Тоглоомууд

Квадратыг шийдэх 10 арга. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> Санамж бичиг "Сергиевская дунд сургууль"

Гүйцэтгэсэн: Сизиков Станислав

Багш:

-тай. Сергиевка, 2007 он

1. Танилцуулга. Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл……………….3

2. Диафант дахь квадрат тэгшитгэл…………………………………….4

3. Энэтхэгийн квадрат тэгшитгэл …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………

4. Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл …………………………………..6

5. Европ дахь квадрат тэгшитгэл XIII - XYII…………………………7

6. Вьета теоремын тухай …………………………………………………………..9

7. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга……………………..10

8. Дүгнэлт ……………………………………………………………20

9. Ашигласан материал …………………………………………………21

Оршил

Квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Бид 8-р ангиасаа эхлээд квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг. Харин квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх түүх хэрхэн үүсч хөгжсөн бэ?

Эртний Вавилон дахь квадрат тэгшитгэл

Эрт дээр үед зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь газрын талбайг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв; цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажил, түүнчлэн одон орон, математикийн хөгжил. МЭӨ 2000 онд квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадсан. д. Вавилончууд. Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно: x2 + x =, : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Бхаскара нэрийн дор бичдэг

x2- 64X = - 768

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр тал дээр 322-ыг нэмээд дараахийг авна. x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл

Аль-Хорезмийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг жагсаасан бөгөөд тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. ax2 = ин.

2) "Квадратууд нь тоотой тэнцүү", i.e. аа2= -тай.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. аа = с.

4) "Квадрат ба тоонууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. аа2+ c = in.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. аа2+ in = s.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", i.e. in+ c \u003d ax2.Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн гишүүн нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр биднийхтэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэгийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. шийдэл, магадгүй тодорхой практик даалгавруудад энэ нь хамаагүй. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тогтоосон.

Нэг жишээ татъя.

Бодлого 14. “Квадрат ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох "(тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг x2+ 21 = 10X).

Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ.4-ийн үндсийг авбал 2-ыг авна.5-аас 2-ыг хасвал та 3-ыг авбал энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7-г өгнө, энэ нь бас үндэс юм.

Аль-Хорезмийн зохиол бол квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр танилцуулж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн анхны ном юм.

Европ дахь квадрат тэгшитгэлXIII- XVIIолон зуун

Европ дахь аль-Хорезмийн загвар дээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог анх Абакийн номонд (өнгөрсөн зууны дунд үед Ромд хэвлэгдсэн, Фибоначчийн Абакийн ном 459 хуудастай) бичсэн байдаг. 1202 онд Италийн математикч Леонардо Фибоначчи. Исламын болон Эртний Грекийн аль алиных нь математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч бие даан асуудал шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг боловсруулж, эхний inЕвроп сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртсон. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Абакусын номноос олон даалгавар 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт шилжсэн. болон хэсэгчлэн XVIII.

Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрэм x2+ in = s,коэффициентуудын шинж тэмдгүүдийн бүх боломжит хослолын хувьд дотор, хамтЕвропт зөвхөн 1544 онд боловсруулсан. М.Штифель.

Виетад квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёоны ерөнхий гарал үүсэлтэй боловч Виета зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардако, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. эерэг, сөрөг үндсээс гадна харгалзан үзэх. Зөвхөн XVII зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь орчин үеийн дүр төрхтэй болсон.

Вьетагийн теоремын тухай

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгууруудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолсон: "Хэрэв AT+ Д, -ээр үржүүлсэн ГЭХДЭЭхасах A2,тэнцүү байна Б.Д, тэгээд ГЭХДЭЭтэнцүү байна ATба тэнцүү Д».

Вьетнамыг ойлгохын тулд үүнийг санах хэрэгтэй ГЭХДЭЭ,аль ч шиг
Түүний хувьд үл мэдэгдэх эгшиг (манай X),эгшиг
AT,Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр Виетийн дээрх томъёолол нь: хэрэв

(а+ в) х - х 2 = ab, x2 - (а+ б) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэглэгээ ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлснээр Вьетнам тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч Вьетагийн бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс нь эерэг байх тохиолдолд л авч үзсэн.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга

Сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог судалдаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Гэсэн хэдий ч олон тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд оновчтой шийдвэрлэх боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга байдаг. Тэдгээрийг тус бүрээр нь авч үзье.

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл

Тэгшитгэлээ шийдье x2+ 10X- 24 = 0. Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэрлэе.

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

( X + 12)(x - 2) = 0.

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлсийн ядаж нэг нь тэг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь алга болно x = 2, түүнчлэн X= - 12. Энэ нь 2 ба - 12 тоонууд нь x2 + 10x - 24 = 0 тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.

2. Бүрэн квадрат сонгох арга

Энэ аргыг жишээгээр тайлбарлая.

x2 + 6x - 7 = 0 тэгшитгэлийг шийдье. Зүүн талын бүтэн квадратыг сонго. Үүнийг хийхийн тулд бид x2 + 6x илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

Үр дүнгийн илэрхийлэлд эхний гишүүн нь х тооны квадрат, хоёр дахь нь x-ийн 3-ын давхар үржвэр юм. Тиймээс бүтэн квадратыг авахын тулд 32-ыг нэмэх хэрэгтэй.

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргаж байна

x2 + 6x - 7 = 0,

үүн дээр нэмэх ба хасах 32. Бидэнд:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + = 0, өөрөөр хэлбэл (x + 3)2 = 16.

Үүний үр дүнд, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, эсвэл x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Квадрат тэгшитгэлийг томъёогоор шийдэх

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүл

аа2+ in+ c = 0, a ≠ 0, асаалттай 4амөн бид дараалан:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 ахб + б2 ) - б2 + 4ac= 0,

(2ax +б)2 = in2- 4ac,

2ax+ б= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" өргөн "71" өндөр "27">, x1,2 =

Эерэг ялгаварлагчийн хувьд, өөрөөр хэлбэл, хамт v2 - 4ac > 0, тэгшитгэл аа2+ + s дотор= 0 нь хоёр өөр үндэстэй.

Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол, i.e. v2 - 4ac = 0, дараа нь тэгшитгэл аа2+ in+ -тай= 0 нь нэг язгууртай, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Үүний үндэс нь Вьетнамын теоремыг хангадаг. хэзээ а= 1 хэлбэртэй байна

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - Р.

Үүнээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно (коэффициентээр Рболон qүндсэн шинж тэмдгүүдийг урьдчилан таамаглах боломжтой).

a) Хэрэв чөлөөт гишүүн бол qбагасгасан тэгшитгэл (1)
эерэг (q> 0), тэгвэл тэгшитгэл нь хоёр ижил байна
язгуурын тэмдгээр бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентээс хамаарна Р
Хэрвээ Р> 0, хэрэв хоёр үндэс нь сөрөг байна Р< 0, дараа нь хоёулаа
үндэс нь эерэг байна.

Жишээлбэл,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 ба x2 = 1, учир нь q = 2 > 0 у х = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 ба x2 \u003d - 1, үүнээс хойш q= 7 > 0 ба Р = 8 > 0.

b) Чөлөөт гишүүн бол qбагасгасан тэгшитгэл (1)
сөрөг (q < 0), тэгшитгэл нь өөр тэмдэгтэй хоёр үндэстэй бөгөөд үнэмлэхүй утгын том язгуур эерэг байх болно. Р< 0, эсвэл сөрөг байвал p > 0.

Жишээлбэл,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 ба x2 \u003d 1, үүнээс хойш q = - 5 < 0 и Р= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 ба x2= - 1 учир нь q = - 9 < и Р= - 8 < 0.

5. Тэгшитгэлийг "шилжүүлэх" аргаар шийдвэрлэх

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье ax2 + инч+ c = 0, хаана a ≠ 0. Түүний хоёр хэсгийг хоёуланг нь үржүүлэх а,Бид тэгшитгэлийг авдаг a2x2 +abx+ ac= 0.

Болъё аа = ухаана X=; Дараа нь бид тэгшитгэлд хүрнэ

y2+ by+ ac = 0,

энэтэй дүйцэхүйц. түүний үндэс y1болон y2Виетийн теоремын тусламжтайгаар олно. Эцэст нь бид авдаг x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" өргөн "24" өндөр "43">.

Энэ аргын тусламжтайгаар коэффициент атүүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлдэг тул нэрлэсэн шилжүүлэх арга.Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

1. 2х2 - 11х + 15 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. 2-р коэффициентийг чөлөөт гишүүн рүү "шилжүүлье" үр дүнд нь бид тэгшитгэлийг авна

y2 - 11 цагт+ 30 = 0.

Вьетнамын теоремийн дагуу y1 = 5, y2 = 6, иймээс x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2.5 x2 = 3.

Хариулт: 2,5; 3.

6. Квадратын коэффициентуудын шинж чанаруудтэгшитгэл

A. Квадрат тэгшитгэл өгье

ax2 + in + c= 0, хаана а ≠ 0.

1. Хэрэв + байвал in + with= 0 (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү), тэгвэл x1 = 1, x2 =.

2. Хэрэв a - b + c= 0, эсвэлб = а + c, тэгвэл x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Хариулт: 1; 184">

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

Шулуун шугам ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцож болно, огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм;

Шулуун шугам ба парабол нь хүрч болно (зөвхөн нэг нийтлэг цэг), өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй;

Шулуун шугам ба параболд нийтлэг цэг байдаггүй, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байдаг.

Жишээ.

1. x2 - 3x - 4 = 0 тэгшитгэлийг графикаар шийдье (Зураг 2).

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ x2 = 3x + 4.

Парабол бүтээцгээе y = x2ба шууд у= 3x + 4. Шууд цагт= 3x + 4-ийг M(0; 4) ба N(3; 13) гэсэн хоёр цэгээс байгуулж болно. Шулуун ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцоно А-аас Бабсциссатай x1= - 1 ба x2 = 4.

Хариулт: x1= - 1, x, = 4.

8. Квадрат тэгшитгэлийг луужин ба шулуун шугамаар шийдвэрлэх

Парабол ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга нь тохиромжгүй юм. Хэрэв та параболын цэгийг цэгээр барьвал маш их цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд олж авсан үр дүнгийн нарийвчлал бага байна.

Бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох дараах аргыг санал болгож байна

аа2+ in+ -тай= 0

луужин ба захирагч ашиглан (Зураг).

Хүссэн тойрог нь абсцисса тэнхлэгийг цэгүүдээр огтолж байна гэж үзье Б(x1; 0) ба Д(x2 ; 0), хаана x1болон x2- тэгшитгэлийн үндэс ax2 + инч+-тай=0,
ба y тэнхлэгийн A(0; 1) ба C(0; ) цэгүүдийг дайран өнгөрнө..gif" width="197" height="123">

Тэгэхээр: 1) байгуулах цэгүүд https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> тойрог нь B(x1;0) цэг дээр OX тэнхлэгийг огтолж байна. ), болон D(x1 ; 0), энд x1 ба x2 - ax2+bx+c квадрат тэгшитгэлийн үндэс = 0.

2) Тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү байна , тойрог нь B(x1; 0) цэг дээр х тэнхлэгт хүрч, энд байна ххнь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

3) Тойргийн радиус зүүн төвийн ординатаас бага">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" өргөн "612" өндөр "432 src=">

Эндээс орлуулалтын дараа болон

хялбаршуулсан тохиолдолд z2+pz+q=0 тэгшитгэл дагах ба z үсэг нь муруйн хуваарийн дурын цэгийн шошгыг илэрхийлнэ.

10. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга

Эрт дээр үед геометр нь алгебраас илүү хөгжсөн үед квадрат тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар бус геометрийн аргаар шийддэг байсан. Аль-Хорезми Алгебраас алдаршсан жишээг хэлье.

Мөн дөрвөн хавсаргасан квадратууд, тухайлбал S=x2+10x+25. x2+10x-ийг 39-оор сольсноор бид S = 39 + 25 = 64 болно, энэ нь квадратын тал гэсэн үг юм. A B C D, өөрөөр хэлбэл сегмент AB= 8. Хүссэн талын хувьд Xбидний олж авсан анхны квадрат

Дүгнэлт

Бид сургуулиас эхлээд төгсөх хүртэл квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг. Гэхдээ сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог судалж, тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж болно. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү гүнзгий судалснаар олон тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд оновчтой шийдвэрлэх боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг гэдэгт би итгэлтэй байсан.

Математик нь хаа нэгтээ өөр хэмжээст, нүдэнд харагдахгүй байж болох юм - бүх зүйл бичигдсэн бөгөөд бид ертөнцтэй холбоотой цоорхойноос бүх шинэ баримтуудыг олж авдаг уу? ... Бурхан мэднэ; Гэхдээ хэрэв физикч, химич, эдийн засагч, археологичдод дэлхийн бүтцийн шинэ загвар хэрэгтэй бол энэ загварыг гурван зуун жилийн өмнө математикчдын тавьсан тавиураас авах эсвэл ижил хэсгүүдээс угсарч болно. тавиур. Магадгүй эдгээр хэсгүүдийг мушгиж, бие биедээ тааруулж, өнгөлж, хэд хэдэн шинэ теоремын бутыг хурдан боловсруулах шаардлагатай болно; гэхдээ үр дүнгийн онол нь үүссэн бодит нөхцөл байдлыг тайлбарлахаас гадна үр дагаврыг урьдчилан таамаглах болно! ...

Хачирхалтай нь энэ оюун санааны тоглоом үргэлж зөв байдаг ...

Уран зохиол

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. болон бусад Алгебр, 6-8. ЕБС-ийн 6-8-р ангийн туршилтын сурах бичиг. - М., Боловсрол, 1981 он.

2.Брадис ахлах сургуулийн математикийн хүснэгт. Эд. 57 дахь. - М., Боловсрол, 1990. S. 83.

3. Злотский - математикийн хичээл заах даалгавар. Багшид зориулсан ном. - М., Боловсрол, 1992.

4.М., Математик ("Есдүгээр сарын нэг" сонины хавсралт), № 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Окуневын функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Багшид зориулсан гарын авлага. - М., Боловсрол, 1972.

6. Соломник Б.С., Математикийн сайхан асуулт, бодлого. Эд. 4, нэмэх. - М., Дээд сургууль, 1973 он.

7.М., Математик ("Есдүгээр сарын нэг" сонины хавсралт), 2000 оны №40.

Хяналт

Санамж бичгийн 11-р ангийн сурагчийн ажилд зориулж "Сергиевская дунд сургууль

иж бүрэн сургууль"

Копьевская хөдөөгийн дунд сургууль

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга

Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,

математикийн багш

с.Копьево, 2007 он

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн эмхэтгэж, шийдсэн

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл

1.5 XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дүгнэлт

Уран зохиол

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1 .1 Квадрат тэгшитгэлэртний Вавилон дахь мөргөлдөөн

Эрт дээр үед зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь цэргийн шинж чанартай газар нутаг, газар шорооны ажлыг олох, түүнчлэн одон орон судлал, одон орон судлалыг хөгжүүлэхтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. математик өөрөө. МЭӨ 2000 онд квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадсан. д. Вавилончууд.

Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашигласнаар тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр илэрхийлсэн шийдлүүдтэй асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг.

Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн эмхэтгэж, шийдсэн.

Диофантийн арифметик нь алгебрийн системчилсэн тайлбарыг агуулаагүй боловч тайлбарын хамт, янз бүрийн түвшний тэгшитгэл зохиох замаар шийдэгдсэн системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.

Диофант тэгшитгэлийг эмхэтгэхдээ шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.

Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.

Даалгавар 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"

Диофант дараах байдлаар нотолж байна: Асуудлын нөхцлөөс харахад хүссэн тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100 байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь тэдний талаас илүү хувь байх болно. нийлбэр, өөрөөр хэлбэл. 10+х, нөгөө нь жижиг, i.e. 10-аад. Тэдний хоорондын ялгаа 2x.

Тиймээс тэгшитгэл:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-аад 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Эндээс x = 2. Хүссэн тоонуудын нэг нь 12 , бусад 8 . Шийдэл x = -2Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байхгүй.

Хэрэв бид хүссэн тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.

y(20 - y) = 96,

цагт 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Диофант нь хүссэн тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгох замаар шийдлийг хялбаршуулдаг нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттам" одон орон судлалын системээс аль хэдийн олжээ. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

Өө 2 + бx = c, a > 0. (1)

Тэгшитгэлд (1)-ээс бусад коэффициентууд а, мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй таарч байна.

Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны тухай өгүүлсэн байдаг: “Нар оддыг гялалзуулан гялалзуулж байхын хэрээр эрдэмтэй хүн олон нийтийн хурал дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэхдээ бусдын алдрыг гялалзуулна” гэжээ. Даалгавруудыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр өмсдөг байв.

XII зууны Энэтхэгийн алдарт математикчийн нэг бодлыг энд оруулав. Бхаскара.

Даалгавар 13.

"Сармагчингийн сармагчин сүрэг, усан үзмийн модонд арван хоёр ...

Хүч идэж, хөгжилтэй байсан. Тэд үсэрч унжиж эхлэв ...

Наймдугаар хэсэг нь дөрвөлжинд Хэдэн сармагчин байсан бэ?

Нугад зугаацаж байна. Чи надад хэлээрэй, энэ сүрэгт байна уу?

Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хоёр утгын талаар мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).

13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаскара дараах нэрийн дор бичжээ.

X 2 - 64x = -768

мөн энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд тэр хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Квадрат тэгшитгэлаль-Хорезми

Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг жагсаасан бөгөөд тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. Өө 2 + -тэй =бX.

2) "Квадратууд нь тоотой тэнцүү", i.e. Өө 2 = s.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. аа = с.

4) "Квадрат ба тоонууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. Өө 2 + -тэй =бX.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. Өө 2 + bx= s.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", i.e. bx+ c = сүх 2 .

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн гишүүн нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг аль-жабр ба аль-мукабалагийн аргуудыг ашиглан тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэрүүд бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй байхын тулд, жишээлбэл, эхний хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил 0 шийдийг харгалздаггүй бөгөөд энэ нь тодорхой практик асуудалд хамаагүй учраас магадгүй юм. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми шийдвэрлэх дүрмийг тогтоож, дараа нь тодорхой тоон жишээнүүдийг ашиглан геометрийн баталгааг гаргадаг.

Даалгавар 14."Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х тэгшитгэлийн язгуур гэж үзвэл 2 + 21 = 10x).

“Аль-Хорезми” зохиол бол квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр илэрхийлж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн бидэнд ирсэн анхны ном юм.

1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэлXIII - XVIIолон зуун

Европ дахь аль-Хорезмигийн загвар дээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д анх удаа дурдсан байдаг. Исламын болон Эртний Грекийн аль алиных нь математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд анх удаа хандсан. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. "Абакийн ном" -ын олон даалгавар нь 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт шилжсэн. болон хэсэгчлэн XVIII.

Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:

X 2 + bx= хамт,

коэффициентуудын шинж тэмдгүүдийн бүх боломжит хослолын хувьд б, -тайЕвропт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.

Виетад квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёоны ерөнхий гарал үүсэлтэй боловч Виета зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг, сөрөг үндэсээс гадна анхааралдаа аваарай. Зөвхөн XVII зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн дүр төрхтэй болсон.

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгууруудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолсон: "Хэрэв Б + Д-ээр үржүүлсэн А - А 2 , тэнцүү байна Б.Д, дараа нь Атэнцүү байна ATба тэнцүү Д».

Вьетнамыг ойлгохын тулд үүнийг санах хэрэгтэй ГЭХДЭЭ, ямар ч эгшигтэй адил түүний хувьд үл мэдэгдэх (манай X), эгшиг AT,Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр Виетийн дээрх томъёолол нь: хэрэв

(а +б)x - x 2 = ab,

X 2 - (а +б)x + aб = 0,

X 1 = a, X 2 = б.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэглэгээ ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлснээр Вьетнам тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Үүний зэрэгцээ Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн дүр төрхөөс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байх тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг.

Сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог судалдаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Үүний зэрэгцээ квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг бөгөөд энэ нь олон тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд оновчтой шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга байдаг. Би ажилдаа тус бүрийг нь нарийвчлан шинжилсэн.

1. АРГА : Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.

Тэгшитгэлээ шийдье

X 2 + 10x - 24 = 0.

Зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12)(x - 2) = 0

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь алга болно x = 2, түүнчлэн at x = - 12. Энэ нь тоо гэсэн үг 2 болон - 12 тэгшитгэлийн үндэс юм X 2 + 10x - 24 = 0.

2. АРГА : Бүтэн квадрат сонгох арга.

Тэгшитгэлээ шийдье X 2 + 6x - 7 = 0.

Зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд бид x 2 + 6x илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Үүссэн илэрхийлэлд эхний гишүүн нь x тооны квадрат, хоёр дахь нь x-ийн 3-ын давхар үржвэр юм. Тиймээс бүтэн квадратыг авахын тулд та 3 2-ыг нэмэх хэрэгтэй.

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргаж байна

X 2 + 6x - 7 = 0,

дээр нь нэмээд хасах 3 2 . Бидэнд байгаа:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Үүний үр дүнд, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, эсвэл x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. АРГА :Квадрат тэгшитгэлийг томъёогоор шийдэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүл

Өө 2 + бx + c = 0, тийм үү? 0

4a дээр ба дараалан бидэнд:

4а 2 X 2 + 4aбx + 4ac = 0,

((2ах) 2 + 2ax *б + б 2 ) - б 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = б 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Жишээ.

а)Тэгшитгэлийг шийдье: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,б= 7, c = 3,Д = б 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

Д > 0, хоёр өөр үндэс;

Тиймээс эерэг ялгаварлагчийн хувьд, i.e. цагт

б 2 - 4 ac >0 , тэгшитгэл Өө 2 + бx + c = 0хоёр өөр үндэстэй.

б)Тэгшитгэлийг шийдье: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,б= - 4, c = 1,Д = б 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

Д = 0, нэг үндэс;

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол, i.e. б 2 - 4 ac = 0 , дараа нь тэгшитгэл

Өө 2 + бx + c = 0нэг үндэстэй

онд)Тэгшитгэлийг шийдье: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,б= 3, c = 4,Д = б 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , Д < 0.

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, i.e. б 2 - 4 ac < 0 ,

тэгшитгэл Өө 2 + бx + c = 0үндэсгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо (1). Өө 2 + бx + c = 0үндсийг нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч квадрат тэгшитгэл (хэрэв байгаа бол), түүний дотор багасгасан ба бүрэн бус. Формула (1)-ийг амаар дараах байдлаар илэрхийлнэ. квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь эсрэг тэмдгээр авсан тоологч нь хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бутархайтай тэнцүү бөгөөд энэ коэффициентийн квадратын квадрат язгуурыг хасч, эхний коэффициентийн үржвэрийг чөлөөт гишүүнээр дөрөв дахин нэмэгдүүлээгүй, ба хуваагч нь эхний коэффициентээс хоёр дахин их байна.

4. АРГА: Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

Мэдэгдэж байгаагаар өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

X 2 + px + в = 0. (1)

Үүний үндэс нь Виетийн теоремыг хангадаг бөгөөд энэ нь хэзээ a =1хэлбэртэй байна

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - х

Эндээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно (язгуурын шинж тэмдгийг p ба q коэффициентүүдээс урьдчилан таамаглаж болно).

a) Хэрэв хураангуй нэр томъёо qбууруулсан тэгшитгэлийн (1) нь эерэг ( q > 0 ), тэгвэл тэгшитгэл нь ижил тэмдгийн хоёр үндэстэй бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентийн атаархал юм х. Хэрвээ Р< 0 , тэгвэл хэрэв язгуур хоёулаа сөрөг байна Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс нь эерэг байна.

Жишээлбэл,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 болон x 2 = 1, учир нь q = 2 > 0 болон х = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 болон x 2 = - 1, учир нь q = 7 > 0 болон х= 8 > 0.

b) Чөлөөт гишүүн бол qбууруулсан тэгшитгэлийн (1) нь сөрөг ( q < 0 ), тэгвэл тэгшитгэл нь өөр өөр тэмдэгтэй хоёр үндэстэй бөгөөд үнэмлэхүй утгын том язгуур нь эерэг байх болно х < 0 , эсвэл сөрөг бол х > 0 .

Жишээлбэл,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 болон x 2 = 1, учир нь q= - 5 < 0 болон х = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 болон x 2 = - 1, учир нь q = - 9 < 0 болон х = - 8 < 0.

5. АРГА: "Шилжүүлэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье

Өө 2 + бx + c = 0,хаана а? 0.

Түүний хоёр хэсгийг а-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна

а 2 X 2 + aбx + ac = 0.

Болъё аа = у, хаана x = y/a; Дараа нь бид тэгшитгэлд хүрнэ

цагт 2 + by+ ac = 0,

энэтэй дүйцэхүйц. түүний үндэс цагт 1 болон цагт 2-ыг Виетийн теоремыг ашиглан олж болно.

Эцэст нь бид авдаг

X 1 = y 1 /а болон X 1 = y 2 /а.

Энэ аргын тусламжтайгаар коэффициент атүүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлдэг тул ингэж нэрлэдэг шилжүүлэх арга. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Шийдэл. 2-р коэффициентийг чөлөөт гишүүн рүү "шилжүүлье" үр дүнд нь бид тэгшитгэлийг авна

цагт 2 - 11 жил + 30 = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

цагт 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

цагт 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Хариулт: 2.5; 3.

6. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд.

ГЭХДЭЭ.Квадрат тэгшитгэлийг үзье

Өө 2 + бx + c = 0,хаана а? 0.

1) Хэрэв, a+б+ c = 0 (өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг), дараа нь x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Баталгаа.Тэгшитгэлийн хоёр талыг а-д хуваах уу? 0, бид багасгасан квадрат тэгшитгэлийг авна

x 2 + б/ а * x + в/ а = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

x 1 + x 2 = - б/ а,

x 1 x 2 = 1* в/ а.

Нөхцөлөөр а -б + c = 0,хаана б= a + c.Энэ замаар,

x 1 + x 2 = - а+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

тэдгээр. X 1 = -1 болон X 2 = в/ а, бид үүнийг батлах хэрэгтэй байсан.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийд 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0),тэгээд

X 1 = 1, X 2 = в/ а = -208/345.

Хариулт: 1; -208/345.

2) Тэгшитгэлийг шийд 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0),тэгээд

X 1 = 1, X 2 = в/ а = 115/132.

Хариулт: 1; 115/132.

Б.Хэрэв хоёр дахь коэффициент б = 2 к тэгш тоо, дараа нь язгуурын томъёо

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 3х2 -- 14х + 16 = 0.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: a = 3,б= -- 14, c = 16,к = -- 7 ;

Д = к 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, Д > 0, хоёр өөр үндэс;

Хариулт: 2; 8/3

AT.Багасгасан тэгшитгэл

X 2 +px+q= 0

ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байгаа бөгөөд үүнд a = 1, б= хболон c =q. Тиймээс бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын томъёо

хэлбэрийг авдаг:

Формула (3) нь ялангуяа хэрэглэхэд тохиромжтой Р-- тэгш тоо.

Жишээ.Тэгшитгэлээ шийдье X 2 - 14x - 15 = 0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа: X 1,2 =7±

Хариулт: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол

X 2 + px + q = 0

Хоёр ба гурав дахь нөхцлүүдийг баруун тийш шилжүүлбэл бид авна

X 2 = - px - q.

y \u003d x 2 ба y \u003d - px - q хамаарлын графикуудыг байгуулцгаая.

Эхний хамаарлын график нь эхийг дайран өнгөрөх парабол юм. Хоёр дахь хамаарлын график -

шулуун шугам (Зураг 1). Дараах тохиолдлууд боломжтой.

Шугам ба парабол нь хүрч болно (зөвхөн нэг нийтлэг цэг), i.e. тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй;

Шулуун шугам ба параболд нийтлэг цэг байдаггүй, i.e. квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье X 2 - 3x - 4 = 0(Зураг 2).

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ X 2 = 3x + 4.

Парабол бүтээцгээе у = x 2 ба шууд y = 3x + 4. шууд

y = 3x + 4хоёр цэгээс барьж болно М (0; 4)болон

Н (3; 13) . Шулуун ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцоно

ГЭХДЭЭболон ATабсциссатай X 1 = - 1 болон X 2 = 4 . Хариулт: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье (Зураг 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ X 2 = 2х - 1.

Парабол бүтээцгээе у = x 2 ба шууд y = 2x - 1.

шууд y = 2x - 1хоёр цэг дээр тулгуурлана М (0; - 1)

болон Н(1/2; 0) . Шугаман ба парабола нэг цэг дээр огтлолцоно ГЭХДЭЭ-тай

абсцисса x = 1. Хариулт:x = 1.

3) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье X 2 - 2x + 5 = 0(Зураг 4).

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ X 2 = 5x - 5. Парабол бүтээцгээе у = x 2 ба шууд y = 2x - 5. шууд y = 2x - 5 M(0; - 5) ба N(2.5; 0) гэсэн хоёр цэгээр байгуулна. Шулуун шугам ба парабол нь огтлолцох цэггүй, i.e. Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулт.Тэгшитгэл X 2 - 2x + 5 = 0үндэсгүй.

8. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийг луужингаар шийдвэрлэх ба захирагчид.

Парабол ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга нь тохиромжгүй юм. Хэрэв та параболын цэгийг цэгээр барьвал энэ нь маш их цаг хугацаа шаарддаг бөгөөд энэ бүхэнтэй хамт олж авсан үр дүнгийн нарийвчлал бага байна.

Би квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох дараах аргыг санал болгож байна Өө 2 + бx + c = 0луужин ба захирагч ашиглан (Зураг 5).

Хүссэн тойрог нь тэнхлэгийг огтолж байна гэж үзье

цэг дэх абсцисс Б(х 1 ; 0) болон Д(X 2 ; 0), хаана X 1 болон X 2 - тэгшитгэлийн үндэс Өө 2 + бx + c = 0, мөн цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг

A(0; 1)болон C(0;в/ а) y тэнхлэг дээр. Дараа нь секантын теоремоор бид байна ОБ * ОД = О.А * ОК, хаана ОК = ОБ * ОД/ О.А= x 1 X 2 / 1 = в/ а.

Тойргийн төв нь перпендикуляруудын огтлолцлын цэг дээр байна SFболон SK, хөвчний дунд цэгүүдэд сэргээгдсэн АСболон Б.Д, ийм учраас

1) цэгүүдийг барих (тойргийн төв) ба А(0; 1) ;

2) радиустай тойрог зур SA;

3) энэ тойргийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд Өөнь анхны квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Энэ тохиолдолд гурван тохиолдол байж болно.

1) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас их байна (AS > SK, эсвэл Р > а + в/2 а) , тойрог нь х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна (Зураг 6,a) Б(х 1 ; 0) болон Д(X 2 ; 0) , хаана X 1 болон X 2 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс Өө 2 + бx + c = 0.

2) Тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү байна (AS = SB, эсвэлР = а + в/2 а) , тойрог нь Үхрийн тэнхлэгт хүрнэ (Зураг 6,б). Б(х 1 ; 0) , энд x 1 нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

3) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас бага, тойрог нь абсцисса тэнхлэгтэй нийтлэг цэггүй (Зураг 6, в), энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье X 2 - 2х - 3 = 0 (Зураг 7).

Шийдэл.Тойргийн төвийн цэгийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

SA радиустай тойрог зуръя, энд A (0; 1).

Хариулт: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограммууд.

Энэ бол 83-р хуудсанд байрлуулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хуучин бөгөөд мартагдашгүй арга юм (Брадис В.М. Дөрвөн үнэ цэнэтэй математикийн хүснэгтүүдийг үзнэ үү. - М., Enlightenment, 1990).

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэл шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0 . Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээр нь тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 11):

Таамаглаж байна OS = p,ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас САНболон CDFБид пропорцийг авдаг

Эндээс орлуулалт ба хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэл үүснэ

z 2 + pz + q = 0,

болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн шошгыг хэлнэ.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийн хувьд z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмм үндэс өгдөг

z 1 = 8,0 болон z 2 = 1,0 (Зураг 12).

2) Бид номограмм ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Бид энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хувааж, тэгшитгэлийг олж авна

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмм нь үндэс өгдөг z 1 = 4 болон z 2 = 0,5.

3) Тэгшитгэлийн хувьд

z 2 - 25 z + 66 = 0

p ба q коэффицентүүд масштабаас гадуур байгаа тул бид орлуулалтыг хийнэ z = 5 т, бид тэгшитгэлийг авна

т 2 - 5 т + 2,64 = 0,

үүнийг бид номограммын тусламжтайгаар шийдэж, авдаг т 1 = 0,6 болон т 2 = 4,4, хаана z 1 = 5 т 1 = 3,0 болон z 2 = 5 т 2 = 22,0.

10. АРГА: Квадратыг шийдэх геометрийн арга тэгшитгэл.

Эрт дээр үед геометр нь алгебраас илүү хөгжсөн үед квадрат тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар бус геометрийн аргаар шийддэг байсан. Би аль-Хорезмигийн "Алгебр"-аас алдартай болсон жишээг хэлье.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийд X 2 + 10x = 39.

Эх хувилбарт энэ асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: "Квадрат ба арван үндэс нь 39-тэй тэнцүү" (Зураг 15).

Шийдэл.Х талтай дөрвөлжин талбайг авч үзье, тэгш өнцөгтүүдийг хажуу талдаа барьсан бөгөөд тэдгээрийн нөгөө тал нь 2.5, тиймээс тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үүссэн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгон нэмж, булан дахь дөрвөн тэнцүү квадратыг дүүргэж, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна.

Дөрвөлжин С дөрвөлжин A B C Dталбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно: анхны квадрат X 2 , дөрвөн тэгш өнцөгт (4* 2.5x = 10x)дөрвөн хавсаргасан квадрат (6,25* 4 = 25) , өөрөөр хэлбэл С = X 2 + 10x + 25.Солих

X 2 + 10xтоо 39 , бид үүнийг ойлгодог С = 39 + 25 = 64 , эндээс дөрвөлжингийн тал гарч ирнэ A B C D, өөрөөр хэлбэл шугамын сегмент AB = 8. Хүссэн талдаа Xбидний олж авсан анхны квадрат

2) Гэхдээ жишээлбэл, эртний Грекчүүд тэгшитгэлийг хэрхэн шийдсэн цагт 2 + 6y - 16 = 0.

ШийдэлЗурагт үзүүлэв. 16, хаана

цагт 2 + 6y = 16, эсвэл цагт 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Шийдэл.Илэрхийлэл цагт 2 + 6 жил + 9болон 16 + 9 геометрийн хувьд ижил квадрат, анхны тэгшитгэлийг илэрхийлнэ цагт 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0ижил тэгшитгэл юм. Бид үүнийг хаанаас авдаг y + 3 = ± 5,эсвэл цагт 1 = 2, y 2 = - 8 (Зураг 16).

3) Геометрийн тэгшитгэлийг шийд цагт 2 - 6y - 16 = 0.

Тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид олж авна

цагт 2 - 6y = 16.

Зураг дээр. 17 илэрхийллийн "зураг"-ыг ол цагт 2 - 6 нас,тэдгээр. y талтай дөрвөлжингийн талбайгаас талтай тэнцүү квадратын талбайг хоёр дахин хасна 3 . Тэгэхээр, хэрэв илэрхийлэл бол цагт 2 - 6 жил нэмэх 9 , дараа нь бид талтай дөрвөлжин талбайг авна цагт - 3 . Илэрхийлэлийг солих цагт 2 - 6 жил тэнцүү тоо 16,

бид авах: (y - 3) 2 = 16 + 9, тэдгээр. y - 3 = ± v25, эсвэл y - 3 = ± 5, энд цагт 1 = 8 болон цагт 2 = - 2.

Дүгнэлт

Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Үүний зэрэгцээ квадрат тэгшитгэлийн үнэ цэнэ нь асуудлыг шийдвэрлэх дэгжин, товчхон байдалд оршдоггүй, гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Асуудлыг шийдвэрлэхэд квадрат тэгшитгэлийг ашигласны үр дүнд ихэвчлэн шинэ нарийн ширийн зүйлийг олж илрүүлж, сонирхолтой ерөнхий дүгнэлт хийж, олж авсан томьёо, харилцаанд дүн шинжилгээ хийх замаар сайжруулалт хийх боломжтой байдаг нь чухал биш юм.

Энэ ажилд танилцуулсан сэдвийг огтхон ч судлаагүй, тэд үүнийг зүгээр л авч үздэггүй тул энэ нь маш олон далд, үл мэдэгдэх зүйлээр дүүрэн байдаг бөгөөд энэ нь цаашид ажиллах сайхан боломжийг олгодог гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. .

Энд би квадрат тэгшитгэлийг шийдэх асуултыг шийдсэн бөгөөд юу вэ?

Хэрэв тэдгээрийг шийдэх өөр арга зам байгаа бол?! Дахин хэлэхэд сайхан хэв маяг, зарим баримт, тодруулга олж, ерөнхий дүгнэлт хийж, шинэ, шинэ бүхнийг олж мэдээрэй. Гэхдээ эдгээр нь ирээдүйн ажилд зориулсан асуултууд юм.

Дүгнэж хэлэхэд, бид дүгнэж болно: квадрат тэгшитгэл нь математикийн хөгжилд асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг. Энэхүү мэдлэг нь амьдралынхаа туршид бидэнд хэрэгтэй байж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх эдгээр аргууд нь хэрэглэхэд хялбар байдаг тул математикт дуртай оюутнуудад сонирхолтой байх нь гарцаагүй. Миний ажил математикийн бидний өмнө тавьж буй асуудлуудыг өөрөөр харах боломжийг олгодог.

Уран зохиол:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. болон бусад Алгебр, 6-8. Ахлах сургуулийн 6-8 дугаар ангийн туршилтын сурах бичиг. - М., Боловсрол, 1981 он.

2. Брэдис В.М. Ахлах сургуулийн дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт. Ed. 57 дахь. - М., Боловсрол, 1990. S. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Алгебр ба анхан шатны функцийн асуудлын ном. Дунд мэргэжлийн боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. - М., дээд сургууль, 1969 он.

4. Окунев А.К. Квадрат функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Багшид зориулсан гарын авлага. - М., Боловсрол, 1972.

5. Пресман А.А. Квадрат тэгшитгэлийг луужин ба шулуун ирмэгээр шийдвэрлэх. - М., Квант, No 4/72. S. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Математикийн асуулт, даалгаврын цуглуулга. Эд. - 4-т нэмэх. - М., Дээд сургууль, 1973 он.

7. Худобин А.И. Алгебр ба энгийн функцийн асуудлын цуглуулга. Багшид зориулсан гарын авлага. Эд. 2 дахь. - М., Боловсрол, 1970.

Шаповалова Л.А. (станция Егорлыкская, MBOU ESOSH No 11)

1. Мордкович А.Г. алгебр.8 анги. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг / A.G. Мордкович. No 8622 / 0790 - М.: Мнемозина, 2013. No 8622 / 0790 - 260 х.

2. Мордкович А.Г. алгебр.8 анги. Боловсролын байгууллагуудын даалгавар / A.G. Мордкович. No 8622 / 0790 - М.: Мнемозина, 2013. No 8622 / 0790 - 270 х.

3. Глэйзер Г.И. 8622 / 0790-р сургуулийн математикийн түүх / Г.И. Глазер. No 8622 / 0790 - М .: Боловсрол, 1982. No 8622 / 0790 - 340 х.

4. Гусев В.А. Математик. Лавлах материал / V.A. Гусев, А.Г. Мордкович. No 8622 / 0790 - М .: Prosveshchenie, 1988. No 8622 / 0790 - 372 х.

5. Брэдис В.М. Дунд сургуулийн дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт / V.M. Брэдис. No 8622 / 0790 - М .: Боловсрол, 1990. No 8622 / 0790 - 83 х.

6. Вьетагийн теорем. No 8622 / 0790 - Хандалтын горим: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Виетийн теорем (алсын зайнаас хандах эх сурвалж (Интернет) ). 2016.01.20.

7. Квадрат тэгшитгэл. No 8622 / 0790 - Хандалтын горим: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (алсын зайнаас нэвтрэх нөөцүүд (Интернет)). 2016.01.20.

Тэгшитгэлийн онол нь ерөнхийдөө алгебр, математикт тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг. Үүний ач холбогдол нь байгалийн хуулиудыг танин мэдэхэд онолын ач холбогдлоос гадна практик зорилгоор үйлчилдэг. Амьдралын ихэнх асуудлууд нь янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг бөгөөд ихэнхдээ эдгээр нь квадрат хэлбэрийн тэгшитгэлүүд юм.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тэдгээрийг шийдвэрлэх 3 аргыг л авч үздэг. Удахгүй болох шалгалтанд бэлдэж байхдаа би эдгээр тэгшитгэлийн өөр аргуудыг сонирхож эхэлсэн. Тиймээс би "Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга" сэдвийг сонгосон.

Энэ сэдвийн хамаарал нь алгебр, геометр, физикийн хичээлүүдэд бид квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдтэй ихэвчлэн уулздагт оршино. Тиймээс оюутан бүр квадрат тэгшитгэлийг зөв, оновчтой шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой бөгөөд энэ нь илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд, тэр дундаа шалгалт өгөхөд тустай байдаг.

Ажлын зорилго: квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг судлах, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт ба стандарт бус аргуудыг авч үзэх;

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн тохиромжтой аргуудыг тодорхойлох;

Квадрат тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж сур.

Судалгааны объект: квадрат тэгшитгэл.

Судалгааны сэдэв: квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замууд.

Судалгааны аргууд:

Онолын: судалгааны сэдвээр уран зохиол судлах, сэдэвчилсэн интернет нөөцийг судлах;

Хүлээн авсан мэдээллийн дүн шинжилгээ;

Тохиромжтой, оновчтой болгох үүднээс квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын харьцуулалт.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c \u003d 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, харин a? 0. Ийм тэгшитгэлийн язгуур нь квадрат тэгшитгэлийг тэг болгож хувиргах хувьсагчийн утга, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэлийг адилтгал болгон хувиргах утга юм. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг: a коэффициентийг эхний буюу ахлах гэж нэрлэдэг, b коэффициентийг хоёр дахь гэж нэрлэдэг эсвэл x дээрх коэффициентийг, c-ийг энэ тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь бүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай (a, b, c - 0) тэгшитгэл юм.

Тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх бууруулсан квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг. Ийм тэгшитгэлийг бүхэлд нь илэрхийлэлийг тэргүүлэх коэффициент a хуваах замаар олж авч болно: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь гурван төрөлтэй.

1) сүх 2 + c = 0, энд c нь 0;

2) сүх 2 + bx = 0, энд b - 0;

Энэ ажлын хүрээнд бид зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий томъёогоор шийдвэрлэх

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд ялгаварлагчаар дамжуулан үндсийг олох аргыг ашигладаг. Дискриминантыг олохын тулд дараах томъёог ашиглана: D = b 2 - 4ac. D-г олсны дараа бид тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд томъёог ашиглана

Дараах тохиолдолд тэмдэглэх нь зүйтэй.

D > 0 - тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй;

D \u003d 0 - тэгшитгэл нь нэг үндэстэй;

Д< 0 - уравнение не имеет корней.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.1).

Цагаан будаа. 1. Практик хэсэг

Зүүн талын хүчин зүйл

Аргыг харуулахын тулд бид x 2 + 10x - 24 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ.

Зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12) (x - 2) = 0

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь x = 2, мөн x = -12 үед алга болно.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.2).

Бүтэн квадратыг сонгох нь өгөгдсөн гурвалсан гишүүнийг хоёр гишүүний квадратын нийлбэр буюу зөрүү (a ± b) 2 болон зарим тоон эсвэл үгийн илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлсэн ижил төстэй хувиргалт юм.

x 2 + 14x + 40 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Бүтэн квадрат аргыг ашиглан олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон задалцгаая.

Эхний томъёог хэрэглэхийн тулд та илэрхийллийг авах хэрэгтэй

x2 + 14x + 49 = 0.

Тиймээс бид x 2 + 14x + 40 олон гишүүнтээс 9-ийн тоог нэмж, хасаж бүтэн квадратыг сонгоно.

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

"Квадратуудын ялгаа" a2 - b2 = (a - b) (a + b) томъёог хэрэглэцгээе.

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3)(x + 7 + 3) = 0

(x + 4)(x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Хариулт: -4; - арав.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.3).

Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Вьета теоремын дагуу бүтэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийг бүхэлд нь a коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. x 2 + px + q = 0 тэгшитгэлийн хувьд, хэрэв x1 ба x2 нь түүний үндэс бол томъёонууд хүчинтэй байна:

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.4).

Коэффициентийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дараах нөхцөл хангагдсан бол: a + c = b, тэгвэл x1 = - 1; x2 = - s/a.

4х2 + 3х - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд:

a + b + c = 0, дараа нь x1 = 1; x2 = s/a.

5х2 + 2х - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдвэрлэх боломжгүй жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.5).

"Шилжүүлэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

"Шилжүүлэг" гэж нэрлэгддэг арга нь буураагүй ба хувирдаггүй тэгшитгэлийн шийдлийг бүхэл тоогоор багасгасан тэгшитгэлийн шийдэлд тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициентоор хуваах замаар бүхэл тоон коэффициент бүхий бууруулсан хэлбэрт оруулах боломжийг олгодог. коэффициентүүд. Энэ нь дараах байдалтай байна: ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг a-аар үржүүлнэ.

Бид авна: a 2 x2 + abx + aс = 0. Шинэ y = ax хувьсагчийг оруулъя. Бид y 2 +by+ac = 0-ийг авна.Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь y1 ба y2.Иймээс x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.6).

x 2 - 4x - 12 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Үүнийг x 2 - 4x = 12 гэж илэрхийлье.

Зураг дээр. 2 нь x - 4x илэрхийлэлийг "дүрсэлсэн", өөрөөр хэлбэл. х талтай квадратын талбайг 2 талтай дөрвөлжингийн талбайгаас хоёр удаа хасна. Тэгэхээр x 2 - 4x + 4 нь x - 2 талтай квадратын талбай юм.

x 2 - 4x = 12-ыг сольсны дараа бид олж авна

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Хариулт: x1 = 6, x1 = - 2.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.7).

x 2 + px + q = 0 тэгшитгэлд бид хоёр ба гурав дахь гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Бид авна: x 2 \u003d - px - q. Функцийн графикуудыг байгуулъя

y = x 2 (парабол);

y = - qx - p (шулуун шугам).

Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй:

Шулуун ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцох боломжтой бол огтлолцох цэгүүдийн абсцисса нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно;

Хэрэв шугам параболд (зөвхөн нэг нийтлэг цэг) хүрвэл тэгшитгэл нь нэг үндэстэй болно;

Хэрэв шугам ба параболд нийтлэг цэг байхгүй бол i.e. квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Тэгшитгэлийг луужин ба шулуун шугамаар шийдвэрлэх

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг шийдье:

1) координатын хавтгай дээр цэгүүдийг байгуулна:

A(- b/2a; (a + c)/2a) нь тойргийн төв ба B(0; 1)

2) r = AB тойрог зур

3) Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй:

Хэрэв тойргийн радиус нь төвийн ординатаас их бол (AB > AC, эсвэл R > (a + c) / 2a), тойрог.

X тэнхлэгийг K(x1; 0) ба N(x2; 0) гэсэн хоёр цэг дээр гаталж, x1 ба x2 нь x2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хэрэв тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү бол (AB \u003d AC, эсвэл R \u003d (a + c) / 2a) тойрог нь абсцисса тэнхлэгт C (x; 0) цэг дээр хүрнэ. x1 нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хэрэв тойргийн радиус нь төвийн ординатаас бага бол (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1(1.9).

Энэ бол квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хуучин бөгөөд одоо мартагдсан арга юм.

Номограмм нь тэгшитгэлийн эерэг язгууруудын утгыг өгдөг z 2 + pz + q \u003d 0. Хэрэв тэгшитгэл нь өөр өөр тэмдгийн үндэстэй бол номограммаас эерэг язгуур олдвол сөрөг нь байна. - х -ээс эерэгийг хасаж олно.

Цагаан будаа. 6. z 2 + pz + q = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх монограмын төрөл

Аль аль үндэс нь сөрөг байвал z = - t-г авч номограммаас хоёр эерэг t1 язгуурыг олно; t 2 тэгшитгэл t 2 + - pt + z = 0 ба дараа нь z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Хэрэв p ба q коэффициентүүд масштабаас гадуур байвал z = kt орлуулалтыг хийж, тэгшитгэлийг номограмм ашиглан шийднэ үү.

Энд k-г тэгш бус байдал үүсэхээр авсан

z 2 + pz + q = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх монограмын хэлбэрийг Зураг дээр харж болно. 6.

Төрөл бүрийн шийдлүүдийн "давуу" ба "сул талууд"

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргын нэр
Квадрат тэгшитгэлийг томьёогоор шийдвэрлэх	Бүх квадрат тэгшитгэлд хэрэглэж болно.	Та томъёог сурах хэрэгтэй.
Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл	Энэ нь тэгшитгэлийн үндсийг шууд харах боломжтой болгодог.	Бүлэглэх нөхцөлийг зөв тооцоолох шаардлагатай.
Бүтэн квадрат сонгох арга	Хамгийн бага тооны үйлдлийн хувьд та тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжтой	Бүтэн квадратыг сонгохын тулд бүх нэр томъёог зөв олох шаардлагатай.
Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх	Нэлээд хялбар арга нь тэгшитгэлийн үндсийг шууд харах боломжтой болгодог.	Зөвхөн бүх үндэс нь амархан олддог.
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд	Нэг их хүчин чармайлт шаарддаггүй	Зөвхөн зарим тэгшитгэлд тохирно
Дамжуулах аргаар тэгшитгэлийн шийдэл	Хамгийн бага тооны үйлдлүүдийн хувьд та тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжтой бөгөөд үүнийг Виетийн теоремын аргатай хамт ашигладаг.	зөвхөн бүх үндэсийг олоход хялбар байдаг.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга	Харааны арга.	бүтэн квадратыг сонгох аргатай төстэй
Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл	харааны арга	Хуваарь гаргахад алдаа гарч болзошгүй
Квадрат тэгшитгэлийг луужин ба шулуун ирмэгээр шийдвэрлэх	харааны арга	Нарийвчлалтай биш байж магадгүй
Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх	Зөн совинтой, хэрэглэхэд хялбар.	Номограмм үргэлж гарт байдаггүй.

Дүгнэлт

Энэхүү судалгааны ажлын явцад би сонгосон сэдвээр судалсан материалыг нэгтгэн системчлэх, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг судлах, квадрат тэгшитгэлийг 10 аргаар шийдвэрлэх аргад суралцсан. Тэдгээрийг бүгдийг нь шийдвэрлэхэд тохиромжтой биш боловч тус бүр өөрийн гэсэн сонирхолтой байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Миний бодлоор сургуульд сурсан аргууд нь ашиглахад хамгийн оновчтой байх болно: 1.1. (томъёоны дагуу); 1.4. (Вьета теоремын дагуу); түүнчлэн арга 1.5. (коэффициентуудын шинж чанарыг ашиглан).

Дүгнэж хэлэхэд, бид дүгнэж болно: квадрат тэгшитгэл нь математикт асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэхүү мэдлэг нь зөвхөн сургууль, их сургуульд төдийгүй бидний амьдралын туршид бидэнд хэрэгтэй байж болно.

Ном зүйн холбоос

Улевский С.А. Квадрат тэгшитгэлийг ШИЙДЭХ АРВАН АРГА // Шинжлэх ухаанд эхэл. - 2016. - No 1. - P. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (хандах огноо: 12/30/2019).

слайд 1

слайд 2

Хичээлийн зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинэ аргуудтай танилцах "Квадрат тэгшитгэл" сэдвийн талаархи мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх Математик, оюуны чадвар, судалгаа шинжилгээний чадварыг хөгжүүлэх Хувь хүний өөрийгөө ухамсарлах нөхцлийг бүрдүүлэх

слайд 3

Хичээлийн зорилго: Оюутнуудад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинэ аргуудтай танилцуулах Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг бататгах Тэгшитгэлийг стандарт бус аргаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог теоремуудыг нэвтрүүлэх Ерөнхий боловсролын ур чадвар, математикийн соёлыг төлөвшүүлэх ажлыг үргэлжлүүлэх. Судалгааны үйл ажиллагаанд сонирхолтой байх Оюутнуудад математикийн хичээлийн сонирхлыг ухамсарлах, хөгжүүлэх нөхцөлийг бүрдүүлэх Оюутнуудыг профайлын чиглэлийг зөв сонгоход бэлтгэх

слайд 4

Хөтөлбөрийн агуулга Сэдэв 1. Оршил. 1 цаг. Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт. Бүрэн ба бүрэн бус кв. тэгшитгэл. Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замууд. Асуулт тавьж байна. Сэдэв 2. кв. тэгшитгэл. Факторын арга Бүтэн квадрат сонгох арга Шийдэл кв. томъёогоор тэгшитгэлүүд Шийдэл квадрат. шилжүүлгийн аргаар тэгшитгэлүүд Шийдэл кв. t Vieta шийдлийг ашиглан тэгшитгэл sq. коэффициент ашиглан тэгшитгэл Шийдэл кв. График аргаар тэгшитгэлүүд Шийдэл кв. Луужин ба захирагч ашиглан тэгшитгэлүүд Шийдэл кв. геометрийн аргаар тэгшитгэлүүд Шийдэл кв. "номограмм" ашиглан тэгшитгэл

слайд 5

Жаахан түүх ... Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн сүрлэг байгууламжийн суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Эртний Вавилон дахь квадрат тэгшитгэл. Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл. Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл. XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл.

слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

слайд 10

Францын нэрт эрдэмтэн Франсуа Виет (1540-1603) нь хуульч мэргэжилтэй нэгэн. Тэрээр чөлөөт цагаа одон орон судлалд зориулдаг байв. Одон орон судлалын хичээлд тригонометр, алгебрийн мэдлэг шаардлагатай байсан. Вьетнам эдгээр шинжлэх ухааныг эзэмшсэн бөгөөд удалгүй тэдгээрийг сайжруулах шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрч, олон жил ажилласан. Түүний ажлын ачаар алгебр нь шууд тоололд суурилсан алгебрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шинжлэх ухаан болжээ. Тиймээс тэгшитгэлийн шинж чанар, тэдгээрийн язгуурыг ерөнхий томъёогоор илэрхийлэх боломжтой болсон.

слайд 11

Ажлыг хийхдээ дараахь зүйлийг анзаарав: Миний ашиглах аргууд: Виетийн теорем Коэффицентийн шинж чанарууд "шилжүүлэх" арга Зүүн талыг хүчин зүйл болгон хуваах График арга Аргууд нь сонирхолтой боловч маш их цаг зарцуулдаг үргэлж тохиромжтой байдаггүй. График арга Номограммын тусламжтайгаар Захирагч ба луужингийн тусламжтайгаар Бүтэн квадратыг сонгох нь "Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь" сэдвийн хүрээнд эдгээр аргуудыг нээж шинжлэх ухаанд түлхэц өгсөн эрдэмтдэд мөргөж байна.

слайд 12

Тэгшитгэлийн зүүн талын үржвэрлэл x2 + 10x - 24=0 тэгшитгэлийг шийдье. Зүүн талыг ялгах: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 эсвэл x - 2=0 x= -12 x= 2 Хариулт: x1= -12, x2 = 2. Тэгшитгэлийг шийд: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

слайд 13

Бүтэн квадрат сонгох арга Тэгшитгэлийг шийдээрэй x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 эсвэл x-3=-4 x=1 x=-7 Хариулт: x1=1, x2=-7. Тэгшитгэлийг шийд: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

слайд 14

Квадрат тэгшитгэлийг томьёоны дагуу шийдвэрлэх Үндсэн томьёо: Хэрэв b сондгой бол D= b2-4ac ба x 1.2=, (Хэрэв D> 0 бол) Хэрэв b тэгш бол D1= ба x1.2=, (Хэрэв D бол) >0) Тэгшитгэлийг шийд: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

слайд 15

Тэгшитгэлийг шилжүүлэх аргаар шийдвэрлэх ax2 +bx+c=0 тэгшитгэлийг шийдье. Тэгшитгэлийн хоёр талыг а-аар үржүүлбэл a2 x2 +abx+ac=0 болно. ax = y, үүнээс x = y/a гэж үзье. Дараа нь U2 +buy+ac=0. Үүний үндэс нь y1 ба y2 юм. Эцэст нь x1 = y1/a, x1 = y2/a. 2x2 -11x + 15=0 тэгшитгэлийг шийдье. Коэффицент 2-ыг чөлөөт гишүүн рүү шилжүүлье: Y2 -11y+30=0. Виетийн теоремоор бол y1 =5, y2 =6. x1 = 5/2 ба x2 = 6/2 x1 = 2.5 ба x2 = 3 Хариулт: x1 = 2.5, x2 = 3 Тэгшитгэлийг шийд: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

слайд 16

Виетийн теорем ашиглан тэгшитгэлийг шийдэх нь x2 +10x-24=0 тэгшитгэлийг шийдье. x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, дараа нь 24 \u003d 2 * 12, харин -10 \u003d -12 + 2, дараа нь x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Хариулт: x1 \u003d , x2 \u003d -12. Тэгшитгэлийг шийд: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

слайд 17

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд a+b+c=0 бол x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0 тэгшитгэлийг шийдье. =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, тэгэхээр x1= - 1, x2 = -1/2 Хариулт: x1=1, x2 = -7. Хариулт: x1=-1, x2=-1/2. Тэгшитгэлийг шийд: 5x2 - 7x +2 =0 Тэгшитгэлийг шийд: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 5х - 8=0 5х2 + 4х - 1=0 5х2 + 4х - 9=0 x2 + 4х +3=0

Копьевская хөдөөгийн дунд сургууль

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга

Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,

математикийн багш

с.Копьево, 2007 он

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн эмхэтгэж, шийдсэн

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл

1.5 XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дүгнэлт

Уран зохиол

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн эмхэтгэж, шийдсэн.

Диофант тэгшитгэлийг эмхэтгэхдээ шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.

Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.

Даалгавар 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"

Тиймээс тэгшитгэл:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

аа 2+бx = c, a > 0. (1)

XII зууны Энэтхэгийн алдарт математикчийн нэг бодлыг энд оруулав. Бхаскара.

Даалгавар 13.

"Сармагчингийн сармагчин сүрэг, усан үзмийн модонд арван хоёр ...

Хүч идэж, хөгжилтэй байсан. Тэд үсэрч унжиж эхлэв ...

Наймдугаар хэсэг нь дөрвөлжинд Хэдэн сармагчин байсан бэ?

Нугад зугаацаж байна. Чи надад хэлээрэй, энэ сүрэгт байна уу?

Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хоёр утгын талаар мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).

13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаскара дараах нэрийн дор бичжээ.

x 2 - 64x = -768

мөн энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд тэр хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. сүх 2 + c =бX.

2) "Квадратууд нь тоотой тэнцүү", i.e. сүх 2 = с.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. аа = с.

4) "Квадрат ба тоонууд нь үндэстэй тэнцүү", i.e. сүх 2 + c =бX.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", i.e. аа 2+bx= s.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", i.e.bx+ c \u003d сүх 2.

Даалгавар 14."Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х 2 + 21 = 10х тэгшитгэлийн язгуур гэж үзвэл).

1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэлXIII - XVIIолон зуун

Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:

x 2+bx= хамт,

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

(а +б)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +б)x + aб = 0,

x 1 = a, x 2 =б.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэглэгээ ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлснээр Вьетнам тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч Вьетагийн бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байх тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга