2, čo znamená, že 2 je kladný prvok. 3 = 2 + 1, čo znamená 3 f 2. Zároveň neplatí vzťah 3 + 3 f 3, čiže 3 nie je kladný prvok.
Veta 4. Súčet kladných prvkov komutatívnej pologrupy so zrušením je kladný.
Dôkaz. Ak a + a f A A b+b f b, potom podľa vety 1
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Zostáva skontrolovať, či ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Máme:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
Predstierajme, že ( a + b)+ (a+b)=a + b. Dosadením do (1) dostaneme
a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.
Kvôli antisymetrii a = a + a. To je v rozpore so skutočnosťou, že prvok A pozitívne.
Veta 5. Ak A je kladný prvok lineárne a striktne usporiadanej pologrupy, potom pre ľubovoľnú b máme a+b f b, b + a f b.
Dôkaz. Máme a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Ak to nie je pravda a+ b f b, potom vdaka linearite drzi a+b=b alebo b f a+ b. Pridávanie zľava A, dostaneme podľa toho a+ a+ b= a+ b alebo a+ b f a+ a+ b. Tieto podmienky sú v rozpore s antisymetriou a prísnosťou poradia.
Veta 6. Nech á A, +, fñ – lineárne a striktne usporiadaná pologrupa, AÎ A A A+ A¹ a. Potom prvky:
A, 2*A, 3*A, ...
každý je iný. Ak v tomto prípade systém b A, +, fñ je skupina, potom sú všetky prvky odlišné:
0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...
(pod k*a, kÎ N , aÎ A, znamená sumu a+ …+ a, obsahujúce k podmienky)
Dôkaz. Ak a + A f A, To a + A + A f a + a, atď. V dôsledku toho dostaneme reťaz ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Vďaka tranzitivite a antisymetrii sú všetky prvky v ňom odlišné. V skupine môže reťaz pokračovať v opačnom smere pridaním prvku - A.
Dôsledok. Konečná pologrupa so zrušením, ak je počet jej prvkov aspoň 2, nemôže byť lineárne usporiadaná.
Veta 7. Nech á A, +, fñ je lineárne usporiadaná skupina. Potom
a f a Û b f b.
Dôkazom je cvičenie.
Každá lineárne usporiadaná skupina je teda buď striktne alebo neprísne usporiadaná. Na označenie týchto príkazov budeme používať znaky > a ³.
Cvičenia
3. Dokážte, že súčet kladných prvkov lineárne a striktne usporiadanej pologrupy je kladný.
4. Dokážte, že každý lineárne a striktne usporiadaný prvok pologrupy väčší ako kladný prvok je sám osebe pozitívny.
5. Dokážte, že usporiadaná pologrupa je lineárne usporiadaná vtedy a len vtedy, ak akákoľvek konečná množina jej prvkov má len jeden najväčší prvok.
6. Dokážte, že množina kladných prvkov lineárne usporiadanej skupiny nie je prázdna.
7. Nech á A, +, fñ je lineárne a striktne usporiadaná skupina. Dokážte, že prvok A systémov A vtedy a len vtedy, ak je kladné, ak A > 0.
8. Dokážte, že v aditívnej pologrupe prirodzených čísel existuje iba jeden lineárny a striktný poriadok, v ktorom množina kladných prvkov nie je prázdna.
9. Dokážte, že multiplikatívna pologrupa celých čísel nemôže byť usporiadaná lineárne.
Objednané prstene
Definícia. Systém b A, +, ×, fñ sa nazýva objednaný semiring, Ak
1) systém b A, +, ×ñ – semiring;
2) systém b A, +, fñ – usporiadaná pologrupa s neprázdnou množinou A+ pozitívne prvky;
3) monotónnosť platí vzhľadom na násobenie kladnými prvkami, teda ak sÎ A+ a A f b, To ac f bc, cca f cb.
Pozitívny prvok objednaný semiring A je akýkoľvek kladný prvok usporiadanej pologrupy á A, +, fñ.
Objednaný semiring b A, +, ×, fñ sa nazýva objednaný prsteň (lúka), ak semiring b A, +, ×ñ – krúžok (resp. pole).
Definícia. Nech á A, +, ×, fñ – objednaný semiring. Poradie f systému A volal Archimedes, a systém A - Archimedean nariadil, bez ohľadu na pozitívne prvky A A b systémov A, môžete určiť také prirodzené číslo P,Čo na f b.
Príklad 1 Polomerovanie prirodzených čísel so vzťahom > (väčšie ako) je lineárne, striktne a archimedovsky usporiadané polomerovanie.
Pre lineárne usporiadaný krúžok b A, +, ×, 0, fñ systém b A, +, 0, fñ je lineárne usporiadaná skupina. Z toho podľa vety 2.2.7 vyplýva, že poradie f je buď striktné alebo neprísne. V hojnosti A môžete zaviesť (cvičenia 2.1.5. a 2.1.6) nový lineárny poriadok, ktorý bude prísny, ak je rád f neprísny, a neprísny, ak je rád f prísny. V súvislosti s touto poznámkou v lineárne usporiadanom prstenci A Zvyčajne sa berú do úvahy dva vzťahy binárneho poriadku, z ktorých jeden, prísny, je označený znamienkom >, a druhý, neprísny, je označený ³.
Pre to, čo nasleduje, je užitočné pripomenúť, že v lineárne usporiadanom prstenci prvku A je pozitívny vtedy a len vtedy A> 0 (cvičenie 2.2.7).
Veta 1. Nech systém b A,+,×,0,>ñ – lineárne usporiadaný prsteň. Potom pre akýkoľvek prvok A od A alebo A = 0, alebo A> 0 alebo – A > 0.
Dôkaz. Vďaka lineárnosti a prísnosti medzi prvkami
a+ a A A platí len jeden zo vzťahov a+ a>a, a+ a = a, a+ a < a. V prvom prípade A– pozitívny prvok. V druhom pridáme do oboch častí - A a dostaneme A= 0. V treťom prípade pridáme na obe strany – a – a – a a dostaneme –a < -a-a, kde –a– pozitívny prvok.
Veta 2. Súčet a súčin kladných prvkov lineárne usporiadaného kruhu sú kladné.
Dôkazom je cvičenie.
Veta 3. V lineárne usporiadanom kruhu je druhá mocnina akéhokoľvek nenulového prvku kladná.
Dôkazom je cvičenie.
Veta 4. V lineárne usporiadanom poli ak a> 0, teda a –1 > 0.
Dôkazom je cvičenie.
Veta 5. ( Kritérium objednávky) . Krúžok á A, +, ×, 0ñ vtedy a len vtedy môžu byť lineárne a prísne usporiadané (t. j. zaviesť lineárne a prísne usporiadanie), ak množina A má podmnožinu A+, spĺňajúce podmienky:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .
Dôkaz. Nech najprv á A,+,×,0,>ñ – lineárne usporiadaný prsteň. Ako požadovaná podmnožina A+ v tomto prípade sa na základe vety 1 a 2 môže objaviť veľa pozitívnych prvkov systému A.
Nechaj to teraz A+ je podmnožina kruhu b A,+,×,0ñ, spĺňajúce podmienky vety. Skúsme zaviesť lineárny poriadok > v prstenci á A,+,×,0ñ. Definujme tento vzťah takto:
A > b Û a – b Î A + .
Je ľahké skontrolovať, či vzťah, ktorý sme zaviedli, je spojený, antireflexný, antisymetrický, tranzitívny a monotónny vzhľadom na sčítanie a násobenie ľubovoľným prvkom z A + .
Kopa A+ s vlastnosťami uvedenými v podmienkach vety 4 sú tzv pozitívna časť prsteňa á A,+,×,0ñ. V budúcnosti, keď zavedieme poriadok do akéhokoľvek kruhu, budeme v ňom hľadať „pozitívnu časť“. Ak takáto súčiastka v prsteni existuje, potom je možné prsteň objednať, ak nie, potom nie, ak je takýchto nezhodných kladných častí viacero, možno ho objednať viacerými spôsobmi.
Z uvedeného vyplýva, že pri definovaní lineárne usporiadaného kruhu namiesto binárneho vzťahu > možno ako hlavný vzťah brať unárny vzťah „kladná časť“.
Veta 6. ( Kritérium jedinečnosti lineárneho usporiadania) . Nechaj A+ a A++ – kladné časti prstenca b A,+,×,0ñ. Potom
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Požiadavky na systém axióm, Peanove axiómy. Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa dodržiavajú určité pravidlá: 1) niektoré pojmy teórie sa vyberajú ako základné a prijímajú sa bez definície; 2) každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, má definíciu. Vysvetľuje jeho význam pomocou základných a predchádzajúcich pojmov. 3) formulujú sa axiómy, teda tvrdenia, ktoré sa v danej teórii prijímajú bez dôkazu. Axiómy odhaľujú vlastnosti základných pojmov. 4) každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný. Takéto tvrdenia sa nazývajú teorémy. Sú dokázané na základe axióm a teorém predchádzajúcich tejto.
TO. axiomatická metóda konštruovania matematickej teórie prechádza niekoľkými fázami: 1) zavádzaním základných nedefinovaných pojmov (napr.: množina, prvok množiny v teórii množín). 2) zavedenie základných vzťahov (napr.: vzťah príslušnosti v teórii množín). 3) uvedením základných pojmov a základných vzťahov sa zavádza definícia ďalších pojmov a vzťahov (napr.: v teórii množín pojmy zjednotenie, prienik, rozdiel, doplnok).
V axiomatickej konštrukcii teórie sú všetky tvrdenia odvodené dôkazom z axióm. Základom takejto teórie je systém axióm a na systém axióm sú kladené špeciálne požiadavky: 1) systém axióm musí byť konzistentný. Systém axióm sa nazýva konzistentný, ak z neho nemožno logicky odvodiť dva vzájomne sa vylučujúce výroky. Inými slovami, nie je možné odvodiť tvrdenie a negáciu daného tvrdenia tak, aby boli súčasne pravdivé. Na overenie konzistencie systému axióm stačí zostaviť model tohto systému. 2) systém axióm musí byť nezávislý. Systém axióm sa nazýva nezávislý, ak žiadna z axióm tohto systému nie je dôsledkom iných axióm. Inými slovami, každú axiómu tohto systému nemožno odvodiť z ostatných axióm. Na preukázanie nezávislosti systému axióm stačí zostaviť model tohto systému. 3) systém axióm musí byť úplný, t.j. počet axióm zvolených v danej teórii by mal byť dostatočný na zavedenie nových pojmov, vzťahov, dokázanie teorémov a na vybudovanie celej teórie.
Pri konštrukcii tej istej teórie axiomaticky možno použiť rôzne systémy axióm, ale musia byť ekvivalentné. Vzťah „priamo nasledovať“ sa berie ako základný pojem v axiomatickej konštrukcii sústavy prirodzených čísel. Pojmy „množina“, „prvok množiny“ a pravidlo logiky sa tiež považujú za dobre známe. Prvok bezprostredne za prvkom a je označený ako a - prvočíslo.
Podstatu vzťahu „priamo nasledovať“ odhaľujú tieto axiómy: 1) v množine prirodzených čísel je prvok, ktorý nenadväzuje priamo na žiadny prvok tejto množiny, tento prvok 1 (jeden). 2) pre každý prvok a z množiny prirodzených čísel (N) existuje jedinečný prvok a? , bezprostredne po a. 3) pre každý prvok a z N existuje najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje a. 4) akákoľvek podmnožina M množiny N, ktorá má vlastnosti: 1 M, a z toho, že a je obsiahnuté v M, čo je a? obsiahnutý v M, sa zhoduje s množinou N.
Uvedené systémy axióm sa nazývajú Peanove axiómy. TO. množina čísel, pre ktorú je stanovený bezprostredne nasledujúci vzťah spĺňajúci Peanove axiómy, sa nazýva množina prirodzených čísel a jej prvok sa nazýva prirodzené číslo. Štvrtá axióma opisuje nekonečnosť prirodzeného radu čísel a nazýva sa axióma indukcie. Na jej základe sa vykonáva dôkaz rôznych tvrdení metódou matematickej indukcie, a to nasledovne: aby sme dokázali, že dané tvrdenie je pravdivé pre akékoľvek prirodzené číslo, je potrebné: 1) dokázať, že toto tvrdenie platí pre jedničku, 2) z tvrdenia, že tvrdenie platí pre ľubovoľné číslo k, dokážte, že platí aj pre ďalšie číslo k?.
Definícia množiny N nehovorí nič o povahe tejto množiny, čo znamená, že to môže byť čokoľvek. Výberom množiny N ľubovoľnej množiny, na ktorú je daný vzťah k bezprostrednej nadväznosti a splneniu Peanových axióm, získame model tohto systému axióm. Medzi všetkými týmito modelmi je možné vytvoriť vzájomnú korešpondenciu. Tieto modely sa budú líšiť iba povahou prvkov, názvom a označením. č.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
