karty

Moment sily okolo osi. Moment sily Čo je to moment sily o bode

Definícia

Vektorový súčin polomeru - vektora (), ktorý sa ťahá z bodu O (obr. 1) do bodu, na ktorý pôsobí sila na samotný vektor, sa nazýva moment sily () vzhľadom na bod O:

Na obrázku 1 je bod O a vektor sily () a vektor polomeru v rovine obrázku. V tomto prípade je vektor momentu sily () kolmý na rovinu výkresu a má smer od nás. Vektor momentu sily je axiálny. Smer vektora momentu sily sa volí tak, aby rotácia okolo bodu O v smere sily a vektora vytvorili pravotočivý systém. Smer momentu síl a uhlové zrýchlenie sa zhodujú.

Veľkosť vektora je:

kde je uhol medzi polomerom a smerom vektora sily, je rameno sily vzhľadom na bod O.

Moment sily okolo osi

Moment sily vzhľadom na os je fyzikálne množstvo, rovný priemetu vektora momentu sily vzhľadom na bod zvolenej osi na túto os. V tomto prípade na výbere bodu nezáleží.

Hlavný moment sily

Hlavný moment množiny síl vzhľadom na bod O sa nazýva vektor (moment sily), ktorý sa rovná súčtu momentov všetkých síl pôsobiacich v systéme vo vzťahu k tomu istému bodu:

V tomto prípade sa bod O nazýva stred redukcie sústavy síl.

Ak existujú dva hlavné momenty ( a ) pre jeden systém síl pre rôzne dve centrá privádzania síl (O a O'), potom sú spojené výrazom:

kde je vektor polomeru, ktorý je nakreslený z bodu O do bodu O‘, je hlavný vektor silového systému.

Vo všeobecnosti je výsledkom akcie na pevnýľubovoľnej sústavy síl je rovnaké ako pôsobenie hlavného momentu sústavy síl a hlavného vektora sústavy síl na teleso, ktoré pôsobí v strede redukcie (bod O).

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu

kde je moment hybnosti rotujúceho telesa.

Pre pevné teleso môže byť tento zákon reprezentovaný ako:

kde I je moment zotrvačnosti telesa a je uhlové zrýchlenie.

Jednotky krútiaceho momentu

Základná jednotka merania momentu sily v sústave SI je: [M]=N m

V GHS: [M] = din cm

Príklady riešenia problémov

Príklad

Cvičenie. Obrázok 1 zobrazuje teleso, ktoré má os otáčania OO". Moment sily pôsobiacej na teleso vzhľadom k danej osi bude rovný nule? Os a vektor sily sú umiestnené v rovine obrázku.

Riešenie. Ako základ pre riešenie problému vezmeme vzorec, ktorý určuje moment sily:

Vo vektorovom súčine (vidno z obrázku). Uhol medzi vektorom sily a vektorom polomeru bude tiež odlišný od nuly (alebo), preto sa vektorový súčin (1.1) nerovná nule. To znamená, že moment sily sa líši od nuly.

Odpoveď.

Príklad

Cvičenie. Uhlová rýchlosť zmeny rotujúceho tuhého telesa v súlade s grafom znázorneným na obr. V ktorom z bodov naznačených na grafe je moment síl pôsobiacich na teleso rovný nule?

Štúdium vlastností dvojice síl, ktoré je jedným z hlavných prvkov statiky, si vyžaduje zavedenie dôležitého pojmu moment sily vzhľadom na bod.

Nech na teleso pôsobí sila v bode A (obr. 89). Vyberme si ľubovoľný bod v priestore O (zvyčajne sa za tento bod volí počiatok súradníc) a nakreslíme z neho vektor polomeru smerujúci do bodu pôsobenia tejto sily.

Vektorový moment sily vzhľadom na bod O je voľný vektor definovaný vektorovým súčinom

Označuje to tým, že máme

Absolútna hodnota vektora sa rovná dvojnásobku plochy trojuholníka vytvoreného na vektoroch a Vektor je nasmerovaný kolmo na rovinu definovanú vektormi, takže ak sa na túto rovinu pozriete z jej konca, sila bude mať tendenciu na otáčanie tela okolo bodu O proti smeru hodinových ručičiek. Zvyčajne sa vektor považuje za aplikovaný v bode. Ak je sila iná ako nula, potom sa vektorový moment rovná nule iba vtedy, keď bod O leží na línii pôsobenia sily. V sústave jednotiek SI sa rozmer momentu sily vzhľadom na bod rovná

Z definície vektorového krútiaceho momentu vyplýva, že sa nemení, ak sa sila pohybuje po línii jej pôsobenia. V tomto prípade sa rovina definovaná vektormi nemení

umiestnenie v priestore a plocha trojuholníka postaveného na týchto vektoroch sa nemení (obr. 89).

Z tejto vlastnosti vyplýva, že pojem momentu vektora vzhľadom k bodu úzko súvisí s pojmom kĺzavého vektora.

Algebraický moment sily

Ak uvažujeme plochý systém síl alebo síl umiestnených v jednej rovine, potom je vhodné zaviesť pojem algebraický moment sily.

Modul vektorového momentu, ako je uvedené, sa rovná dvojnásobku plochy trojuholníka postaveného na vektoroch, ak je uhol medzi vektormi rovný a

Ale práca

predstavuje dĺžku kolmice spustenej z bodu O k čiare pôsobenia sily. Veličina sa nazýva rameno sily voči bodu O. Umiestnime ju do roviny definovanej vektormi a súradnicovými osami, pričom os z bude umiestnená kolmo na túto rovinu (obr. 90). Algebraický moment sily je súčinom ramena sily a modulu sily

Znamienko algebraického momentu bude kladné, ak pre pozorovateľa umiestneného pozdĺž kladného smeru osi z má sila tendenciu otáčať sa okolo bodu O proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade bude znamienko algebraického momentu záporné.

Moment sily okolo osi

Pojem moment sily okolo bodu úzko súvisí s pojmom moment sily okolo osi.

Moment sily okolo osi je priemet momentu sily okolo ľubovoľného bodu na osi na os.

Aby táto definícia dávala zmysel, je potrebné dokázať, že projekcie momentov sily na os voči dvom ľubovoľným bodom osi sú rovnaké.

Aby sme to dokázali, nakreslíme rovinu kolmú na os (obr. 91) a na túto rovinu premietneme vektor.

Označme a uhol, ktorý zviera vektor s osou, potom je moment vektora vzhľadom na os určený podľa vzorca:

Keďže hodnota nezávisí od polohy bodu O na osi (obr. 92), potom

Vzorec, ktorý určuje osový moment, vám umožňuje stanoviť geometrické pravidlo na jeho výpočet. Toto pravidlo je nasledovné: nakreslite rovinu kolmú na os, premietnite na ňu vektor

Dvojitá plocha trojuholníka vytvorená touto projekciou a priesečníkom osi s rovinou určuje veľkosť axiálneho momentu.

Znamienko momentu bude kladné, ak pre pozorovateľa umiestneného pozdĺž kladného smeru osi má projekcia vektora tendenciu otáčať sa okolo priesečníka osi s rovinou proti smeru hodinových ručičiek; ak má projekcia tendenciu otáčať sa v smere hodinových ručičiek, potom znamenie okamihu bude záporné.

Vzorce na určovanie momentov pomocou projekcií

Za počiatok súradníc sa zvyčajne volí bod O, voči ktorému sa vypočítava moment posuvného vektora. Potom bude moment sily aplikovaný v počiatku súradníc a jeho priemetmi na os budú zodpovedajúce osové momenty. Z definície a geometrického pravidla pre výpočet osového momentu vyplýva, že sa bude rovnať nule, ak je vektor rovnobežný s osou, alebo jeho akčná čiara pretína os. Ak je sila daná jej priemetmi a sú známe projekcie vektora polomeru definujúceho bod pôsobenia sily (alebo jednoducho súradnice tohto bodu), potom moment vektora vzhľadom na bod O a momenty

vzhľadom na súradnicové osi, ako vyplýva z predchádzajúceho, sú určené vzorcom:

Moment sily okolo osi je moment priemetu sily na rovinu kolmú na os vzhľadom na priesečník osi s touto rovinou

Moment okolo osi je kladný, ak má sila tendenciu otáčať rovinu kolmú na os proti smeru hodinových ručičiek pri pohľade smerom k osi.

Moment sily okolo osi je 0 v dvoch prípadoch:

Ak je sila rovnobežná s osou

Ak sila prekročí os

Ak akčná čiara a os ležia v rovnakej rovine, potom sa moment sily okolo osi rovná 0.

27. Vzťah medzi momentom sily okolo osi a vektorovým momentom sily okolo bodu.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sily vzhľadom na os sa rovná priemetu vektora momentu sily vzhľadom na bod osi na túto os.

28. Hlavná veta statiky o privedení sústavy síl do daného stredu (Poinsotova veta). Hlavný vektor a hlavný moment sústavy síl.

Vo všeobecnom prípade môže byť akýkoľvek priestorový systém síl nahradený ekvivalentným systémom pozostávajúcim z jednej sily pôsobiacej v určitom bode telesa (stred redukcie) a rovnajúcej sa hlavnému vektoru tohto systému síl a jedného páru síl. , ktorého moment sa rovná hlavnému momentu všetkých síl voči zvolenému stredu adukcie.

Hlavný vektor silového systému nazývaný vektor R rovná vektorovému súčtu týchto síl:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Pre rovinnú sústavu síl leží jej hlavný vektor v rovine pôsobenia týchto síl.

Hlavný bod systému síl vzhľadom na stred O sa nazýva vektor L O, rovná súčtu vektorových momentov týchto síl vzhľadom na bod O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R nezávisí od výberu stredu O a vektora L Keď sa zmení poloha stredu, O sa môže vo všeobecnosti zmeniť.

Poinsotova veta: Ľubovoľný priestorový systém síl možno nahradiť jednou silou s hlavným vektorom silovej sústavy a dvojicou síl s hlavným momentom bez narušenia stavu tuhého telesa. Hlavný vektor predstavuje geometrický súčet všetky sily pôsobiace na pevné teleso a nachádza sa v rovine pôsobenia síl. Hlavný vektor sa uvažuje prostredníctvom jeho projekcií na súradnicové osi.

Na privedenie síl do daného stredu pôsobiaceho v určitom bode pevného telesa je potrebné: 1) preniesť silu rovnobežne so sebou na daný stred bez zmeny modulu sily; 2) v danom strede pôsobí dvojica síl, ktorých vektorový moment sa rovná vektorovému momentu prenesenej sily vzhľadom na nový stred, tento pár sa nazýva pripojený pár;

Závislosť hlavného momentu od výberu stredu redukcie. Hlavný moment okolo nového stredu redukcie sa rovná geometrickému súčtu hlavného momentu okolo starého stredu redukcie a vektorového súčinu polomerového vektora spájajúceho nový stred redukcie so starým hlavným vektorom.

29 Špeciálne prípady redukcie priestorového systému síl

	Hodnoty hlavného vektora a hlavného momentu	Výsledok odlievania
		Sústava síl sa redukuje na dvojicu síl, ktorých moment sa rovná hlavnému momentu (hlavný moment sústavy síl nezávisí od voľby stredu redukcie O).
		Sústava síl sa redukuje na výslednicu rovnajúcu sa prechodu cez stred O.
		Systém síl je redukovaný na výslednicu rovnú hlavnému vektoru a rovnobežnú s ním a umiestnenú vo vzdialenosti od neho. Poloha čiary pôsobenia výslednice musí byť taká, aby smer jej momentu vzhľadom k stredu redukcie O sa zhodoval so smerom vzhľadom k stredu O.
	a vektory nie sú kolmé	Sústava síl je redukovaná na dynu (silovú skrutku) - kombináciu sily a dvojice síl ležiacich v rovine kolmej na túto silu.
		Systém síl pôsobiacich na pevné teleso je vyvážený.

30. Redukcia na dynamiku. V mechanike sa dynamikou nazýva taký súbor síl a dvojíc síl () pôsobiacich na pevné teleso, v ktorom je sila kolmá na rovinu pôsobenia dvojice síl. Pomocou vektorového momentu dvojice síl môžeme dynamiku definovať aj ako kombináciu sily a dvojice, ktorej sila je rovnobežná s vektorovým momentom dvojice síl.

Rovnica stredovej špirálovej osi Predpokladajme, že v strede redukcie, branej ako počiatok súradníc, sa získa hlavný vektor s priemetmi na súradnicové osi a hlavný moment s priemetmi pri privedení sústavy síl do stredu redukcie O 1 (obr 30) sa získa dyna s hlavným vektorom a hlavným momentom, vektormi a ako tvoriacimi linama. sú rovnobežné, a preto sa môžu líšiť iba skalárnym faktorom k 0. Máme, keďže hlavné momenty a vyhovujú vzťah

Moment pár síl

Moment sily voči ľubovoľnému bodu (stredu) je vektor, ktorý sa číselne rovná súčinu modulu sily a ramena, t.j. na najkratšiu vzdialenosť od určeného bodu k čiare pôsobenia sily a smeruje kolmo na rovinu prechádzajúcu zvoleným bodom a čiaru pôsobenia sily v smere, z ktorého „rotácia“ vykonávaná silou okolo zdá sa, že bod sa vyskytuje proti smeru hodinových ručičiek. Moment sily charakterizuje jeho rotačné pôsobenie.

Ak O– bod, voči ktorému sa nachádza moment sily F, potom je moment sily označený symbolom M o (F). Ukážme, že ak je bod aplikácie sily F určený polomerovým vektorom r, potom je vzťah platný

Mo (F) = r x F. (3.6)

Podľa tohto pomeru moment sily sa rovná vektorovému súčinu vektora r vektorom F.

Modul vektorového súčinu sa skutočne rovná

M o ( F)=rF hriech= Fh, (3.7)

Kde h- rameno sily. Všimnite si tiež, že vektor M o (F) smerované kolmo na rovinu prechádzajúcu vektormi r A F, v smere, z ktorého je najkratšia zákruta vektora r do smeru vektora F Zdá sa, že sa vyskytuje proti smeru hodinových ručičiek. Vzorec (3.6) teda úplne určuje modul a smer momentu sily F.

Niekedy je užitočné napísať do formulára vzorec (3.7).

M o ( F)=2S, (3.8)

Kde S- oblasť trojuholníka OAV.

Nechaj X, r, z sú súradnice bodu pôsobenia sily a F x, Fy, Fz– projekcie sily na súradnicové osi. Potom ak bod O sa nachádza v počiatku, moment sily je vyjadrený takto:

Z toho vyplýva, že projekcie momentu sily na súradnicové osi sú určené vzorcami:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Predstavme si teraz koncept projekcie sily na rovinu.

Nech sa dáva sila F a nejaké lietadlo. Na túto rovinu pustíme kolmice zo začiatku a konca vektora sily.

Projekcia sily na rovinu volal vektor , ktorej začiatok a koniec sa zhodujú s priemetom začiatku a priemetu konca sily do tejto roviny.

Ak za uvažovanú rovinu berieme rovinu xOy, potom projekcia sily F v tejto rovine bude vektor Fxy.

Moment sily Fxy vzhľadom na bod O(priesečníky osí z s lietadlom xOy) možno vypočítať pomocou vzorca (3.9), ak to vezmeme z=0, Fz=0. Dostaneme

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Moment je teda nasmerovaný pozdĺž osi z a jeho premietanie na os z sa presne zhoduje s priemetom momentu sily na rovnakú os F vzhľadom na bod O. Inými slovami,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Je zrejmé, že rovnaký výsledok možno získať, ak premietneme silu F k akejkoľvek inej rovine rovnobežnej xOy. V tomto prípade je to priesečník osi z s rovinou bude iný (nový priesečník označujeme ako O 1). Všetci však zahrnutí do pravá strana rovnosť (3.11) množstva X, pri, F x, F y zostane nezmenená, a preto môže byť napísaná

M Oz(F)=M01z ( Fxy).

Inými slovami, priemet momentu sily vzhľadom na bod na os prechádzajúcu týmto bodom nezávisí od výberu bodu na osi . Preto v tom, čo nasleduje, namiesto symbolu M Oz(F) použijeme symbol Mz(F). Projekcia tohto momentu sa nazýva moment sily okolo osi z. Často je vhodnejšie vypočítať moment sily okolo osi premietnutím sily F na rovine kolmej na os a výpočet hodnoty Mz(Fxy).

V súlade so vzorcom (3.7) a pri zohľadnení znamienka projekcie získame:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Tu h*– rameno sily Fxy vzhľadom na bod O. Ak pozorovateľ vidí z kladného smeru osi z, že sila Fxy má tendenciu otáčať telo okolo osi z proti smeru hodinových ručičiek, potom sa použije znamienko „+“ a inak znamienko „–“.

Vzorec (3.12) umožňuje formulovať nasledujúce pravidlo pre výpočet momentu sily okolo osi. K tomu potrebujete:

· vyberte ľubovoľný bod na osi a zostrojte rovinu kolmú na os;

· premietnuť silu do tejto roviny;

· určiť rameno priemetu sily h*.

Moment sily vzhľadom na os sa rovná súčinu modulu priemetu sily na jej rameno, braného s príslušným znamienkom (pozri pravidlo uvedené vyššie).

Zo vzorca (3.12) vyplýva, že moment sily okolo osi je nulový v dvoch prípadoch:

· keď je priemet sily do roviny kolmej na os nulový, t.j. keď sú sila a os rovnobežné ;

pri projekcii ramena h* rovná sa nule, t.j. keď akčná línia pretína os .

Oba tieto prípady je možné spojiť do jedného: moment sily okolo osi je nulový vtedy a len vtedy, ak línia pôsobenia sily a osi sú v rovnakej rovine .

Úloha 3.1. Vypočítajte vzhľadom na bod O moment moci F, aplikované do bodky A a diagonálne smerované čelo kocky so stranou A.

Pri riešení takýchto problémov je vhodné najskôr vypočítať momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi X, r, z. Súradnice bodu A použitie sily F bude

Projekcie sily F na súradnicových osiach:

Nahradením týchto hodnôt rovnosťami (3.10) zistíme

, , .

Rovnaké výrazy pre momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi možno získať pomocou vzorca (3.12). Aby sme to dosiahli, navrhujeme silu F v rovine kolmej na os X A pri. To je zrejmé . Použitím vyššie uvedeného pravidla dostaneme, ako by sa dalo očakávať, rovnaké výrazy:

, , .

Momentový modul je určený rovnosťou

Predstavme si teraz koncept pár momentov. Najprv zistime, čomu sa rovná súčet momentov síl, ktoré tvoria pár, vzhľadom na ľubovoľný bod. Nechaj O je ľubovoľný bod v priestore a F A F" – sily, ktoré tvoria pár.

Potom Mo (F)= OA × F, Mo (F")= OB × F",

Mo (F) + Mo (F")= OA × F+ OB × F",

ale odkedy F= -F", To

Mo (F) + Mo (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Berúc do úvahy rovnosť OA-OB=BA , konečne nájdeme:

Mo (F) + Mo (F")= VA × F.

teda súčet momentov síl, ktoré tvoria dvojicu, nezávisí od polohy bodu, voči ktorému sú momenty brané .

Vektorové umelecké dielo VA × F a volá sa pár moment . Moment páru je označený symbolom M(F, F") a

M(F, F")=VA × F= AB × F",

alebo v skratke

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Vzhľadom na pravú stranu tejto rovnosti si to všimneme moment páru je vektor, kolmo na rovinu páru, ktorého modul sa rovná súčinu modulu jednej sily páru ramenom páru (t.j. najkratšia vzdialenosť medzi čiarami pôsobenia síl tvoriacich pár) a smeruje v smere, z ktorého „rotácia“ páru sa vyskytuje proti smeru hodinových ručičiek . Ak h– teda rameno dvojice M(F, F")=h × F.

Zo samotnej definície je zrejmé, že moment dvojice síl je voľný vektor, ktorého pôsobisko nie je definované (dodatočné odôvodnenie tejto poznámky vyplýva z Viet 2 a 3 tejto kapitoly).

Na to, aby dvojica síl tvorila vyvážený systém (sústava síl ekvivalentná nule), je potrebné a postačujúce, aby moment dvojice bol rovný nule. Ak je moment páru nulový, M=h × F, potom buď F=0, t.j. žiadna sila, alebo párové rameno h rovná sa nule. Ale v tomto prípade budú sily páru pôsobiť v jednej priamke; keďže sú rovnaké v module a smerujú v opačných smeroch, potom na základe axiómy 1 vytvoria vyvážený systém. Naopak, ak dve sily F 1 A F 2, ktoré tvoria pár, sú vyvážené, potom na základe rovnakej axiómy 1 pôsobia v jednej priamke. Ale v tomto prípade pákový efekt páru h rovná sa nule a preto M=h × F=0.

Párové vety

Dokážme tri vety, pomocou ktorých sú možné ekvivalentné transformácie párov. Pri všetkých úvahách treba pamätať na to, že sa týkajú párov pôsobiacich na akomkoľvek pevnom tele.

Veta 1. Dva páry ležiace v rovnakej rovine môžu byť nahradené jedným párom ležiacim v rovnakej rovine, pričom moment sa rovná súčtu momentov týchto dvoch párov.

Ak chcete dokázať túto vetu, zvážte dve dvojice ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) a presúvajte body pôsobenia všetkých síl po líniách ich pôsobenia do bodov A A IN resp. Sčítaním síl podľa axiómy 3 dostaneme

R=F1+F 2 A R"=F" 1+F" 2,

ale F 1=-F" 1 A F 2=-F" 2.

teda R = - R", t.j. silu R A R" tvoria dvojicu. Nájdite moment tejto dvojice pomocou vzorca (3.13):

M = M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Keď sa sily, ktoré tvoria dvojicu, prenášajú pozdĺž línií ich pôsobenia, nezmení sa ani rameno, ani smer otáčania dvojice, preto sa nemení ani moment dvojice. znamená,

BA x F1 = M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F2 = M(F 2,F" 2)=M 2

a vzorec (3.14) bude mať formu

M=M1+M2, (3.15)

čo dokazuje platnosť vyššie formulovanej vety.

Urobme dve poznámky k tejto vete.

1. Línie pôsobenia síl, ktoré tvoria dvojice, sa môžu ukázať ako rovnobežné. Veta zostáva v tomto prípade platná, ale na jej dôkaz by ste mali použiť pravidlo sčítania paralelné sily.

2. Po pridaní sa môže ukázať, že M(R, R")=0; Na základe vyššie uvedenej poznámky vyplýva, že kolekcia dvoch párov ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Veta 2. Dva páry, ktoré majú geometricky rovnaké momenty, sú ekvivalentné.

Nechajte na tele v rovine ja pár ( F 1,F" 1) s momentom M 1. Ukážme, že tento pár môže byť nahradený iným párom ( F 2,F" 2), ktorý sa nachádza v rovine II, keby len jej chvíľa M 2 rovná sa M 1(podľa definície (pozri 1.1) to bude znamenať, že páry ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) sú rovnocenné). V prvom rade si všimneme, že lietadlá ja A II musia byť rovnobežné, najmä sa môžu zhodovať. Vskutku, z paralelnosti momentov M 1 A M 2(v našom prípade M 1=M 2) vyplýva, že roviny pôsobenia dvojíc kolmých na momenty sú tiež rovnobežné.

Predstavme si nový pár ( F 3,F" 3) a pripojte ho spolu s párom ( F 2,F" 2) k telu, pričom oba páry umiestnite do roviny II. Aby ste to dosiahli, podľa axiómy 2 musíte vybrať pár ( F 3,F" 3) s momentom M 3 takže aplikovaný systém síl ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) bol vyrovnaný. Dá sa to urobiť napríklad takto: dať F 3=-F" 1 A F" 3 =-F 1 a spojiť body pôsobenia týchto síl s projekciami A 1 a IN 1 bod A A IN do lietadla II. V súlade s konštrukciou budeme mať: M3 = -M1 alebo vzhľadom na to M1 = M2,

M2 + M3= 0.

Ak vezmeme do úvahy druhú poznámku k predchádzajúcej vete, dostaneme ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) = 0. Teda páry ( F 2,F" 2) A ( F 3,F" 3) sú vzájomne vyvážené a ich pripútanie k telu nenarúša jeho stav (axióma 2), takže

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Na druhej strane sily F 1 A F 3 a F" 1 A F" 3 možno pridať podľa pravidla sčítania paralelných síl smerujúcich jedným smerom. V module sú všetky tieto sily navzájom rovnaké, teda ich výslednice R A R" musí byť aplikovaný v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika ABB 1 A 1; okrem toho majú rovnakú veľkosť a sú nasmerované v opačných smeroch. To znamená, že tvoria systém ekvivalentný nule. takže,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Teraz môžeme písať

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Porovnaním vzťahov (3.16) a (3.17) dostaneme ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), čo bolo potrebné dokázať.

Z tejto vety vyplýva, že dvojica síl sa môže pohybovať v rovine jej pôsobenia, prenášať do rovnobežnej roviny; nakoniec, vo dvojici môžete súčasne meniť sily a páku, pričom zachovávate iba smer otáčania dvojice a modul jej momentu ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

V nasledujúcom texte budeme vo veľkej miere využívať takéto ekvivalentné párové transformácie.

Veta 3. Dve dvojice ležiace v pretínajúcich sa rovinách sú ekvivalentné jednej dvojici, ktorej moment sa rovná súčtu momentov dvoch daných dvojíc.

Nechajte páry ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) sa nachádzajú v pretínajúcich sa rovinách ja A II resp. Pomocou dôsledkov vety 2 zredukujeme oba páry na rameno AB, ktorý sa nachádza na priesečníku rovín ja A II. Označme transformované dvojice ( Q 1,Q" 1) A ( Q 2,Q" 2). V tomto prípade musia byť dodržané rovnosti

M1 = M(Q 1,Q" 1)=M(F 1,F" 1) A M2 = M(Q 2,Q" 2)=M(F 2,F" 2).

Pridajme podľa axiómy 3 sily pôsobiace v bodoch A A IN resp. Potom dostaneme R=Q1+Q2 A R"=Q"1 +Q" 2. Zvažujem to Q"1 = -Q1 A Q"2 = -Q2, dostaneme R=-R". Dokázali sme teda, že systém dvoch párov je ekvivalentný jednému páru ( R,R").

Nájdime si chvíľu M tento pár. Na základe vzorca (3.13) máme

M(R,R")=VA× (Q1 + Q2)=VA× Q1 + VA× Q 2=

=M(Q 1,Q" 1)+M(Q 2,Q" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M1+M2,

tie. veta je dokázaná.

Všimnite si, že získaný výsledok platí aj pre dvojice ležiace v rovnobežných rovinách. Podľa vety 2 je možné takéto dvojice zredukovať na jednu rovinu a pomocou vety 1 ich nahradiť jednou dvojicou, ktorej moment sa rovná súčtu momentov jednotlivých dvojíc.

Vyššie dokázané párové teorémy nám umožňujú vyvodiť dôležitý záver: moment páru je voľný vektor a úplne určuje pôsobenie páru na absolútne tuhé teleso . V skutočnosti sme už dokázali, že ak majú dve dvojice rovnaké momenty (teda ležia v rovnakej rovine alebo v rovnobežných rovinách), potom sú si navzájom ekvivalentné (Veta 2). Na druhej strane, dva páry ležiace v pretínajúcich sa rovinách nemôžu byť ekvivalentné, pretože by to znamenalo, že jeden z nich a pár oproti druhému sú ekvivalentné nule, čo je nemožné, pretože súčet momentov takýchto párov je nenulový.

Zavedený koncept momentu páru je teda mimoriadne užitočný, pretože úplne odráža mechanické pôsobenie páru na telo. V tomto zmysle môžeme povedať, že moment vyčerpávajúcim spôsobom predstavuje pôsobenie dvojice na tuhé teleso.

Pre deformovateľné telesá nie je možné použiť teóriu párov opísanú vyššie. Dve protiľahlé dvojice, pôsobiace napríklad na koncoch tyče, sú z hľadiska statiky tuhého telesa ekvivalentné nule. Medzitým ich pôsobenie na deformovateľnú tyč spôsobuje jej krútenie, a to čím väčšie, tým väčšie sú moduly momentu.

Prejdime k riešeniu prvého a druhého problému statiky, kedy na teleso pôsobia len dvojice síl.

Moment sily okolo osi je moment priemetu sily na rovinu kolmú na os vzhľadom na priesečník osi s touto rovinou

Moment okolo osi je kladný, ak má sila tendenciu otáčať rovinu kolmú na os proti smeru hodinových ručičiek pri pohľade smerom k osi.

Moment sily okolo osi je 0 v dvoch prípadoch:

Ak je sila rovnobežná s osou

Ak sila prekročí os

Ak akčná čiara a os ležia v rovnakej rovine, potom sa moment sily okolo osi rovná 0.

27. Vzťah medzi momentom sily okolo osi a vektorovým momentom sily okolo bodu.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sily vzhľadom na os sa rovná priemetu vektora momentu sily vzhľadom na bod osi na túto os.

28. Hlavná veta statiky o privedení sústavy síl do daného stredu (Poinsotova veta). Hlavný vektor a hlavný moment sústavy síl.

Hlavný vektor silového systému nazývaný vektor R rovná vektorovému súčtu týchto síl:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Pre rovinnú sústavu síl leží jej hlavný vektor v rovine pôsobenia týchto síl.

Hlavný bod systému síl vzhľadom na stred O sa nazýva vektor L O, rovná súčtu vektorových momentov týchto síl vzhľadom na bod O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R nezávisí od výberu stredu O a vektora L Keď sa zmení poloha stredu, O sa môže vo všeobecnosti zmeniť.

Poinsotova veta: Ľubovoľný priestorový systém síl možno nahradiť jednou silou s hlavným vektorom silovej sústavy a dvojicou síl s hlavným momentom bez narušenia stavu tuhého telesa. Hlavný vektor je geometrický súčet všetkých síl pôsobiacich na pevné teleso a nachádza sa v rovine pôsobenia síl. Hlavný vektor sa uvažuje prostredníctvom jeho projekcií na súradnicové osi.

29 Špeciálne prípady redukcie priestorového systému síl

	Hodnoty hlavného vektora a hlavného momentu	Výsledok odlievania
		Sústava síl sa redukuje na dvojicu síl, ktorých moment sa rovná hlavnému momentu (hlavný moment sústavy síl nezávisí od voľby stredu redukcie O).
		Sústava síl sa redukuje na výslednicu rovnajúcu sa prechodu cez stred O.
		Systém síl je redukovaný na výslednicu rovnú hlavnému vektoru a rovnobežnú s ním a umiestnenú vo vzdialenosti od neho. Poloha čiary pôsobenia výslednice musí byť taká, aby smer jej momentu vzhľadom k stredu redukcie O sa zhodoval so smerom vzhľadom k stredu O.
	a vektory nie sú kolmé	Sústava síl je redukovaná na dynu (silovú skrutku) - kombináciu sily a dvojice síl ležiacich v rovine kolmej na túto silu.
		Systém síl pôsobiacich na pevné teleso je vyvážený.

Nahradením dostaneme

Súradnice bodu O 1, v ktorom získame dynamiku, označme ako x, y, z. Potom sa priemety vektora na súradnicové osi rovnajú súradniciam x, y, z. Vzhľadom na to môže byť (*) vyjadrené vo forme

kde ja. j ,k sú jednotkové vektory súradnicových osí a vektorový súčin *je reprezentovaný determinantom. Vektorová rovnica(**) je ekvivalentné trom skalárom, ktoré po vyradení môžu byť reprezentované ako

Výsledné lineárne rovnice pre súradnice x, y, z sú rovnice priamky - stredovej špirálovej osi. V dôsledku toho existuje priamka, v ktorej bodoch je systém síl redukovaný na dynamiku.