Publicitate pe portal

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmului natural. Ecuație logaritmică: formule și tehnici de bază. Logaritmul ambelor părți ale ecuației

Ecuații și inegalități logaritmiceîn variantele USE în matematică este dedicată sarcina C3 . Fiecare student ar trebui să învețe cum să rezolve sarcinile C3 de la examenul de stat unificat la matematică dacă dorește să promoveze examenul viitor ca „bun” sau „excelent”. Acest articol oferă o scurtă prezentare generală a ecuațiilor și inegalităților logaritmice întâlnite frecvent, precum și a principalelor metode de rezolvare a acestora.

Deci, să aruncăm o privire la câteva exemple astăzi. ecuații și inegalități logaritmice, care au fost oferite elevilor în variantele USE la matematică din anii trecuți. Dar începe cu rezumat principalele puncte teoretice de care avem nevoie pentru a le rezolva.

funcţie logaritmică

Definiție

Funcția de vizualizare

0,\, a\ne 1 \]" title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

numit funcţie logaritmică.

Proprietăți de bază

Proprietățile de bază ale funcției logaritmice y= jurnal un x:

Graficul funcției logaritmice este curba logaritmică:


Proprietățile logaritmilor

Logaritmul produsului două numere pozitive este egală cu suma logaritmilor acestor numere:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Logaritmul coeficientului două numere pozitive este egală cu diferența logaritmilor acestor numere:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

În cazul în care un Ași b A≠ 1, apoi pentru orice număr r egalitate corectă:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Egalitate Buturuga A t= jurnal A s, Unde A > 0, A ≠ 1, t > 0, s> 0 este adevărat dacă și numai dacă t = s.

În cazul în care un A, b, c sunt numere pozitive și Ași c sunt diferite de unitate, atunci egalitatea ( formula de conversie la noua bază a logaritmului):

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Teorema 1.În cazul în care un f(X) > 0 și g(X) > 0, apoi logul ecuației logaritmice a f(X) = jurnal a g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice

Exemplul 1 Rezolvați ecuația:

Soluţie. Gama de valori acceptabile le include numai pe acelea X, pentru care expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât zero. Aceste valori sunt determinate de următorul sistem de inegalități:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Ținând cont de faptul că

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

obținem un interval care determină aria valorilor admisibile ale acestei ecuații logaritmice:

Pe baza teoremei 1, ale cărei toate condițiile sunt îndeplinite aici, trecem la următoarea ecuație pătratică echivalentă:

Doar prima rădăcină este inclusă în intervalul de valori acceptabile.

Răspuns: x=7.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația:

Soluţie. Gama de valori admisibile ale ecuației este determinată de sistemul de inegalități:

ql-right-eqno">

Soluţie. Gama de valori admisibile ale ecuației este ușor de definit aici: X > 0.

Folosim substituția:

Ecuația ia forma:

Inlocuire spate:

Ambii raspuns introduceți intervalul de valori admisibile ale ecuației, deoarece sunt numere pozitive.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să începem din nou soluția prin determinarea intervalului de valori admisibile ale ecuației. Este definit de următorul sistem de inegalități:

ql-right-eqno">

Bazele logaritmilor sunt aceleași, așa că în intervalul de valori valide, puteți merge la următoarea ecuație pătratică:

Prima rădăcină nu este inclusă în intervalul de valori admisibile ale ecuației, a doua este inclusă.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația:

Soluţie. Vom căuta soluții în interval X > 0, X≠1. Să transformăm ecuația într-una echivalentă:

Ambii raspuns sunt în intervalul valorilor admisibile ale ecuației.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația:

Soluţie. Sistemul de inegalități care definește intervalul de valori admisibile ale ecuației, de data aceasta are forma:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Folosind proprietățile logaritmului, transformăm ecuația într-o ecuație echivalentă în intervalul de valori permise:

Folosind formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului, obținem:

Doar unul se află în intervalul permis. Răspuns: X = 4.

Să trecem la inegalități logaritmice . Exact cu asta vei avea de-a face la examenul de matematică. Pentru a rezolva alte exemple, avem nevoie de următoarea teoremă:

Teorema 2.În cazul în care un f(X) > 0 și g(X) > 0, atunci:
la A> 1 log inegalitate logaritmică a f(X) > log a g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X);
la 0< A < 1 логарифмическое неравенство log a f(X) > log a g(X) este echivalentă cu o inegalitate de sens opus: f(X) < g(X).

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie. Să începem prin a defini intervalul de valori acceptabile ale inegalității. Expresia sub semnul funcției logaritmice trebuie să ia numai valori pozitive. Aceasta înseamnă că intervalul dorit de valori acceptabile este determinat de următorul sistem de inegalități:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Deoarece baza logaritmului este un număr mai mic decât unu, funcția logaritmică corespunzătoare va fi în scădere și, prin urmare, conform teoremei 2, trecerea la următoarea inegalitate pătratică va fi echivalentă:

În final, ținând cont de intervalul de valori admisibile, obținem Răspuns:

Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie. Să începem din nou prin a defini intervalul de valori acceptabile:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Pe setul de valori admisibile ale inegalității, efectuăm transformări echivalente:

După reducerea și trecerea la o inegalitate echivalentă prin teorema 2, obținem:

Ținând cont de intervalul de valori admisibile, obținem finalul Răspuns:

Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea logaritmică:

Soluţie. Gama valorilor acceptabile ale inegalității este determinată de următorul sistem:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Se poate observa că în regiunea valorilor admisibile, expresia de la baza logaritmului este întotdeauna mai mare decât unu și, prin urmare, conform teoremei 2, trecerea la următoarea inegalitate va fi echivalentă:

Ținând cont de intervalul de valori acceptabile, obținem răspunsul final:

Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie.

Zona valorilor acceptabile ale inegalității este determinată de sistemul de inegalități:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

eu drumul. Să folosim formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului și să trecem la o inegalitate care este echivalentă în regiunea valorilor admisibile.

Cu acest videoclip, încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple deodată, pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cel mai mult sarcini simple, care se numesc protozoare.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f(x) = b

Este important ca variabila x să fie prezentă numai în interiorul argumentului, adică numai în funcția f(x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de bază de rezolvare

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală sugerează astfel: Exprimați imediat funcția f ( x ) folosind formula f( x) = a b . Adică, atunci când întâlniți cea mai simplă construcție, puteți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia se va dovedi a fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților nu inteleg, de unde vine și de ce exact ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, observ adesea erori foarte ofensatoare, când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie memorată, iar a doua metodă duce la erori în momentele cele mai inoportune și cruciale: la examene, teste etc.

De aceea, le sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la sarcina noastră: în stânga avem log a , în timp ce litera a înseamnă exact numărul și în niciun caz funcția care conține variabila x. Prin urmare, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație, vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu se impun restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm în baza a de la a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz, apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Și acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem factorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca rezultat, ecuația originală va fi rescrisă în următoarea formă:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta e tot. Noua funcție nu mai conține un logaritm și este rezolvată prin tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile, dacă a fost posibil să se treacă imediat de la construcția inițială la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar o astfel de secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde provine acea formulă finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f(x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să ne uităm la exemple reale. Deci haideți să decidem:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Și într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a nu face greșeli jignitoare. Deci avem forma canonică. Avem:

3x - 1 = 0,5 -3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci una liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne ocupăm mai întâi de numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertiți toate zecimale în fracții atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Toți am primit răspunsul. Prima sarcină este rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum puteți vedea, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că diferența este pe stânga și nu un singur logaritm într-o bază.

Prin urmare, trebuie să scapi cumva de această diferență. În acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o notație simplifică și accelerează foarte mult calculele. Hai sa o scriem asa:

Acum ne amintim proprietatea remarcabilă a logaritmului: din argument, precum și din bază, puteți scoate grade. În cazul bazelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care a stat în gradul bazei este adus înainte și în același timp răsturnat, adică devine reciproca numărului. În cazul nostru, a existat un grad de bază cu un indicator de 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Gândiți-vă la matematica de clasele 4-5 și la ordinea operațiilor: mai întâi se efectuează înmulțirea și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Asta e tot. A doua problemă este rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Amintiți-vă următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz scriind lg b , atunci când faceți toate calculele, puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimal în același mod ca și cu alții: scoateți puteri, adăugați și reprezentați orice număr ca lg 10.

Tocmai aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

Pentru început, rețineți că factorul 2 înainte de lg 5 poate fi inserat și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 poate fi reprezentat și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările primite:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

În fața noastră este din nou forma canonică și am obținut-o ocolind etapa transformărilor, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri cu noi.

Despre asta vorbeam chiar la începutul lecției. Forma canonică permite rezolvarea unei clase mai largi de probleme decât formula școlară standard, care este dată de majoritatea profesorilor de școală.

Asta e tot, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Toate! Problema rezolvata.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă despre domeniul definiției. Cu siguranță acum există elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, este imperativ să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, apare o întrebare logică: de ce în niciuna dintre problemele luate în considerare nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută?

Nu vă faceți griji. Nu vor apărea rădăcini suplimentare în aceste cazuri. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un loc (sau mai bine zis, în singurul și singurul argument al singurului și singurul logaritm), și nicăieri altundeva în cazul nostru variabila x, atunci scrieți domeniul nu este nevoie deoarece va rula automat.

Judecă singur: în prima ecuație, am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes, putem scrie că în al doilea caz, x trebuie să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva probleme simple. Doar această regulă, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați o lecție video. Deci, descărcați opțiunile chiar acum pentru decizie independentă, care sunt atașate acestui tutorial video și încep să rezolve cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua doar câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare în comparație cu dacă tocmai ați viziona acest tutorial video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Aplicați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de nicio sarcină. Și asta e tot ce am pentru azi.

Considerarea domeniului de aplicare

Acum să vorbim despre domeniul funcției logaritmice, precum și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f(x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - are o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt o funcție care depinde de variabila x. Se rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului și, atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Aceasta este deja o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece funcția f ( x ) din expresia originală se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această restricție este valabilă deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate din cauza acestei limitări, ar trebui să introduceți o verificare pentru răspunsuri? Poate că trebuie înlocuite în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice, o verificare suplimentară nu este necesară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f(x) = a b

Faptul este că, în orice caz, numărul a este mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de gradul în care creștem un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este îndeplinită automat.

Ceea ce merită cu adevărat verificat este domeniul de aplicare al funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe, iar în procesul de rezolvare a acestora trebuie neapărat să le urmați. Sa vedem.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația obișnuită irațională:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, prin condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero” este automat împlinit.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Punem la patrat ambele părți, ținând cont de restricții și obținem:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminant:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru este x = −1. Asta e toată soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Concluzia principală din această lecție este că nu este necesară verificarea limitelor pentru o funcție în cele mai simple ecuații logaritmice. Pentru că în procesul de rezolvare toate constrângerile sunt executate automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile limitări și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să analizăm încă două trucuri destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm mai multe structuri complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple sarcini:

log a f(x) = b

În această notație, a și b sunt doar numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru aceasta, notăm că

b = log a a b

Și a b este doar un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f(x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât atât în ​​stânga cât și în dreapta să existe un logaritm la baza a. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să tăiem semnele de log, iar în ceea ce privește matematica, putem spune că echivalăm pur și simplu argumentele:

f(x) = a b

Ca urmare, obținem o nouă expresie care se va rezolva mult mai ușor. Să aplicăm această regulă sarcinilor noastre de astăzi.

Deci primul design:

În primul rând, observ că în dreapta există o fracție, al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, merită să vă amintiți de proprietatea minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca un coeficient de doi logaritmi cu orice bază c. Desigur, 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are un caz special remarcabil când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție de forma:

Este această construcție pe care o observăm din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi scos din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este gradul bazei, este luat ca o fracție inversată. Să o luăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această intrare ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică, nu există un factor suplimentar în fața celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să punem fracția 1/4 în argument ca putere:

Acum echivalăm argumente ale căror baze sunt aceleași (și chiar avem aceleași baze) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Atenție: în problema inițială, variabila x apare doar într-un singur log și este în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu lg f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? I se poate părea unui student nepregătit că acesta este un fel de tablă, dar de fapt totul este rezolvat elementar.

Priviți cu atenție termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să ofere câteva indicii. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase gradele de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, care a fost puterea numărului b din argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă fie teamă de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie astfel:

Pentru el, toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile. În special, factorul din față poate fi introdus în puterea argumentului. Hai să scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd această acțiune, deoarece nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă transformați o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă în același mod ca reprezentarea oricărui număr sub formă de log.

Ne întoarcem la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să o punem în argumentul lg corect:

lg 8 = lg (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lui lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

Permiteți-mi să recapitulez punctele cheie ale acestei lecții.

Formula principală care este studiată în toate lecțiile de pe această pagină dedicate rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu te lăsa descurajat de faptul că majoritatea manualelor școlare te învață cum să rezolvi altfel aceste tipuri de probleme. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice, va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:

  1. Formula de mutare la o singură bază și un caz special când răsturnăm jurnalul (acesta ne-a fost foarte util în prima sarcină);
  2. Formula pentru introducerea și scoaterea puterilor de sub semnul logaritmului. Aici, mulți studenți rămân blocați și nu văd direct că puterea scoasă și adusă poate conține ea însăși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul altuia și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de aplicare în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log și, în același timp, este în argumentul său. În consecință, toate cerințele de domeniu sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi vom lua în considerare ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii care se bazează nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

Pentru început, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, care se bazează pe numere obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f(x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme, putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Rescriem expresia noastră originală și obținem:

log a f(x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f(x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute în soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, înregistrarea, când atât stânga cât și dreapta sunt pe același logaritm cu aceeași bază, se numește forma canonică. Tocmai la acest record vom încerca să reducem construcțiile de astăzi. Deci să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este, de fapt, numărul b , care se afla în dreapta semnului egal. Deci, să ne rescriem expresia. Primim:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu fim mai înțelepți și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza nu trebuie să fie numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi foarte simplificat.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci se va îndeplini automat și cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține o funcție pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru va fi redus la trei.

Desigur, am putea la fel de bine să tăiem inegalitatea liniară, adică să tăiem x - 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 - 13x + 18 > 0. Dar trebuie să recunoști că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă și mai ușoară, decât pătratică, chiar dacă în urma rezolvării întregului sistem obținem aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să ne rescriem sistemul:

Iată un astfel de sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, le-am dat seama deja. Să scriem separat ecuația pătratică și să o rezolvăm:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

În fața noastră este un trinom pătrat redus și, prin urmare, putem folosi formulele Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Acum, revenind la sistemul nostru, aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere să avem x strict mai mare decât 2.

Dar x \u003d 5 ni se potrivește destul de bine: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție pentru acest sistem va fi x \u003d 5.

Totul, sarcina este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Aici așteptăm calcule mai interesante și semnificative:

Primul pas: ca și ultima dată, aducem toată această afacere într-o formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Baza cu rădăcina nu poate fi atinsă, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai să scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este trinomul pătrat din nou redus, vom folosi formulele Vieta și vom scrie:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar trebui să notăm sistemul, dar din cauza greutății întregii construcții, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul definiției.

Observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că arată mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluțiile celei de-a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar cu rădăcina gradului al treilea - aceste inegalități sunt complet asemănătoare, așa că pe unul dintre ele îl putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate, acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radicalului din stânga, pentru care ridicăm ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

−2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = -3 sau x 2 = -1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (pentru că inegalitatea noastră este strictă). În total, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

  1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de înregistrare, și nu trec direct de la problema inițială la o construcție precum log a f ( x ) = b , greșesc mult mai puține decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
  2. De îndată ce o bază variabilă apare în logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, atunci când se rezolvă, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nici nu trebuie să fie egale cu 1.

Ultimele cerințe le puteți impune răspunsurilor finale în diferite moduri. De exemplu, este posibil să se rezolve un întreg sistem care conține toate cerințele de domeniu. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți despre domeniul definiției, să o rezolvați separat sub forma unui sistem și să o aplicați la rădăcinile obținute.

Ce modalitate de a alege atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” în baza sa „a” este considerat puterea lui „c” , la care trebuie ridicată baza „a”, pentru ca în final să capete valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

  1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
  2. Decimală a, unde baza este 10.
  3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să luați o rădăcină pară din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

  • baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
  • dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se dovedește că în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

  1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
  2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
  3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovadă.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, totuși, anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Simplificați lung expresii logaritmice Puteți, dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

  1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

  • Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
  • Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Pregătirea pentru proba finală la matematică include o secțiune importantă - „Logaritmi”. Sarcinile din acest subiect sunt incluse în mod necesar în examen. Experiența anilor trecuți arată că ecuațiile logaritmice au cauzat dificultăți pentru mulți școlari. Prin urmare, elevii cu diferite niveluri de pregătire ar trebui să înțeleagă cum să găsească răspunsul corect și să le facă față rapid.

Treceți cu succes testul de certificare cu ajutorul portalului educațional „Shkolkovo”!

În pregătirea pentru unificat examen de stat absolvenții de liceu au nevoie de o sursă de încredere care să ofere cele mai complete și corecte informații pentru rezolvarea cu succes a problemelor de testare. Cu toate acestea, manualul nu este întotdeauna la îndemână, iar căutarea regulilor și formulelor necesare pe Internet necesită adesea timp.

Portalul educațional „Shkolkovo” vă permite să vă pregătiți pentru examen oriunde și oricând. Site-ul nostru oferă cea mai convenabilă abordare pentru repetarea și stăpânirea unei cantități mari de informații despre logaritmi, precum și despre una și mai multe necunoscute. Începeți cu ecuații simple. Dacă le-ai făcut față fără dificultate, treci la altele mai dificile. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea unei anumite inegalități, o puteți adăuga la Favorite, astfel încât să reveniți la ea mai târziu.

Puteți găsi formulele necesare pentru a finaliza sarcina, repeta cazuri speciale și metode pentru calcularea rădăcinii unei ecuații logaritmice standard, uitându-vă la secțiunea „Referință teoretică”. Profesorii de la „Șkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat toate materialele necesare pentru livrarea cu succes în cea mai simplă și mai înțeleasă formă.

Pentru a face față cu ușurință sarcinilor de orice complexitate, pe portalul nostru vă puteți familiariza cu soluția unor ecuații logaritmice tipice. Pentru a face acest lucru, accesați secțiunea „Cataloguri”. Am prezentat un număr mare de exemple, inclusiv cele cu ecuații ale nivelului de profil al Examenului Unificat de Stat la matematică.

Elevii din școlile din toată Rusia pot folosi portalul nostru. Pentru a începe, trebuie doar să vă înregistrați în sistem și să începeți să rezolvați ecuații. Pentru a consolida rezultatele, vă sfătuim să reveniți zilnic pe site-ul Shkolkovo.

Înainte de a rezolva ecuațiile logaritmice, să repetăm ​​definiția logaritmului și a formulelor de bază.

Logaritm număr pozitiv b prin rațiune A este un indicator al gradului în care este necesar să se ridice A, A obtine b.

În acest caz, class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Să acordăm atenție zonei valorilor admisibile ale logaritmului:

class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Identitatea logaritmică de bază:

Formule de bază pentru logaritmi:

(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)

(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)
(Formula pentru logaritmul gradului)

Formula pentru trecerea la o nouă bază este:

Știm cum arată graficul unei funcții logaritmice. Această funcție este monotonă. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton. Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. Și, în orice caz, ia fiecare valoare o singură dată. Aceasta înseamnă că, dacă logaritmii a două numere sunt egali în orice bază, atunci numerele în sine sunt egale.

Toate acestea ne vor fi utile în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Cele mai simple ecuații logaritmice

1. Rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt egale, logaritmii înșiși sunt de asemenea egali, ceea ce înseamnă că numerele din care sunt luate sunt și ele egale.
De obicei, elevii memorează această regulă într-o formulare scurtă din jargon: „Să renunțăm la logaritmii!” Desigur, le „renunțăm” nu doar așa, ci folosind proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice.

Primim:

Când rezolvați ecuații logaritmice, nu uitați de interval de toleranță logaritm. Rețineți că expresia este definită cu class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Este foarte bine dacă, după ce ați găsit rădăcina ecuației, doar o înlocuiți în ecuație. Dacă, după o astfel de înlocuire, partea stângă sau dreaptă a ecuației nu are sens, atunci numărul găsit nu este rădăcina ecuației și nu poate fi răspunsul la problemă. Aceasta este o modalitate bună de a testa pentru examen.

2. Rezolvați ecuația:

În partea stângă a ecuației - logaritmul, în dreapta - numărul 7. Aplicând identitatea logaritmică de bază, reprezentăm numărul 7 în formă. Atunci totul este simplu.

Răspuns: -124

3. Rezolvați ecuația:

Vedeți numărul 2 în fața logaritmului din partea dreaptă a ecuației? Acum vă împiedică să „scăpați logaritmii”. Ce pot face cu el, astfel încât părțile din stânga și din dreapta să fie doar logaritmi pentru baza 5? Desigur, formula pentru logaritmul gradului va ajuta.

4. Rezolvați ecuația:

Interval valid: class="tex" alt="(!LANG:4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}

Să reprezentăm 2 în partea dreaptă a ecuației ca - astfel încât părțile stânga și dreaptă ale ecuației să fie logaritmi la baza 5.

Funcția crește monoton și ia fiecare dintre valorile sale exact o dată. Logaritmii sunt egali, bazele lor sunt egale. Să renunțăm la logaritmi! Desigur, class="tex" alt="(!LANG:x> -4">.!}

5. Rezolvați ecuația:

Scriem soluția ca un lanț de tranziții echivalente. Notăm ODZ și „eliminăm” logaritmii:

Class="tex" alt="(!LANG:\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right) )\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ sfârşit(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrice) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrice)\ dreapta.\Leftrightarrow x=-4">!}
Răspuns: -4.

Rețineți că soluțiile ecuațiilor logaritmice sunt cel mai bine scrise ca un lanț de tranziții echivalente. Acest lucru ne va ajuta să nu uităm de intervalul de valori valide.

6. Rezolvați ecuația:.

Să trecem de la logaritmul de bază 4 (în exponent) la logaritmul de bază 2. Facem acest lucru folosind formula de conversie de bază:

Scriem soluția ca un lanț de tranziții echivalente.

Class="tex" alt="(!LANG:2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ begin(matrix) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.">!}

7. Rezolvați ecuația:.

Vă rugăm să rețineți: variabil X atât sub logaritm cât și la baza logaritmului. Ne amintim că baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu 1.

ODZ:
class="tex" alt="(!LANG:\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}

Acum puteți „elimina” logaritmii.

Rădăcină străină, deoarece class="tex" alt="(!LANG:x> 0">.!}

8. Rezolvați ecuația.

Ecuația ODZ: class="tex" alt="(!LANG:x> 0">!}

Să facem un înlocuitor. Ca și în ecuațiile algebrice, facem o schimbare de variabilă ori de câte ori este posibil.

Înapoi la variabilă X:

9. Rezolvați ecuația:

Expresia de sub logaritm este întotdeauna pozitivă - deoarece la o valoare nenegativă adăugăm 25. Expresia de sub rădăcina din partea dreaptă este de asemenea pozitivă. Mijloace, X poate fi orice număr real.

Reprezentăm suma logaritmilor din partea stângă ca logaritm al produsului. În partea dreaptă - să trecem la logaritmul la baza 3. Și folosiți formula pentru logaritmul gradului.

Aruncăm logaritmii.

O astfel de ecuație se numește biquadratică. Include expresii și . Să facem un înlocuitor

Înapoi la variabilă X. Primim:

Am găsit toate rădăcinile ecuației originale.

De asemenea, puteți întâlni ecuații logaritmice în sarcina numărul 5 examen de profil la matematică și la sarcina numărul 13. Și dacă în sarcina nr. 5 trebuie să rezolvați cea mai simplă ecuație, atunci în sarcina 13 soluția constă din două puncte. Al doilea punct este selectarea rădăcinilor pe un anumit segment sau interval.