Тоглоомууд

Монжийн нарийн төвөгтэй зураг. Монжийн арга, олон зургийн цэгийн проекц, олон зураг

Лекц

"Инженерийн график" сэдэв

Бүлэг. 1 Дүрслэх геометр

Эмхэтгэсэн: Шагвалеева.Г.Н.

Танилцуулга.

Дүрслэх геометрийг зургийн онол гэж бас нэрлэдэг. Дүрслэх геометрийн сэдэв нь хавтгай зураг дээр орон зайн дүрсийг дүрслэх аргууд, орон зайн геометрийн асуудлыг хавтгай зураг дээр шийдвэрлэх аргуудын танилцуулга, үндэслэл юм.Стереометр (гурван хэмжээст) объектуудыг эдгээр объектын планиметрийн (хоёр хэмжээст) дүрс, төсөөллийн тусламжтайгаар авч үздэг.

Тэд зурах нь технологийн хэл, дүрслэх геометр бол энэ хэлний дүрэм гэж хэлдэг. Дүрслэх геометр нь тодорхой инженерийн бүтээгдэхүүний бүрэн график загвар болох техникийн зургийг бүтээх онолын үндэс юм.

Дүрслэх геометрт заасан дүрсийг бүтээх дүрмийг үндэслэнэ проекцын арга.

Дүрслэх геометрийн судалгаа нь орон зайн дүрслэл, төсөөлөл, бүтээлч геометрийн сэтгэлгээг хөгжүүлэх, орон зайн хэлбэр, тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг шинжлэх, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. Төрөл бүрийн геометрийн орон зайн объектыг бүтээх арга барил, тэдгээрийн зургийг график загварын түвшинд олж авах арга, орон зайн объект, тэдгээрийн геометрийн шинж чанартай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг эзэмших.

Дүрслэх геометрийн шинжлэх ухааны үндэс суурийг Францын эрдэмтэн, инженер Гаспард Монж (1746-1818) Парис, 1795 онд "Дүрслэх геометр" бүтээлдээ тавьжээ. Гаспард Монж стереометрийн асуудлыг геометрийн байгууламжаар шийдвэрлэх ерөнхий аргыг өгсөн. хавтгай, өөрөөр хэлбэл зургийн хэрэгсэл ашиглан зураг дээр.

Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ.

A, B, C, D, -цэгүүдийг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэнэ;

a, b, c, d - мөрүүд - латин цагаан толгойн жижиг үсгээр;

p 1 - төсөөллийн хэвтээ хавтгай,

p 2 - төсөөллийн урд талын хавтгай,

p 3 - проекцын профилын хавтгай,

p 4, p 5, ... - нэмэлт проекцын хавтгай.

онгоцууд

Төслийн тэнхлэгүүд - Латин цагаан толгойн жижиг үсгээр: x, y, z. Координатын гарал үүсэл нь 0 тоо юм.

Цэг, шугам, хавтгайн төсөөллийг зааж өгсөн болно: p 1 дээр нэг цус харвалт, p 2 дээр хоёр, p 3 дээр - гурван цус харвалт.

p 1 - A I , B I , C I ,..., a I , b I , ... , a I , b I ,

p 2 - A II, B II, C II,..., a II, b II, ..., a II, b II,

p 3 - A III, B III, C III,..., a III, b III, ..., a III, b III.

Төсөөлөл үүсэх.

1 Төвийн төсөөлөл.

Проекцийн төв аппарат нь проекцын төв S, проекцын хавтгай π, проекцын цацрагуудаас бүрдэнэ.

π 1 - проекцын хавтгай

S - проекцын төв

A, B, C - орон зайн цэгүүд

A", B", C" - π" хавтгай дээрх цэгүүдийн проекц.

Проекц нь проекцын хавтгайтай проекцын цацрагийн огтлолцох цэг юм.

2. Зэрэгцээ проекц.

Төслийн цацрагууд нь S ба бие биентэйгээ зэрэгцээ явагддаг. Зэрэгцээ төсөөллийг ташуу ба тэгш өнцөгт гэж хуваана. Ташуу проекцтой бол цацрагууд нь проекцын хавтгайтай өнцөгт байрладаг.

Тэгш өнцөгт проекцын хувьд проекцын туяа нь проекцын хавтгайд перпендикуляр байна (Зураг 1.3). Тэгш өнцөгт проекц нь техникийн зургийг бүтээхэд ашигладаг проекцын гол арга юм.

Ортогональ проекцын үндсэн шинж чанарууд

1. Цэгийн төсөөлөл - цэг бий;

2. Шулуун шугамын төсөөлөл (ерөнхий тохиолдолд) - шулуун шугам эсвэл цэг байдаг (шулуун шугам нь проекцын хавтгайд перпендикуляр);

3. Хэрэв цэг нь шулуун дээр оршдог бол энэ цэгийн проекц нь шулуун шугамын проекцод хамаарах болно: А l ® A "l";

4. Орон зайн хоёр шулуун параллель байвал тэдгээрийн ижил нэртэй проекцууд нь мөн зэрэгцээ байна: a || b ® a` || b`;

5. Хэрэв хоёр шулуун аль нэг цэгт огтлолцож байвал тэдгээрийн ижил нэртэй проекцууд нь энэ цэгийн харгалзах проекцоор огтлолцоно: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";

6. Нэг шулуун эсвэл хоёр зэрэгцээ шугам дээр байрлах сегментүүдийн пропорциональ байдал нь тэдгээрийн төсөөлөлд хадгалагдана (Зураг 1.3): AB: CD \u003d A "B": C "D"

7. Хэрэв харилцан перпендикуляр хоёр шулууны аль нэг нь проекцын хавтгайтай параллель байвал зөв өнцгийг энэ хавтгайд тэгш өнцөгт тусгана (Зураг 1.4).

Цэгний нийлмэл зураг эсвэл Монжийн график.

Практикт дүрслэх геометрийн хамгийн түгээмэл аргыг Гаспард Монж санал болгосон. Энэ арга нь ортогональ дизайн дээр суурилдаг.

А цэгийн π 1 хавтгай дээрх ортогональ (эсвэл тэгш өнцөгт) проекцийг А цэгээс π 1 хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурь гэнэ (Зураг 1.5).

Энэ тохиолдолд π 1 хавтгай дээр олж авсан зураг нь эргэлт буцалтгүй, анхны А ба төсөөлөл А хоёрын хоорондох захидал харилцаа нь зөвхөн нэг чиглэлд өвөрмөц юм: эхээс төсөөлөл рүү. Эх хувь нь нэг төсөөлөл, анхны зурагтай тохирч байна. нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог боловч "А" проекцын хувьд түүнд тохирох тоо томшгүй олон эх хувь, тухайлбал, AA проекцын шугамын бүх цэгүүд байдаг. Зургийн хэлнээс байгалийн хэл рүү яг таг орчуулах боломжгүй. Тиймээс Монге танилцуулав. хоёр дахь проекцын хавтгай.

Цагаан будаа. 1.6. Зураг 1. 7.

Зураг дээр. 6. тэгш өнцөгт координатын системийг үзүүлэв.

Одоо π 1 ба π 2 хавтгайг тэдгээрт баригдсан проекцуудтай нэгтгэж, π 1-ийг X тэнхлэгийн эргэн тойронд 90 0 эргүүлснээр урд талын π 1 хавтгай нь доод талын π 2 хавтгайтай давхцах болно. нарийн төвөгтэй цэгийн зурагэсвэл Монж диаграм. (Зураг 1.7).

Эдгээр дүрмийн дагуу баригдсан проекцын хамааралд байрлах хос төсөөллөөс бүрдсэн зураг буцах боломжтой, өөрөөр хэлбэл эх болон зургийн хоорондох захидал харилцаа нь хоёр чиглэлд хоёрдмол утгагүй байна. Өөрөөр хэлбэл, зураг нь эхийн талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг өгдөг. Энэ мэдээллийг тайлах нь дүрслэх геометрийн сэдэв юм.

Цэгийн нарийн төвөгтэй зураглалаас бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

1. цэгийн хоёр проекц нь тухайн цэгийн орон зай дахь байрлалыг бүрэн тодорхойлох;

2. цэгийн проекцууд проекцын тэнхлэгт перпендикуляр холболтын шугам дээр үргэлж оршино.

Цэгүүдийн төсөөллийг холбосон шугамуудыг холбооны шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд хатуу нимгэн шугамаар дүрсэлсэн байдаг.

Хэд хэдэн бүтээн байгуулалт, асуудлыг шийдвэрлэхдээ системд π 1 (хэвтээ хавтгай) π 2 (урд талын хавтгай) болон бусад проекцын хавтгайг нэвтрүүлэх шаардлагатай болж байна. π 1 ба π 1 хоёуланд нь перпендикуляр хавтгай нь профилын хавтгай юм. π 3. Хэвтээ ба урд талын хавтгайн огтлолцох шугам нь X тэнхлэгийг, хэвтээ ба профилын хавтгайн огтлолцлын шугам нь Y тэнхлэгийг, урд ба профилын хавтгайн огтлолцох шугам нь Z тэнхлэгийг тусгана.(Зураг 1). 8)

Цэгийн нарийн төвөгтэй зургийг авахын тулд гурван хавтгайг нэг дор байрлуулах шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бид Y тэнхлэгийг "тайрч", гурван үндсэн проекцын хавтгайг нэг болгон нэгтгэдэг (Зураг 1. 9).

Гурав дахь төсөөлөл нь эхийн талаар ямар ч шинэ мэдээлэл нэмдэггүй. Энэ нь зөвхөн байгаа мэдээллийг илүү шингэцтэй болгодог. (Зураг 1.10)

А цэгээс орон зайд π 3 (A A "") хавтгай хүртэлх зайг зураг дээр харж болох бөгөөд энэ нь A "AY \u003d A" A Z \u003d A X 0 \u003d X зайтай тэнцүү байна.

А цэгээс орон зай дахь π 2 (A A") хавтгай хүртэлх зайг зураг дээр харж болох бөгөөд энэ нь A "AX \u003d A" "A Z \u003d A Y 0 \u003d Y" зайтай тэнцүү байна.

А цэгээс орон зай дахь π 1 (A A") хавтгай хүртэлх зайг зураг дээр харж болох бөгөөд энэ нь A "AX \u003d A" "A Y \u003d A Z 0 \u003d Z" зайтай тэнцүү байна.

Жишээ. A(10, 10,30), B(30,20,10) цэгүүдийн проекцийг бүтээх

Өрсөлдөх оноо.

Ижил нэртэй нэг хос төсөөлөл давхцаж байгаа (бусад нь давхцдаггүй) цэгүүдийг өрсөлдөх цэг гэж нэрлэдэг.

Цэгүүд нь урд талын проекцын хавтгайд перпендикуляр нэг проекц шулуун шугам дээр байрладаг. Харагдах чиглэлийг сумаар заана. Энэ тохиолдолд B" проекц нь ажиглагчид А"-аас илүү ойр байх ба π 2 дээр B"" проекц харагдах ба A"" проекц нь үл үзэгдэх болно (Зураг 1.12).

" гэсэн ойлголт илүү доогуур»

Цэгүүд нь хэвтээ проекцын хавтгайд перпендикуляр нэг проекц шулуун шугам дээр байрладаг. Харагдах чиглэлийг сумаар заана. Энэ тохиолдолд А "" проекц нь ажиглагчид B ""-ээс илүү ойр байх ба π 1 дээр А" проекц харагдах ба B" проекц нь үл үзэгдэх болно (Зураг 1.13).

Монге диаграмм буюу нийлмэл зураг гэдэг нь геометрийн дүрсийн хоёр ба түүнээс дээш хоорондоо холбогдсон ортогональ проекцуудаас бүрдсэн зураг юм.

Геометрийн дүрсүүдийн ортогональ проекцийг харуулахын тулд орон зайн зохион байгуулалтыг ашиглах нь том хэмжээтэй, мөн цаасан дээр шилжүүлэхэд тооцоолсон дүрсийн хэлбэр, хэмжээ нь H ба W дээр гаждаг тул тохиромжгүй байдаг. онгоцууд.
Тиймээс орон зайн байршлын зураг дээрх зургийн оронд Монж диаграммыг ашигласан болно.

Монге диаграммыг H ба W хавтгайг урд талын проекцын V хавтгайтай хослуулан орон зайн байршлыг өөрчлөх замаар олж авна.
- H хавтгайг V-тэй зэрэгцүүлэхийн тулд цагийн зүүний дагуу x тэнхлэгийг тойрон 90 градус эргүүлнэ. Зураг дээр, тодорхой болгохын тулд онгоц Хтэнхлэг байхад 90 градусаас бага зэрэг бага зэрэг өнцгөөр эргэлддэг y, хэвтээ проекцын хавтгайд хамаарах, эргэлтийн дараа тэнхлэгтэй давхцаж байна z;
- хэвтээ хавтгайг тэгшлэсний дараа тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ zмөн цагийн зүүний дагуу хөдөлгөөний эсрэг чиглэлд профилын хавтгайд 90 градусын өнцгөөр. Үүний зэрэгцээ тэнхлэг y, проекцын профилын хавтгайд хамаарах, эргүүлсний дараа тэнхлэгтэй давхцаж байна х.

Өөрчлөлтийн дараа орон зайн зохион байгуулалт нь зурагт үзүүлсэн хэлбэрийг авна. Энэ зураг нь мөн проекцын хавтгайн шалны харьцангуй байрлалын дарааллыг харуулсан тул бичлэг Внь Монге талбайн энэ хэсэгт (тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлээр хязгаарлагддаг) байгааг харуулж байна хболон z) урд талын проекцын хавтгайн зүүн дээд давхар нь бидэнд ойрхон байна В, түүний ард хэвтээ проекцын хавтгайн зүүн хойд давхар байна Х, дараа нь профиль онгоцны дээд арын давхарт В.

Онгоцууд нь хил хязгааргүй тул хосолсон байрлалд (диаграмм дээр) эдгээр хил хязгаарыг харуулаагүй тул проекцын хавтгайн шалны байрлалыг харуулсан бичээсийг үлдээх шаардлагагүй болно. Координатын тэнхлэгүүдийн сөрөг чиглэл хаана байгааг сануулах нь илүүц юм. Дараа нь орон зайн байршлын зургийг орлуулсан Монге диаграм нь эцсийн хэлбэрээр зурагт үзүүлсэн хэлбэрийг авна.

Монжийн схемийг дараахь байдлаар хийж болно.

- ердийн зургийн хэрэгсэл, бэхэлгээ:
Зурах хэрэгсэл;
Зурах хэрэгслүүд ба төхөөрөмж;
- Monge диаграммыг бүтээх (зурах) програмууд: График засварлагч дээр зураг зурах.

Monge диаграммын дизайны жишээ болгон бид ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах асуудлын шийдлийг санал болгож байна.

- асуудлын нөхцөлөөр мэдэгдэж буй зүйлийг хараар харуулсан;
- ногоон өнгөөр асуудлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг бүх бүтцийг харуулсан;
- хайсан даалгаврууд улаанаар харагдана.
Асуудлын нөхцлийн дагуу ABC(A`B`C`, A»B»...”) гурвалжны проекцуудыг өгсөн болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд дутуу C проекцийг олох шаардлагатай.

Монжийн арга, нийлмэл зураг.

Цэгийн төсөөлөл, нарийн төвөгтэй зураг.

Харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай.

Хоёр ба гурав дахь тэгш өнцөгт проекцын аргууд

Зөв бичгийн проекцын шинж чанарууд

Үндсэн ба өөрчлөгдөхгүй шинж чанарууд Ортогональ проекцын (инвариантууд) дараах байдалтай байна.

1) цэгийн төсөөлөл - цэг;

2) шулуун шугамын төсөөлөл - ерөнхий тохиолдолд шулуун шугам; хэрэв проекцын чиглэл нь шулуун шугамын чиглэлтэй давхцаж байвал сүүлчийн проекц нь цэг болно;

3) хэрэв цэг нь шулуунд хамаарах бол энэ цэгийн проекц нь шугамын проекцод хамаарна.

4) параллель шугамын төсөөлөл нь хоорондоо параллель;

5) шугамын хэсгүүдийн харьцаа нь тэдгээрийн төсөөллийн харьцаатай тэнцүү байна;

6) хоёр зэрэгцээ шугамын сегментүүдийн харьцаа нь тэдгээрийн төсөөллийн харьцаатай тэнцүү байна;

7) хоёр шугамын огтлолцлын цэгийн проекц нь эдгээр шугамын огтлолцлын цэг;

8) хэрэв шулуун эсвэл хавтгай дүрс нь проекцын хавтгайтай параллель байвал тэдгээрийг энэ хавтгайд гажуудалгүйгээр тусгана;

9) зөв өнцгийн дор хаяж нэг тал нь проекцын хавтгайтай параллель, хоёр дахь нь перпендикуляр биш бол зөв өнцгийг энэ хавтгайд тэгш өнцөгт тусгана.

Хэрэв проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгийн зайны талаархи мэдээллийг тоон тэмдэглэгээний тусламжтайгаар биш харин хоёр дахь проекцын хавтгай дээр барьсан цэгийн хоёр дахь проекцын тусламжтайгаар өгсөн бол зургийг гэнэ. хоёр зураг эсвэл цогц. Ийм зургийг бүтээх үндсэн зарчмуудыг тодорхойлсон болно Гаспард Монж - 18-р зууны сүүл ба 19-р зууны эхэн үеийн Францын томоохон геометр, 1789-1818. Парисын алдарт Политехникийн сургуулийг үүсгэн байгуулагчдын нэг, хэмжүүр, жингийн хэмжүүрийн системийг нэвтрүүлэх ажилд оролцогч.

Ийм дүрсийн аажмаар хуримтлагдсан тусдаа дүрэм, арга техникийг системд оруулж, Г.Монгийн "Геометрийн дүрслэл" бүтээлд боловсруулсан.

Монжийн хоёр перпендикуляр проекцын хавтгайд ортогональ проекц хийх арга нь техникийн зураг зурах үндсэн арга байсан бөгөөд хэвээр байна.

Г.Монгийн санал болгосон аргын дагуу бид огторгуй дахь харилцан перпендикуляр проекцын хоёр хавтгайг авч үздэг (Зураг 6). Проекцын хавтгайн нэг П 1 хэвтээ байрлалтай, хоёр дахь нь П 2 - босоо. П 1 - хэвтээ проекцын хавтгай, П 2 - урд талын. Онгоцууд нь хязгааргүй, тунгалаг байдаг.

Проекцийн хавтгай нь орон зайг дөрвөн хоёр өнцөгт - дөрөвний нэг болгон хуваадаг. Ортогональ проекцуудыг авч үзвэл ажиглагч эхний улиралд проекцын хавтгайнуудаас хязгааргүй хол зайд байна гэж үздэг.

Зураг 6. Хоёр проекцын хавтгайн орон зайн загвар

Проекцын хавтгайн огтлолцлын шугамыг ихэвчлэн координатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ х 21 . Эдгээр хавтгайнууд тунгалаг байдаг тул зөвхөн эхний улиралд байрлах геометрийн объектууд ажиглагчид харагдах болно. Заасан төсөөллөөс бүрдсэн хавтгай зургийг авахын тулд онгоц П 1 тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар нэгтгэнэ х 12 байртай П 2 (Зураг 6) Проекцын хавтгайнууд дээр харуулсан бүх зүйл хоорондоо тодорхой нэг байдлаар нийлсэн проекцын зургийг ерөнхийд нь нэрлэдэг. Монж диаграм(Францын Epure - зураг.) Эсвэл нарийн төвөгтэй зураг.

Монжийн арга, нийлмэл зураг. - үзэл баримтлал ба төрөл. "Монге арга, нийлмэл зураг" зэрэглэлийн ангилал, онцлог. 2017, 2018 он.

Бидний өмнө нь авч үзсэн геометрийн объектыг нэг хавтгайд төсөөлөх нь геометрийн объектын хэлбэрийн талаар бүрэн бөгөөд хоёрдмол утгагүй санаа өгдөггүй. Тиймээс дор хаяж хоёр харилцан перпендикуляр хавтгайн проекцийг авч үзье (Зураг 1.2), нэг нь хэвтээ, нөгөө нь босоо байрлалтай.

Тодорхой байгаа хэдий ч Зураг 1.2-т үзүүлсэн зурагтай ажиллах нь тохиромжгүй, учир нь түүн дээрх хэвтээ хавтгайг гажуудлаар харуулсан байна. Проекцын хавтгай нь нэг хавтгайд, тухайлбал зургийн хавтгайд байрладаг зураг дээр янз бүрийн барилга байгууламжийг гүйцэтгэх нь илүү тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд хэвтээ хавтгайг OX тэнхлэгийн эргэн тойронд 90 ° эргүүлж, урд талынх нь урд талынхтай хослуулах шаардлагатай бөгөөд ингэснээр хэвтээ хавтгайн урд шал доошоо бууж, арын хэсэг дээшээ гарна. Энэ аргыг Г.Монгэ санал болгосон.

Цагаан будаа. 1.2. Monge диаграммыг бүтээх:

a) А цэгийн төсөөллийн байршлын орон зайн зураг; б) А цэгийн проекцуудын байршлын хавтгай зураг.

Иймд ийм аргаар олж авсан зургийг (Зураг 1.2, б) Монжийн диаграмм буюу нийлмэл зураг гэнэ.

Ихэвчлэн хоёр төсөөлөл нь тухайн геометрийн объектын бүрэн дүр зургийг авахад хангалтгүй байдаг. Тиймээс эхний хоёр руу ортогональ гурав дахь проекцын хавтгайг нэвтрүүлэхийг санал болгож байна (Зураг 1. 3, а).

Цагаан будаа. 1.3. Гурван зургийн иж бүрэн зураг зурах (монж диаграм):

a) проекцын хавтгайн орон зайн загвар; б) гурван зургийн цогцолбор зураг.

Дараа нь онгоц P 1хэвтээ проекцын хавтгай гэж нэрлэдэг. P 2- төсөөллийн урд талын хавтгай (учир нь энэ нь урд талын дагуу бидний урд байрладаг), P 3- проекцын профилын хавтгай (ажиглагчтай харьцуулахад профайл дээр байрладаг). Тус тусад нь А 1- цэгийн хэвтээ проекц А, А 2- цэгийн урд талын проекц А, А 3- цэгийн проекц А.

тэнхлэгүүд Өө, Өө, ОЗпроекцын тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь декартын координатын системийн координатын тэнхлэгтэй төстэй бөгөөд цорын ганц ялгаа нь тэнхлэгээс ялгаатай. Өөбаруун тийшээ биш зүүн тийшээ эерэг чиглэлтэй. Одоо нэг хавтгайд (зургийн хавтгай) проекцийг авахын тулд проекцын профилын хавтгайг урд талынхтай давхцуулах шаардлагатай байна. Үүнийг хийхийн тулд тэнхлэгийг тойрон 90 ° эргүүлэх ёстой унц, мөн онгоцны урд талыг баруун тийш, ар талыг зүүн тийш эргүүлнэ. Үүний үр дүнд бид 3-р зурагт үзүүлсэн гурван зургийн иж бүрэн зургийг (monge plots) авдаг. 1.3, б. Тэнхлэгээс хойш Өөхоёр онгоцтой хамт нээгддэг P 1болон P 3, дараа нь нарийн төвөгтэй зураг дээр үүнийг хоёр удаа дүрсэлсэн.

Эндээс төсөөллийн харилцааны чухал дүрмийг дагаж мөрддөг. Тухайлбал, Зураг дээр үндэслэн. 1.3, a, математик хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно. A 1 A x \u003d OA y \u003d A z A 3. Тиймээс, текст хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү сонсогддог: цэгийн хэвтээ проекцоос тэнхлэг хүртэлх зай Өөзаасан цэгийн профилын проекцоос тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна О.З. Дараа нь цэгийн дурын хоёр төсөөллөөс та гурав дахь нэгийг байгуулж болно. Цэгийн хэвтээ ба урд проекц Ахолбооны босоо шугамыг холбодог ба урд болон профилын төсөөлөл - хэвтээ.

Нарийн төвөгтэй зураг нь хавтгайд нугалж буй орон зайн загвар тул түүн дээр төлөвлөсөн цэгийг дүрслэх боломжгүй (түүний байрлал нь төсөөллийн аль нэгтэй давхцахаас бусад тохиолдолд). Үүн дээр үндэслэн нарийн төвөгтэй зураг зурахдаа бид геометрийн объектуудтай биш, харин тэдгээрийн төсөөллөөр ажилладаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Тодорхой байгаа хэдий ч Зураг 1.2-т үзүүлсэн зурагтай ажиллахад тохиромжгүй, учир нь түүн дээрх хэвтээ хавтгайг гажуудлаар харуулсан байна. Проекцын хавтгай нь нэг хавтгайд, тухайлбал зургийн хавтгайд байрладаг зураг дээр янз бүрийн барилга байгууламжийг гүйцэтгэх нь илүү тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд хэвтээ хавтгайг OX тэнхлэгийн эргэн тойронд 90 эргүүлж, урд талынх нь урд талынхтай хослуулах шаардлагатай бөгөөд ингэснээр хэвтээ хавтгайн урд шал доошоо бууж, арын хэсэг дээшээ гарна. Энэ аргыг Г.Монгэ санал болгосон.

Цагаан будаа. 1.2. Monge диаграммыг бүтээх:

a) А цэгийн төсөөллийн байршлын орон зайн зураг; б) А цэгийн проекцуудын байршлын хавтгай зураг.

Иймд ийм аргаар олж авсан зургийг (Зураг 1.2, б) Монжийн диаграмм буюу нийлмэл зураг гэнэ.

Цагаан будаа. 1.3. Гурван зургийн иж бүрэн зураг зурах (монж диаграм):

a) проекцын хавтгайн орон зайн загвар; б) гурван зургийн цогцолбор зураг.

Дараа нь онгоц П 1 хэвтээ проекцын хавтгай гэж нэрлэдэг. П 2 - төсөөллийн урд талын хавтгай (учир нь энэ нь урд талын дагуу бидний урд байрладаг), П 3 - проекцын профилын хавтгай (ажиглагчтай харьцуулахад профайл дээр байрладаг). Тус тусад нь А 1 - цэгийн хэвтээ проекц А, А 2 - цэгийн урд талын проекц А, А 3 - цэгийн проекц А.

тэнхлэгүүд өө, өөЮ, унцпроекцын тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь декартын координатын системийн координатын тэнхлэгтэй төстэй бөгөөд цорын ганц ялгаа нь тэнхлэгээс ялгаатай. Өөбаруун тийшээ биш зүүн тийшээ эерэг чиглэлтэй. Одоо нэг хавтгайд (зургийн хавтгай) проекцийг авахын тулд проекцын профилын хавтгайг урд талынхтай давхцуулах шаардлагатай байна. Үүнийг хийхийн тулд тэнхлэгийг тойрон 90 эргүүлэх ёстой унц, мөн онгоцны урд талыг баруун тийш, ар талыг зүүн тийш эргүүлнэ. Үүний үр дүнд бид 3-р зурагт үзүүлсэн гурван зургийн иж бүрэн зургийг (monge plots) авдаг. 1.3, б. Тэнхлэгээс хойш ОЮхоёр онгоцтой хамт нээгддэг П 1 болон П 3 , дараа нь нарийн төвөгтэй зураг дээр үүнийг хоёр удаа дүрсэлсэн.

Эндээс төсөөллийн харилцааны чухал дүрмийг дагаж мөрддөг. Тухайлбал, Зураг дээр үндэслэн. 1.3, a, математик хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно. А 1 А х = ОА y = А z А 3 . Тиймээс, текст хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү сонсогддог: цэгийн хэвтээ проекцоос тэнхлэг хүртэлх зай Өөзаасан цэгийн профилын проекцоос тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна ОЗ. Дараа нь цэгийн дурын хоёр төсөөллөөс та гурав дахь нэгийг байгуулж болно. Цэгийн хэвтээ ба урд проекц Ахолбооны босоо шугамыг холбодог ба урд болон профилын төсөөлөл - хэвтээ.