Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi. Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie Zrýchlený rotačný pohyb okolo pevnej osi
A Savelyeva.
Pri doprednom pohybe telesa (§ 60 v učebnici E. M. Nikitina) sa všetky jeho body pohybujú po rovnakých trajektóriách a v každom danom okamihu majú rovnakú rýchlosť a rovnaké zrýchlenia.
Preto je translačný pohyb telesa určený pohybom ktoréhokoľvek jedného bodu, zvyčajne pohybom ťažiska.
Pri uvažovaní o pohybe auta (úloha 147) alebo dieselového rušňa (úloha 141) v akomkoľvek probléme uvažujeme vlastne s pohybom ich ťažísk.
Rotačný pohyb tela (E.M. Nikitin, § 61) nemožno stotožňovať s pohybom žiadneho z jeho bodov. Os akéhokoľvek rotujúceho telesa (dieselový zotrvačník, rotor elektromotora, vreteno stroja, lopatky ventilátora a pod.) pri pohybe zaberá rovnaké miesto v priestore vzhľadom na okolité stacionárne telesá.
Pohyb hmotného bodu resp pohyb vpred telesá sú charakterizované v závislosti od času lineárne veličiny s (dráha, vzdialenosť), v (rýchlosť) a a (zrýchlenie) s jeho zložkami a t a a n.
Rotačný pohyb telesá v závislosti od času t charakteriz uhlové hodnoty: φ (uhol natočenia v radiánoch), ω (uhlová rýchlosť v rad/s) a ε (uhlové zrýchlenie v rad/s 2).
Zákon rotačného pohybu telesa vyjadruje rovnica
φ = f(t).
Uhlová rýchlosť- veličina charakterizujúca rýchlosť otáčania telesa je vo všeobecnom prípade definovaná ako derivácia uhla natočenia vzhľadom na čas
ω = dφ/dt = f" (t).
Uhlové zrýchlenie- veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti je definovaná ako derivácia uhlovej rýchlosti
ε = dω/dt = f"" (t).
Pri začatí riešenia problémov s rotačným pohybom telesa je potrebné mať na pamäti, že v technických výpočtoch a problémoch sa uhlové posunutie spravidla nevyjadruje v radiánoch φ, ale v otáčkach φ približne.
Preto je potrebné vedieť prejsť od počtu otáčok k radiánovému meraniu uhlového posunu a naopak.
Pretože jedna úplná otáčka zodpovedá 2π rad
φ = 2πφ okolo a φ okolo = φ/(2π).
Uhlová rýchlosť sa v technických výpočtoch veľmi často meria v otáčkach vyrobených za minútu (rpm), preto je potrebné jasne pochopiť, že ω rad/s a n ot/min vyjadrujú rovnaký pojem - rýchlosť otáčania telesa (uhlová rýchlosť), ale v rôznych jednotkách - v rad/s alebo v otáčkach za minútu.
Prechod z jednej jednotky uhlovej rýchlosti na druhú sa uskutočňuje podľa vzorcov
ω = πn/30 an = 30ω/π.
Pri rotačnom pohybe telesa sa všetky jeho body pohybujú po kružniciach, ktorých stredy sa nachádzajú na jednej pevnej priamke (osi rotujúceho telesa). Pri riešení úloh uvedených v tejto kapitole je veľmi dôležité jasne pochopiť vzťah medzi uhlovými veličinami φ, ω a ε, ktoré charakterizujú rotačný pohyb telesa, a lineárnymi veličinami s, v, a t a an, charakterizujúcimi rotačný pohyb telesa. pohyb rôznych bodov tohto telesa (obr. 205).
Ak R je vzdialenosť od geometrickej osi rotujúceho telesa k ľubovoľnému bodu A (na obr. 205 R = OA), potom vzťah medzi φ - uhlom rotácie telesa a s - vzdialenosťou prejdenou bodom o telo v rovnakom čase je vyjadrené takto:
s = φR.
Vzťah medzi uhlovou rýchlosťou telesa a rýchlosťou bodu v každom danom momente vyjadruje rovnosť
v = coR.
Tangenciálne zrýchlenie bodu závisí od uhlového zrýchlenia a je určené vzorcom
a t = εR.
Normálne zrýchlenie bodu závisí od uhlovej rýchlosti telesa a je určené vzťahom
a n = ω 2 R.
Pri riešení problému uvedeného v tejto kapitole je potrebné jasne pochopiť, že rotácia je pohyb pevný, nie body. Jediný hmotný bod sa neotáča, ale pohybuje sa po kružnici – robí krivočiary pohyb.
§ 33. Rovnomerný rotačný pohyb
Ak je uhlová rýchlosť ω=konšt., potom sa rotačný pohyb nazýva rovnomerný.
Rovnomerná rotácia má tvar
φ = φ 0 + ωt.
V konkrétnom prípade, keď počiatočný uhol natočenia φ 0 = 0,
φ = ωt.
Uhlová rýchlosť rovnomerne rotujúceho telesa
ω = φ/t
možno vyjadriť takto:
ω = 2π/T,
kde T je doba rotácie telesa; φ=2π - uhol natočenia za jednu periódu.
§ 34. Rovnomerne striedavý rotačný pohyb
Rotačný pohyb s premennou uhlovou rýchlosťou sa nazýva nerovnomerný (pozri nižšie § 35). Ak je uhlové zrýchlenie ε=konšt., potom sa nazýva rotačný pohyb rovnako variabilné. Teda rovnomerné otáčanie tela je špeciálny prípad nerovnomerný rotačný pohyb.
Rovnica rovnomernej rotácie
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
a rovnica vyjadrujúca uhlovú rýchlosť telesa v akomkoľvek čase,
(2) ω = ω 0 + εt
predstavujú súbor základných vzorcov pre rotačný rovnomerný pohyb telesa.
Tieto vzorce obsahujú iba šesť veličín: tri konštanty pre danú úlohu φ 0, ω 0 a ε a tri premenné φ, ω a t. V dôsledku toho musí podmienka každej úlohy pre rovnomerné otáčanie obsahovať aspoň štyri špecifikované veličiny.
Pre uľahčenie riešenia niektorých úloh možno z rovníc (1) a (2) získať ďalšie dva pomocné vzorce.
Vylúčme uhlové zrýchlenie ε z (1) a (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.
Vylúčme čas t z (1) a (2):
(4) φ = φo + (co2 - coo 2)/(2ε).
V konkrétnom prípade rovnomerne zrýchlenej rotácie vychádzajúcej zo stavu pokoja φ 0 = 0 a ω 0 = 0. Preto vyššie uvedené základné a pomocné vzorce majú nasledujúcu formu:
(5) φ = et2/2;
(6) co = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = co2/(2ε).
§ 35. Nerovnomerný rotačný pohyb
Uvažujme príklad riešenia úlohy, v ktorej je špecifikovaný nerovnomerný rotačný pohyb telesa.
Absolútne pevné telo - telo vzájomného usporiadania ktorých časti sa počas pohybu nemenia.
Translačný pohyb tuhého telesa - je to jeho pohyb, pri ktorom sa akákoľvek priamka pevne spojená s telom pohybuje, pričom zostáva rovnobežná s pôvodným smerom.
Pri translačnom pohybe tuhého telesa sa všetky jeho body pohybujú rovnako v krátkom čase dt, vektor polomeru týchto bodov sa mení o rovnakú hodnotu. Preto sú v každom časovom okamihu rýchlosti všetkých jeho bodov rovnaké a rovnaké. Preto kinematika uvažovaného pohyb vpred tuhého telesa prichádza k štúdiu pohybu ktoréhokoľvek z jeho bodov. Zvyčajne uvažujeme o pohybe stredu zotrvačnosti tuhého telesa pohybujúceho sa voľne v priestore.
Rotačný pohyb tuhého telesa - ide o pohyb, pri ktorom sa všetky jeho body pohybujú v kruhoch, ktorých stredy sa nachádzajú mimo tela . Priamka sa nazýva os otáčania tela.
Uhlová rýchlosť– vektorová veličina charakterizujúca rýchlosť otáčania telesa; pomer uhla natočenia k času, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo; vektor určený prvou deriváciou uhla natočenia telesa vzhľadom na čas. Vektor uhlovej rýchlosti smeruje pozdĺž osi otáčania podľa pravidla pravej skrutky. ω=φ/t=2π/T=2πn, kde T je doba otáčania, n je frekvencia otáčania. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.
Uhlové zrýchlenie– vektor určený prvou deriváciou uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas. Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, vektor uhlového zrýchlenia smeruje pozdĺž osi otáčania k vektoru elementárneho prírastku uhlovej rýchlosti. Druhá derivácia uhla natočenia vzhľadom na čas. Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, vektor uhlového zrýchlenia smeruje pozdĺž osi otáčania k vektoru elementárneho prírastku uhlovej rýchlosti. Keď je pohyb zrýchlený, vektor ε je kosmerný s vektorom φ, a keď je pomalý, je mu opačný. ε=dco/dt.
Ak dω/dt > 0, potom εω
Ak dω/dt< 0, то ε ↓ω
4. Princíp zotrvačnosti (prvý Newtonov zákon). Inerciálne referenčné systémy. Princíp relativity.
Newtonov prvý zákon (zákon zotrvačnosti): každý hmotný bod (teleso) si udržiava stav pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu, kým ho vplyv iných telies neprinúti tento stav zmeniť
Túžba telesa udržiavať pokojový stav alebo rovnomerný priamočiary pohyb sa nazýva zotrvačnosť. Preto sa prvý Newtonov zákon nazýva zákon zotrvačnosti.
Prvý Newtonov zákon hovorí o existencii inerciálnych vzťažných sústav.
Inerciálna referenčná sústava– ide o referenčný systém, voči ktorému sa voľný hmotný bod, neovplyvnený inými telesami, pohybuje rovnomerne priamočiaro; Je to systém, ktorý je buď v pokoji, alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro vzhľadom k inému inerciálnemu systému.
Princíp relativity- zásadný fyzikálny zákon, podľa ktorého každý proces prebieha identicky v izolovanej hmotnej sústave v pokoji a v tej istej sústave v stave rovnomerného priamočiareho pohybu. Stavy pohybu alebo pokoja sú definované s ohľadom na ľubovoľne zvolenú inerciálnu referenčnú sústavu. Princíp relativity je základom Einsteinovej špeciálnej teórie relativity.
5. Galileovské premeny.
Princíp relativity (Galilea): žiadne experimenty (mechanické, elektrické, optické) uskutočnené vo vnútri daného inerciálneho referenčného systému neumožňujú zistiť, či je tento systém v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro; všetky prírodné zákony sú nemenné vzhľadom na prechod z jednej inerciálnej vzťažnej sústavy do druhej.
Uvažujme dva referenčné systémy: inerciálny rámec K (s súradnice x,y,z), ktorý budeme konvenčne považovať za stacionárny a systém K’ (so súradnicami x’,y’,z’), pohybujúci sa vzhľadom na K rovnomerne a priamočiaro rýchlosťou U (U = konšt.). Nájdime súvislosť medzi súradnicami ľubovoľného bodu A v oboch systémoch. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)
Rovnicu (1.) je možné napísať v projekciách na súradnicové osi:
y=y’+Uyt; (2.)
z=z’+Uzt; Rovnice (1.) a (2.) sa nazývajú Galileove súradnicové transformácie.
Vzťah medzi potenciálnou energiou a silou
Každý bod potenciálneho poľa zodpovedá na jednej strane určitej hodnote vektora sily pôsobiacej na teleso a na druhej strane určitej hodnote potenciálnej energie. Preto musí existovať určitý vzťah medzi silou a potenciálnou energiou.
Aby sme vytvorili toto spojenie, vypočítajme elementárnu prácu vykonanú poľnými silami pri malom posunutí telesa v ľubovoľne zvolenom smere v priestore, ktorý označíme písmenom . Táto práca sa rovná
kde je priemet sily na smer.
Pretože v tomto prípade sa práca vykonáva kvôli rezerve potenciálnej energie, rovná sa strate potenciálnej energie na segmente osi:
Z posledných dvoch výrazov dostaneme
Tento vzorec určuje priemet vektora sily na súradnicové osi. Ak sú tieto projekcie známe, ukáže sa, že samotný vektor sily je určený:
v matematike vektor 
,
kde a je skalárna funkcia x, y, z, nazývaná gradient tejto skaláry a označená symbolom . Preto sa sila rovná potenciálnemu energetickému gradientu s opačným znamienkom
Rotačné nazývajú taký pohyb, pri ktorom dva body spojené s telom, teda priamka prechádzajúca týmito bodmi, zostávajú počas pohybu nehybné (obr. 2.16). Pevná priamka A B volal os otáčania.
Ryža. 2,1 V. Smerom k definícii rotačného pohybu telesa
Poloha telesa pri rotačnom pohybe určuje uhol natočenia φ, rad (pozri obr. 2.16). Pri pohybe sa časom mení uhol natočenia, t.j. zákon rotačného pohybu telesa je definovaný ako zákon zmeny v čase hodnoty dihedrálneho uhla Ф = Ф(/) medzi pevnou polrovinou. TO (), prechádzajúce osou otáčania a pohyblivé n 1 polrovina spojená s telom a prechádzajúca aj osou otáčania.
Trajektórie všetkých bodov telesa pri rotačnom pohybe sú sústredné kružnice umiestnené v rovnobežných rovinách so stredmi na osi otáčania.
Kinematické charakteristiky rotačného pohybu telesa. Rovnakým spôsobom, ako boli zavedené kinematické charakteristiky pre bod, sa zavádza kinematický pojem, ktorý charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie φ(c), ktorá určuje polohu telesa pri rotačnom pohybe, t.j. uhlová rýchlosť co = f = s/f/s//, rozmer uhlovej rýchlosti [co] = rad /S.
V technických výpočtoch sa často používa vyjadrenie uhlovej rýchlosti s iným rozmerom – z hľadiska počtu otáčok za minútu: [i] = ot./min., a vzťahu medzi P a co môže byť reprezentované ako: co = 27w/60 = 7w/30.
Vo všeobecnosti sa uhlová rýchlosť mení s časom. Mierou rýchlosti zmeny uhlovej rýchlosti je uhlové zrýchlenie e = c/co/c//= co = f, rozmer uhlového zrýchlenia [e] = rad/s 2 .
Zavedené uhlové kinematické charakteristiky sú úplne určené špecifikovaním jednej funkcie - uhla natočenia v závislosti od času.
Kinematické charakteristiky bodov tela pri rotačnom pohybe. Zvážte pointu M teleso umiestnené vo vzdialenosti p od osi otáčania. Tento bod sa pohybuje po kružnici s polomerom p (obr. 2.17).
Ryža. 2.17.
body tela pri jeho rotácii
Dĺžka oblúka M Q M kružnica s polomerom p je definovaná ako s= ptp, kde f je uhol natočenia, rad. Ak je zákon pohybu telesa daný ako φ = φ(g), potom zákon pohybu bodu M pozdĺž trajektórie je určená vzorcom S= рф(7).
Pomocou vyjadrení kinematických charakteristík prirodzenou metódou udávania pohybu bodu získame pre body rotujúceho telesa kinematické charakteristiky: rýchlosť podľa vzorca (2.6)
V= 5 = rf = rso; (2,22)
tangenciálne zrýchlenie podľa výrazu (2.12)
it = K = sor = er; (2,23)
normálne zrýchlenie podľa vzorca (2.13)
a„ = A 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)
celkové zrýchlenie pomocou výrazu (2.15)
A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)
Za charakteristiku smeru celkového zrýchlenia sa považuje p - uhol odchýlky vektora celkového zrýchlenia od polomeru kružnice opísanej bodom (obr. 2.18).
Z obr. 2.18 dostaneme
tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2,26)
Ryža. 2.18.
Všimnite si, že všetky kinematické charakteristiky bodov rotujúceho telesa sú úmerné vzdialenostiam od osi rotácie. Ve-
Ich identita je určená deriváciami tej istej funkcie – uhla natočenia.
Vektorové výrazy pre uhlové a lineárne kinematické charakteristiky. Pre analytický popis uhlových kinematických charakteristík rotujúceho telesa spolu s osou otáčania sa používa koncept vektor uhla natočenia(obr. 2.19): φ = φ(/)A:, kde Komu- jesť
vektor osi otáčania
1; Komu=sop51 .
Vektor f je nasmerovaný pozdĺž tejto osi, takže ho možno vidieť z „konca“
rotácia proti smeru hodinových ručičiek.
Ryža. 2.19.
charakteristiky vo vektorovej forme
Ak je známy vektor φ(/), potom všetky ostatné uhlové charakteristiky rotačného pohybu môžu byť reprezentované vo vektorovej forme:
- vektor uhlovej rýchlosti co = f = f Komu. Smer vektora uhlovej rýchlosti určuje znamienko derivácie uhla natočenia;
- vektor uhlového zrýchlenia є = сo = Ф Komu. Smer tohto vektora určuje znamienko derivácie uhlovej rýchlosti.
Zavedené vektory с a є nám umožňujú získať vektorové vyjadrenia pre kinematické charakteristiky bodov (pozri obr. 2.19).
Všimnite si, že modul vektora rýchlosti bodu sa zhoduje s modulom vektorového súčinu vektora uhlovej rýchlosti a vektora polomeru: |cox G= sogvіpa = odpadky. Ak vezmeme do úvahy smery vektorov с a r a pravidlo pre smer vektorového súčinu, môžeme napísať výraz pre vektor rýchlosti:
V= ko xg.
Podobne je ľahké to ukázať
- ? X
- - napr.Bіpa= єр = a t A
Sosor = co p = i.
(Navyše, vektory týchto kinematických charakteristík sa zhodujú v smere s príslušnými vektorovými produktmi.
Preto môžu byť vektory tangenciálneho a normálneho zrýchlenia reprezentované ako vektorové produkty:
- (2.28)
- (2.29)
a x = g X G
A= čo x V.
Uhol natočenia, uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie
Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi Hovorí sa tomu taký pohyb, pri ktorom dva body tela zostanú nehybné počas celej doby pohybu. V tomto prípade zostávajú nehybné aj všetky body tela umiestnené na priamke prechádzajúcej jeho pevnými bodmi. Táto linka je tzv os rotácie tela.
Ak A A IN- pevné body tela (obr. 15 ), potom je os rotácie osou Oz, ktorý môže mať akýkoľvek smer v priestore, nie nevyhnutne vertikálny. Smer jednej osi Oz je braný ako pozitívny.
Cez os otáčania nakreslíme pevnú rovinu Autor: a mobilné P, pripevnený k otočnému telesu. Nech sa v počiatočnom okamihu obe roviny zhodujú. Potom v určitom okamihu t polohu pohybujúcej sa roviny a samotného rotujúceho telesa možno určiť pomocou uhla medzi rovinami a zodpovedajúceho lineárneho uhla φ medzi priamkami umiestnenými v týchto rovinách a kolmými na os otáčania. Rohový φ volal uhol natočenia tela.
Poloha tela vzhľadom na zvolený referenčný systém je úplne určená v akomkoľvek
moment v čase, ak je daný rovnicou φ =f(t) (5)
Kde f(t)- akákoľvek dvakrát diferencovateľná funkcia času. Táto rovnica sa nazýva rovnica rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi.
Teleso rotujúce okolo pevnej osi má jeden stupeň voľnosti, pretože jeho poloha je určená zadaním iba jedného parametra - uhla φ .
Rohový φ sa považuje za kladný, ak je vynesený proti smeru hodinových ručičiek, a záporný v opačnom smere pri pohľade z kladného smeru osi Oz. Trajektórie bodov telesa pri jeho otáčaní okolo pevnej osi sú kružnice umiestnené v rovinách kolmých na os otáčania.
Aby sme charakterizovali rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi, zavedieme pojmy uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie. Algebraická uhlová rýchlosť telesa v ktoromkoľvek časovom okamihu sa nazýva prvá derivácia vzhľadom na čas uhla natočenia v tomto okamihu, t.j. dφ/dt = φ. Je to kladná veličina, keď sa teleso otáča proti smeru hodinových ručičiek, pretože uhol rotácie sa s časom zväčšuje, a záporná veličina, keď sa teleso otáča v smere hodinových ručičiek, pretože uhol rotácie sa zmenšuje.
Modul uhlovej rýchlosti je označený ω. Potom ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)
Rozmer uhlovej rýchlosti je nastavený v súlade s (6)
[ω] = uhol/čas = rad/s = s -1.
V strojárstve je uhlová rýchlosť rýchlosť otáčania vyjadrená v otáčkach za minútu. Za 1 minútu sa telo otočí o určitý uhol 2πп, Ak P- počet otáčok za minútu. Vydelením tohto uhla počtom sekúnd za minútu dostaneme: (7)
Algebraické uhlové zrýchlenie telesa sa nazýva prvá derivácia vzhľadom na čas algebraickej rýchlosti, t.j. druhá derivácia uhla natočenia d2φ/dt2 = ω. Označme modul uhlového zrýchlenia ε , Potom ε=|φ| (8)
Veľkosť uhlového zrýchlenia sa získa z (8):
[ε ] = uhlová rýchlosť/čas = rad/s 2 = s -2
Ak φ’’>0 pri φ’>0 , potom sa algebraická uhlová rýchlosť s časom zvyšuje, a preto sa teleso otáča zrýchlene v danom čase v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek). O φ’’<0 A φ’<0 telo sa rýchlo otáča v negatívnom smere. Ak φ’’<0 pri φ’>0 , potom máme pomalú rotáciu v kladnom smere. O φ’’>0 A φ’<0 , t.j. pomalé otáčanie sa vyskytuje v negatívnom smere. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie na obrázkoch sú znázornené oblúkovými šípkami okolo osi otáčania. Oblúková šípka pre uhlovú rýchlosť označuje smer otáčania telies;
Pre zrýchlené otáčanie majú oblúkové šípky pre uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie rovnaké smery pre pomalé otáčanie, ich smery sú opačné.
Špeciálne prípady rotácie tuhého telesa
Rotácia je vraj rovnomerná, ak ω=konšt., φ= φ’t
Rotácia bude rovnomerná, ak ε=konšt. φ’= φ’ 0 + φ’’t a
Vo všeobecnosti, ak φ’’ nie vždy,
Rýchlosti a zrýchlenia bodov tela
Známa je rovnica pre rotáciu tuhého telesa okolo pevnej osi φ= f(t)(obr. 16). Vzdialenosť s bodov M v pohybujúcej sa rovine P pozdĺž kruhového oblúka (bodová trajektória), meraná od bodu M o, umiestnené v pevnej rovine, vyjadrené cez uhol φ závislosť s=hφ, Kde h-polomer kružnice, po ktorej sa bod pohybuje. Je to najkratšia vzdialenosť od bodu M k osi otáčania. Toto sa niekedy nazýva polomer otáčania bodu. V každom bode telesa zostáva polomer otáčania nezmenený, keď sa teleso otáča okolo pevnej osi.
Algebraická rýchlosť bodu M určený vzorcom v τ =s’=hφ Modul bodovej rýchlosti: v = hω(9)
Rýchlosti bodov tela pri otáčaní okolo pevnej osi sú úmerné ich najkratšej vzdialenosti od tejto osi. Koeficient úmernosti je uhlová rýchlosť. Rýchlosti bodov smerujú pozdĺž dotyčníc k trajektóriám, a preto sú kolmé na polomery otáčania. Rýchlosti bodov tela umiestnených na priamke OM, v súlade s (9) sú rozdelené podľa lineárneho zákona. Sú navzájom rovnobežné a ich konce sú umiestnené na rovnakej priamke prechádzajúcej osou otáčania. Zrýchlenie bodu rozložíme na tangenciálnu a normálovú zložku, t.j. a=a τ +a nτ Tangenciálne a normálové zrýchlenia sa vypočítajú pomocou vzorcov (10)
keďže pre kruh je polomer zakrivenia p = h(Obr. 17 ). teda
Dotykové, normálové a celkové zrýchlenia bodov, ako aj rýchlosti, sú tiež rozdelené podľa lineárneho zákona. Závisia lineárne od vzdialenosti bodov od osi rotácie. Normálne zrýchlenie smeruje pozdĺž polomeru kruhu k osi otáčania. Smer tangenciálneho zrýchlenia závisí od znamienka algebraického uhlového zrýchlenia. O φ’>0
A φ’’>0
alebo φ’<0
A φ’<0
máme zrýchlenú rotáciu telesa a smery vektorov a τ A v zladiť sa. Ak φ’
A φ’"
majú rôzne znaky (pomalá rotácia), potom a τ A v nasmerované oproti sebe.
Po určení α uhol medzi celkovým zrýchlením bodu a jeho polomerom otáčania máme
tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)
od normálneho zrýchlenia a p vždy pozitívny. Rohový A rovnaké pre všetky body tela. Malo by sa odložiť zo zrýchlenia na polomer otáčania v smere oblúkovej šípky uhlového zrýchlenia, bez ohľadu na smer otáčania tuhého telesa.
Vektory uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia
Predstavme si pojmy vektorov uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia telesa. Ak TO je jednotkový vektor osi otáčania nasmerovaný v jej kladnom smere, potom vektory uhlovej rýchlosti ώ a uhlové zrýchlenie ε určené výrazmi (12)
Pretože k je vektorová konštanta vo veľkosti a smere, potom z (12) vyplýva, že
ε=dώ/dt(13)
O φ’>0 A φ’’>0 vektorové smery ώ A ε zladiť sa. Obidve sú nasmerované na kladnú stranu osi otáčania Oz(obr. 18.a)Ak φ’>0 A φ’’<0 , potom sú nasmerované v opačných smeroch (obr. 18.b ). Vektor uhlového zrýchlenia sa pri zrýchlenej rotácii zhoduje v smere s vektorom uhlovej rýchlosti a pri pomalej rotácii je oproti nemu opačný. vektory ώ A ε môže byť znázornené v ktoromkoľvek bode osi otáčania. Sú to pohyblivé vektory. Táto vlastnosť vyplýva z vektorových vzorcov pre rýchlosti a zrýchlenia bodov telesa.
Komplexný pohyb bodu
Základné pojmy
Na štúdium niektorých zložitejších typov pohybu tuhého telesa je vhodné zvážiť najjednoduchší zložitý pohyb bodu. V mnohých problémoch sa pohyb bodu musí posudzovať vo vzťahu k dvom (alebo viacerým) referenčným systémom, ktoré sa navzájom pohybujú. Pohyb kozmickej lode pohybujúcej sa smerom k Mesiacu sa teda musí posudzovať súčasne vo vzťahu k Zemi aj vo vzťahu k Mesiacu, ktorý sa pohybuje vzhľadom na Zem. Akýkoľvek pohyb bodu možno považovať za zložitý, pozostávajúci z niekoľkých pohybov. Napríklad pohyb lode pozdĺž rieky vzhľadom na Zem možno považovať za zložitý, pozostávajúci z pohybu pozdĺž vody a spolu s tečúcou vodou.
V najjednoduchšom prípade sa zložitý pohyb bodu skladá z relatívnych a translačných pohybov. Poďme definovať tieto pohyby. Majme dva referenčné systémy, ktoré sa navzájom pohybujú. Ak jeden z týchto systémov O l x 1 y 1 z 1(Obr. 19 ) braný ako hlavný alebo stacionárny (jeho pohyb voči iným referenčným systémom sa neuvažuje), potom druhý referenčný systém Oxyz sa bude pohybovať v porovnaní s prvým. Pohyb bodu vzhľadom na pohybujúci sa referenčný rámec Oxyz volal príbuzný. Charakteristiky tohto pohybu, ako je trajektória, rýchlosť a zrýchlenie, sa nazývajú príbuzný. Sú označené indexom r; pre rýchlosť a zrýchlenie v r , a r . Pohyb bodu vo vzťahu k hlavnému alebo pevnému referenčnému systému systému O 1 x 1 y 1 z 1 volal absolútne(alebo komplexne ). Tiež sa niekedy nazýva zložený pohyb. Dráha, rýchlosť a zrýchlenie tohto pohybu sa nazývajú absolútne. Rýchlosť a zrýchlenie absolútneho pohybu sú označené písmenami v, ažiadne indexy.
 |
Prenosný pohyb bodu je pohyb, ktorý vykonáva spolu s pohyblivým referenčným rámcom, ako bod pevne spojený s týmto systémom v uvažovanom čase. V dôsledku relatívneho pohybu sa pohybujúci sa bod v rôznych časoch zhoduje s rôznymi bodmi tela S, ku ktorému je pripojený pohyblivý referenčný systém. Prenosná rýchlosť a prenosné zrýchlenie sú rýchlosťou a zrýchlením daného bodu tela S, s ktorým sa momentálne pohybujúci bod zhoduje. Prenosná rýchlosť a zrýchlenie označujú v e, a e.
Ak trajektórie všetkých bodov telesa S, pripojený k pohyblivému referenčnému systému, znázornenému na obrázku (obr. 20), potom získame rodinu čiar - rodinu trajektórií prenosného pohybu bodu M. V dôsledku relatívneho pohybu bodu M v každom okamihu je na jednej z trajektórií prenosného pohybu. Bodka M sa môže zhodovať iba s jedným bodom na každej z trajektórií tejto rodiny transferových trajektórií. V tejto súvislosti sa niekedy verí, že neexistujú žiadne trajektórie prenosného pohybu, pretože je potrebné považovať čiary za trajektórie prenosného pohybu, pre ktoré je bodom trajektórie v skutočnosti iba jeden bod.
V kinematike bodu sa študoval pohyb bodu vzhľadom na akýkoľvek referenčný systém bez ohľadu na to, či sa tento referenčný systém pohybuje vzhľadom na iné systémy alebo nie. Doplňme túto štúdiu o komplexný pohyb, v najjednoduchšom prípade pozostávajúci z relatívneho a obrazového pohybu. Jeden a ten istý absolútny pohyb, ktorý si vyberá rôzne pohyblivé referenčné rámce, možno považovať za pozostávajúci z rôznych prenosných a podľa toho aj relatívnych pohybov.
Pridanie rýchlosti
Určme rýchlosť absolútneho pohybu bodu, ak sú známe rýchlosti relatívneho a prenosného pohybu tohto bodu. Nech bod vykoná len jeden, relatívny pohyb vzhľadom na pohybujúcu sa vzťažnú sústavu Oxyz a v okamihu t zaujme polohu M na trajektórii relatívneho pohybu (obr. 20). V čase t+t bude bod v dôsledku relatívneho pohybu v polohe M1, pričom sa posunul o MM1 pozdĺž trajektórie relatívneho pohybu. Predpokladajme, že ide o bod Oxyz a s relatívnou trajektóriou sa bude pohybovať po nejakej krivke ďalej MM 2. Ak sa bod zúčastňuje súčasne na relatívnom aj prenosnom pohybe, potom v čase A; presťahuje sa do MM" po dráhe absolútneho pohybu a v čase t+At zaujme pozíciu M". Ak čas O málo a potom ísť na limit pri o, smerujúce k nule, potom môžu byť malé posuny pozdĺž kriviek nahradené segmentmi tetiv a brané ako vektory posunu. Pridaním vektorových posunov dostaneme
V tomto ohľade sú malé množstvá vyššieho rádu vyradené, pričom majú tendenciu k nule o, sklon k nule. Prekračujeme limit, máme (14)
Preto (14) bude mať tvar (15)
Získame takzvanú rýchlostnú adičnú vetu: rýchlosť absolútneho pohybu bodu sa rovná vektorovému súčtu rýchlostí prenosného a relatívnych pohybov tohto bodu. Pretože vo všeobecnom prípade rýchlosti prenosného a relatívneho pohybu nie sú kolmé, potom (15')
Súvisiace informácie.
Ryža. 6.4
Taký pohyb telesa, v ktorom sú ľubovoľné dva jeho body (A A IN na obr. 6.4) zostávajú nehybné, nazývané rotácia okolo pevnej osi.
Dá sa ukázať, že v tomto prípade ktorýkoľvek bod tela ležiaci na priamke spájajúcej body zostáva nehybný Ach V.
Os prechádzajúca týmito bodmi je tzv os otáčania telá; jeho kladný smer sa volí ľubovoľne (obr. 6.4).
Akýkoľvek bod M teleso neležiace na osi rotácie opisuje kružnicu, ktorej stred sa nachádza na osi rotácie (obr. 6.4).
Poloha tela s pevnou osou otáčania z(Obr. 6.5) možno opísať len pomocou jedného skalárneho parametra - uhol natočenia (r. Toto je uhol medzi dvoma rovinami vedenými cez os otáčania: pevná rovina N a mobil - R, pevne spojené s telom (obr. 6.5). Referenčný smer uhla berieme ako kladný oproti pohybu v smere hodinových ručičiek pri pohľade od konca osi z.(označené oblúkovou šípkou na obr. 6.5). Jednotkou SI pre uhol je 1 radián « 57,3°. Funkčná závislosť uhla natočenia od času
úplne určuje rotačný pohyb telesa okolo pevnej osi. Preto sa rovnosť (6.3) nazýva rovnica rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi.
Rýchlosť otáčania telesa je charakterizovaná uhlovou rýchlosťou s teleso, ktoré je definované ako derivácia uhla natočenia vzhľadom na čas
a má rozmer rad/s (alebo s"").
Druhou kinematickou charakteristikou rotačného pohybu je uhlové zrýchlenie - derivácia uhlovej rýchlosti telesa:
Rozmer uhlového zrýchlenia je rad/s 2 (resp s~ 2).
Komentujte. Symboly s a? V tejto prednášky sú určené algebraické hodnoty uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia. Ich znaky označujú smer otáčania a jeho charakter (zrýchlený alebo spomalený). Napríklad ak s = f> 0, potom uhol (R sa časom zvyšuje, a preto sa teleso otáča v referenčnom smere (R.
Rýchlosť a zrýchlenie každého bodu rotujúceho telesa možno ľahko dať do súvisu s jeho uhlovou rýchlosťou a uhlovým zrýchlením. Zvážte pohyb ľubovoľného bodu M telies (obr. 6.6).
Keďže jeho trajektóriou je kružnica, potom oblúková súradnica.9 bodu M po otočení tela cez uhol bude
Kde h- vzdialenosť od bodu M k osi otáčania (obr. 6.6).
Ak odlíšime obe strany tejto rovnosti vzhľadom na čas, dostaneme, berúc do úvahy (5.14) a (6.4):
kde g g je priemet rýchlosti bodu na dotyčnicu g, smerujúcu k referenčnému bodu oblúka.v a uhla
Veľkosť normálového zrýchlenia bodu M podľa (5.20) a (6.6) bude
a priemet jeho tangenciálneho zrýchlenia na dotyčnicu r podľa (5.19) a (6.5)
Modul plného bodového zrýchlenia M
Smery vektorov v, a, a„, a, pre prípad, keď f> 0 a f > 0 sú znázornené na obr. 6.7.
Príklad 1. Prevodový mechanizmus pozostáva z kolies / a 2, ktoré sú spojené v bode TO aby pri ich otáčaní nedochádzalo k vzájomnému sklzu. Rovnica otáčania kolesa 1:
referenčný smer kladného uhla (R označené oblúkovou šípkou na obr. 6.8.
Rozmery mechanizmu sú známe: G= 4 cm, R2= 6 cm, g2 = 2 cm.
Nájdite rýchlosť a zrýchlenie bodu M kolesá 2 pre časový okamih /| = 2 s.
Riešenie. Keď sa mechanizmus kolesa pohybuje 1 a 2 sa otáčajú okolo pevných osí prechádzajúcich bodmi 0 A 0 2 kolmo na rovinu obr. 6.8. Zistenie uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia kolesa ja v čase / = 2 s, s použitím vyššie uvedených definícií (6.4) a (6.5) týchto veličín:
Ich negatívne znaky naznačujú, že v čase t- 2 s koliesko / sa otáča v smere hodinových ručičiek (oproti smeru odčítania uhla (R) a toto otáčanie sa zrýchli. Kvôli absencii vzájomného preklzu kolies ja a 2 rýchlostné vektory ich bodov v bode dotyku TO musia byť rovnaké. Vyjadrime veľkosť tejto rýchlosti pomocou uhlových rýchlostí kolies pomocou (6.6):
Z poslednej rovnosti vyjadríme modul uhlovej rýchlosti kolesa 2 a zistíme jeho hodnotu pre zadaný časový okamih 6 = 2 s:
Smer rýchlosti Komu(obr. 6.9) znamená, že koleso 2 sa otáča proti smeru hodinových ručičiek, a preto oh> 0. Z (6.10) a poslednej nerovnosti je zrejmé, že uhlové rýchlosti kolies sa líšia konštantným záporným faktorom (- g1g 2): s 2 = g (/g2). Ale potom sa deriváty týchto rýchlostí - uhlové zrýchlenia kolies - musia líšiť o rovnaký faktor: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~2.
Zistenie rýchlosti a zrýchlenia bodu M stupňovité koleso 2 pomocou vzorcov (6.6) - (6.9):
Smery vektorov v a, a, a d/ sú znázornené na obr. 6.9.
